Complexe getallen

Complexe getallen
1. Inleiding:
In de wiskunde stelt zich het probleem dat − 1 niet bestaat voor de reële getallen of dat de
vergelijking x 2 + 1 = 0 geen reële nulpunten heeft. Om dit euvel op te lossen werd het getal i
2
ingevoerd met de eigenschap dat i =-1.
−1 = i
Dit getal wordt bijgevoegd bij de gewone reële getallen met de eis dat deze nieuwe verzameling nog steeds een veld moet blijven; concreet komt dit erop neer dat de verzameling der
complexe getallen wordt gedefinieerd {( a + ib ) a , b zijn reëel } voor zien van de optelling en
vermenigvuldiging en de bijhorende distributiviteiten.
♦
Een complex getal a+ib bestaat uit een reëel gedeelte a en een imaginair gedeelte b.
a=Re(a+ib) en b=Im(a+ib).
♦ Twee complexe getallen zijn gelijk als zowel hun reëel als imaginair gedeelte gelijk zijn:
a + ib = c + id ⇔ a = c en b = d
♦ De optelling gebeurt net als bij koppels; de reële gedeelten worden bij elkaar opgeteld,
alsook de imaginaire:
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
♦ Om complexe getallen te vermenigvuldigen maak je gebruik van de distributiviteit en be2
schouw je i als een gewone veranderlijke met de bijkomende eigenschap dat i =-1:
c(a+ib)=ca+i(cb)
2
id(a+ib)=i(ad)+i (bd)=(-bd)+i(ad)
2
(a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
1
a + ib
=
a + ib a + ib 2
Dit is opnieuw een complex getal x+iy zodat (a+ib)*(x+iy)=1+i0. Deze gelijkheid impliceert

a

ax − by = 1
 x = 2
a + b2
− bx bijgevolg 
het volgende stelsel: 
bx + ay = 0 ⇒ y =
−b

y =
a
2


a + b2
-1
♦ Stelling : Het inverse complexe getal: (a+ib) =
(a + ib) -1 =
a − ib
.
a 2 + b2
De teller a-ib wordt de complex toegevoegde genoemd, notatie: a + ib = a − ib
De term
a 2 + b 2 wordt de modulus van een complex getal genoemd:
Cursus Wiskunde 2004
a 2 + b 2 = a + ib
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Complexe getallen
2
♦ Een deling uitvoeren met complexe getallen (of een breuk) is dus net zoals bij de reële
getallen een vermenigvuldiging van de teller met de inverse van de noemer:
c + id
(c + id ) * (a − ib )
= ( c + id ) * ( a + ib ) −1 =
a + ib
a2 + b2
♦ Vierkantswortels van negatieve getallen zijn vanaf nu wel bepaald:
− b 2 = − 1 b 2 = ib
♦ Merkwaardige producten: ook voor complexe getallen geldt o.a.: (a+b)2 =a2 +b2 +2ab
♦ i2 =-1, i3 = i2 .i=-i, i4 = i2 . i2 =(-1).(-1)=1, i5 =i. i4 =i, …
2
 2
2 
Ga zelf maar eens na dat: 
+i
=i
2 
 2
Opdrachten: Bereken de volgende uitdrukkingen.
2 + 3i
3+i
(1-i)2
2 − 3i
3−i
3
1
(1 − i) 2
−9
− 16
9
− 16
3
 3 1
Bewijs dat: 
+ i  = i
2
2

1

 + i 3  = −1
2
2 

2. Kwadratische vergelijkingen:
De vergelijking x2 -16=0 heeft twee oplossingen, namelijk x1 =-4 en x2 =4. Door de laatste observatie kan nu echter ook aanvaard worden dat z2 +16=0 ook twee oplossingen heeft namelijk
z1 =-4i en z2 =4i.
Sterker nog: de vergelijking az2 +bz+c=0 heeft vanaf nu altijd twee oplossingen:
z 1,2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
Afhankelijk van het teken van de discriminant D = b 2 − 4ac zullen er twee verschillende
reële (D>0), twee samenvallend reële (D=0) of twee verschillende complex toegevoegde
(D<0) nulpunten zijn.
Bovendien kan de tweedegraads veelterm ontbonden worden als az2 +bz+c=a(z-z1 )(z-z2 ).
Voorbeeld 1: nulpunten van z2 -z+1
De twee nulpunten zijn: z 1,2 = 1 ± 1 − 4 = 1 ± i 3
2
2
.
2

 

We kunnen nagaan dat  1 + i 3  −  1 + i 3  + 1 = 1 − 3 + 2i 3 − 1 + i 3 + 2 = 0
 2   2 
4
2
2

