Oefeningenbundel Sterstructuur en -evolutie

Oefeningenbundel
Sterstructuur en -evolutie
Joris De Ridder
K.U.Leuven – 2005
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
1
2
De eerste stermodellen
De moderne astrofysica werd geboren in het begin van de 20ste eeuw. Computers waren toen lang nog niet
uitgevonden, en de pioniers van de astrofysica hadden bijgevolg enkel pen en papier ter beschikking om eenvoudige stermodellen uit te rekenen. Treed in hun voetsporen, en bereken de volgende stermodellen!
1. Het eerste model is een sferisch stermodel met massa M en straal R in hydrostatisch evenwicht met een
uniforme massadichtheid. Leid uitdrukkingen af voor
(a) de hoeveelheid massa m(r) binnen een straal r,
(b) de straal r(m) van een denkbeeldige bol met massa m,
(c) de druk P ,
(d) de gravitatiepotentiaal Φ,
(e) de graviteit g(r) in functie van de radiale coördinaat r.
2. Het tweede model is ook een sferisch stermodel met massa M en straal R in hydrostatisch evenwicht
en bestaat bovendien uit een ideaal gas. Veronderstel dat de massadichtheid lineair afneemt van ρc in de
kern, tot nul aan het oppervlak, m.a.w. ρ(r = 0) = ρc , ρ(r = R) = 0. Leid uitdrukkingen af voor
(a) de dichtheid ρ,
(b) de massa binnen een straal r: m(r),
(c) de druk P ,
(d) de temperatuur T in functie van de relatieve straal x ≡ r/R.
Elimineer in je resultaten steeds de centrale druk P (r = 0), de centrale gravitatiepotentiaal Φ(r = 0), en de
centrale dichtheid ρ(r = 0) met behulp van de massa M en de straal R.
2
Te onthouden getalwaarden
Het is bijzonder nuttig om wat voeling te hebben voor typische getalwaarden die in de astrofysica voorkomen.
1. Bereken daarom van de zon
(a) de graviteit aan het oppervlak
(b) de gemiddelde dichtheid
(c) een schatting van de centrale druk
(d) een afschatting voor de centrale temperatuur in de benadering van een ideaal gas.
2. Bereken vervolgens de hydrostatische tijdschaal voor
(a) de zon,
(b) een rode reus van 1 zonsmassa (R ≈ 100R ),
(c) een witte dwerg van 1 zonsmassa (R ≈ 0.02R ),
3. Bepaal vervolgens de Kelvin-Helmholtz tijdschaal voor
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
3
(a) de zon,
(b) een M5 hoofdreeksster (typisch: M = 0.21M , R = 0.33R , L = 0.011L ),
(c) een O8 hoofdreeksster (typisch: M = 23M , R = 11R , L = 170000L ),
4. Bereken tenslotte de nucleaire tijdschaal voor waterstofverbranding in de veronderstelling dat 10% van
de massa als brandstof kan dienen, voor dezelfde sterren als in de vorige opgave.
3 De zon is in evenwicht
De zon is in hydrostatisch en thermisch evenwicht. Maar wat zou er gebeuren moest dit niet zo zijn?
1. Veronderstel dat de inwendige drukkracht in de zon slechts 99% van de gravitatiekracht zou bedragen.
Hoeveel zou de straal van de zon veranderd zijn na b.v. 1 uur?
2. Als een ster in thermisch evenwicht is, wordt in elke laag evenveel energie aangevoerd als afgevoerd.
Veronderstel nu dat dit niet zo zou zijn voor de fotosfeer van de zon (dit is de laag van de zon waarvan
we fotonen ontvangen), en dat er helemaal geen energie van het sterinwendige zou aangevoerd worden.
Hoe snel zou de thermische energie-inhoud van de fotosfeer weggestraald worden? Zouden we dit snel
merken? Gebruik in je berekeningen dat de fotosfeer ongeveer 100 km dik is, een gemiddelde temperatuur van 6000 K heeft, en een druk heeft van ongeveer 105 dyn/cm2 , wat overigens slechts ± 10% is
van de luchtdruk op aarde.
