verbetersleutel
advertisement
4 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Dit kun je al 1 gehele getallen vermenigvuldigen 2 afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen toepassen 3 regelmaat en patronen ontdekken in rijen 4 lettervormen noteren volgens de afspraken Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek. A B C Verder oefenen? 1 (–2) · 5 = –10 10 3 oef. 220 2 22 – (10 + 5 · 2) = 2 22 –8 oef. 254 3 Wat is het volgende getal in deze rij? 5 8 11 14 17 ... 19 20 21 oef. 242 4 Noteer de lettervorm volgens de afspraken. b · a · 4 + 3 · a 4ab + 3a ab4 + a3 4ba + 3a oef. 281 Dit heb je nodig • • • • • • leerwerkboek p. 95–110 oefenboek p. 95–114 kladblok meetlat rekenmachine potlood en stiften Inhoud G24 Machten van natuurlijke getallen G25 Vierkantswortels van natuurlijke getallen G26 Machten en vierkantswortels van gehele getallen G27 De volgorde van de bewerkingen in ℤ G28 Regelmaat en formules p. 96 p. 100 p. 102 p. 104 p. 106 95 G24 Machten van natuurlijke getallen Op verkenning a Macht van een natuurlijk getal A6 A5 A3 A4 A1 A2 • Als je een A4–blad één keer dubbel vouwt, bekom je twee bladen op A5–formaat. – een keer vouwen 2 blaadjes 2 Vouw je het blad nog eens dubbel dan bekom je vier bladen op A6–formaat. – twee keer vouwen 4 blaadjes 2·2 Weetje Hoeveel blaadjes bekom je na ... – drie keer vouwen 8. . . . . . . . . . . blaadjes 2. . . . .·. . 2. . . . .·. . .2. . . . . . – vier keer vouwen 16 . . . . . . . . . . . blaadjes 2. . . . .·. . 2. . . . .·. . .2. . . .·. . 2 – zes keer vouwen 64 . . . . . . . . . . . blaadjes 2. . . . .·. . 2. . . . .·. . .2. . . .·. . 2 · 2 · 2 Wist je dat je een blad papier nooit meer dan negen keer in tweeën kunt vouwen? Het maakt zelfs niet uit hoe groot je blad is. Probeer maar eens. Meestal raak je zelfs niet verder dan zes keer dubbel vouwen. Let wel, je moet het papier precies in tweeën vouwen. Stel dat je zou kunnen blijven vouwen, dan zou je na 50 keer vouwen de afstand van de aarde tot de zon bekomen en na 100 keer vouwen de grootte van het heelal bereiken (ongeveer twaalf miljard lichtjaar). Je kunt een vermenigvuldiging met gelijke factoren korter schrijven. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 schrijf je als 26 (lees: twee tot de zesde macht). • Vul de tabel in. Schrijf de vermenigvuldiging als een macht. Met welk getal vermenigvuldig je telkens? Hoeveel keer vermenigvuldig je het getal met zichzelf? 96 • Bereken de oppervlakte van een vierkant met zijde 3 cm. • Schrijf deze vermenigvuldiging als een macht. Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking 2·2·2 7·7·7·7 5·5 2 2 3 7 7 4 52 5 2 3 4 3 · 3 cm2 = 9 cm2 32 = 9 ............................................................................ ...... ............................................................................ . . . . . . Weetje Wiskundetaal – begrippen 26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 Kwadra at het Latij komt uit n . Q uad rat beteken t vierkan us t. Een vermenigvuldiging van gelijke factoren kun je korter noteren als een macht. • Het grondtal is de factor die met zichzelf wordt vermenigvuldigd. • De exponent is het getal dat aangeeft hoe vaak het grondtal met zichzelf moet worden vermenigvuldigd. an = a · a · a · … · a an is een macht met a als grondtal en n als exponent 26 met en Het kwadraat van een getal is een andere benaming voor de tweede macht van een getal. a² = a · a Lees 26 als 2 tot de zesde (macht) Lees 42 als 4 in het kwadraat 4 kwadraat 4 tot de tweede (macht) 6 factoren n factoren is de macht 2 als grondtal 6 als exponent CONTROLE 37 1 Vul de tabel verder aan. x 0 1 2 3 4 x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Het kwadraat van de natuurlijke getallen van nul tot en met twaalf ken je best uit het hoofd. 2 Schrijf als een vermenigvuldiging. 53 = 3 5·5·5 2·2·2·2·2·2·2 .............................................................................................. . . . . . . . Schrijf als een macht. 3·3·3·3·3·3= b 27 = .................................................................................... 36 10 · 10 · 10 · 10 = ........ 4 10 ........ Machten met exponent 0 en 1 • • Hoeveel laagjes bekom je als je een vel papier – één keer vouwt? – niet vouwt? 2 laagjes .1 . . . . .laagje ........................... ................................. 21 = . . .2 ............... 20 = . . .1 ............... Vul aan. 34 = 33 = 3²= 31 = 30 = 81 27 ................... 9 ................... 3 ................... 1 ................... ................... :3 :3 :3 :3 54 = 53 = 52 = 51 = 50 = 625 125 ................. 25 ................. 5 ................. 1 ................. ................. • Waaraan is elke macht met exponent 1 gelijk? • Waaraan is elke macht met exponent 0 gelijk? 256 .:. . 4 ..... 64 43 = ................. .:. . 4 ..... 16 42 = ................. .:. . 4 ..... 4 41 = ................. .:. . 4 ..... 1 40 = ................. Zijn grondtal. .............................................................. 1 .............................................................. :5 . :. . .5 .... . :. . .5 .... . :. . .5 .... 44 = ................. ........ Rekenregel – machten met exponent 0 of 1 • Een macht met exponent 1 is gelijk aan het grondtal. a1 = a 71 = 7 • Een macht met exponent 0 is gelijk aan 1. a0 = 1 70 = 1 CONTROLE 38 Reken uit. 21 = 2. . . . . . . . . . . ........................... 100 = 1 ...................................... 70 = 1...................................... 81 = 8................................. . . . . . 97 G24 Machten van natuurlijke getallen (vervolg) c Machten berekenen met je rekenmachine Mia maakt zelf kaarsen. Hoeveel cm³ kaarsvet heeft ze nodig om deze kubusvormige kaars te maken als je weet dat een ribbe van de kubus gelijk is aan 27 cm? • Hoe bereken je het volume van een kubus? • Vul de getallen in en schrijf als een macht. • Bereken met je rekenmachine. z · z · z = z3 273 cm3 ....................................................... ..... 19 683 cm3 ....................................................... ..... ....................................................... . . . . . Gebruik van de rekenmachine Welke toets(en) gebruik je om: • • het kwadraat te berekenen? een macht te berekenen? Welke toetsen moet je indrukken om deze macht te berekenen? 9³ Oefeningen WeeR? 303 1 MeeR? 304 Schrijf als een macht. a 3·3·3·3= b 7·7·7·7·7·7= c 10 · 10 · 10 = d 1 · 1 · 1 · ... · 1 = 34 76 ............................................................ 103 ............................................................ 118 ............................................................ ............................................................ 18 factoren WeeR? 305 2 b c d e WeeR? 307 WeeR? 308 MeeR? 309 310 3 4 g h ..................................................... . . . . . . f 53 = g 13² = h 170 = i 43 = j 8² = c 71² = d 50 = 125 169 ................................................. 1 ................................................. 64 ................................................. 64 ................................................. ................................................. k 111 = l 6³ = m 5² = n 71 = o 25 = e 129 = f 212 = 1............................................ . . . . . 216 ............................................ . . . . . 25 ........................................... . . . . . . 7........................................... . . . . . . 32 ............................................ . . . . . Bereken met je rekenmachine. a 75 = b 210 = 16 807 ........................................ 1024 ........................................ 5041 ................................................ 1................................................ Bacteriën zijn kleine levende wezens. Ze zijn zo klein dat je ze alleen met behulp van een microscoop kunt waarnemen. Bij de voortplanting splitsen ze zich in tweeën. Dit duurt een uur. Na een uur zijn er dus al twee bacteriën, na twee uur vier bacteriën. a b c 98 81 ........................................ 000 000 107 = 10 ........................................ 24 = 16 ........................................ 000 000 1003 = 1 ........................................ 3² = 9 ........................................ 34 = f z5 a3 b2 a·a·a·b·b= ..................................................... ...... 3 · 32 2 2·2·2·3·3= ..................................................... ...... 5 2 2 ·5 2 · 2 · … · 2 · 5 · 5 = ..................................................... ...... z·z·z·z·z= 5 factoren Reken uit. a MeeR? 306 e 23 = 8 210 = 1024 Hoeveel bacteriën zijn er na tien uur? ............................................................................................ Hoeveel bacteriën zijn er na drie uur? ............................................................................................ Noteer hoe je berekent hoeveel bacteriën er na één dag zijn? ............................................................................................ 224 = 16 777 216 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking 5.......................................... 159 780 352 . . . . . . 441 ........................................... . . . . . 6 Vind het juiste getal. a Van welk getal is het kwadraat 169? b Welke macht van 5 is gelijk aan 125? c Een macht met exponent 2 is gelijk aan 121. Wat is het grondtal? 13 . . . . . . want . .3 . . . . want 11 . . . . . . want 13 . . . . . 2 = 169 5 3 = 125 ..... 11 . . . . . 2 = 121 Noteer de volgende grote getallen als machten van 10. a duizend = 1000 = 10 · 10 · 10 = 10³ b miljoen (duizend maal duizend) ........................................................................................................................................ . . . . . . . c miljard (duizend miljoen) d biljoen (duizend miljard) e biljard (duizend biljoen) Weet je 5 1 000 000 = 106 1 000 000 000 = 109 ........................................................................................................................................ ....... 1 000 000 000 000 = 1012 ........................................................................................................................................ ....... 1 000 000 000 000 000 = 1015 ........................................................................................................................................ ....... WeeR? 317 318 MeeR? 319 320 WeeR? 323 324 MeeR? 325 326 Een googol is een aanduiding van een getal met de waarde 10100. De internetzoekmachine Google is geno emd naar dit getal. De naam is uiteinde lijk ‘Google’ geworden door een spelfout van de investeerders. De googol heef t geen belangrijke wisk undige betekenis en ook geen praktisch e toepassing. Het getal werd alleen verzonn en om het verschil te laten zien tussen een gigantisch groot getal en het begr ip ‘oneindig’. Wat moet je kunnen? τ machten berekenen van natuurlijke getallen (met je rekenmachine) τ het kwadraat geven van getallen tot en met 12 τ machten met exponent 0 en 1 berekenen 99 G25 Vierkantswortels van natuurlijke getallen Op verkenning Eén van de bezienswaardigheden bij een citytrip in New York is een bezoek aan de Apple Store. Een glazen kubus met daarin het logo van de winkel duidt de ingang aan. In de kubus zit een glazen liftschacht die een glazen wenteltrap ondersteunt. De hele winkel bevindt zich op de ondergrondse verdieping. a De omgekeerde bewerking van de tweedemacht In totaal bestaat de kubus (bovenvlak en de vier zijvlakken) uit 845 m² glas. Bereken hoe hoog deze kubus is. • Hoeveel glazen vierkanten vlakken heeft deze kubus? • Hoe groot is de oppervlakte van één glazen vlak? Noteer je berekening. 5 ...................................................................................... . . . . . . (845 : 5) m2 = 169 m2 z·z ...................................................................................... ...... 2 z = 169 ...................................................................................... ...... ...................................................................................... . . . . . . • Hoe bereken je de oppervlakte van een vierkant? • De oppervlakte ken je. Vul dit getal in de formule in. • Welk ander getal moet je invullen om de bewerking te laten kloppen (zie les G24)? Vul ook dit getal in de formule in. 132 = 169 ...................................................................................... . . . . . . De oppervlakte is de tweedemacht van de zijde. Om de zijde te berekenen moet je de omgekeerde bewerking _ van de tweedemachtsverheffing toepassen. Je noteert dit als zijde = √ oppervlakte (lees: de zijde is de vierkantswortel van de oppervlakte). _ • Schrijf de gegevens van het glazen zijvlak in deze formule. 13 = √ 169 ...................................................................................... ...... Wiskundetaal – begrippen De vierkantsworteltrekking is de omgekeerde bewerking van de tweedemachtsverheffing. a en b zijn natuurlijke getallen _ √ a = b als b² = a _ √ 81 = 9 want 9² = 81 _ b is de vierkantswortel van √ 81 is de vierkantswortel a als de tweedemacht (het met 81 _ als grondtal. kwadraat) van b gelijk is aan a. en √ als het wortelteken of vierkantswortelteken _ Lees √81 = 9 als de vierkantswortel van 81 is 9. 100 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking b Vierkantswortels berekenen met je rekenmachine Gebruik van de rekenmachine De vierkantswortel van een natuurlijk getal is niet telkens een natuurlijk getal. Je gebruikt best je rekenmachine om het resultaat te berekenen. • Welke toets gebruik je voor de vierkantsworteltrekking? • Welke toetsen moet je indrukken om de vierkantswortel van 51 te berekenen? CONTROLE 39 Hoelang is de zijde van een vierkant met oppervlakte... 9 cm2 3 cm 16 m2 . ............................ 4m ......... .................... 81 dm2 9 dm 100 m2 ............................. 10 m ........................ . . . . . Oefeningen 7 Hoe lang is de zijde van______ een vierkant als het een oppervlakte heeft van ... ? _______ a 8 49 cm² Reken uit. _ a √9 = _ b √ 100 = _ c 9 √1 = 7 cm (√49 cm2 ) ........................................ 3 10 ..................................... 1..................................... ..................................... b d e f 100 m² _ √ 121 = _ √ 16 = _ √4 = 10 m (√ 100 cm2 ) c .......................................... 11 4.......................................... 2.......................................... g .......................................... 12 b 99 c 0 d –10 _ _ i √ 81 = _ 2 8................................... dm (√64 cm ....... ) WeeR? 328 329 MeeR? 330 19 20 ................................... ....... 9 .................................... ...... .................................... . . . . . . WeeR? 331 MeeR? 332 WeeR? 333 √ 60 64 8 :3 √ 33 –8 25 5 : 10 + 5² + 11 √ –6 0 25 36 6 0 + 16 ² ·2 –8 6 36 72 64 _ _ √ 192 = √ 400 = +4 ·5 64 dm² h Commandorekenen. a ______ ·8 64 :4 16 + 4³ 69 _ _ √ 8 10 Een vierkantswortel is … τ de uitkomst van een tweedemachtsverheffing τ de omgekeerde bewerking van de tweedemachtsverheffing τ de omgekeerde bewerking van een machtsverheffing WeeR? 334 MeeR? 335 Wat moet je kunnen? τ de vierkantswortel geven van kwadraten van natuurlijke getallen tot en met 12 τ de vierkantswortel van natuurlijke getallen berekenen met je rekenmachine 101 G26 Machten en vierkantswortels van gehele getallen Op verkenning a Het grondtal bepalen Vul de tabel in. • Noteer met getallen Noteer het grondtal 3 (–3)2 –32 –(–3)2 3 –3 3 –3 2 de tweedemacht van 3 de tweedemacht van –3 het tegengestelde van de tweede macht van 3 het tegengestelde van de tweede macht van –3 Schrijf de macht als een vermenigvuldiging en reken uit. • (–2)4 = – 24 = –(–3)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = .16 ........................... –2·2·2·2 .......................................................................................................................................... = .–16 ........................... – (–3) · (–3) · (–3) · (–3) .......................................................................................................................................... = .–81 ........................... .......................................................................................................................................... Wiskundetaal – afspraak b De exponent hoort bij het getal waar hij bij staat. 