Verantwoording NiNa-modules Deeltjes en hun Interacties
advertisement
Quantumwereld Docentenhandleiding QUANTUMWERELD KEUZEMODULE 6 VWO Docentenhandleiding Quantumwereld Hans van Bemmel Inhoudsopgave Verantwoording herziening Verantwoording Lessenplan Opmerkingen per hoofdstuk Uitwerkingen Toetsopgaven Verantwoording herziening Meer concrete voorbeelden De eerste versie van Quantumwereld is geëvalueerd door drie docenten en drie klassen. De grote lijn was dat de stof goed te doen was, maar dat er behoefte was aan meer houvast in de vorm van concrete voorbeeldopgaven met uitwerking, oefenopgaven en voorbeeld-toetsopgaven. Aan die wens is tegemoet gekomen. Behalve de evaluatie is ook het feit dat deze module uiteindelijk een CE-onderwerp wordt aanleiding om dit te doen. Toetsbaarheid wordt dan nog belangrijker dan bij een SEkeuzeonderwerp. Nieuw zijn: Het reken- en redeneervoorbeeld over het quantumkarakter van de atoomkern op bladzijde 13. Dit is een voorbereiding op de opgaven 13 en 14 (die er al waren). Het redeneervoorbeeld over halfwaardetijden op bladzijde 26. Deze redenering over de factoren waar tunneling van afhankelijk is komt terug in een uitgebreide, nieuwe opgave: Opgave 25, “Quantum Tunneling Composiet”. De uitgewerkte voorbeeldopgave “Mooier licht met Quantum Dots” op bladzijde 37-38. Deze voorbeeldopgave is een voorbereiding op de nieuwe, uitgebreide opgave die ook over deeltjes in een doos gaat: Opgave 37, “Inktwisser”. De voorbeeld-toetsopgave “Quantum Tunneling in de Biochemie?”op bladzijde 63, waarin zowel tunneling als het deeltje in een doos voorkomt. In deze docentenhandleiding staat ook zo’n uitgebreide opgave, “Tijdmeting met behulp van tunneling”, waarin deze beide belangrijke onderwerpen aan de orde komen. Van de belangrijkste redeneringen en berekeningen is nu steeds een voorbeeld in de tekst opgenomen en tenminste één vergelijkbare opgave bij het hoofdstuk. Met de voorbeeld-toetsopgave kan de leerling kijken of hij het beheerst. Als u de opgave op bladzijde 26 van deze docentenhandleiding opneemt in een toets, is dat voor een leerling die alles heeft doorgewerkt de vierde keer dat hij met die concepten werkt. Duidelijker de verplichte stof en de extra’s onderscheiden Zolang dit onderwerp een keuzeonderwerp voor het SE is, liggen de eindtermen niet vast. De docent kon en kan zelf bepalen wat hij behandelt en wat hij toetst. Maar ook op dit gebied kwamen er geluiden uit de evaluaties die we hebben gehonoreerd: Men wilde meer duidelijkheid over wat de kern van het verhaal is, en wat verdieping. We hebben een onderscheid aangebracht tussen basisstof en “EXTRA”. Daarmee nemen we een voorschot op het plan van Quantumwereld op den duur een CE-onderwerp te maken. Dan zullen de precieze eindtermen worden vastgelegd. Omdat die op het moment van herzien nog niet bekend zijn, is de huidige indeling niet per se dekkend voor wat de syllabuscommissie als eindtermen zal opnemen. De ruil met “Deeltjes en hun Interacties”, dat keuze-onderwerp zal worden, is overigens ook gebaseerd op wat docenten van proefscholen zeiden, namelijk dat elementaire deeltjes meer een onderwerp voor een selecte groep is, en quantumwereld vanwege het bredere toepassingsgebied geschikter is voor de gemiddelde natuurkundeleerling. De indeling in grote lijnen: Hoofdstuk 2 over deeltjes, golfjes, elektronen en fotonen: helemaal basisstof. Hoofdstuk 3 over het tunneleffect en onbepaaldheid: de kwalitatieve beschrijving van waar de tunneling van afhangt is basisstof, de formule voor de “kans op tunneling” is EXTRA. De onbepaaldheidrelatie van Heisenberg is weer basisstof. Hoofdstuk 4 over quantisatie en spectra: Basisstof is “het quantumdeeltje in een ééndimensionale doos”. Hiervan moet de leerling kunnen vertellen in hoeverre het overeenkomt met de eigenschappen van een waterstofatoom. Het waterstofatoom als “doos met andere wanden” is EXTRA. Het uitsluitingsprincipe van Pauli en de gevolgen voor het periodiek systeem, moleculen en vaste stoffen behoort weer tot de basisstof . Het thema van hoofdstuk 5, het verband tussen de klassieke macroscopische wereld en de quantummechanische microscopische wereld, is basisstof, maar het voorbeeld “Macroscopisch draaien rond een centrum” is EXTRA. De verdiepingsopdrachten waar hoofdstuk 6 buit bestaat zijn allemaal EXTRA. De opgaven zijn overeenkomstig aangepast: De nieuwe voorbeelden en opgaven horen bij de basisstof, opgaven die aansluiten bij EXTRA stof zijn zelf automatisch ook EXTRA. Verantwoording (zoals die ook bij de eerste versie stond) Quantummechanica is een belangrijk onderwerp binnen de natuurkunde. In de natuurkundestudie nemen quantumverschijnselen een grote plaats in, veel groter dan relativistische verschijnselen. Laserfysica, vaste-stoffysica, kernfysica en deeltjesfysica gaan allemaal over quanta. Het algemene publiek is gefascineerd door quantummechanica, dat zie je aan het grote aantal populairwetenschappelijke boeken. Genoeg redenen om leerlingen binnen een programma Nieuwe Natuurkunde te laten kennismaken met de quantumwereld. Het Project Modern Natuurkunde (PMN), dat is ontwikkeld in de periode 2000-2009, gaat voor een groot deel over quantummechanica. Dit materiaal is zorgvuldig ontwikkeld en goed getest. In deze NiNa-module is een deel van dit materiaal gebruikt. Toch waren grote veranderingen nodig, omdat PMN was bedoeld voor leerlingen in het profiel Natuur en Techniek, terwijl de NiNa-module geschikt moet zijn voor alle leerlingen met natuurkunde, ook in het profiel Natuur en Gezondheid. Mijn uitgangspunten bij het schrijven waren vergelijkbaar met die ik hanteerde bij de HAVO-module “materialen”: Oriëntatie op een onderwerp vindt plaats in een bekende context, maar niet alles wordt binnen contexten aangeleerd. Elk hoofdstuk begint met enkele praktijksituaties, ter inspiratie. Dan volgt de opbouw van de stof, meestal worden de praktijksituaties dan losgelaten. In de opgaven komen de voorbeelden van het begin wel terug. Kwalitatief begrip gaat vooraf aan kwantitatieve berekeningen. Het is bijvoorbeeld nodig eerst te beseffen dat je iets merkt van quantumverschijnselen als de de broglie-golflengte groot is ten opzichte van het systeem, voordat berekeningen met deze golflengte nuttig zijn. Er moet enige keuzevrijheid zijn voor de leerling, vooral in de verdiepingsfase. Hoofdstuk 6 bestaat dan ook uit aanzetten voor verder onderzoek, die de leerlingen kunnen uitwerken voor een werkstuk of presentatie. De inhoudelijke opbouw begint met de golf-deeltjedualiteit, de onbepaaldheidsrelatie is een gevolg daarvan, quantisatie ook. Er is aparte aandacht voor de vraag wat het verband is tussen quantum en klassiek. Voorbeeld lessenplan Docenten van de pilotscholen zeiden dat het in het begin wat sneller zou kunnen dan wat hier staat, en dat het geheel paste in de beschikbare tijd van 30 SLU. De indeling hieronder is in grote lijnen dezelfde als bij de eerste versie, al zijn sommige delen van de module ingekort, zeker wat betreft de “basisstof”. Zo blijft er ruimte om te oefenen met leerlingen die dat nodig hebben, en om snelle leerlingen de EXTRA stukjes te laten doen. Steeds: wat aan het eind staat kan ook huiswerk zijn Les 1 Hoofdstuk 1 Een vreemde wereld? Inleidende tekst lezen 10 minuten Oriëntatieopdracht betekenis woorden in dagelijks leven 10 minuten Oriëntatieopdrachten bij begrippenweb 10 minuten Hoofdstuk 2 Deeltjes, golfjes, elektronen, fotonen Herhalen deeltje, golf (tekst tot en met ‘golven’) Opgaven 1-4 over kenmerken deeltje, kenmerken golf 10 minuten 10 minuten Bespreken opgaven Interferentie (tekst vanaf ‘golven kunnen interfereren’) Opgaven 5-8 over interferentie 10 minuten 20 minuten 20 minuten Opgaven bespreken Paragraaf 2.2 