Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650
Docent:
L. Habets
HG 8.09,
Tel: 040-2474230,
Email: [email protected]
http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2Y650
1
Reële vectorruimten
Een reële vectorruimte is een verzameling V waarop een optelling
“+” en een scalaire vermenigvuldiging “·” zijn gedefinieerd, die aan
de volgende eisen voldoen:
(1) Als u, v ∈ V , dan u + v ∈ V ,
(2) u + v = v + u voor alle u, v ∈ V ,
(3) u + (v + w) = (u + v) + w voor alle u, v, w ∈ V ,
(4) Er bestaat een nulvector 0 ∈ V , zó dat u + 0 = 0 + u = u voor
alle u ∈ V ,
(5) Voor iedere vector u ∈ V is er een tegengestelde vector −u,
met de eigenschap dat u + (−u) = 0,
2
(6) Als u ∈ V en c is een reëel getal, dan c · u ∈ V ,
(7) c · (u + v) = (c · u) + (c · v) voor alle u, v ∈ V en c ∈ R,
(8) (c + d) · u = (c · u) + (d · u) voor alle u ∈ V en c, d ∈ R,
(9) c · (d · u) = (cd) · u voor alle u ∈ V en c, d ∈ R,
(10) 1 · u = u voor alle u ∈ V .
3
Voorbeeld:


u
 1 
 . 
u =  ..  ∈ Rn ,


un

u + v1
 1

..
u+v =
.

u n + vn


v
 1 
 . 
v =  ..  ∈ Rn , α ∈ R


vn



αu1



 .. 

 αu =  . 