3² = 3 · 3 = 9 – 32 = – 3 · 3 = –9 (het grondtal is 3) (het grondtal is 3) Is een grondtal negatief, dan moet het tussen haakjes staan. (–3)2 = (–3) · (–3) = 9 (het grondtal is –3) Machten met een positief grondtal berekenen 34 33 3² 3 1 30 • c Schrijf de macht als een vermenigvuldiging Bereken het product Het teken van het product is … 3·3·3·3 3·3·3 3·3 3 1 81 27 9 3 1 positief – negatief Welk teken hebben machten met een positief grondtal? positief – negatief positief – negatief positief – negatief positief – negatief Steeds +. ............................................................................ . . . . . . Machten met een negatief grondtal berekenen Schrijf de macht als een vermenigvuldiging (–3)4 (–3) 3 (–3)2 (–3)1 (–3)0 Bereken het product (–3) · (–3) · (–3) · (–3) (–3) · (–3) · (–3) (–3) · (–3) (–3) 1 • Welke machten zijn positief? Kijk naar de exponent. • Welke machten zijn negatief? Kijk naar de exponent. Het teken van het product is … positief – negatief 81 positief – negatief –27 positief – negatief 9 positief – negatief –3 positief – negatief 1 Machten met een even exponent.. . . . . . ............................................................................ Machten met een oneven exponent. ............................................................................ ...... Rekenregel – machten van gehele getallen Alle machten met een positief grondtal zijn positief. 102 23 = 8 2² = 4 Als de macht een negatief grondtal heeft, is het resultaat: • negatief als de exponent oneven is; (–5)3 = –125 • positief als de exponent even is. (–5)2 = 25 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking d Vierkantswortels van gehele getallen berekenen _ • Vul aan met een geheel getal. . . . . . . want . . . .5 . . . . . . · . . . .5 . . . . . . = 25 √ 25 = . . . .5 • Vind je nog een geheel getal dat je kunt vermenigvuldigen met zichzelf en dat als product 25 geeft? √..................................................................................... 25 = –5 want (–5) · (–5) = 25 ...... ___ Een positief geheel getal heeft twee vierkantswortels. Wanneer we ‘de vierkantswortel’ zeggen, bedoelen we voortaan steeds de positieve vierkantswortel. • Neen. Omdat een kwadraat . . . . . . ..................................................................................... steeds postief is. ..................................................................................... ...... Kan het kwadraat van een getal gelijk zijn aan –36? Waarom (niet)? Wiskundetaal – begrippen Een positief geheel getal heeft twee vierkantswortels: • de positieve vierkantswortel _ lees √16 = 4 als de (positieve) vierkantswortel van 16 is 4 _ lees –√16 = –4 als de negatieve vierkantswortel van 16 is –4 • de negatieve vierkantswortel _ Een negatief geheel getal heeft geen vierkantswortels. √ –16 bestaat niet 0 heeft één vierkantswortel: 0 √0 = 0 _ Oefeningen 11 Schrijf de vermenigvuldiging als een macht. a (–8) · (–8) · (–8) = b 17 · 17 · (–17) = c (–3) · (–3) · 3 · 3 = (–8) ......................................................... 3 –17 ......................................................... 4 3......................................................... 3 d (–2) · 7 · 7 · (–2) · (–2) = e 13 · 13 · (–13) · (–13) = f 1 · (–1) · 1 · (–1) = (–2) · 7 134 .................................................... ..... 4 1 .................................................... ..... 3 2 .................................................... . . . . . 12 Reken uit. a (–5)³ = b –53 = c (–10)² = –125 –125 .................... 100 .................... .................... d –10² = e –(–3)² = f –(–2)³ = –100 .................... –9 .................... 8 .................... g –(–1)0 = h (–2)6 = i –26 = –1 64 .................... –64 .................... .................... j –(–10)² = k 7³ = l –121 = –100 343 . . . . . ............... –12 . . . . . ............... ............... . . . . . 13 Commandorekenen. a –7 b 1 a b c √ (–9)2 = _ ( )2 – 10 – 74 : (–5) 49 39 –35 7 –3 ( )2 + 12 –2 4 16 – √ 25 = _ √ 36 = 9.................... –5 .................... 6.................... MeeR? 337 WeeR? 338 MeeR? 339 340 WeeR? 343 14 Reken de vierkantswortels uit. _ WeeR? 336 d e f c · (–1) +5 ( )³ : (–1) –9 –4 –64 64 ( )³ + 234 :2 – 217 1000 1234 617 400 9 d 10 _ – √ 100 = –10 .................... g _ – √ 49 = _ gaat niet .................... h √ –1 = _ 11 .................... i – √4 = √ –64 = √ 121 = _ _ –7 gaat niet .................... –2 .................... WeeR? 344 .................... Wat moet je kunnen? τ het grondtal van een macht bepalen τ machten van gehele getallen berekenen (met je rekenmachine) τ vierkantswortels van gehele getallen berekenen met je rekenmachine 103 G27 De volgorde van de bewerkingen in ℤ Op verkenning Verkeersborden en verkeerslichten geven aan wie voorrang heeft in het verkeer. Ook als je bewerkingen uitvoert, moet je rekening houden met voorrangsregels. a Herhaling • Reken uit. Houd rekening met de afspraken van de volgorde van de bewerkingen. (zie les G19) • Onderstreep telkens de bewerking die je uitvoert. (–10) · (–4) – (100 – 28 : 7) (–10) · (–4) – (100 – 4) . . . . . . . . ................................................................................................................. · (–4) – 96 = (–10) . . . . . . . . ................................................................................................................. – 96 = 40 . . . . . . . . ................................................................................................................. = –56 . . . . . . . . ................................................................................................................. = b Afspraken met machten en vierkantswortels • Reken eerst de machten en de vierkantswortels uit. • Pas daarna de volgorde van bewerkingen toe zoals je die hebt geleerd in G19. • Onderstreep telkens de bewerking die je uitvoert. • Schrijf de bewerking(en) op de stippellijnen. _ √ 49 + 2 · 3 7. . . . .