Elektrische veldlijnen

Samenvatting Hoofdstuk 6: Elektromagnetisme
§6.1 Elektrisch velden
Een plaatcondensator bestaat uit twee dicht tegenover elkaar staande metalen platen. Tussen deze twee
platen zit een isolator (denk aan rubber, plastic of gewoon lucht). Als je zo’n plaatcondensator opneemt in een stroomkring en er gaat een stroom lopen, krijgen de
beide platen een lading. Elektronen lopen van de minpool naar de pluspool, dus aan
de kant van de minpool zal een negatieve lading komen! Zo geldt dat van de andere
plaat de elektronen worden “weg gezogen”, zodat er dus een positieve lading ontstaat
op die plaat. De negatieve en positieve lading op de platen zijn gelijk aan elkaar! Al
snel loopt er geen stroom meer, dit gebeurt als de spanning over de platen gelijk is
aan de spanning van de spanningsbron. De spanning wordt dan immers opgeheft
door de spanning van de plaatcondensator (die tegengesteld is aan die van de spannignsbron), dus is er
geen netto spanning meer voor het transport van elektronen. In deze toestand noemt men de
plaatcondensator “geladen”.
Als een plaatcondensator geladen is, is er tussen de platen een elektrisch veld aanwezig. Op aanwezige
geladen deeltjes in die ruimte wordt dan een elektrische kracht uitgeoefend (Fel). Het elektrische veld
tussen de twee platen is overal even groot. De lading en de kracht van een deeltje zijn recht evenredig.
Elektrische veldsterkte geeft aan hoe sterk een elektrisch veld is. Dit kunnen we schrijven met: E = Fel
/ q. E is hierbij de elektrische veldsterkte, q de lading en Fe de elektrische kracht op het voorwerp.
Omdat de kracht een richting heeft spreken we van een vector, er komt een pijl boven “Fel” en “E”.
Elektrische veldlijnen
Een elektrische veld kun je weergeven met elektrische veldlijnen. Deze veldlijnen geven informatie
over de grootte en richting van de elektrische veldsterkte in punten in dat veld.
Een aantal eigenschappen van veldlijnen zijn:
 De grootte van de elektrische veldsterkte kun je bepalen door de dichtheid van de veldlijnen te
bekijken.
 De richting van de elektrische veldsterkte is te bepalen door de raaklijn van een veldlijn te
tekenen.
 Een elektrische veldlijn kan alleen op een positieve lading beginnen en op een negatieve
eindigen.
 Elektrische veldlijnen snijden elkaar nooit. Er zouden dan immers 2 richtingen zijn en dat kan
niet!
 Elektrische veldlijnen staan loodrecht op het oppervlak van een geladen geleider.*
 Binnen een geleider is er geen elektrisch veld aanwezig.*
* Geldt alleen als de lading op de geleider in evenwicht is (als er dus geen stroom meer loopt). Een
geleider is een stof waarin een lading zich kan verplaatsen.
In een homogeen veld (bijvoorbeeld dat van een plaatcondensator) lopen de elektrische veldlijnen
evenwijdig en liggen ze even ver van elkaar verwijderd. Bij een heterogeen veld lopen de elektrische
veldlijnen daarentegen niet evenwijdig en liggen ze ook niet even ver van elkaar af.
Potentiaal en potentiaalverschil
Stel we hebben een plaatcondensator die op de positieve plaat een punt A heeft waar een veldlijn
begint en die eindigt op de negatieve plaat in D. Dan sluiten we de plaatcondensator aan op een
spanningsbron (van bijvoorbeeld 20V). Nu staat er ook een spanning van 20V tussen de punten A en
B. Je kunt zeggen dat het potentiaalverschil (symbool ΔV) 20V is. Met potentiaalverschil geven aan
dat we twee potentialen (symbool V) met elkaar vergelijken. De eenheid is volt. Een geladen voorwerp
dat in een elektrisch veld komt, krijgt een elektrische energie (Eel). Eel = Fel · s. Hieruit volgt: Eel = q
·E · s.
Als een geladen deeltje in een elektrisch veld komt op punt P, dan is de Eel gelijk aan q · Vp (Eel = q ·
Vp).
Dit kunnen we schrijven als: Vp = Eel / q  Vp = (q · E · s) / q  Vp = E · s.
Als je een veldlijn volgt in de richting van de veldsterkte dan neemt de potentiaal af.
Het verschil in elektrische energie is de verrichte arbeid. Dit kunnen we schrijven als:
q·Va - q·Vb. Dit is te herschrijven als q·(Va – Vb). Hieruit volgt dat: Wel(ab)  q  (Va  Vb ) .
Potentiaal en veldsterkte
Om deze paragraaf te begrijpen moet je deze doorlezen en de opgaven goed bekijken. De belangrijke
formules en de afleidingen staan hieronder:
Wel(AB)
= EelA - EelB
Fel · s · cos 0 = q · (Va – Vb)
q·E·s
= q · (Va – Vb)
E·s
= Va – Vb
E · Δx
= ΔV
E
= ΔV / Δx
E kan dus in Volt per meter en als Newton per Coulomb worden uitgedrukt. Beiden zijn gelijk, maar
Volt per meter wordt vaker gebruikt. Als een plaat geaard word, dan heeft deze per definitie een
potentiaal van 0V.
Versnellen van geladen deeltjes
Geladen deeltjes kunnen in een elektrisch veld versneld worden. Dit principe wordt
gebruikt bij een tv of monitor (en natuurlijk nog meer apparaten). In zo’n apparaat
zit een elektronenkanon (zie plaatje hiernaast). Dat kanon bestaat uit een kathode en
een anode. Als het apparaat aan wordt gezet komt er over de kathode een spanning
te staan, de zogenaamde gloeispanning. Hierdoor gaat de kathode elektronen
uitzenden. Dit noemt men ook wel thermische emissie. Ook komt er een spanning tussen de
kathode en de anode te staan (de versnelspanning). Hierdoor onstaat er een elektrisch veld,
waarbij de anode positief geladen is. Elektronen worden dus richting de anode versneld. Volgends de
wet van behoud van energie geldt er:
Ee bij A + Ek bij A = Ee bij K + Ek bij K
Ek bij A - Ek bij K = Ee bij K - E e bij A
Ek bij A
= q · (VK – VA)
 ½ · m · v2eind = | q · ΔV |
Als een elektron een potentiaalverschil van één Volt doorloopt, is de kinetische energie 1
eV groter geworden.1 eV = 1,60 · 10-19 J
§6.3 Het magnetische veld
Magnetisme is het verschijnsel dat twee stukken van hetzelfde materiaal een kracht op elkaar
uitoefenen. Zo’n materiaal bevat dan altijd ijzer, nikkel of kobalt. Dit zijn natuurlijke magneten. De
plaatsen waar de krachten het sterkst werken noemen we de poalen van de magneet. Als je een
naaldmagneet in een kompas bekijkt, kan die vrij draaien. De ene punt gaat dan richting het noorden
staan. Deze zijde noemen we de noordpool, de andere de zuidpool. Ook geldt dat gelijke polen elkaar
afstoten en ongelijke polen elkaar aantrekken.
Een stuk ijzer (kobalt of nikkel) gedraagt zich in de buurt van een magneet ook
als een magneet. Het stuk ijzer krijgt dezelfde eigenschappen als de magneet;
dit noemen we magnetische influentie.
Een magneet veroorzaakt een magnetisch veld in zijn omgeving. Het oefent
een magnetische kracht uit op stukken ijzer. Net als bij elektrische velden
hebben magnetische velden veldlijnen. De veldlijnen lopen van de noordpool
naar de zuidpool. Zie nevenstaand figuur. Om magnetische veldlijnen te
kunnen beschrijven is er een bepaalde grootheid: de magnetische inductie
(vector B). De eenheid van magnetische inductie is Tesla (T).
De raaklijn aan een veldlijn geeft de richting van de magnetische inductie.
Ook net als bij elektrische veldlijnen betekent een grotere veldlijnendichtheid een grotere waarde van
de magnetische inductie.
Het magnetische veld van een rechte stroomdraad en van een stroomspoel
Als je door een metaaldraad een stroom stuurt dan ontstaat er een magnetisch veld rond die draad.
Het magnetische veld staat dus loodrecht op de stroomdraad (het plankje in de linker tekening).
Als je de stroomrichting I weet dan kun je met de rechterhand regel de richting van de
magnetische inductie bepalen (plaatje rechts). Deze regel luidt als volgt: Leg je hand rond
de draad, waarbij je duim de richting van de stroom in wijst. De richting die de resterende
vingers aanwijzen is de richting waarin de veldlijnen lopen.
Je kan ook een bovenaanzicht maken, waarbij de magnetische inductie het platte vlak beslaan en de
stroomdraad loodrecht door dat vlak loopt. Om dan te weten hoe de stroom loopt
hebben we een speciale notatie. Een stroom die van je af loopt noteren we met een
kruisje. De stroom die naar je toe komt noteren we met een stip (zie rechts).
Als we een stroomspoel nemen en gaan bepalen hoe de veldlijnen lopen (in een plat vlak dat door de
windingen heen loopt) dan blijkt er eenzelfde patroon te ontstaan als dat van een gewone
staafmagneet.
Bij de stroomdraad ontstonden er gesloten veldlijnen. Ook binnen in de spoel blijken de veldlijnen
door te lopen; het zijn gesloten krommen. Hieruit kunnen we concluderen dat hetzelfde het geval moet
zijn bij een staafmagneet. De noordpool van een spoel is de kant waar de veldlijnen de spoel verlaten.
Als je de richting van de stroom verandert blijken de veldlijnen ook van richting te veranderen. Ook
hier kunnen we de rechterhand regel toepassen. We leggen onze vingers rond de spoel - in de richting
van de stroom - en de duim wijst dan de richting van de veldlijnen binnen de spoel aan.
Als we in de stroomspoel een weekijzeren kern aanbrengen spreken we van een elektromagneet. Deze
kern wordt door het magnetische veld van de spoel zelf een magneet. Hierdoor wordt de magnetische
werking van de spoel vele malen versterkt. De kern is van weekijzer omdat deze zijn magnetisme weer
verlies na uitschakeling van de spoel. Een (schakel)relais werkt met zo’n elektromagneet. Als er een
spanning over de spoel wordt gezet trekt het een stukje metaal aan waardoor de stroomkring gesloten
wordt. De spanning die nodig is om dit te doen heet de schakelspanning.
§6.6 Lorentzkrachten op een stroomspoel en -draad
Stel we hebben een magneet en een stroomkring die wordt gevormd door een
spanningsbron, een weerstand en 3 koperen staafjes (zoals in de tekening hiernaast).
Als er een stroom gaat lopen door staafje PQ dan zal deze naar links gaan bewegen.
Dit gebeurt
alleen als er een stroom door het staafje
loopt en als het staafje zich in een
magnetisch veld bevindt. Het rollen van het staafje wordt
veroorzaakt door de lorentzkracht.
Als we de stroomrichting of het magnetische veld omkeren,dan
gaat het staafje de andere kant op rollen. Doen we beiden, dan
rolt het weer naar links. Blijkbaar is er een verband tussen het
magnetische veld, de stroomrichting en de lorentzkracht. Als we de stroomrichting I en de richting van
het magnetische veld B weten, dan kunnen we met de volgende regel de richting van de lorentzkracht
voorspellen. Deze regel heet de Linkerhand regel.
Als je met de linkerhand 1) je vingers in de richting van de stroom houd en 2) zorgt dat de veldlijnen
van het magnetische veld in je handpalm vangt dan wijst je duim in de richting van de Lorentzkracht.
De lorentzkracht staat loodrecht op I en op B, dus de lorentzkracht staat loodrecht op het vlak door I en
B.
Uit onderzoek blijkt dat de lorentzkracht evenredig is met de stroomsterkte (FL ~ I). Ook is de
lorentzkracht evenredig met de lengte van het stuk draad dat zich in het magnetische veld bevindt (FL
~ l). Hieruit volgt dat FL evenredig is met I·l. Dit is te schrijven als: FL = constante · I · l. Deze
constante geeft aan hoe groot de magnetische inductie is. Met andere woorden: uit de volgende
formule blijkt de grootte van de magnetische inductie: FL = B · I · l. Deze formule geld alleen als B en
I loodrecht op elkaar staan.
Uit bovenstaande formule kunnen we de eenheid van magnetische inductie bepalen: 1 Tesla = 1
Newton per ampère per meter (ofwel: 1 T = 1N∙A-1·m-1)
Lorentzkrachten op een stroomspoel
Als we in plaats van een draad een spoel
nemen en die in een magnetisch veld
hangen op zo’n manier dat de spoel vrij rond kan
draaien - dan gaan er twee lorentzkrachten
werken op die spoel. Deze lorentzkrachten
zorgen ervoor dat de spoel in een bepaalde positie
gedraaid wordt. De richting van de lorentzkrachten veranderen niet. De lorentzkracht staat altijd
loodrecht op de richting van het magnetische veld én loodrecht op de stroomrichting. Omdat de
richting van I en B niet veranderen, is de richting (en de grootte) van de lorentzkrachten constant.
Doordat de richtingen constant zijn, bereikt de spoel uiteindelijk een eindstand (de evenwichtsstand).
Als we dan het magnetische veld van de spoel in de evenwichtsstand zelf bekijken, dan blijkt dat deze
dezelfde richting heeft als het magnetische veld van buitenaf.
Draaispoelmeter en elektromotor
Hiernaast is een draaispoelmeter schematisch weergegeven. Het is een
hoefijzer vormige magneet, met daaraan twee uitgeboorde poolschoenen.
Daartussen zit een niet draaibaar weekijzeren cilindertje. Daaromheen zit een
draaibaar spoeltje, waaraan een asje zit, waaraan twee spiraalveertjes en een
wijzer vast zitten. In het rechter deel kan je zien hoe de magnetische
veldlijnen door de lucht lopen. Door dit veld (en een stroom door het
spoeltje) gaan er twee lorentzkrachten werken, waardoor het spoeltje gaat
draaien. De lorentzkrachten zijn constant van grootte, en draaien met het spoeltje mee. Met het
spoeltje gaat ook de as draaien, waardoor de wijzer uitslaat. Ook gaan de veertjes de lorentzkracht
tegenwerken. De wijzer komt dus tot stilstand als de lorentzkracht en de veerkrachte gelijk zijn. Hoe
groter de stroom is, des te groter de hoek die de wijzer maakt. De hoek is recht evenredig met de
stroomsterkte.
Ook een elektromotor maakt gebruik van Lorentzkrachten. Ook hier
bevindt zich een weekijzeren cilinder zich tussen twee poolschoenen
die verbonden zijn met een permanente magneet. Om de cilinder
is een spoel gewikkeld en aan de cilinder zit de motoras vast.
