De reële getallen 1

1 De reële getallen
WP+33GLW.indb 7
5/08/14 08:20
1 De reële getallen
1.1 De reële getallen
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
Schrijfwijzen van een rationaal getal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Wortelvormen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Reële getallen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Reële getallen en de getallenas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Intervallen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Samenvatting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Herhaling: inoefenopdrachten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2 Rekenen met reële getallen
1.2.1 Machten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.2 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Herhaling: inoefenopdrachten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.3 Vraagstukken oplossen
1.3.1
1.3.2
1.3.3
WP+33GLW.indb 8
Vraagstukken oplossen met een vergelijking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Inhoud van willekeurige ruimtefiguren berekenen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Problemen oplossen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Herhaling: inoefenopdrachten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Herhaling: voor wie iets meer wil
.......................................................................
64
Junior Wiskunde Olympiade
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5/08/14 08:20
Studiewijzer
Leerdoelen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Th
1
De verschillende schrijfwijzen van een rationaal
blz. 11-12
getal herkennen en de juiste benamingen gebruiken.
32
91
1, 2
3
De definitie van een vierkantswortel van een getal
formuleren en toepassen.
blz. 15
4, 5, 7, 14,
16, 35
6, 8, 9, 11,
92
12, 110
De definitie van de derdemachtswortel van een
getal formuleren en toepassen.
blz. 16
10, 35
11
12
13, 15, 31
17, 18
Van een rationaal getal de decimale vorm omzetten blz. 12-13
in een breuk en omgekeerd.
Het aantal vierkantswortels van een getal geven.
blz. 15
Het aantal derdemachtswortels van een getal
geven.
blz. 16
De definitie van een irrationaal getal en van een
reëel getal formuleren en toepassen.
blz. 21-22
_
Verklaren dat ​√2 ​ geen rationaal getal is.
blz. 21
Rekenen met reële getallen.
10 De symbolische notaties voor verschillende
getallenverzamelingen gebruiken.
20, 22, 93,
94
blz. 22-23
11 Reële getallen aanduiden op de getallenas.
blz. 26-27
23, 33
13 Reële getallen ordenen.
blz. 27
24, 25, 34
26
15 De definitie, de tekenregel en de rekenregels voor
machten gebruiken bij reële getallen.
61, 62, 63,
64, 65, 66
16 Rekenen met veeltermen, o.a. door gebruik te
maken van merkwaardige producten.
68, 69
36, 37, 38,
39, 40, 41,
42, 43, 44,
67, 96, 97,
98
12 Het axioma van de reële getallen formuleren.
blz. 26
14 Een verzameling van reële getallen voorstellen met blz. 28-30
ongelijkheden, met een interval of met een grafiek.
17 Veeltermen ontbinden in factoren.
18 Vergelijkingen oplossen.
blz. 37
71, 72, 74
88, 89
28, 29, 30,
95
2
19, 21, 109
111
27
112, 113
4
114
45, 46, 47,
48, 49, 50,
51, 52, 70,
99, 100,
101
53, 54, 55,
56, 57, 58,
59, 60, 73,
75, 102,
103
90, 106
5
115, 116
 
WP+33GLW.indb 9
3
9
5/08/14 08:20
Leerdoelen
Th
19 Vraagstukken oplossen met een vergelijking.
blz. 50
20 De inhoud van ruimtelichamen berekenen.
blz. 56
21 Problemen oplossen door gebruik te maken van
een heuristiek.
blz. 59-60
1
76, 77, 78,
79, 104,
105
80, 117,
118, 119
85, 86, 87,
108
121
81, 82, 83,
107
84, 120
2
3
4
5
10
WP+33GLW.indb 10
De reële getallen
5/08/14 08:20
1.1 De reële getallen
1
1.1.1 Schrijfwijzen van een rationaal getal
Zoekwerk 1
•Noteer onder elke breuk de decimale vorm.
−5
___
−157
_____
−6
___
11
2
1 429
______
7
___
277
____
3
−133
_____
17
___
4
450
100
66
22
100
−3 263
_______
6
4
999
•Omcirkel de begrensde decimale vormen, of nog, de decimale getallen.
•Plaats bij een onbegrensde decimale vorm een kruisje in het linkervak als de periode
5
meteen na de komma start.
Plaats een kruisje in het rechtervak als de periode niet meteen na de komma start.
Onderstreep telkens de periode.
Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen waarbij de deler verschillend is
van nul.
Een rationaal getal heeft twee schrijfwijzen: een breukvorm en een decimale vorm.
1.1
WP+33GLW.indb 11
De reële getallen
11
5/08/14 08:20
Van breuk naar decimale vorm
Om de decimale schrijfwijze van een breuk te bepalen, deel je de teller door de noemer. Deze
decimale vorm kan begrensd of onbegrensd zijn.
1
Voorbeelden
5 = 0,625
__
10 = 3,33…
___
−7 = −0,28
___
25 = 1,388…
___
3 = 0,272 7…
___
−529 = −5,877…
_____
8
25
2
11
3
18
90
Als de decimale vorm begrensd is, noemen we dit een decimaal getal.
Zo zijn 0,625 en −0,28 decimale getallen.
Als de decimale schrijfwijze van een rationaal getal niet begrensd is, spreken we van een
repeterende decimale vorm.
Zo zijn 0,272 7…; 1,388… en −5,877… repeterende decimale vormen.
3
Een repeterende decimale vorm heeft een periode. Het getal gevormd door de cijfers na de
komma en voor de periode is het niet-repeterend deel.
Bij een onbegrensde repeterende decimale vorm schrijven we tweemaal de periode, gevolgd
door drie stipjes.
•Repeterende decimale vormen waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint,
noemen we zuiver repeterend.
Zo is 0,272 7… een zuiver repeterende decimale vorm met periode 27.
•Repeterende decimale vormen waarbij een niet-repeterend deel voorkomt, noemen we
gemengd repeterend.
Zo is −5,877… een gemengd repeterende decimale vorm met periode 7 en waarvan het
niet-repeterende deel 8 is.
4
•0,312 121 212… is een onbegrensde repeterende decimale vorm omdat de cijfers
1 en 2 steeds na elkaar terugkeren.
5
•In 0,312 012 112 212 312… komen de cijfers 1 en 2 ook steeds terug, maar
omdat dit niet na elkaar is, is dit geen repeterende decimale vorm.
Van decimale vorm naar breuk
Met decimale getallen kun je rekenen, maar met repeterende decimale vormen kun je
bewerkingen niet nauwkeurig uitvoeren. Dit kan echter wel wanneer je deze decimale vormen
schrijft als breuken.
12
WP+33GLW.indb 12
De reële getallen
5/08/14 08:20
•Van decimaal getal naar breuk
Met de eigenschap van gelijke breuken kunnen we een decimaal getal schrijven als een
breuk.
1
Voorbeelden
−3,15 ∙ 100
 ​
−3,15 = ​  __________
 
 
1 ∙ 100
−315 ​
= ​  _____
 
 
100
7,125 ∙ 1 000
7,125 = ​  ____________
 ​
  
 
1 ∙ 1 000
−63 ​  
= ​  ____
20
7 125 ​ 
= ​  ______
 
1 000
57 ​  
= ​  ___
8
2
Het resultaat schrijven we altijd als een onvereenvoudigbare breuk.
•Van repeterende decimale vorm naar breuk
Voorbeeld
We schrijven 2,186 6… als een onvereenvoudigbare breuk.
3
We stellen de decimale vorm gelijk aan b en duiden de periode aan. b = 2,186 6…
We vermenigvuldigen beide leden van de gelijkheid met een macht 1 000b = 2 186,66…
van 10 zodat de periode één keer voor de komma staat.
100b = 218,66…
We vermenigvuldigen vervolgens beide leden van de gelijkheid
900b = 1 968
met een macht van 10 zodat de periode net na de komma staat.
We berekenen het verschil van de overeenkomstige leden.
We lossen de vergelijking op naar b.
164 ​
Besluit: 2,186 6… = ​  ____
  
164 ​  
1 968 ​
= ​  ____
 
 
b = ​  ______
900
75
4
75
Gebruik van de rekenmachine
•Van decimaal getal naar breuk
Voer het getal in, druk op MATH , kies voor
[1:Frac] en druk op ENTER .
5
•Van repeterende decimale vorm naar breuk
Tik de decimale vorm in en herhaal de periode een
groot aantal keer.
Druk op MATH , kies voor [1:Frac] en druk op
ENTER .
1.1 De reële getallen
WP+33GLW.indb 13
13
5/08/14 08:20
Opdrachten
1
1
Schrijf de breuk als een decimale vorm.
Als de decimale vorm onbegrensd is, onderstreep dan de periode eenmaal en het
niet-repeterende deel tweemaal.
a
b
c
2
d
e
2
3
4
3
7 ​   ​  __
6
3  ​ 
​  ___
11
11 ​  
​  ___
5
91  ​ 
​  ____
740
23 ​  
​  ___
99
=
=
=
=
=
−3 ​  
f​  ___
9
25
___
g​   ​  
33
149 ​  
h​  ____
110
−39 ​  
i​  ____
40
25
___
j​   ​  
22
=
=
=
=
=
Schrijf de decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.
a
1,6
=
g−3,252 5…
b
−0,2
=
h 2,016 016… = c
8,25
=
i
d
−51,04
=
j−10,115 15… = e
0,727 2…= k
0,258 58…
=
f
−0,020 2… = l
0,99…
=
1,588…
=
=
Bij het zoeken naar de decimale vorm van een breuk vindt Roos 0,55…
Het juiste antwoord is echter 1,8. Welke fout heeft Roos gemaakt?
5
14
WP+33GLW.indb 14
De reële getallen
5/08/14 08:20
1.1.2 Wortelvormen
Zoekwerk 2
1
•Vul de tabel aan.
A vierkant
9
36
81
0,25
1,69
zvierkant
•3 is een vierkantswortel van 9 omdat 3 2 = 9.
2
Waarom is 6 een vierkantswortel van 36?
Welk getal is dan nog een vierkantswortel van 36?
Wat zijn de vierkantswortels van 0,64?
3
•Welke getallen hebben geen vierkantswortels?
Verklaar.
•Er is één getal dat juist één vierkantswortel heeft.
Welk getal is dat?
4
DEFINITIE
Een vierkantswortel van een gegeven getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan
het gegeven getal.
•7 is een vierkantswortel van 49, want 7 2 = 49.
−7 is ook een vierkantswortel van 49, want ( −7 ) = 49.
49 heeft dus twee tegengestelde vierkantswortels.
_
De positieve vierkantswortel van 49 noteren we als √49 .
_
De negatieve vierkantswortel van 49 noteren we als −√49 .
Elk getal groter dan nul heeft twee tegengestelde vierkantswortels.
2
5
•−25 heeft geen vierkantswortels, want er bestaat geen enkel getal waarvan het kwadraat −25 is.
Een getal kleiner dan nul heeft geen vierkantswortels.
•Het getal 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0.
Afspraak
Als we spreken over de vierkantswortel van een getal bedoelen we de positieve vierkantswortel.
1.1
WP+33GLW.indb 15
De reële getallen
15
5/08/14 08:20
Zoekwerk 3
•Vul de tabel aan.
1
Ikubus
27
216
0,064
0,125
1 000
zkubus
•Omdat 2 3 = 8, is 2 een derdemachtswortel van 8.
Waarom is 9 een derdemachtswortel van 729?
2
Heeft 729 nog een derdemachtswortel? Verklaar.
•Wat is de derdemachtswortel van −8?
3
Verklaar.
DEFINITIE
De derdemachtswortel van een gegeven getal is een getal waarvan de derdemacht gelijk is
aan het gegeven getal.
4
7 is een derdemachtswortel van 343, want 7 3 = 343.
3
___
We noteren √343 = 7.
•Een positief getal heeft juist één derdemachtswortel. Deze wortel is positief, want de
derdemacht van een positief getal is positief.
3
___
Zo is √512 = 8.
•Een negatief getal heeft juist één derdemachtswortel. Deze wortel is negatief, want de
derdemacht van een negatief getal is negatief.
5
3
____
Zo is √−512 = −8.
Om de derdemachtswortel van een getal met een grafische
rekenmachine te berekenen, druk je op MATH , kies je
_
voor [ 4:3√ ( ], voer je het getal in en druk je op ENTER .
16
WP+33GLW.indb 16
De reële getallen
5/08/14 08:20
Opdrachten
4
Bereken.
1
x = 16
5
6
7
x = 5,062 5
_
a
2​√x + 9 ​ 
b
2​√x ​  + 9
c
2​  ( ​√x ​  + 9 ) ​
d
2​√x ​  + ​√9 ​ 
e
​​  ( ​√x ​  + ​√9 ​  ) ​​  ​
f
​​  ( ​√x + 9 ​  
) ​​  ​
_
_
_
2
_
_
_ 2
_ 2
3
Geef de vierkantswortels.
a
8 464 d
42 037,300 9 b
1,562 5 e
4 367,888 1 c
4 928,04 f
0,007 921 4
Bereken de middelevenredigen tussen de getallen.
a
8 en 32
b−5 en −125
5
Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen liggen de volgende vierkantswortels?
_
_
a
√ 4 361 ​ 
<​
< d
√ 9 999 ​ 
<−​
< b
<​
√4 235,2 ​  < e
√75 ​ 
<−​
< c
<​
√6,235 ​ 
f
√ 333 ​ 
<−​
< _
_
< _
_
1.1 De reële getallen
WP+33GLW.indb 17
17
5/08/14 08:20
8
De oppervlakte van een kubus is 8,64 m
​ ​  2​.
Bereken de ribbe van de kubus.
9
Bereken de zijde van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een rechthoek
van 3 m op 1,47 m.
10
Bereken de derdemachtswortel.
1
2
3
4
11
5
18
WP+33GLW.indb 18
a
1 000 d
117 649 b
−12,167 e−27,270 901 c
7 529,536 f−31 255,875 Geef een getal, verschillend van nul, waarvan de vierkantswortel en de
derdemachtswortel gelijk zijn.
De reële getallen
5/08/14 08:20
12
Los de vergelijkingen op.
a
x 2 − 121 = 0
d
x3 + 8 = 0
1
b
x 3 − 64 = 0
e
1 − x2 = 0
2
c
x 2 + 16 = 25
f
1 − x3 = 0
3
Breuken bij de Egyptenaren
Reeds in 3500 v.C. bezat men in Egypte een volledig ontwikkeld getallenstelsel. In het
hiërogliefenschrift (heilig schrift), dat op monumenten en in grafopschriften werd gebruikt, werd
elke macht van tien voorgesteld door een ander teken.
1
10
100
1 000
Door de tekens te herhalen, werden getallen voorgesteld.
10 4
10 5
4
10 6
staat voor het getal 3 426.
5
Uit de Papyrus Rhind, een papyrusrol die dateert van het Egyptische Middenrijk, en andere
bronnen blijkt dat de Egyptenaren hoofdzakelijk werkten met stambreuken, d.w.z. breuken met
teller 1. De reden voor dit gebruik is niet helemaal duidelijk.
2 en __
3.
De enige niet-stambreuken, waar wel een apart symbool voor bestond, waren __
3
4
De notatie van een stambreuk was in het hiërogliefenschrift simpelweg de notatie van de noemer
met daarboven het teken voor een mond.
Zo staat
1 en
voor ___
20
1 .
voor ____
110
1.1
WP+33GLW.indb 19
De reële getallen
19
5/08/14 08:20
1.1.3 Reële getallen
Irrationale getallen
1
Zoekwerk 4
Om de diagonaal van een vierkant met zijde 1 te
berekenen, kun je als volgt te werk gaan.
•De diagonaal is de zijde van het grote vierkant.
Bereken de oppervlakte van het grote vierkant met
behulp van vier rechthoekige driehoeken.
2
d
1
1
3
•Bereken nu de zijde van het grote vierkant, of nog, de diagonaal van het vierkant met
zijde 1 en noteer je resultaat in de decimale vorm.
4
_
Als je √2 met een rekenmachine berekent, krijg je
1,414 213 562.
_
Bereken je het verschil van √2 en 1,414 213 562 dan
vind je 3,731 ∙ 10 −10 en is het resultaat niet gelijk aan 0.
Dit betekent dat een rekenmachine de decimale vorm van
_
√ 2 afrondt.
_
Dus √2 = 1,414 213 56…
We vermoeden dat deze decimale vorm onbegrensd is.
5
We ontdekken in deze vorm geen periode.
_
De decimale vorm is onbegrensd en niet-repeterend, of nog, we kunnen √2 niet schrijven als
een breuk.
20
WP+33GLW.indb 20
De reële getallen
5/08/14 08:20
_
We noemen √2 een irrationaal getal.
DEFINITIE
1
Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale
schrijfwijze.
Voorbeelden
•0,101 101 110 111 10…; 8,234 234 523 456…
•p
•Alle natuurlijke getallen die geen kwadraat zijn
Omdat irrationale getallen een
onbegrensde, niet-repeterende
decimale vorm hebben, moet je
deze getallen afronden.
Daarbij gebruik je dezelfde regels
als bij rationale getallen.
van een natuurlijk getal hebben een irrationaal
getal als vierkantswortel.
2
_
We verklaren waarom √2 een irrationaal getal is.
3
Zoekwerk 5
(3)
( 1216 ) = 256
144
( 69 ) = 729
216
7
__
3
2
___
__
( 5 ) = 259
( 129 ) = 144
81
( 103 ) = 1081000
343
= ____
27
3
3
__
____
___
____
___
2
___
2
4
____
______
4
•Omcirkel de grondtallen die vereenvoudigbaar zijn.
Omcirkel de machten die vereenvoudigbaar zijn.
•Wanneer is een macht van een breuk onvereenvoudigbaar?
5
Als we een breuk vereenvoudigen, delen we de teller en de noemer door hun grootste
gemeenschappelijke deler.
We kunnen die deler vinden door de teller en de noemer te ontbinden in priemfactoren: de
grootste gemeenschappelijke deler is het product van de gemeenschappelijke priemfactoren
met hun kleinste exponent.
3
2
2 ∙ 3 ∙ 7 = ___________
2 ∙ 7 ∙ 2 ∙ 3 = _____
2 ∙ 7 = ___
168 = ________
14
____
2
3
2
2
2
540
3 ∙ 5 45
2 ∙ 7 hebben de teller en de noemer dus geen
14 = _____
In de onvereenvoudigbare breuk ___
45 3 2 ∙ 5
gemeenschappelijke priemfactoren meer.
2 ∙3 ∙5
3 ∙5∙2 ∙3
1.1
WP+33GLW.indb 21
De reële getallen
21
5/08/14 08:20
Verheffen we die onvereenvoudigbare breuk tot een macht, dan komen er geen nieuwe
2 ∙ 7  ​   ​​  3​ = ​  ______
​2​  3​ ∙ ​7​  3​ ​ 
14 ​     ​​  3​ = ​​   ​  _____
priemfactoren bij: ​​  ( ​  ___
 
.
)
(
)
2
45
​3​  ​ ∙ 5
​3​  6​ ∙ ​5​  3​
1
Dit betekent dat een macht van een onvereenvoudigbare breuk ook een onvereenvoudigbare
breuk is.
_
We verklaren nu waarom ​√2 ​ een irrationaal getal is.
_
​√2 ​ is een positief getal.
_
_
​ 2 ​ is een positieve
We hebben nu drie mogelijkheden: √
​ 2 ​ is een natuurlijk getal,_√
onvereenvoudigbare breuk met een noemer groter dan 1 of √
​ 2 ​ is een positief irrationaal getal.
2
_
•Als √​ 2 ​ een natuurlijk getal zou zijn, dan is 2 het kwadraat van een natuurlijk getal. Dit is
onmogelijk.
_
•Als √​ 2 ​ een positieve onvereenvoudigbare breuk met een noemer groter dan 1 is, dan is het
kwadraat ervan ook een onvereenvoudigbare breuk met een noemer groter dan 1. (Een
macht van een onvereenvoudigbare breuk is een onvereenvoudigbare breuk).
Maar dit kwadraat, 2, is niet zo’n breuk, dus ook dit is onmogelijk.
_
•Omdat van de drie mogelijkheden de eerste twee onmogelijk zijn, kan √​ 2 ​ enkel nog een
positief irrationaal getal zijn.
3
Reële getallen
DEFINITIE
Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.
4
De verzameling van de
rationale getallen
De verzameling van de
irrationale getallen
1, 112 123...
Q
Z
5
N
1
0
1
–
8
–3
5
–4
–1, 33...
–7
...
2
5, 2
...
...
π
–1, 010 010 001...
...
De verzameling van de reële getallen noteren we met R.
De verzameling van de irrationale getallen heeft geen eigen symbool.
22
WP+33GLW.indb 22
De reële getallen
5/08/14 08:20
​R​  +​is de verzameling van de positieve reële getallen.
_
_
Dat √
​ 5 ​ een positief reëel getal is, noteren we als √
​ 5 ​  Î ​R​  +​.
−3,2 is geen positief reëel getal. We noteren −3,2 Ï ​R​  +​.
1
​R​  0+​  ​is de verzameling van de reële getallen groter dan nul.
−
​R​  ​is de verzameling van de negatieve reële getallen.
​R​  0−​  ​is de verzameling van de reële getallen kleiner dan nul.
•Alle bewerkingen met rationale getallen kun je ook uitvoeren met reële getallen.
We aanvaarden voor de reële getallen de definities, de eigenschappen en de rekenregels die
gelden voor de bewerkingen met rationale getallen.
•Een reëel getal kleiner dan nul heeft geen vierkantswortels. In dit geval zeggen we dat de
vierkantswortel van een reëel getal kleiner dan nul niet gedefinieerd is in R.
2
Opdrachten
13
Onderstreep de irrationale getallen.
14
Bereken de vierkantswortels die gedefinieerd zijn in R.
15
3,15; 3,121 231 234…; 3,151 5…; −3,102 030…; 3,112 2…; −3,010 010 001…
3
_
a
_
−​√1 ​ 
b
√
​ 25 − 9 ​ 
c
√
​ −25 ​ 
_
√
−169 ​ ​ 
d​
​  _____
 