Bespreken voorbeeld bladzijde 13 Opgaven 9-12 over de de brogliegolflengte 10 minuten 15 minuten 10 minuten 15 minuten Les 2 Les 3 Les 4 Opgaven bespreken Opgaven 13 en 14 lucht is klassiek, een atoom niet Paragraaf 2.3 Opgaven 15 en 16 over fotonen 10 minuten 20minuten 10 minuten 10 minuten Opgaven bespreken Opgaven 17-21 over toepassingen fotonen, Compton Reflecteren op hoofdstuk 2 10 minuten 25 minuten 15 minuten Les 5 Les 6 Hoofdstuk 3 Het tunneleffect en onbepaaldheid Paragraaf 3.1 Oriëntatieopdracht Paragraaf 3.2 Redeneervoorbeeld blz 26 Opgaven 22-24 over tunneling 10 minuten 10 minuten 10 minuten 10 minuten 10 minuten Opgaven bespreken Opgave 25 Quantum Tunneling Composiet Paragraaf 3.3 Opgaven 27-29 over de onbepaaldheidsrelatie 10 minuten 15 minuten 15 minuten 10 minuten Les 7 Les 8 Hoofdstuk 4 Quantisatie en spectra Opgaven bespreken, afsluiten hoofdstuk 3 Inleiding hoofdstuk 4 lezen Paragraaf 4.1 Onderzoeksopdracht blz 35 Opgaven 30, 33-36 10 minuten 10 minuten 10 minuten 10 minuten 10 minuten Opgaven bespreken Uitgewerkte voorbeeldopgave blz 36 Opgave 37 Inktwisser Terugkijken op paragraaf 4.1 10 minuten 15 minuten 15 minuten 10 minuten Les 9 Les 10 Opgave 37 bespreken 4.3 lezen tot Moleculen Opgaven 38-40 over atomen 10 minuten 15 minuten 25 minuten Opgaven bespreken Rest 4.3 Opgaven 41-45 over vaste stoffen Terugblik op hoofdstuk 4 10 minuten 15 minuten 15 minuten 10 minuten Les 11 Les 12 Hoofdstuk 5 Kleine quanta in de grote wereld Vragen over hoofdstuk 4? Hoofdstuk 5 lezen Opgaven 46-47 over aantallen quanta 10 minuten 20 minuten 20 minuten Opgaven bespreken Opgaven 48, 50-51 Nabespreken 10 minuten 30 minuten 10 minuten Les 13 Les 14 (eventueel, is EXTRA) Lezen hoofdstuk 6 Keuze van een onderwerp uit hoofdstuk 6 Les 15 (eventueel, is EXTRA) Werken aan gekozen onderwerp Les 16 Afronden: inleveren werk, module nabespreken, voorbereiden toets, vragen stellen Opmerkingen per hoofdstuk 1 Een vreemde wereld? Hoofdstuk 1 is bedoeld om de leerling nieuwsgierig te maken, het is een oriëntatie. Een discussie in de klas over de vraag wat men al over quantummechanica gehoord heeft, kan daarbij nuttig zijn. In het korte hoofdstuk 1 is het verder de bedoeling dat de leerling zich realiseert dat deze module een dubbele context heeft: het gaat zowel over praktische toepassingen als over fundamentele vragen over de aard van licht en van materie. Hoofdstuk 2 Deeltjes, golfjes, elektronen, fotonen Opmerkelijk is dat de vele boeken over quantummechanica zulke verschillende uitgangspunten nemen. Natuurlijk hangen de onderwerpen samen, maar de vraag wat het beginpunt is, wordt op verschillende manieren beantwoord. Er is eerder sprake van een netwerk van begrippen, dan van één lijn. Bij het vertellen over dit onderwerp moet een lijn binnen dit netwerk worden gekozen. Mogelijke beginpunten zijn: De Schrödingervergelijking (en dan zeggen dat de oplossingen daarvan overeenkomen met energietoestanden van een atoom) Het falen van de klassieke natuurkunde bij zwarte stralers. Een discussie over wat meetbaar is, leidend tot de onbepaaldheidsrelaties. Dualiteit, dus het feit dat elektronen en fotonen zowel een golfkarakter als een deeltjeskarakter hebben. We kiezen een lijn die begint met het golf-deeltjeskarakter van zowel elektronen als fotonen. Daarbij volgen we Feynman ( The Feynman Lectures on Physics) en het Project Moderne Natuurkunde. Opgaven 1-4 halen basiskennis uit de klassieke mechanica naar boven. De docent kan hier kort de stof herhalen, als de leerlingen alle klassieke begrippen goed op een rijtje hebben, kan dit gedeelte heel snel worden gedaan. Opgave 4 is bedoeld om een gevoel te krijgen voor de enorme verschillen in afmetingen tussen de wereld die je gewend bent en de wereld van atomen. De opgaven 13 en 14 zijn bewerkelijk. Ze zijn opgenomen omdat ze de essentie weergeven van de vraag wanneer iets klassiek is en wanneer quantummechanisch. Het is aan te raden deze opgaven goed te bespreken, en te zorgen dat de leerlingen inzien dat je meer moet bedenken dan de getalwaarden, dat het vergelijken van de getallen essentieel is om tot de conclusies te komen: de lucht gedraagt zich klassiek, de elektronen in een atoom niet. Docenten in de pilotscholen gaven een tip over een nuttige animatie: - http://www.youtube.com/watch?v=DfPeprQ7oGc over het dubbelspleet-experiment Hoofdstuk 3 Het tunneleffect en onbepaaldheid De inleiding en de oriëntatieopdracht zijn bedoeld om de leerling te laten zien dat quantumeffecten heel speciaal zijn, dat er dingen gebeuren die volgens Newton onmogelijk zijn. De formule over de kans op tunneling is ingewikkeld. Het is EXTRA stof. Ik raad aan de formule te behandelen door te bespreken dat je eraan kunt zien dat tunneling afhankelijk is van de hoogte en de breedte van de barrière, van de massa van het quantumdeeltje, en expliciet niet van de temperatuur. Berekeningen zou ik niet doen. Vaak wordt de term “onzekerheid” gebruikt in plaats van “onbepaaldheid”. Dit is minder juist. Gevoelsmatig vond ik dat al, discussies met mensen uit de hoek van de grondslagen van de natuurkunde leerden mij dat onbepaaldheid ook een betere vertaling is van het oorspronkelijke Duitse begrip. Ook in het Project Moderne Natuurkunde wordt van onbepaaldheid gesproken, niet van onzekerheid. Hoofdstuk 4 Quantisatie en spectra In dit hoofdstuk wordt ook een verband gelegd met wat uit de module Elektromagnetische straling en Materie bekend hoort te zijn. De nadruk ligt nu meer op het feit dat de quantisatie een gevolg is van de golfeigenschappen van elektronen. Het lijkt wellicht dat het nemen van een ééndimensionale doos een ernstige beperking is. Dat valt mee. Het geeft in ieder geval de juiste orde van grootte voor de energieën. Als de ruimte wel ééndimensionaal is, zoals in een koolstof-nanobuisje, zullen in de richting waarin het buisje het smalst is geen hogere toestanden worden bereikt. Omdat de energieën gaan met 1/L2 kost het de minste energie om in de richting met de grootste afmeting naar hogere quantumgetallen te gaan, in die richting vindt alles plaats. Ook in twee- of driedimensionale ruimtes is geeft het veranderen van een quantumgetal in één richting al een andere toestand, dus de energieverschillen die optreden zijn gewoon van de orde van grootte van die in het ééndimensionale geval. In opgave 36 is de soortelijke warmte afgebeeld in J/(mol K) in plaats van J/(kg K). Dat doet niets af aan de essentie van vraag c, maar het is verwarrend voor de vragen a en b. Benadrukt moet worden dat wordt uitgegaan van de normale definitie van soortelijke warmte, dus in J/(kg K). Overigens is deze opgave sowieso wat atypisch, omdat hij gaat over vaste stoffen, in plaats van losse atomen of moleculen. Het is aan de docent om te beslissen of dat de leerlingen afleidt, of dat het juist goed laat zien dat quantumtheorie niet alleen voor één bepaald soort effecten, namelijk spectra, van toepassing is, maar veel algemener. Sommige docenten van de pilotscholen behandelden ook opgave 48 en 49 van het Project Moderne Natuurkunde, te vinden op http://www.phys.uu.nl/~wwwpmn/ Dit zijn mooie opgaven, ze gaan wel iets verder dan het deeltje in een doos, omdat het gaat om meerdere deeltjes, die ook aan het Pauli-principe voldoen. Daarom zouden ze wel klassikaal moeten worden behandeld. Hoofdstuk 5 Kleine quanta in een grote wereld Op bladzijde 52 en 53 wordt een paar keer gerefereerd aan een deeltje aan een veer, de harmonische oscillator. Dit stukje is echter in hoofdstuk 4 in een laat stadium geschrapt. Hoewel in hoofdstuk 5 de lijn van het verhaal wel te volgens is, is het wellicht goed hier even over te praten: dat een deeltje aan een veer ook beperkt is tot een kleine ruimte, dat er ook discrete energieniveaus zijn. De clou van het verhaal is alleen daarvan afhankelijk, en dat met de gegeven formule blijkt dat voor een groot systeem de energiesprongen klein zijn. Paragraaf 5.3 is een aardig voorbeeld, maar ook wat ingewikkeld. De docent kan bezien of met de twee andere voorbeelden het punt voldoende is gemaakt. Bij opgave 48 moet de verkleiningsfactor gezien worden als een getal kleiner dan 1, dus als alles 10 keer zo klein wordt, is de verkleiningsfactor 0,1. Hoofdstuk 6 De docent kan uiteraard andere geschikte keuzeonderwerpen bedenken en ook eigen initiatief van de leerlingen toestaan. Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Oriëntatieopdracht a. ‘Kwantum’ betekent volgens het woordenboek ‘hoeveelheid’. Je krijgt ‘kwantumkorting’ als je een grote hoeveelheid tegelijk koopt, bij een ‘kwantitatieve bepaling’ gebruik je getallen (in tegenstelling tot een kwalitatieve bepaling). Door een ‘Tunnel’ kom je van de ene kant van een berg naar de andere kant, zonder over de top te hoeven. ‘Spectrum’ heeft de betekenis van kleurenband, zoals een prisma of een regenboog die maakt, maar ook van ‘opeenvolgende mogelijkheden’, er is bijvoorbeeld een heel spectrum aan opleidingen die je kunt volgen. Er is sprake van ‘Dualiteit’ als ergens twee kanten aan zitten. Duaal leren betekent bijvoorbeeld ‘werken en leren tegelijk’. Denk ook aan een woord als ‘duo’. ‘Relatie’ is de betrekking van een persoon tot een ander. Er zijn altijd ten minste twee betrokken personen. Die hebben met elkaar te maken, die horen bij elkaar. b. Hoofdstuk 2 gaat over het gedeelte boven in het schema, van deeltjes tot en met elektronenmicroscoop. Hoofdstuk 3 gaat over het deel rechts in het midden: de onbepaaldheidsrelatie en tunnelen. Hoofdstuk 4 over het deel onderaan in het schema, van lijnenspectrum, via atoom, naar scheikunde. Hoofdstuk 5 ‘Kleine quanta in een grote wereld’ gaat over het verband tussen de quantumwereld en de mechanica van Newton, deze begrippen staan linksboven. Relativiteit, links in het schema, komt niet aan de orde, dit begrip staat er alleen bij om aan te geven dat er twee gebieden zijn die afwijken van de mechanica van Newton, en dat ons onderwerp er daar één van is. c. Atomen trillen in molecuul: e (‘oscilleren’ betekent trillen) Digitale camera: c (in een digitale camera spelen licht en elektronica een rol). Golflengte: b (eigenschap van een golf) Neonlamp: d (Je weet van de module “Elektromagnetische straling” dat kleuren bepaald worden door het emissiespectrum) x(t), v(t) en a(t): a (Je kunt de baan van een deeltje met deze grootheden beschrijven). d. Eigen invulling. Kijk voor jezelf of je naar fundamentele dingen vraagt, of naar toepassingen. Hoofdstuk 2 1. a. a b. v c. x d. v e. a f. Het gaat over één positie, dat kan voor een deeltje, dat kan niet voor een golf, die heeft altijd een uitgebreidheid. 2. a. Het patroon van mensen die staan verplaatst zich rond het stadion, de mensen zelf niet. Dit is een kenmerk van golven. b. Een golf heeft een uitgebreidheid, bevindt zich niet op één punt. c. De vlam trilt. d. Als uit de luidspreker een stroom deeltjes zou komen, zou de vlam een kracht naar één kant ondervinden. Nu zie je dat de luchtmoleculen trillen rond hun evenwichtsstand. e. Het is alsof het geluid een soort wind is, die één kant op blaast. Leuk om te zien, maar zo is het niet in het echt. 3. a. eΔV=1,6·10-19·2,5·103= 4,0·10-16 J b.½·9,1·10-31·v2=4,0·10-16 J . Daaruit volgt v=3,0·107 m/s. 4. a. Massa 6,0·1024 kg, snelheid 2πr/T=3,0·104 m/s. De kinetische energie wordt dan 2,7·1033 J. b. Massa 1,0·103 kg, snelheid 3,0·101 m/s. De kinetische energie wordt dan 4,5·105 J c. Massa 6,0·10-2 kg, snelheid 3,0·101 m/s. De kinetische energie wordt dan 27 J. d. De massa van de stikstofmoleculen is kleiner dan die van de zuurstofmoleculen (het gaat in beide gevallen om moleculen met twee atomen, de atomen van zuurstof hebben 16 kerndeeltjes, die van stikstof 14). Als de kinetische energie ½ m v2 gemiddeld op hetzelfde moet uitkomen, moet de v gemiddeld groter zijn. e. Neem voor T een waarde van 293 K. Je krijgt dan 6,0 ·10-21 J. f. 1040 1030 aarde 1020 1010 100 auto tennisbal 101101010 -20 10 stikstofmolecuul 10-30 10-40 5. a. …het gemiddelde van alle mensen. b. … je oor. c. … groot is ten opzichte van de afstand tussen de spleten. 6. Hoe dichter je duim en je vinger bij elkaar zijn, hoe meer zwarte streepjes je ertussen ziet. Ook bij een klein gaatje in een vel papier, gemaakt met de scherpe punt van een passer, zie je patronen, niet een eenvoudig rondje. Het klopt dat je alleen iets merkt bij kleine afstanden en kleine gaatjes. 7. Een grotere golflengte “lambda” bij constante afstand tussen de spleten d, geeft een grotere afstand tussen de maxima. Bij een grotere d worden de afstanden tussen de maxima kleiner. 8. Dat blijkt vooral uit de woorden faseverschil (twee golven kunnen een faseverschil hebben, twee deeltjes niet) en interferentie (golven vertonen interferentie, deeltjes die voldoen aan de mechanica van Newton niet). 9. a. λ=h/mv, met v=19,4 m/s krijg je 3,4·10-38 m. b. Deze onbepaaldheid is veel kleiner dan de grootte van zelfs maar een atoomkern. Dit heeft geen enkele invloed op de vraag waar op de weg de auto zich bevindt. c. Met een vergelijkbare snelheid als de auto, bijvoorbeeld 30 m/s, en een veel kleinere massa dan een auto, ongeveer 60 g, kom je op een iets grotere de Broglie-golflengte, namelijk 6,7·10-34 m. Maar dat is nog steeds onmeetbaar klein, veel en veel kleiner dan de straal van een atoomkern. d. Pas als de massa bijvoorbeeld de massa van een atoom of van een elektron is, kan er uit de formule voor de de Broglie-golflengte een afmeting komen die groot genoeg is om meetbaar te zijn. 10. a. 0,1·10-9m/0,2·10-6m=0,0005 keer zo klein. b. λ=h/mv geeft v=h/mλ invullen geeft v=6.6·10-34 /(9,1·10-31 ·0,1·10-9)=7,3·106 m/s. (Let er op dat de factor 0,1·10-9 ook op je rekenmachine in de noemer terechtkomt, vergeet de haakjes dus niet). c. Gebruik eΔV=1/2 mv2. Je krijgt ΔV=9,1·10-31·(7,3·106)2/(2·1,6·10-19)=1,5·102 V. 11. Aan de formule λ=h/mv zie je dat je een kleinere snelheid nodig hebt, om op een grotere uitkomst uit te komen. Een kleinere gemiddelde snelheid komt overeen met het afkoelen van de neutronen. 12. a. Dan zie je twee maxima, achter elke spleet één. b. Nu is er geen interferentie. Er is geen enkel moment waarop beide spleten open zijn en het is dus nooit zo dat je er iets van merkt dat de de broglie-golflengte van de elektronen (of de golflengte van het licht) beide spleten omvat. c. Als het elektron of het licht op één punt gelokaliseerd was, zou het door één spleet kunnen gaan en er niets van merken dat de andere spleet ook open is. d. Dat doe je door te zorgen voor een lange tussenpoos tussen de elektronen. Ook als de elektronen één voor één gaan, ontstaat er een interferentiepatroon. 