Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten
We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte Rn . We zullen nu zien dat Rn
slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere) begrip vectorruimte :
Definitie 1. Een (reële) vectorruimte is een niet-lege verzameling V van objecten, die we
dan vectoren zullen noemen, waarop twee bewerkingen,
de optelling en de scalaire vermenigvuldiging,
zijn gedefinieerd zodat voor alle u en v in V geldt dat u + v ∈ V en λu ∈ V voor alle λ ∈ R.
Verder moeten deze optelling en scalaire vermenigvuldiging (vermenigvuldiging met een getal)
voldoen aan de volgende axioma’s :
1.
2.
3.
4.
u+v =v+u
(u + v) + w = u + (v + w)
u+o=u
u + (−u) = o
5.
6.
7.
8.
λ(u + v) = λu + λv
(λ + µ)u = λu + µu
λ(µu) = (λµ)u
1u = u
voor alle u, v, w ∈ V en voor alle λ, µ ∈ R.
Bij 3. gaat het er om dat er een neutraal element voor de optelling bestaat. Dat element (of
object) noemen we de nulvector van V en noteren we op de gebruikelijke wijze met o. De
nulvector heeft de eigenschap dat als deze wordt opgeteld bij een (andere) vector die vector
niet verandert. Er geldt : 0u = o voor iedere u in V .
Bij 4. gaat het er om dat iedere vector u in V een tegengestelde in V heeft. Deze vector
wordt genoteerd als −u en heeft de eigenschap dat u + (−u) = o. Er geldt : (−1)u = −u
voor iedere u in V .
Bij 8. gaat het er om dat er een neutraal element van de scalaire vermenigvuldiging bestaat.
Dat is natuurlijk het welbekende getal 1. Als je een (willekeurige) vector in V vermenigvuldigt
met het getal 1, dan verandert die vector niet.
Er zijn erg veel voorbeelden van vectorruimten te verzinnen :
1. Ga na dat Rn voor iedere n ∈ {2, 3, . . .} een
is. Vectoren zijn in dit geval
 vectorruimte

v1


steeds de rijtjes getallen van de vorm v =  ... .
vn
2. Merk op dat R (dat is Rn met n = 1) ook een vectorruimte is. De reële getallen in R
zijn dan de ’objecten’, die we dus ook vectoren zullen noemen.
3. De verzameling C[a, b] van alle continue (reële) functies gedefinieerd op het interval [a, b]
is ook een vectorruimte. De som van twee continue functies is immers weer een continue functies, enzovoorts. De (continue) functies in C[a, b] zullen we dus ook vectoren
noemen. De nulvector is hier de nulfunctie : de functie die op [a, b] overal 0 is.
1
4. De verzameling Pn van alle (reële) polynomen
p(t) = a0 + a1 t + . . . + an tn ,
a0 , a1 , . . . , an ∈ R
van de graad ≤ n is ook een vectorruimte. De vectoren (objecten) in Pn zijn dus
polynomen (in de variabele t bijvoorbeeld). Het nulpolynoom (a0 = a1 = . . . = an = 0)
is hier de nulvector. De graad van dit nulpolynoom is niet gedefinieerd (soms : −1 of
−∞), maar het nulpolynoom behoort volgens afspraak wel tot Pn . Als p(t) = a0 6= 0
(constant polynoom ongelijk aan het nulpolynoom), dan is de graad van p gelijk aan 0.
5. De verzameling Mm×n van alle (m × n)-matrices is ook een vectorruimte. Dergelijke
matrices (van dezelfde afmetingen) kunnen bij elkaar worden opgeteld en kunnen worden
vermenigvuldigd met een getal. Die (m × n)-matrices zijn dus de vectoren uit deze
vectorruimte. De (m×n)-nulmatrix treedt hier op als de nulvector (het neutrale element)
van deze vectorruimte Mm×n .
Het begrip deelruimte wordt op dezelfde manier gedefinieerd als voorheen bij Rn :
Definitie 2. Een deelruimte van een vectorruimte V is een deelverzameling H van V met
de eigenschappen :
1.
2.
3.
De nulvector van V zit in H
u + v ∈ H voor alle u, v ∈ H
λu ∈ H voor alle u ∈ H en voor alle λ ∈ R.
Een deelruimte van V is dus een deelverzameling van V die op zichzelf een vectorruimte is.
De optelling en de scalaire vermenigvuldiging moeten binnen H mogelijk zijn. Als dat het
geval is dan gelden automatisch alle axioma’s uit definitie 1 omdat die in V al gelden.
Ook hiervan zijn talloze voorbeelden te bedenken :
1. De verzameling {o}, die alleen de nulvector bevat, en de verzameling V zelf zijn deelruimten van de vectorruimte V . Deze worden wel de triviale deelruimten van V genoemd.
2. Een lijn of een vlak door O in R3 zijn voorbeelden van deelruimten van R3 .
3. Als v 1 , . . . , v p vectoren in Rn zijn, dan is Span{v 1 , . . . , v p } een deelruimte van Rn .
4. De verzameling S2×2 := {A ∈ M2×2 | AT = A} van alle symmetrische (2 × 2)-matrices
is een deelruimte van M2×2 , de vectorruimte van alle (2 × 2)-matrices.
5. De verzameling {f ∈ C[a, b] : f (a) = f (b)} is een deelruimte van de vectorruimte C[a, b]
van alle continue functies op het interval [a, b].
Meer voorbeelden volgen later. Het derde voorbeeld kunnen we eenvoudig generaliseren tot :
Stelling 1. Als v 1 , . . . , v p vectoren zijn in een vectorruimte V , dan is Span{v 1 , . . . , v p } een
deelruimte van V .
Span{v 1 , . . . , v p } noemt men de deelruimte van V opgespannen of voortgebracht door de vectoren v 1 , . . . , v p . Schrijf het bewijs van deze stelling zelf eens uit (aan de hand van definitie 2).
2
Kolomruimte en nulruimte van een matrix
We hebben al kennis gemaakt met de kolomruimte en de nulruimte van een matrix :