 
−36
√9 − 25 ​ 
g​
_
_
_
e
​ ​​  ( −3 ) ​​  ​  ​ 
√
2
_
f
√
−1 ​   ​ 
​ − ​  ___
4
h
4
_
_
√−​3​  2​ ​ 
i​
−​√−9 ​ 
5
Onderstreep de irrationale getallen.
Schrap de vormen die geen reëel getal voorstellen.
_
−​√9 ​ 
3
___
​  √ −8 ​ 
_
−5,33…
​√−9 ​ 
1,123 4…
​  √ 3 ​ 
3
__
_
p ​  
 ​__
3
3​√2 ​ 
_
​ ​​  ( −9 ) ​​  ​ ​ 
√
2
5,020 020 002…
1.1 De reële getallen
WP+33GLW.indb 23
23
5/08/14 08:20
16
1
17
Bereken. Rond, indien nodig, af op 0,001 nauwkeurig.
_
_
_
c​
√6 553,6 ​ 
a
√
​ 2 025 ​ 
√​ 202,5 ​ 
​
√4,9 ​  √65 536 ​ 
​
√​ 20,25 ​  √ 49 ​ 
​
​
√6,553 6 ​ 
√​ 2,025 ​  √ 490 ​  ​
_
_
b​
√0,49 ​  _
_
_
_
_
_
_
​
√655,36 ​ 
Zijn volgende uitspraken waar of niet waar? Plaats een kruisje in het juiste vakje.
Verklaar.
2
Waar
3
18
4
19
a
Een getal kan rationaal en irrationaal zijn.
b
2,66… is een rationaal getal.
c
Elke onbegrensde decimale vorm is een irrationaal getal.
d
Er bestaan reële getallen die niet rationaal zijn en ook niet
irrationaal.
e
Er bestaan rationale getallen met een onbegrensde decimale
vorm die niet-repeterend is.
20
101
​ 19 ​ .
Geef twee irrationale getallen tussen √
​ 5 ​ en √
b
Geef drie natuurlijke getallen waarvan de vierkantswortel tussen 9 en 10 ligt.
Bereken.
b
x​ ​  2​​y​  3​ − 2​x​  2​y
voor x = −​√3 ​ en y = −5
b
​  ( 2a − b ) ​​c​  3​
voor a = 5, b = −2,5 en c = p
1 ​​  x​  3​y − ​  __
1  ​ xy​ ​  2​
​  __
2
3
​a​  2​ − 3b ​
​  ______
 
 
−3​​a​  2​b
1   ​ 
1 − ​  _________
1   ​ 
1 − ​  ______
1  ​ 
1 − ​  __
2
_
a
d
WP+33GLW.indb 24
1   ​ 
1 + ​  _________
1   ​ 
1 + ​  ______
1  ​ 
1 + ​  __
2
Bereken de getalwaarde.
c
24
_
a
a
5
_
Niet waar
5  ​  en y = −2
voor x = ​  __
4
_
voor a = ​√7 ​ en b = −1
De reële getallen
5/08/14 08:20
21
Bereken de oppervlakte van het gekleurde deel
op 1 mm 2 nauwkeurig.
1
3 cm
2
22
Bereken op 1 cm nauwkeurig de ribbe van een kubusvormige doos met een inhoud
van 90 liter.
3
Veelvouden van p
4
De figuur toont de veelvouden van p die berekend
en gedrukt werden door de rekenmachine van
Charles Babbage (1791-1871).
De eerste machine die de naam computer
verdiende – vanwege haar ontwerp dat een
soort programmeren toestond – heeft p niet
echt uitgerekend, maar werd gebruikt om de
veelvouden ervan te bepalen uitgaande van een
gegeven waarde van p.
Babbage ontwierp zijn machine omstreeks
1850. Deze tabel werd in 1906 berekend op
een gedeeltelijke versie van de machine, die in
werking gesteld werd door zijn zoon.
Deze tabel is echter helemaal fout, omdat in de
aanvangswaarde van p de veertiende decimaal
fout is.
Bron: Het fascinerende getal p.
5
1.1
WP+33GLW.indb 25
De reële getallen
25
5/08/14 08:20
1.1.4 Reële getallen en de getallenas
Bij meetkunde leer je dat je elk rationaal getal op de getallenas kunt aanduiden.
Ook om vierkantswortels van een natuurlijk getal aan te duiden, bestaan er werkwijzen.
1
We onderzoeken nu of ook elk reëel getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale
schrijfwijze een plaats heeft op de getallenas.
Voorbeeld
We benaderen de plaats van p = 3,141 592 65…
op de getallenas.
•Het getal p ligt tussen de gehele getallen 3 en 4.
Het lijnstuk tussen 3 en 4 verdelen we in 10
gelijke delen.
•Het getal p ligt tussen 3,1 en 3,2.
Het lijnstuk tussen 3,1 en 3,2 verdelen we
opnieuw in 10 gelijke delen.
•Het getal p ligt tussen 3,14 en 3,15.
Het lijnstuk tussen 3,14 en 3,15 kunnen we
nogmaals in 10 gelijke delen verdelen.
•Door deze werkwijze verder te herhalen,
kunnen we het getal p steeds beter insluiten
en zo de plaats ervan op de getallenas telkens
nauwkeuriger bepalen.
2
3
2
3
4
5
3,1 3,2
3
4
3,1
3,2
3,14
3,15
Je vermoedt nu dat met elk reëel getal juist één punt van de getallenas overeenkomt.
Je vermoedt ook dat het
omgekeerde waar is: met
elk punt van de getallenas
komt juist één reëel getal
overeen.
Zo hoort bij
_ het punt C
het getal √2 .
Bij D hoort het getal −p.
4
5
2
–
D
A
0
B
1
C
2
Beide vermoedens kunnen niet bewezen worden. We aanvaarden ze daarom als een axioma.
AXIOmA
Elk punt van de getallenas heeft als abscis juist één reëel getal en elk reëel getal is de abscis
van juist één punt van de getallenas.
Axioma van de reële getallen
Je kent definities en eigenschappen.
Heel wat eigenschappen kun je bewijzen.
Een eigenschap die we helemaal niet kunnen bewijzen, noemen we
een axioma.
26
WP+33GLW.indb 26
De reële getallen
5/08/14 08:20
De getallenas is de grafische voorstelling, kortweg de grafiek, van de verzameling van de reële
getallen.
De volgorde van de reële getallen stemt overeen met de volgorde van de overeenkomstige
punten op de getallenas.
−π −3
−2
—
−√ 2
−1
0 0,33...
1
1
2 2,25
Zo lees je op de getallenas
_ af:
… < −p < −3 < −2 < −​√2 ​  < −1 < 0 < 0,33… < 1 < 2 < 2,25 < …
Reële getallen kun je ook ordenen door gebruik te maken van de decimale schrijfwijze.
2
•Een getal kleiner dan nul is kleiner dan een getal groter dan nul.
Zo is −p < 1,2.
•Bij getallen
groter dan nul orden je de getallen naar het aantal gehelen.
_
Zo is √
​ 2 ​  < 2,3.
Is het aantal gehelen gelijk, dan orden je op basis van de eerste decimaal die verschillend is:
3,1405 < p.
•Bij getallen kleiner dan nul is het getal met de grootste absolute waarde het kleinst:
3
−2,145 1… < −2,145.
Opdrachten
23
Welk van de volgende getallen benadert de abscis van de punten A, B, C, D, E en F?
3,474 7…
23 ​  
​  ___
10
−13 ​
​  ____
  
10
F
−3
−1,66…
B
−2
A
3,932 46
p
D
−1
B
0
C
1
C
2
D
4
E
A
3
E
4
F
5
24
Rangschik van klein naar groot.
0,252 5…
−0,25
−0,24
−0,242 5…
0,252 6…
−0,252 5
0,25
0,24
0,242 5…
−0,252 6…
1.1 De reële getallen
WP+33GLW.indb 27
27
5/08/14 08:20
25
1
26
Vul in met < , > of = .
_
a
4
√ 10 ​ 
​
b
3
√7 ​ 
​
c
15 4​√14 ​ 
_
_
27
3
√ 4 ​ 
−​
_
_
_
_
e
3​√11 ​  7​√2 ​ 
f
√450 ​ 
15​√2 ​  ​
_
_
−6 ​   
h​  ___
5
√ 2 ​ 
−​
g
i
5​√7 ​  4​√11 ​ 
_
_
_
2​√3 ​   3​√2 ​ 
Rangschik de getallen van groot naar klein zonder gebruik te maken van een
rekenmachine.
​p​  2​
3,15p
2
_
−12
 ​  
d​  ____
5
3,1​4​  2​
3,1​5​  2​
3,14p
Als x een reëel getal is, zijn volgende uitspraken niet altijd waar.
Illustreer met twee getallenvoorbeelden.
a
−x < 5 d−x ≤ 0
b
x​ ​  2​ < ​x​  3​ e​
x​  2​ > x
c
−x ≤ x 1 ​   < x
f​  __
x
1.1.5Intervallen
Begrensde intervallen
•Een attractie in een pretpark is
4
120
130
140
150
160
170
180
190
niet toegankelijk voor mensen
kleiner dan 120 cm en mensen
groter dan 190 cm.
Stellen we de lengte van iemand
voor door x, dan mag die persoon
op de attractie als 120 ≤ x én x ≤ 190.
Deze twee ongelijkheden kunnen we schrijven in één ongelijkheid: 120 ≤ x ≤ 190.
Je kunt onmogelijk alle lengtes vanaf 120 cm tot en met 190 cm noteren. We kunnen ze wel
aanduiden op een getallenas.
5
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Al deze lengtes vormen op de getallenas een lijnstuk. Omdat iemand van 120 cm en iemand
van 190 cm op deze attractie mogen, duiden we deze getallen aan met een volle stip.
De verzameling van alle reële getallen groter dan of gelijk aan 120 en kleiner dan of gelijk
aan 190 noemen we een interval en noteren we als [​  120, 190 ]​. 
[​   120, 190 ]​ is een gesloten interval. De vierkante haakjes die naar binnen staan, geven aan dat
de ondergrens 120 en de bovengrens 190 tot het interval behoren.
In een interval noteren we eerst de ondergrens en dan de bovengrens.
28
WP+33GLW.indb 28
De reële getallen
5/08/14 08:20
•Tijdens een medisch onderzoek wordt de lengte van Jan gemeten.
De lintmeter bepaalt de lengte tot op 1 mm nauwkeurig.
Jan is tussen de 165,5 cm en 165,6 cm lang.
Tussen deze twee meetresultaten liggen ontzettend veel andere
resultaten.
We duiden alle tussenliggende resultaten aan op een getallenas.
Omdat de grensgetallen 165,5 en 165,6 niet tot de meetresultaten
behoren, duiden we ze aan met een cirkeltje.
165, 4
165, 5
166
1
165
164
165, 6
2
165, 7
Stellen we de lengte van Jan voor door l, dan kunnen we die lengte
noteren met de ongelijkheid 165,5 < l < 165,6.
De verzameling van alle getallen tussen 165,5 en 165,6 kunnen we
met een open interval noteren: ]​ 165,5; 165,6 [​.  De haakjes staan naar
buiten omdat de grensgetallen niet tot het interval behoren.
Dat de lengte l van Jan een getal uit dit interval is, noteren we als
l Î ​] 165,5; 165,6 [​. 
3
•De oppervlakte van een cirkel met straal 4 is 50,27 op 0,01 nauwkeurig.
Dit betekent dat de oppervlakte minstens 50,265 is en minder dan 50,275.
Stellen we de oppervlakte voor door A, dan kunnen we die met een ongelijkheid noteren als
50,265 ≤ A < 50,275.
We kunnen de oppervlakte ook grafisch voorstellen op een getallenas.
50,260
50,265
50,270
50,275
4
Schrijven we de oppervlakte met de intervalnotatie, dan krijgen we een halfopen interval:
A Î ​[ 50,265; 50,275 [​.
Bij de voorbeelden had elk interval een boven- en een ondergrens. Deze intervallen zijn
begrensde intervallen en de grafische voorstelling op een getallenas is een lijnstuk.
Onbegrensde intervallen
5
De verzameling van alle reële getallen heeft geen onder- en bovengrens.
Om deze verzameling met een interval te kunnen noteren, voeren we de
symbolen −∞ en +∞ in, die we lezen als ‘min oneindig’ en ‘plus oneindig’.
De verzameling van de reële getallen komt dan overeen met het interval ]​ −∞, +∞ [​. 
Bijgevolg: R = ​] −∞, +∞ [​. 
Met −∞ geven we aan dat dit interval geen ondergrens heeft. +∞ betekent dat het interval geen
bovengrens heeft.
Bij −∞ en +∞ gebruiken we haakjes die naar buiten staan.
Het interval ]​ −∞, +∞ [​ is een voorbeeld van een onbegrensd interval.
1.1 De reële getallen
WP+33GLW.indb 29
29
5/08/14 08:20
_
•√x − 3 kun je pas berekenen als x ≥ 3 is.
De grafische voorstelling van deze getallen is een halfrechte.
−1
1
0
1
2
3
4
5
Met een interval noteer je x Î [ 3, +∞ [ .
_
•√x − 3 is niet gedefinieerd in R als x < 3.
Ook nu is de grafiek van al deze getallen x een halfrechte.
−1
0
1
2
3
4
5
Met een interval noteer je x Î ] −∞, 3 [.
2
Het interval ] −∞, 3 [ mag je niet noteren als ] −∞, 2 ]. Immers, ook 2,5 en
2,3 behoren nog tot het interval.
Opdrachten
28
3
Noteer de ongelijkheid of het interval.
Ongelijkheid
a
3≤x≤5
29
WP+33GLW.indb 30
h
x ≤ 1,5
2<x
Interval
x Î [ −2, 0 [
c
3<x<7
i
d
−2 < x ≤ 3
j
x Î ] −∞, 1 ]
x Î ] 1, +∞ [ 
e
x Î ] 3, 5 ]
k
f
x Î ] −7, 6 [
l
−5 > x
Noteer je antwoord met een interval.
a
Een liter benzine kost € 1,62. Een auto heeft een benzinetank
van 50 liter. Hoeveel kan een tankbeurt kosten als je minstens
5 liter moet tanken?
b
In een advertentie voor een reisbureau wordt een citytrip
gepromoot. De advertentie vermeldt ‘vanaf € 119,00 per persoon’.
Je reist met twee personen. Hoeveel kan deze trip kosten?
c
De oppervlakte van een kubus is groter dan 24 cm 2 en kleiner dan 180 cm 2. Hoe lang kan
de ribbe zijn?
5
30
Ongelijkheid
g
x Î [ −2, 1 ]
b
4
Interval
De reële getallen
5/08/14 08:20
30
Teken de grafiek of noteer het interval.
a
[ 2, 5 ]
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
b
[ −1, +∞ [ 
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
e
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
f
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
h
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
i
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
c
d
g
] −3, −2 ]
] −∞, −4 [
1
2
3
4
Wiskunde en kunst
De Franse schilder François Morellet haalde voor een kunstwerk zijn
inspiratie bij even en oneven getallen. Hij verdeelde het werk in 40 000
vierkantjes en kleurde die zwart of wit. Om de kleur van een vierkantje
te bepalen, gebruikte hij het even of oneven zijn van de opeenvolgende
nummers van een telefoonboek.
Dit werk heet ‘Répartition aléatoire de 40 000 carrés selon les chiffres
pairs et impairs d’un annuaire de téléphone’ (1961).
5
1.1
WP+33GLW.indb 31
De reële getallen
31
5/08/14 08:20
Samenvatting
begRippen
1
•Een rationaal getal heeft een begrensde of een onbegrensde repeterende decimale
schrijfwijze.
Als de decimale vorm begrensd is, noemen we dit een decimaal getal.
Een repeterende decimale vorm heeft een periode. Het getal gevormd door de
cijfers na de komma en voor de periode is het niet-repeterend deel.
•De verzameling van alle reële getallen groter dan 12 en kleiner dan 17 kunnen
2
we voorstellen met het open interval ]​ 12, 17 [​.  Dit interval is begrensd: 12 is de
ondergrens en 17 de bovengrens.
Als een interval onbegrensd is, gebruiken we −∞ of +∞ om aan te geven dat dit
interval geen ondergrens of bovengrens heeft.
Zo stelt het halfopen interval ​] −∞, −3 ]​de verzameling van alle getallen kleiner dan
of gelijk aan −3 voor.
3
DEFINITIES
•Een vierkantswortel van een gegeven getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk
is aan het gegeven getal.
•De derdemachtswortel van een gegeven getal is een getal waarvan de derdemacht
gelijk is aan het gegeven getal.
•Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale
4
schrijfwijze.
•Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.
_
_
•21 heeft twee tegengestelde vierkantswortels: √​ 21 ​ en −​√21 ​. 
0 heeft juist één vierkantswortel: 0.
−16 heeft geen vierkantswortels.
__
3
•9 heeft één derdemachtswortel: ​ √ 9 ​___
 .
3
−8 heeft één derdemachtswortel: ​ √ −8 ​  = −2.
5
EIGENSCHAP
Axioma van de reële getallen
Elk punt van de getallenas heeft als abscis juist één reëel getal en elk reëel getal is de
abscis van juist één punt van de getallenas.
32
WP+33GLW.indb 32
De reële getallen
5/08/14 08:20
Herhaling: inoefenopdrachten
31
Schrap de getallen die geen reëel getal voorstellen.
Onderstreep de irrationale getallen.
_
√9
1 ​ ​   
​ ​  __
_
32
___
​  √ −10 ​ 
 
−3p
3
__
_ 2
√
​​  ( ​√11 ​  ) ​​  ​
1,112 2…
__
√ 7 ​ 
 ​
​ ___
  
3
17,17
​√−16 ​ 
1
  2
 ​ ​   
​   ​  __
9
7,153 628 743…
Noteer op elke schrijflijn een passend voorbeeld.
2
decimale vorm
onbegrensd
begrensd
33
geheel
niet-geheel
.....
.....
−17 ​
​  ____
  
10
B
−3
35
repeterend
.....
gemengd
zuiver
.....
.....
_
7  ​ 
​  __
6
−p
A
√
​ 7 ​ 
F
−2
−1
0
D
1
0,4
C
2
E
3
4
Rangschik van klein naar groot.
−3,161 7…
3,161 7…
3,171 7…
3,171 8…
−3,16
−3,171 8…
−3,17
−3,171 7
3,17
3,16
513,12
12,741
5
Bereken op 0,01 nauwkeurig.
a
de vierkantswortels van:
1 451,6
b
de derdemachtswortel van:
0,317−712,16
5 312,7
Herhaling: inoefenopdrachten
WP+33GLW.indb 33
4
Welk van de volgende getallen benadert de abscis van de punten A, B, C, D, E en F?
3,44…
34
3
niet-repeterend
33
5/08/14 08:20
1.2 Rekenen met reële getallen
1
1.2.1 machten
De definitie, de tekenregel en de rekenregels voor machten bij rationale getallen blijven geldig
bij de reële getallen.
Zoekwerk 1
Een leerling gaf volgende antwoorden op een test over machten.
Controleer en verbeter de fouten.
2
1
Bereken.
a 43 =
b
c
3
2
d
( √2 ) 2 = 2
e
( −3 ) 2 = −9
f
1
3 −3 = −27
2 −2 = __
__
( 5 ) 254
p0 =
Werk uit.
De letters stellen getallen verschillend van nul voor.
a6
4 4
( xy ) 4 = x y
10
( −a 2 ) 5 = −a
a a3 ∙ a2 =
f
b
g
c
4
_
12
d
e
( −4 ) 6 : ( −4 ) 2 = 1
( 2x ) 4 = 8x
( −3 ) 4 ∙ ( −3 ) 2 = 3
6
a4
3
( −2y ) 3 = −8y
3
−
y
3
( ___−xy ) = ___
x3
h a8 : a2 =
4
i
1
( x 2 ) −3 = ___
6
j
x
Alle rekenregels voor machten kun
je terugvinden in het overzicht.
Opdrachten
5
4
Alle letters stellen reële getallen verschillend van nul voor.
36
Welke verwoording past bij de symbolische notatie?
•
a −2 •
−a 2 •
( −a ) 2 •
a2
•
•
•
•
het omgekeerde van het kwadraat van a
het kwadraat van het tegengestelde van a
het tegengestelde van het kwadraat van a
het kwadraat van a
Bepaal telkens eerst het teken van de uitkomst.
34
WP+33GLW.indb 34
De reële getallen
5/08/14 08:20
37
38
39
40
Schrijf met een positieve exponent en bereken.
a
7​ ​  −2​
b
(  ) 
−2 ​    ​​  −3​
− ​​  ​  ___
3
f
​​  ( −4 ) ​​  ​
g​​  ( 0,66… ) ​​  ​
c
−​​  ( −3 ) ​​  ​
1_  ​   ​​  ​
h​​  ​  ___
​√3 ​ 
d
​​  ( −0,6 ) ​​  ​
i​​  ( −​√7 ​  ) ​​  ​
e
2 ​    ​​  −4​
​​  ​  __
5
j
−​  ( −​p​  −3​  ) ​
−3
−4
−2
(  ) 
−2
(  ) 
1
–2
_ −2
2
Schrijf met een positieve exponent en werk uit.
a
x​ ​  −3​
b
c
​​  ( −a ) ​​  ​
−​​  ( −y ) ​​  ​
−3
−6
(  ) 
e​​  ( ​  −a ​  ) ​​  ​
b
f −​​  ( ​  −a ​  ) ​​  ​
b
x ​    ​​  −4​
d​​  ​  __
y
___ 
−1
___ 
−5
3
Werk uit.
_
_ 3
a
​  ( ​√3 ​  ) ​ : ​​  ( ​√3 ​  ) ​​  ​ b
​​  ( ​√5 ​  ) ​​  ​∙ ​​  ( ​√5 ​  ) ​​  ​ e​​  ( −2p ) ​​  ​
4
c​
p​  5​ ∙ p _ −3
_
5
_
_ −2
d​​  ( ​√5 ​  : ​√3 ​  ) ​​  ​ 4
f​
p​  5​ : ​p​    ​
Werk uit. Noteer je antwoord met positieve exponenten.
a
​​  ( −a ) ​​  ​ ∙ ​​  ( −a ) ​​  ​ b
b​ ​  7​ : b
c
​​  ( −​c​  4​  ) ​​  ​
4
3
d​
a​  3​ ∙ ​a​  5​ ∙ ​a​  −10​ e​​  ( ab ) ​​  ​
3
h​​  ( 2a ) ​​  ​
−4
8
​a​  ​  ​ 
f​  ___
​a​  −2​
g−a ∙ ​a​  15​
3
5
i​​  ( −​a​  −5​  ) ​​  ​
−4
1.2 Rekenen met reële getallen
WP+33GLW.indb 35
35
5/08/14 08:20
41
1
Bereken door de rekenregels voor machten toe te passen.
_ 3
42
3
43
4
−2
​​  ( 2​√7 ​  ) ​​  ​ ∙ ​​  ( ​√7 ​  ) ​​  ​ b
√
​ 2 ​  ∙ ​​  ( ​√2 ​  ) ​​  ​
​  _________
 
_ 8 ​ 
​​  ( ​√2 ​  ) ​​  ​
_
2
_ −1
a
5
​p​  ​ ∙ ​p​  ​ ​ 
c​  _______
 
​p​  7​ ∙ ​p​  −4​
_ 5
_ −5
_ 4
​​  ( ​√3 ​  ) ​​  ​ ∙ ​​  ( ​√3 ​  ) ​​  ​
d​  ____________
  
 
_ −3 ​
​​  ( ​√3 ​  ) ​​  ​
Vul aan.
a
: a​ ​  7​ = ​a​  2​ d​
a​  5​ : ​a​  −2​ = ​a​  −3​ ∙ b
a​ ​  5​ ∙ = ​a​  2​ e​
a​  6​ ∙ ​a​  2​ = a : c
a​ ​  4​ ∙ ​a​  −6​ ∙ = a f​
a​  14​ : = ​a​  12​ : ​a​  4​
Vul het vierkant in met machten van a zodat het
product van de machten zowel verticaal,
horizontaal als diagonaal gelijk is aan 1.
​a​  −1​
​a​  2​
​a​  3​
44
5
Werk uit. Noteer je antwoord met positieve exponenten.
a
​​  ( 3​a​  2​  ) ​​  ​ c​​  ( −​x​  4​  ) ​​  ​ : ​​  ( ​x​  5​  ) ​​  ​ b
​​  ( ​x​  2​  ) ​​  ​ : ​​  ( ​x​  3​  ) ​​  ​ 3
3
3
2
e​  ( −​x​  −2​  ) ​ ∙ ​​  ( −​x​  7​  ) ​​  ​
0
d​​  ( 2​p​  −3​  ) ​​  ​ −4
−2
(  ) 
-3
​a​  5​  ​   ​​  ​
f​​  ​  ___
​a​  7​
43 a​ ​  0​ = 1
36
WP+33GLW.indb 36
De reële getallen
5/08/14 08:20
1.2.2 merkwaardige producten en ontbinden in factoren
Zoekwerk 2
1
Verbind de lettervormen die gelijk zijn.
( 2a + b ) ( 2a − b )
·
·
( 2x − 1 ) 2
4x 2 + 4x + 1
·
·
49 − 4b 2
9a 2 − 3a
·
·
( 2x + 1 ) 2
4x 2 − 4x + 1
·
·
4b 2 − 49
( 2b − 7 ) ( −7 − 2b )
·
·
4a 2 − b 2
( −3y − 1 ) 2
·
·
9y 2 + 6y + 1
( 2b − 7 ) ( 7 + 2b )
·
·
3a ( 3a − 1 )
·
·
a2 − 3
_
_
( a + √3 ) ( a − √3 )
2
3
De werkwijze om het kwadraat van een tweeterm of het product van toegevoegde tweetermen
te bepalen, blijft hetzelfde bij reële getallen.
4
Om veeltermen te ontbinden in factoren, kun je gebruikmaken van de distributieve eigenschap
of van merkwaardige producten.
De getallen in de kwadraattermen in een twee- of drieterm moeten nu geen volkomen
kwadraten meer zijn.
Voorbeelden
•a
2
_
_
− 5 = ( a + √5 ) ( a − √5 )
_
_
•6 − 2√6 x + x 2 = ( √6 − x ) 2
De werkwijzen voor merkwaardige
producten en voor ontbinden in
factoren kun je terugvinden in het
overzicht.
5
De veelterm a − _9 kun je_niet meer
_
_
ontbinden in ( √a + 3 ) ( √a − 3 ) , want √a + 3 en √a − 3 zijn geen veeltermen meer.
1.2
WP+33GLW.indb 37
Rekenen met reële getallen
37
5/08/14 08:20
Opdrachten
45
1
102
2
3
46
4
103
5
38
WP+33GLW.indb 38
Werk de kwadraten uit.
a
​​  ( 5x − 2y ) ​​  ​
b
2 ​  x − ​  __
1  ​​ x​  2​  ​​  2​
​​  ​  __
6
5
c
​​  ( 7​a​  2​b − 0,3a​b​  2​  ) ​​  ​
2
( 
) 
d​​  ( 2​a​  2​b + 3ab ) ​​  ​
2
( 
) 
2 ​  ab + ​  __
1  ​ a​b​  2​  ​​  2​
e​​  ​  __
2
5
f​​  ( −9​​x​  2​ − 3x​y​  3​  ) ​​  ​
2
2
Maak het product van de toegevoegde tweetermen.
a
​  ( 2​x​  2​ + 5y ) ​​  ( 2​x​  2​ − 5y ) ​
b
​  ( 5x + 4y ) ​​  ( −5x + 4y ) ​
c
2  ​​ b​  2​  ​​  ​  __
2 ​​  b​  2​ + ​  __
1 ​  b − ​  __
1  ​ b  ​
​  ​  __
7
7
7
7
( 
d​  ( 0,1​a​  3​ + 0,5​b​  4​  ) ​​  ( 0,5​b​  4​ − 0,1​a​  3​  ) ​
e​  ( 3m − 5​p​  2​  ) ​​  ( −3m − 5​p​  2​  ) ​
) ( 
) 
( 
) ( 
) 
2 ​  x − ​  __
2  ​ x  ​
3  ​​ y​  2​  ​​  ​  __
3 ​​  y​  2​ + ​  __
f​  ​  __
3
3
5
5
De reële getallen
5/08/14 08:20
47
48
Werk uit.
a
​​  ( −3​​x​  2​ − 4​y​  3​  ) ​​  ​ e​  ( −6a + 7​b​  3​  ) ​​  ( −6a − 7​b​  3​  ) ​
b
5  ​​ x​  3​​y​  4​  ​​  ​ ​​  −3​​x​  2​​y​  3​ + ​  __
2
c
−1 ​​x​ 
1  ​​ x​  2​​y​  3​  ​ ​  ​  ___
   2​​y​  3​ − 5​x​  3​​y​  2​  ​​  −5​​x​  3​​y​  2​ + ​  __
4
4
d
1 ​​  x​  5​ + ​  __
1  ​ y  ​​  ​  ___
−1 ​​x​ 
1  ​ y  ​
​  ​  __
   5​ + ​  __
2
3
2
3
2
1
( 
) 
( 
2
) 
2
−1 ​​x​ 
f​​  ​  ___
   2​ − 5​y​  3​  ​​  ​
4
( 
) ( 
) 
( 
) ( 
) 
( 
) ( 
) 
h​​  ( 2​a​  3​ − 4a​b​  2​  ) ​​  ​
2
3
Werk uit.
_
( 
_
) 
_
1  ​ d  ​​  2​ e​​  ​√5 ​  − ​  __
2
a
​  ( ​√3 ​  − a ) ​​  ( ​√3 ​  + a ) ​
b
​​  ( b − ​√2 ​  ) ​​  ​ c
​​  ( −​√5 ​  − x ) ​​  ​ d
​  ( ​√7 ​  − ​√3 ​  ) ​​  ( −​√3 ​  − ​√7 ​  ) ​ _ 2
4
_
_
f​  ( 6 − ​√11 ​  ) ​​  ( −6 − ​√11 ​  ) ​
_
g​​  ( 2p + 3a ) ​​  ​
2
2
5
_
_
_
_
_
_
h​  ( ​√5 ​  − 1 ) ​​  ( ​√5 ​  + 1 ) ​
1.2 Rekenen met reële getallen
WP+33GLW.indb 39
2
1  ​​ y​  2​  ​​  ​  __
1 ​​  y​  2​ + 4​x​  4​  ​
g​  −4​​x​  4​ + ​  __
3
3
39
5/08/14 08:20
49
1
Op een vierkante wei staan 40 schapen.
Door de zijde 2,1 m korter te maken, wordt de oppervlakte 79,59 m 2 kleiner.
a
Bereken de zijde van de oorspronkelijke weide.
b
Hoeveel schapen moeten weg zodat in de nieuwe weide elk schaap evenveel ruimte heeft
als in de oorspronkelijke weide?
2
3
4
Geometrische algebra 1
De Oude Grieken gebruikten vaak meetkundige begrippen om algebraïsche uitdrukkingen te
omschrijven. Zo was a 2 de oppervlakte van een vierkant met zijde a en ab de oppervlakte van een
rechthoek met afmetingen a en b.
Op die manier zie je dat de oppervlakte van een vierkant met zijde a + b gelijk
is aan de som van de oppervlakten van:
ab
b2
5
• een vierkant met zijde a ;
• een vierkant met zijde b ;
• twee rechthoeken met afmetingen a en b.
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2
40
WP+33GLW.indb 40
a2
ab
a
b
De reële getallen
5/08/14 08:20
50
51
Bereken door toepassing van de merkwaardige producten.
a
​  ( x + y ) ​​  ( x − y ) ​​  ( ​x​  2​ − ​y​  2​  ) ​ b
​  ( ​a​  2​ − ​b​  2​  ) ​​  ( ​a​  2​ + ​b​  2​  ) ​​  ( ​a​  4​ + ​b​  4​  ) ​ c
1  ​   ​​  a​ ​  6​ + ​  __
1  ​   ​​  −​a​  3​ − ​  __
1  ​   ​ ​  −​a​  3​ + ​  __
3
9
3
( 
) ( 
d
) ( 
−5​​y​  3​​​  ( 5y + 1 ) ​​  ​
2
( 
1
) 
e​​  ​  ( ​x​  2​ − ​y​  3​  ) ​​  ( ​x​  2​ + ​y​  3​  ) ​  ​​  ​
) 
2
2
f​​  ( 2a − 3b ) ​​  ​ − ​​  ( 2a + 3b ) ​​  ​
2
2
3
Wat is correct?
a
a+1
4
a+2
a
4
a+2
5
a
De oppervlakte van het groene vierkant is gelijk aan de som van de oppervlakte van het
blauwe vierkant en de oppervlakte van de rechthoek.
b
De oppervlakte van het groene vierkant is gelijk aan de som van de oppervlakte van het
blauwe vierkant en de oppervlakte van de rechthoek voor a = 2.
c
De oppervlakte van het groene vierkant is nooit gelijk aan de som van de oppervlakte van
het blauwe vierkant en de oppervlakte van de rechthoek.
1.2 Rekenen met reële getallen
WP+33GLW.indb 41
41
5/08/14 08:20
52
Bereken de inhoud van de balk.
1
13 −
3
4
13 +
2
53
3
Zonder de gemeenschappelijke factor af.
a
x​ ​  3​ − ​x​  2​ + x b
5x + 20 − 10​x​  2​ 3
c
a​ ​  3​​b​  2​ + ​a​  2​​b​  4​ + ​a​  4​​b​  3​ d
−3a − 6b − 9​b​  2​ 4
54
a​ ​  2​ − 81​b​  2​ b
−19 + ​a​  2​ c
1  ​​ p​  2​ − ​  ___
1  ​​ x​  4​ ​  ___
36
25
d
0,04​x​  2​ − 0,25​y​  2​ 42
WP+33GLW.indb 42
12​x​  2​​y​  2​ − 18x​y​  3​ + 24​x​  3​y
f
p​x​  2​ − 2px + 3p​x​  3​
g
_
_
3​√2 ​ ​ y​  4​ − 6​√2 ​ ​ y​  3​
_
_
√5 ​ ​ x​  2​y − 5​√5 ​ ​ x​  3​​y​  2​
h​
Ontbind de tweetermen in factoren.
a
5
e
e
17 − 121​a​  2​​b​  2​
f−15 + 4​x​  2​
1  ​​ a​  2​​b​  2​ − 7
g​  ___
16
1 ​​  x​  2​ − 5
h​  __
4
De reële getallen
5/08/14 08:20
55
Schrijf een formule voor de oppervlakte van het gekleurde deel.
Noteer de formule als een product.
a
b
1
3
r
M
2
a
2
( 
)  ( 
2
56
57
Ontbind de tweetermen in factoren.
a
a​ ​  4​​b​  2​ − 5​a​  2​ 7
7
4
d−24 + 8​x​  2​
b
_
_
√
​ 3 ​ ​ a​  2​​b​  2​ − ​√3 ​ ​ a​  2​​c​  2​ e
9​a​  3​ − ​p​  2​a f
3ab − 16a​b​  3​
1.2 Rekenen met reële getallen
WP+33GLW.indb 43
5
16​x​  3​​y​  2​ − 32x​y​  2​
c
3
) 
2
2 458
2 442
Bereken zonder rekenmachine: ​​  ​  _____
  ​​  ​ − ​​  ​  _____
  ​​  ​.
 ​  
 ​  
43
5/08/14 08:20
58
1
2
59
3
4
5
44
WP+33GLW.indb 44
Ontbind de drietermen in factoren.
a
a​ ​  2​ + 6ab + 9​b​  2​ b
16​x​  2​ + ​y​  2​ − 8xy c
1 ​​  a​  2​​b​  2​ + ​  __
1  ​ ab 1  ​  − ​  __
​  __
4
9 3
d 0,09​a​  2​ + 0,16​b​  2​ − 0,24ab
e
0,25​y​  2​ − 0,2xy + 0,04​x​  2​
f​
p​  2​ − 2px + ​x​  2​
Ontbind de drietermen in factoren.
_
_
_
a
64​√2 ​  − 80​√2 ​  x + 25​√2 ​ ​ x​  2​
b
−5​​p​  3​ − 20​p​  2​ − 20p
c
3a​x​  4​ − 6a​x​  2​ + 3a
d
24pb + 54p​b​  3​ − 72p​b​  2​
_
_
_
√ 3 ​ ​ x​  2​ + 7​√ 3 ​  x − 49​√ 3 ​ 
e−​
f−d − ​d​  3​ − 2​d​  2​
De reële getallen
5/08/14 08:20
60
Ontbind in factoren.
a
4a 2 − p 2
e
_
2p 2x 2 − 4√3 px + 6
1
b
16a 2 − 8pa + p 2
f
24a 3b 2 − 18a
2
c
x 4 − 4x 2 + 4
g
_
−5 − 2√5 x − x 2
3
d
a 8 − 16
h
−8x 2y 2 + 24
4
Geometrische algebra 2
De inhoud van een kubus met ribbe a + b is gelijk aan de som van de
inhouden van:
• een kubus met ribbe a;
• drie balken met afmetingen a, a en b;
a
• drie balken met afmetingen a, b en b;
b
5
• een kubus met ribbe b.
( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
1.2
WP+33GLW.indb 45
Rekenen met reële getallen
45
5/08/14 08:20
Herhaling: inoefenopdrachten
61
1
a
104
b
62
2
Bereken.
105
63
106
3
64
107
65
4
b
​​  ( −3 ) ​​  ​
68
46
WP+33GLW.indb 46
(  ) 
−2 ​    ​​  4​
f− ​​  ​  ___
3
d​−6​  2 ​
−3  ​ 
e​  ___
​2​  −2​
c−0,​7​  −2​ (  ) 
−1 ​    ​​  −4​ d​​  ​  ___
3
−3
f
c​​  ( −3 ) ​​  ​ ∙ ​​  ( −3 ) ​​  ​ 2
a
x​ ​  4​ ∙ ​x​  3​ b
​​  ( −b ) ​​  ​ ∙ ​  ( −b ) ​
(  ) 
−5 ​    ​​  −1​
− ​​  ​  ___
7
7
d
−3
1​7​  5​ ∙ 1​7​  −5​ e​​  ( −a ) ​​  ​ ∙ ​​  ( −a ) ​​  ​
4
−9
(  ) 
−1 ​
−1 ​    ​​  −3​
f​  ___
   ∙ ​​  ​  ___
3
3
Pas de rekenregel toe en werk uit. Schrijf het resultaat met een positieve exponent.
c​​  ( −2 ) ​​  ​ : ​​  ( −2 ) ​​  ​ −2
a
y​ ​  5​ : y​ ​  3​ b
​​  ( −a ) ​​  ​ : ​  ( −a ) ​
6
d
−3
1​2​  −7​ : 1​2​  −7​ e​​  ( −b ) ​​  ​ : ​​  ( −b ) ​​  ​
4
9
(  )  ( ​  71 ​  ) ​​  ​
1 ​    ​​  5​ : ​​ 
f​​  ​  __
7
__ 
3
Pas de rekenregel toe en bereken. Schrijf het resultaat met een positieve exponent.
( 
​​  ( ​−2​  3​  ) ​​  ​ ) 
c​​  −​​  ( −a ) ​​  ​  ​​  ​
2
​​  ( ​−2​  2​  ) ​​  ​ 3 −5
d​​  ( ​p​  2​  ) ​​  ​ 3
−1
e
−​​  ( ​a​  3​  ) ​​  ​
4
f​​  ( ​b​  −2​  ) ​​  ​
−3
Pas de rekenregel toe en bereken. Schrijf het resultaat met een positieve exponent.
​​  ( −2b ) ​​  ​ c​​  ( ab ) ​​  ​ 3
−5
​​  ( 5a ) ​​  ​ d​​  ( −3q ) ​​  ​ 2
4
e
−​​  ( 5z ) ​​  ​
2
(  ) 
2a ​    ​ ​−1​
f​​  ​  ___
b
Pas de rekenregel toe en bereken. Schrijf het resultaat met een positieve exponent.
d​​  ( −a ) ​​  ​ ∙ ​  ( −a ) ​
5
a
3 : 3​ ​  3​ b
5​ ​  −3​ ∙ ​5​  5​ c
​​  ( −2 ) ​​  ​: ​​  ( −2 ) ​​  ​ 5 
e​​  ( −​a​  3​  ) ​​  ​ −2
4
f​​  ( −2b ) ​​  ​ 4
g
−​​  ( 2x ) ​​  ​
2
h​
6​  −3​ :​ 6​  −1​
( 
) 
i​​  −​​  ( −a ) ​​  ​  ​​  ​
2 3
Bereken het product van de toegevoegde tweetermen.
a
109
e−0,​5​  3​
Pas de rekenregel toe en werk uit. Schrijf het resultaat met een positieve exponent.
b
67
3
2​ ​  −4​ a
5
​​  ( −0,2 ) ​​  ​ a
b
66
4
Schrijf met een positieve exponent en bereken.
a
108
(  ) 
−1 ​    ​​  3​ c​​  ​  ___
4
​​  ( −3 ) ​​  ​ b
​  ( 3x + y ) ​​  ( 3x − y ) ​
​  ( 5a − 2b ) ​​  ( 2b + 5a ) ​
c​  ( 7x − 3y ) ​​  ( −7x − 3y ) ​
d​  ( −10a − b ) ​​  ( 10a − b ) ​
e​  ( 8x − y ) ​​  ( −y − 8x ) ​
f​  ( −a + 3b ) ​​  ( −a − 3b ) ​
De reële getallen
5/08/14 08:20
69
Bereken het kwadraat van de tweetermen.
a
110
b
70
b
111
72
112
73
113
74
114
75
115
2
​​  ( 2x − y ) ​​  ​ 2
c​​  ( −7a + 3b ) ​​  ​ e​​  ( 2b − 6a ) ​​  ​
2
2
d​​  ( −10x − 5y ) ​​  ​ f​​  ( 3x + 4y ) ​​  ​
2
​  ( 3x − y ) ​​  ( −3x − y ) ​
​  ( 3x − y ) ​​  ( 3x − y ) ​
c​​  ( −2x − a ) ​​  ​ 2
e​​  ( −a − 6b ) ​​  ​
2
d​  ( 5b − 7y ) ​​  ( −5b − 7y ) ​
f​  ( −2x − 3y ) ​​  ( −2x − 3y ) ​
Zonder de gemeenschappelijke factor af.
2
a
18​a​  2​b − 2ab d
m​y​  3​ + 3m​y​  2​ − 6my
b
a​b​  2​ − 2ab + 3a e
21​x​  3​​y​  2​ + 63​x​  2​​y​  3​ − 7​x​  2​​y​  2​
c
4​x​  2​ − 6xy f
2​x​  5​ + ​x​  2​y
Ontbind de tweetermen in factoren.
a
9​a​  2​ − 4​b​  2​ c
16​y​  2​ − 9​x​  2​ b
a​ ​  2​ − 36​b​  2​ d​
a​  2​ − 0,01​y​  2​ 3
e−​
y​  2​ + 121​x​  2​
f
25​a​  2​ − ​b​  2​
e
100​x​  2​ − 25
Ontbind de tweetermen in factoren.
a
a​ ​  4​ − 81 c​
a​  4​ − 16 b
a​ ​  4​ − ​b​  4​ d
4​x​  2​ − 36​y​  2​ 4
f−2 + 2​x​  4​
Ontbind de drietermen in factoren.
a
a​ ​  2​ + 2ab + ​b​  2​ d​
a​  2​ + 4ab + 4​b​  2​
b
16​a​  2​ − 8ab + ​b​  2​ e
9​a​  2​ − 12ab + 4​b​  2​
c
25 − 20x + 4​x​  2​ f
4​a​  2​ + ​b​  4​ − 4a​b​  2​
16​x​  2​ + 256​y​  2​ − 128xy
5
Ontbind de drietermen in factoren.
a
x​ ​  4​ − 2​x​  2​ + 1 d
b
16​b​  4​ − 8​a​  2​​b​  2​ + ​a​  4​ c
p​ ​  3​ − 2​p​  2​​q​  2​ + p​q​  4​ 7  ​​ b​  2​
7 ​​  a​  2​ − ​  __
7  ​ ab + ​  __
e​  __
4
3
9
f
3​a​  4​ − 6​a​  2​​x​  2​ − 3​x​  4​
Herhaling: inoefenopdrachten
WP+33GLW.indb 47
1
2
Bereken met behulp van merkwaardige producten.
a
71
​​  ( 5a + 3b ) ​​  ​ 47
5/08/14 08:20
1.3 Vraagstukken oplossen
Om vraagstukken op te lossen, kun je de volgende stappen doorlopen.
1
•Verkennen
Probeer een beter zicht te krijgen op wat gevraagd is.
Soms kan een schets van de situatie je helpen of begrijp je beter wat gevraagd is als je een
aantal concrete gevallen bekijkt.
Misschien heb je al eens een analoog probleem opgelost.
Door een probleem goed te verkennen, kun je soms een schatting van het resultaat geven.
•Mathematiseren
2
Kies welk wiskundig model je gaat gebruiken om het vraagstuk op te lossen en vertaal het
vraagstuk naar wiskundetaal.
Zo kun je sommige vraagstukken oplossen met een vergelijking. Hierbij kies je een
onbekende en moet je de vergelijking opstellen.
•Oplossen
In de vorige stap heb je het vraagstuk omgezet in een wiskundige opdracht die je kunt
oplossen.
3
•Antwoord formuleren
Je hebt nu een wiskundige oplossing gevonden. Gebruik deze oplossing om een antwoord te
geven op het vraagstuk.
Controleer jezelf. Doe dit niet alleen op het einde, maar ook tijdens het oplossen.
Gebruik je het juiste wiskundige model om het probleem op te lossen?
Heb je het vraagstuk op de juiste manier omgezet in wiskundetaal?
Heb je de wiskundige opdracht goed opgelost?
Is het antwoord op het vraagstuk goed? Is het een zinvol antwoord op de vraag?
4
5
48
WP+33GLW.indb 48
De reële getallen
5/08/14 08:20
1.3.1 Vraagstukken oplossen met een vergelijking
Zoekwerk 1
1
De kegel en de balk hebben dezelfde inhoud.
Bereken op 0,1 nauwkeurig de hoogte
van de kegel en de lengte van de balk.
4
h
•Verkennen
Test het vraagstuk uit met een aantal
concrete waarden voor h om een beter
zicht te krijgen op het gevraagde.
h
6
5
Ikegel
h+1
2
Ibalk
5
10
13
3
Rond welk getal zal h ongeveer liggen?
•Mathematiseren
Stel de vergelijking op waaruit je h kunt berekenen.
4
•Oplossen
Los deze vergelijking op.
5
•Antwoord formuleren
Controleer je oplossing.
1.3
WP+33GLW.indb 49
Vraagstukken oplossen
49
5/08/14 08:20
Sommige vraagstukken kun je oplossen met een vergelijking.
Net zoals bij rationale getallen, kun je vergelijkingen met reële getallen oplossen met de
balansmethode.
1
Voorbeeld
Van drie positieve getallen is het middelste getal één meer dan het kleinste en één minder dan
het grootste. De som van de kwadraten van deze getallen is 41.
Geef het middelste getal.
•Verkennen
We testen het vraagstuk uit met een aantal concrete getallen om een beter zicht te krijgen op
het gevraagde.
2
1 2 + 2 2 + 3 2 = 14
2 2 + 3 2 + 4 2 = 29
3 2 + 4 2 + 5 2 = 50
Het middelste getal zal tussen 3 en 4 liggen.
•Mathematiseren
3
Stellen we het middelste getal voor door x, dan is het kleinste getal x − 1 en het grootste
getal x + 1.
2
2
De som van de kwadraten van deze getallen is ( x − 1 ) + x 2 + ( x + 1 ) .
De vergelijking is dan ( x − 1 ) + x 2 + ( x + 1 ) = 41.
2
2
•Oplossen