13. a. Het gaat hier om een orde van grootte, dus het hoeft niet heel precies. Een stikstofmolecuul bevat in totaal 28 kerndeeltjes, een watermolecuul 18. De orde van grootte van de massa’s is dus gelijk. De dichtheid van water is ongeveer 1000 kg per kubieke meter, voor lucht is de waarde 1,3. Een duizend keer zo groot volume per molecuul, dat betekent een 10 keer zo grote afstand (omdat elk molecuul gemiddeld een volumetje van 10 bij 10 bij 10 keer de afstand tot zijn beschikking heeft). In water zitten de moleculen vlak op elkaar, in stikstofgas zit er ruimte tussen. De afmeting van een molecuul is ongeveer 0,3 nm, de afstand tussen de moleculen is dus ongeveer 3 nm. b. We kijken hoeveel deeltjes er in een kubieke meter zitten. De luchtdruk is ongeveer 1·105 Pa, T = 293 K. R staat in tabel 7, we krijgen n=pV/RT= 41 mol. Dat zijn 2,5·1025 deeltjes. Het volume per deeltje is 4·10-26 kubieke meter, de derdemachtswortel geeft 3,4 nm als orde van grootte van de afstand tussen de moleculen. Nog een manier om het aantal deeltjes te bepalen: In een kubieke meter zit zo’n 1,3 kg lucht, de massa van een stikstofmolecuul is 28 maal de massa van een kerndeeltje, dus ongeveer 4,7·10-26 kg. Het aantal deeltjes is dus 3·1025, dat is 46 mol (hier deel je door het getal van Avogadro, het aantal deeltjes per mol). Dat is vergelijkbaar met de 41 mol die we net hadden, de orde van grootte van de uitkomst is dezelfde. c. De kinetische energie is gelijk aan 6,0 ·10-21 J (zie opgave 4). Met m=4,7·10-26 kg krijg je als snelheid v=√(2E/m)=5·102 m/s. d. λ=h/mv geeft 3·10-11 m. e. De de broglie-golflengte is zo’n honderd keer zo klein als de afstand tussen de moleculen. Je merkt pas iets van het golfkarakter van deeltjes als de de broglie-golflengte ongeveer zo groot is als de afstand tussen de moleculen. f. Met rustmassa 4,7·10-26 kg en snelheid 500 m/s vind je op de klassieke manier 5,875·10-21 J. Op de relativistische manier vind je bij deze snelheid m=4,7000000000065 ·10-26 kg. De energie wordt, in het aantal cijfers dat de rekenmachine opgeeft, weer 5,875·10-21 J. De klassieke benadering is dus goed genoeg, er zijn geen relativistische effecten. 14. a. De straal is 5,3·10-11 m. b. Er valt een r weg, je krijgt v2=fe2/mr=4,77·1012, de wortel daarvan is 2·106 m/s. c. λ=h/mv geeft 3,3 ·10-10 m. d. Nee, de de broglie-golflengte is groter dan het atoom. De positie van het elektron ligt minder precies vast dan de afmeting van het atoom, het is dus niet correct om je het elektron als een rondcirkelend deeltje voor te stellen. Er zijn zeker interferentieverschijnselen binnen het atoom. 15. a. De lamp straalt per seconde 0,07·60=4,2 J zichtbaar licht uit (Gebruik eventueel E=P·t, met t = 1,0 s.) De energie van één foton is E=hf=hc/λ=3,6·10-19 J. Dat past 4,2/3,6·10-19=1,2·1019 keer in de totale energie per seconde. Zoveel fotonen zijn het dus. b. Energie foton: E=hf=1,9·10-24 J. Het aantal joule per seconde is 800. Daar passen 4·1026 van zulke fotonen in. Dat is nog veel meer dan bij vraag a, doordat het totale vermogen groter is en de energie per foton kleiner. 16. a. Voor het foto-elektrisch effect. b. Links komt “te lage frequentie”, deze fotonen komen wel door het filter maar dragen niet bij aan de foto. In het midden komt “IR-foto”, deze fotonen komen door het filter en hebben genoeg energie voor het foto-elektrisch effect. Rechts staat “opgevangen door filter”, deze fotonen hebben wel genoeg energie voor het foto-elektrisch effect dat nodig is voor het maken van een opname, en bij het maken van een normale foto doen ze dat ook, maar nu worden ze opgevangen door het filter. c. Als ze al die straling zouden opnemen, zou de temperatuur van de bladeren te hoog worden. 17. In het donker kun je met een gewone camera niet fotograferen, er ontstaat dan geen beeld. De energie van de beschikbare fotonen is te klein om een foton los te maken. Bij een nachtzichtkijker lukt dat wel. Kennelijk is een kleine energie bij het gebruikte materiaal wel genoeg om een elektron los te maken. (Anders gezegd: De warmtestraling waar de nachtzichtkijker wel en de gewone camera niet op reageert, is IR-straling, met een lagere frequentie dan zichtbaar licht. De energie van de fotonen is kleiner dan bij zichtbaar licht. De energie die nodig is om een elektron los te maken is in de nachtzichtkijker lager dan in een gewone camera.) 18. Met de zoektermen “oog, fotonen” werd bijvoorbeeld dit gevonden: “ In de jaren veertig werd in experimenten vastgesteld dat het menselijk oog minimaal elf fotonen tegelijk nodig heeft om licht in het duister te zien.” Eén foton zorgt voor een verandering in een molecuul in een cel. Maar er zijn zogenaamde doorgeefcellen, die alleen een signaal doorgeven als meerdere cellen zijn getroffen. Er is verder informatie over kegeltjes die kleuren onderscheiden, maar daarvoor wel meer licht nodig hebben dan staafjes, die zwart-wit zien. Uit het feit dat kegeltjes kleuren kunnen onderscheiden, zie je dat quantummechanische principes een rol spelen, kennelijk is de energie van de fotonen van belang. 19. Voor het proces van fotosynthese zijn fotonen van de juiste energie nodig. Ook al krijgen de planten nog zoveel infrarode straling, dus heel veel fotonen, de energie van één foton is niet de goede energie om in de moleculen de juiste processen te laten gebeuren. Het gaat niet om de totale energie, mar om de energie van de fotonen, die passend moet zijn. 20. I gaat alleen over de golflengte van de straling, met λ=c/f kun je alles wat hier besproken wordt begrijpen. Het gaat niet om de absorptie van straling, alleen over de plaatsen waar constructieve en destructieve interferentie optreedt. Het begrip foton heb je niet nodig. II gaat wel over absorptie, en dat proces gaat per foton. Kennelijk zit het ozonmolecuul zo in elkaar dat het de energie E=hf van het foton uit het betreffende gebiedje in het ultraviolet kan absorberen. 21. a foto-elektrisch effect b fotonen c rechtdoor d frequentie e afbuighoek f frequentie g frequentie h biljartballen i biljartbal j schampt k rechtdoor l energie m energie n afbuighoek o energie p fotonen q energie r elektronen s energie t fotonen Hoofdstuk 3 Het tunneleffect en onbepaaldheid Oriëntatieopdracht a energie b energie c fluctueert d ondieper e lichter f foton g emissie h thermische i thermische j meteoor 22. a. Dit komt door thermische fluctuaties. (Een bepaalde temperatuur komt overeen met een bepaalde gemiddelde kinetische energie van de moleculen. Omdat de massa van waterstofmoleculen klein is, komt die kinetische energie overeen met een grote snelheid. Daardoor kunnen deze moleculen ontsnappen aan de aarde). b. Dit komt door fluctuerende stromingen in de zee, deze beweging lijkt op de willekeurige bewegingen die veroorzaakt worden door windvlagen. c. Thermische fluctuaties (de verklaring is hetzelfde al bij vraag a, alle gassen ontsnappen in dit geval doordat de zwaartekracht op de maan minder sterk is dan op aarde). d. Dit komt door quantumfluctuaties, bij 0 Kelvin zijn er geen thermische fluctuaties. e. Deze beweging is uiteraard een beweging waar je bewust een beslissing over neemt, en waar je op een gerichte manier energie gebruikt (chemische energie uit je voedsel door te fietsen naar het station, elektrische energie door de trein te nemen) om je doel te bereiken. 23. a. Je kunt de temperatuur veranderen. Als er bij een hogere temperatuur meer straling vrijkomt, gaat het om thermische fluctuaties. Als de temperatuur niet uitmaakt, gaat het om quantumfluctuaties. b. Bij radium komen de heliumkernen gemakkelijker uit de kern. Dat kan komen doordat de barrière lager is of doordat de barrière smaller is. 24. Er is een extra manier om dichter bij elkaar te komen. Daardoor wordt kernfusie vergemakkelijkt. De zon en de sterren zouden niet werken zonder tunneleffect. 25. a. Dat zijn de hoogte van de barrière die het quantumdeeltje moet overwinnen, de breedte van de barrière, en de massa van het quantumdeeltje. b. Door het indrukken neemt de afstand tussen de korreltjes af. Dat betekent dat de breedte van de barrière afneemt. Het tunnelen gaat dan gemakkelijker en sneller. c. Bij tunnelen gaan de quantumdeeltjes niet over de barrière, maar ze tunnelen erdoorheen. Dat proces is niet afhankelijk van thermische fluctuaties. De temperatuur is dus niet van belang. Ook α-verval en het tunnelen van elektronen in een STM zijn processen die niet afhangen van de temperatuur. d. Het materiaal als geheel zet uit als het wordt verwarmd. Dan wordt de breedte van de barrière iets groter en dat zorgt ervoor dat het tunnelen moeilijker wordt en langzamer gaat. 26. De waardes voor (V-E), m en d zijn veel te groot om een redelijke kans op tunneling te hebben. 