 




Bijgevolg kan de veelterm ontbonden worden als: z 2 - z + 1 =  z - 1 − i 3  z - 1 + i 3 

2 
2 

Opdracht: Bepaal de nulpunten van volgende kwadratische veeltermen en ontbind ze.
z2 -6z+13=0
Cursus Wiskunde 2004
z2 -3z+4
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
3z2 +5z+3
W.Mommaerts
Complexe getallen
3
3. Hoofdstelling van de Algebra
Reeds in de 17e eeuw (Girard: 1595-1632) was men van mening dat een willekeurige veelterm
van de ne graad n nulpunten heeft. Pas in het jaar 1799 bewees onze vriend Gauss de stelling:
Een willekeurige veelterm van de ne graad: x n + a1 x n–1 + ... + an–2 x2 + an–1 x + an kan altijd
ontbonden worden in n lineaire factoren (x-x 1 )(x-x 2 )…(x-x n ) waarbij x 1 ,…,x n n complexe nulpunten zijn van de veelterm
Opmerkingen:
• De coëfficiënt van de eerste term kan altijd gelijk aan 1 gemaakt worden door de hele
veelterm te delen door de leidende coëfficiënt.
• De nulpunten van een veelterm hoeven echter niet noodzakelijk verschillend te zijn.
Wanneer een nulpunt k maal voorkomt in de ontbinding spreken we van een multipliciteit k.
• Men kan ook de volgende gelijkheden bewijzen:
De som van alle nulpunten x1 +…+xn =(-a1 ),
De som van alle productenparen x1 .x2 +x1 .x3 +…+xn-1 .xn =a2 .
De som van alle productentrio’s x1 .x2 .x3 +…+xn-2 . xn-1 .xn =(-a3 ).
Enz.
Het product van alle nulpunten x1 .x2 …..xn =(-1)n an .
Stelling:
Als de coëfficiënten a1 ,a2 ,…,an van een veelterm f(x)=x n + a1 x n–1 + ... + an–2 x2 + an–1 x + an
allemaal reëel zijn, en als z een nulpunt is van de veelterm: f(z)=0,
Dan is ook de complex toegevoegde z een nulpunt: f ( z ) = 0
Deze laatste stelling heeft tot gevolg dat een veelterm met reële coëfficieënten ofwel reële
nulpunten heeft ofwel paren complexe nulpunten die elkaars toegevoegde zijn. Dit betekent
door dat veeltermen van oneven graad steeds minstens één reëel nulpunten moeten hebben.
Toepassing:
We zijn op zoek naar een vierdegraadsveelterm waarvan –2,1,3 en 4 de nulpunten zijn.
We weten natuurlijk dat deze veelterm van de vorm x4 +ax3 +bx2 +cx+d is en kan ontbonden
worden als het product (x+2)(x-1)(x-3)(x-4). Uitwerking van dit product zou ons de onbekende parameters a, b, c en d kunnen opleveren, maar rekenfouten zijn hier zeker niet uit te
sluiten. Probeer maar eens. Veel eenvoudiger zijn de volgende bewerkingen:
a=-(-2+1+3+4)=-6,
b=(-2)*1+(-2)*3+(-2)*4+1*3+1*4+3*4=3
c=-[(-2)*1*3+(-2)*1*4+(-2)*3*4+1*3*4]=26
d=(-2)*1*3*4=-24
Omgekeerd zou je nu kunnen controleren via de rekentechniek van Horner dat de veelterm
x4 -6x3 +3x2 +26x-24 inderdaad de getallen –2,1,3 en 4 als nulpunt heeft.
Cursus Wiskunde 2004
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Complexe getallen
4
4. Meetkundige interpretatie van een complex getal
Een vergelijking tussen de complexe getallen en puntencoördinaten in een vlak dringt
zich op: het complex getal a+ib komt overeen met het punt (a,b) in het tweedimensionele vlak.
Voor een punt hebben we voordien ook al
eens de zogenaamde poolcoördinaten gedefinieerd. Deze krijgen nu ook een betekenis
voor het complexe getal:
b
r
α
a
r = a 2 + b 2 = a + ib wordt de modulus genoemd
 b
als a > 0 wordt α = Bgtg   het argument genoemd
 a
b
als a < 0 wordt α = 180° + Bgtg   het argument genoemd
a 
Omgekeerd kan je ook het complexe getal a+ib zoeken dat overeenkomt met een zekere modulus r en een argument α: de goniometrische voorstelling van een complex getal
a+ib=r(cos(α)+isin(α)).
Voorbeeld 2: goniometrische voorstelling van z = 3 + j
r=
( 3 )2 + 12 = 2
 1  π
α = Bgtg 
 = ( 30°)
 3 6
Je kan zelf nagaan dat z = 3 + j = 2(cos( 30°) + j sin( 30° ) )
Opdracht:
Bereken nu zelf de goniometrische voorstelling van de getallen:
3+4i, -4+3i, 4-3i, 5+4i, 4-5i.
Deze goniometrische voorstelling is een uitstekend hulpmiddel om snel twee complexe getallen met elkaar te vermenigvuldigen of te delen:
Zij z 1 = r1 (cos( α1 ) + i sin( α1) ) en z 2 = r2 (cos( α 2 ) + i sin( α 2 ) )
z 1z 2 = r1r2 (cos( α1 ) + i sin( α1 ) )(cos(α 2 ) + i sin( α 2 ) )
= r1r2 (cos( α1 ) cos( α 2 ) − sin( α1) sin( α 2 ) + i (cos( α1) sin( α 2 ) + sin( α 1) cos(α 2 ) ))
= r1r2 (cos( α1 + α 2 ) + i sin( α1 + α 2 ) )
Conclusie: bij een vermenigvuldiging worden de moduli vermenigvuldigd en de argumenten
worden opgeteld. Naar analogie met de vermenigvuldiging bij een exponentiële functie geeft
deze eigenschap aanleiding tot de notatie:
a + ib = r(cos(α ) + i sin ( α )) = r * eiα .
Cursus Wiskunde 2004
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Complexe getallen
5
Op een gelijkaardige manier kan je bewijzen dat voor een deling geldt:
z1 r1 i( α1 − α 2 )
= e
z 2 r2
r
= 1 (cos( α1 − α 2 ) + i sin( α1 − α 2 ) )
r2
Voorbeeld 3: Deling via goniometrische voorstelling.
3+i
3−i
i
=
2*e
π
6
 π
i − 
2*e  6
=e
i
π
3
π
π
= cos  + i sin  
3
3
En ook bij de machtsverheffing is deze voorstelling heel voordelig:
(
(a + ib ) n = r * e iα
)n = r n * e inα = r n (cos(nα) + i sin( nα) )
Voorbeeld 4: machtsverheffing via goniometrische voorstelling.
(
3+i
)6 = 2 6  cos  66π  + i sin  66π   = −64


