I Platen laden
advertisement
OEFENTENTAMENOPGAVES KLASSIEKE NATUURKUNDE 1B ELECTROSTATICA & MAGNETOSTATICA Een verzameling vraagstukken uit oude tentamens. Tijdindicatie: ongeveer een uur per opgave Een formuleblad wordt verstrekt op tentamen. . 1 ELECTROSTATICA: Recht toe, recht aan We beschouwen eerst een oneindig lange lijnlading met uniforme ladingsdichtheid l , langs de z-as van ons coördinatenstelsel. 1a Gebruik de wet van Gauss en beredeneer dat het elektrische veld buiten de draad alleen een component in de radiële richting heeft, die in grootte afvalt met 1/r, waarbij r de afstand tot de draad is (in cilindrische coördinaten). 1b Laat zien dat voor deze situatie voor r>0 aan de uitdrukking voor de rotatie van het E-veld wordt voldaan: E 0 Vervolgens beschouwen we een draad met uniforme lijnlading (ladingsdichtheid l) met eindige lengte l, met midden op de oorsprong, langs de z-as. We willen het elektrische veld bepalen in een punt P buiten de draad met x=0, y=0, z=d. y z=d l z=–l/2 z x z=+l/2 P(0,0,d) 1c Waarom is het nu niet mogelijk om eenvoudig m.b.v. de wet van Gauss het electrische veld te bepalen? 1d Geef een uitdrukking (een integraal) voor het electrische veld in punt P. Voer de integraal vervolgens uit en laat zien dat voor het E-veld geldt: E l 1 1 zˆ 4 0 d l / 2 d l / 2 1e Bereken de potentiaal V in punt P. Laat zien dat als je uitgaat van de uitdrukking voor V je inderdaad de uitdrukking voor het E-veld terugvindt. 2 ELECTROSTATICA: de Condensator Beschouw de (vierkante) vlakke plaat condensator van de figuur hieronder. De oppervlakte van elke plaat is A. De lading op de ene plaat is +Q en de lading op de andere plaat is Q. Deze ladingen verdelen zich uniform over het plaatoppervlak (de platen zelf mogen oneindig dun verondersteld worden). De afstand tussen de platen is d<<A. In de ruimte tussen de platen bevindt zich een d dik (0<<1) diëlektricum met diëlektrische constante Kee (d.w.z. permittiviteit Ke0). De ruimte buiten dit diëlektricum is vacuüm d.w.z. heeft een permittiviteit 0. Voor deze opgave mag je rand effecten verwaarlozen. lading +Q oppervlakte A d diëlektricum Kee lading Q 2a Geef kwalitatief duidelijk aan waar de vrije ladingen zitten. 2b Geef kwalitatief duidelijk aan waar de gebonden ladingen zitten. 2c, 2d, 2e weggelaten i.v.m. onderwerp/inhoud 1. 2. d 3. 3 ELECTROSTATICA: Spiegeltje, Spiegeltje…. We beschouwen een praktisch oneindig grote geleidende vlakke plaat. We kiezen een coördinatenstelsel zo, dat de plaat in het XY vlak ligt met een oppervlak op z=0. De plaat is ge-aard (V=0). Op afstand z=d is een lading Q geplaatst. Zie schets. x=y=z=0 z d 3a) Leg uit (eventueel m.b.v. schets) waarom de volgende gedachte goed of fout is. “Omdat de plaat ge-aard is bevindt zich geen netto lading op de plaat. Deze zou immers direct wegstromen naar de aarde.” 3b) Teken de situatie en geef aan waar de netto lading op de plaat gaat zitten. Geef kwalitatief ook duidelijk aan hoe de ladingsverdeling eruit zal zien.Waarom valt het electrische veld, E, loodrecht op de plaat in? Zoals je weet kun je het veld relatief eenvoudig bepalen door gebruik te maken van de spiegelladingsmethode. De ruimte z>0 beschouwen we als de fysische ruimte en we eisen als randvoorwaarde dat V=0 op het vlak z=0 en dat het elektrische veld, E, loodrecht op de plaat invalt. 3c) Teken een ladingsverdeling die aan bovenstaande eisen voldoet. Geef een uitdrukking voor de potentiaal ten gevolge van deze ladingsverdeling. 3d) Bereken vervolgens het E veld uit deze potentiaal. Bepaal ook de rotatie van het E veld. Als je bij vraag c geen potentiaal hebt kunnen vinden, gebruik dan: V Q ( x 2 y 2 (z d)2 ) – Q (x 2 y 2 (z-d) 2 ) 3e) Bepaal m.b.v. de Wet van Gauss de ladings verdeling op de plaat. Leg duidelijk uit waarom je hier de Wet van Gauss kunt gebruiken. 4 MAGNETOSTATICA: Spoellaria. 4a) In onderstaande figuur is een spoel met vijf windingen geschetst. Dichtbij de stroomvoerende draad is het magnetische veld, B, gelijk aan dat van een oneindig lange rechte draad (zoals geschetst voor 1 winding). Schets het volledige magnetische veld op dezelfde figuur van het antwoordenblad. Verklaar kwalitatief waarom het veld binnen de spoel zoveel sterker is dan buiten de spoel. ⊙ symbool (boven) en gaat het Stroom komt het papier uit bij het papier in bij het symbool (onder). ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 4b) Beschouw nu een oneindig lange “ideale” spoel met n windingen per meter, straal R en stroom I. Deze opstelling is cylinder symmetrisch (zas parallel aan de as van de spoel) en je mag veronderstellen dat het magnetische veld buiten de spoel (r>R) gelijk nul is. b1. Geef aan hoe je met behulp van de Wet van Ampère de zcomponent van het magnetische veld bepaalt (geef gekozen Ampère lusje duidelijk aan op antwoordenblad!). Laat zien dat het magnetisch veld overal binnen de spoel gelijk is aan: 0nI. b2. Geef aan hoe je met behulp van de Wet van Ampère de component van het magnetische veld bepaalt (geef gekozen Ampère lusje duidelijk aan op antwoordenblad!). Laat zien dat deze overal binnen de spoel gelijk is aan nul. I Z=+L/2 Z=L/2 z d z=d dz y-as z-as R 4c) Beschouw nu een realistische spoel met N windingen, lengte L, stroom I en straal R. Het magnetische veld op de symmetrie as in een punt met z=d (zie de figuur hierboven voor de geometrie en de gebruikte coördinaten) kan verkregen worden door de spoel te beschouwen als een stapeling van nagenoeg cirkelvormige stroomlussen. Voor een enkele stroomlus hebben wij het magnetische veld op de symmetrie as (hier de z-as) berekend tijdens het college (s is afstand op de z-as tot centrum stroomlus): 0 I R2 B z ( s) 2 R2 s 2 )3 2 c1. Geef de bijdrage dB aan het magnetische veld in het punt z=d ten gevolge van het stukje spoel met dikte dz op afstand z van de oorsprong. Dit alles is aangegeven in de figuur. Let wel: alle magnetische veld componenten hebben slechts een z-component. Hint: bepaal de stroom die in het gearceerde stukje met dikte dz (zie figuur) loopt en bepaal de afstand langs de z-as tot het punt met z=d van het gearceerde stukje. Verwerk de gevonden gegevens in de gegeven uitdrukking voor z-component magnetische veld van een enkele cirkelvormige stroomlus. c2. Integreer de zojuist gevonden uitdrukking tussen z=L/2 en z=+L/2 om te laten zien dat het magnetische veld van deze spoel overal op de z-as gelijk is aan (d is L 2 d L 2 d 0 IN R 2 afstand tot de oorsprong): ( d ) B z Gebruik: 2L 1 x dx 2 3 / 2 (a x ) a a x2 2 2 R L 2 d ) 2 2 R L 2 d ) 4 MAGNETOSTATICA, vervolg 4d) Schets het verloop van het magnetische veld in een punt op de z-as als functie van de afstand d tot de oorsprong in de figuur op het antwoordenblad. Wat vind je voor het magnetische veld in het punt z=d in de limiet L≫R en d≪L (ideale spoel)? Is dat verbazingwekkend? 4e) Tenslotte beschouwen we nogmaals een oneindig lange spoel met straal R en stroom I en n windingen per meter. Je mag veronderstellen dat de opstelling cilinder symmetrisch is. Laat zien dat buiten de spoel (r>R) de azimuthale component van het magnetische veld gelijk is aan: B (r ) 0I 2r Hint: kies een geschikt gekozen Ampère lusje waarin B voor r>R voorkomt. Verklaar waarom de azimuthale component van het magnetische veld buiten een spoel (r>R) gelijk is aan de azimuthale component van het magnetische veld buiten een oneindig lange rechte stroomdraad met stroom I. Grafisch antwoordenblad 4a 4b 4c ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ B/Bideaal 1.0 0.5 d L/2 0 +L/2 5 Over Spoelen MAGNETOSTATICA We beschouwen een solenoïde in vacuüm (een gewone rechte spoel) met lengte l waar een stroom I0 doorheen loopt. De spoel heeft N windingen per meter en radius R. 5a Maak een schets van de spoel en het magnetische veld B binnen en buiten de spoel 5b Leid o.a. m.b.v. de wet van Ampère af wat het B-veld is in de spoel. Maak duidelijk onderscheid tussen de componenten van B ( Br , B , Bz ) . Neem hierbij aan dat in de spoel het veld overeenkomt met dat van een oneindig lange spoel. Dit is overigens redelijk, zolang we niet te dicht bij de uiteinden kijken. 5c We plaatsen nu een kern van lineair paramagnetisch materiaal in deze spoel. Schets de situatie en geef de gebonden oppervlakte stroom aan. (gebonden stroom is de stroom ten gevolge van magnetisatie). 5d Waarom loopt er netto alleen over het oppervlak van de kern een gebonden stroom. 5e De gebonden oppervlaktestroom is in grootte gelijk aan: K mag m Bleeg 0 met het originele magneetveld uit opgave a en de magnetische B leeg muit de gegeven susceptibiliteit van de kern. Bepaal het resulterende magneetveld grootheden.