27. a. Is geen vraag, het is een drukfout dat er een a voor deze opmerking staat. b. Δv=h/(2πmΔx). Vul voor de massa een schatting in van 1·103 kg, en voor Δx de gegeven waarde 1·103 m. Je krijgt dan Δv= 1,05·10-40 m/s= 3,8·10-40 km/h. Dat is heel weinig, niet genoeg om de 9 km/h die de automobilist te hard reed te verklaren, het is maar 0,00000000000000000000000000000000000000038 km/h. c. Je kunt alles opnieuw invullen, maar nu met Δx=1·10-9 m. Je kunt ook zeggen: Δx is nu 1012 keer zo klein als bij vraag b, dus Δv is 1012 keer zo groot, dus 3,8·10-28 km/h. Nog steeds verwaarloosbaar weinig. d. Vul nu de massa van het elektron in, die is gelijk aan 9,1·10-31 kg. Je krijgt dan Δv =1,2·10-7 m/s, misschien meetbaar, maar nog steeds heel klein. e. Dat wordt 1,2·105 m/s. Dat is wel een grote waarde. f. J merkt alleen iets van de onbepaaldheid in de snelheid als het gaat over een deeltje met een kleine massa en als de positie van dat deeltje nauwkeurig wordt vastgelegd. 28. Stilliggen zou overeenkomen met een snelheid van precies 0 m/s, met een onbepaaldheid Δv=0 m/s. “Op het oppervlak van de kern” is ook een precieze uitspraak, de positie zou dan in de radiële richting, dus gemeten vanuit het midden van de kern, precies vastliggen: Δx=0 m. Dat kan niet. Als je deze waarden vermenigvuldigt komt er nul uit, dat kan niet, het product moet op zijn minst gelijk zijn aan h/2πm. Het klopt ook met wat je ziet in de natuur: deze toestand komt niet voor: het elektron zit gemiddeld op een afstand van 5·10-11 m van de kern, niet er pal op, en de snelheid is niet nul. Zonder de onbepaaldheidsrelatie zou de wereld er heel anders uitzien! 29. a. Interferentie: De de brogliegolflengte is gelijk aan λ=h/mv. Als m heel klein is, komt daar een redelijk grote waarde uit. De maxima en minima van een interferentiepatroon zitten dan zo ver uit elkaar dat je ze kunt onderscheiden. Je merkt dan dat deeltjes ook een golfkarakter hebben. Fotonen: De energie van een foton is E=hf. Als het deeltje dat dit absorbeert klein is, is de extra fotonenergie een groot deel van de totale energie, het is dan niet een onmerkbaar klein extraatje. Onbepaaldheid: De onbepaaldheidsrelatie luidt Δx·Δv=h/(2πm). Als m klein is, komt daar een grotere waarde uit. Positie en snelheid liggen dan minder goed vast dan wanneer er een kleinere waarde uit komt. Je merkt bij kleine m meer van de onbepaaldheid. Tunnelen: De kans om te tunnelen wordt gegeven door T e2d (4 m/h2 )(V E ) . Daar komt een grotere waarde uit als de massa m die je invult kleiner is. De kans om te tunnelen is dus groter voor lichtere deeltjes. b. Interferentie: De de brogliegolflengte is gelijk aan λ=h/mv. Als h kleiner zou zijn, zou daar een kleinere waarde uitkomen. De maxima en minima van een interferentiepatroon zitten dan dichter op elkaar, zodat je minder goed kunt onderscheiden. Je merkt dan minder goed dat deeltjes ook een golfkarakter hebben. Fotonen: De energie van een foton is E=hf. Als h kleiner zou zijn, zou dit een kleiner pakketje energie zijn. Je merkt dan minder goed dat de energie niet continu toeneemt of afneemt, maar in stapjes. Onbepaaldheid: De onbepaaldheidsrelatie luidt Δx·Δv=h/(2πm). Als h kleiner zou zijn, zou daar een kleinere waarde uitkomen. Positie en snelheid liggen dan beter vast dan wanneer er een grotere waarde uit komt. Je zou bij een nog kleinere h minder merken van de onbepaaldheid. Tunnelen: De kans om te tunnelen wordt gegeven door T e 2d (4 m/h2 )(V E ) . Daar komt een kleinere waarde uit als de waarde voor h die je invult kleiner is, omdat h in de noemer staat van 4πm/h2. De breuk wordt groter bij kleinere h, de exponent wordt sterker negatief, de waarde voor T kleiner. De kans om te tunnelen zou kleiner zijn als de waarde van h kleiner zou zijn. Hoofdstuk 4 Quantisatie en spectra Onderzoeksopdracht a. Het ligt vast dat Δx niet groter is dan de breedte van de doos a. De waarde voor Δv is dan op zijn minst gelijk aan h/(2πma). De snelheid die je meet fluctueert, met deze orde van grootte. Er is gemiddeld dus wel een snelheid en dus een kinetische energie. b. Voor de eerste twee niveaus is het verschil h2·(4-1)/(8ma2)=3 h2/(8ma2). Tussen het tweede en het derde niveau is het verschil h2·(9-4)/(8ma2)= 5 h2/(8ma2). Tussen het negende en het tiende niveau is het verschil 19 h2/(8ma2). Zo wordt het verschil steeds groter. c. 3 h2/(8ma2) geeft met m=9,1·10-31 kg en a=1,06·10-10 m een energie van 1,6·10-17 J. d. We maken gebruik van E=hf, dus f=E/h Het antwoord van vraag c komt overeen met een golflengte van λ=c/f=ch/E=12·10-9 m. Dat is ongeveer 10 keer zo klein als de golflengte van de röntgenstraling die waterstof kan absorberen en uitzenden (in de Lymanreeks). Dat is helemaal niet zo’n grote fout, gezien het simpele model dat we hebben. Maar het probleem is dat overgangen tussen andere niveaus in ons model grotere energieën opleveren, terwijl in het echte, gemeten spectrum de andere energieën, bijvoorbeeld die van de overgang tussen het tweede en het derde niveau, juist kleinere energieën opleveren. Een doosje van de juiste afmeting levert ons dus wel op dat er slechts enkele energieën zijn, en iets wat in de buurt komt voor de waarde van de hoogste gemeten energie, maar helemaal niet hoe het spectrum verder in elkaar zit. 30. Klein en hoog Kinderstem Scheidsrechtersfluitje, hondenfluitje Kleine gong, kleine klok Kleine trommel Kort stukje snaar Groot en laag Stem volwassene Waldhoorn, altfluit Grote gong, grote klok Grote trommel Hele snaar 31. De grondtoon is ongeveer 300 Hz, je ziet dat er boventonen zijn bij 600 Hz, 900 Hz, enzovoorts, dus bij alle veelvouden van 300 Hz. Dat komt overeen met wat er gezegd is over een snaarinstrument. 32. a. De tweede wet van Newton zegt a=F/m, dus bij dezelfde F krijg je een grote versnelling als m klein is. (Een lichte sportauto komt sneller op gang dan een vrachtwagen, ook als de motoren dezelfde kracht leveren.) b. De orde van grootte is vergelijkbaar. c. De ladingen zijn vergelijkbaar, de afstanden ook, dus de krachten zijn ook vergelijkbaar. d. De krachten zijn vergelijkbaar, het elektron is lichter dan het atoom, dus het elektron zal sneller bewegen dan het atoom. e. C. De definitie van C is C=F/u, met u de uitwijking. Als de krachten F vergelijkbaar zijn, en de afmetingen ook, dan zijn de C’s vergelijkbaar. (Dit leidt ertoe dat de T kleiner is voor kleinere m, weer een snellere beweging voor de kleinere massa, net als de conclusie bij vraag d. ) f. De kracht tussen kerndeeltjes heeft een heel andere oorsprong, dat is de sterke kernkracht. Die is veel sterker dan de elektrische kracht. De afstanden zijn ook niet vergelijkbaar, maar veel kleiner. Zowel bij de redenering waarbij je a=F/m beschouwt als bij de redenering waarbij je T=2π√(m/C) beschouwt, kun je niet alleen maar een andere m invullen, de rest verandert ook. 33. a. Een kern is zo’n tienduizend keer zo klein als een atoom. Met λ=h/mv vind je v=h/λm, en om een idee te krijgen van de kinetische energie neem je E= 1/2·m·v2=h2/(2λ2m). De massa van de deeltjes in de kern is weliswaar groter dan de massa van een elektron, zo’n 2000 keer zo groot, maar de golflengte moet 10000 keer zo klein zijn om in de kern te passen, en de golflengte λ staat in het kwadraat. E is dus zo’n 50.000 keer zo groot voor een kerndeeltje als voor een elektron. Dit is geen precieze berekening, maar je ziet dat de energieën van kerndeeltjes in een kern veel groter zijn dan de energieën van elektronen in een atoom. Dat de snelheden omgekeerd evenredig zijn aan de afmetingen, zie je ook aan Δx·Δv=h/(2πm), waaruit volgt Δv= h/(2πmΔx). b. Atomen zenden zichtbaar