x 2 − 2x + 1 + x 2 + x 2 + 2x + 1 = 41
3x 2 + 2 = 41
3x 2 = 39
x 2 = 13 _
_
x = √13 of x = −√13
4
•Antwoord formuleren
De werkwijze om vergelijkingen op
te lossen, kun je terugvinden in het
overzicht.
_
Het middelste getal is √13 .
_
Je stelt vast dat √13 inderdaad tussen 3 en 4 ligt.
5
_
_ 2
_
Je kunt ook narekenen dat ( √13 − 1 ) + ( √13 ) + ( √13 + 1 ) = 41.
50
WP+33GLW.indb 50
2
2
De reële getallen
5/08/14 08:20
Opdrachten
76
1
De omtrekken van beide figuren zijn gelijk.
Schrijf bij elke situatie de vergelijking en los op.
a
c
r
4
π
b
2π
2
2b
3
4
b
x
3
d
5
7
x
2
a
a+2
5
1.3 Vraagstukken oplossen
WP+33GLW.indb 51
51
5/08/14 08:20
77
1
Noteer telkens de vergelijking om het getal te vinden en los op.
Geef, indien nodig, het resultaat op 0,01 nauwkeurig.
_
a
Als je het product van een getal en √
​ 2 ​ 
vermeerdert met 3, dan is het resultaat
gelijk aan 8.
c Als je een vierde van de som van een getal en
5 vermindert met een derde van de som van
dat getal en 7, is het resultaat nul.
b
Als je 25 % van een getal vermeerdert met
p, dan krijg je het dubbel van het getal.
d Het
_ gemiddelde van een getal en
​√21 ​ is 7.
2
3
4
5
52
WP+33GLW.indb 52
De reële getallen
5/08/14 08:20
78
Bij de volgende vraagstukken is de vergelijking al gegeven.
Los de vergelijking op en formuleer een antwoord.
a
De som van twee getallen is 37. Als je bij het eerste getal 5 optelt en bij het tweede getal
8, dan is het product van deze twee nieuwe getallen gelijk aan het product van de twee
oorspronkelijke getallen, vermeerderd met 300. Geef de twee oorspronkelijke getallen.
•Mathematiseren
Stellen we het eerste getal voor door g, dan is het tweede getal 37 − g.
De vergelijking wordt dan ​ ( g + 5 ) ​​  ( 37 − g + 8 ) ​ = g ​  ( 37 − g ) ​ + 300.
•Oplossen
b
1
•Antwoord formuleren
2
•Controle van het antwoord
3
Een wijnhandelaar neemt het niet zo nauw met de wetgeving. Hij voegt water toe aan zijn
geïmporteerde wijn.
Hij heeft drie vaten. Vat A bevat 23 liter wijn en 2 liter water. Vat B bevat 18 liter wijn en
2 liter water.
Hoeveel liter moet hij van vat A en van vat B nemen en in een derde vat C doen, zodat
vat C 10 liter wijn en 1 liter water bevat?
•Mathematiseren
Stellen we het aantal liter uit vat A voor door x, dan is het aantal liter uit vat B 11 − x.
23 ​  x + ​  ___
18 ​​    11 − x   ​ = 10.
De vergelijking wordt dan ​ ___
(
)
20
25
•Oplossen
•Antwoord formuleren
5
•Controle van het antwoord
1.3 Vraagstukken oplossen
WP+33GLW.indb 53
4
53
5/08/14 08:20
Los de vraagstukken op.
Een trapezium heeft een hoogte van √
​ 17 ​. Een basis is even lang als de hoogte en de
oppervlakte is 30.
Bereken de lengte van de andere basis op 0,01 nauwkeurig.
b
Om een weiland in de vorm van een vierhoek te
omheinen, gebruikt Jef 326,5 m draad. De eerste
zijde is het dubbel van de tweede, de tweede zijde is
40 % van de derde en de vierde zijde is 17,5 m
korter dan de derde.
Hoe lang is elke zijde?
c
Een prisma en een cilinder hebben dezelfde inhoud. Het prisma heeft een grondvlak met
een oppervlakte van 15 c​m​  2​en
_ een hoogte die 4 cm langer is dan die van de cilinder.
De straal van de cilinder is √
​ 5 ​ cm.
Bereken de inhoud van de cilinder.
2
3
4
Buren Bram en Tim wonen beiden aan de rand van
een natuurgebied. Om de weg veiliger te maken,
beslist de gemeente om fiets- en voetpaden aan te
leggen. Daarbij verliezen Bram en Tim aan de
noordkant een stuk dat 4 m breed is.
Om het verlies van grond te compenseren, beslist de
gemeente om de gronden van Bram en Tim te
verbreden, zodat de oppervlakte van elk stuk grond
niet verandert.
a
Weg
Bram
Tim
Gemeente
1
80
_
a
Gemeente
79
N
4
Tim had een rechthoekig stuk grond
van 50 m op 9 m. Aan de oostzijde krijgt hij een stuk grond bij.
Hoe breed moet dat stuk zijn?
5
50
9
b
Bram had een stuk grond in de vorm van een vierkant.
Aan de westzijde krijgt hij een stuk grond bij van 4,8 m
breed. Hoe lang was de zijde van het oorspronkelijke
stuk grond?
4
z
4,8
54
WP+33GLW.indb 54
x
z
De reële getallen
5/08/14 08:20
1.3.2 Inhoud van willekeurige ruimtefiguren berekenen
Zoekwerk 2
1
De zandloper heeft een hoogte van 24,5 cm en de diameter van het
grond- en bovenvlak is 11,4 cm.
•Verkennen
We proberen eerst te schatten wat de maximale inhoud van deze
zandloper is. We doen dat door de inhoud van de kleinste doos te
berekenen waarin je deze zandloper kunt verpakken.
Deze doos heeft de vorm van een balk.
Wat zijn de afmetingen van het grondvlak van deze balk?
2
Wat is de hoogte van deze balk?
Bereken de inhoud van die doos.
3
De inhoud van de zandloper zal dus duidelijk kleiner zijn dan die inhoud.
We proberen nu de inhoud exacter te berekenen.
Je kent geen formule om de inhoud van deze zandloper in één keer te berekenen.
Je kunt dit ruimtelichaam opsplitsen in twee ruimtelichamen waarvan je de
inhoudsformule wel kent.
Welke?
4
We gebruiken deze twee ruimtelichamen om de inhoud van de zandloper te benaderen.
•Mathematiseren
Welke formule ga je gebruiken om de inhoud van de zandloper te berekenen?
5
Noteer de berekening die je gaat uitvoeren.
•Oplossen
Bereken de inhoud van de zandloper.
•Antwoord formuleren
1.3
WP+33GLW.indb 55
Vraagstukken oplossen
55
5/08/14 08:20
De inhoud van een willekeurige ruimtefiguur kun je benaderend berekenen door de figuur op
te splitsen in bekende ruimtefiguren.
Voorbeeld
1
We berekenen bij benadering de inhoud van de silo op de afbeelding.
•Verkennen
De silo past volledig in een balk met als grondvlak een
vierkant met een zijde van 2,2 m en als hoogte 7 m.
De inhoud van deze balk is 33,88 ​m​  3​. De inhoud van de
silo zal dus duidelijk kleiner zijn dan 33,88 ​m​  3​.
2
Het bovenste deel van de silo is een cilinder met een
hoogte van 5 m. De straal van het grondvlak is 1,1 m.
Het onderste deel van de silo is een kegel met een
hoogte van 2 m.
De straal van het grondvlak is 1,1 m.
•Mathematiseren
De formule voor de inhoud van een cilinder is p​r​  2​h.
De formule voor de inhoud van een kegel is ​ __31 ​  p​r​  2​h.
De totale inhoud van de cilinder is de som van de
3
inhoud van de cilinder en de inhoud van de kegel.
2,2 m
5m
2m
•Oplossen
We bereken de inhoud van de silo:
​Isilo
​ ​ = ​I​cilinder​ + ​I​kegel​
4
1  ​ p 1,​1​  2​ 2
= p ∙ 1,​1​  2​ ∙ 5 + ​  __
∙
∙
3
= 21,5
•Antwoord formuleren
De inhoud van de silo is ongeveer 21,5 ​m​  3​.
5
56
WP+33GLW.indb 56
De reële getallen
5/08/14 08:20
Opdrachten
81
Deze kerktoren heeft als grondvlak een
vierkant met een zijde van 4,2 m en is
21 m hoog.
Op ongeveer twee derde van de hoogte
begint het dak van de toren.
Bereken bij benadering de inhoud van
deze kerktoren.
1
•Verkennen
2
3
•Mathematiseren
4
•Oplossen
5
•Antwoord formuleren
1.3 Vraagstukken oplossen
WP+33GLW.indb 57
57
5/08/14 08:21
82
1
De ruimtefiguur is opgebouwd uit kubussen met een ribbe van 2 dm.
a
Wat zijn de afmetingen van de kleinste balkvormige doos waarin je
deze figuur kunt verpakken?
b
Bereken de inhoud van de ruimtefiguur op twee verschillende
manieren.
c
Bereken de oppervlakte van deze ruimtefiguur.
83
Een balkvormige kartonnen doos is gevuld met
cilindervormige conservenblikken.
De doos is 60 cm breed, 30 cm diep en 45 cm
hoog.
Een conservenblik is 15 cm hoog en heeft een
diameter van 10 cm.
Hoeveel liter conserven bevat de kartonnen
doos?
84
De bestelwagen heeft een breedte van 1,8 m en
een hoogte van 2,3 m. Bereken bij benadering
het totale volume van deze bestelwagen.
2
3
4
5
192 cm
58
WP+33GLW.indb 58
391 cm
De reële getallen
5/08/14 08:21
1.3.3 Problemen oplossen
Sommige opgaven in de wiskunde kun je foutloos oplossen door een rekenregel te volgen.
Zo heb je geen problemen bij het delen van breuken, het vermenigvuldigen van gelijksoortige
machten, het oplossen van vergelijkingen van de eerste graad …
Een werkwijze die altijd tot de juiste oplossing leidt, noemen we een algoritme.
1
Voor andere problemen bestaan dan weer geen kant-en-klare werkwijzen. Denk maar aan
bewijzen binnen de meetkunde, het berekenen van afstanden in driehoeken, vraagstukken
oplossen …
Er bestaan wel strategieën die je kunnen helpen om een oplossing te vinden. Zo kun je
redeneren op een tekening, kan een hulplijn helpen, kun je sommige vraagstukken oplossen
met een vergelijking …
Deze zoekstrategieën helpen je een probleem beter te begrijpen en geven steun bij het zoeken
van de oplossing, maar garanderen niet de juiste oplossing. Dergelijke strategieën noemen we
heuristieken.
2
Zoekwerk 3
Het kastje van Jan heeft een cijferslot met
vier cijfers. Emma probeert de code van
het kastje te kraken.
4386
5973
5743
9175
9715
4206
8026
7351
4329
3195
5829
5971
9935
9539
9351
3739
5113
1359
3
1737
5197
5329
5289
1597
9531
4
Om Emma een handje te helpen, geeft Jan haar een stukje papier met verschillende
nummers op.
‘Een van deze nummers is de code van mijn kastje’, zegt hij.
‘Ik zal een paar tips geven.’
•Alle cijfers zijn oneven.
•Alle cijfers zijn verschillend.
•Het cijfer van de honderdtallen is kleiner dan de andere cijfers.
5
Emma begint te zoeken en beseft dat ze niet genoeg informatie heeft.
‘Goed,’ zegt Jan, ‘ik zal je nog het verschil van het cijfer van de tientallen met dat van de
eenheden vertellen’ en fluistert dat in Emma’s oor.
Emma loopt naar Jan zijn kastje en opent dat zonder problemen.
Wat is de code van het kastje?
In het zoekwerk pas je de heuristiek ‘schrap wat onmogelijk is’ toe.
1.3
WP+33GLW.indb 59
Vraagstukken oplossen
59
5/08/14 08:21
Voorbeeld
Een van de spellen op een schoolfeest is blikgooien. Hierbij
worden de blikken gestapeld in de vorm van een driehoek.
Op de figuur zie je een voorbeeld van zo een driehoek, die bestaat
uit tien blikken. Deze driehoek heeft vier lagen.
1
In totaal zijn er 60 blikken. Met die blikken wordt een zo groot
mogelijke driehoek gebouwd.
Hoeveel lagen telt deze driehoek?
Hoeveel blikken worden dan niet gebruikt?
We lossen dit probleem stap voor stap op.
2
•Verkennen en mathematiseren
We bekijken een aantal concrete gevallen.
Aantal
lagen
2
3
4
5
6
3
6
10
15
21
Driehoek
3
Aantal
blikken
+3
+4
+5
+6
In de onderste rij van de tabel stellen we een patroon vast. We kunnen het probleem
oplossen door het patroon verder te zetten.
4
•Oplossen
Rekenen we op dezelfde manier verder, dan bestaat een driehoek:
van 7 lagen uit 28 ​  ( = 21 + 7 ) ​ blikken;
van 8 lagen uit 36 blikken;
van 9 lagen uit 45 blikken;
van 10 lagen uit 55 blikken;
van 11 lagen uit 66 blikken.
5
•Antwoord formuleren
Met 60 blikken kun je dus een driehoek van 10 lagen maken. Vijf blikken worden dan niet
gebruikt.
In dit voorbeeld passen we twee heuristieken toe:
•bekijk een aantal concrete gevallen;
•zoek een patroon.
60
WP+33GLW.indb 60
De reële getallen
5/08/14 08:21
Opdrachten
85
Zoek het antwoord door te schrappen wat onmogelijk is.
a
1
Een mand is gevuld met snoepjes. Als je de snoepjes met 2, 3, 4, 5 of 6 tegelijk uit de
mand neemt, blijft telkens één snoepje over. Als je ze per 7 uit de mand neemt, blijft geen
enkel snoepje over.
In de mand kunnen niet meer dan 1 000 snoepjes.
Hoeveel snoepjes liggen er hoogstens in de mand?
301
511
721
931
1 141
2
3
b
Barcelona, Feyenoord en Paris SG spelen een tornooi. Het reglement bepaalt dat
bij afloop van het tornooi een gelijke stand uitgesloten is. Vier supporters doen een
voorspelling die na afloop van de wedstrijden blijkt te kloppen.
1 Barcelona of Paris SG gaat winnen.
2 Feyenoord eindigt achter Paris SG.
3 Paris SG eindigt voor Barcelona of wordt laatste.
4 Paris SG of Feyenoord wordt tweede.
4
Het klassement na alle wedstrijden is
A
1. Paris SG
2.Feyenoord
3.Barcelona
B
1. Paris SG
2.Barcelona
3.Feyenoord
C
1.Feyenoord
2. Paris SG
3.Barcelona
D
1.Barcelona
2.Feyenoord
3. Paris SG
E
1.Barcelona
2. Paris SG
3.Feyenoord
JWO, 2013-2014, eerste ronde, vraag 18
1.3 Vraagstukken oplossen
WP+33GLW.indb 61
5
61
5/08/14 08:21
86
1
Los op door op zoek te gaan naar een patroon.
a
In een zaal zijn 15 mensen aanwezig. Hoeveel handjes worden er geschud als iedereen
elkaar één keer de hand geeft?
b
Anas verwisselt in het drieletterwoord JWO eerst de laatste twee letters: JOW, dan de
eerste twee: OJW, dan weer de laatste twee, vervolgens weer de eerste twee, enzovoort.
Welk drieletterwoord heeft Anas na 2 014 verwisselingen?
A JWO
B OJW
C OWJ
D WJO
E WOJ
JWO, 2013-2014, eerste ronde, vraag 15
87
2
Sommige problemen kun je oplossen door negatie.
a
Hoeveel getallen vanaf 1 tot en met 10 000 zijn niet deelbaar door 12?
Je kunt dit probleem eenvoudiger oplossen door op zoek te gaan naar het aantal getallen
van 1 tot en met 10 000 die wel deelbaar zijn door 12.
Hoeveel zijn er dat? Hoeveel zijn er dan niet deelbaar door 12? b
Hoeveel getallen vanaf 10 tot en met 100 hebben alleen maar verschillende cijfers?
3
4
5
62
WP+33GLW.indb 62
De reële getallen
5/08/14 08:21
Herhaling: inoefenopdrachten
88
89
90
Los de vergelijkingen op.
a
x + 2 = 2x + 1
d
b
−2a + 3 = 4a − 6
e−8 − 6x = 2 − 4x
c
7x − 30 = 9x − 30
f
9b + 7 = 3 − 11b
Los de vergelijkingen op.
a
1,5x − 2 = 0,125x + 3,5 b
3,5 − 2,5y = 1,5 − 2y c
4,5 − 3x = −3,5x + 1 2
3  ​ a + ​  __
1  ​  = ​  __
1  ​ 
−1 ​
d​  ___
  a + ​  __
6 5
3
5
3 ​  x
1 ​  x + 10 = 23 − ​  __
e​  __
3
2
2 ​  x = ​  ___
7  ​ x
11 ​
f 3 − ​  __
   − ​  __
3
2
4
Los de vergelijkingen op.
a
116
1
7y + 2 = 5y + 12
b
c
3x − 2​  ( x + 1 ) ​ = 6 − ​  ( x − 3 ) ​ −​  ( −5a + 3 ) ​ − 2 = 2 + 0,5​  ( −6a − 16 ) ​ −​  ( 4 − 6x ) ​ = 2 + 3​  ( x − 1 ) ​ d
e
f
3
−​  ( 1,5 − 2,5a ) ​ = 1 + 2​  ( 0,5a + 1 ) ​
−6​​  ( −x − 2 ) ​ = 4​  ( x − 3 ) ​
5​  ( x + 2 ) ​ = 6 − 2​  ( −0,75x − 3 ) ​
4
5
Herhaling: inoefenopdrachten
WP+33GLW.indb 63
63
5/08/14 08:21
Herhaling: voor wie iets meer wil
91
1
92
2
x  ​ geschreven kan worden als
Geef een waarde voor x zodat de breuk ​ ___
18
a
een decimaal getal;
b
een zuiver repeterende decimale vorm;
c
een gemengd repeterende decimale vorm.
Bereken en rond, indien nodig, af op 0,01 nauwkeurig.
a
3
_
√
​ 16 + 9 ​ 
√
1  ​ ​  
1 ​   − ​  __
c​
​  __
4 9
4
De diameter van het grondvlak van een kegel en de zijde van het grondvlak van een
regelmatig vierzijdige piramide zijn beide 32 cm. Van beide lichamen is de hoogte
50 cm. Bereken het verschil van de inhouden.
94
Bereken de oppervlakte van het gekleurde deel als de stralen van
_
_
​ 48 ​ zijn.
de cirkels √
​ 12 ​ en √
95
Noteer de ongelijkheid of het interval.
Ongelijkheid
96
Ongelijkheid
−3 ≤ x ≤ 3
g
b
−3 < x < 3
h
x > ​√2 ​ 
i
​√17 ​  > x
d
5
Interval
a
x Î ​] −7, 6 [​ 
c
WP+33GLW.indb 64
√ 16
_
1  ​ ​  
1  ​  + ​  __
b​
​  ___
93
4
64
_
10 ≤ x < 30
Interval
x Î ​] −3, −2 ]​
_
_
j
x Î ​] −∞, −2 ]​
x Î ​] 5,  +∞ [​ 
e
x Î ​ [ 0, 5 ]​ 
k
f
x Î ​[ −7, 10 [​
l
−p > x
Werk uit.
_ 0
a
​​  ( −​√13 ​  ) ​​  ​ b
1_  ​   ​​  ​
​​  ​  ___
​√7 ​ 
c
​​  ( 0,66… ) ​​  ​ (  ) 
-2
−1
d​
p​  4​​  ∙ p​  −3​ _ −5
​​  ( ​√6 ​  ) ​​  ​
e​  ______
 