Definitie 3. Als A =  a1 . . . an  een (m × n)-matrix is, dan is
Col A := Span{a1 , . . . , an } de kolomruimte van A
en
Nul A := {x ∈ Rn |Ax = o} de nulruimte van A.
Er geldt :
Stelling 2. Als A een (m × n)-matrix is, dan is Col A een deelruimte van Rm en is Nul A
een deelruimte van Rn .
Bewijs. Dat Col A een deelruimte van Rm volgt onmiddellijk uit stelling 1, omdat Col A een
opspansel is van vectoren in Rm . Voor Nul A geldt :
1. o ∈ Rn zit in Nul A, want Ao = o ∈ Rm .
2. Als u, v ∈ Nul A, dan geldt : Au = o en Av = o. Maar dan geldt ook :
A(u + v) = Au + Av = o + o = o en dus ook u + v ∈ Nul A.
3. Als u ∈ Nul A, dan geldt : Au = o. Maar dan geldt ook :
A(λu) = λAu = λo = o en dus ook λu ∈ Nul A.
Hiermee is aangetoond (zie definitie 2) dat Nul A een deelruimte van Rn is.
Voorbeeld 1. Door te vegen vinden we :

 
 

1 −1 1
0
1 −1 1
0
1 −1 0
1
0 1 −1  ∼  0
0 1 −1  ∼  0
0 1 −1  .
A= 0
−2
2 1 −3
0
0 3 −3
0
0 0
0
We weten al dat de pivotkolommen van A een basis van Col A vormen :

  
1
1
Col A = Span{ 0  ,  1 } is een deelruimte van R3 .
−2
1
Voor Nul A geldt :

x1 = x2 − x4





x3 = x4





x2 en x4 zijn vrij.

=⇒
 
x1
x2 − x4
 x2  
x2
 
x=
 x3  = 
x4
x4
x4
3



1
−1

 


 = x2  1  + x4  0  .

 0 
 1 
0
1


Hieruit volgt :

 

1
−1
 1   0 
4
 

Nul A = Span{
 0  ,  1 } is een deelruimte van R .
0
1
Lineaire afbeeldingen
We definiëren :
Definitie 4. Als V en W vectorruimten zijn, dan heet een afbeelding F : V → W een
lineaire afbeelding als :
1.
2.
F(u + v) = F(u) + F(v) voor alle u en v in V
F(λu) = λF(u) voor alle u ∈ V en voor alle λ ∈ R.
Definitie 5. Als V en W vectorruimten zijn en F : V → W is een lineaire afbeelding, dan
heet
Ker F := {v ∈ V | F(v) = o} de kern van F
en
Im F := {w ∈ W | w = F(v) voor zekere v ∈ V } de beeldruimte van F.
Er geldt :
Stelling 3. Als V en W vectorruimten zijn en F : V → W een lineaire afbeelding, dan is
Ker F een deelruimte van V en Im F een deelruimte van W .
Als A een (m × n)-matrix is, dan is F : Rn → Rm met F(x) = Ax een lineaire afbeelding.
Zo’n (lineaire) afbeelding wordt wel een matrixafbeelding genoemd.
N.B. Elke matrixafbeelding is dus een lineaire afbeelding.
In het geval van een matrixafbeelding F : Rn → Rm met F(x) = Ax geldt :
Ker F = Nul A
en
Im F = Col A.
a b
Voorbeeld 2. De afbeelding F : M2×2 → R met F(
) = a + b + c + d is een lineaire
c d
afbeelding. Immers :
a1 a2
b1 b2
1. Stel dat A =
en B =
, dan is
a3 a4
b3 b4
a1 + b1 a2 + b2
F(A + B) = F(
) = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + a4 + b4
a3 + b3 a4 + b4
= a1 + a2 + a3 + a4 + b1 + b2 + b3 + b4 = F(A) + F(B)
4
2. En als A =
a1 a2
a3 a4
, dan volgt
λa1 λa2
F(λA) = F(
) = λa1 + λa2 + λa3 + λa4 = λ(a1 + a2 + a3 + a4 ) = λF(A).
λa3 λa4
Voor Ker F geldt :
a b
) = 0 ⇐⇒ a + b + c + d = 0 ⇐⇒ a = −b − c − d.
F(
c d
a b
Dus : A =
∈ Ker F ⇐⇒
c d
a b
−b − c − d b
−1 1
−1 0
−1 0
=
=b
+c
+d
.
c d
c
d
0 0
1 0
0 1
Dus :
Ker F = Span{
−1 1
0 0
−1 0
−1 0
,
,
}.
1 0
0 1
Dit is een deelruimte van M2×2 . Merk op dat Im F = R.
Lineaire (on)afhankelijkheid
We kunnen nu de definitie van het begrip lineaire (on)afhankelijkheid eenvoudig generaliseren :
Definitie 6. Een verzameling vectoren {v 1 , . . . , v p } in een (willekeurige) vectorruimte V heet
lineair onafhankelijk als de vectorvergelijking
c1 v 1 + c2 v 2 + . . . + cp v p = o
alléén de triviale oplossing (c1 = 0, c2 = 0, . . . , cp = 0) heeft.
Anders heet de verzameling lineair afhankelijk.
Net als in Rn geldt : een verzameling {v} met slechts één vector is lineair afhankelijk dan en
slechts dan als v = o en een verzameling {v, w} met twee vectoren is lineair afhankelijk dan
en slechts dan als één van de twee vectoren een veelvoud is van de andere.
Voorbeeld 3. De verzameling {t, sin t, cos t} in C([0, 2π]) is lineair onafhankelijk, want :
c1 t + c2 sin t + c3 cos t = 0 voor alle t ∈ [0, 2π] betekent onder andere

t = 0 : c3 = 0



c3
t = π : c1 π − c3 = 0 =⇒ c1 =
=0
π π

π
π


t=
: c1 + c2 = 0 =⇒ c2 = −c1 = 0.
2
2
2
Uit c1 t + c2 sin t + c3 cos t = 0 voor alle t ∈ [0, 2π] volgt dus dat c1 = c2 = c3 = 0. Dit betekent
dat {t, sin t, cos t} lineair onafhankelijk is.
Voorbeeld 4. De verzameling {1 + t, 1 − t2 , t(1 + t)} in P2 is lineair afhankelijk, want :
t(1 + t) = t + t2 = (1 + t) − (1 − t2 ). Oftewel : (1 + t) − (1 − t2 ) − t(1 + t) = 0.
5
Basis
Voor het begrip basis hebben we de volgende generalisatie :
Definitie 7. Als H een deelruimte is van een (willekeurige) vectorruimte V , dan heet een
verzameling vectoren {v 1 , . . . , v p } een basis van H als :
1.
2.
{v 1 , . . . , v p } is lineair onafhankelijk
H = Span{v 1 , . . . , v p }.
Enkele voorbeelden :
1. De verzameling {e1 , e2 , . . . , en } met
 
 
1
0
 0 
 1 
 
 
 
 
e1 =  0  , e2 =  0  ,
 .. 
 .. 
 . 
 . 
0
0

...
0
0
..
.



en = 

 0
1
,







heet wel de standaardbasis van Rn .
2. De verzameling {1, t, t2 , . . . , tn } heet wel de standaardbasis van Pn .
3. De verzameling
{
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
,
,
,
}
0 0
1 0
0 1
kan gezien worden als de standaardbasis van M2×2 .
4. De verzameling {t, sin t, cos t} is een basis van de deelruimte H = Span{t, sin t, cos t}
van C[0, 2π], want {t, sin t, cos t} is lineair onafhankelijk.
5. De verzameling
1 0
0 1
0 0
B := {
,
,
}
0 0
1 0
0 1
is een basis van S2×2 , de deelruimte van alle symmetrische matrices, want :
1 0
0 1
0 0
0 0
c1 c2
0 0
c1
+ c2
+ c3
=
⇐⇒
=
.
0 0
1 0
0 1
0 0
c2 c3
0 0
Dus : c1 = c2 = c3 = 0. Dat wil zeggen dat B lineair onafhankelijk is. Verder geldt :
a c
a b
a b
T
⇐⇒ b = c.
=
A=
∈ S2×2 ⇐⇒ A = A ⇐⇒
b d
c d
c d
Dus :
1
a c
A ∈ S2×2 ⇐⇒ A =
=a
0
c d
0
1 0
Hieruit volgt dat S2×2 = Span{
,
1
0 0
Dus : B is een basis van S2×2 .
6
0
0
0 1
0 0
.
+d
+c
1 0
0 1
0 0
1
}.
,
0 1
0