z - Nikhef

HUISWERK -DEELTENTAMEN
KLASSIEKE NATUURKUNDE 1C
uiterste inleverdatum 10 oktober 2003 bij Linde of
Vreeswijk persoonlijk of postvakje op NIKHEF
Verplicht voor deelname aan het schriftelijk tentamen
KN1C op 20 oktober 2003 in W3.034 van 13.30 tot
16.30
Voor dit huiswerk-deeltentamen dient minstens een 5
behaald te worden. Dit geldt ook voor het schriftelijk
tentamen.
De gewichten van dit huiswerk-deeltentamen en het
schriftelijk tentamen zijn respectievelijk 1/3 en 2/3
VERMELD OP DE ANTWOORDBLADEN JE NAAM EN JE
STUDENTNUMMER!
NUMMER DE PAGINA’S RECHTSONDERAAN
Licht je antwoorden duidelijk toe en geef eventuele berekeningen.
Iedere opgave bestaat uit een aantal vragen. Iedere vraag telt even zwaar.
Veel succes!
1 ELECTROSTATICA: Spiegeltje, Spiegeltje….
We beschouwen een praktisch oneindig grote geleidende vlakke plaat. We kiezen een
coördinatenstelsel zo, dat de plaat in het XY vlak ligt met een oppervlak op z=0. De
plaat is ge-aard (V=0). Op afstand z=d is een lading Q geplaatst. Zie schets.
x=y=z=0
z
d
1a) Leg uit (eventueel m.b.v. schets) waarom de volgende gedachte goed of fout is.
“Omdat de plaat ge-aard is bevindt zich geen netto lading op de plaat. Deze zou
immers direct wegstromen naar de aarde.”
1b) Teken de situatie en geef aan waar de netto lading op de plaat gaat zitten. Geef
kwalitatief ook duidelijk aan hoe de ladingsverdeling eruit zal zien.Waarom valt het
electrische veld, E, loodrecht op de plaat in?
Zoals je weet kun je het veld relatief eenvoudig bepalen door gebruik te maken van de
spiegelladingsmethode. De ruimte z>0 beschouwen we als de fysische ruimte en we
eisen als randvoorwaarde dat V=0 op het vlak z=0 en dat het elektrische veld, E,
loodrecht op de plaat invalt.
1c) Teken een ladingsverdeling die aan bovenstaande eisen voldoet. Geef een
uitdrukking voor de potentiaal ten gevolge van deze ladingsverdeling.
1d) Bereken vervolgens het E veld uit deze potentiaal. Bepaal ook de rotatie van het E
veld.
Als je bij vraag c geen potentiaal hebt kunnen vinden, gebruik dan:
V
Q
( x 2  y 2  (z  d)2 )
–
Q
(x 2  y 2  (z-d) 2 )
1e) Bepaal m.b.v. de Wet van Gauss de ladings verdeling op de plaat. Leg duidelijk
uit waarom je hier de Wet van Gauss kunt gebruiken.
2 MAGNETOSTATICA: Spoellaria.
2a) In onderstaande figuur is een spoel met vijf windingen geschetst.
Dichtbij de stroomvoerende draad is het magnetische veld, B, gelijk
aan dat van een oneindig lange rechte draad (zoals geschetst voor 1
winding). Schets het volledige magnetische veld op dezelfde figuur van
het antwoordenblad. Verklaar kwalitatief waarom het veld binnen de
spoel zoveel sterker is dan buiten de spoel.
⊙ symbool (boven) en gaat het
Stroom komt het papier uit bij het
papier in bij het  symbool (onder).
⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

2b) Beschouw nu een oneindig lange “ideale” spoel met n windingen per
meter, straal R en stroom I. Deze opstelling is cylinder symmetrisch (zas parallel aan de as van de spoel) en je mag veronderstellen dat het
magnetische veld buiten de spoel (r>R) gelijk nul is.
b1. Geef aan hoe je met behulp van de Wet van Ampère de zcomponent van het magnetische veld bepaalt (geef gekozen Ampère
lusje duidelijk aan op antwoordenblad!). Laat zien dat het magnetisch
veld overal binnen de spoel gelijk is aan: 0nI.
b2. Geef aan hoe je met behulp van de Wet van Ampère de component van het magnetische veld bepaalt (geef gekozen Ampère
lusje duidelijk aan op antwoordenblad!). Laat zien dat deze overal
binnen de spoel gelijk is aan nul.
I
Z=+L/2
Z=L/2









z
d
z=d









dz
y-as
z-as R
2c) Beschouw nu een realistische spoel met N windingen, lengte L, stroom I en straal R.
Het magnetische veld op de symmetrie as in een punt met z=d (zie de figuur
hierboven voor de geometrie en de gebruikte coördinaten) kan verkregen worden
door de spoel te beschouwen als een stapeling van nagenoeg cirkelvormige
stroomlussen. Voor een enkele stroomlus hebben wij het magnetische veld op de
symmetrie as (hier de z-as) berekend tijdens het college (s is afstand op de z-as tot
centrum stroomlus):
 0 I R2
B z ( s) 