licht uit, kernen gammastraling. De energie van gammafotonen is veel groter dan de energie van fotonen van zichtbaar licht. Onderzoeksopdracht blz 40 a. Voor n=1 is de uitkomst -2,18·10-18 J. (Dit komt overeen met de ionisatitie-energie van waterstof van 13,6 eV). Voor n=2 is de uitkomst -0,54·10-18 J. Een minder negatief getal, deze energie ligt dus hoger. Net als bij de doos is n=1 het laagste energieniveau. b. De factor -2,18·10-18 J is steeds hetzelfde. Voor het verschil tussen het eerste en het tweede niveau krijg je als factor (1-1/4)=0,75, dus het verschil is 0,75 maal -2,18·10-18 J , dat is 1,6·10-18 J. De factor 1/n2 zorgt dat het verschil tussen het tweede en het derde niveau een factor (1/4-1/9)=5/36=0.14 krijgt, het energieverschil is dus 0,30·10-18 J. Voor de overgang van drie naar vier krijg je (1/9-1/16)=0,049. Het energieverschil is 0,11·10-18 J. Hoe verder je gaat, hoe dichter de opeenvolgende niveaus op elkaar zitten. c. Dat staat al bij vraag b, dat is 1,6·10-18 J. d. Een foton met deze energie komt overeen met een frequentie van f=E/h=2,47·1015 Hz, en dat geeft een golflengte van λ=c/f=121 nm, dat komt overeen met de grootste golflengte in de Lymanreeks (zie tabel 21 BINAS). e. Die wordt groter, maar de verschillen worden steeds kleiner. 34. a. Gegeven is dat er een röntgenfoton vrijkomt. Dat is dus een foton met een hoge energie. Je krijgt de grootste energie als een elektron kan terugvallen naar het laagste niveau in figuur 4.19, alle andere energieverschillen zijn kleiner. Zo weet je dat dit elektron in de laagste toestand het elektron is dat wordt weggeslagen door het alfadeeltje. b. Als het element een hoger atoomnummer heeft, is de kern sterker positief geladen. De put wordt dan smaller en het laagste niveau ligt dieper. Je krijgt dan röntgenstraling met een hogere frequentie. (Algemener gezegd: de precieze vorm en diepte van de put is verschillend per element, de precieze ligging van de energieniveaus dus ook. Het patroon is wel ongeveer gelijk, maar de precieze waarden zijn karakteristiek voor een bepaald element.) 35. a. Er wordt gesproken over elektronen die “in een toestand zitten” en “terugvallen” naar een lager gelegen toestand. Het is dus van belang dat dit niet geleidelijk gaat, maar met een sprong. Ook voor populatie-inversie is van belang hoe elektronen van de ene naar de andere toestand kunnen gaan, dat dit niet continu gaat, maar in stapjes. b. Bij het terugvallen ontstaat een foton, dit foton zorgt dat ook een ander elektron terugvalt. Het gaat niet om willekeurige hoeveelheden energie die zorgen voor gestimuleerde emissie, maar om afgepaste pakketjes energie. c. Je kunt de energieverschillen tussen niveaus veranderen. Dan hebben de fotonen die vrijkomen een andere energie. Via E=h·f zie je dat dit overeenkomt met een andere frequentie, en dus een andere kleur licht. 36. a. Elk deeltje krijgt een bepaalde energie. Als de deeltjes een grote massa per stuk hebben, zijn er relatief weinig deeltjes in een kilogram. Je hoeft dus aan een kilogram in dit geval relatief weinig energie toe te voeren om hem een graad in temperatuur te doen stijgen. b. Aluminium, massagetal 27, heeft soortelijke warmte 0,88·103 J/(kg K). IJzer, massagetal 56 heeft soortelijke warmte 0,46·103 J/(kg K). Goud, massagetal 197 heeft soortelijke warmte 0,13·103 J/(kg K). Als je een grafiek maakt van de soortelijke warmte als functie van het massagetal N, dan krijg je en dalende lijn, die lijkt op de functie 1/N. c Bij lage temperatuur ga je merken dat quantumdeeltjes niet elke mogelijke energie kunnen hebben, maar dat slechts enkele energiewaarden zijn toegestaan. Bij lage temperatuur kun je maar weinig energie overdragen aan de stof, omdat de deeltjes geen toestanden hebben om naartoe te gaan. Per graad temperatuurstijging kun je dus maar weinig energie kwijt aan de stof, de soortelijke warmte wordt heel laag. 37. a. De energie van de geabsorbeerde fotonen is gelijk aan E=hf=hc/λ= 6,6·10-34·3,0·108/5,5·10-7=3,6·10-19 J. Het energieverschil tussen de grondtoestand en de eerste aangeslagen toestand is gelijk aan 4h2/(8ma2) - h2/(8ma2)= 3h2/(8ma2). In 3h2/(8ma2)=3,6·10-19 haal je a2 naar de andere kant, je krijgt a2=3·(6,6·10-34)2/(3,6·10-19 ·8·9,1·10-31)=5,0·10-19. De afmeting a is de wortel hieruit, a =7·10-10 m. Opmerking: Dit antwoord is betrouwbaar wat betreft de orde van grootte, dit kan best de afmeting van een molecuul zijn, of van het deel waar een elektron vrij kan bewegen. Maar ons model is beperkt: het principe klopt wel, maar we weten niet of het echt gaat om de overgang van de grondtoestand naar de eerste aangeslagen toestand. Dus de exacte getalwaarde kunnen we niet weten. Dit heeft geen gevolgen voor de rest van de opgave… b. Alle energieën zijn evenredig met 1/a2, alle energieverschillen dus ook. Vanwege het kwadraat geeft een twee keer zo kleine a een vier keer zo grote energie. c. Een vier keer zo grote energie voor het geabsorbeerde foton betekent dat het om UV gaat. Er wordt geen zichtbaar licht meer geabsorbeerd, dus alles wordt weerkaatst, en je ziet wit licht weerkaatsen. 38. a. In beide gevallen heb je te maken met één elektron met een kern. In het heliumion is die kern sterker geladen dan in het waterstofatoom, maar het systeem zit ongeveer hetzelfde in elkaar. b. Li2+. Ook daar gaat het om een kern met één elektron. In Li+ zijn er twee elektronen, wat zorgt dat de situatie een beetje meer verschillend is van een waterstofatoom. 39. a. In de figuur hieronder staat horizontaal het atoomnummer en verticaal de atoomstraal in picometer. Als je binnen een rij naar rechts gaat, wordt het atoom kleiner. Dat komt doordat het nummer van het hoogst bezette energieniveau hetzelfde blijft, en de kern sterker geladen wordt. Daardoor is een heliumatoom kleiner dan een waterstofatoom. b. Als je naar een volgende rij gaat, moet er een begin gemaakt worden met een nieuw energieniveau. Dat is een toestand waarbij het elektron gemiddeld ver van de kern zit. 250 straal (pm) 200 150 100 50 atoomnummer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 40. Je ziet niets dat lijkt op ellipsbanen waar het elektron zich gemiddeld bevindt. Het is niet zo dat de toestand lijkt op een klassieke baan. Het is eerder zo dat je in elke toestand bepaalde posities ziet waar een grote kans is het elektron aan te treffen, net zoals in een gitaarsnaar er posities zijn waar de amplitude van de golf het grootst is (in de grondtoestand van een snaar is dat in het midden, in de eerste aangeslagen toestand op ¼ van de lengte, aan beide kanten.). Uitspraak II is dus waar, I niet. 41. Ionisatie kost 5,14 eV bij natrium (tabel 22), de uittree-energie van natrium is 2,28 eV (tabel 24), minder dus. Voor magnesium zijn de getallen 7,65 eV respectievelijk 3,70 eV. De uittree-energie uit een metaal is structureel kleiner dan de ionisatie-energie van het losse atoom. De verklaring is dat de lijn in het spectrum van het atoom breder wordt, in de band die ontstaat zitten toestanden die een lagere energie hebben dan de oorspronkelijke lijn, maar ook toestanden met juist een hogere energie. Vanaf de bovenkant van de band is er een kleinere energie nodig om het elektron helemaal vrij te maken dan vanaf de lijn in het atoomspectrum, die een energiewaarde heeft ergens midden in de band. 42. a. Doordat het een band is, en doordat die halfgevuld is, kan geen enkel foton ongestoord door het metaal heen gaan: Boven de gevulde niveaus zijn toestanden beschikbaar met elke mogelijke energie. Elke hoeveelheid energie kan door een elektron worden opgenomen. Elk mogelijk foton kan worden geabsorbeerd. (Als dat het enige zou zijn, zou een metaal dof en zwart zijn, de fotonen worden ook weer teruggestraald, als de elektronen terugvallen. Punt is dat de fotonen niet ongestoord er doorheen kunnen, zoals het geval zou zijn als er geen beschikbare toestanden waren). b. Als er een band is waar heel veel elektronen in zitten, dan zijn het die elektronen die veel beschikbaar zijn om fotonen op te nemen. Dit bepaalt de verschillen in kleur tussen koper, goud, zilver en de andere metalen. Glimmend zijn ze allemaal (als er geen roestlaagje op zit), maar de kleur verschilt. 43. Er wordt gezorgd dat een aantal elektronen verdwijnt uit de lage, gevulde band. Als ze vanuit de hogere band terugvallen naar de lege plaatsen in de lage band, ontstaat per terugvallend elektron een foton. 44. a. De golflengte is kleiner. De putjes die de informatie bevatten, kunnen dus kleiner zijn, en dichter op elkaar zitten. Per oppervlakte kunnen meer bytes worden opgeslagen dan bij een DVD, die met rood licht werkt. (In principe geeft een twee keer zo kleine golflengte een vier keer zo grote opslagcapaciteit, omdat het om de oppervlakte gaat, niet om de afmeting in één richting). b. De fotonen ontstaan bij het vallen vanuit elektronen uit de hoge band naar de lage band. Bij een blauwe halfgeleiderlaser gaat het om fotonen met meer energie (E=hf=hc/λ, waarbij λ kleiner is bij blauw licht). De afstand tussen de banden is dus groot. c. Rond 1996 waren er doorbraken op dit gebied. Het ontwikkelen van halfgeleidend materiaal met een grote kloof maakte niet alleen de blauwe halfgeleiderlaser mogelijk, maar ook de blauwe LED. Door het combineren van kleuren, kon toen voor het eerst ook wit LED-licht worden gemaakt. 45. Lasers zijn gebaseerd op een quantumeffect. Lasers worden vrij veel geproduceerd en verkocht: voor medische toepassingen, voor het doen van precisiemetingen, en in bijvoorbeeld DVD-spelers. Nog belangrijker is dat halfgeleiders worden toegepast in elke chip, en dus in elke computer, maar ook in elke wasmachine, elke radio, elke telefoon, camera, eigenlijk elk elektronisch apparaat. Omdat het bestaan van banden, en dus de eigenschappen van halfgeleiders, helemaal worden bepaald door het uitsluitingsprincipe van Pauli, zijn dit allemaal toepassingen van quantumeffecten. Hoofdstuk 5 46. a. P=U·I, vul in P=2·103W en U=230 V. Dan volgt I=P/U=8,7 A. b. De stroomsterkte is gelijk aan de lading die per tijd passeert: I=Q/t. Hier moet 9 ampère uitkomen, door een doorsnede van een draad passeert dus 9 coulomb per seconde. Omdat de lading van één elektron gelijk is aan 1,6·10-19 C, zijn dit 6·1019 elektronen. Dat is 60000000000000000000 stuks, 60 miljard maal een miljard elektronen. c. Neem een golflengte van 600 nm, dan is de frequentie gelijk aan f=c/λ= 5·1014 Hz, en de energie van het foton is E=h·f=3,3·10-19 J. (Je kunt ook meteen uitgaan van “zichtbaar licht komt overeen met enkele elektronvolts, en een elektronvolt is gelijk aan 1,6·10-19 J.) De 3 joules die per seconde in totaal worden uitgezonden, komen dus overeen met 1019 fotonen. 47. a. λ=h/mv. De massa van de maan is gelijk aan 7,35·1022 kg. De snelheid is gelijk aan de lengte van de omloopbaan gedeeld door de omlooptijd. De straal van de baan is gelijk aan 3,844·108 m. De omtrek is 2,4·109 m. De omlooptijd is 27,32 dagen, dat is 2,4·106 s. De snelheid is dus 1·103 m/s. Als je alles invult, krijg je voor de golflengte 9·10-60 m. b. Dat moet je vergelijken met de afmeting van de baan van de maan, dus met de orde van grootte van 108 m. Uiteraard is de de broglie-golflengte onmerkbaar klein. c. Als de omlooptijd een maand is, dus 2,4·106 s, dan is f=1/T= 4·10-5 Hz. De energie is gelijk aan hf, dat wordt 3·10-39 J. Dezelfde orde van grootte als in de tekst wordt gevonden voor een energie van niveau n naar n+1, voor een aangeslagen toestand die zo hoog is dat de maan op de plaats van de maan is. 48. a. Maak een schatting van de massa van de baby: 6 kg, en voor de maximale hoogte ten opzichte van het laagste punt: 30 cm=0,30 m. Vul dit in in mgh, dan krijg je 18 J. b.ΔE=hf, en f=1/T. De trillingstijd vind je met de gegeven formule en een geschatte lengte van het touw van de schommel: 1,5 m. Dan vind je een trillingstijd van 2,5 s, een frequentie van 0,4 Hz, en een energiesprong van 2,6·10-34 J. c De energiesprongen zijn steeds even groot, we moeten hier de totale energie delen door de energiesprong. De orde van grootte is: de 1035 toestand. d. x3 (lengte maal breedte maal hoogte, als alles 10 keer zo klein wordt, dus x=0,1, dan is de massa 0,001 keer zo groot) e. x f. x4 (een factor x3 vanwege m, een factor x vanwege h). g.1/√x=x-0,5 (de lengte neemt af met factor x, de trillingstijd is evenredig met de wortel uit de lengte, de frequentie met 1/T. Als alles 10 keer zo klein wordt, dan wordt de trillingstijd ongeveer 3,16 keer zo klein en de frequentie 3,16 keer zo groot). h. 1/√x=x-0,5 i. Het aantal is gelijk aan de totale energie gedeeld door de energie van een sprong. De totale energie neemt af met een factor x4. De sprongen worden groter, met een factor x-0,5. Het aantal sprongen is x4/x-0,5=x4,5 keer zo klein. Als x =0,1, dan is het aantal sprongen 31600 keer zo klein. j. In plaats van 1035 sprongen, moeten het er nu 100 zijn. Dat is 1033 keer zo weinig. Als geldt dat x4,5=10-33, dan moet x ergens tussen 10-7 en 10-8 zitten. Je hebt het dan over enkele tientallen nanometers. 49. a.-0,0017 bij n=10; -0,0000019 bij n=100, gewoon invullen. Het wordt snel kleiner. b. De n2 ‘s in de teller vallen weg. c. -2n/n4=-2/n3. d. 1000 e. n=(1068)-3=10-204. f. De afgeleide functie is -2/x3 (dit vind je met de regel dat de afgeleide van xm gelijk is aan mxm-1, met hier m=-2). De vorm is precies hetzelfde als bij vraag c. 50. a. Dit kan pas bestaan als de ruimte tussen de atomen groter is dan de genoemde straal. Anders kun je helemaal niet meer zeggen dat het elektron bij dat bepaalde atoom hoort. b. Dit is hetzelfde argument als bij vraag 49: het verschil tussen 1/n2 en 1/(n+1)2 is gelijk aan 2/n3, dat wordt heel klein. c. Op een gegeven moment is het niet meer waar dat de de broglie-golflengte groter is dan het systeem en dat het elektron moet worden beschouwd als een golf die zich uitspreidt over het hele atoom. Op een gegeven moment is het elektron een deeltje in een baan, met wel wat onbepaaldheid in de positie, een onbepaaldheid die klein is ten opzichte van het systeem, een procent van de straal of zo. De de brogliegolflengteis dan nog maar een klein deel van de totale afmeting van het systeem. d. λ=h/(mv) moet groot zijn, dus v klein, dus de temperatuur laag. 51. De energiesprongen zijn gelijk aan hf. Als de constante van Plank groter zou worden, zouden de sprongen groter en dus beter merkbaar zijn. Uitwerking voorbeeld-toetsopgave a De STM. b Quantumtunneling zou een extra proces zijn, een extra mogelijkheid om van de ene naar de andere positie te komen. Het zou de reactie versnellen. Men overweegt of dit een rol speelt, kennelijk gaat het proces sneller dan de klassieke theorie voorspelt, anders zou het niet nuttig zijn naar deze mogelijkheid te kijken. c Je kunt de temperatuur verhogen. Dit heeft geen invloed op quantumtunneling. Als dat proces de belangrijkste rol speelt, zal de reactiesnelheid niet veranderen. Op thermische fluctuaties heeft het verhogen van de temperatuur wel invloed. Die worden dan sterker en het proces gaat sneller. Als dat gebeurt, weet je dat het toch thermische fluctuaties zijn die de belangrijkste rol spelen. d De onbepaaldheidsrelatie zegt dat het niet mogelijk is met snelheid nul (dus kinetische energie nul) op één bepaalde posite (het midden van de put, met de laagste energie) te liggen. e λ=h/p, de constante van Planck ligt vast, de waarde van λ wordt bepaald door de breedte van de doos (λ=2L) en is dus ook voor alle isotopen hetzelfde. De