+ 2·3 . . . ......................................................................................................................................................................................................... ...... 6 = 7 . . . . .+ . . . ......................................................................................................................................................................................................... ...... = 13 . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . = _ 3 · ( √25 – 23 ) 3. . . . .·. . .(5 – 8) ......................................................................................................................................................................................................... ...... = 3 . . . . .·. . .(–3) ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . = –9 . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . = Rekenregel – de volgorde van de bewerkingen Haakjes doorbreken de normale rekenvolgorde. Reken daarom in een oefening eerst de bewerking(en) tussen de haakjes uit. Houd binnen en buiten de haakjes rekening met de afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen: • de machten en/of de wortels • de vermenigvuldigingen en/of de delingen van links naar rechts • de optellingen en/of de aftrekkingen van links naar rechts 104 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking _ 5 · 6 – √25 + ( –4 )2 – ( 24 – 52 ) _ = 5 · 6 – √25 + ( –4 )2 – ( 24 – 25 ) _ = 5 · 6 – √25 + ( –4 )2 – ( –1 ) = 5 · 6 – 5 + 16 – ( –1 ) = 30 – 5 + 16 + 1 = 42 Oefeningen 15 • • • a _ = = = . . . . . . . . .......................................... = = . . . . . . . . .......................................... = 3........................................................... · 10 · 81 2430 ........................................................... = ........................................................... = ........................................................... = 11 · 125 + 11 1375 + 11 ........................................................... 1386 ........................................................... = ........................................................... ........................................................... _ –8² + √256 = –64 + 16 –48 ........................................................... = ........................................................... = ........................................................... = . . . . . . . . .......................................... ........................................................... WeeR? 348 Reken uit. Onderstreep telkens de bewerking die je uitvoert. _ MeeR? 346 347 11 · 53 + 11 = f 16 : 4 + 4 4 . . .4 . . . . .+ .......................................... . . .8 . . . . . .......................................... 3 · √100 · 9² = . . . . . . . . .......................................... 24 : 2² + 4 = a e = = • • . . . . . . . . .......................................... = _ = _ 10 + 2 · 100 + 200 . .10 . . . . . . .......................................... . .210 . . . . . . .......................................... = 16 2. . . . .·. . .16 +4 .......................................... 32 4 ........+ .......................................... 36 . . . . . . . . .......................................... √ 100 + 2 · 10² = c d 2 · 4² + √16 = b WeeR? 345 Reken uit. Noteer alle tussenstappen. Onderstreep telkens de bewerking die je uitvoert. 7 · (–3) + ( 42 – √100 ) 3 b _ √ 4 · 25 – (–99) : 32 ____ + (16 – 10) =7 . . . . . ·. . .(–3) . ....................................................................................... √ 100 – (–99) : 9 = ........................................................................................... ..... +6 =7 . . . . . ·. . .(–3) . ....................................................................................... 10 – (–99) : 9 = ........................................................................................... ..... + 216 =7 . . . . . ·. . .(–3) . ....................................................................................... 10 – (–11) = ........................................................................................... ..... + 216 = 195 = –21 . . . . . . . . . ....................................................................................... 10 + 11 = ........................................................................................... ..... 3 3 MeeR? 349 350 21 = ........................................................................................... ..... 