Convectie in de aardmantel: de aarde als

Convectie in de aardmantel: de aarde als warmtemotor
A.P. van den Berg
Instituut voor Aardwetenschappen
Universiteit Utrecht
Budapestlaan 4
3584 CD Utrecht
January 13, 2007
1
Contents
1 Inleiding en samenvatting
3
2 Globale interne structuur en interne temperatuur van de aarde
4
2.1 Wat weten we van de inwendige struktuur van de aarde? . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Wat weten we over de chemische samenstelling van de aarde? . . . . . . . . . . 5
2.3 Nucleaire brandstof en de aardse warmtemotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Een eerste aanzet tot modelvorming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Aanwijzingen over samenstelling en temperatuur van het inwendige van de aarde 8
2.5.1 Aanwijzingen voor de samenstelling van de mantel . . . . . . . . . . . . 8
2.5.2 Bepaling van de inwendige temperatuur van de aarde . . . . . . . . . . 9
3 Convectiestroming in de aardmantel en de geodynamica
3.1 Geofysische gegevens van het aardoppervlak . . . . . . . . . .
3.2 Recycling en subductie van oceaankorst . . . . . . . . . . . . .
3.3 Fysische modelvorming voor de dynamica van de aardmantel .
3.3.1 Rayleigh-Benard convectie in een hoogvisceuze vloeistof
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Computermodellen voor mantelconvectie
4.1 Introduktie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 ‘Full-convection’ modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Geparameteriseerde convectiemodellen . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Een modelvergelijking voor een afkoelend warmtereservoir
4.3.2 Een warmtereservoir met constante wanddikte . . . . . . .
4.3.3 Modellen met variabele dikte van de thermische grenslaag
5 Powersim modellen voor een afkoelende aarde
5.1 Een warmtereservoir met constante wanddikte . . . . .
5.2 Mantelmodellen met variabele grenslagen . . . . . . . .
5.2.1 Een isovisceus model zonder interne verwarming
5.2.2 Het effect van radioactieve interne verwarming .
5.2.3 Het effect van variabele viscositeit . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
14
15
.
.
.
.
.
.
17
17
18
18
19
20
20
.
.
.
.
.
23
23
24
24
26
26
6 Referenties
28
7 Figuren
29
1
1
NLT-JCU-geo/Doc convectie
2
1
Inleiding en samenvatting
Dat het inwendige van de aarde warmer is dan het aardoppervlak werd al lang vermoed.
Verschijnselen als vulcanisme en het voorkomen van hydrothermale (warme) bronnen werden
hiermee verklaard.
Tegenwoordig is het vrijwel algemeen bekend dat het inwendige van de aarde een bewegend en veranderlijk systeem is met aan het aardoppervlak verschuivende platen waarop continenten en oceanen in de geologische geschiedenis over duizenden kilomters zijn verplaatst.
Sinds eind jaren zestig van de vorige eeuw is de platentektoniek het leidende ‘paradigma’
2
in de aardwetenschappen. Tegelijkertijd bestaat er nog steeds veel onzekerheid over de
achterliggende processen in het inwendige van de aarde, waarvan de platentektoniek de uiterlijke expressie is. 3
In dit hoofdstuk wordt een aanzet gegeven voor de beantwoording van de vraag naar
welke processen er verborgen liggen onder de plaattektoniek. Antwoorden worden gezocht
in de afkoeling van de aarde gedurende het 4.6 miljard jarige bestaan van de aarde. Daarvoor wordt een verband gelegd tussen de waargenomen verschijnselen samenhangend met de
platentektoniek en de warmtehuishouding van het inwendige van de aarde. Met de warmtehuishouding wordt hier bedoeld: de temperatuurverdeling, de warmtetransportmechanismen,
de energievoorziening van het systeem en de afkoelingsgeschiedenis.
De warmtehuishouding van de aarde is van belang voor de beantwoording van de volgende
vragen:
• Wat drijft de platentektoniek aan? Hoe kan de platentektoniek in stand worden gehouden
gedurende de geologische geschiedenis?
• Is er altijd platentektoniek geweest tijdens de geologische geschiedenis van de aarde?
• Is er platentektoniek (geweest) op de andere ‘aardse’ planeten Mercurius, Venus en Mars
of op de maan?
• Waarom is de kern van de aarde zo heet dat een aanwezige vloeibare ijzer legering snel
genoeg kan stromen om het aardmagneetveld te kunnen opwekken via een dynamoproces. Hoe kan de ‘energiehonger’ van deze geodynamo worden gestild?
Voor de beantwoordingen van deze en andere vragen is het nodig dat we de warmtehuishouding van de aarde begrijpen en met behulp van fysische modellen kunnen beschrijven.
Dit hoofdstuk bestaat uit de volgende drie onderdelen:
• Het eerste deel in sectie 2 geeft een overzicht van de globale interne struktuur van de
aarde. Dit wordt aangevuld met een bepaling ‘in grote lijnen’ van de interne temperatuur
2
samenhangend stelsel van modellen en theorien die een denkkader vormen waarmee de ‘werkelijkheid’ geanaliseerd
wordt. zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Paradigma
3
Het wetenschappelijk magazine Science noemt dit een van de grote wetenschappelijke vragen in de 21e eeuw.
De huidige stand van zaken van onze kennis over de aarde wordt vergeleken met het inzicht van iemand die naar
de wijzers van de Big Ben kijkt en moet vaststellen dat de bewegende wijzers weliswaar nuttige informatie bevatten
maar weinig vertellen over wat hen beweegt. R.A. Kerr, How does Earth’s interior work?, Science,309, 87, 2005.
http://www.sciencemag.org/cgi/reprint/309/5731/78b.pdf
3
verdeling via waargenomen fase-overgangen in het diepe inwendige van de aarde. Dit
betreft zowel overgangen van de vaste- naar de vloeibare fase in de aardkern alsook
vastestof fase-overgangen in de mantel. De hieruit gevonden temperatuurwaarden zijn in
overeenstemming met een model waarin convectief warmtetransport een overheersende
rol speelt in de diepe aardmantel. 4
• In het tweede deel in sectie 3 wordt grootschalige convectiestroming in de mantel behandeld in samenhang met beschikbare geofysische gegevens. Geofysische observaties
aan het oppervlak worden geı̈nterpreteerd als expressies van thermische convectie van de
aardmantel. Hierbij staat model het Rayleigh-Benard convectieproces in een visceuze,
van onder verhitte vloeistoflaag. De invloed van fase-overgangen op het convecterend
systeem wordt behandeld en het mantelstromingsmodel wordt in verband gebracht met
driedimensionale beelden van de inwendige struktuur verkregen met seismische tomografie. 5
• Deel drie behandelt modelvorming voor de thermische evolutie van de aarde in secties
4 en 5. Resultaten van modelberekeningen voor een convecterende aardmantel worden
behandeld. Evolutiemodellen voor de gemiddelde temperatuur van de aardmantel en
aardkern worden hier geintroduceerd en verder uitgewerkt in een modelleer opdracht uit
te voeren met het modelleringsprogramma powersim.
2
2.1
Globale interne structuur en interne temperatuur van de aarde
Wat weten we van de inwendige struktuur van de aarde?
De grootschalige structuur van de aarde met onderverdeling in korst, mantel, binnen- en
buitenkern is in de afgelopen honderd jaar gaande weg steeds nauwkeuriger bepaald via voornamelijk seismologisch onderzoek. Figuur 1 toont schematisch de onderverdeling van de aarde
en laat tegelijk de gekromde seismische stralen zien waarlangs de elastische golfenergie zich
voortplant tussen een aardbevingshaard en een reeks seismische registratiestations. Seismische stralen zijn te vergelijken met lichtstralen in een optisch medium, waarbij straal breking
en reflectie kan optreden bij vlakken met overgangen in de voortplantingssnelheid.
Wanneer de gegevens van de bron bekend zijn (plaats en tijd) dan kan de looptijd van een
seismische golf, tussen de bron en een reeks ontvangers, worden bepaald uit de waargenomen
aankomsttijd van de golf in een seismogram (zie Fig. 2). Door combinatie van zulke looptijden
voor een reeks van seismologische observatiestations met verschillende bron-ontvanger afstand
wordt de looptijd als functie van de bron-ontvanger afstand bepaald. Uit het preciese verloop
van deze looptijdfunctie kan vervolgens de verdeling van de golfsnelheid als functie van de
diepte met wiskundige methoden worden bepaald. Hiermee is eerst gevonden dat de aarde
een kern heeft met een straal van 3480 km. Bij de overgang van de aardmantel naar deze
kern neemt de golfsnelheid sterk af.
4
Warmtetransport in de aarde vindt plaats via a) warmtegeleiding, ookwel aangeduid als conductie en b) via
convectie waarbij thermische energie via materiaalstroming wordt getransporteerd.
5
De seismische tomografie is een seismologische techniek die verwant is aan de medische echografie. Uit analyse
van looptijd metingen van seismische golven, tussen een groot aantal seismische bronnen (aardbevingen) en registratie
stations, wordt een driedimensionale (3-D) ruimtelijke verdeling berekend van de seismische golfsnelheid.
4
Uit de analyse van grootschalige getijdenvervorming van de vaste aarde onder invloed van
de zwaartekracht van zon en maan is later gebleken dat de kern van de aarde (gedeeltelijk)
vloeibaar is. Uiteindelijk is uit de observatie van seismische signalen, gereflecteerd aan de
vaste binnenkern met een straal van 1221 km, gebleken dat de kern gedeeltelijk vast/vloeibaar
is.
Deze structuur van de aarde is goed te zien in de verdeling van een aantal fysische grootheden van het standaard aardmodel PREM in Fig. 3 (Anderson & Dziewonski, 1981). 6
Opdracht: 1 In Fig. 3 zien we dat de seismische golfsnelheden toenemen in de richting van
het aardcentrum. Ga na dat de kromming van de straalpaden, in Fig. 1, in overeenstemming
is met de snelheidstoename in de richting van het aardcentrum volgens de brekingswet van
Snellius.
Hint: voor een lichtstraal die invalt op een grensvlak tussen twee media, met verschillende
voortplantingsnelheden van het licht, v1 en v2 , wordt de relatie tussen de invalshoek φ1 en de
brekingshoek φ2 , beiden gemeten ten opzichte van de normaal op het grensvlak, gegeven door
de wet van Snellius,
sin(φ2 )
sin(φ1 )
=
v1
v2
2.2
(1)
Wat weten we over de chemische samenstelling van de aarde?
Direkte waarnemingen van aardmaterialen beperken zich tot de buitenste regionen van de
aardmantel. We zijn daarom aangewezen op indirekte gegevens voor de bepaling van de
samenstelling van de inwendige aarde. Belangrijke indirekte aanwijzingen komen van meteorieten, in het bijzonder van de groep van de chondritische meteorieten. 7
De gemiddelde chemische samenstelling van het niet-vluchtige deel van deze ‘chondrieten’
blijkt sterk overeen te komen met de samenstelling van de buitenste lagen van de zon, zoals
uit spectraalanalyse van het zonlicht blijkt. Aangenomen wordt dat de chondrieten het restmateriaal vormen van de de vroegste vormingsfasen van het zonnestelsel, uit een stellaire
wolk van stof en gas, waaruit behalve de zon ook de planeten gevorm zijn.
Volgens de gangbare hypothese van de ‘chondritische aarde’ komt de chemische samenstelling van de aarde in grote lijnen overeen met die van de chondrieten. We zullen hiervan
gebruik maken in het vervolg.
2.3
Nucleaire brandstof en de aardse warmtemotor
De chondritische samenstelling is onder andere relevant omdat die concrete gegevens biedt
over aanwezige langlevende warmte bronnen in de vorm van radioactieve isotopen van thorium, uranium en kalium, 232 T h, 238 U , 235 U en 40 K die de bulk van de huidige interne verwarming van de aarde uitmaken. Deze radioactieve isotopen worden via natuurlijk verval
6
Het standaard aardmodel PREM, Preliminary Reference Earth Model, is voornamelijk op seismologische waarnemingen gebaseerd. Het geeft de verdeling met de diepte in de aarde van de belangrijkste fysische grootheden
zoals dichtheid, elastische parameters en seismische golfsnelheid. Zie voor meer informatie bijvoorbeeld de URL
http://de.wikipedia.org/wiki/PREM.
7
http://nl.wikipedia.org/wiki/Chondriet
5
omgezet in stabiele isotopen en hierbij komt een aanzienlijke hoeveelheid warmte vrij. Natuurlijk radioactief verval verloopt volgens het volgende exponentiële verband,
H(t) = H(0) exp(−t/τe )
(2)
Hierin is H [W/kg] de warmteproduktiviteit per massa eenheid en τe is de karakteristieke
vervaltijd, de tijd waarmee de hoeveelheid met een factor 1/e = 0.3678794 . . . afneemt. Men
gebruikt ook vaak de halfwaarde tijd τ2 . Dit is de tijd waarbinnen een isotoop halveert via
natuurlijk verval. Hiervoor geldt τe = 1. . . . × τ2 .
Deze τe is verschillend per isotoop waardoor de samenstelling van de radioactieve brandstofmix continu verandert. Dit wordt geı̈llustreerd in Fig. 4 waar de warmteproduktiviteit
van de afzonderlijke isotopen in een branstofmix van chondritische samenstelling is uitgezet
tegen de tijd voor de gehele levensduur van de aarde. Hier is te zien hoe de ‘kortlevende’
uraan en kalium isotopen, 235 U en 40 K, aanvankelijk de dominante warmtebronnen waren.
Terwijl in de huidige aarde thorium de voornaamste warmtebron vormt.
Vaak wordt in modellen voor de interne verwarming een gemiddelde samenstelling van de
brandstofmix gebruik met aangepaste definitie van de karakteristieke vervaltijd. Dit model
van de gemiddelde brandstofmix voorspelt een huidige waarde van ∼ 5 × 10−12 W/kg en een
halfwaarde tijd van τ2 ∼ 2.4 miljard jaar (τe ∼ 3.5 miljard jaar.
Er bestaat enige onzekerheid over de interne verwarming van de aarde doordat de hoeveelheid kalium in gesteenten van de aardkorst en mantel (voorzover toegankelijk) lager blijkt te
zijn dan de gemiddelde waarden afgeleid uit condritsiche meteorieten. Een mogelijke verklaring hiervan is dat kalium een relatief hoge oplosbaarheid heeft in vloeibaar ijzer onder hoge
temperatuur en druk. Dit zou betekenen dat een belangrijk deel van het aanwezige kalium
opgelost kan zijn in de aardkern bij vorming van de vloeibare kern via differentiatie uit de
oorsprongkelijk homogene aarde.
Dit kalium in de kern betekent een belangrijke energiebron voor de aandrijving van het
proces van de geodynamo waarmee het aardmagneetveld instand wordt gehouden door convectiestromingen in de vloeibare buitenkern van de aarde.
2.4
Een eerste aanzet tot modelvorming
We bekijken hier een geval waarin het transport van warmte(energie), alleen via warmtegeleiding (conductie) plaats vindt. In algemener gevallen, die we later zullen tegenkomen, speelt
naast geleiding ook warmte transport, via materiaal stroming, aangeduid als convectie, een
belangrijke rol.
Het model bestaat uit een homogene bolsymmetrische aarde met uitsluitend conductief
warmtetransport. We veronderstellen dat het model in een stationaire toestand verkeert,
d.w.z. dat temperatuur overal constant is in de tijd. In overeenstemming hiermee nemen we
verder aan dat er evenwicht is tussen interne warmteproduktiviteit en warmteverlies aan de
omringende ruimte door het oppervlak van de aardbol.
We gaan uit van de geleidingswet van Fourier. 8 Deze warmtegeleidingsweet stelt dat
de warmtestroomdichtheid door een oppervlak J [W m−2 ] evenredig is met de gradient van
8
In de elektriciteitsleer beschrijft de wet van Ohm de diffusie van electrische lading, via een elektrische stroom,
onder invloed van elektrische spannings verschillen. De wet van Ohm V = I × R geeft het verband tussen een
spanningsverschil V over een elektrische weerstand R en de elektrische stroomsterkte I.
Een analogie hiervan is de wet van Fourier die de diffusie van warmte beschrijft, via een warmtestroom, onder invloed
6
de temperatuur dT /dr [Km−1 ] en de specifieke warmtegeleidingscoefficient k [W K −1 m−1 ],
kortweg de conductiviteit. De temperatuurgradient is de temperatuurverandering per lengteeenheid.
dT
(3)
J = −k
dr
We veronderstellen een uniforme verdeling van de interne warmte produktiviteit H [W kg −1 ]
in het inwendige van de bol. We bekijken eerst een bolschil met straal r
De warmte die in het inwendige van de bol wordt gegenereerd per tijdseenheid moet in
geval van thermisch evenwicht gelijk gesteld worden aan de totale warmtestroom door het
oppervlak van de bolschil.
Opdracht: 2 Verklaar dit laatste in je eigen bewoording.
Werken we deze evenwichtsvoorwaarde uit met de formules voor het volume en oppervlak
van een bol met straal r dan volgt daaruit,
dT
dT
ρH
4π 3
r ρH = 4πr2 J = −4πr2 k
→
=−
r
(4)
3
dr
dr
3k
In (4) stelt ρ [kgm−3 ] de dichtheid voor, ρH [W m−3 ] de warmteproduktiviteit per volume
eenheid en H [W kg −1 ] de warmteproduktiviteit per massa eenheid. Uit (4) blijkt dat de
afgeleide van de temperatuur naar de straalcoordinaat r een lineaire functie is van r.
De geotherm, dat is de radieële temperatuurverdeling in het bolsymmetrische model 9 , is
dan een tweede graadsfunctie van r die op een willekeurige constante na bepaald is.
Deze integratieconstante kan worden geëlimineerd wanneer de temperatuur in één punt
bekend is. We gebruiken hiervoor de bekend veronderstelde temperatuur aan het oppervlak
van de aardbol met straal R, zeg T (R) = TR .
Opdracht: 3 Ga na dat dit de volgende oplossing voor de geotherm geeft,
ρH 2
(R − r2 )
(5)
T (r) = TR +
6k
Opdracht: 4 Schets het temperatuur verloop in de bol volgens 5 en bepaal de temperatuur
in het centrum van de bol en halverwege het centrum en het oppervlak (als benadering van de
kern-mantelgrens van de aarde) voor de volgende parameterwaarden in onderstaande Tabel.
Model: homogene bol
Parameter waarde
eenheid
R
6371
km
TR
273
K
−1
k
4
W K m−1
ρ
5500
kg m−3
H
5
10−12 W kg −1
van temperatuurverschillen. Een analoge formule voor een 1-D warmtegeleider, T = Q × l/k, geeft het verband tussen
de warmtestroom Q [W ] door een thermische geleider en het temperatuurcontrast T [K] over de geleider. Hierin is
k [W K −1 m−1 ] de specifieke geleidingscoëfficient en l de lengte van de 1-D geleider.
9
Een bolsymmetrische grootheid varieert uitsluitend in de richting van de bolstraal (ookwel radiële richting), dat
is de richting van het middelpunt van de bol gezien vanuit een observatiepunt. Zo’n grootheid is constant langs een
concentrische boloppervlak door een observatiepunt.
7
Vergelijken we het parabolische temperatuurprofiel (5), voorspeld door dit model, met de
experimenteel bepaalde smelttemperatuur van verschillende mineralen in de waarschijnlijke
samenstelling van de gesteentemantel van de aarde dan volgt dat het model een gesmolten
ondermantel voorspelt. 10
Dit laatste is echter in tegenspraak met de seismologische observaties van transversale
seismische golven die door de diepe mantel zijn voortgeplant. Zulke transversale golven
kunnen zich alleen in vaste stoffen voortplanten. Fig. 2 laat een typisch seismogram zien met
(P ) en (S) signalen, corresponderend met longitudinale of primaire respectievelijk transversale
of secundaire elastische golven. De bron (in Algerije) en ontvanger (in Nederland) zijn in
dit geval zodanig tenopzichte van elkaar gepositioneerd dat de straalpaden, tussen bron en
ontvanger, gedeeltelijk door de ondermantel lopen.
We zien dat uit het simpele conductieve evenwichts model een voorspelling volgt (van een
gesmolten diepe mantel) die in strijd is met de seismologische observaties. We kunnen hieruit
concluderen dat dit model blijkbaar niet voldoet.
In het vervolg zullen modellen worden besproken waarin naast conductief warmtetransport
convectief transport een belangrijke rol speelt. Met zulke modellen blijkt het mogelijk een
temperatuurverdeling te berekenen die beneden de smelttemperatuur van de mantel blijft, in
overeenstemming met de geofysische waarnemingen.
2.5
Aanwijzingen over samenstelling en temperatuur van het inwendige van de
aarde
Informatie over de toestand van het diepe inwendige van de aarde is te verkrijgen uit een
combinatie van indirekte waarnemingen, in de seismologie en de gravimetrie (studie van het
aardse zwaartekrachtveld), met laboratorium gegevens van hogedruk en temperatuur (HPT)
experimenten op gesteenten waaruit de mantel mogelijk is samengesteld.
Waneer de samenstelling van de mantel bekend is kan via HPT experimenten, bij hoge
manteldruk, de invloed van de hoge inwendige temperatuur op een aantal materiaaleigenschappen systematisch worden onderzocht. Dit betreft vooral de invloed van de temperatuur
op fase-overgangen in de aarde, vast-vast en vast-vloeibaar. De zo gemeten temperatuur
afhankelijkheid kan daarna worden gebruikt om uit geofysische observaties de inwendige temperatuur van de mantel te bepalen, op een aantal plaatsen waar fase-overgangen plaatsvinden.
We zullen in het volgende voorbeelden zien van deze aanpak.
2.5.1
Aanwijzingen voor de samenstelling van de mantel
De belangrijkste gegevens worden gevonden in een combinatie van waarnemingen aan seismogrammen en laboratorium hoge druk-temperatuur (HPT) experimenten aan ‘kandidaat’
gesteente voor de aardmantel. 11
10
De smelttemperatuur in de ondermantel is een niet nauwkeurig bekende, met de druk toenemende grootheid die
waarschijnlijk ligt in het temperatuurbereik 4000-7000 K.
11
Een veronderstelde samenstelling van het mantelgesteente is afgeleid uit een combinatie van gegevens. Dit betreft:
(a) gesteenten aan het aardoppervlak waaronder een klein gedeelte afkomstig is van betrekkelijk grote diepte (honderden km), (b) de samenstelling van (chondritische) meteorieten, die volgens de hypothese van de ‘chondritische aarde’
representatief zijn voor het oermateriaal waaruit de aarde is gevormd.