_ −3 ​ 
​​  ( ​√6 ​  ) ​​  ​
_
f​​  ( ​√3 ​​ p​  3​  ) ​​  ​ 2
_
_ 5
_ −4
√ 13 ​  ∙ ​​  ( ​√ 13 ​  ) ​​  ​ ∙ ​​  ( ​√ 13 ​  ) ​​  ​
g​
( 
) 
_ -1 -2
h​​  ​​  ( ​√5 ​  ) ​​  ​  ​​  ​
i​​  ( 0,11… ) ​​  ​∙ ​​  ( 0,11… ) ​​  ​
−5
3
De reële getallen
5/08/14 08:21
97
98
99
Werk uit. De letters stellen getallen verschillend van nul voor.
​​  ( a​b​  2​  ) ​​  ​ b
(  ) 
c​​  ( ​p​  −3​q ) ​​  ​ ​p​  2​​q​  -4​ 4
​​  ​  _____
 ​​  ​
 ​  
​p​  3​
​p​  5​
d​  ___3 ​   ∙ ​​ 
​q​  ​
a
​​  ( 2​a​  2​​b​  3​  ) ​​  ​ 4
−2 ​​a​ 
d​​  ​  ___
   3​​b​  5​  ​​  ​ 3
b
​a​  2​​b​  3 ​ ​  ​​  ​
​​  ​  ____
a​b​  4​
c
​​  ( −2​​a​  2​​b​  −4​  ) ​​  ​ 4
−5
(  ) 
p -2
​  ___3  ​   ​​  ​
​q​  ​
( 
(  ) 
4
) 
−6 
2
h
−5
5
(  ) 
-1
( 
(  ) 
−4
Werk uit en pas de rekenregels voor merkwaardige producten toe.
a
​​  ( −3​​a​  4​ − 4​a​  3​  ) ​​  ​ b
​a​  2 ​
​   − ​√_
​a​  2 ​
​   + ​√_
​  ​  ___
3 ​   ​​  ​  ___
3 ​   ​ 3
3
c
2
__ 
) 
2
4
2
( 
) ( 
) 
d​​  ( 0,4​x​  2​ + 0,3​y​  3​  ) ​​  ​ c​ ​  4 ​​   − 5a  ​​  −5a + ​  __
​c​  4 ​ ​   ​
g​  ​  __
4
4
e​  ( ​x​  3​ − 4 ) ​​  ( −4 − ​x​  3​  ) ​ h​​  ( 0,3a − 0,4​a​  3​  ) ​​  ​
2
(  ) ( 
​​  ( − ​  1 ​  + ​x​  ​  ) ​​  ​ 2
) 
−2
−2 ​​a​ 
   −5​​b​  −3​  ​​  ​
− ​​  ​  ___
5
​a​  2​  ​   ​​  ​ ​​   ​b​  −4​   ​​  3​
i​​  ​  ___
∙( )
​b​  −3​
​a​   ​​  
f​​  ( ​a​  2​​b​  8​  ) ​​  ​ ∙ ​  ___
​b​  10​
−4
−1
a​ ​  4​​b​  3 ​ ​  ​​  ​
g​​  ​  ____
​a​  7​b
​a​   ​​  
e​​  ( −​a​  3​​b​  5​  ) ​​  ​ ∙ ​  ___
​b​  3​
4
1
f​​  ( ​x​  −2​  ) ​​  ​: ​​  ( ​x​  6​  ) ​​  ​
Werk uit. De letters stellen getallen verschillend van nul voor.
4
(  ) 
a  ​ : ​​  ​  ___
a  ​   ​​  −4​
e​  ___
2
​b​  ​ ​b​  2​
a
( 
) ( 
3
2
) 
i​  ( −2​​x​  3​ + 5​y​  2​  ) ​​  ( 5​y​  2​ + 2​x​  3​  ) ​
1  ​ kl  ​​  2 + ​  __
1  ​ kl  ​
f​  2 − ​  __
3
3
100 Werk uit en pas de rekenregels voor merkwaardige producten toe.
_
​√7 ​  − b  ​​ 
_
​√7 ​  + b  ​
a
​  ( 
) ( 
b
​​  ( x − ​√11 ​  ) ​​  ​ c
​​  ( −​√6 ​  − a ) ​​  ​ ) 
_ 2
_
_
10 − ​√15 ​  ​​ 
d​  ( 
( 
_
_
−10 − ​√15 ​  ​ ) ( 
) 
_
​√26 ​  − 5  ​​ 
) 
g​  ( 
1  ​ b  ​​  2​ e​​  ​√7 ​  − ​  __
2
) 
h​​  ( ​√13 ​  − a ) ​​  ​
2
_
_
f​​  ( 5p − 7y ) ​​  ​ 2
) ( 
_
4
_
​√26 ​  + 5  ​
_
_
i​  ( ​√13 ​  − ​√5 ​  ) ​​  ( −​√5 ​  − ​√13 ​  ) ​
2
101 Werk uit.
a
117
b
c
d
2x​  ( x − 3 ) ​ − ​  ( x + 7 ) ​​  ( x − 7 ) ​ −​​  ( ​a​  2​ + 3 ) ​​  ​ + 5​  ( a − 3​a​  2​  ) ​​  ( a + 2 ) ​ 2
​  ( 4​x​  4​ − 5​x​  2​ + 8x ) ​ : ​  ( −2x ) ​
_
_
​  ( y − ​√2 ​  ) ​​  ( y + ​√2 ​  ) ​​  ( ​y​  2​ + 2 ) ​ e
5
−5​​​​  ( x − 7 ) ​​  ​ − 8​​  ( x + 7 ) ​​  ​
2
2
_
_
f3x ​  ( 3x + 1 ) ​ − ​  ( x − ​√3 ​  ) ​​  ( x + ​√3 ​  ) ​
g​  ( 15​b​  4​ − 8​b​  3​ + 5​b​  2​  ) ​ : ​  ( 10​b​  2​  ) ​
_
_
h​  ( a − ​√7 ​  ) ​​  ( ​a​  2​ − 7 ) ​​  ( a + ​√7 ​  ) ​
Herhaling: voor wie iets meer wil
WP+33GLW.indb 65
65
5/08/14 08:21
102 Ontbind in factoren.
1
1  ​​ x​  4​ − ​  __
1  ​​ x​  2​​y​  2​ d​  ___
16
9
a
x​ ​  2​ + ​x​  3​ + 3​x​  2​y b
a​ ​  2​​x​  2​ − ​b​  2​​y​  2​ e​
a​  8​ − 256​b​  8​ h​
x​  5​ − 16x​y​  4​
c
x​ ​  4​ + 2​x​  2​ + 1 25 ​​b​ 
9  ​​ a​  2​ + ​  ___
f​  ___
   2​ − 2ab 9
25
i
g
a​b​  2​ − 2abc + a​c​  2​
4 − 20a​b​  2​ + 25​a​  2​​b​  4​
103 Ontbind in factoren.
2
a
​p​  4​​x​  4​ − 4 d​
a​  4​ − 14​a​  2​ + 49
b
10​x​  3​​y​  2​ − 20x e−25​a​  2​ − 10pa − ​p​  2​
c
−2​​x​  4​ + 18 f 12​a​  2​​b​  2​ − 36
104 Los de vraagstukken op met een vergelijking.
a
3
4
_
9 ​   van een getal, dan krijg je het dubbel van het verschil van dat getal en √
​ 3 ​ .
Neem je ​ __
4
Bereken het getal op 0,01 nauwkeurig.
b
In een klas met 25 leerlingen is het gemiddelde van een toets 6,88 op 10.
Omdat Diewke ziek is geweest, beslist de leerkracht dat haar test niet meetelt. Daardoor
stijgt het gemiddelde naar 7 op 10. Hoeveel punten had Diewke?
c
​ 3 ​ minder
Van drie positieve getallen is het middelste getal √
​ 3 ​ meer dan het kleinste en √
dan het grootste. De som van het middelste getal en zijn kwadraat is gelijk aan het
product van het kleinste en het grootste getal.
Geef het middelste getal.
_
_
105 De Papyrus Rhind is een papyrusrol die dateert van het Egyptische Middenrijk
(ca. 1650 v.C.). De rol bevat ongeveer 85 wiskundige problemen.
Hieronder vind je het 24ste probleem en de Egyptische oplossing.
Controleer de Egyptische oplossing door het probleem op te lossen met een
vergelijking.
Probleem 24:Een hoeveelheid en haar zevende zijn samen 19. Waaraan is de hoeveelheid
gelijk?
5
Egyptische oplossing
•Stel dat de gevraagde hoeveelheid 7 is. De som van 7 en zijn zevende is dan 7 + ​  __1 ​   ∙ 7 = 8.
19 ​  vermenigvuldigen om 19 te krijgen.
•Je moet 8 met ​ ___
8
7
19 ​.  
Om de gevraagde hoeveelheid te kennen, moet je dus 7 vermenigvuldigen met ​ ___
8
133
 ​.  
•De gevraagde hoeveelheid is dus ​ ____
8
66
WP+33GLW.indb 66
De reële getallen
5/08/14 08:21
106 Schrijf de vergelijking om de ontbrekende afmeting te berekenen.
Bereken de onbekende op 0,01 nauwkeurig.
Voorbeeld
b
•
O = 2(l + b)
1
_
14,5 = 2​  ​√17 ​  + b  ​
_
14,5 = 2​√17 ​  + 2b
_
14,5 − 2​√17 ​  = 2b
_
√
17 ​ 
14,5 − 2​
___________
O = 14,5
17
​ 
( 
) 
 ​
= b
 
 
2
•b = 3,13
a
c
5
3
2
O = 9,2
10
8
O = 12
z
b
11
r
5
z
d
3
7
O = 13,6
h
A = 6,4
14
107 Bereken met de gegevens bij benadering de inhoud.
a
De ribbe van één kubus is 3 cm en de
totale hoogte van het bouwwerk is 9 cm.
b
4
Het gebouw is aan de zijkanten 10 m
hoog en in het midden is de hoogte
17 m. De breedte is 13 m en de diepte
20 m.
5
Herhaling: voor wie iets meer wil
WP+33GLW.indb 67
67
5/08/14 08:21
c
1
De totale hoogte van de taart is 30 cm
en elke laag is even hoog.
De diameter van de onderste laag is
26 cm en neemt per laag met 25 % af.
d
De brievenbus is 17 cm breed, 24 cm
hoog en 48 cm diep.
2
108 Los het probleem op door de gegeven heuristiek toe te passen.
a
3
De rechthoek en de driehoek overlappen elkaar gedeeltelijk. Wat is de oppervlakte van het
overlappende gebied als je weet dat één vierkantje 1 c​m​  2​ is? Los op door te schrappen wat
onmogelijk is.
21 ​
  c​m​  2​
​  ___
8
121 ​
​  ____
  c​m​  2​
40
119 ​
​  ____
  c​m​  2​
40
27 ​
​  ___
  c​m​  2​
8
1 c​m​  2​
4
b
Van een rij figuren zijn de eerste vier getekend.
1
2
3
4
5
Henk heeft een figuur gemaakt met 117 stippen.
Welk nummer heeft deze figuur? Los op door op zoek te gaan naar een patroon.
109 Bepaal de verhouding van het volume van een kegel en een cilinder met hetzelfde
grondvlak. De hoogte van de kegel is 6 m en die van de cilinder is 10 m.
68
WP+33GLW.indb 68
De reële getallen
5/08/14 08:21
110 De vierkantswortel van het kwadraat van een getal.
a
Vul de tabellen in.
x
_
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
1
√x 2
x
|x|
b
Teken de grafieken bij beide tabellen in een assenstelsel.
c
Wat stel je vast?
2
111 Vul in met R 0+ of R 0− en verwoord de uitdrukking.
Voorbeeld:
"a, b Î R − : a b Î R +
0
∙
0
Van twee reële getallen kleiner dan nul is het product een
reëel getal groter dan nul.
a
b
c
a Î 
"a Î R 0−, "b Î R 0+ : __
b
1
1 __
"a, b Î R 0− : __
a ∙ b Î 
"a Î R 0− : a 2 Î 
d
3
1
1 + __
"a, b Î R 0− : __
a b Î 
e
"a Î R 0− : a 3 Î 
f
"a, b Î R 0− : − ( a + b ) Î 
4
Het symbool " betekent letterlijk ‘voor alle’.
"a, b Î R 0− betekent dan ‘voor alle reële getallen a en b kleiner dan nul’.
112 Noteer als interval.
a
De getallen x zodat −x positief is.
b
De getallen x zodat −x negatief is.
c
1 < 1.
De getallen x zodat 0 < __
x
x Î 
5
113 Noteer je antwoord met een interval.
Voor welke waarden van x is:
_
a
√ x gedefinieerd in R;
b
√ −x gedefinieerd in R;
c
√ x + 4 gedefinieerd in R;
d
√ x + 4 niet gedefinieerd in R?
_
xÎ
_
_
Herhaling: voor wie iets meer wil
WP+33GLW.indb 69
69
5/08/14 08:21
114 Werk uit. De letters stellen getallen verschillend van nul voor.
1
−​x​  5​​y​  7​ ​  ( −3​​x​  2​​y​  3​  ) ​
a
∙
 ​ 
​  ______________
  
2
b
 ​ 
 
​  _________
​​  ( ​x​  3​​y​  2​  ) ​​  ​
−2​​x​  4​​y​  5​ ​​  ( −3​​x​  2​​y​  4​  ) ​​  ​
​​  ( −2​​x​  3​​y​  3​  ) ​​  ​
f​  __________
 ​
 
 
2
​​  ( ​x​  8​y ) ​​  ​
​​  ( 2​x​  −1​​y​  3​  ) ​​  ​
−1
​​  ( x​y​  5​  ) ​​  ​
2
​​  ( −​x​  −3​​y​  −2​  ) ​​  ​
3
−3
 ​ 
d​  _________
 
−1
​​  ( x​y​  2​  ) ​​  ​
​​  ( ​x​  3​​y​  −1​  ) ​​  ​
3
​​  ( ​x​  5​​y​  −1​  ) ​​  ​
3
3x − 2
x − 2
 ​
d​  ______
 ​
+ ​  _____
 
 
 
  = 2​  ( −4x + 1 ) ​
4
5
a
x + 12
18 − 3x
 ​
= ​  _______
 ​ 
​  ______
 
 
 
2
5
b
8 − 2x
7x − 5
 ​
= ​  ______
 ​ 
​  ______
 
 
 
3
4
c
−2 ​​     −x + 7   ​ + ​  __
​  ___
(
) 14  ​​  ( 6x − 5 ) ​ = 0 3
118
∙
e​  _______________
 ​ 
  
2
115 Los de vergelijkingen op.
2
3​x​  4​​y​  3​ ​​  ( −3​​x​  3​​y​  2​  ) ​​  ​
∙
 ​ 
c​  ______________
  
2
2​  ( 2x + 7 ) ​ _______
5​  ( x − 3 ) ​ _____
e​  ________
 ​
− ​ 
 ​
= ​  x + 5
 ​ 
 
 
 
 
 
10
20
2
4​  ( x + 7 ) ​ _______
2​  ( x − 1 ) ​ _______
 ​
− ​ 
 ​
= ​  −2x + 9
 ​
f​  _______
 
 
 
 
 
 
3
3
4
116 Los de vergelijkingen op.
3
a
b
_
_
√
​ 3 ​  x − 2​  ( x + 7 ) ​ = 6 − ​  ( −√
​ 3 ​  x − 8 ) ​ _
_
c
_
−​  ( −10a + ​√3 ​  ) ​ − 6 =​√3 ​​  ( ​√3 ​  a − 1 ) ​ _
_
_
−​  ( x − ​√7 ​  ) ​ = 1 + ​√7 ​​  ( √
​ 7 ​  x + 1 ) ​
_
_
_
√ 3 ​​  ( −y − ​√ 3 ​  ) ​ = 5y − ​  ( −​√ 3 ​  y − 3 ) ​
d−​
117 De oppervlakten van de figuren zijn gelijk.
Schrijf bij elke situatie de vergelijking en los op.
a
4
b
7
a+2
π
a+9
2a + 3
a+3
a
5
118 De som van de oppervlakten van de twee kleinste cirkels is gelijk aan de oppervlakte
van de grootste cirkel.
Bereken r.
3
r
13
70
WP+33GLW.indb 70
De reële getallen
5/08/14 08:21
119 Als je de ribbe van een kubus 20 % verlengt, dan vermeerdert de inhoud met 728.
Bereken de oorspronkelijke ribbe van de kubus.
120 Bereken de inhoud van de ruimtefiguur.
1
2
7
3
11
3
2 2
2
3
121 Los de problemen op.
a
Toen een man die beide wereldoorlogen had meegemaakt, stierf, was zijn leeftijd een
dertigste van zijn geboortejaar.
Hoe oud was hij in 1900?
b
Een getal dat bestaat uit drie dezelfde cijfers is steeds deelbaar door 37. Toon aan.
c
Twee straaljagers vliegen hetzelfde rondje. De ene straaljager doet dit met een snelheid
van 2 000 km/h, de tweede met een snelheid van 2 200 km/h.
Op een bepaald moment haalt de ene straaljager de andere in.
Hoeveel rondjes moet de traagste straaljager vliegen opdat dit nog eens gebeurt?
d
Als ik alle cijfers van de paginanummers van een boek achter elkaar schrijf, krijg ik een
getal van 828 cijfers.
Hoeveel bladzijden telt dit boek?
e
Op de vrijdagmarkt heeft Mariëtte drie zakken fruit gekocht: één zak met tien appelen,
één zak met tien peren en één zak met vijf appelen en vijf peren. Marktkramer Eddy heeft
op elke zak een verschillend etiket gepakt: “appelen”, “peren” en “gemengd”. Hij heeft
de etiketten per ongeluk verwisseld waardoor op elke zak een verkeerd etiket plakt en
Mariëtte weet dat. Hoeveel vruchten moet Mariëtte minimaal uit een of meerdere zakken
halen om met zekerheid te weten te komen wat in elk van de zakken zit?
A 1
B 2
C 3
D 6
E 12
3
4
5
JWO, 2013-2014, eerste ronde, vraag 30
104 c Stel het middelste getal voor door x.
Herhaling: voor wie iets meer wil
WP+33GLW.indb 71
71
5/08/14 08:21
Junior Wiskunde Olympiade
1
1
Wanneer je een rationaal getal decimaal uitschrijft (als een decimale vorm), dan kan het
gebeuren dat dit aanleiding geeft tot oneindig veel decimalen. Er treedt dan echter een
repeterend gedeelte op.
4 = 0,363 636 3…
Bijvoorbeeld: ___
11
10 ?
Wat is de 1986ste decimaal in de decimale ontwikkeling van ___
41
A
2
0
B
2
C
3
D
4
E
9
_
_
Als √2 + √x = 3, dan is x gelijk aan
A
121
_
B
49
C
7
D
√7
E
1
B
1
__
C
2
__
D
5
___
E
7
___
B
16
C 32
D
√12 2
E
512,5
D 2 704
E
5 408
_
3
1 =
√ __91 + ___
16
1
__
A
5
4
7
12
12
_
4
√
10
10
8 +4 =
________
4
11
8 +4
_
A √2
5
WP+33GLW.indb 72
___
( 76 − 24 ) ( 76 − 24 ) + ( 24 − 76 ) ( 76 − 24 ) is gelijk aan
A
72
3
−2 704
B
0
C
104
De reële getallen
5/08/14 08:21
2 Rekenen met
reële getallen
WP+33GLW.indb 73
5/08/14 08:21
2 Rekenen met reële getallen
2.1 Rekenen met vierkantswortels
2.1.1
2.1.2
2.1.3
Rekenregels.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Wortelvormen vereenvoudigen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Rekenen met vierkantswortels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Samenvatting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Herhaling: inoefenopdrachten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2 Viertermen ontbinden in factoren
2.2.1
2.2.2
WP+33GLW.indb 74
Gekende technieken toepassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Viertermen ontbinden in factoren.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Samenvatting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Herhaling: inoefenopdrachten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Herhaling: voor wie iets meer wil
.....................................................................
109
Junior Wiskunde Olympiade
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
5/08/14 08:21
Studiewijzer
Leerdoelen
1 De rekenregel om vierkantswortels te
vermenigvuldigen, verwoorden en in symbolen
noteren.
Th
2 De rekenregel om vierkantswortels te
vermenigvuldigen, verklaren met voorbeelden.
blz. 77
4 De rekenregel om vierkantswortels te delen,
verwoorden en in symbolen noteren.
blz. 77
3 Vierkantswortels vermenigvuldigen.
1, 5, 34
5 De rekenregel om vierkantswortels te delen,
verklaren met voorbeelden.
blz. 77
7 De rekenregel om een vierkantswortel tot een
macht te verheffen, verwoorden en in symbolen
noteren.
blz. 78
6 Het quotiënt van twee vierkantswortels berekenen.
8 De rekenregel om een vierkantswortel tot een
macht te verheffen, verklaren met voorbeelden.
9 Een vierkantswortel tot een macht verheffen.
blz. 79
11 Wortelvormen vereenvoudigen.
blz. 82-84
12 De rekenregels gebruiken bij het rekenen met
vierkantswortels.
blz. 89
13 Een twee- of een drieterm ontbinden.
15 Een vierterm ontbinden met behulp van
​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​.
16 Een vierterm ontbinden.
17, 19, 22,
35
18
2
2, 5, 36
24, 25, 26
blz. 78
10 De som van gelijksoortige vierkantswortels
herleiden.
14 Een vierterm ontbinden door de termen per twee
te groeperen.
1
blz. 77
blz. 102
3
3, 5, 37
23
6, 7, 8, 30,
31
9, 10, 11
4, 5
12, 13, 14,
16, 32, 33,
50
15
20, 27, 51,
52, 53, 54,
55
21, 28, 56,
57, 58, 59
29, 38, 39,
44, 45, 48
61
40, 46
blz. 101-102
41, 47
blz. 101-102
42, 49
5
43, 60, 62
 
WP+33GLW.indb 75
4
75
5/08/14 08:21
2.1 Rekenen met vierkantswortels
2.1.1 Rekenregels
1
Om te rekenen met reële getallen met een repeterende decimale vorm kun je de decimale
vorm omzetten in een breuk. Omdat je over rekenregels beschikt, kun je met breuken heel
nauwkeurig rekenen.
Je zult nu bewerkingen uitvoeren met reële getallen die geschreven zijn als een vierkantswortel.
Het rekenen met vierkantswortels is nauwkeuriger dan het rekenen met de onbegrensde nietrepeterende decimale vorm van deze getallen.
Om te rekenen met vierkantswortels voeren we nieuwe rekenregels in.
2
Zoekwerk 1
•Bereken.
_
•
•
√ 10_
000 =
________
•
• √25 + 144 =
•
•
•
• √9 3 =
•
•
√ 4 · 49 =
•
•
36 =
√ ___
9
•
• √49 4 =
•
•
_
3
√ 100
_
_
√ 9 + √ 16 =
_
√ 36
____
_ =
√9
_
( √49 ) 4 =
4
_
( √9 ) 3 =
_
_
√ 16 · √ 9 =
_
_
√25 + √144 =
_
_
√ 4 · √ 49 =
√ 16 · 9 =
_
_
10 000 =
√ _______
100
_
_
_
_
_
√ 9 + 16 =
•Verbind de opgaven met dezelfde uitkomst.
•Bereken, indien mogelijk, zonder rekenmachine.
5
_
√ 32
____
_ =
√2
_
_
√ 3 · √ 12 =
_
_
√5 + √11 =
_
( √3 ) 4 =
•Vul de formules aan. Hierbij zijn a en b getallen groter dan nul en is n een geheel getal.
_
_
√a · √b =
76
WP+33GLW.indb 76
_ n
( √a )
_
=
√_
a =
___
√b
Rekenen met Reële getallen
5/08/14 08:21
Product van vierkantswortels
REKENREGEL
1
Het product van de vierkantswortels van twee getallen groter dan nul is gelijk aan de
vierkantswortel van het product van deze getallen.
_
_
_
"a, b Î ​ℝ​  +0​  ​ : ​√a ​  · ​√b ​  = ​√a · b ​ 
Deze rekenregel is ook geldig voor getallen gelijk aan nul.
2
We verklaren deze rekenregel met voorbeelden.
_
_
_
_
•​​  ( ​√_3 ​  · ​√_5 ​  ) ​​  2​ = ​​  ( ​√3 ​  ) ​​  2​ · ​​  ( ​√5 ​  ) ​​  2​ = 3 · 5
√
​ 3 ​  · ​√5 ​ is een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 3 · 5 en dus is
_
_
_
√
​ 3 ​  · ​√5 ​  = ​√3 · 5 ​. 
_
_
_
_
•​​  ( ​√_5 ​  · ​√_7 ​  ) ​​  2​ = ​​  ( ​√5 ​  ) ​​  2​ · ​​  ( ​√7 ​  ) ​​  2​ = 5 · 7
√
​ 5 ​  · ​√7 ​ is een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 5 · 7 en dus is
_
_
_
3
√
​ 5 ​  · ​√7 ​  = ​√5 · 7 ​. 
Quotiënt van vierkantswortels
REKENREGEL
Het quotiënt van de vierkantswortels van twee getallen groter dan nul is gelijk aan de
vierkantswortel van het quotiënt van deze getallen.
_
​√_
a ​ 
+ ___
"a, b Î ​ℝ​  0​  ​ : ​ 
4
_
√
a ​ ​   
 ​   = ​ ​  __
b
​√b ​ 
Deze rekenregel geldt ook als het deeltal nul is.
We verklaren deze rekenregel met voorbeelden.
(  )
_ 2
​​  ( ​√10 ​  ) ​​  ​ ___
= ​  10 ​  
•​​ ​   ​   ​​  ​ = ​  _______
 
 
_ 2 ​
5
​√5 ​ 
​​  ( ​√5 ​  ) ​​  ​
_
_
√
√
​
​​  10 ​
 
 
10
____
___
____
_ ​
_ ​
  is een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan ​   ​  en dus is ​  10 ​
   = ​
5
√
​√5 ​
 
​
5 ​
 
_ 2
_
2
​​  ( ​√5 ​  ) ​​  ​ __
√
5 ​ 
​_
 ​   ​​  ​ = ​  ______
= ​  5  ​ 
•​​ ​  ___
 
_ 2 ​ 
​√7 ​ 
​​  ( ​√7 ​  ) ​​  ​ 7
_
2
√
​ 10 ​
____
_ 
(  )
5
_
√​  105 ​ ​. 
_
_
___  
_
√7
√
√
​_
​_
5 ​   ​ is een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan ​ __
5 ​  ​   = ​ ​  __
5 ​ ​   .
5  ​  en dus is ​ ___
​  ___
​√7 ​ 
7
​√7 ​ 
2.1 Rekenen met vierkantswortels
WP+33GLW.indb 77
77
5/08/14 08:21
Macht van een vierkantswortel
REKENREGEL
1
De macht van de vierkantswortel van een getal groter dan nul is gelijk aan de
vierkantswortel van de macht van dit getal.
_
_ n
"a Î ​ℝ​  +0​  ​, "n Î ℤ : ​​  ( ​√a ​  ) ​​  ​ = ​√​a​  n​ ​ 
We verklaren deze rekenregel met voorbeelden.
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
•​​  ( ​√5 ​  ) ​​  4​ = ​√5 ​  · ​√5 ​  · ​√5 ​  · ​√5 ​  = ​√5 · 5 · 5 · 5 ​  
= ​√​5​  4​ ​ 
2
_
_
•​​  ( ​√7 ​  ) ​​  3​ = ​√7 ​  · ​√7 ​  · ​√7 ​  = ​√7 · 7 · 7 ​  
= ​√​7​  3​ ​ 
_
_
_
_
•​​  ( ​√5 ​  ) ​​  1​ = ​√5 ​
 
en
​√​5​  1​ ​  = ​√5 ​ 
_
•​​  ( ​√3 ​  ) ​​  0​ = 1
​√​3​  0​ ​  = ​√1 ​  = 1
en
_
_
_
_ −1
√_
​
1
1
1_  ​ 
−1
___
__
___
_
​√2 ​   ​​  ​ = ​    ​ en​√​2​  ​ ​  = ​ ​   ​ ​    = ​  1 ​  ​   = ​  ___
2
​√2 ​ 
​√2 ​  ​√2 ​ 
√
•​​  (  ) 
3
Opmerking
_
√​ ​a​  2​ ​ is niet gewoon gelijk aan a omdat je niet weet of a positief is.
_
Daarom noteren we: √
​ ​a​  2​ ​  = ​ | a |​. 
4
_
Zo is ​ ​​  ( −5 ) ​​  ​ ​  
= ​ | ​​  ( −5 ) ​​  ​  |​  = 125.
_
√
6
3
​√​a​  8​ ​  = ​a​  4​ omdat ​​  ( ​a​  4​  ) ​​  ​ = ​a​  8​en ​a​  4​positief is.
2
Vanaf nu stellen alle letters getallen groter dan nul voor.
5
Som van vierkantswortels
In het zoekwerk stelden we vast dat de som van vierkantswortels niet gelijk is aan de
vierkantswortel van de som.
Voorbeeld
_
_
​√16 ​  + ​√9 ​  = 4 + 3
= 7
_
_
_
_
en
​√16 + 9 ​  
= ​√25 ​ 
= 5
_
Je stelt vast: √
​ 16 ​  + ​√9 ​  ≠ ​√16 + 9 ​. 
78
WP+33GLW.indb 78
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
De som van vierkantswortels met hetzelfde grondtal kun je herleiden.
We noemen vierkantswortels met hetzelfde grondtal gelijksoortige vierkantswortels.
Voorbeelden
_
_
1
_
•2√5 − 5√5 = −3√5
_
_
_
•−2a√3 − a√3 = −3a√3
_
_
_
_
_
_
•3√2 + 7√11 − 4√11 + 8√2 = 11√2 + 3√11
Bhaskara (1)
_
_
De Indiërs zijn de eersten om vierkantswortels zoals √2 , √3 … als
volwaardige getallen te aanzien. De Grieken hadden al bewezen
dat deze getallen niet als een breuk te schrijven zijn. Dit was een
grote stap in de uitbreiding van het getalbegrip.
De Indische wiskundige Bhaskara (1114 - ca. 1185) voert de
bewerkingsregels voor vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen
van
vierkantswortels
in. Hij gaat rekenen met vierkantswortels:
_
_
_
√5 · √3 = √15 . Hij noteert dit zonder symbolen. Het wortelteken
is pas van de 16de eeuw.
Daarbij vermeldt hij dat positieve getallen twee vierkantswortels
hebben: een positieve en een negatieve, terwijl negatieve getallen
geen vierkantswortel hebben.
De Indiërs hebben weinig belangstelling voor het deductieve
aspect van wiskunde. Daarom bekommeren zij zich weinig om definities, verantwoordingen of
bewijzen. Zo past Bhaskara zonder aarzelen de eigenschappen
van de _
bewerkingen
met gehele
__
_
_
_
√3 + √12 = √3 + 12 + 2√36 = √27 gebruikt hij het
getallen toe op vierkantswortels.
Bijvoorbeeld in_
_
_ 2
merkwaardige product ( √3 + √12 ) = 3 + 12 + 2√36 .
2
3
4
Opdrachten
1
Werk uit.
_
_
a
√ 8 · √ 18
b
√8,1 · √10
_
_
_
_
√ 11 · √ 44
d
√ 6 · √ 15 · √ 10
_
_
2.1
WP+33GLW.indb 79
5
c
_
Rekenen met vierkantswortels
79
5/08/14 08:21
2
Werk uit.
_
a
1
√
​_
54 ​  
​  ____
 ​ 
​√96 ​ 
_
c
b
3
3
√
​ 125 ​
 
_ ​
​  _____
 
 
​√20 ​ 
_
d
4
b
WP+33GLW.indb 80
​√12 ​ 
_ 4
​​  ( ​√0,5 ​  ) ​​  ​
c
_ 6
​​  ( −​√7 ​  ) ​​  ​
( √ ) 
_
80
√
​_
75 ​ ​   
​  ____
Werk uit.
a
5
​√63 ​ 
_
2
√
​_
28 ​ 
​  ____
 ​  
1  ​ ​   ​​  8​
​​  ​ ​  ___
10
d
(
_
)4
​​   −​√0,​1​  3​ ​   ​​  ​
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
4
Werk uit.
a
b
5
_
_
_
_
_
√
​ 49 ​  − ​√81 ​  + ​√1 ​ 
d
_
√ 6 √ 5 √ 10
d
(
_
_
_
e
​√21 ​  · ​√70 ​ 
f
_
2
_
)3
3
4
_
_
_
_
_
5 ​​  √5 ​  + ​  __
1  ​​ √5 ​  − ​  __
1  ​​ √5 ​ 
​  __
3
6
2
√
​_
40 ​  · ​√_
27 ​ 
​  _________
 
 ​ 
_
​​   −2​√​2​  6​ ​   ​​  ​
2 − 3​√11 ​  + ​√11 ​  + 2​√11 ​ 
_
1
_
_
_
√7 ​ 
√ 6 ​ + ​
−2​√6 ​ −  
3​√7 ​ + ​
 
 
33 ​ ​   
11 ​ ​    · ​ ​  __
4 ​ ​    · ​ ​  ___
​ ​  ___
_
3​√2 ​  + 2​√3 ​ −  
7​√2 ​ +  
5​√3 ​ 
_
c
c
_
b
_
Werk uit.
a
_
√
​ 144 ​  + ​√36 ​  + ​√0 ​ 
5
_ 4
​​  ( 3​√3 ​  ) ​​  ​
2.1 Rekenen met vierkantswortels
WP+33GLW.indb 81
81
5/08/14 08:21
2.1.2 Wortelvormen vereenvoudigen
Vanaf nu stellen alle letters getallen groter dan nul voor.
1
Zoekwerk 2
Beantwoord de vragen zonder rekenmachine.
•Bereken de omtrek van de blauwe rechthoek.
_
7√2
_
3√2
_
2
•Bereken de omtrek van de groene rechthoek.
√50
_
√32
Welk probleem ervaar je?
_
3
1_ .
•Herleid: √2 + ___
√2
Heb je hier hetzelfde probleem?
Om vlot met wortelvormen te rekenen, is het nodig om
ze eerst eenvoudiger te schrijven.
Dit vereenvoudigen doen we op twee manieren:
•de volkomen kwadraten voor het
vierkantswortelteken brengen;
•een vierkantswortel in de noemer wegwerken.
4
5
Volkomen kwadraten voor het wortelteken brengen
De rekenregel om vierkantswortels te vermenigvuldigen laat ons toe de volkomen kwadraten
voor het vierkantswortelteken te brengen.
Voorbeelden
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
•√12 = √4 · 3 = √4 · √3 = 2√3
•√27 = √9 · 3 = √9 · √3 = 3√3
_
_
_
•√50 = √25 · 2 = √25 · √2 = 5√2
_
_
_
•√a 5 = √a 4 · a = √a 4 · √a = a 2√a
82
WP+33GLW.indb 82
Rekenen met Reële getallen
5/08/14 08:21
_
Zo breng je in √
​ 40​a​  5​​b​  6​ ​ 
de volkomen kwadraten voor het wortelteken.
_
•We schrijven de coëfficiënt als een product van twee
​√40​a​  5​​b​  6​ ​ 
factoren waarbij een van de factoren een zo groot
mogelijk volkomen kwadraat is.
Ontbinden in priemfactoren kan je hierbij helpen.
40 2
20 2
10 2
5
5
1
40 = ​2​  3​ · 5 = ​2​  2​ · 2 · 5 = 4 · 10
Elke letterfactor met een oneven exponent schrijf je
als het product van twee factoren, zodat de exponent
van een van de factoren 1 is.
__
4
6
  
= ​√4 · 10 · ​a​  ​ · a · ​b​  ​ ​
2
•Breng alle volkomen kwadraten voor het wortelteken
_
= 2 · ​a​  ​ · ​b​  ​​√10 · a ​ 
_
= 2​a​  2​​b​  3​​√10a ​ 
2
1
3
en deel hierbij de exponent door 2.
•Bereken de producten.
3
Voorbeelden
_
_
_
​√8​b​  11​ ​ 
​√99​a​  8​​b​  7​ ​ 
√​ 216​x​  16​ ​ 
= ​√4 · 2 · ​b​  10​ · b ​ 
8
6
  
= ​√9 · 11 · ​a​  ​ · ​b​  ​ · b ​
​  2​ · 2 · ​3​  2​ · 3 · ​x​  16​ ​
= ​√​2  
= 2 · ​b​  5​​√2 · b ​ 
= 3 · ​a​  4​ · ​b​  3​​√11 · b ​ 
​ 2 · 3 ​ 
= 2 · 3 · ​x​  8​ √
= 2​b​  5​​√2b ​ 
= 3​a​  4​​b​  3​​√11b ​ 
= 6​x​  8​​√6 ​ 
_
__
_
_
_
_
__
_
Je kunt nu de omtrek van de groene rechthoek uit zoekwerk 2 berekenen.
_
_
_
= 4​√2 ​ 
​√32 ​  = ​√16 · 2 ​  
_
_
_
√
= 5​√2 ​ 
​ 50 ​  = ​√25 · 2 ​  
_
_
​√50 ​ 
5
_
De groene rechthoek heeft bijgevolg een omtrek van
_
4
_
​√32 ​ 
_
​  ( 4​√2 ​  + 5​√2 ​  ) ​ · 2 = 18​√2 ​. 
2.1 Rekenen met vierkantswortels
WP+33GLW.indb 83
83
5/08/14 08:21
Vierkantswortel in de noemer wegwerken
De eigenschap van gelijke breuken laat ons toe de vierkantswortel in de noemer weg te
werken.
1
Voorbeelden
_
_
14 14_  ​  = ​  _______
_ · ​√ 7 ​
_  
​  ___
 ​ 
1 _· ​√a ​_  
1_  ​  = ​  _______
​  ___
 ​ 
​√7 ​  √
​ 7 ​  · ​_√7 ​ 
14​√ ​
7 ​  
= ​  _____
 
7_
= 2​√7 ​ 
2
​√a ​  √
​ a ​  · ​√a ​ 
_
√
​
 
___
  
= ​  aa ​ ​
5_
Zo werk je de vierkantswortel in de noemer van de breuk ​ ____
   ​ weg.
√
​ 12 ​ 
•Vereenvoudig de vierkantswortel in de noemer.
5_
​  ____
   ​ 
​√12 ​ 
5 _ ​ 
= ​  ____
2​√3 ​  _
5 _· ​√3 ​  
_ ​ 
= ​  ________
2​√3 ​  · ​√3 ​ 
3
= ​ 
_
•Vermenigvuldig de teller en de noemer met √​ 3 ​. 
•Bereken.
_
5​√3 ​ 
____
 ​ 
 
2 · 3
_
5​√ ​
3 ​   
= ​  ____
6
Voorbeelden
4
_
_
_
_
√
​√3 ​_  · ​√2 ​_  
​_
3 ​  ​   = ​  ________
​  ___
 ​ 
5 _· ​√3 ​  
5_
_ ​ 
​  ____
   ​ 
= ​  ________
​√27 ​  3​√3 ​  · ​√3 ​ 
_
3 ​   
5​√ ​
= ​  ____
9
​√8 ​  2​√2 ​  · ​√2 ​ 
= ​ 
_
√
​ 6 ​ 
___
 ​
  
4
_
_
_
√
√ _   · ​√_6 ​ 
​ 5x ​
  ________
_ ​
​  ____
   = ​  ​ 5x ​
 
 
 ​
​√6 ​ 
​√6 ​  · ​√6 ​ 
_
√
 
​ 30x ​
 ​
 
 
= ​  _____
6
Je kunt nu het derde deel van zoekwerk 2 oplossen.
1_  ​ zodat we kunnen herleiden.
•We herschrijven ​ ___
​√2 ​ 
5
_
_
1 · ​
​√2 ​ ​
 
1_  ​  = ​  _______
_ √ 2 ​_  
  
 ​ 
= ​  ___
​  ___
​√2 ​  ​√2 ​  · ​√2 ​ 
2
•We kunnen nu herleiden.
_
_
_
√
​
 
1
___
___
​√2 ​  + ​  _  ​  = ​√2 ​  + ​  2 ​ ​
   = ​ 
2
​√2 ​ 
84
WP+33GLW.indb 84
( 1 + ​  12  ​  ) ​​√2 ​ = ​  32  ​​√2 ​
__ 
_
_
  __   
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
Toepassing: de vierkantswortel van een breuk
Voorbeeld 1
Om de vierkantswortel van een breuk te berekenen, vereenvoudigen we eerst de breuk en
berekenen de vierkantswortel van de teller en van de noemer.
_
1
_
√ 24 √ 8
9  ​ ​  
3 ​ ​   
​ ​  ___
= ​ ​  __
_
​√_
3 ​  ​  
= ​  ___
​√8 ​ 
_
_
√
​
3 ​
  · ​√ 2 ​_ 
________
_
 
 ​ 
= ​ 
2​√2 ​  · ​√2 ​ 
2
_
 
​√6 ​ ​
  
= ​  ___
4
Voorbeeld 2
We werken op dezelfde manier als in het eerste voorbeeld.
_
_
√
√
2  ​ ​  
1  ​ ​  
​ ​  ___
= ​ ​  ___
36
18
1_
= ​  ____
   ​ 
√
​ 18 ​  _
1 _· ​√2 ​  
_ ​ 
= ​  ________
3​√2 ​  · ​√2 ​ 
3
_
​√2 ​ ​
 
  
= ​  ___
6
Als we het resultaat bekijken, stellen we vast dat we de uitkomst sneller kunnen vinden.
Omdat de noemer een volkomen kwadraat is, berekenen we de vierkantswortel van de teller en
van de noemer.
4
Voorbeeld 3
We gaan nu de vierkantswortel van de breuk uitwerken, waarbij we de breuk eerst schrijven
met in de noemer een volkomen kwadraat.
_
√
_
√
27 ​ ​   
3 · 2 ​ ​ 
​ ​  ___
= ​ ​  ____
 
 
8 2
72
·
_
​√6 ​ ​
 
= ​  ___
  
4
5
We kunnen deze werkwijze ook toepassen als er in de teller en/of de noemer lettervormen staan.
Voorbeelden
_
√
_
_
·
_
√
​√2ab ​
 
2a ​ ​    = ​ ​  _____
2a · b ​ ​ 
 
= ​  _____
 ​
•​ ​  ___
 
 
 
4b
4b b
2b
_
√
2
_
√ 9​a​  ​
 
​√6a ​ ​
18​a​  ​ ​ ​ 
6a  ​ ​  
•​ ​  _____
 
 
  
= ​ ​  ____
= ​  ____
3
2
27​a​  ​
3a
Soms moeten we de vierkantswortel in de teller nog vereenvoudigen.
_
_
√ 18 √ 9
_
_
√ 3 ​ 
​√12 ​
  ____
24 ​ ​   
12 ​ ​ = ​ 
​ ​  ___
= ​ ​  ___
 ​
    ____
   = ​  2​  ​
  
3
3
2.1 Rekenen met vierkantswortels
WP+33GLW.indb 85
85
5/08/14 08:21
Opdrachten
6
1
Verbind de gelijke wortelvormen.
_
_
3​√2 ​ 
•
•
2
7
201
202
3
b
4
8
203
5
b
WP+33GLW.indb 86
•
•_
•_
_
​√50 ​ 
•
_
√
​ 50 ​ 
c
_
5​√2 ​ 
•
2​√3 ​ 
•
•
_
​√18 ​ 
4​√3 ​ 
_
−​√18 ​ 
e
_
d
_
√
​ 192 ​ 
f
_
_
c
_
√​ 32​a​  32​ ​ 
e
_
√​ 16​x​  2​y ​ 
_
√​ 75​a​  9​ ​ 
d
_
√​ 27​b​  7​ ​ 
f
•
_
​√75 ​ 
√
​ 125 ​ 
√​ ​a​  3​ ​ 
•
_
√
​ 99 ​ 
_
2​√5 ​ 
√
​ 72 ​ 
Vereenvoudig.
a
86
​√12 ​ 
Vereenvoudig.
a
_
​√48 ​ 
•
_
​√20 ​ 
_
5​√3 ​ 
_
√​ 24​x​  11​ ​ 
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
9
Vereenvoudig.
a
204
b
c
10
2_   
​  ___
​√2 ​ 
1_
​  ____
  
​√10 ​ 
d
g
5 _  
​  ____
2​√5 ​ 
−7_  
​  ___
​√5 ​ 
−3
_  
​  ____
​√12 ​ 
e
h
x_
​  ____
  
​√2x ​ 
f
i
2
2_   
​  ___
​√8 ​ 
5a_  
​  ___
​√a ​ 
1
3
18
_  
​  ____
​√18 ​ 
4
_
Vereenvoudig √
​ 32 ​ en teken op de getallenas.
5
0
1
2
3
4
5
6
7
2.1 Rekenen met vierkantswortels
WP+33GLW.indb 87
87
5/08/14 08:21
11
Vereenvoudig.
_
_
a
1
√
5
a
____
c
6b 4
√
4 2
45x y
______
10x
2
_
b
√
2
26a x
______
13ax
2
_
d
√
4
60a
______
135a 3
3
Bhaskara (2)
4
Bhaskara schreef een boek, dat de naam van zijn dochter droeg, om
haar aandacht af te leiden van een romance. Een opgave uit dit boek.
‘O, teder meisje, van de zwanen in een bepaald meer, vloog tienmaal de
vierkantswortel uit hun aantal naar Manasa Sarovar, in de tijd dat de
regens het begin van moesson aankondigden. Een achtste vertrok naar
het bos dat Sthala Padmini genoemd wordt. Drie zwanenparen bleven
in amoureuze verwikkelingen achter in het meer.
Hoeveel zwanen waren er in het totaal?’
5
88
WP+33GLW.indb 88
Rekenen met Reële getallen
5/08/14 08:21
2.1.3 Rekenen met vierkantswortels
Voorbeelden
_
_
_
_
_
•√12 · √8 = √96
√2
_
= √16 · 6
•
_
_
3 a6 =
__
_
2 a __
3 6
__
· a
_
8
_
_
_
_
= 8√3 2 · 3
·a
= 8 · 3√ 3
_
_
_
•3√2b · ( √8b 5 − 4√b 3 )
_
_
= 3√16b 6 − 12√2b 4
= 24√3
_
_
4
• ( −3x√2x ) 4 = 3 4 · x 4_
· ( √2x )
√ ( 2x )
= 81x 4
_
= 81x 4 · ( 2x )
= 3 · 4b 3 − 12 · b 2√2
_
= 12b 3 − 12b 2√2
_
_
3
√2
_
_
1_· √2_
= 7√4 · 2 + 6√2 − _______
√_
2 · √2
√2
= 7 · 2√2 + 6√2 − ___
2
_
_
_
√2
= 14√2 + 6√2 − ___
2
_
39 √2
= ___
2
_
√2
= 7 · ___
4
_
7
__
= √2
4
_
_
_
_
_
2
= 324x 6
1_
•7√8 + 6√2 − ___
4
___
4
= 81x 4 · 4x 2
_
√ 32
= 7 ___
√ 162
4
21√
_
=7
• _____
3√32
_
2
_
1 a 3√a
= __
2
_
= 8√ 3 3
7
6
= 3 + √3
• ( 2√3 ) 3 = 2 3 · ( √3 ) 3
_
_
1
_
√3 √8 √3
= __
√ 41 a
= __
√ 41 a
2a
__
·
_
√_2 _√ 2
= √9 + √3
_
= 4√ 6
_
√ 18 +
√ 18
√_
6
_ √ 6 = ____
_ + ___
• ________
_
4
_
5√14 · 2√21 = 5 · 2√14 · 21
Bij het vermenigvuldigen van vierkantswortels hoef je niet altijd het product van
de getallen te berekenen. In 14 en 21 zit telkens een factor 7. Samen vormen ze het
volkomen kwadraat 49.
_
5
_
2·7·3
5 · 2√14 · 21 = 10√7 · _
= 10 · _7√6
= 70√6
2.1
WP+33GLW.indb 89
Rekenen met vierkantswortels
89
5/08/14 08:21
Opdrachten
12
1
Herleid.
_
2
e
_
_
f
_
g
3
_
_
_
_
h
_
_
_
_
_
_
1  ​​ √135 ​  + ​  __
1  ​​ √1 500 ​ 
3​√60 ​  − ​  __
3
2
4​√54 ​  − ​√150 ​  + 3​√600 ​ 
_
_
√
​ 12 ​  + ​√27 ​  − ​√48 ​  + ​√75 ​ 
2
d
_
7  ​​ √11 ​ 
1 ​​  √5 ​ − 2​√11 ​  + ​√5 ​  + ​  __
​  __
2
2
_
_
_
√
√ 20 ​  ____
5​
​
45 ​ 
 
_____
 ​
3​√80 ​  − ​ 
 
  + ​   ​
 
4
13
_
_
c
5
_
√
​ 24 ​  + ​√54 ​  − ​√6 ​ 
b
3
_
4​√7 ​  − 6​√7 ​  + 3​√7 ​  − 2​√7 ​ 
a
_
_
_
6​√18 ​  − ​√27 ​  + 3​√32 ​ 
Vul het vierkant aan zodat je horizontaal, verticaal en diagonaal dezelfde som krijgt.
_
​√28 ​ 
_
_
√
​ 567 ​ 
√
​ 175 ​ 
_
90
WP+33GLW.indb 90
√
​ 448 ​ 
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
14
Herleid.
a
b
c
15
_
_
√
​ 4x ​  + ​√36x ​ 
d
_
_
_
_
_
2  ​​ √a ​  − ​  __
5  ​​ √a ​  − 3​√a ​ 
5​√a ​  + ​  __
3
3
e
_
_
_
_
_
f
1
_
_
_
9​√a ​  + 10​√b ​  − 5​√a ​  − 9​√b ​ 
3​a​  2​​√2a ​  − 4​√8​a​  5​ ​  − a​√32​a​  3​ ​  
+ 12​√2​a​  5​ ​ 
_
√​ 12​x​  2​ ​  
+ x​√27 ​ 
2
_
_
_
√​ 63​a​  2​ ​  
− ​√28​a​  2​ ​  
+ a​√175 ​ 
Bereken zonder rekenmachine de omtrek van
het groene vierkant. Het grote vierkant heeft een
oppervlakte van 108. De blauwe vierkanten hebben
een oppervlakte van 3 en 27.
3
3
4
27
16
Werk uit.
a
_
_
√
1 ​ ​   
√
​ 3 ​  − ​ ​  __
3
b
_
_
√
1 ​ ​   
√
​ 216 ​  − ​ ​  __
6
2.1 Rekenen met vierkantswortels
WP+33GLW.indb 91
5
91
5/08/14 08:21
c
1
d
2
3
17
_
√5
e
_
_
1 ​ ​    − ​√_
5​ ​  __
18 ​  + ​√99 ​  − 3​√44 ​ 
2
√
_
_
2 ​ ​    − ​√_
1
___
5​√7 ​  − ​  _  ​  + 4​ ​  __
90 ​ 
5
√
​ 7 ​ 
_
_
_
_
1  ​ ​  
+ 2​√605 ​ 
4​√45 ​  − 3​√125 ​  − 2​ ​  ___
√
f
√ 20
Bereken.
a
4
b
5
18
_
_
6 ​ ​   
√
​ 120 ​ 
− ​ ​  __
_
_
√
​ 2 ​  · ​√8 ​ 
c
_
_
_
−​√21 ​  · ​  ( −​√35 ​  ) ​
d
_
−​√6 ​  · ​√10 ​ 
e
_
_
√
_
5 ​ ​    ​√5 ​ 
​ ​  __
·
9
f
_
_
−​√​2​  3​ ​  · ​√​2​  7​ ​ 
_
_
√
​ 75 ​  · ​√3 ​ 
_
Is 2 −​√3 ​ het omgekeerde van 2 +​√3 ​? 
92
WP+33GLW.indb 92
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
19
Bereken.
_
a
_
_
√6x · √10x 2
c
_
−√6x · √15xy
_
_
_
√ x · √ 2x · √ 10x 5
e
1
b
_
_
_
√ab · √3a b · √6ab
2
2
d
_
_
_
√20x · √5x
3
5
_
√ 15 √ 845x
3
2x
____
·
f
____
2
2
Wortelvormen vereenvoudigen:
•volkomen kwadraten voor het vierkantswortelteken brengen;
•vierkantswortel in de noemer wegwerken.
20
Werk uit.
a
_
_
_
√5 · ( √3 + √15 )
d
_
_
_
3
_
( √3 − √2 ) · ( √3 + √2 )
4
b
_
_
_
_
( √2 − √3 ) · ( √6 − √24 )
e
_
_
_
√ 6 · ( √ 2 + √ 27 )
5
c
_
_
( √2 − √5 ) 2
f
_
2.1
WP+33GLW.indb 93
_
( √11 − 1 ) · ( √11 + 1 )
Rekenen met vierkantswortels
93
5/08/14 08:21
21
Bereken de oppervlaktes.
a
c
—
√5
1
—
√ 125 + 5
—
—
√2 +√3
2
d
b
—
—
√ 20 - √ 3
3
—
—
√ 3 + √ 27
4
22
—
√ 20 + √ 3
—
_
_
Bereken de oppervlakte van een driehoek waarvan de basis 2​√8 ​ en de hoogte 3​√50 ​ is.
5
94
WP+33GLW.indb 94
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
23
Bereken.
a
b
24
_ 3
​​  ( ​√5 ​  ) ​​  ​
c
_ 5
​​  ( ​√8 ​  ) ​​  ​
_ 3
​√32 ​  ​​  ​
​​  ( 
) 
d
_ 4
​√5 ​   ​​  ​
​​  ( 
) 
f
​​ ​
−​√
2 ​  
_
−​  ____
 ​ 
​√50 ​ 
_
c
√
​_
25 ​ 
​  ____
 
 ​ 
√
​ 16 ​ 
e
​√27 ​ 
_
d
​√32 ​ 
3
−​√2 ​ 
−​√_
12 ​ 
​  _____
 
 
 ​
4
_
f
√
​_
128 ​ 
​  _____
 
 ​ 
​√100 ​ 
5
2.1 Rekenen met vierkantswortels
WP+33GLW.indb 95
2
10
_
_
_ 2
1  ​ ​   ​​  ​
​  ___
−​√14 ​
 
_ ​
​  _____
 
 
√
​_
3 ​   ​ 
​  ____
1
( √ )
_
b
_ 4
(  ) 
​​  ​√​4​  3​ ​  ​​  ​
Bereken.
a
e
95
5/08/14 08:21
25
_
_
Bereken de breedte van een rechthoek als de oppervlakte 15​√6 ​ en de lengte 9​√3 ​ is.
1
2
26
Bereken.
_
√​ ​a_​  3​ ​   
a ​  ____
c
​√a ​
 
  
​√2x ​ 
​ 
_
b
3
27
b
4
29
5
c
−​√_
14 ​  
​  _____
 
√
d
​​  ( −3​√​a​  3​ ​  ) ​​  ​
) 
√
−​√2​a​  3​ ​ 
3​√35 ​ 
_
2
Los de vergelijkingen op.
_
f
​√50​
a​  ​ ​ ​ 
 
_
​  ______
 
e
​​  ( −3​√​a​  2​ ​  ) ​​  ​
f
−​√3​a​  2​ ​  · ​  ( −6​√​a​  3​ ​  ) ​
_
 ​ 
 
​ 
e
−​√128​x​  5​y ​ 
_ ​ 
 
​  _________
−​√2​x​  2​ ​ 
_
_
_
2​√12 ​  · ​  −​√27 ​  ​
_
15y ​ 
​_____
 
​  _ ​ 
​ 5​y​  3​ ​ 
( 
_
√​ 12​
a​  5​ ​ 
______
_
d
Werk uit.
a
28
x​  3​y ​ 
√​ 180​
_  
 
​  ________
​√5x ​
 
_
_
​√_
5x ​ 
____
_
_
7
−​√2​a​  2​ ​ 
_
_
√
​ 2 ​  x + 10 = −2​√2 ​  x + 8
c
b
√
​ 5 ​  x + 5 = 3​√5 ​  x + 1
d
√
​ 3 ​  x + 9 = ​√27 ​​  ( x −​√3 ​  ) ​
_
2x − ​√8 ​  + 3x = ​√2 ​ 
_
_
_
a
_
3
_
_
Ontbind in factoren.
a
x​ ​  2​ − 3
c
5​x​  2​ − 1
b
7​x​  2​ − 16
d
x​ ​  2​ − 13
18 Het product van een getal en zijn omgekeerde is 1.
96
WP+33GLW.indb 96
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
Samenvatting
REKENREGELS
1
•Het product van de vierkantswortels van twee getallen groter dan nul is gelijk aan
de vierkantswortel
het product van deze getallen.
_
_ van_
+
"a, b Î ​ℝ​  0​  ​: ​√a ​  · ​√b ​  = ​√a · b ​ 
•Het quotiënt van de vierkantswortels van twee getallen groter dan nul is gelijk aan
de vierkantswortel
van het quotiënt van deze getallen.
_
_
√
​
a ​
 
a ​ ​   
+ ___
"a, b Î ​ℝ​  0​  ​: ​  _ ​   = ​ ​  __
b
​√b ​ 
•De macht van de vierkantswortel van een getal groter dan nul is gelijk aan de
vierkantswortel van _de macht
_ van dit getal.
n
"a Î ​ℝ​  +0​  ​, "n Î ℤ: ​​  ( ​√a ​  ) ​​  ​ = ​√​a​  n​ ​ 
√
2
BEGRIP
We noemen vierkantswortels met hetzelfde grondtal gelijksoortige vierkantswortels.
3
De som van gelijksoortige vierkantswortels kun je herleiden.
Wortelvormen vereenvoudigen doen we op twee manieren:
•de volkomen kwadraten voor het vierkantswortelteken brengen;
•een vierkantswortel in de noemer wegwerken.
4
5
2.1 Rekenen met vierkantswortels
WP+33GLW.indb 97
97
5/08/14 08:21
Herhaling: inoefenopdrachten
30
1
31
2
32
3
33
34
Vereenvoudig.
5
36
​√63 ​ 
e
√
​ 44 ​ 
b
√
​ 72 ​ 
d
​√108 ​ 
f
√
​ 52 ​ 
_
_
_
√​ ​a​  7​ ​ 
c
​√36​m​  5​ ​ 
e
√​ 8​a​  15​​b​  16​ ​ 
b
√​ 12​a​  2​ ​ 
d
​√128​x​  6​​y​  7​ ​ 
f
√​ 104​p​  5​ ​ 
_
Herleid.
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
a
5​√3 ​  + 4​√2 ​  − 7​√2 ​  − ​√3 ​ 
d
b
√
​ 50 ​  + ​√18 ​  − ​√32 ​ 
e
c
5​√6 ​  − ​√54 ​  + 2​√96 ​  − 3​√150 ​ 
Herleid.
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
5 ​​  √_
3  ​​ √_
3  ​​ √5 ​ 
1  ​​ √5 ​  + ​  __
​  __
6 ​  + ​  __
6 ​  + ​  __
3
2
2
5
_
_
_
_
f
√
​ 12 ​  + ​√24 ​  − ​√27 ​  + ​√36 ​ 
_
_
_
_
3​√x ​  + 7​√3 ​  − 5​√x ​  − 3​√3 ​ 
c
2​√3​a​  2​ ​  + a​√27 ​ 
b
√​ 20​x​  2​ ​ 
+ ​√125​x​  2​ ​ 
d
x​√12​x​  3​ ​  
+ ​√27​x​  5​ ​ 
_
Bereken.
_
_
_
−​√15 ​  · ​  ( −​√20 ​  ) ​
_
_
√​ ​2​  3​ ​  · ​  ( −​√​2​  5​ ​  ) ​
Bereken.
_
_
_
_
_
_
_
3​√6 ​  · 2​√15 ​ 
e
√
​ 14 ​  · 7​√21 ​ 
d
2​√33 ​  · 6​√77 ​ 
f
√​ ​5​  5​ ​  · ​√​5​  2​ ​ 
_
_
_
c
√
​ 15a ​ 
· ​√4​a​  2​ ​ 
b
−​√2x ​  · ​√18x ​ 
d
√​ b ​  · ​√5​b​  2​ ​  · ​√10​b​  2​ ​ 
_
_
_
Bereken.
  
 ​
​√3 ​ 
√
​ 243 ​
 
_ ​
​  _____
 
 
​√3 ​ 
_
​√_
6 ​ 
___
b
c
_ 8
​​  ( ​√2 ​  ) ​​  ​
_ 5
​​  ( ​√13 ​  ) ​​  ​
_ 3
​​  ( 3​√2 ​  ) ​​  ​
_
√​ 12​
a​  5​ ​ 
______
_
 ​
 
 
​√_
3​a​  3​ ​ 
c
​ 
 ​  
​√8 ​ 
e
​ 
d
−​√_6 ​ ​
 
  
​  ____
f
√​ _
10​x​  7​ ​ 
 
 ​ 
​  ______
​√125x ​ 
_
​√3 ​ 
Bereken.
a
_
_
_
√​ 3​a​  2​ ​  · ​√45a ​ 
​ 
_
c
a
_
√
​ 60 ​
____
_ 
_
3​√5 ​  − 2​√7 ​  + 2​√45 ​  − ​√343 ​ 
a
b
WP+33GLW.indb 98
_
_
a
_
98
_
Vereenvoudig.
a
37
_
c
b
35
_
√
​ 80 ​ 
a
4
_
a
d
e
f
_ 3
​​  ( ​√3 ​  ) ​​  ​
_ 3
​​  ( −2​√5 ​  ) ​​  ​
_
​​  ( ​√7 ​  ) ​​  ​
5
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
2.2 Viertermen ontbinden in factoren
1
2.2.1 Gekende technieken toepassen
Zoekwerk 1
•Verbind de gelijke vormen.
5 ( a − b ) + 3a ( a − b )
( a − b ) · ( a + b ) + 3( a − b )
( a + b ) 2 − 64
3( a − 8 ) − b( a − 8 )
2
16 − ( x − 2y )
•Ontbind in factoren.
7( x + 5 ) − b( x + 5 )
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(a − b) · (a + b + 3)
(a − 8) · (3 − b)
( a − b ) · ( 5 + 3a )
(a + b + 8) · (a + b − 8)
( 4 + x − 2y ) · ( 4 − x + 2y )
2
( a + b ) 2 − 25
3
In de tweeterm 5x ( x + 2 ) − 3 ( x + 2 ) herken je een gemeenschappelijke factor ( x + 2 ) , die je
kunt afzonderen. Je krijgt dan als product ( x + 2 ) ( 5x − 3 ) .
De tweeterm ( x − 3 ) − 16 is een merkwaardige tweeterm. Je herkent hierin de formule van het
verschil van twee kwadraten a 2 − b 2, waarbij a opnieuw een tweeterm is. Je kunt deze tweeterm
2
dan ontbinden in
4
[ ( x − 3 ) + 4 ] · [ ( x − 3 ) − 4 ]. Dit is verder uit te werken tot ( x + 1 ) ( x − 7 ).
5
2.2
WP+33GLW.indb 99
Viertermen ontbinden in factoren
99
5/08/14 08:21
Opdrachten
38
1
Ontbind in factoren.
a
a​  ( x − 3 ) ​ + 2​  ( x − 3 ) ​
d
b
x​ ​  2​​  ( 5 + x ) ​ + 7​  ( 5 + x ) ​
e
2
c
39
4
b
5
c
100
WP+33GLW.indb 100
x​  ( a − 2 ) ​ + 5​  ( a − 2 ) ​
x​ ​  2​​  ( y + 2 ) ​ − ​  ( y + 2 ) ​
f
x​  ( ​x​  2​ − 1 ) ​ − 3​  ( ​x​  2​ − 1 ) ​
Ontbind in factoren.
a
3
a​  ( 8 + x ) ​ + ​  ( 8 + x ) ​
​​  ( x + y ) ​​  ​ − 9
2
d
​​  ( 3a + b ) ​​  ​ − 25
2
​​  ( x − 3 ) ​​  ​ − 144
2
e
a​ ​  2​ − ​​  ( b − 7 ) ​​  ​
2
25​x​  2​ − ​​  ( x + 7 ) ​​  ​
2
f
​​  ( x + 8 ) ​​  ​ − 9​x​  4​
2
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
2.2.2 Viertermen ontbinden in factoren
Zoekwerk 2
1
•Schrijf onder elke vierterm de gelijke vorm.
Kies uit:
7( x − y ) − x( x − y )
x( x + y ) + 7( x + y )
(7 + x)(7 − x) + (7 + x)
( x + y ) 2 − 49
2
2
2
x + xy + 7x + 7y
7x − 7y − x + xy
=
=
3
2
2
2
x + 2xy + y − 49
49 − x + 7 + x
=
=
4
•Ontbind de viertermen nu verder in factoren.
Sommige viertermen kun je ontbinden
in factoren door termen te groeperen, zodat
je een gekende techniek voor het ontbinden
in factoren kunt toepassen.
5
De termen van een vierterm kun je op twee
verschillende manieren groeperen.
•Herken je in de vierterm een
merkwaardige drieterm van de vorm
a 2 + 2ab + b 2, dan kun je deze drie termen
groeperen en noteren als het kwadraat
van een tweeterm.
Je kunt de vierterm ontbinden als die te schrijven is als een verschil van twee kwadraten.
2.2
WP+33GLW.indb 101
Viertermen ontbinden in factoren
101
5/08/14 08:21
Voorbeeld
We ontbinden de vierterm 4​a​  2​ − 16 + 4ab + ​b​  2​in factoren.
1
Ontbinding
Denkwijze
4​a​  2​ + 4ab + ​b​  2​ − 16
= ​  ( 4​a​  2​ + 4ab + ​b​  2​  ) ​ − 16
= ​​  ( 2a + b ) ​​  ​ − 16
2
[ 
][ 
]
= ​ ​  ( 2a + b ) ​ + 4  ​​ ​  ( 2a + b ) ​ − 4  ​
2
= ​  ( 2a + b + 4 ) ​​  ( 2a + b − 4 ) ​
De termen 4​a​  2​, + 4ab en + ​b​  2​vormen een
merkwaardige drieterm van de vorm ​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​.
We noteren de drieterm als het kwadraat van een
tweeterm.
De vierterm is geschreven als een verschil van
twee kwadraten: het kwadraat van ​ ( 2a + b ) ​en het
kwadraat van 4. We kunnen nu verder ontbinden.
We schrijven beide factoren zo eenvoudig mogelijk.
•Je kunt de termen van de vierterm ook per twee groeperen. In dat geval ontbind je elke
tweeterm in factoren zodat je bij beide dezelfde factor krijgt.
Door deze gemeenschappelijke factor af te zonderen, kun je de vierterm ontbinden.
3
Voorbeeld
We ontbinden de vierterm ax + 5x + 4a + 20.
Ontbinding
ax + 5x + 4a + 20
= ​  ( ax + 5x ) ​ + ​  ( 4a + 20 ) ​
4
= x​  ( a + 5 ) ​ + 4​  ( a + 5 ) ​
= ​  ( a + 5 ) ​​  ( x + 4 ) ​
5
Denkwijze
We groeperen de termen per twee.
Door in de eerste tweeterm x af te zonderen, krijgen
we de factor ​ ( a + 5 ) ​.
In de tweede tweeterm krijgen we ook de factor
​  ( a + 5 ) ​als we 4 afzonderen.
We kunnen nu verder ontbinden door de
gemeenschappelijke factor ​ ( a + 5 ) ​af te zonderen.
Je kunt bij de vierterm ax + 5x + 4a + 20 de termen op twee andere manieren per twee
groeperen.
ax + 5x + 4a + 20
= ​  ( ax + 4a ) ​ + ​  ( 5x + 20 ) ​
Door in de eerste tweeterm a af te
zonderen, krijgen we de factor ​ ( x + 4 ) ​.
In de tweede tweeterm krijgen we ook de
factor ​  ( x + 4 ) ​als we 5 afzonderen.
= a​  ( x + 4 ) ​ + 5​  ( x + 4 ) ​
= ​  ( x + 4 ) ​​  ( a + 5 ) ​
102
WP+33GLW.indb 102
ax + 5x + 4a + 20
= ​  ( ax + 20 ) ​ + ​  ( 5x + 4a ) ​
We kunnen beide tweetermen niet verder
ontbinden en vinden bij beide tweetermen
geen zelfde factor.
Door de termen op deze manier te
groeperen, kunnen we de vierterm niet
verder ontbinden.
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
•Het kan zijn dat je eerste groepering niet tot een oplossing leidt. Dan moet je een
andere proberen.
1
•Je moet altijd zo ver mogelijk ontbinden. Dit wil zeggen dat je pas klaar bent met
ontbinden in factoren als je geen enkele factor meer verder kunt ontbinden.
Voorbeelden
•3p − bp − 6 + 2b
Ontbinding
3p − bp − 6 + 2b
Omdat we geen drieterm van de vorm
a 2 + 2ab + b 2 herkennen, groeperen we per twee.
= p( 3 − b ) − 2( 3 − b )
Door in de eerste tweeterm p af te zonderen, krijgen
we de factor ( 3 − b ) .
In de tweede tweeterm krijgen we ook de
factor ( 3 − b ) als we −2 afzonderen.
= ( 3p − bp ) + ( −6 + 2b )
= (3 − b)(p − 2)
2
Denkwijze
3
We kunnen nu verder ontbinden door de
gemeenschappelijke factor ( 3 − b ) af te zonderen.
•50 − 32b 2 + 10a − 8ab
Ontbinding
Denkwijze
50 − 32b 2 + 10a − 8ab
We zonderen 2 af.
= 2 ( 25 − 16b 2 + 5a − 4ab )
Omdat we geen drieterm van de vorm
a 2 + 2ab + b 2 herkennen, groeperen we per twee.
= 2 ( 25 − 16b 2 + 5a − 4ab )
[
]
= 2[ ( 5 + 4b ) ( 5 − 4b ) + a ( 5 − 4b ) ]
= 2 ( 25 − 16b 2 ) + ( 5a − 4ab )
[
= 2 ( 5 − 4b ) ( 5 + 4b ) + a
= 2 ( 5 − 4b ) ( 5 + 4b + a )
]
De eerste tweeterm is een verschil van twee
kwadraten en we kunnen hem ontbinden in de
factoren ( 5 + 4b ) en ( 5 − 4b ) .
In de tweede tweeterm krijgen we ook de
factor ( 5 − 4b ) als we a afzonderen.
5
We kunnen nu verder ontbinden door de
gemeenschappelijke factor ( 5 − 4b ) af te zonderen.
We schrijven de factoren zo eenvoudig mogelijk.
2.2
WP+33GLW.indb 103
4
Viertermen ontbinden in factoren
103
5/08/14 08:21
•​x​  3​ − 2​x​  2​ − x + 2
Ontbinding
1
Denkwijze
x​ ​  3​ − 2​x​  2​ − x + 2
Omdat we geen drieterm van de vorm
​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​herkennen, groeperen we per twee.
= ​x​  2​​  ( x − 2 ) ​ − 1​  ( x − 2 ) ​
Door in de eerste tweeterm ​x​  2​af te zonderen, krijgen
we de factor ​ ( x − 2 ) ​.
In de tweede tweeterm krijgen we ook de
factor ​  ( x − 2 ) ​als we −1 afzonderen.
= ​  ( ​x​  3​ − 2​x​  2​  ) ​ + ​  ( −x + 2 ) ​
= ​  ( x − 2 ) ​​  ( ​x​  2​ − 1 ) ​
2
We kunnen nu verder ontbinden door de
gemeenschappelijke factor ​ ( x − 2 ) ​af te zonderen.
= ​  ( x − 2 ) ​​  ( x + 1 ) ​​  ( x − 1 ) ​
De tweede factor kunnen we nog verder ontbinden in
factoren.
•4​a​  2​ + 2b − ​b​  2​ − 1
Ontbinding
3
Denkwijze
4​a​  2​ + 2b − ​b​  2​ − 1
Als we de termen + 2b, −​b​  2​ en −1 groeperen en
daarbij de factor −1 afzonderen, dan vormen ze een
merkwaardige drieterm van de vorm ​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​.
We noteren de drieterm als het kwadraat van een
tweeterm.
= 4​a​  2​ − ​  ( −2b + ​b​  2​ + 1 ) ​
= 4​a​  2​ − ​​  ( b − 1 ) ​​  ​
2
[ 
][ 
]
= ​ 2a + ​  ( b − 1 ) ​  ​​ 2a − ​  ( b − 1 ) ​  ​
4
De vierterm is geschreven als een verschil van twee
kwadraten: het kwadraat van 2a en het kwadraat van
​  ( b − 1 ) ​. We kunnen nu verder ontbinden.
= ​  ( 2a + b − 1 ) ​​  ( 2a − b + 1 ) ​
We schrijven beide factoren zo eenvoudig mogelijk.
Soms kun je een vierterm op twee verschillende manieren ontbinden.
We ontbinden de vierterm ​x​  6​ − 2​x​  4​ + ​x​  2​ − 2.
5
met de drieterm ​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​
per twee groeperen
x​ ​  6​ − 2​x​  4​ + ​x​  2​ − 2
x​  6​ − 2​x​  4​ + ​x​  2​ − 2
= ​​  ( ​x​  3​ − x ) ​​  ​ − 2
= ​x​  4​​  ( ​x​  2​ − 2 ) ​ + ​  ( ​x​  2​ − 2 ) ​
= ​  ( ​x​  6​ − 2​x​  4​ + ​x​  2​  ) ​ − 2
= ​  ( ​x​  6​ − 2​x​  4​  ) ​ + ​  ( ​x​  2​ − 2 ) ​
2
[ 
_
][ 
_
]
= ​ ​  ( ​x​  3​ − x ) ​ + ​√2 ​   ​​ ​  ( ​x​  3​ − x ) ​ − ​√2 ​   ​ = ​  ( ​x​  2​ − 2 ) ​​  ( ​x​  4​ + 1 ) ​
_
​x​  3​ − x + ​√2 ​   ​​ 
= ​  ( 
104
WP+33GLW.indb 104
_
​x​  3​ − x − ​√2 ​   ​= ​ 
) ( 
) 
_
_
( x + ​√2 ​  ) ​​ ( x − ​√2 ​  ) ​​ ( ​x​  4​ + 1 ) ​
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
Opdrachten
40
Ontbind de viertermen door de termen per twee te groeperen.
a
b
c
41
3​a​  2​ + 9ab + 2a + 6b
d
a​ ​  2​ + 7b + ab + 7a
e
ab − a + b − 1
x​ ​  2​ + xy + x + y
f
2
a​ ​  3​ − ab + ​a​  2​​b​  2​ − ​b​  3​
3
Ontbind de viertermen met behulp van de vorm ​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​.
a
b
4a + 1 − 4​b​  2​ + 4​a​  2​
c
y​ ​  2​ − 9​x​  2​ + 2y + 1
4​a​  2​ − 20a − 49​b​  2​ + 25
d
4
5
9​y​  2​ − 6yz + ​z​  2​ − 16
2.2 Viertermen ontbinden in factoren
WP+33GLW.indb 105
1
25​a​  2​ − 30ab − 10a + 12b
105
5/08/14 08:21
e
1
42
4 − ​a​  2​ − 2ax − ​x​  2​
f
a​ ​  2​ − 4 − 12​x​  3​ − 9​x​  6​
Je moet de viertermen ontbinden in factoren. Hoe kun je ze groeperen?
2
met behulp van de vorm ​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​
per twee
3
43
a
a​ ​  3​ − 15 + 5​a​  2​ − 3a
b
x​ ​  2​ + 4xy + 4​y​  2​ − 36
c
25​a​  2​ + 5a − 2b − 4​b​  2​
d
a​ ​  2​ − 9 + 6ab + 9​b​  2​
e
a​ ​  2​ + 1 − ​b​  2​ − 2a
f
16​x​  2​ − 9​y​  2​ − 8x + 1
Ontbind de viertermen.
a
4
5
b
106
WP+33GLW.indb 106
x​ ​  2​ + 2xy + ​y​  2​ − 4
c
24​y​  3​ − 6y + 4​y​  2​ − 1
−5 + ​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​
d
x​ ​  2​y + 2y − ​x​  3​ − 2x
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
e
9a 2 + 6ab + b 2 − 36
g
9x 2 − 16y 2 + 3x − 4y
1
f
a 2 − 6a − b 2 + 6b
h
ax + 2bx + 3ay + 6by
2
3
Vergeet niet om altijd eerst af te zonderen, indien mogelijk.
Voorbeeld:
3x 2 + 6x + 3 − 27y 2
= 3 ( x 2 + 2x + 1 − 9y 2 )
[
]
= 3[ ( x + 1 ) − 9y ]
= 3[ ( x + 1 ) + 3y ] [ ( x + 1 ) − 3y ]
= 3 ( x 2 + 2x + 1 ) − 9y 2
2
4
2
= 3 ( x + 1 + 3y ) ( x + 1 − 3y )
5
SaMENVaTTING
Om een vierterm te ontbinden, kun je op twee verschillende manieren groeperen.
•Herken je in de vierterm een merkwaardige drieterm van de vorm a 2 + 2ab + b 2, dan
kun je deze drie termen groeperen en noteren als het kwadraat van een tweeterm.
Je kunt de vierterm ontbinden als die te schrijven is als een verschil van twee
kwadraten.
•Je kunt de termen van de vierterm ook per twee groeperen. In dat geval ontbind je elke
tweeterm in factoren zodat je bij beide dezelfde factor krijgt.
Door deze gemeenschappelijke factor af te zonderen, kun je de vierterm ontbinden.
2.2
WP+33GLW.indb 107
Viertermen ontbinden in factoren
107
5/08/14 08:21
Herhaling: inoefenopdrachten
44
1
Zonder de gemeenschappelijke factor af.
a
b
205
c
45
2
b
206
207
3
c
208
47
209
48
4
​​  ( x + 3 ) ​​  ​ − ​y​  2​
d
​​  ( 2x + 4 ) ​​  ​ − ​y​  2​
f
2
​​  ( −x + 1 ) ​​  ​ − 49​x​  4​
2
WP+33GLW.indb 108
​​  ( x − 1 ) ​​  ​ − ​y​  2​
2
​​  ( −2x + 3 ) ​​  ​ − 16​y​  2​
2
e
2
​​  ( 2x + 5 ) ​​  ​ − 25​x​  6​
2
c
a​ ​  2​x − 5​a​  2​ + x − 5
b
mx − 3m − 5x + 15
d
x​ ​  3​ + ​x​  2​ + 5x + 5
Ontbind de viertermen met behulp van de vorm ​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​.
a
a​ ​  2​ + 2ab + ​b​  2​ − 121
c
x​ ​  2​ + 6x + 9 − 25​y​  2​
b
x​ ​  4​ − 8​x​  2​ + 16 − 9​y​  4​
d
x​y​  2​ + x − 1 − ​y​  2​
Dit zijn de resultaten van Giulia bij ontbinden in factoren.
Ontbind verder als je kunt.
​  ( ​a​  2​ + 1 ) ​​  ( x − 5 ) ​
d
​  ( 2x + 2 + 6y ) ​​  ( 2x + 2 − 6y ) ​
f
​  ( x − 1 ) ​​  ( ​x​  2​ − 1 ) ​
e
​  ( ​x​  2​ − 3 ) ​​  ( y − 7 ) ​
x​  ( 2​x​  2​ + 4 ) ​
​  ( 3x + 5 + 7y ) ​​  ( 3x + 5 − 7y ) ​
Je moet de viertermen ontbinden in factoren. Hoe kun je ze groeperen?
per twee
108
x​ ​  2​​  ( x + 4 ) ​ + 3​  ( x + 4 ) ​
x​y​  2​ + 3y − ​x​  2​y − 3x
b
49
f
5x​  ( 8x + 3 ) ​ + 8​  ( 8x + 3 ) ​
e
a
c
5
8x​  ( 2x + 3 ) ​ − 5​  ( 2x + 3 ) ​
4x​  ( x + y ) ​ + 5​  ( x + y ) ​
9x​  ( 4x + 7 ) ​ − 7​  ( 4x + 7 ) ​
Ontbind in factoren door de termen per twee te groeperen.
a
210
d
Ontbind in factoren.
a
46
a​  ( x + 1 ) ​ + 9​  ( x + 1 ) ​
a
4​x​  2​ − 4x + 1 − 9​y​  2​
b
x​y​  2​ − y − ​x​  2​y + x
c
x​y​  2​ + x − 1 − ​y​  2​
d
x​ ​  3​ − ​x​  2​ − x + 1
e
9​x​  2​ + 30x + 25 − ​y​  2​
f
y​ ​  2​ − 25​x​  2​ − 10x − 1
met behulp van de vorm ​a​  2​ + 2ab + ​b​  2​
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
Herhaling: voor wie iets meer wil
50
Vul het vierkant aan zodat je horizontaal, verticaal en diagonaal dezelfde som krijgt.
_
_
√
​ 75 ​ 
​√147 ​ 
b
52
b
_
_
c
_
_
_
2​√6 ​  · 3​√45 ​  · 3​√5 ​ 
_
_
2​√12 ​  · ​  ( −​√27 ​  ) ​
d
_
_
_
8_  ​ 
2​√3 ​  + ​√18 ​  + 2​√27 ​  − ​  ___
​√2 ​ 
c
24​
a​  ​ 
_
 ​ 
​  _____
√​ 8​a​  4​ ​ 
) 
d
​​  ( 
) 
_
d
_
b
2​√18 ​  + 3​√98 ​ 
c
√
_
5​x ​ ​
​  3​   
​ ​  ____
3
√
√8
( 
2​
b
_
1_  ​ 
​√3 ​  − ​  ___
​√3 ​ 
c
_
2​√3 ​  · ​ 
) 
_
2​√_
15 ​ 
_____
​ 
f
√ √
d
√​ ​x​  3_​​y​  17 ​​ ​ 
​  ______
 
 
​√​y​  8​ ​ 
e
_
_
_
​√108 ​  − ​√12 ​  + ​√27 ​  ​
( 
√5
_
√2
 
 ​ 
​√12 ​ 
_
a​ ​  3 ​ ​ ​    ​
​ ​  ___
·
3
5
_
3​ ​  7 ​ ​​   
​  ___
​a​  8​
_
3 ​ ​    ​  −4​√_
​  __
10 ​  ​
·
a
_
) 
f
_
​ 63​y​  3​ ​ 
______
 
 
​  _ ​
​ 7y ​ 
√
√
_
_
​  ( 2 − 3​√b ​  ) ​ · ​  ( 2 − ​√a ​  ) ​
Herhaling: voor wie iets meer wil
WP+33GLW.indb 109
4
2 ​ ​    + 3​√40 ​  − 5​ ​  __
5 ​ ​   
​ ​  __
e
Werk uit.
_
_
1 ​ ​    + ​√_
​ ​  __
20 ​  − ​√125 ​ 
5
_
_ 3
−2​√5 ​   ​​  ​
3
3
_
_ 2
2a​√3a ​  ​​  ​
​​  ( 
2_
​  _____
   ​ 
3​√50 ​ 
Werk uit.
a
54
−​√3 ​  · 2​√27 ​ 
Werk uit.
a
53
Werk uit.
a
2
_
​√12 ​ 
51
1
_
√
​ 192 ​ 
109
5/08/14 08:21
55
Bereken de oppervlakte.
—
√3
1
—
2√ 8 − 2
—
√2
—
—
√ 6 + 2√ 3
56
2
57
Werk uit.
_
( 
_
_
_
) 
a
√
​ a ​ ​   10​√​a​  5​ ​  − 7​√​a​  3​ ​  + ​√a ​   ​
b
3​  ( ​√2 ​  − 5​√2 ​  ) ​ − ​  ( 2​√2 ​  + 3​√2 ​  ) ​
_
_
_
c
_
(  ) 
_
3
3
​√ab ​ 
b
58
​​  ( ​x​ 
_ 2
​ + ​√5 ​   ​​  ​
2
) 
_ 2
_
_
_
_
d
​  ( ​√5 ​  − 7 ) ​​  ( ​√5 ​  + 7 ) ​ − ​  ( ​√7 ​  − 5 ) ​​  ( ​√7 ​  + 5 ) ​
c
a  ​  −​√_
a  ​  +​√_
​  ​  __
3 ​   ​​  ​  __
3 ​   ​
3
3
d
​√75 ​  _
−​√125 ​ 
​  __________
 
 
Werk uit.
√​ ​a_
​  5​b ​  ​ 
a ​​  3​  _____
 
 ​​  ​
_
​​  ( 2​√10 ​  − 5​√2 ​  ) ​​  ​
( 
_
) ( 
_
) 
​√125 ​
 
In een vierkant zijn er twee kleinere vierkanten getekend.
Hoe groot is het overblijvende deel? Schrijf je uitkomst ook
decimaal.
6 m2
15 m2
4
5
_
_
= 5 + 3​√2 ​ .
Toon aan: √
​ 43 + 30​√2 ​ ​  
60
Ontbind in factoren.
a
9​a​  3​ + 6​a​  2​ − 12a − 8
f
b
x​ ​  2​ + 4xy + 4​y​  2​ − 4
g
c
x​ ​  2​ − 6x − ​y​  2​ + 6y
h
d
e
110
WP+33GLW.indb 110
_
59
a​  ( x + 2y ) ​ − 2​  ( x + 2y ) ​
x​ ​  4​ − ​​  ( x + y ) ​​  ​
2
i
j
9 + 6y + ​y​  2​ − ​z​  2​
64 − ​​  ( y + z ) ​​  ​
2
16​  ( x + 1 ) ​ − ​a​  2​​  ( x + 1 ) ​
x​ ​  2​ − ​​  ( 13 + a ) ​​  ​
2
a​ ​  2​ − 5b − ​b​  2​ − 5a
Rekenen met reële getallen
5/08/14 08:21
61
62
Schrijf de oppervlakte van het gekleurde deel als een
product van twee factoren.
De afmetingen van de grote rechthoek zijn a en 2a
b ​  .
en van de kleine rechthoeken b en ​  __
2
1
Ontbind in factoren.
a
4xy + 8y − 6x − 12
d
a​ ​  3​b + a​b​  3​ + 2​a​  2​​b​  2​ − 16ab
b
5​x​  2​ + 50x + 125 − 45​y​  2​
e
2xy + 14x + 6y + 42
c
3​x​  2​ − 6x − 3​y​  2​ + 6y
f
−12​x​  2​ − 36x − 27 + 3​y​  2​
2
3
4
5
Herhaling: voor wie iets meer wil
WP+33GLW.indb 111
111
5/08/14 08:21
Junior Wiskunde Olympiade
1
Welk van de volgende getallen is het grootst?
_
A
2
2
B
9
1
B
D
E
√8
___
3
D
4
E
5
C 4
D
8
E
40
D
√ 90
E
√ 108
6
8
7
_
_
3
2
C
___
Als √ab = 5 en √abc = 10 dan is c gelijk aan
3
__
√2
_
√2
B
_
_
De som √12 + √27 is gelijk aan
_
A √39
5
_
√7
___
C
5
_
√5
___
_
A
4
√6
___
Voor welk positief geheel getal a is ( a −√2 ) ( a +√2 ) = 2?
A
3
_
_
√9
___
_
√72
B
C
_
√75
_
_
Welke uitspraak is waar?
A
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
√1 + √1 + √1 = √1 · √1 · √1
C √3 + √3 + √3 = √3 · √3 · √3
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
B
√2 + √2 + √2 = √2 · √2 · √2
D
√4 + √4 + √4 = √4 · √4 · √4
E √5 + √5 + √5 = √5 · √5 · √5
6
_
A
112
WP+33GLW.indb 112
_
_
_
_
_
_
_
Geen van de uitdrukkingen √18 + √8 , √18 − √8 , √18 · √8 , √18 : √8 is gelijk aan
_
√2
B
3
__
2
C
_
√ 26
D
_
√50
E
12
Rekenen met Reële getallen
5/08/14 08:21