17 Bij het oplossen van deze oefeningen maakte Anse telkens een fout. • Onderstreep de stap waar ze een fout maakte. • Verbeter de fout. a _ 70 – (–5)² · (2 · 13 – √25 )= 70 – (–5)² · (2 · 13 – 5) = 70 – (–5)² · (26 – 5) = 70 + 5² · 21 = 70 + 525 = 595 b WeeR? 351 _ √ 9 · (7 – 2)² _ = √9 · (7 + 4) _ = √9 · 11 = 3 · 11 ........................................................................................................... . . . . . . ........................................................................................................... . . . . . . = 70 – (–5)2 · 21 ........................................................................................................... ...... = 70 – 25 · 21 ........................................................................................................... ...... = 70 – 525 = –455 ........................................................................................................... ...... __ √ 9 · 52 = ........................................................................................................... ...... = 3 · 25 ........................................................................................................... ...... = 75 ........................................................................................................... ...... = 33 Wat moet je kunnen? τ verwoorden in welke volgorde je de bewerkingen in een opgave moet uitvoeren τ opgaven met meerdere bewerkingen uitrekenen 105 G28 Regelmaat en formules Op verkenning a Een formule van de vorm y = ax afleiden uit een tabel Voor de huur van een dvd betaal je vijf euro per stuk. Met behulp van een formule kun je berekenen hoeveel je moet betalen als je een bepaald aantal dvd’s huurt. • Vul de verhoudingstabel aan. De waarden die je moet berekenen komen op de onderste rij. +1 +1 ....... • • +1 ....... Aantal dvd’s 0 1 2 3 4 5 6 x y Bedrag in euro ............. 0 ............. 5 ............. 10 ............. 15 ............. 20 ............. 25 ............. 30 ............. +5 +5 ....... ....... Bepaal de regelmaat in de tabel. – Hoeveel dvd’s komen er telkens bij? +5 ....... ·5 5x +5 ....... Welk bedrag komt er telkens bij? 1 5 euro ........................................................................................................... ...... Noteer in woorden hoe je het bedrag kunt uitrekenen dat je moet betalen. ........................................................................................................... . . . . . . Schrijf de formule met de letters uit de verhoudingstabel. ........................................................................................................... . . . . . . – • +1 ....... ....... x +5 ....... • +1 ....... ........................................................................................................... . . . . . . Bedrag in € = aantal dvd’s · 5. y = x·5 y = 10 · 5 y = 50 ................................................................................................. ..... Je hebt een formule gevonden om het bedrag uit te rekenen. Bereken met de formule hoeveel je moet betalen als je tien dvd’s huurt. ................................................................................................. . . . . . Stappenplan – een formule van de vorm y = ax afleiden uit een tabel Als in een tabel bij gelijke stapjes van x ook gelijke stapjes van y horen, is er tussen x en y een verband. +1 Dit verband kun je weergegeven in een formule. Schrijf de gegevens in een tabel. Bepaal de regelmaat in de rijen. Noteer de formule. +1 2 3 4 5 6 x y 0 3 6 9 12 15 18 3x +3 +3 +3 30 y 20 10 106 1 2 3 4 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking +1 1 Teken een grafiek met de gegevens uit de verhoudingstabel bij a. 0 +1 0 Een formule van de vorm y = ax afleiden uit een grafiek • +1 x Formule : y = 3x y = a · x (a is de regelmaat van de onderste rij) b +1 5 6 x +3 +3 +3 ·3 • Wat is de vorm van de grafiek? • In welk punt snijdt de grafiek de y-as? • Maak ‘trapjes’: als het aantal dvd’s één plaats naar rechts gaat, gaat het bedrag Een rechte. 0 ............................................. ...... . .5 . . . . . . . . plaatsen naar boven. • Noteer de formule: vermenigvuldig het aantal dvd’s met het bedrag per dvd. ............................................. . . . . . . ............................................. . . . . . . y = 5·x Stappenplan – een formule van de vorm y = ax afleiden uit een grafiek Als in een grafiek bij gelijke stapjes van x naar rechts gelijke stapjes van y naar boven/onder horen, is er tussen x en y een lineair verband. y Dit verband kun je weergeven in een formule. Teken de grafiek. De grafiek gaat door (0,0). Â Maak trapjes: als x met één toeneemt, +1 Noteer de formule. 1 1 y = a · x (a is de toename van y) c Als x één stap naar rechts gaat, gaat y 3 stappen naar boven. y = 3x +3 neemt y met a toe. x Een formule van de vorm y = ax + b afleiden uit een tabel Voor de huur van dvd’s betaal je drie euro per stuk als je eerst een lidkaart koopt van tien euro. Vul de verhoudingstabel aan. De waarden die je moet berekenen komen op de onderste rij. • +1 x Aantal dvd’s y Bedrag in euro 0 10 .............. +1 1 • 2 13 16 .............. +3 +1 .............. +3 +1 3 4 19 6 25 .............. +3 +1 5 22 .............. +3 +1 28 .............. +3 x 3x + 10 .............. .............. ·. .3. . . + 10 +3 Bepaal de regelmaat in de tabel. – Welk bedrag heb je in elk geval uitgegeven, zelfs al huurde 10 euro je geen enkele dvd? Dit getal noem je het begingetal. ........................................................................................... ..... – Hoeveel dvd’s komen er telkens bij? – Welk bedrag komt er telkens bij? 1........................................................................................... . . . . . 3........................................................................................... euro ..... • Noteer in woorden hoe je het bedrag kunt uitrekenen dat je moet betalen. Het aantal dvd’s · 3 + 10. ........................................................................................... ..... • Schrijf de formule met de letters uit de verhoudingstabel. y........................................................................................... = 3x + 10 ..... Stappenplan – een formule van de vorm y = ax + b afleiden uit een tabel Schrijf de gegevens in een tabel. Bepaal de regelmaat in de rijen. Noteer de formule. y = ax + b a is de regelmaat van de onderste rij b is het begingetal begingetal = y – regelmaat van de onderste rij · x x 0 1 2 3 4 5 6 x ·3 y 2 5 8 11 14 17 20 3x +2 +2 +3 +3 +3 +3 +3 +3 formule: y = 3x + 2 begingetal = 20 – 3 · 6 = 2 107 G28 Regelmaat en formules (vervolg) d Een formule van de vorm y = ax + b afleiden uit een grafiek • Teken een grafiek met de gegevens uit de verhoudingstabel bij c. 30 y 20 10 0 1 2 3 4 5 6 x • Wat is de vorm van de grafiek? • In welk punt snijdt de grafiek de y-as? Dit is het begingetal. Een rechte. 10 ............................................................................. ....... • Maak ‘trapjes’: als het aantal dvd’s 1 plaats naar rechts gaat, gaat het bedrag ............................... . . . . . . . . . . ............................................................................. . . . . . . . Noteer de formule: vermenigvuldig het aantal dvd’s met het bedrag per dvd en tel het begingetal er bij. • 3 plaatsen naar boven. y = 3x + 10 ............................................................................. ....... Stappenplan – een formule van de vorm y = ax + b afleiden uit een grafiek Teken de grafiek. Bepaal het begingetal b. y Dit is het getal op de y-as waar de grafiek de y-as snijdt. Maak trapjes: als x met 1 toeneemt, neemt y met a toe. Noteer de formule. y=a·x+b (a is de toename van y, b is het begingetal) De grafiek snijdt de y-as in het punt 2 +3 +1 Als x één stap naar rechts gaat, gaat y 3 stappen naar boven. 2 1 1 x y = 3x + 2 Oefeningen WeeR? 352 18 Xenia legt de volgende figuurtjes met lucifers. MeeR? 353 354 a b 108 16 lucifers ............................................................................ ..... Hoeveel lucifers heb je nodig voor de volgende figuur? Vul de tabel aan. x aantal ruiten 1 2 3 4 5 6 y aantal lucifers 4 8 12 16 20 24 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking c Geef de formule waarmee je het aantal lucifers kunt bepalen als het aantal ruiten gekend is. d Hoeveel lucifers heeft Xenia nodig voor de tiende figuur? e Hoeveel lucifers heeft ze nodig voor de honderdste figuur? f Hoeveel vierkanten kan ze leggen met 60 lucifers? y............................................................................ = 4 · x ..... 40 lucifers (4 · 10 = 40) . . . . . ............................................................................ 400 lucifers (4 · 100 = 400) ............................................................................ ..... 15 vierkanten (60 : 4 = 15) ............................................................................ ..... WeeR? 356 19 Tijs legt tijdens de voetbaltraining enkele voetballen op de grond. MeeR? 357 358 a Hoeveel ballen heeft Tijs nodig voor de volgende figuur? b Vul de tabel aan. 7 ballen ............................................................................. . . . . . . x figuur 1 2 3 4 5 6 y aantal ballen 4 5 6 7 8 9 c Geef de formule waarmee je het aantal ballen kunt bepalen als je het nummer van de figuur kent. y = 3+x 13 ballen (10 + 3 = 13) ............................................................................. ...... 18 ballen (15 + 3 = 18) . . . . . . ............................................................................. ............................................................................. . . . . . . d Hoeveel ballen heeft hij nodig voor de tiende figuur? e Hoeveel ballen heeft hij nodig voor de vijftiende figuur? 20 Eén zwembeurt kost drie euro. Je kunt ook een reductiekaart kopen van tien euro. In dat geval betaal je per zwembeurt maar twee euro. a Schrijf de gegevens van beide mogelijkheden elk in een tabel. 3 euro per keer b aantal zwembeurten 0 y kostprijs 0 3 6 9 12 15 18 1 2 3 4 5 6 x aantal zwembeurten y kostprijs 0 1 2 3 4 5 6 10 12 14 16 18 20 22 Bepaal de regelmaat in de rijen. In de eerste tabel komt er telkens bij de kostprijs bij. ................. .3 . . . . .euro . . . . . . . ................................................................... . . . . . . . . . . . . . .................................................................................... c MeeR? 365 366 reductiekaart + 2 euro per keer x WeeR? 362 363 In de tweede tabel komt er telkens 2 euro bij. ........................................................................................................... ..... ........................................................................................................... . . . . . Noteer de formule. Eerste mogelijkheid: y = 3 · x . . . . . . . . . . . . . ................................................................................... ........................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................... ........................................................................................................... . . . . . . Tweede mogelijkheid: y = 10 + 2 · x d Teken beide grafieken in eenzelfde assenstelsel. Geef elke grafiek een andere kleur. e Leid uit de grafieken af vanaf wanneer de reductiekaart voordeliger is. Vanaf de tiende zwembeurt is de reductiekaart voordeliger (zie grafiek). . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . Wat moet je kunnen? τ een formule afleiden uit een tabel τ een formule afleiden uit een grafiek 109 Problemsolving 21 Thijs heeft een vel papier in tien stukken geknipt. Daarna heeft hij een van de stukken weer in tien geknipt. Dit heeft hij nog drie keer gedaan. Hoeveel stukken papier heeft hij? A 36 B 40 C D 46 e 50 56 Als het papier in tien stukken knipt, heeft hij tien stukken. Als hij één van die. . . . . . . . . . . . . . . . .Thijs . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... tien eens in tien knipt heeft hij 9 + 10 = 19 stukken. Als hij nog drie andere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nog . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... stukken in tien knipt heeft hij 19 – 3 + 30 = 46 stukken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... 22 Hoeveel getallen tussen 1000 en 10 000 zijn een kwadraat van een natuurlijk getal? 2 322 = 1024 1002 = 10 000 31 . . . . . . . . . . . . .= . . . . . . . .961 . ......................................................................................................................................................................................................... ....... 32 kleinste natuurlijke getal waarvan het kwadraat groter is dan 1000. . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . .het . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... 99 grootste natuurlijke getal waarvan het kwadraat kleiner is dan 10 000. . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . . het . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... Tussen en 100 liggen 68 getallen. Er zijn 68 getallen tussen 1000 en 10 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 . ......................................................................................................................................................................................................... die zijn van een natuurlijk getal. . . . . . . . . . . een . . . . . . . . . . . .kwadraat ......................................................................................................................................................................................................... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . C 23 Als vijf personen elkaar allemaal een keer de hand schudden hoeveel handen worden er dan geschud? Twee kunnen een keer elkaar . . . . . . . . . . . . . . . .personen . . . . . . ................................................................................... de schudden. Als drie personen . . . . . . . . .hand . . . . . . . . . . . . . ................................................................................... elkaar hand schudden zijn, dat drie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de . . ................................................................................... handdrukken. Als vier personen elkaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................... de schudden, zijn dat er zes. Als . . . . . . . . .hand . . . . . . . . . . . . . ................................................................................... vijf elkaar de hand schudden . . . . . . . . . .personen . . . . . . . . . . . . ................................................................................... zijn 10 handdrukken. . . . . . . . . . . . .dat . . . . . . . . . . ................................................................................... A B A B A B A B C D C 24 Kara maakt met vier wasspelden een vierkant. Daarna maakt zij een groter vierkant door kleine vierkantjes aan te leggen. Zo gaat zij door tot vierkant 20. Hoeveel wasspelden heeft vierkant 20 meer dan vierkant 19? Vierkant 1 (n = 1) Vierkant 2 (n = 2) 4 aantal wasspelden: 12 .aantal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .wasspelden: . . . . ................................................................................................................................................. 4 · n = 4 aantal wasspelden meer: .aantal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .wasspelden: . . . . ................................................................................................................................................. 12 – 4 = 8 = 4 · 2 = 4 · n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................. 3 (n = 3) .Vierkant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................. 24 .aantal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .wasspelden: . . . . ................................................................................................................................................. meer dan vorig vierkant: .aantal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .wasspelden . . . . ................................................................................................................................................. 12 = 4 · 3 = 4 · n .24 . . . . . . . .– . . . . .12 . . . . . . . . . .= . ................................................................................................................................................. D E 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................. Vierkant (n = 20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ................................................................................................................................................. aantal meer dan vorig vierkant: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . wasspelden . . . . . ................................................................................................................................................. 4. . . . .·. . .n. . . . . . . .=. . . . . . . .4. ................................................................................................................................................. · 20 = 80 110 Problemsolving 2 3