8
De snelheden van longitudinale en transversale seismische golven vP en vS worden bepaald
door elastische parameters van het gesteente materiaal namelijk, de schuifmodulus G en de
incompressibiliteit K 12 en door de dichtheid ρ van het medium volgens de volgende formules,
vP =
v
u
uK
t
+ 43 G
, vS =
ρ
s
G
ρ
(6)
Uit analyse van de looptijd van seismische golven was begin 20e eeuw al duidelijk geworden dat
de seismische golfsnelheid en de dichtheid van het gesteente met toenemende diepte (en druk)
toeneemt. Door gestaag toenemende kwaliteit en kwantiteit van de seismische registraties is
inmiddels een gedetailleerd 1-D profiel opgesteld voor de seismische snelheden als functie van
de diepte. Hierin komen scherpe toenamen voor van de golfsnelheden vP en vS en de dichtheid
ρ, met name in het diepte bereik tussen 400 en 660 km, aangeduid als de transitiezone. Deze
trends zijn goed te zien in het PREM model weergegeven in Fig. 3.
Daarnaast blijkt uit HPT experimenten dat het hypothetische silicaatgesteente, waaruit
de mantel waarschijnlijk is samengesteld, bij toenemende druk, achtereenvolgens een aantal
(vastestof) fase-overgangen ondergaat waarbij het gesteente een steeds compacter kristalvorm
met toenemende massadichtheid krijgt. Tegelijkertijd neemt ook de schuifmodulus en de incompressibiliteit van het gesteente toe, wat tot uitdrukking komt in een toenemende elastische
golfsnelheden met toenemende druk.
Deze overgangen in de materiaaleigenschappen van het kandidaat gesteente voor de mantel, samenhangend met waargenomen fase-overgangen in HPT experimenten zijn inmiddels
voor een deel van de fase-overgangen geı̈dentificeerd met scherpe toenamen in de seismische
snelheden en dichtheid in de mantel transitiezone. Zo’n identificatie van een fase-overgang,
waargenomen in een HPT experiment, met een scherpe overgang in de modelparameters van
het PREM model is mogelijk met behulp van de bekende druk en temperatuur waarden waarbij het HPT experiment plaatsvindt. De drukwaarde van het experiment kan namelijk direkt
worden gebruikt om de corresponderende diepte in het PREM model te bepalen.
Concreet betekent deze identificatie van meerdere fase-overgangen met het PREM model
dat de hypothetische samenstelling van de mantel in overeenstemming is met de seismologische
waarnemingen en met de HPT lab experimenten.
2.5.2
Bepaling van de inwendige temperatuur van de aarde
Nu we meer zekerheid hebben over de chemische en mineralogische samenstelling van de
mantel kunnen we een stap verder gaan en de combinatie van seismologische en HPT lab
observaties gebruiken om meer duidelijkheid te krijgen over de temperatuurverdeling in het
inwendige van de aarde.
Hierbij gaan we uit van de bekende samenstelling van het hypothetische mantel- en kernmateriaal. We kunnen via HPT experimenten de voorkomende fase-overgangen in dit maDeze hypothetische gesteentesamenstelling bestaat voornamelijk uit magnesiumsilicaten. In de bovenmantel (diepte
< 660 km) zijn dit vooral olivijn, M g2 SiO4 en pyroxeen, M gSiO3 en in de ondermantel perovskiet, M gSiO3 met
periclaas M gO.
12
De materiaalparameters G en K beschrijven respectievelijk de elastische weerstand van een elastisch materiaal
tegen vormverandering tengevolge van schuifspanning en volumeverandering tengevolge van een ‘alzijdige’ lithostatische
druk, vergelijkbaar met de hydrostatische druk in een vloeistof in rust.
9
teriaal bestuderen bij verschillende temperatuur en druk waarden. De druk waarbij een
fase-overgang plaatsvindt is een functie van de temperatuur, zeg Pt (T ). Wanneer voor een
bepaalde fase-overgang in het kandidaatgesteente de functie Pt (T ) experimenteel is bepaald,
dan kan een identificatie van deze faseovergang met een overgang in de seismische parameters
in het PREM model worden gebruikt om de temperatuur te bepalen in het inwendige van de
aarde op de diepte aangegeven door het PREM model. Op die manier kunnen ‘ankerpunten’
voor de verticale verdeling van de temperatuur in het inwendige van de aarde worden bepaald.
Deze methode van temperatuurbepaling voor de inwendige aarde wordt geı̈llustreerd met
het onderstaande schematisch weergegeven fasediagram, een druk tegen temperatuur grafiek,
waarin de druk-temperatuur condities van de fase-overgang zijn aangegeven door een curve,
die vaak met een rechte lijn wordt benaderd, hier aangegeven door de diagonaal. Het
weergegeven diagram is representatief voor de eerder genoemde fase-overgang die op ongeveer
660 km diepte plaats vindt in de mantel waarbij de hoge drukvorm ‘ringwoodite’ van het
aanwezige olivijn, bij verder toenemende druk, uiteenvalt en overgaat in een samengesteld
materiaal bestaande uit de mineralen perovskiet, M gSiO3 en periclaas M gO. Deze fasegrens
geeft de overgang aan tussen de onder- en bovenmantel.
Deze faseovergang is geı̈dentificeerd met de overgang in het PREM model bij een druk
P660 ∼ 24 × GP a(109 P a). Door keuze van deze PREM-waarde van de druk P660 op de
verticale druk-as van de grafiek kan de bijbehorende temperatuur van de mantel, T660 , op de
horizontale as worden afgelezen.
| *
|
*
|
*
|
*
P_660 |--------->*
|
| *
|
|
*
P ^ |
|
*
| |
|
*
|----------V-------------------T_660
T -->
Op deze manier heeft men gevonden: P660 = 23.9 GP a , T660 = 1900 ± 100 K.
In Fig. 3 is te zien dat zowel de dichtheid als de beide seismische snelheden (van P en S
golven) toenemen, bij toenemende diepte bij deze fasegrens. Deze fase-overgang blijkt ook een
waarneembaar effect te hebben op de grootschalige circulatie in de mantel zoals we verderop
bij de behandeling van convectiestroming in de mantel zullen zien.
De temperatuur van de vast-vloeibaar fase-overgang tussen binnen- en buitenkern is op een
vergelijkbare manier bepaald. Uit het PREM model volgt een druk bij grens van binnen- en
buitenkern van 330 GP a. Uit het experimenteel bepaalde verloop van de smelttemperatuur
als functie van de druk is bepaald dat de temperatuur bij de fase-overgang ongeveer 5000 K
bedraagt.
10
In Fig. 5a zijn de beide ‘ankerpunten’ van de geotherm schematisch weergegeven:
• De bovengenoemde fase-overgang op ongeveer 660 km diepte en druk van 23.9 GP a
waarvoor de temperatuur bepaald is op T660 = 1900 ± 100 K.
• De fase-overgang tussen de vaste binnenkern en de vloeibare buitenkern op ongeveer
5150 km diepte en druk van 330 GP a bij een temperatuur van ongeveer 5000 K. In Fig.
5b is schematisch weergegeven hoe het smeltpunt van de ijzerlegering in de kern sneller
met de druk toeneemt dan de geotherm. Als gevolg hiervan groeit de vaste binnenkern
tijdens het afkoelen van de aarde, door kristallisatie van de vloeibare buitenkern.
Met de zo verkregen temperatuur waarden in de beide ankerpunten kan vervolgens via
berekening een schatting van de temperatuur aan beide zijden van de kern-mantelgrens worden verkregen. Op die manier kan de grootte van een eventueel temperatuurcontrast over de
kern-mantelgrens worden bepaald dat weer bepalend is voor de warmtestroom uit de aardkern.
Om de geotherm vanuit de ankerpunten aan beide zijden van de kern-mantelgrens, via
modelberekening, tot aan deze kern-mantelgrens te kunnen uitbreiden (ook wel extrapoleren)
moeten we aanamen doen over de heersende warmtetransport mechanismen. Zo hebben
we eerder gezien dat een evenwichtsmodel met alleen warmtegeleiding resulteerde in een
onacceptabele temperatuurverdeling.
De aanname die we hier gebruiken bij de extrapolatie van de temperatuurverdeling vanuit
de ankerpunten van de geotherm is dan ook dat, zowel in de aardmantel als in de aardkern, het
warmtetransport voornamelijk via convectiestroming plaatsvindt. Dit staat in de thermodynamica bekend als aanname van adiabatische omstandigheden. Dit betekent dat wanneer een
hoeveelheid mantel materie verticaal verplaats wordt, onder invloed van convectiestroming,
deze verplaatsing gebeurt zonder warmte-uitwisseling met de omgeving. De hierbij horende
1-D temperatuurverdeling (geotherm) wordt een adiabaat genoemd.
De geotherm kan via een adiabatische temperatuur berekening vanuit een ankerpunt worden geëxtrapoleerd over een dieptebereik waarvoor de adiabatische aanname geldig is. Deze
adiabatische temperatuurberekening maakt gebruik van thermodynamische theorie die we
hier niet verder behandelen.
Fig. 5 illustreert hoe de temperatuur vanuit beide ankerpunten tot aan de kern-mantelgrens
wordt uitgebreid naar de kern-mantelgrens op 2900 km diepte. De temperatuurverdeling verloopt niet gelijkmatig in de mantel en kern zoals in evenwichtsmodel 5 maar vertoont een
sprong bij de kern-mantelgrens. De figuur laat zien dat er een groot temperatuur contrast
van zo’n 1500 K aanwezig is over de kern-mantel grens.
Hoe kan deze uitkomst fysisch worden verklaard? Dit wordt tegenwoordig verklaard door
de onderste laag van de aardmantel op te vatten als een thermische grenslaag.
Zo’n thermische grenslaag is een verschijnsel dat optreedt bij een grensvlak van een convecterend systeem waar convectief warmtetransport (via stroming) overgaat in conductief
transport (via geleiding), zoals we verderop zullen zien bij de behandeling van convectie. De
kern-mantel grens is zo’n locatie waar alleen conductief warmtetransport mogelijk is. Dit
volgt uit de sterk contrasterende eigenschappen van het materiaal in kern en mantel. In
Fig. 3 is te zien dat de dichtheid bij de kern-mantel grens bijna verdubbelt. Het lichtere
11
mantelgesteente drijft als het ware op het veel zwaardere vloeibare metaal van de aardkern.
Er is dus geen materiaalstroming van kern naar mantel of omgekeerd en warmtetranport kan
alleen via geleiding plaatsvinden.
Eigenlijk is de uitkomst van een thermische grenslaag onderin in de mantel niet helemaal
onverwacht. Bij de extrapolatie van de experimenteel bepaalde temperatuur T660 , op de grens
tussen boven- en ondermantel, is namelijk gebruik gemaakt van de aanname van een adiabatisch verloop van de geotherm, wat veronderstelt dat warmtetransport vooral plaats vindt
via convectie. Als we de gevonden aanwijzing voor een thermische grenslaag interpreteren
als bewijs voor de aanwezigheid van sterke convectiestroming in de mantel dan passen we
eigenlijk een cirkelredenering toe vanwege de gebruikte adiabatische extrapolatie.