2 R2  s 2
3 2
c1. Geef de bijdrage dB aan het magnetische veld in het punt z=d ten gevolge van het
stukje spoel met dikte dz op afstand z van de oorsprong. Dit alles is aangegeven in de
figuur. Let wel: alle magnetische veld componenten hebben slechts een z-component.
Hint: bepaal de stroom die in het gearceerde stukje met dikte dz (zie figuur) loopt en
bepaal de afstand langs de z-as tot het punt met z=d van het gearceerde stukje.
Verwerk de gevonden gegevens in de gegeven uitdrukking voor z-component
magnetische veld van een enkele cirkelvormige stroomlus.
c2. Integreer de zojuist gevonden uitdrukking tussen z=L/2 en z=+L/2 om te laten
zien dat het magnetische veld van deze spoel overal op de z-as gelijk is aan (d is

L 2 d
L 2 d
 0 IN R 2 
afstand tot de oorsprong):

(
d
)


B
z
Gebruik:
2L


1
x
dx

2
3
/
2
 (a  x )
a a  x2
2
2
R  L 2 d 
2
2
R  L 2 d  

2 MAGNETOSTATICA, vervolg
2d)
Schets het verloop van het magnetische veld in een punt op de z-as als functie van
de afstand d tot de oorsprong in de figuur op het antwoordenblad. Wat vind je
voor het magnetische veld in het punt z=d in de limiet L≫R en d≪L (ideale
spoel)? Is dat verbazingwekkend?
2e)
Tenslotte beschouwen we nogmaals een oneindig lange spoel met straal R en
stroom I en n windingen per meter. Je mag veronderstellen dat de opstelling
cilinder symmetrisch is. Laat zien dat buiten de spoel (r>R) de azimuthale
component van het magnetische veld gelijk is aan:
B (r ) 
0I
2r
Hint: kies een geschikt gekozen Ampère lusje waarin B voor r>R voorkomt.
Verklaar waarom de azimuthale component van het magnetische veld buiten een
spoel (r>R) gelijk is aan de azimuthale component van het magnetische veld
buiten een oneindig lange rechte stroomdraad met stroom I.
3 ELECTRODYNAMICA: De Strop
x=a
x=0
v
z
y
x
Een metalen vierkante lus wordt met constante snelheid v door een magneetveld
bewogen, zoals aangegeven in de tekening.
De lus heeft zijdes met een lengte l, een totale weerstand R en een verwaarloosbare
zelfinductie. Het magneetveld heeft de constante grootte B0 tussen x=0 en x=a en het
wijst het blad uit. Elders is het veld nul.
3a) Op tijd t=0 ligt de lus op x=-a en wordt vevolgens bewogen tot x=2a. Bereken de
magnetische flux door de lus als functie van de tijd. Geef tevens aan hoe je uit de flux de
elektromotorische kracht (EMK) berekenen kunt.
Op het moment dat de lus het veld binnendringt, zal er ten gevolge van de EMK een
stroom gaan lopen.
3b) Laat zien dat de maximale grootte van deze stroom gegeven is door:
I
en schets het verloop van I als functie van de tijd.
B0
lv
R
3 ELECTRODYNAMICA, vervolg
3c) Hoe groot is de kracht die je moet uitoefenen om de snelheid constant te houden als
functie van de tijd?
(Tip: Bepaal de Lorentz kracht op het lusje.)
3d) Laat zien dat de arbeid die jij zou moeten leveren om het lusje door het veld te
bewegen gelijk is aan de elektrische energie die in de weerstand is omgezet.
(Tip: Het elektrisch vermogen is gegeven door P = I2R)
Tot nu toe hebben we de zelfinductie L van de spoel verwaarloosd, nu willen we
deze ook meenemen in de berekening.
3e) Stel een differentiaal vergelijking op met daarin, naast de termen voor de EMK t.g.v. de
flux verandering en de spanning over de weerstand, een term voor de bijdrage ten
gevolge van de zelfinductie. Schets het verloop van de stroom als functie van de tijd en
licht eventuele veranderingen ten opzichte van opgave b toe.
Grafisch antwoordenblad
2a
2b
2c
⊙

⊙

⊙

⊙

⊙

B/Bideaal
1.0
0.5
d
L/2
0
+L/2