αun
Met deze optelling en scalaire vermenigvuldiging is Rn een reële
vectorruimte.
4
Voorbeeld:
De verzameling van alle m × n matrices, met matrixoptelling, en
scalaire vermenigvuldiging met een reëel getal, is een reële
vectorruimte.
5
Voorbeelden:
• De verzameling P van alle polynomen is een reële
vectorruimte.
• De verzameling Pn van alle polynomen van de graad ≤ n is
een reële vectorruimte.
• De verzameling van alle polynomen met een nulpunt in 2,
d.w.z. {p ∈ P | p(2) = 0} is een reële vectorruimte.
Geen voorbeelden:
• De verzameling van alle polynomen van de graad n is geen
vectorruimte.
• De verzameling van alle polynomen p met de eigenschap dat
p(2) = 1 is geen vectorruimte.
6
Eigenschappen vectorruimte V :
(a) 0 · u = 0 voor alle u ∈ V ,
(b) c · 0 = 0 voor alle c ∈ R,
(c) Als c · u = 0, dan c = 0 of u = 0,
(d) (−1) · u = −u voor alle u ∈ V .
7
Lineaire deelruimte
Een niet-lege deelverzameling W van een vectorruimte V heet een
lineaire deelruimte van V , als W met de vectoroptelling en scalaire
vermenigvuldiging uit V zelf een vectorruimte is.
Voorbeelden:
• Een lijn door de oorsprong is een lineaire deelruimte van de
vectorruimte R2 .
• De nulvector {0} is een lineaire deelruimte van iedere
vectorruimte.
• De polynomen van graad ≤ 2 zijn een lineaire deelruimte van
de vectorruimte van polynomen van graad ≤ 3.
8
Geen voorbeelden:
• Een lijn die niet door de oorsprong loopt is geen lineaire
deelruimte van R2 .
• De polynomen van graad 2 vormen geen lineaire deelruimte
van de vectorruimte van alle polynomen.
9
Stelling: Een niet-lege deelverzameling W van de vectorruimte V
is een lineaire deelruimte van V dan en slechts dan als aan de
volgende twee eisen is voldaan:
(1) Voor alle u, v ∈ W geldt dat ook u + v ∈ W ,
(2) Voor alle u ∈ W en alle reële getallen c ∈ R geldt dat ook
c · u ∈ W.
10
Lineaire combinaties:
Definitie: Zij v 1 , . . . , v k vectoren uit de vectorruimte V . Een vector
v ∈ V heet een lineaire combinatie van v 1 , . . . , v k als er reële
getallen a1 , . . . , ak bestaan zó dat
v = a1 v 1 + a2 v 2 + · · · + a k v k
Als S = {v 1 , . . . , v k } een verzameling vectoren in V is, dan heet de
verzameling van alle lineaire combinaties van vectoren uit S het
lineaire opspansel van S, notatie span S.
N.B. span S is een lineaire deelruimte van V , (wellicht V zelf).
11
Lineaire onafhankelijkheid
De vectoren v 1 , . . . , v k ∈ V zijn lineair onafhankelijk indien uit
a1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + a k v k = 0
volgt dat a1 = a2 = · · · = ak = 0.
Indien de vectoren v 1 , . . . , v k niet lineair onafhankelijk zijn, dan
noemen we ze lineair afhankelijk.
12
Gevolgen:
Veronderstel dat S1 een verzamelingen van vectoren is, en S2 een
verzameling vectoren is, die S1 omvat.
• Als S1 lineair afhankelijk is, dan is S2 ook lineair afhankelijk.
• Als S2 lineair onafhankelijk is, dan is S1 ook lineair
onafhankelijk.
Als de vectoren v 1 , . . . , v k lineair afhankelijk zijn, dan is minstens
één van deze vectoren te schrijven als lineaire combinatie van de
andere vectoren.
13
Basis
De vectoren v 1 , . . . , v k vormen een basis voor de vectorruimte V
als
(1) v 1 , . . . , v k spannen V op,
(2) v 1 , . . . , v k zijn lineair onafhankelijk
Als v 1 , . . . , v k een basis is van de vectorruimte V , dan is iedere
vector in V op unieke wijze te schrijven als een lineaire combinatie
van v 1 , . . . , v k .
14
Stelling: Zij S = {v 1 , . . . , v k } een verzameling vectoren in de
vectorruimte V , en zij W = span(S). Dan is er een
deelverzameling van S die een basis vormt voor de lineaire
deelruimte W .
Stelling: Als S = {v 1 , . . . , v n } een basis is voor de vectorruimte V ,
en {w 1 , . . . , wr } is een verzameling lineair onafhankelijke vectoren
in V , dan r ≤ n.
Gevolg: Als S = {v 1 , . . . , v n } en T = {w 1 , . . . , w m } bases zijn van
de vectorruimte V , dan n = m.
15
Dimensie van een vectorruimte
De dimensie van de vectorruimte V , notatie dim V , is het aantal
elementen van een basis van V .
Als V een n-dimensionale vectorruimte is, dan volgt:
• een stelsel lineair onafhankelijke vectoren bevat ten hoogste n
vectoren,
• een stelsel vectoren dat de vectorruimte V opspant bevat
tenminste n vectoren,
• als S = {v 1 , . . . , v n } een lineair onafhankelijk stelsel vectoren
uit V is, dan is S een basis voor V ,
• als de vectoren S = {v 1 , . . . , v n } de ruimte V opspannen, dan
is S een basis voor V .
16
Deelruimten en matrices
Zij A een m × n matrix. Dan is de verzameling
{x ∈ Rn | Ax = 0}
een deelruimte van Rn . Deze deelruimte heet de nulruimte van A,
notatie N (A).
De verzameling
{Ax | x ∈ Rn }
is een deelruimte van Rm . Deze ruimte heet de kolommenruimte of
de Range van A, notatie R(A).
Na het “vegen” van de matrix A zijn bases voor N (A) en R(A)
eenvoudig af te lezen.
17
De inhomogene vergelijking
De inhomogene vergelijking
Ax = b
heeft een oplossing dan en slechts dan als b ∈ R(A).
Als b ∈ R(A), en xp is een particuliere oplossing van de
vergelijking Ax = b, dan wordt de algemene oplossing van deze
vergelijking gegeven door
xp + N (A).
18
Rijenruimte en kolommenruimte, rijrang, kolomrang
Zij A een m × n matrix
• De rijenruimte van A is de deelruimte van Rn opgespannen
door de rijen van A. De dimensie van deze deelruimte is de
rijrang van A
• De kolommenruimte van A is de deelruimte van Rm
opgespannen door de kolommen van A. De dimensie van
deze deelruimte is de kolomrang van A.
19
Door het uitvoeren van rij-operaties (veegalgoritme) verandert
de rijenruime van een matrix niet!
Zij nu A een m × n matrix, en U de rijgereduceerde trapvorm van
A. Dan geldt:
• de rijenruimte van A is gelijk aan de rijenruimte van U ,
• de niet-nul rijen van U vormen een basis voor de rijenruimte
van U ,
• rijrang(A) = rijrang(U ),
• rijrang(U ) is het aantal niet-nul rijen van U .
20
N.B. Door het uitvoeren van rij-operaties (veegalgoritme) verandert
de kolommenruimte in het algemeen wel!
Stelling: Zij E een inverteerbare n × n matrix. Dan zijn de
vectoren v 1 , . . . , v k uit Rn lineair onafhankelijk, dan en slechts dan
als Ev 1 , . . . , Ev k lineair onafhankelijk zijn.
21
Gevolgen:
Zij A een m × n matrix, en U de rijgereduceerde trapvorm van A.
Dan geldt:
• De kolommen van A die corresponderen met de spilkolommen
van U vormen een basis voor de kolommenruimte van A.
• De rijrang van A is gelijk aan de kolomrang van A. Derhalve
spreken we van de rang van A.
• rang(A) + dim(N (A)) = n.
dim(N (A)) heet de nulliteit van de matrix A.
22

1 1 4

0 1 2


A=
0 0 0

1 −1 0

2 1 6
1 2
1
1
0
0


1


2


2

1
Rijgereduceerde trapvorm:


1 0 2 0 1


0 1 2 0 −1





U = 0 0 0 1 2 



0 0 0 0 0 


0 0
0 0
0
23
Rang(A) = Rang(U ) = 3.
Basis voor de rijenruimte van A:
(1, 0, 2, 0, 1), (0, 1, 2, 0, −1), (0, 0, 0, 1, 2).
Basis voor de kolommenruimte van A:
     
1
1
1
     
0  1  1
     
     
0 ,  0  , 1 .
     
     
1 −1 0
     
2
1
0
24
Basis voor de nulruimte van A:
   
−2
−1
   
−2  1 
   
   
 1 , 0 .
   
   
 0  −2
   
0
1
rang(A) + dim(N (A)) = 3 + 2 = 5.
25