Recente ontwikkelingen in verschillende wetenschappelijke disciplines hebben nieuwe waardevolle informatie opgeleverd, waardoor de hierboven genoemde aanwijzingen voor een thermische grenslaag onderin de aardmantel worden bevestigd.
Essentieel is hierbij de ontdekking geweest van een nieuwe fase-overgang in het belangrijkste materiaal van de ondermantel, perovskiet. Uit modern materiaalonderzoek is gebleken
dat perovskiet naar een dichtere kristalvorm, aangeduid als postperovskiet, transformeert. In
HPT experimenten blijkt deze fase-overgang plaats te vinden bij een druk die overeenkomt
met een diepte in de aardmantel enkele honderden kilometers boven de kern-mantel grens,
afhankelijk van de locale temperatuur. De temperatuur van de fase-overgang van ∼ 2440 K
in deze experimenten komt goed overeen met de eerder via extrapolatie bepaalde geotherm
van de ondermantel (660-2900 km).
Inmiddels zijn seismologen er ook in geslaagd deze fase-overgang, met behulp van geavanceerde methoden, te identificeren in seismische waarnemingen. De eerste nauwkeurige
bepalingen van seismische reflecties aan het grensvlak van de fase-overgang zijn inmiddels
gerapporteerd voor enkele regionale gebieden in de diepe mantel. De komende jaren zal deze
nieuwe fase-overgang naar verwachting verder in kaart gebracht worden.
Deze recente ontwikkeling betekent een belangrijke doorbraak in de interpretatie van de
thermische toestand van de aarde omdat hiermee voor het eerst de temperatuur dicht boven
de kern-mantel grens direkt kan worden bepaald, gebruik makend van de nieuwe gegevens
van HPT experimenten en seismologische waarnemingen, zonder extrapolaties gebaseerd op
onzekere aannamen. De thermische grenslaag die daarmee wordt aangetoond levert vervolgens
onafhankelijke aanwijzing op voor de convectieve toestand van de diepe aardmantel.
Voor het temperatuurverloop in de buitenkern wordt eveneens gebruik gemaakt van extrapolatie langs een adiabaat onder aanname dat warmtetransport hier voornamelijk convectief is. Voor de buitenkern is dat een vrij zekere aanname o.a. omdat al in het begin van
de vorige eeuw, door seismologisch onderzoek en onderzoek van de getijde deformatie van de
vaste aarde, werd aangetoond dat de buitenkern vloeibaar is.
Daarnaast blijkt uit analyse van het aardmagneetveld dat dit veld wordt opgewekt in de
kern van de aarde. Het aardmagneetveld wordt opgewekt in een ‘magneto-hydrodynamisch’
proces, kortweg geodynamoproces. Hierbij wekken elektrische stromen in het elektrisch geleidende metaal een magneetveld op, waarbij de elektrische stroom op zijn beurt via elektromagnetische inductie wordt opgewekt door de interactie van het geleidend materiaal en het
magneetveld (dynamo werking). Wanneer voldoende energiebronnen beschikbaar zijn om
12
het convectieproces gaande te houden en de nodige warmte via de kern-mantelgrens en de
bovenliggende mantel kan worden afgevoerd, kan dit dynamoproces zichzelf in stand houden.
Computermodellen voor de geodynamo kunnen inmiddels belangrijke eigenschappen van
het aardmagneetveld te reproduceren, waaronder het dipoolkarakter en de varierende sterkte
met noord-zuid ompoling met onregelmatige tussenposen van gemiddeld enkele honderdduizenden jaren. 13
3
Convectiestroming in de aardmantel en de geodynamica
3.1
Geofysische gegevens van het aardoppervlak
In het voorgaande hebben we gezien dat de temperatuur in het diepe inwendige van de
aardmantel in overeenstemming is met een model waarin thermische convectiestroming het
warmtetransport in de diepe mantel domineert, resulterend in een thermische grenslaag in de
onderste laag van de aardmantel dicht bij de kern-mantelgrens.
Ook verschillende waarnemingen aan het aardoppervlak zijn in overeenstemming met
grootschalige stroming in de mantel. Dit wordt bijvoorbeeld geı̈llustreerd in Fig. 6 waarin
een sterke tweedeling in de topografische hoogte tussen continenten en oceanen op aarde is
te zien.
De aparte rol van de aardkorst terplaatse van oceanische gebieden, kortweg oceaankorst, wordt nog duidelijker bevestigd door de verdeling van de geologische ouderdom van het
basaltische korstgesteente van de oceaanbodem. Deze basaltische oceaankorst blijkt te worden
gevormd, uit stolling van smelt, afkomstig uit de aardmantel onder mid-oceanische ruggen, die
een netwerk vormen dat de aarde omspant. De geologische ouderdom van de oceaankorst, dat
is de verstreken tijd sinds het moment van stolling, wordt experimenteel bepaald zowel met
radiometrische ouderdomsbepaling 14 als aan de hand van gedetailleerde paleomagnetische
analyse 15 van de omkeringen van het aardmagneet veld die zijn ‘ingevroren’ in het stollend
en afkoelend korstgesteente tijdens het vormingsproces van de korst bij de mid-oceanische
rug. Dit laatste is geı̈llustreerd in Fig. 7 waar te zien is hoe de wisselende polariteit van
het aardmagneetveld bij het uiteendrijven van de oceanische platen, aan weerszijden van
de oceanische rug, wordt vastgelegd in een symmetrisch patroon van ‘ompolingen’ van het
paleomagnetisch veld.
De distributie van de oceanische ouderdom weergegeven in Figuur 8a,b laat een duidelijke
systematiek zien van toenemende ouderdom met de afstand tot de mid-oceanische ruggen.
De oceanische korst wordt blijkbaar in een continue proces gevormd bij de mid-oceanische
ruggen om vervolgens via ‘oceaanspreiding’ te worden afgevoerd.
Opdracht: 5 Maak een ruwe schatting van een gemiddelde snelheid van de oost-pacifische
13
http://www.es.ucsc.edu/ glatz/geodynamo.html
Hierbij wordt gebruik gemaakt van natuurlijk radioactief verval van een instabiele isotoop van bijvoorbeeld uranium
naar een stabiele isotoop van (in het voorbeeld) lood. Uit de verhouding van de aanwezige concentratie van beide
isotopen in een basaltisch gesteentemonster kan, met behulp van de bekende vervaltijd τe , zie (2), de tijd worden
berekend sinds het moment van stolling van het gesteente uit een basaltische smelt.
15
Bij de vorming van gesteenten, bijvoorbeeld door stolling van lava, kan het heersende aardmagneetveld worden
‘ingevroren’ in het gesteente. Met behulp van zeer gevoelige magnetische metingen kunnen sterkte en richting van het
‘oude’ (paleo) magneetveld worden bepaald.
14
13
plaat uit een schatting van ouderdom en afgelegde weg.
3.2
Recycling en subductie van oceaankorst
De ouderdom van de oceaankorst weergegeven in Fig. 8 is kleiner dan 200 miljoen jaar en de
oceaankorst wordt via subductiezones ge-recycled in de aardmantel. Recycling van oceaankorst in de aardmantel via het subductieproces wordt aanschouwelijk gemaakt in beelden van
de ruimtelijke variatie van de seismische golfsnelheid in de mantel zoals die met behulp van
methoden uit de seismische tomografie kunnen worden gemaakt. Zulke beelden worden kortweg tomografische beelden genoemd. In Fig. 9 is de verdeling van de P-golfsnelheid in een
grootcirkelvlak 16 door de aegeische zee en de japanse eilanden, te zien waarin twee subductie
zones kunnen worden onderscheiden als hoge snelheidsanomaliën die tot grote diepte in de
mantel te volgen zijn.
Aangezien de relatief kleine snelheidsvariaties (grootte orde 1%) voor een belangrijk deel
door de temperatuur zijn bepaald, met een negatieve correlatie (∆v/∆T < 0) kunnen de
tomografische beelden in eerste instantie worden geı̈nterpreteerd als beelden van ruimtelijke
temperatuurvariaties in het inwendige van de aarde. Gebieden met hoge snelheid corresponderen dan met negatieve temperatuurafwijkingen zoals in een koude subducerende oceaankorst. En omgekeerd wijzen gebieden met lage snelheden op positieve temperatuur anomalie.
Dit laatste wordt geı̈llustreerd in Fig. 10 met een tomografische doorsnede van de noordatlantische mantel onder IJsland waarin een uitgebreide lage snelheidsanomalie zichtbaar is,
wijzend op een verhoogde temperatuur van de mantel, wat in overeenstemming is met de
vulcanische geschiedenis van IJsland en wijde omgeving in de noord-atlantische oceaan.
De interpretatie van de mid-oceanische ruggen als vormingszones van jonge oceanische
korst wordt verder bevestigd door de globale verdeling van de warmtestroomdichtheid door
het aardoppervlak, weergegeven in Fig. 11, die voor de oceaankorst relatief goed bepaald
is via een groot aantal marien-geofysische warmtestroommetingen. Integratie van deze data
over het gehele aardoppervlak levert een totale warmtestroom op van 44 × 1012 W (44 T W ).
Opdracht: 6 Vergelijk dit laatste getal met de totale warmte-output van een aardmodel met
interne verwarming corresponderend met een chondristische samenstelling van de aarde, zoals
behandeld in secties 2.3 en 2.4. Wat kan hieruit worden geconcludeerd?
3.3
Fysische modelvorming voor de dynamica van de aardmantel
Al deze verschillende waarnemingen hebben geleid tot een interpretatie met behulp van een
convecterende aardmantel, waarin grootschalige convectiestroming wordt aangedreven door
dichtheidsverschillen die samenhangen met temperatuur variaties in de mantel, 17 in cartoonvorm weergegeven in Fig. 12.
Hoe kan het langzame vloeigedrag van de mantel worden verklaard, dat wordt gesuggereerd
door de plaatsnelheden in de platentektoniek, van enkele centimeters per jaar? Deze vraag
16
En grootcirkel op een boloppervlak wordt gedefinieerd als de snijlijn (cirkel) van het boloppervlak met een plat
vlak door het middelpunt van de bol.
17
Dichtheidsverschillen tengevolge van temperatuurvariaties in een stof kunnen in goede benadering berekend met
de formule, ρ(T ) = ρ0 (1 − α(T − T0 )). Hierin wordt de dichtheid bij temperatuur ρ0 = ρ(T0 ) als referentiewaarde
gebruikt voor de dichtheid, voor niet te grote waarden van de temperatuurafwijking (T − T0 ).
14
is terecht omdat we in het voorgaande uit de waargenomen voortplanting van transversale
golven in het gehele dieptebereik van de mantel hebben geconcludeerd dat de mantel in vaste
toestand verkeert. De verklaring ligt in een proces dat bekend staat als vaste-stof kruipgedrag.
Dit speelt een grote rol in deformatie processen in de vaste aarde op geologische tijdschaal
van miljoenen jaren, onder andere samenhangend met gebergtevorming. Op kortere tijschaal
komen we kruipprocessen tegen in de natuur in het stromingsgedrag van gletscherijs. 18
De viscositeit van het mantelmateriaal, die de deformatiesnelheid in het vloeigedrag
bepaalt, kan onder andere worden gemeten met behulp van analyses van postglaciale opheffing. Dat is het voortdurend omhoog komen van grote gebieden bijvoorbeeld in Scandinavie
en Canada na het wegsmelten van de ijskap aan het einde van de laatste ijstijd. Hierbij wordt
de oorspronkelijke, negatieve topografie opgevuld door toestromend hoogvisceus mantel materiaal. Hiermee is bepaald dat viscositeit van de bovenmantel onder de sterke schil van de
lithosfeer ongeveer 1021 P a s bedraagt. De viscositeit van de ondermantel blijkt een factor
10 tot 100 hoger te zijn. Deformatie experimenten met kandidaat gesteente voor de mantel,
voornamelijk olivijn, geven vergelijkbare waarden.