4
Massaverlies van de zon
De zonnewind stroomt vanuit de zon in alle richtingen, en bestaat voornamelijk uit protonen (de massabijdrage
van de electronen is verwaarloosbaar). Op 1 AU wordt een windsnelheid van 400 km/s, een een dichtheid van
7 protonen per cm3 gemeten. Veronderstel sferische symmetrie en gebruik de continuı̈teitsvergelijking om het
totale massaverlies per seconde te berekenen.
5
De gravitationele energie van een ster
Het begrip “gravitationele energie van een ster” komt dikwijls voor in de cursus. Wat dit begrip precies betekent,
wordt door de volgende oefening duidelijk gemaakt. Beschouw een bolvormige ster, en verdeel deze denkbeelding in concentrische lagen.
1. Wat is de infinitesimale arbeid dA die moet geleverd worden om de buitenste massalaag dm buitenwaarts
te verplaatsen over een afstand dr?
2. Gebruik het vorige resultaat om de arbeid te berekenen die nodig is om laag na laag naar oneindig te
verwijderen. Toon hiermee aan dat de totale gravitationele energie Eg van een bolvormige ster gegeven
wordt door:
Z
G m(r)
Eg = −
dm(r)
r
M
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
6
4
Een speelgoedmodel van een ster
Een ster wordt soms vergeleken met een piston. Het gas van de ster wordt dan voorgesteld door een ideaal gas
in een cilinder met druk P , uniforme dichtheid ρ, tempteratuur T en massa m. De zware zuiger met massa
M m perst het gas samen tot het gas voldoende tegendruk uitoefent om het gewicht van de zuiger te torsen,
gelijkaardig zoals ook een ster haar eigen gewicht moet torsen om in hydrostatisch evenwicht te blijven. De
hoogte van de zuiger boven de bodem van de cilinder noteren we met h. We noteren ook de oppervlakte
A = π (d/2)2 en het volume van het gas V = A h.
1. Stel de bewegingsvergelijking van de zuiger op, d.w.z. zoek een uitdrukking voor de versnelling d2 h/dt2
van de zuiger. Veronderstel hierbij een constante graviteit g. Wanneer zijn het gas en de zuiger in
hydrostatisch evenwicht?
2. Leid een uitdrukking af voor de tijdschaal van vrije val van de zuiger.
3. Bereken de gravitationele energie Eg van de zuiger en de inwendige energie Ei van het gas. Leid hiermee de viriaalvergelijking (een relatie tussen Eg en Ei ) van het pistonmodel af. Koelt het gas af of
warmt het op, wanneer de potentiële energie van de zuiger afneemt? Wat is de vergelijking met sterren?
Bonusopgave: veronderstel nu dat de graviteit g afhangt van de hoogte h: ∇h ≡ d ln g/d ln h 6= 0, en
doe de berekening opnieuw. Wanneer is er een gelijkenis met sterren?
M
h
P,T,ρ,m
d
7 De druk-schaalhoogte
De druk in een ster is het grootst in de kern en daalt tot bijna nul aan het oppervlak. Hoe snel die druk wegvalt,
wordt uitgedrukt met de druk-schaalhoogte Hp , welke ruwweg de afstand is waarover de druk afneemt met
een factor 1/e ≈ 0.37. In de volgende opgave wordt er gevraagd deze druk-schaalhoogte te berekenen in een
hydrostatische isotherme atmosfeer bestaande uit een ideaal gas.
1. Toon aan dat de druk en de dichtheid exponentieel afnemen in functie van de hoogte h:
P = P0 e−h/Hp ,
ρ = ρ0 e−h/Hp .
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
5
Veronderstel hierbij dat de graviteit constant is in de atmosfeer. Wanneer is dit een redelijke veronderstelling?
2. Benader de atmosfeer van de zon als een isotherme atmosfeer met een temperatuur T ≈ 6000 K, bestaande
uit een ideaal gas met chemische samenstelling 70% H, 28% He, en schat de druk-schaalhoogte Hp .