impuls p=h/λ is dan ook voor alle isotopen hetzelfde. (Het kan ook met de onbepaaldheidsrelatie: Δx ligt vast, dat is de breedte van de doos. Het product van Δx en Δp is constant. De waarde Δp, die aangeeft hoe klein de gemiddelde impuls kan zijn, wordt gegeven door Δp=h/(4π Δx). Omdat Δx voor alle isotopen hetzelfde is, is Δp dat ook.) f Manier 1: Ekin=p2/2m, omdat p voor alle isotopen gelijk is, is de kinetische energie evenredig met 1/m. Omdat voor massa 1 de waarde van de energie is gegeven, is de waarde van de andere twee energieën bekend: 2,5·10-20 J respectievelijk 1,7·10-20 J . Manier 2: Met Ekin=1/2 m v2 , de gegeven energie en de massa eerst de snelheid van de 1Hkern uitrekenen. Dan de impuls uitrekenen. Dan, gegeven die impuls die voor alle isotopen hetzelfde is, de snelheid van 2H uitrekenen, en dan met Ekin=1/2 m v2 de energie. Zo ook voor 3H. g De barrière is het hoogst voor het zwaarste isotoop, omdat dat zich het diepst in de put bevindt. Dit heeft invloed op de thermische fluctuaties: die zorgen minder vaak dat zo’n kern boven de barrière uitkomt. Dit heeft ook invloed op de tunneling: hiervoor is van belang dat de barrière zowel hoger als breder is. h Beide processen gaan het langzaamst voor het zwaarste isotoop. i Je kunt op twee manieren zien dat het verschil tussen de isotopen het grootst is bij de tunneling. De eerste manier is op te merken dat zowel de hoogte als de breedte ongunstiger wordt, bij thermische fluctuaties is alleen de hoogte van belang. De andere manier is opmerken dat in figuur 3 het golfje van T zich helemaal niet uitstrekt tot de positie van punt B, zodat tunneling niet zal optreden. Toetsopgaven Er zijn enkele korte opgaven en één uitgebreide opgave (0pgave 4 hieronder). De laatste is van het niveau van de voorbeeld-toetsopgave uit de module. Verder geef ik aan welke opgaven uit het Project Moderne Natuurkunde geschikt zijn bij deze module. De schoolexamens van dit project zijn te vinden op www.phys.uu.nl/~wwwpmn/toetsen De examens van PMN staan op www.nvon.nl/natuurkunde/examens/examens_vwo_na Veel van deze opgaven gaan over stof die niet in de module voorkomt. Het volgens lijstje omvat de opgaven die volgens mij het meest geschikt zijn als toetsing bij Quantumwereld. Schoolexamen: 2002 se1 opgave 2 Koolstofnanobuisje Vanaf 2005 se1 enkele meerkeuzevragen 2007 se1 opgave 2 Atomaire clusters, onderdeel 5 2009 se2 opgave 2 De ultrasnelle elektronenmicroscoop onderdelen 6,7,8 Examen 2007 eerste tijdvak opgave 2 onderdelen 4 en 5 2008 eerste tijdvak opgave 6 Elektronen tussen nanodraden 1. Experimenten a Noem een experiment waarin je kunt zien dat elektronen zich in sommige opzichten als deeltjes gedragen. b Noem een experiment waarmee je kunt aantonen dat elektronen zich in sommige opzichten als golven gedragen. c Noem een experiment waarin je kunt zien dat licht zich in sommige opzichten als een stroom deeltjes gedraagt. d Noem een experiment waarmee je kunt aantonen dat licht zich in sommige opzichten als een stroom golfjes gedraagt. 2. Ordes van grootte Een proton dat een potentiaalverschil van enkele honderden kilovolts doorloopt, heeft daarna een kinetische energie in de orde van grootte van 10-16 J. a Laat dit met een berekening zien. b Bereken de orde van grootte van de de broglie-golflengte van dit proton. c Leg met een berekening uit dat hier geen quantumverschijnselen te verwachten zijn. 3. Interferentie aantonen Zowel radiostraling als ultraviolette straling bestaat uit elektromagnetische golven. Beide kunnen interferentieverschijnselen vertonen. Dat kun je in principe aantonen met behulp van een experiment waarin je straling afstuurt op een obstakel met twee spleten. a Leg zo precies mogelijk uit wat je op een scherm achter de spleten moet zien om zeker te weten dat de straling uit golven bestaat. b Leg uit voor welk van de twee soorten straling het het moeilijkst is om dit experiment te doen. 4. Tijdmeting met behulp van tunneling Voor nauwkeurige tijdmeting heb je iets nodig dat snel en constant trilt. Rond 1960 ging men trillingen binnen moleculen en atomen gebruiken. Ammoniakmoleculen blijken een trilling te hebben met frequentie 23,79 GHz. Bij deze trilling speelt quantumtunneling een rol. a) Noem een ander voorbeeld van een apparaat of een proces waarbij quantumtunneling plaatsvindt van een veel zwaarder deeltje dan een elektron. In figuur 1 zie je een ammoniakmolecuul. Het N-atoom is de top van de piramide. De afmetingen staan erbij, een picometer is 10-12 m. Het N-atoom heeft een evenwichtspositie die overeenkomt met het minimum van de linkerput in figuur 2. Er is nog een minimum, want het is duidelijk dat als je de piramide op zijn kop houdt alle onderlinge afstanden gelijk zijn, zodat die toestand wel dezelfde energie moet hebben. Dit zie je in figuur 2: er zijn twee even diepe putten met een barrière ertussen. De x in figuur 2 geeft de afstand aan van het N-atoom tot het horizontale vlak van de H-atomen. Figuur 1 E Figuur 2 x Je zou kunnen denken dat de frequentie van 23,79 GHz overeenkomt met een overgang van het stikstofatoom binnen dezelfde put, van de grondtoestand naar de eerste aangeslagen toestand. b) Laat met een berekening zien dat de energie van zo’n overgang niet klopt met de energie van een foton met frequentie 23,97 GHz. Bereken daarvoor de orde van grootte van de energieniveaus van een stikstofatoom in een eendimensionale doos met breedte 1·10 -10 m. De karakteristieke frequentie 23,97 GHz heeft te maken met het heen-en-weertunnelen van het stikstofatoom tussen de twee kanten van de piramide. c) Leg uit hoe je, door het veranderen van een bepaalde grootheid, in een experiment kunt onderscheiden of het gaat om quantumtunneling door de barrière heen, of om het door thermische fluctuaties over de barrière gaan van het N-atoom. In figuur 3 zie je een molecuul van fosfine, dat sterk lijkt op een ammoniakmolecuul. Zou het P-atoom met een hogere of met een lagere frequentie heen-en-weertunnelen tussen de positie boven het vlak van de H’s en de positie eronder? De tunnelsnelheid hangt af van drie grootheden. d) Geef van elk van deze drie grootheden aan of de waarde bij fosfine groter is dan bij ammoniak, of kleiner, of hetzelfde, of dat je dat niet kunt weten. Geef in alle gevallen ook aan wat de invloed van de grootheid is op de tunnelsnelheid. Figuur 3 Uitwerking opgave 4 a α-straling b De energie van de grondtoestand wordt gegeven door E=h2/(8ma2). Een stikstofatoom heeft 14 kerndeeltjes, de massa is dus 2,3·10-26 kg. De energie is 2,3·10-22 J. De energie van de eerste aangeslagen toestand is 4 keer zo groot. Het energieverschil is 3 keer zo groot. De energie die overeenkomt met een overgang van een stikstofatoom binnen zijn put, zou ongeveer 7·10-22 J bedragen. Een foton dat hoort bij een frequentie van 23,97 GHz zou een energie vertegenwoordigen van E=hf=6,6·10-34·23,97·109=1,6·10-23 J. Dit is een 40 keer zo kleine energie als de energie die bij een overgang binnen de put hoort. Dat is dus niet het proces waar het om gaat. c Je kunt de temperatuur verhogen. Als het om thermische fluctuaties gaat, zal het proces dan sneller gaan, als het om tunneling gaat zal het tempo onveranderd blijven. d De massa van P is groter dan de massa van N. Tunneling van P gaat trager dan tunneling van N. 1,42 A is een grotere afstand dan 101,7 pm (namelijk 142 pm), bovendien is de hoek kleiner: al met al is de afstand die P zou moeten tunnelen in fosfine groter dan de afstand die N moet tunnelen in ammoniak. Dit komt overeen met een bredere barrière, wat het tunnelen trager maakt voor fosfine. Een hogere barrière maakt het tunnelen ook trager, maar hier weten we niet of er wat dit betreft een verschil is tussen fosfine en ammoniak.