Opdracht: Bereken zelf de volgende uitdrukkingen.
1+ i
3−i
2 + i3
3 − i4
(− 1 + i)4 (1 + i
(3 + i4) −2
3
)6
3 + i4
2−i 3
(1 − i3)− 3 (1 + i)4
5. n-de machtswortels van complexe getallen.
Vaak stelt zich het volgende probleem: gegeven z=r(cos(α)+isin(α)); zoek het complexe getal
w zodat wn =z. Dus zoek een n-de machtswortel van z.
Door de goniometrische voorstelling van een complex getal komt dit erop neer dat
w=r1 (cos(α 1 )+isin(α 1 )) voldoet aan wn =r1 n (cos(nα 1 )+isin(nα 1 ))= r(cos(α)+isin(α))
r1 = n r
α 
 α 
n 
α of r  cos n  + i sin  n   is een n-de machtswortel van z.
 
α1 =
  
n
Maar de observatie dat cos(α)+isin(α)=cos(α+2π)+isin(α+2π)=cos(α+4π)+isin(α+4π)=…
leert ons dat er nog andere oplossingen te vinden zijn; er zijn er n in totaal:
 α
 α 
w1 = n r  cos  + i sin   
 n 
 n
Dit komt erop neer dat
  α + 2π 
 α + 2π  
w 2 = n r  cos
 + i sin 
 
 n 
  n 
M
  α + ( n − 1)2π 
 α + ( n − 1) 2π  
w n = n r  cos
 + i sin 
 
n
n



 
Cursus Wiskunde 2004
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Complexe getallen
6
Voorbeeld 5: zoek de 4de machtswortels van cos(40°)+isin(40°)
w1 = (cos (10° ) + i sin (10° )) = 0,984808 + i0,173648
w 2 = (cos (10° + 90° ) + i sin (100°)) = -0,17365 + i0,984808
w 3 = (cos (10° + 180°) + i sin (190° )) = -0,98481 - i0,17365
w 4 = (cos (10° + 270°) + i sin (280° )) = 0,173648 - i0,98481
Bijkomende regel: Als je nog even naar de algemene oplossing kijkt dan zie je dat de k-de
α + ( k −1) 2π 
α
( k − 1) 2 π
i
i  i
n
n
n
n
n
oplossing kan geschreven worden als: w k = r * e
=  r *e *e