3. Maak dezelfde berekening voor de aardatmosfeer: T ≈ 300 K, chemische samenstelling: 78% N2 , 21%
O2 .
8
Polytropen
Polytropen zijn de oudste niet-triviale stermodellen. Hoewel er vandaag veel geavanceerdere stermodellen
bestaan, worden polytropen toch nog vrij dikwijls gebruikt omdat ze veel eenvoudiger te berekenen zijn. Bij een
polytroop wordt een relatie P = Kρ1+1/n tussen druk en dichtheid vooropgesteld, en men leidt vervolgens af
dat het dichtheidsverloop w(z) = ρ(z)/ρc in functie van de (herschaalde) afstand z tot het centrum beschreven
wordt door de zogenaamde Lane-Emden vergelijking:
1 d
dw
z2
z 2 dz
dz
+ wn = 0
1. Los de Lane-Emden vergelijking op voor n = 0. Met wat voor soort ster komt dit overeen? Wat is de
waarde van z aan het oppervlak?
2. Los de Lane-Emden vergelijking ook op voor n = 1. Is het dichtheidsverloop monotoon?
3. Stel dat de interne druk van een ster opgebouwd wordt door gasdruk en stralingsdruk: P = Pgas + Prad
waarbij β ≡ Pgas /P constant is in heel de ster. Toon aan dat de ster dan kan beschreven worden door
een polytroop, en bepaal de constanten K en n.
9
De lange reis van een foton
In de zon is de gemiddelde vrije weglengte l van een foton van de orde van 1 cm. Als je de tijd tussen absorptie
en emissie negeert, hoelang duurt het dan vooraleer een pakketje energie zich naar het oppervlak heeft gewerkt?
(Hint: herinner uit de theorie van de Brownse beweging √
dat een willekeurig zigzaggend deeltje (met stapjes
van lengte l) na N stappen gemiddeld op een afstand d = N l van het vertrekpunt staat.)
10
De convectieve kern van een zware ster
In wat volgt beschouwen we een zware ster, en we veronderstellen dat deze bestaat uit een ideaal gas en zwartlichaamstraling.
1. Toon eerst aan dat
Ptot =
waarbij β ≡ Pgas /Ptot .
aT 4
3 (1 − β)
(1)
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
6
2. Beschouw vervolgens de convectieve kern met straal r0 . Leid een uitdrukking af voor de verhouding
van de massa van de convectieve kern tot de totale massa van de ster. Hiervoor kan je het criterium van
Schwarzschild in r = r0 gebruiken.
3. Neemt Mconv /M toe of af met stijgende M ?
11
De convectiezone van de zon
Het deel over convectie is duidelijk niet het gemakkelijkste deel van de cursus. Om wat meer voeling te krijgen
voor de formules kan de volgende oefening nuttig zijn. De volgende waarden zijn typisch voor de basis van de
convectiezone van de zon:
r ≈ 0.75R
m(r) ≈ M
`(r) = L
P = 3 · 1013 dyn cm−2
ρ = 0.1 g cm−3
T = 1.8 · 106 K
1. Bereken de convectieve flux Fconv .
2. Bereken de graviteit g, de druk-schaalhoogte Hp , het gemiddeld moleculair gewicht µ̄, de warmtecapaciteit cp , en schat de gradiënt ∇e .
3. Bereken het exces in gradiënt ∇ − ∇e .
4. Bereken de snelheid v waarmee een convectieve bel zich beweegt, en de verhouding v/vs waarbij vs de
lokale geluidssnelheid is.
5. Bereken de typische levensduur van een convectieve bel.
Veronderstel bij je berekeningen dat in de convectieve zone zo goed als alle energie door convectie wordt
getransporteerd, zodat je ` ≈ `conv mag stellen. Gebruik de toestandsfunctie van een ideaal gas, veronderstel
dat de beweging van de convectieve bellen adiabatisch gebeurt, en neem aan dat de mixing-length `m ≈ Hp .
12
Wanneer is welke druk belangrijk?
De druk in een ster die nodig is om haar eigen gewicht te torsen, kan op verschillende manieren opgebouwd
worden. Zo hebben we gasdruk, stralingsdruk, druk door niet-relativistische ontaarde electronen en druk door
relativistische ontaarde electronen. Om in te zien welke soort druk er van belang is, gegeven een dichtheid ρ en
een temperatuur T , is de volgende opgave bijzonder nuttig.
Teken een diagram met in abscis log ρ en in ordinaat log T , en teken hierin lijnen die gebieden scheiden
1. waar stralingsdruk belangrijk is enerzijds en waar gasdruk belangrijk is anderzijds.
2. waar ontaarding voor de elektronendruk niet belangrijk is enerzijds, en waar (niet-relativistische) ontaarding wel belangrijk is voor de elektronendruk anderzijds.
3. waar elektronendruk van niet-relativistische ontaarde elektronen belangrijk is enerzijds, en waar elektronendruk van relativistische ontaarde elektronen belangrijk is anderzijds.
De scheidingslijnen tussen twee gebieden kan je bekomen door te kijken waar twee soorten druk in kwestie aan
elkaar gelijk zijn. Gebruik steeds X ≈ 0.7 en Y ≈ 0.3 om de gemiddelde moleculaire gewichten te schatten.
Plaats ook de kern van de zon in één van deze gebieden.
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
13
7
PP of CNO?
Bereken de verhouding van de energieproductie door de pp-keten en de energieproductie door de CNO-keten
in het centrum van
1. de huidige zon (Tc = 1.58 · 107 K; X = 0.34; XCNO = 0.013 in het centrum)
2. Sirius A (M = 2M ; Tc = 2.0 · 107 K; X = 0.6; XCNO = 0.0075 in het centrum)
Overigens, waarom is de waterstoffractie in het centrum van Sirius bijna dubbel zo groot als de waterstoffractie
in het centrum van de zon?
14
Niet te stoppen
Neutrino’s die vrijkomen bij thermonucleaire reacties in sterren hebben een typische werkzame doorsnede van
σ = 10−44 cm2 . Wat is de gemiddelde weglengte l = (nσ)−1 dat zo’n neutrino aflegt doorheen vast Iridium
vooraleer te botsen? Hierbij is n het aantal atomen per cm3 . De relatieve atoommassa van Ir bedraagt 192.2,
en Ir is een metaal met één van de hoogst gekende dichtheden: ρIr = 22.54 g cm−3 .
15
Doorzeeft met neutrino’s
Gegeven is de volgende tabel i.v.m. de pp1-keten.
reactie
ν)H2
2
H (p,γ)He3
He3 (He3 ,2p)He4
H1 (p,β +
vrijkomende energie
1.44 Mev
5.49 Mev
12.85 Mev
gemiddelde reactietijd
14 · 109 j
6s
10 · 106 j
De eerste kolom geeft de reactie weer, de tweede de hoeveelheid energie die hierbij vrijkomt en de derde kolom
de gemiddelde reactietijd voor T = 3 · 107 K.
1. Hoeveel energie komt er vrij bij de vorming van 1 He42 deeltje?
2. In de “praktijk” zal nochtans slechts 26.1 Mev aan de lichtkracht bijdragen. Waar gaat de overige energie
naartoe?
3. Verwaarloos de bijdrage van de CNO-keten en de andere pp-ketens tot de lichtkracht van de zon, en
bereken hoeveel pp1 reacties per seconde in de zon plaatsgrijpen.
4. Hoeveel neutrino’s worden er per seconde door de pp1-reacties gevormd?
5. Hoeveel neutrino’s per cm2 en per seconde raken de aarde?
16
De CNO-keten
Gegeven is de volgende tabel i.v.m. de CNO-keten.
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
reactie
C12 (p,γ)N13
N13 (·,e+ ν)C13
C13 (p,γ)N14
N14 (p,γ)O15
O15 (·,e+ ν)N15
N15 (p,α)C12
vrijkomende energie
1.94 Mev
2.22 Mev
7.55 Mev
7.29 Mev
2.76 Mev
4.97 Mev
8
gemiddelde reactietijd
≈ 106 j
14 min
3 · 105 j
3 · 108 j
82 s
104 j
De gemiddelde reactietijden zijn voor T = 1.4 · 107 K, ρ ≈ 100 g cm−3 . Herinner dat de reactietijd τ van een
reactie X(a, b)Y dicteert hoe snel de abondantie [Y ] van het element Y verandert in de tijd:
d[Y ]
[X]
=
dt
τ
Deze uitdrukking is intuitief te begrijpen: hoe meer brandstof X aanwezig hoe sneller het element Y kan
aangemaakt worden, maar hoe trager de reactie hoe trager het element Y zal aangemaakt worden. Als Y nog
in andere reacties voorkomt, moet de bovenstaande uitdrukking natuurlijk navenant aangepast worden, door
termen toe te voegen al dan niet met een minteken.
1. Zoek een uitdrukking voor de mate waarin de abondantie van N14 verandert in de tijd tijdens de CNOcyclus, door na te gaan aan welk tempo N14 aangemaakt en vernietigd wordt.
2. Na verloop van tijd zal er een evenwichtssituatie ontstaan waarbij er evenveel N14 -deeltjes aangemaakt
als vernietigd zullen worden. Bepaal in deze evenwichtstoestand de abondantieverhouding [N14 ]/[C13 ].
3. Bepaal analoog de evenwichtsabondantieverhoudingen [C12 ]/[C13 ] en [N14 ]/[C12 ].
17
De kern van een zware ster
Aan het eind van haar hoofdreeksfase bestaat een 10 M ster in goede benadering uit een isotherme en
geı̈oniseerde kern van helium (HeIII), die in thermisch en hydrostatisch evenwicht is met een mantel van
geı̈oniseerd waterstof (HII). Bepaal de verhouding van de uitwendige dichtheid ρuit tot de inwendige dichtheid
ρin op het grensoppervlak tussen de kern en de mantel.
18
Juist of fout?
Ga na of de volgende uitdrukkingen juist of fout zijn.
1. In de thermonucleaire kern is de continuı̈teitsvergelijking, welke behoud van massa uitdrukt, niet geldig.
2. X = 0.70 en Y = 0.28, betekent dat 70% van alle atomen H-atomen zijn, 28% He-atomen zijn, en 2%
atomen zwaarder dan He zijn.
3. Een polytropisch stermodel is noodzakelijk in hydrostatisch evenwicht.
4. Het feit dat de dichtheid groter wordt naar het stercentrum toe, toont aan dat de zwaardere elementen in
de kern zitten.
5. De eenheid van gravitatiepotentiaal is Joule per gram: J/g.
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
19
9
To collapse or not to collapse
Of een gaswolk al dan niet ineenstort onder haar eigen gewicht en zo een protoster vormt, wordt bepaald door
het Jeans criterium. In de cursus werd dit criterium afgeleid m.b.v. storingstheorie. Eenzelfde criterium kan je
ook bekomen door het viriaaltheorema toe te passen.
1. Bereken van een sferische wolk met constante dichtheid ρ de totale gravitationele potentiële energie Eg
en de totale inwendige energie Ei .
2. Gebruik het viriaaltheorema om een minimummassa MJ te bepalen die nodig is om een spontane ineenstorting te veroorzaken. Druk MJ uit in functie van de temperatuur T en de dichtheid ρ van de wolk.
3. Welke van de volgende 2 wolken zal ineenstorten onder haar eigen gewicht?
(a) Een HI-wolk van 70 M met een temperatuur T = 50 K, en een deeltjesdichtheid n = 500 cm−3 .
(b) Een dichte kern van een H2 -wolk van 70 M , T = 150 K, en n = 108 cm−3 .
20
Een protostellaire wolk in vrije val
Gegeven is een bolvormige protostellaire wolk in vrije val. Veronderstel dat de wolk steeds warmte op een
efficiënte manier kan wegstralen zodat er zich geen interne tegendruk vormt tijdens de vrije val. Beschouw nu
een massa-element op initiële afstand ri van het centrum, en met een initiële snelheid v(ri ) = 0, dat valt naar
het centrum toe.
Gebruik de bewegingsvergelijking om aan te tonen dat de snelheid v(r) van het massa-element op een afstand
r van het centrum gegeven wordt door
s
v(r) =
21
2 G m(ri )
1
1
−
r ri
(2)
De atmosfeer van een witte dwerg
Een eenvoudig model van een witte dwerg met massa M en straal R bestaat uit een isotherm inwendige waarin
de druk veroorzaakt wordt door ontaarde elektronen, en een dunne buitenste radiatieve laag, waarin de elektronen niet langer ontaard zijn, maar zich gedragen als een ideaal gas.
1. Waarom is een isotherm inwendige een goede benadering?
2. Gebruik de vergelijking voor hydrostatisch evenwicht en de vergelijking voor radiatief energietransport
in de diffusiebenadering om aan te tonen dat in buitenste lagen van een witte dwerg geldt dat
P (T ) =
64πacRG
51κ0 µ
1/2 M
L
1/2
T 17/4
(3)
Veronderstel hierbij dat de opaciteit in deze buitenste lagen goed benaderd kan worden door de wet van
Kramer: κ = κ0 ρ T −7/2 .
3. Gebruik nogmaals de vergelijking voor hydrostatisch evenwicht en het vorige resultaat om aan te tonen
dat de temperatuursverdeling in de buitenste lagen van een witte dwerg gegeven wordt door
4 µ
T (r) =
GM
17 R
1
1
−
r R
(4)
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
22
10
Het levensverhaal van een ster
Op de volgende figuur is een post-hoofdreeks evolutiespoor van een ster getekend. Hoe groot schat je de massa
van de ster? Het evolutiespoor is onderverdeeld in zes verschillende stukken door middel van de letters (a)-(g).
Vat elk van deze zes evolutiefases samen in één zin; geef steeds aan welke brandstof de ster verbrandt. Gegeven
zijn de volgende tijdsintervallen uitgedrukt in jaren:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
37.9 · 103 j
59.5 · 103 j
90.1 · 103 j
0.30 · 106 j
1.47 · 106 j
15.7 · 106 j
Plaats elk van deze tijdsintervallen bij de overeenkomende evolutiefase.
4.9
(g)
4.8
4.7
(e)
log(L)
4.6
4.5
(c)
4.4
(f)
(b)
4.3
4.2
4.1
4.0
4.5
(d)
(a)
4.4
4.3
4.2
4.1
4.0
3.9
log(Teff)
3.8
3.7
3.6
3.5
23 Dicht op elkaar gepakt
We beschouwen een witte dwerg met massa M = 0.8M en straal R = 1R⊕ .
1. Schat het aantal electronen in deze witte dwerg. Neem hiervoor aan dat deze ster sinds haar geboorte
steeds ongeveer evenveel protonen als electronen heeft gehad, zodat het aantal electronen ongeveer gelijk
is aan de massa van de witte dwerg gedeeld door de massa van een waterstofatoom.
2. Schat vervolgens de electronendichtheid n in deze witte dwerg en de gemiddelde afstand d tussen twee
electronen.
3. Gebruik tenslotte p ≈ h̄/x om de gemiddelde snelheid v van een electron te schatten.
4. De vrije electronen in een ijzeren staaf op kamertemperatuur kunnen benaderd worden als een quantummechanisch gas. Typische waarden voor de electronendichtheid n en de gemiddelde snelheid v zijn
n = 1.7 1023 cm−3 en v = 2 108 cm/s. Vergelijk deze waarden met je resultaten voor de witte dwerg.
Oefeningen Sterstructuur en -evolutie
24
11
Supernova!
Beeld je een ster in van 10 M in haar laatste levensstadium. De kern van ongeveer 1.5 M kan het zware
gewicht niet meer torsen, en implodeert tot een kleine bol met een straal van ongeveer 20 km: de neutronenster.
Een waarnemer van buitenaf ziet een spectaculaire lichtflits waarna de ster langzaam in helderheid afneemt.
Hierbij komt gemiddeld ongeveer 109 L vrij gedurende 1 jaar. De mantel wordt bovendien afgeworpen met
een typische ejectiesnelheid van 104 km/s. Maak een schatting van de energiebalans met enerzijds
• de hoeveelheid gravitationele energie die vrijkomt bij de implosie
en anderzijds
• de hoeveelheid energie die gebruikt wordt om eerst Fe te fotodissociëren naar He, en vervolgens He
te fotodissociëren naar protonen, waarbij in het totaal ongeveer 7 MeV per nucleon aan energie wordt
geabsorbeerd.
• de hoeveelheid energie die in de vorm van straling van de ster ontsnapt.
• de hoeveelheid energie die gebruikt wordt om de mantel weg te slingeren.
Is de energiebalans in evenwicht? Zo niet, waar gaat het overige deel van de energie naar toe?
25 De Krabpulsar
In het sterrenbeeld Taurus kan je de Krabnevel vinden. Dit is een supernovarestant van een supernova die
waargenomen werd in 1054 n.Ch. In deze Krabnevel werd een pulsar gevonden, waarvan we om de 0.0333 s
een puls ontvangen.
1. Als je er van uit gaat dat de neutronenster een massa heeft van 1.5 M en een straal van 10 km, tot welke
afmetingen zou je een Boeing 747 met passagiers (± 320 ton) moeten comprimeren om een even grote
dichtheid als in de neutronenster te bekomen?
2. De pulsperiode is gelijk aan de rotatieperiode. Toon aan dat de ster in de Krabnevel geen witte dwerg
kan zijn, omdat de asvliedende kracht de dwerg uit elkaar zou doen spatten. Veronderstel voor de eenvoudigheid dat de ster steeds bolvormig blijft. Een typische straal voor een witte dwerg is R ≈ 1R⊕ .
Toon vervolgens aan dat een neutronenster deze asvliedende kracht wel kan weerstaan.
3. De pulsperiode van de Krabpulsar blijkt steeds maar toe te nemen (Ṗ = 4.21 10−13 ) wat op een vertraging van de rotatie duidt. De rotatie-energie van een neutronenster wordt gegeven door
1
Erot = I Ω2
2
waarbij het I het traagheidsmoment is en Ω de rotatiehoekfrequentie. Bereken de hoeveelheid energie die
de pulsar per seconde verliest omwille van rotatievertraging, en vergelijk dit met de hoeveelheid energie
die de zon per seconde verliest vanwege straling. Benader het traagheidsmoment I door dat van een bol
met uniforme dichtheid: I = 2/5 M R2 .
Constanten
26
Constanten
Naam
massa zon
lichtkracht zon
straal zon
effectieve temp. zon
massa aarde
straal aarde
lichtjaar
parsec
astronomisch eenheid
Astronomische constanten
Symbool
waarde
M
1.9891 ·1033 g
L
3.8515 ·1033 erg s−1
R
6.9598 ·1010 cm
Teff,
5770 K
M⊕
5.974 ·1027 g
R⊕
6.378 ·108 cm
lj
9.463 ·1017 cm
pc
3.0857 ·1018 cm
AE
1.4960 ·1013 cm
Fysische constanten
Naam
Symbool
waarde
Gravitatieconstante
G
6.67259 ·10−8 dyn cm2 g−2
lichtsnelheid
c
2.99792458 ·1010 cm s−1
const. van Boltzmann
k
1.380658 ·10−16 erg K−1
const. van Stefan-Boltzmann
σ
5.67051 ·10−5 erg cm−2 s−1 K−4
stralingsconstante
a
7.56591 ·10−15 erg cm−3 K−4
massa proton
mp
1.6726231 ·10−24 g
massa neutron
mn
1.6749286 ·10−24 g
massa electron
me
9.1093897 ·10−28 g
atomaire massa-eenheid
mu
1.6605402 ·10−24 g
gasconstante
R
8.314510 ·107 erg g−1 K−1
12