3.3.1
Rayleigh-Benard convectie in een hoogvisceuze vloeistof
Convectiestroming in een van onder verhitte visceuze laag wordt vaak aangeduid met RayleighBenard convectie. Benard heeft dit verschijnsel in laboratorium experimenten bestudeerd.
Later heeft Rayleigh een mathematisch-fysische modelanalyse opgesteld. Bij Rayleigh-Benard
convectie in een horizontale vloeistoflaag met hoogte h worden de boven- en onderzijde op
een verschillende temperatuur T0 en T0 + ∆T gehouden. Hierbij blijkt dat als ∆T kleiner is
dan een kritische waarde ∆Tc er uitsluitend warmtegeleiding in de laag optreedt waarbij de
vloeistof niet in beweging komt.
Opdracht: 7 Beargumenteer dat voor de warmtestroomdichtheid q door de laag, in het geval
met uitsluitend geleiding geldt q = k∆T /h.
Hints: Ga uit van een stationaire situatie (d.w.z. de temperatuur is overal constant in de
tijd) en van een medium zonder interne warmteproduktie. Beschouw een verticale kolom
met een doorsnede met eenheidsoppervlakte. Via een vergelijkbare argumentatie als toegepast
bij het stationair model met een intern verwarmde bol, in sectie 2.4, kunnen we nu laten
zien dat de temperatuurverdeling met de diepte lineair is. Dit volgt door in te zien dat de
warmtestroomdichtheid door de onderkant van de kolom, zeg q1 , gelijk is aan de waarde q(z)
op willekeurige diepte z onder de bovenrand. Dit laatste volgt uit de afwezigheid van interne
warmteproduktie. Met de geleidingswet van Fourier (3) en het feit dat de toestand stationair
is, geldt dan,
q(z) = k
dT
= q1 → T (z) = a + bz
dz
(7)
18
De vaste stof gedraagt zich in deze voorbeelden als een visco-elastisch medium. Dit betekent dat een mechanische
belasting van zulk materiaal die op een korte termijn werkt resulteert in een elastische deformatie, die zich herstelt
na wegvallen van de belasting dit terwijl een landurige belasting leidt tot vervloeing met permanente deformatie na
wegvallen van de belasting. Seismische golfvoortplantings speelt zich af op korte tijdschaal, (periodische golven met
perioden van seconden tot uren), resulterend in elastische deformatie. Langduriger belasting zoals door kilometers
dikke ijskappen tijdens ijstijden en grootschalige temperatuurvariaties in mantelconvectie resulteren in permanente
deformatie via visceuze stroming. Zie ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticity.
15
De constanten a en b kunnen hieruit worden geëlimineerd door substitutie van de bekende
temperatuur op de rand voor z = 0 en z = h.
Bij grotere waarden van het temperatuurcontrast, ∆T > ∆Tc , blijkt de laag instabiel te
worden, De vloeistof komt in beweging en convectief transport zal een bijdrage in het totale warmtetransport door de laag leveren. Bij verder toenemende ∆T zal het convectief
warmtetransport uiteindelijk overheersend worden.
De kritische waarde ∆Tc hangt af van de parameters van de vloeistoflaag, zoals de viscositeit η, de thermische uitzettings coëfficient α en de warmtediffusiecoefficient κ = k/ρcP ,
met ρ de dichtheid, k de warmtegeleidingscoefficient en cP de soortelijke warmte bij constante
druk. Ook neemt ∆Tc toe met de zwaartekrachtversnelling g. Rayleigh toonde aan dat het
gedrag van dit systeem kan worden beschreven met een enkele dimensieloze parameter, het
Rayleigh getal,
ραg∆T h3
(8)
κη
Ra is evenredig met het temperatuurcontrast ∆T en Rayleigh toonde wiskundig aan dat
instabiliteit in de vloeistoflaag optreedt bij een kritische waarde RaC van de parameter Ra,
die later naar hem genoemd is.
In Fig. 13 is het verloop van de warmtestroom door een vloeistoflaag tegen het Rayleigh
getal. Deze resultaten zijn verkregen met een computermodel voor een 2-D ruimtelijk domein
met vierkante doorsnede, dat in de derde dimensie, loodrecht op de doorsnede, oneindig
uitgebreid gedacht kan worden.
De warmtestroomdichtheid is hier uitgedrukt in het dimensieloze Nusselt getal, N u, dat
is de berekende warmtestroomdichtheid gedeeld door de corresponderende referentiewaarde
van een uitsluitend conductieve laag k∆T /h. Het kritisch Rayleigh getal blijkt afhankelijk te
zijn van de aspectratio (breedte/hoogte) van de convectiecel. In Fig. 13 ligt RaC tussen 500
en 1000. Wiskundig kan voor de kritische waarde worden aangetoond
dat de kleinste waarde
√
van RaC = 27π 4 /4 = 657.5 optreedt bij een aspect ratio a = 2. Voor het numerieke model
met vierkant domein (a = 1) geldt RaC = 779.3.
De figuur illustreert dat convectief warmtetransport zeer effectief is vergeleken met conductief transport. Bij een Rayleigh getal 105 is de warmtestroomdichtheid al tien keer groter
dan de conductieve waarde.
Ra =
Opdracht: 8 Bereken de waarde van het Rayleigh getal van de mantel van de aarde gebruikmakend van representatieve parameter waarden in Tabel 3.3.1. Wat concludeer je uit de
berekende waarde?
Mantel parameters
Parameter waarde eenheid
ρ
4500
kg m−3
−5
α
2 × 10
K −1
∆T
3000
K
η
1022
Pa s
κ
10−6
m2 s−1
16
Opdracht: 9 Figuur 13 geeft het verband tussen het Nusselt getal N u en het Rayleigh getal,
Ra, met dubbel logaritmische assen. Voor grote waarde van het Rayleigh getal blijkt er een
lineaire verband te zijn, log N u ∼ log Ra. Ga na dat hieruit volgt dat N u ∼ C · Raβ . In de
legenda van de figuur zijn de berekende waarden van de parameters weergegeven, β = 0.35109,
C = 0.19311. Dergelijke machtsrelaties worden toegepast in zogenaamde geparameteriseerde
convectiemodellen die verderop worden behandeld om de warmteuitstroom uit de afkoelende
aarde te berekenen.
Figuur 14 laat uitkomsten van computerberekeningen aan een wiskundig convectiemodel
zien met een Rayleigh-Benard convectiecel. Hierbij is aangenomen dat de oplossing constant is in de tijd (een stationaire toestand). In de linker kolom zijn stroomlijnen te zien
(banen die denkbeeldige deeltjes in de stationaire stroming doorlopen). De stroomsnelheidsvector is gericht langs de raaklijn aan de stroomlijn en de sterkte van de stroomsnelheid
is evenredig aan de locale dichtheid van de stroomlijnen. De middelste kolom geeft de temperatuurverdeling met aan de linker rand een opstijgende warme vloeistofpluim en rechts een
neerdalende koude pluim. De rechterkolom toont de verticale verdeling van de gemiddelde
temperatuur. De temperatuur plots illustreren de gelijkmatige temperatuurverdeling in de
kern van de convectiecel en sterke verticale variatie in de horizontale grenslagen, grenzend
aan de isotherme onder- en boven rand. Hieruit valt af te leiden dat in de grenslagen het
verticale warmtetransport via geleiding dominant is. Dit laatste volgt door toepassen van
de geleidingswet van Fourier (3) en de grote waarde van dT /dz, de verticale afgeleide van
de temperatuur, in de grenslagen. Het temperatuurcontrast over de afzonderlijke grenslagen,
δT ∼ 0.5, verandert niet met het Rayleigh getal, in tegenstelling tot de grenslaagdikte die
afneemt bij toenemend Rayleigh getal. Dit verklaart waarom de warmtestroom door de laag
sterk toeneemt bij toenemend Rayleigh getal zoals te zien is in Fig. 13.
4
4.1
Computermodellen voor mantelconvectie
Introduktie
In het voorgaande hebben we gezien dat er verschillende aanwijzingen zijn, in geofysische
waarnemingen en resultaten van HPT experimenten op mantelgesteenten, voor grootschalige
convectiestroming in de aardmantel. De mogelijkheden voor direkte waarnemingen aan de
convecterende mantel zijn echter zeer beperkt. Diepboringen zijn beperkt tot ongeveer tien
kilometer diepte. Gesteente fragmenten uit de diepere mantel die als ‘xenolieten’ omhooggebracht worden, bijvoorbeeld via vulcanische processen, zijn zeldzaam. Daarnaast speelt het
mantelconvectieproces zich af op een geologische tijdschaal van vele miljoenen jaren. Zo lezen
we uit de ouderdom van de atlantische oceaankorst af dat de opening van deze oceaan al zo’n
200 miljoen jaar gaande is.
Voor de beantwoording van veel vragen omtrent de evolutie van de aarde en de mantel
in het bijzonder, zijn we daarom aangewezen op modelstudies. Met zulke studies kunnen
mogelijke scenario’s voor de mantelevolutie, op geologische tijdschaal en voor het volledige
dieptebereik van de mantel worden onderzocht. De uitkomsten, in de vorm van modelvoorspellingen, moeten dan met de beschikbare geologische en geofysische waarnemingen worden
17
vergeleken om waarnodig de gebruikte modellen aan te passen, zodat de modellen niet in
strijd zijn met de zich steeds verder uitbreidende beschikbare waarnemingen.
In het voorgaande hebben we voorbeelden gezien van modellen van de aarde en de aardmantel. Het evenwichtsmodel met een uniform verwarmde bol, in sectie 2.4, kon worden
uitgedrukt in een formule voor de interne tempertuur (5). Minder eenvoudige modellen zijn
meestal niet meer tot berekenbare formules te herleiden en we zijn dan aangewezen op numerieke methoden om modelvoorspellingen met behulp van computers te produceren.
Bij computermodellen voor de thermische evolutie van de aarde worden twee typen onderscheiden: de eenvoudiger geparameteriseerde modellen, uitgebreider behandeld in sectie
4.3, en de meer gedetailleerde ‘volledige’ convectiemodellen, kort aangestipt in sectie 4.2. Om
praktische redenen beperken we ons hier tot geparameteriseerde modellen waarvan we enkele
voorbeelden zullen behandelen in het vervolg. In sectie 5 worden praktische opdrachten met
toepassingen van computermodellen besproken.
4.2
‘Full-convection’ modellen
Gedetailleerde convectiemodellen waarin de temperatuurvariaties over het modelvolume in
rekening worden gebracht worden in de engelstalige literatuur aangeduid met ‘full convection
models’. Fig. 14 toont resultaten van een ‘volledig’ convectiemodel waarin gedetailleerde
variaties van de stromingstoestand (stroomlijnen) en temperatuur over het gehele inwendige
domein zijn weergegeven.
Door het groter detail waarmee de temperatuur en stromingstoestand in de ‘volledige’
modellen worden berekend kunnen ook meer specifieke vragen met deze modellen worden
beantwoord. Typische voorbeelden van ‘modelvragen’ die met ‘volledige’ convectiemodellen
kunnen worden beantwoord zijn:
• Kunnen subducerende oceanische platen de ondermantel bereiken, of vormt de transitiezone tussen 400 en 660 km diepte een barriere tussen onder en bovenmantel?
• Er zijn aanwijzingen dat er een laag met afwijkende chemische samenstelling onderin
de aardmantel aanwezig is. Dit compositieverschil kan mogelijk een positief dichtheidscontrast van rond 1% veroorzaken. Is het mogelijk dat zo’n hypothetische laag voor
lange tijd (miljarden jaren) kan blijven bestaan zonder door thermische convectie door
de gehele mantel te worden vermengd?
De ‘volledige’ convectiemodellen vereisen veel meer computercapaciteit dan de eenvoudiger
geparameteriseerde convectiemodellen en we beperken ons verder tot deze laatste modellen.
4.3
Geparameteriseerde convectiemodellen
Bij de geparameteriseerde modellen wordt de gemiddelde temperatuur over het modelvolume
gebruikt als de te voorspellen modelgrootheid. Daarbij wordt de warmtestroom door het
aardoppervlak, die de afkoeling aandrijft, op een vereenvoudigde manier, in formulevorm
uitgedrukt (geparameteriseerd) in de gemiddelde temperatuur. Dit levert dan een wiskundige
vergelijking op die met een computerprogramma kan worden opgelost met als resultaat de
gemiddelde temperatuur, als functie van de tijd, die de thermische evolutie van het aardmodel
beschrijft.
18
Voorbeelden van vragen die met geparameteriseerde convectie worden kunnen worden
beantwoord zijn:
• Hoeveel is de aardmantel afgekoeld sinds de vroege geschiedenis van de aarde zo’n 4
miljard jaar geleden. Dit hangt samen met de vraag naar de hoeveelheid basaltische
oceaankorst die wordt gevormd bij de opwellende mantelconvectiestroming en hiermee
samenhangend de vraag naar het ontstaan van platentektoniek op de jonge hetere aarde.
• Voor modellen met warmtekoppeling tussen aardmantel en kern: Hoe snel is de afkoeling van de kern verlopen? En wat is het effect van eventuele warmte produktie door
radioactieve isotopen, zoals 40 K, in de kern? Dit is o.a. van belang vanwege de vraag of
er in de vroege aarde al geschikte condities waren voor opwekking van een magneetveld
in de aardkern. Aanwezigheid van een aardmagneetveld is o.a. belangrijk i.v.m. de
condities voor het ontstaan van leven op de vroege aarde vanwege de schildwerking van
het aardmagneetveld tegen de schadelijke zonnewind.
In het vervolg wordt eerst een algemeen geparameteriseerd convectie model geı̈ntroduceerd
in sectie 4.3.1. Speciale gevallen met verschillende condities voor de grenslagen van het model
worden besproken in afonderlijke secties 4.3.2 en 4.3.3.
4.3.1
Een modelvergelijking voor een afkoelend warmtereservoir
We hebben eerder in Fig. 14 gezien dat de temperatuur in een convecterende vloeistof een
gelijkmatige verdeling heeft in het inwendige en een sterk variërende temperatuur in een
dunne grenslaag bij de rand.
Warmtetransport via warmtegeleiding door de thermische grenslaag is daarbij bepalend
voor de snelheid van afkoeling in tijdafhankelijke convectiemodellen. Als we de dikte van
de grenslaag δl en het temperatuurcontrast δT over de grenslaag kennen dan volgt voor de
warmtestroomdichtheid door de wand q uit de geleidingswet van Fourier (3), q = kδT /δl. Dit
wordt gebruikt in geparameteriseerde convectiemodellen.
Deze modellen zijn gebaseerd op een energiebehoudswet toegepast op een afkoelende
warmtereservoir. We gaan hierbij uit van een reservoir (aarde) met een volume V , dichtheid
ρ en soortelijke warmte c [JK −1 kg −1 ], dan is C = ρcV [JK −1 ], de warmtecapaciteit van
het reservoir. Als we aan het reservoir een hoeveelheid (warmte) energie ∆E onttrekken of
toevoegen dan zal de temperatuur veranderen met ∆T = ∆E/C. We kunnen vervolgens
∆E/∆t, de verandering van de energieinhoud per tijdseenheid, in een balansvergelijking opnemen samen met de warmtestroom door het oppervlak en de door interne warmtebronnen,
per tijdseenheid, geproduceerde warmte,
∆E
= −qA + ρHV
∆t
(9)
Hierin zijn A en V de oppervlakte en het volume van het reservoirmodel voor de aarde,
q [W m−2 ] de gemiddelde warmtestroomdichtheid door het oppervlak en H [W kg −1 ] is de interne warmteproduktiviteit per massaeenheid. De warmteproduktiviteit per volume eenheid
19
is dan ρH. We drukken de verandering van de energieinhoud in (9) uit in een temperatuurverandering ∆T met ∆E = C∆T = ρcV ∆T . Invullen in (9) geeft in het limietgeval voor
kleine ∆t,
Aq
H
dT
=−
+
dt
ρcV
c
(10)
Om de temperatuur als functie van de tijd uit (10) te kunnen oplossen moeten we eerst de
warmtestroomdichtheid q en de warmteproductiviteit H specificeren.
4.3.2
Een warmtereservoir met constante wanddikte
Als eerste voorbeeld passen we (10) toe op een vereenvoudigd model van een warmtereservoir
(bijv. een warmwaterboiler) in een vat met wanddikte δl met conductiviteit k. Voor dit eenvoudig model bestaat er een exacte oplossing in formulevorm van de modelvergelijking (10).
Die formule zal verderop worden gebruikt om een indruk te krijgen van de nauwkeurigheid
van de computermodelberekeningen.
We veronderstellen hier dat de temperatuur T (t) verandert in de tijd terwijl de buitentemperatuur Ts constant blijft. We nemen verder aan dat er geen interne warmteproduktie is
(H = 0). Het temperatuurcontrast over de wand van het vat is δT = T − Ts we kunnen dan
voor de warmtestroomdichtheid door de wand schrijven q = kδT /δl = k(T − Ts )/δl. Ingevuld
in (10) vinden we,
kA
dT
=−
(T − Ts )
dt
Cδl
(11)
Omdat we Ts constant gesteld hebben geldt dTs /dt = 0 en ook dT /dt = d(T − Ts )/dt. We
kunnen dan, met een substitutie T 0 = T − Ts en kA/(Cδl) = 1/τ , (11) herschrijven in de
standaardvorm,
dT 0
1
= − T0
dt
τ
(12)
Dit heeft als oplossing een exponentiele functie
T 0 (t) = T 0 (0) exp(−t/τ )
(13)
Opdracht: 10 Ga na dat de grootheid τ = Cδl/(kA) de dimensie tijd heeft. τ is de thermische relaxatietijd van het model, dat is de tijdsduur waarin de temperatuur met een factor
1/e = 0.36787944 . . . afneemt.
4.3.3
Modellen met variabele dikte van de thermische grenslaag
In het voorgaande model gingen we uit van een onveranderlijke dikte δl van de wand van het
warmtereservoir. Dit resulteerde in de differentiaalvergelijking (11) die wiskundig kan worden
opgelost met een oplossing in formule vorm (13). Dit betekent dat de temperatuur waarde
voor willekeurige tijd in formule vorm met een calculator kan worden berekend.
We hebben eerder gezien dat bij convectiemodellen de dikte van de voorkomende thermische grenslaag afhangt van de toestand van de convectiestroming die wordt bepaald door
20
het Rayleigh getal. Dit effect is geı̈llustreerd in Fig. 14 waar de temperatuurverdeling in
een convectiecel met duidelijke grenslagen wordt vergeleken voor verschillend Rayleigh getal.
Voor grote waarde van het Rayleigh getal met Ra/Rac 1 blijkt dat,
Ra
δl = h
Rac
−β
(14)
Uit (14) volgt dat de dikte van de grenslaag toeneemt voor afnemend Rayleigh getal, ofwel
tijdens afkoeling van het warmtereservoir.
Modellen met in de tijd veranderende dikte van de grenslagen worden gebruikt om de
afkoeling van de aarde te bestuderen. We passen de parameterisatie van de grenslaagdikte
14 toe in een warmtemodel voor de aarde waarin de aardmantel en kern als afzonderlijke
warmtereservoirs worden beschreven. Hiermee kan in principe worden onderzocht hoe snel de
vaste binnenkern van de aarde aangroeit tijdens het afkoelen van de aarde. Omdat de huidige
afmeting van de vaste binnenkern bekend is geeft dit de mogelijkheid om het model te ijken
met de data. Wij zullen hier echter een eenvoudiger model opstellen waarmee de gemiddelde
temperatuur van de mantel en de kern afzonderlijk kunnen worden berekend. Dit resulteert
in twee gekoppelde modelvergelijkingen waarin de conductieve warmte uitwisseling tussen de
aardmantel en de kern bij de kern-mantel grens is meegenomen. Het resulterend model kan
o.a. worden gebruikt om te onderzoeken wat het effect zou zijn van de aanwezigheid van
kalium in de aardkern. 19
De resulterende vergelijkingen zijn niet meer eenvoudig in formulevorm oplosbaar. In
plaats daarvan zullen we de vergelijkingen gebruiken in een computermodel met behulp van
het modelleer programma powersim.
We willen een warmtemodel voor de aarde opstellen waarin rekening wordt gehouden met
warmteuitwisseling tussen de kern en de mantel. Zowel in de kern als in de mantel is thermische convectie het belangrijkste warmtetransport mechanisme met sterk verschillende stroomsnelheid tussen kern en mantel. Kern en mantel vormen hierbij mechanisch gescheiden systemen waarbij materiaal uitwisseling verwaarloosbaar is en de warmteuitwisseling tussen de
hete kern en de koelere mantel via warmtegeleiding verloopt.
We stellen hiervoor een model op met twee thermisch gekoppelde warmtereservoirs. Een
analoog model is weergegeven in het onderstaande schema met twee communicerende vaten.
Linker en rechter vat staan hierin model voor kern en mantel. Het aangegeven niveauverschil
van de vloeistof delta h drijft een stroming aan van links naar rechts langs de regelbare
kraan (weerstand) kc. Uitstroom van het rechter reservoir gebeurt via de kraan km.
19
Aanwezigheid van kalium, opgelost in het vloeibare ijzer/nikkel van de kern wordt soms aangevoerd als verklaring
voor de depletie (verarming) van de aardkorst en mantel vergeleken met chondritische meteorieten (zie sectie 2.2).
De vloeibare metalen aardkern is gevormd door differentiatie uit de jonge ongedifferentieerde aarde zo’n 4.6 miljard
jaar geleden. Het gesmolten ijzer is volgens deze theorie tijdens de kern-mantel differentiatie aangerijkt in kalium ten
opzichte van de chondritische samenstelling als gevolg van een relatief grote oplosbaarheid van kalium in vloeibaar
ijzer. Als gevolg hiervan is het kalium gehalte van de achterblijvende mantel lager dan de oorspronkelijke chondritische
samenstelling. De radioactieve isotoop fractie 40 K zou hiermee een belangrijke bijdrage leveren van de interne warmte
produktie van de aardkern.
21
|
|
|
|
|***|.......|...|.....
|
|
|
|
delta h
|
|
|***|.....
|
|
|
|
|
|--||---|
|--|||------||----------||kc
km
De kranen in het analoge modellen zijn te vergelijken met de thermische weerstand van de
grenslagen bij de kern-mantelgrens en bij het aardoppervlak in een convecterende aardmantel.
Voor de warmtestroom door de beide grenslagen geldt qc = kc δTc /δlc en qm = km δTm /δlm ,
met δTc en δTm het temperatuur contrast over de afzonderlijke grenslagen. We nemen in het
vervolg aan dat zowel de warmtegeleidings coefficient als de laagdikte voor beide grenslagen
gelijk is, kc = km = k en δlc = δlm = δl.
We hebben gezien dat de dikte van de thermische grenslaag δl varieert met het Rayleigh
getal volgens (14). We zien aan (14) dat de dikte van de grenslagen toeneemt bij afnemende
waarden van het Rayleigh getal, dat is bij voortgaande afkoeling van het model. De thermische
weerstand δl/k neemt hierbij met de grenslaagdikte toe waardoor de warmtestroomdichtheid
qc en qm afneemt. We zien dus dat de afkoelingssnelheid in een model met variabele grenslagen
sneller afneemt dan in gevallen met constante grenslaagdikte waar de snelheid van afkoeling
alleen afneemt door een dalend temperatuurcontrast over de constante wanddikte.
We nemen verder aan dat de temperatuur in het inwendige van de mantel gelijkmatig
verdeeld is en stellen de tijdafhankelijke gemiddelde temperatuur Tm . De temperatuur van
de kern stellen we Tc . Voor de beide temperatuur contrastwaarden geldt,
δTc = Tc − Tm , δTm = Tm − Ts
(15)
Hierin is Ts de temperatuur aan het aardoppervlak. Voor het temperatuurcontrast tussen het
aardoppervlak en de kern dat de convectie in de mantel aandrijft geldt dan δTsc = Tc − Ts =
δTc + δTm . Het Rayleigh dat convectie in de mantel karakteriseert wordt hiermee,
Ra =
ραg(δTs + δTc )h3
ραgδTsc h3
=
κη
κη
(16)
Voor de bolschil van de aardmantel met dikte h kunnen we de warmtestroom door het
gesloten oppervlak in (10) splitsen in de uitstroom door het aardoppervlak en een instroom
door de kern-mantel grens met tegengesteld teken,
dTm
4π 2
Hm
2
=
R c qc − R m
qm +
dt
Cm
cm
(17)
Toepassing van eenzelfde energie behoudswet (11) voor het afzonderlijk warmtereservoir van
de kern geeft,
dTc
−4πRc2
Hc
=
qc +
dt
Cc
cc
(18)
22
Hierin is de warmtestroomdichtheid aan het aardoppervlak gegeven door qm = (k/δl)(Tm −Ts )
en voor de kern-mantelgrens gegeven door qc = (k/δl)(Tc − Tm ). Voor de dikte van de beide
mantelgrenslagen wordt dezelfde waarde δl gebruikt, die m.b.v. (14) wordt uitgedrukt in het
Rayleigh getal (16).
We kunnen uit het voorgaande, als speciaal geval, een vereenvoudigd ‘ontkoppeld’ mantelmodel zonder warmteuitwisseling tussen mantel en kern afleiden door substitutie van qc = 0
in (17). Dit levert een enkele vergelijking op waarmee de mantel temperatuur Tm kan worden
berekend. Dit laatste kan worden gebruikt voor omstandigheden waarbij de warmtestroom
van de kern verwaarloosbaar is.
5
Powersim modellen voor een afkoelende aarde
In het voorgaande hebben we verschillende modellen voor het verloop van de temperatuur,
in de tijd, van warmtereservoirs behandeld. Voor eenvoudige warmtemodellen is het temperatuurverloop nog te bepalen door de modelvergelijking, met exacte wiskundige methoden, in
formule vorm op te lossen. Het model van een warmtereservoir met constante wanddikte is
hiervan een voorbeeld.
Voor complexere modellen zoals die met variërende grenslaagdikten lukt dit niet meer
en in die gevallen worden numeriek wiskundige (computer) methoden gebruikt om de modelvergelijkingen op te lossen.
We zullen in het vervolg enkele warmtemodellen voor de afkoelende aarde toepassen en
we gebruiken daarbij het modelleringsprogramma powersim. 20 We beginnen met het eenvoudig model van een warmtereservoir met constante wanddikte van sectie 4.3.2 en breiden
dit vervolgens uit voor variabele grenslagen. Hiermee onderzoeken we de effecten van radioactieve interne verwarming en temperatuurafhankelijke viscositeit op het afkoelingsgedrag van
de modellen. Daarbij worden de huidige warmtestroom uit de aardmantel en de mantelviscositeit gebruikt om de modellen in verband te brengen met beschikbare waarnemingen.
5.1
Een warmtereservoir met constante wanddikte
Algemeen toepasbare computermodellen kunnen zodanig worden opgezet dat eenvoudiger
situaties, waarvoor een exacte oplossing van de modelvergelijkingen in formulevorm bestaat,
als speciaal geval met het computermodel kunnen worden doorgerekend. Hiermee kunnen
de computermodellen worden getest in een zogenaamde ‘benchmarking’ procedure en kan
de nauwkeurigheid van de resultaten bij verschillende parameterinstellingen, zoals de tijdstapgrootte, worden onderzocht door direkte vergelijking van de numeriek berekende modeluitkomst met de uitkomst berekend met de beschikbare exacte oplossing in formulevorm.
We gebruiken hier het model van sectie 4.3.2 als benchmark bij de start van de ontwikkeling
van opeenvolgende warmtemodellen voor de aarde.
20
De powersim software en documentatatie (Basishandleiding) over powersim is te vinden op de URL
http://www.cdbeta.uu.nl/vo/modelleren.
E. Savelsbergh, K. Kortland en Ontwikkelgroep Dynamisch Modelleren, Basishandleiding Powersim, Universiteit
Utrecht Centrum voor Didactiek van Wiskunde en Natuurwetenschappen Ontwikkelgroep Dynamisch Modelleren,
2002.
23
Opdracht: 11 Ontwikkel een computermodel met het powersim programma voor het warmtereservoir met constante wanddikte van sectie 4.3.2. Ga hierbij uit van vergelijking (12) en definieer
het temperatuurcontrast T 0 als een voorraadgrootheid en het linkerlid van de vergelijking (12)
als een uitstroomgrootheid. De relaxatietijd τ en de begintemperatuur T 0 (0) worden als instelbare constante modelparameters gedefinieerd die in eerste instantie de waarden 1 respectievelijk
2 krijgen.
Stel de simulatieberekening in voor een tijdinterval 0 ≤ t ≤ 5 met een output tijdstap van
1. Kies eerst een euler integratiemethode met grote tijdstap, zeg ∆t = 0.5. Specificeer een
grafiek en een tabel van de temperatuur T 0 tegen de modeltijd t.
Voer achtereenvolgens modelberekeningen uit voor verschillende waarden van de tijdstap
∆t. Ga na of de resultaten lijken te convergeren voor kleiner wordende tijdstap ∆t.
Opdracht: 12 Om het verband tussen de nauwkeurigheid van de berekende temperatuur en
de integratietijdstap in het model van de voorgaande opdracht te kwantificeren wordt (een
copie van) het powersim model uitgebreid met een berekening van de exacte oplossing in de
vorm van de exponentiele functie (13).
Definieer hiervoor de nieuwe hulpgrootheid Texp voor de exponentiele oplossing (13). De
relatieve onnauwkeurigheid in de numerieke oplossing wordt gedefinieerd als,
Erel (t) =
T 0 (t) − Texp (t)
Texp (t)
(19)
Voor de tijd t kan in de powersim formule voor (19) de voorgedefinieerde variabele TIME
worden gebruikt. Voeg de grootheid Erel toe als derde kolom aan de tabel. Voer de modelberekening opnieuw uit en vergelijk de relatieve fout voor verschillende instellingen van de
integratiestap ∆t bij gebruik van de euler methode en voor de nauwkeuriger runge-kutta (vierde
orde) methode met variabele tijdstap.
5.2
Mantelmodellen met variabele grenslagen
We breiden de computermodellen hier uit met variabele grenslagen met de in 4.3.3 besproken
theorie.
In sectie 4.3.3 hebben we gezien dat een vereenvoudigd aardmodel wordt verkregen met de
aanname dat warmteuitwisseling tussen mantel en kern verwaarloosbaar is. De vergelijking
voor de manteltemperatuur wordt dan,
2
dTm
−4πRm
Hm
=
qm +
dt
Cm
cm
5.2.1
(20)
Een isovisceus model zonder interne verwarming
We gaan eerst uit van een model waarin de uniforme viscositeit van de mantel niet van de
temperatuur afhangt.
Opdracht: 13 Maak een computermodel voor het temperverloop in de tijd van de afkoelende
aardmantel met behulp van (20)
Aanwijzingen:
24
• Om de implementatie met powersim wat te vereenvoudigen kunnen de termen in (20)
worden herschreven met,
2
Qm = Am qm , Am = 4πRm
Tm − Ts
δTm
k
= k −β =
qm = k
Ra
δl
h
h Ra
c
(21)
Rap
Raf
!β
(Tm − Ts )1+β
(22)
Hierin is het Raleigh getal gesplitst in het temperatuur contrast δTm = Tm − Ts en een
voorfactor, gedefinieerd als,
Raf =
ραgh3
ηκ
(23)
Parameter
ρ
c
α
Tm (0)
Ts
η
k
κ = ρc
k
Tabel 13
waarde
eenheid
4500
kg m−3
1250
Jkg −1 K −1
−5
3 × 10
K −1
3000
K
300
K
1022
Pa s
m2 s−1
5
W m−1 K −1
• Bereken het temperatuur verloop voor een model met parameters gegeven in Tabel 13 voor
een periode tmax van vier miljard jaar. Stel in eerste instantie de interne verwarming
Hm = 0. Plot het temperatuurverloop tegen de tijd gemeten in jaren. Gebruik hiervoor
een variabele t in jaren met behulp van de powersim variabele TIME. Maak een tabel
met t in jaren in de tweede kolom, de mantel temperatuur Tm en warmtestroom Qm
in T W (1012 W ) in de volgende kolommen. Vergelijk je uitkomst met de waargenomen
hedendaagse warmte output door het aardoppervlak van 44T W en bedenk een verklaring
voor een eventueel verschil.
• We kunnen de ‘voorspelde’ tegenwoordige warmtestroom Qm (tmax ) van het model verhogen/verlagen door de begin temperatuur Tm (0) aan te passen. Bepaal via ‘trial and
error’ de hiervoor waarde van Tm (0) waarmee de waargenomen huidige waarde van
44T W wordt gereproduceerd met het model.
Bij een gemiddelde mantel temperatuur boven ongeveer 3000 K zal de temperatuur onderin
de mantel boven het smeltpunt van het gesteente uitkomen. De koelere ondiepere regionen
van de mantel in de buitenschil wegen zwaarder mee in de gemiddelde mantel temperatuur
vanwege een naar buiten toenemende waarde van een boloppervlak met middelpunt in het
25
aardcentrum. Hierdoor is de temperatuur onderin de aardmantel significant hoger dan de
gemiddelde temperatuur. Een gevolg van een gedeeltelijk gesmolten mantel is een viscositeit
die vele orden van grootte lager is dan de huidige waarde van η ∼ 1022 P a s. Als gevolg
hiervan wordt ook de waarde van het Rayleigh getal veel groter (Ra ∼ 1/η), waardoor de
snelheid van de convectiestroming eveneens veel groter wordt en de afkoeling van de mantel
veel sneller verloopt (zie Fig. 13).
In de vroegste periode van het bestaan van de aarde is de mantel waarschijnlijk op grote
schaal gesmolten geweest. Men spreekt in dit verband van een magma oceaan. Dit gebeurde
met name ten tijde van de differentiatie van de kern en de mantel. Daarbij is een zeer grote
hoeveelheid potentiele zwaartekrachtsenergie vrijgekomen en omgezet in warmte waardoor de
aard mantel voor een groot deel is gesmolten. Deze periode heeft echter maar relatief kort
geduurd in de aardgeschiedenis, maximaal enkele honderden miljoenen jaren. Door de hoge
effectiviteit van convectieve afkoeling is de manteltemperatuur in een relatief korte tijd tot
onder het smeltpunt gedaald.
Vanwege deze resterende onzekerheden over de eerste paar honderd miljoen jaar van de
aardgeschiedenis wordt in thermische evolutie modellen de begintijd niet 4.6 miljard jaar
geleden gekozen ten tijde van de vorming van de aarde maar enkele honderden miljoenen
jaren later.
De begintemperatuur is niet goed bekend voor deze vroege periode. De enige beperking is
dat de temperatuurverdeling in de mantel voor het grootste deel beneden de smelttemperatuur
lag. Om die reden wordt de begin temperatuur bij het modelleren van de thermische evolutie
zodanig (beneden het smeltpunt) aangepast dat aan de beschikbare waarnemingen (o.a. de
huidige warmtestroom) wordt voldaan.
5.2.2
Het effect van radioactieve interne verwarming
Het model in sectie 5.2.1 bevat geen interne verwarming. De hypothese van de chondritische
samenstelling van de aarde voorspelt echter een gemiddelde (huidige) waarde van de interne
warmteproduktie door radioactief verval van ongeveer 5 × 10−12 W kg −1 . Zoals we zagen in
sectie 2.3 kan de brandstofmix van radioactieve isotopen behorend bij een aardmodel van
chondritsiche samenstelling in benadering worden beschreven met een huidige warmteproductiviteit H = 5 × 10−12 W kg −1 en een karakteristieke vervaltijd τe = 3.5 × 109 jaar.
Opdracht: 14 Breidt het voorgaande model uit met interne warmte productiviteit en maak
daarbij gebruik van de bovengenoemde waarden voor de huidige warmteproduktiviteit H(tmax )
en τe .
Aanwijzingen: reken de gegeven H(tmax ) eerst om naar de corresponderende beginwaarde H(0)
met de gegeven vervaltijd. Vergelijk het verloop van de temperatuur en de totale warmtestroom
door het aardoppervlak met de uitkomst van het model van sectie 5.2.1 en verklaar de verschillen.
5.2.3
Het effect van variabele viscositeit
Het model van sectie 5.2.2 heeft een constante viscositeit die niet afhangt van de temperatuur. Uit vervormingsexperimenten met mantelgesteenten bij hoge druk en temperatuur
blijkt echter dat de viscositeit sterk temperatuur afhankelijk is. Een gevolg hiervan is dat
26
de viscositeit in de vroege hete aarde lager is geweest en tijdens de afkoeling is toegenomen.
Doordat het Rayleigh getal afneemt bij toenemende viscositeit (Ra ∼ 1/η) ontstaat er een
sterke terugkoppeling in het model via de viscositeit. Bij hoge temperatuur is de convectiesnelheid en de convectieve afkoeling groot en deze nemen sterker af tijdens afkoeling onder
invloed van de viscositeit.
De temperatuurafhankelijkheid wordt wel als volgt geparameteriseerd,
A
η(T ) = ρνmin exp
T
(24)
Met νmin = 2.21 × 107 m2 s en A = 5.6 × 104 K.
Opdracht: 15 Voeg de temperatuurafhankelijke viscositeit volgens (24) toe aan het model
van sectie 5.2.2 en vergelijk de uitkomsten met die van sectie 5.2.2.
27
6
Referenties
1. R.A. Kerr, How does Earth’s interior work?, Science,309, 87, 2005. Dit korte artikel beschrijft een aantal belangrijke openstaande vragen in de aardwetenschappen
die allen verband houden met de vraag naar de werking van de aardse warmtemotor.
http://www.sciencemag.org/cgi/reprint/309/5731/78b.pdf
2. Voor informatie over computermodellen van de geodynamo zie de website van Gary
Glatzmaier een van de pioniers op dit terrein: http://www.es.ucsc.edu/ glatz/geodynamo.html
3. http://de.wikipedia.org/wiki/PREM. Beknopte achtergrond informatie over het standaard aardmodel PREM, Preliminary Reference Earth Model.
4. De powersim software en documentatatie (Basishandleiding) over powersim is te vinden
op de URL http://www.cdbeta.uu.nl/vo/modelleren.
28
7
Figuren
Figure 1: Straalpaden van seismische P golven door de mantel en kern van de aarde. De ernaast afgebeelde seismogrammen laten zien dat verschillende signaal fasen in verschillende registratiestations
worden geregistreerd, afhankelijk van de afstand tot de seismische bron.
Figure 2: Seismogram met P en S signaalfasen corresponderend met longitudinale respectievelijk
tranversale ruimtegolven die zich door het inwendige van de aarde voortplanten. De latere, langer
aanhoudende signaalfasen met hoge amplitude zijn afkomstig van oppervlakte golven die zich, langs
het aardoppervlak tussen ontvanger en bron voortplanten.
29
Figure 3: Verloop van seismische golfsnelheden, dichtheid en zwaartekrachtversnelling en statische
druk met de diepte in het Preliminary Reference Earth Model (PREM).
Figure 4: Warmteproduktiviteit van een radioactieve brandstofmix van chondritische samenstelling
gedurende de evolutie van de aarde. De tijd loopt van 0, bij het ontstaan van de aarde, tot de
huidige dag ∼ 4.5 jaar later. De bovenste curve geeft de opgetelde warmteproduktiviteit van de
gezamenlijke isotopen weer.
30
Figure 5: Overgenomen uit: R. Boehler, Melting temperature of the Earth’s mantle and core:
Earth’s thermal structure, Annu. Rev. Earth Planet. Sci., 24, 15-40,1996. De linker figuur laat
een schematische weergave zien van de temperatuur verdeling in de mantel en kern, (UM-upper
mantle, LM lower mantle, OC outer core, IC inner core). De temperatuur op de grens van boven- en
ondermantel op 660 km diepte en die op de grens tussen de vloeibare buitenkern en vaste binnenkern
op 5150 km diepte zijn met hoge druk en temperatuur experimenten bepaald. De rechter figuur
toont de temperatuur, aangegeven met ‘CORE ADIABAT’, in de vloeibare buitenkern, tegen de
druk die met de diepte toeneemt. De lijn aangegeven met ‘Fe-O-S-melting’ geeft de drukafhankelijke
smelttemperatuur van de veronderstelde ijzer-zwavel-zuurstof samenstelling van de kern (CMB coremantle boundary, ICB inner core boundary). De grens tussen binnen en buitenkern wordt bepaald
door het snijpunt van de smelttemperatuur en de geotherm.
31
Figure 6: Topografische hoogte van het aardoppervlak met een scherpe tweedeling tussen oceanen
en continenten. Oceanen worden doorsneden door een netwerk van mid-oceanische ruggen met
afwijkende diepte. (bron: http://www.ngdc.noaa.gov/mgg/image/globalimages.html)
32
Figure 7: Magnetische polariteit van de oceaankorst bij de mid-oceanische Reykjanes rug (aangeven
als diagonaal) ten zuidwesten van IJsland. De huidige (normale) polariteit is aangegeven in zwart.
De witte gebieden hebben een omgekeerde polariteit. Het patroon van de anomalieen vertoont een
sterke correlatie tussen de westelijke en oostelijke plaat, aan weerszijden van de diagonaal. De
ouderdom van de oceaankorst varieert hier van nul jaar op de oceanische rug tot ruim drie miljoen
jaar.
Figure 8: Geologische ouderdom van de oceaankorst (in veelvouden van een miljoen jaar)
weergegeven voor de atlantische oceaan a) en de oostelijke pacifische oceaan b).
33
Figure 9: Tomografisch bepaalde verdeling van seismische snelheidsafwijkingen in een mantel (grootcirkel) doorsnede van het aegeisch gebied naar de japanse eilanden. De stippellijnen op ongeveer 400
en 660 km diepte geven de plaats aan van twee vastestof fase-overgangen van het mantel materiaal.
De 660 km fase-overgang markeert de grens tussen onder en bovenmantel. Subductiezones komen
tot uitdrukking als scherp bergrensde gebieden met hoge golfsnelheid. Discrete symbolen bij Japan
geven aardbevingslocaties in de subductiezones weer.
34
Figure 10: Tomografisch bepaalde verdeling van seismische snelheidsafwijkingen in een mantel
(grootcirkel) doorsnede van het noordelijke atlantische oceaan. De stippellijnen op ongeveer 400
en 660 km diepte geven de manteltransitie zone aan. Het gebied met lage snelheden corresponderend met hoge temperatuur in de boven mantel (diepte < 660 km) lijkt te worden gecontinueerd
in de ondermantel wat de aanwezigheid van een warme opstijgende pluim van mantel materiaal
suggereert.
35
Figure 11: Globale verdeling van de warmtestroomdichtheid door het aardoppervlak. De figuur
laat zien dat de mid-oceanische ruggen fungeren als warmte-uitlaat van een convecterende mantel
systeem.
Figure 12: Schematische cartoon van grootschalige convectiestroming in de aardmantel, aangedreven door een temperatuur contrast tussen de koude lithosphere en de warme kern-mantelgrens.
Oceaankorst wordt gevormd bij mid-oceanische ruggen en wordt in de mantel gerecycled in subductiezones.
36
Figure 13: Warmtestroom door een vloeistoflaag als functie van het Rayleigh getal (8), berekend met
een numeriek model voor thermische convectie. De warmtestroomdichtheid is uitgedrukt in het dimensieloze Nusselt getal, N u (zie tekst), dat de verhouding tussen de totale warmtestroomdichtheid
en de warmtestroomdichtheid van een conductieve (niet bewegende laag).
37
Figure 14: Resultaten van computermodelberekening voor Rayleigh-Benard convectie bij twee verschillende waarden van het Rayleigh getal Ra = 104 (onderste rij figuren) en Ra = 105 (bovenste
rij figuren). De stroomlijnen (linker kolom) geven de richting en stroomsterkte van de vloeistof
snelheid aan, die toeneemt met het Rayleigh getal. De temperatuur (middelste kolom) illustreert
warme en koude verticale pluimen en horizontale grenslagen. De rechterkolom toont de verticale
verdeling van de gemiddelde temperatuur. De temperatuur plots illustreren een bijna isotherme
kern van de convectiecel en thermische grenslagen, bij de onder en bovenrand, die dunner worden
bij een toenemend Rayleigh getal.
38