Aan de motoras zit ook een zogenaamde collector. Dat is een
schijf die bestaat uit 2 even grote delen die van elkaar
geïsoleerd zijn. De uiteinden van de spoel zijn met een
collectorhelft verbonden. De helften worden dmv koolborstels (die een
vaste positie hebben) onder spanning gezet, zodat er een stroom door
de spoel gaat lopen. Als dit gebeurt gaat de spoel draaien. Om
te zorgen dat de spoel niet na 90 graden stopt met draaien zit
collector aan de spoel vast. Deze zorgt ervoor dat de stroom
steeds van richting verwisselt. Zie plaatje hiernaast.
de
In positie A
loopt er een stroom van Q naar P, zodat er een omhooggerichte
lorentzkracht
ontstaat. Hierdoor komt het geheel in stand B terecht. Hier loopt er geen stroom; de borstels raken
immers alleen de isolatielaag. Doordat er een moment op de spoel werkt draait het geheel verder,
waardoor er een stroom van P naar Q gaat lopen! Hierdoor draait de richting van de lorentzkracht met
180°. De spoel draait nu weer verder in zijn originele richting!
Lorentzkracht op een geladen deeltje
Een stroom door een metaaldraad is niets anders dan het verplaatsen van elektronen door die draad.
Hieruit kunnen we concluderen dat een magnetisch veld een kracht uitoefent op geladen deeltjes die in
beweging zijn. Er werkt dus een lorentzkracht op geladen deeltjes!
Voor de lorentzkracht op een geladen deeltje geldt de volgende formule (je hoeft de afleiding niet te
kennen): FL = B · q · v (waarbij v  B en B is de magnetische inductie, q de lading en v de snelheid).
Bij de formule maakt het niet uit of de lading positief of negatief is. Deze geeft alleen de richting van
FL aan.
Bij de lorentzkracht op een geladen deeltje kunnen we de linkerhand regel gebruiken.
De magnetische veldlijnen vang je in je handpalm. Als de lading van het deeltje positief is, dan strek je
je vingers in de richting van de snelheid van het deeltje. Als de lading negatief is, dan houd je ze in de
tegengestelde richting van de snelheid. De duim geeft nu de richting van de
lorentzkracht aan. Deze staat altijd loodrecht op het vlak door v en B. In een
cirkelstraalbuis kan men elektronen in een cirkelbaan laten bewegen door ze
loodrecht op de veldlijnen weg te schieten (dit moet je kunnen beredeneren!).
De snelheid blijft gelijk, want FL staat loodrecht op v en heeft dus geen
component in deze richting. Omdat FL en v constant zijn, en de elektronen in
een eenparige cirkelbaan gaan bewegen kunnen we stellen dat de lorentzkracht
als middelpuntzoekende kracht werkt. Hiervoor geldt de formule:
m  v2
met v = constant en r = constant
Fmpz 
r
Hieruit kunnen we afleiden dat: FL = Fmpz  B · q · v = m · v2 / r.
Dit kunnen we vereenvoudigen naar: B · q = m · v / r.
Aantekeningen
De eenheid van magnetische inductie is Tesla, maar wordt ook wel geschreven als Wb∙m-2
(Weber per vierkante meter).
Het moment op een spoel wordt gegeven door de formule: M = B · I · A
Voor een spoel waarbij de magnetische inductie van de spoel geen hoek van 90°
met de externe magnetische inductie maakt geldt de volgende formule:
M = B · I · A · sin α. Hierbij is α de hoek tussen B en Bsp.
Als I en B niet loodrecht op elkaar staan, dan geldt FL = B · sin α · I · l
Het moment van de spiraalveer op de as: Mveer = C · ø
Hierbij is C de torsieconstante van de veer, en ø de draaïngshoek.
De spoel is in evenwicht als ML = Mveer  B · I · A · N = C · ø
De draaïngshoek wordt dus gegeven met de formule: ø = (B · I · A · N) / C.
Ga altijd uit van FL = Fmpz, dus:
B · q · v = m · v2 / r
en v = 2πr / T
m · v2
m·v
r= B·q· = B·q  v=
v
r ·B · q
m
En
T=
2π·r·m
r·B·q
E = V(a-b) / d
Fel = q · E  Fel = (e·Va-b) / d
Bij de hallsensor ontstaat er een evenwicht als FL = Fel  B·e·v = (e·Va-b) / d
B·v = Va-b / d  Va-b = B·v·d
=
2π·m
B·q