Men vindt alle n-de machtswortels uit een complex getal door één willekeurige wortel te vermenigvuldigen met alle n-de machtswortels uit het getal 1.
Voorbeeld 6: Zoek alle 3de machtswortels uit –8i.
1
 2π 
 2π 
Bemerk dat (2i) 3 =-8i en de 3de machtswortels uit 1 zijn: cos  + i sin   =
 3 
 3 
 4π 
 4π 
cos   + i sin   =
 3 
 3 
w1 = 2i
1
w 2 = 2i * − 1 + i 3 = − 3 − i
2
1
w 3 = 2i * − 1 − i 3 = 3 − i
2
(
)
(
)
(
)
(
)
1
−1 + i 3
2
1
− 1− i 3
2
Oefeningen: Los de volgende vergelijkingen op:
z 4 +1 = 0
z 5 = 1− i 3
z 4 = i −1
Meetkundige interpretatie van n-de machtswortels.
Als je de oplossingen uit de vorige voorbeelden zou
uittekenen op een x-y diagram met de afspraak dat de
x-coördinaten overeenkomen met het reële gedeelte en
de y-coördinaten met het imaginaire gedeelte van een
complex getal, dan zijn deze n-de machtswortels allemaal hoekpunten van een regelmatige n-hoek. Hiernaast zie je de regelmatige driehoek uit voorbeeld 6.
2i
− 3 −i
Cursus Wiskunde 2004
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
3 −i
W.Mommaerts
Complexe getallen
7
Zoek de nulpunten van de kwadratische veelterm 7z2 +3z+2.
Vermits het hier gaat om een veelterm van de tweede graad kan hier gebruik gemaakt worden
van de discriminant (ook al is die negatief)
− b ± b 2 − 4ac − 3 ± 9 − 56 − 3 ± i 47
=
=
2a
14
14
Dit betekent dat de veelterm kan ontbonden worden als:

− 3 − i 47 
− 3 + i 47 
2
 z −

7 z + 3z + 2 = 7 z −


14
14



z 1, 2 =
Zoek alle oplossingen van de vergelijking: z 5 = 1 − i 3 .
Eerst berekenen we de modulus en het argument van 1− i 3 :
( 3 )2 = 2 , het argument Bgtg(-
π
)
3
De modulus van elke oplossing is 5 2 . De eerste oplossing heeft als argument: -60°/5=-12°,
de andere verschillen telkens met een hoek van 360°/5=72°.
De modulus is 12 +
Goniometrische voorstelling
w1
5
w2
5
w3
5
w4
5
w5
5
2 [cos( −12° ) + i sin( −12° )]
3 )=-60°(eigenlijk
Cartesische voorstelling
1,123597+i(-0,23883)
2 [cos( −12° + 72°) + i sin( 60°) ]
2 [cos( −12° + 144°) + i sin( 132° )]
2 [cos( −12° + 216°) + i sin( 204°) ]
2 [cos( −12° + 288°) + i sin( 276°) ]
0,574349+i(0,994802)
-0,76863+i(0,853649)
-1,04939+i(-0,46722)
0,120072+i(-1,14241)
Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek waarvan één hoek
samenvalt met het punt (2,5)
We kunnen dit probleem voorstellen in het complexe vlak. Het gegeven hoekpunt wordt dan
2+i5 en is een vijfde machtswortel van een ander complex getal dat ons eigenlijk niet interesseert. De vier andere hoekpunten zijn ook vijfde machtswortels van datzelfde getal.
Uit de cursus weten we dat die wortels bekomen worden door één oplossing te vermenigvuldigen met alle vijfde machtswortels uit het getal 1.
Goniometrische voorstelling
Cartesische voorstelling
w1
2+i(5)
29 [cos( 68,19859°) + i sin( 68,19859°) ]
w2
-4,13725+i(3,447198)
29 [cos( 68.2° + 72°) + i sin( 68.2° + 72°) ]
w3
w4
w5
29 [cos( 68.2° + 144°) + i sin( 68.2° + 144°)]
29 [cos( 68.2° + 216°) + i sin( 68.2° + 216° )]
29 [cos( 68.2° + 288°) + i sin( 68.2° + 288° )]
Cursus Wiskunde 2004
-4,55696+i(-2,86951)
1,320892+i(-5,22066)
5,373317+i(-0,35703)
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts