Lineaire afbeeldingen 1 Rotatie in dimensie 2

Lineaire afbeeldingen
1
Rotatie in dimensie 2
Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R2 . Kies een punt P in dit vlak
met coördinaten (x, y). Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0) als
rotatiepunt, tegen de richting van de klok in, over een hoek α. De coördinaatassen
blijven vast. Na deze draaiing is het punt P overgegaan in een ander punt P 0 .
Wat zijn de coördinaten van P 0 ? Om dit te zien kunnen we P het beste in
poolcoördinaten schrijven,
P = (r cos φ, r sin φ).
Rotatie over een hoek α betekent dat we het argument van P met α laten toenemen en dat r hetzelfde blijft. Met andere woorden,
P 0 = (r cos(φ + α), r sin(φ + α)).
Gebruiken we de optelformules van sinus en cosinus, dan volgt,
r cos(φ + α) = cos α(r cos φ) − sin α(r sin φ)
= x cos α − y sin α
Evenzo volgt dat
r sin(φ + α) = x sin α + y cos α.
Conclusie, als (x0 , y 0 ) de coördinaten van P 0 zijn, dan geldt
(x0 , y 0 ) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α).
Als we nu in plaats van rijvectoren kolomvectoren schrijven krijgen we
0 x
x cos α − y sin α
=
.
y0
x sin α + y cos α
(1)
We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als
0 x
cos α − sin α
x
=
.
0
y
sin α cos α
y
We zeggen dat
cos α − sin α
sin α cos α
(2)
de matrix is behorende bij de rotatie in positieve richting over de hoek α. En de
vermenigvuldiging van een matrix en een vector doen we als volgt:
a b
x
(a, b) · (x, y)
=
.
(3)
c d
y
(c, d) · (x, y)
1
Merk op dat de eerste coëfficieënt van de vector aan de rechterkant van het =teken in (3) gelijk is aan het inproduct van de eerste rij van de matrix (2) met de
vector (x, y) en dat de tweede coëffiënt gelijk is aan het inproduct van de tweede
rij van (2) met diezelfde vector (x, y).
2
Projectie in dimensie 2
Als tweede voorbeeld behandelen we loodrechte projectie. Gegeven is de lijn l
die een hoek van α maakt met de x-as. We kunnen een punt P met coördinaten
(x, y) loodrecht projecteren op l. Stel dat de projectie P 0 coördinaten (x0 , y 0 )
heeft. Wat is het verband tussen (x0 , y 0 ) en (x, y)? Zij v een richtingsvector van
l met lengte 1. Hiervoor kunnen we v = (cos α, sin α) nemen. Het punt P 0 wordt
gegeven door de vector P0 = (v · P)v. In coördinaten uitgeschreven,
(x0 , y 0 ) = (x cos α + y sin α)(cos α, sin α).
Deze relatie kunnen we ook weer als een vermenigvuldiging uitschrijven,
0 x
cos2 α
cos α sin α
x
=
.
y0
cos α sin α
sin2 α
y
De matrix
cos2 α
cos α sin α
cos α sin α
sin2 α
1
=
2
1 + cos 2α
sin 2α
sin 2α
1 − cos 2α
is de matrix behorend bij onze projectie.
3
Projectie en spiegeling in R3
Gegeven is het vlak V in R3 dat door de oorsprong gaat en waarvan een normaalvector gegeven is door a. We nemen aan dat |a| = 1. We beschouwen
de projectie-afbeelding P die elke vector x ∈ R3 afbeeldt naar zijn loodrechte
projectie op V . Er geldt
P x = x − (a · x)a.
Stel dat de coördinaten van a gegeven worden door (a1 , a2 , a3 ) en x = (x1 , x2 , x3 ).
Dan geldt
 
  
 
x1
a1
1 − a21 −a1 a2 −a1 a3
x1
2







P x = x2 −(a1 x1 +a2 x2 +a3 x3 ) a2 = −a2 a1 1 − a2 −a2 a3
x2  .
x3
a3
−a3 a1 −a3 a2 1 − a23
x3
Een nauw verwante afbeelding is de loodrechte spiegeling S in het vlak V . Ga
na dat deze wordt gegeven door
Sx = x − 2(a · x)a.
2
Ga ook na dat de corresponderende matrix gelijk is aan

1 − 2a21
 −2a2 a1
−2a3 a1
4
−2a1 a2
1 − 2a22
−2a3 a2

−2a1 a3
−2a2 a3  .
1 − 2a23
Draaiingen in R3
Een bijzondere klasse van lineaire afbeeldingen, met name van belang voor computer graphics, maar ook voor heel veel fysica, wordt gevormd door de rotaties in
de ruimte. We nemen aan dat onze rotaties om een as door de oorsprong plaatsvinden. Deze draaingsas zullen we aangeven met de vector a, en de draaiingshoek
met α. De richting waarin gedraaid wordt hangt via de kurketrekkerregel samen
met de richting van a.
Stelling 4.1 Zij a en α als boven. Neem bovendien aan dat |a| = 1. Dan wordt
de rotatie rond de as a met hoek α gegeven door
x 7→ (cos α)x + (1 − cos α)(a · x)a − (sin α)(a × x).
Om dit zien kiezen we x ∈ R3 en bepalen het beeld onder draaing. Zij x1 de
orthogonale projectie van x op a⊥ en x2 = a × x (maak hiervan zelf een schets).
Zij tenslotte x3 de orthogonale projectie van x op de lijn opgespannen door a.
Merk op dat x3 = (a · x)a en x1 = x − (a · x)a. Verder geldt x2 = a × x = a × x1 .
Omdat a loodrecht op x1 staat, geldt dat |x2 | = |x1 |. Zij nu x0 het beeld van x
na de rotatie. Zij x01 , x03 de orthogonale projecties van x0 op a⊥ respectievelijk de
lijn door a. Zij x02 = a × x0 . Omdat de rotatie om de as a plaatsvindt over een
hoek α hebben we
x01 = (cos α)x1 − (sin α)x2 ,
x02 = (sin α)x1 + (cos α)x2 ,
x03 = x3 .
Dus
x0 =
=
=
=
x01 + x03
(cos α)x1 − (sin α)x2 + x3
(cos α)(x − (a · x)a) − (sin α)(a × x) + (a · x)a
(cos α)x + (1 − cos α)(a · x)a − (sin α)(a × x)
2
Schrijf nu zelf de matrix van deze afbeelding op.
3
5
Dubbele rotatie in dimensie 2 en matrix vermenigvuldiging
Laten we teruggaan naar §1. We voeren nu na de draaiing om de oorsprong over
de hoek α nog een draaing uit (weer om de oorsprong) over de hoek β. Het zal
dan duidelijk zijn dat we dan een draaiing over de hoek α + β hebben uitgevoerd.
De matrix van deze afbeelding is dus gelijk aan
cos(α + β) (− sin α − β)
sin(α + β)
cos(α + β)
.
met de optelformules voor sinus en cosinus zien we dan dat deze matrix gelijk is
aan
cos β cos α − sin β sin α − cos β sin α − sin β cos α)
.
(4)
cos β sin α + sin β cos α
cos β cos α − sin β sin α
Echter als we de draaiingen na elkaar bekijken dan krijgen we de volgende actie
op de vector (x, y):
x00
y 00
=
cos β
sin β
− sin β
cos β
cos α − sin α
sin α cos α
x
.
y
We willen nu proberen of het mogelijk is om de haakjes anders te plaatsen, namelijk dat we eerst de matrices vermenigvuldigen en vervolgens laten werken op
de vector (x, y):
x00
y 00
=
− sin β
cos β
cos β
sin β
cos α − sin α
sin α cos α
x
.
y
Als dit mogelijk is dan moet de matrix (4) gelijk zijn aan deze matrixvermenigvuldiging
cos β − sin β
cos α − sin α
.
(5)
sin β
cos β
sin α cos α
Als je hier even goed naar kijkt vind je dat je de coëfficiënt, die op de ie -rij,
j e -kolom van de matrix (4) staat, krijgt door het inproduct te nemen tussen de
ie -rij van de linker matrix uit (5) en de j e -kolom van de rechter matrix. Algemeen
hebben we de volgende matrix vermenigvuldiging:
a b
c d
α β
γ δ
=
(a, b) · (α, γ) (a, b) · (β, δ)
(c, d) · (α, γ) (c, d) · (β, δ)
.
Voor algemene matrixvermenigvuldiging verwijzen we je nu naar hoofdstuk 7 van
het boek.
4
6
Algemene lineaire afbeeldingen
De voorbeelden van afbeeldingen die we tot nu toe gezien hebben zijn heel speciaal, het zijn zogenaamde lineaire afbeeldingen. We zien bijvoorbeeld dat bij
alle voorbeelden de oorsprong op zijn plaats blijft, dit is één van de kenmerken
van een lineaire afbeelding. Als we de rotatie van §1 nog een keer wat beter
bestuderen dan zien we dat het er niet toe doet of je een vector (en met een
vector bedoelen we hier een vector die in de oorsprong begint) eerst met een
skalar vermenigvuldigt en dan roteert, of eerst de vector roteert en daarna pas
met diezelfde skalar vermenigvuldigt. Ook zien we dat het niet uitmaakt of je
twee vector eerst optelt en daarna roteert of dat je eerst de afzonderlijke vectoren roteert en vervolgens de geroteerde vectoren optelt. Laten we de algemene
definitie geven voor een lineaire afbeelding van een n-dimensionale ruimte naar
een m-dimensionale ruimte:
Definitie 6.1 Een afbeelding A : Rn → Rm heet lineair als voor elke tweetal
vectoren v, w ∈ Rn geldt dat
A(v + w) = A(v) + A(w)
en als voor elke vector v ∈ Rn en elke skalar λ ∈ R geldt dat
A(λv) = λA(v).
Uit de tweede eigenschap leidt men eenvoudig af dat A(0) = 0, dus dat het beeld
van de nulvector onder een lineaire afbeelding altijd weer de nulvector is. Laat
n, m = 3 zijn dan weten we uit hoofdstuk 10 van het boek dat we elke vector
v ∈ R3 kunnen schrijven als een lineaire combinatie van î, ĵ en k̂:
v = xî + y ĵ + z ĵ
ofwel v = (x, y, z).
Als A nu een lineaire afbeelding van R3 → R3 is, dan vinden we als we gebruikmaken van de eigenschappen van de definitie van een lineaire afbeelding dat
A(v) = A(xî + y ĵ + z ĵ) = xA(î) + yA(ĵ) + zA(ĵ).
We zien zo dat A volledig wordt bepaald door de beelden van zijn basis vectoren.
Veronderstel nu dat
A(î) = (a, d, g),
A(ĵ) = (b, e, h),
dan kunnen we A(v) ook beschrijven m.b.v.
vector v:
  
x
a b





A
y
= d e
z
g h
Algemeen geldt de volgende stelling:
5
A(k̂) = (c, f, i),
een 3 × 3-matrix die werkt op de
 
c
x


f
y .
i
z
Stelling 6.2 Als de afbeelding A : Rn → Rm lineair is, dan bestaat er een er een
m × n-matrix M zó dat A(x) = M x voor alle x ∈ Rn .
De projectie- en rotatie-afbeeldingen uit de vorige paragrafen zijn allen voorbeelden van lineaire afbeeldingen die tevens een meetkundige interpretatie hebben.
Ga na dat de afbeelding T : R2 → R2 gegeven door T (x) = x+(1, 1) geen lineaire
afbeelding is. Hoewel het natuurlijk wel verleidelijk is een translatie-afbeelding
zo te noemen.
Ga na dat het volgend e geldt. Zij A : Rn → Rm een lineaire afbeelding en M de
bijbehorende matrix. Zij e1 , . . . , en de standaardbasis van Rn .
1. De i-de kolom van M is precies het beeld van ei onder A. Immers, A(ei ) =
M ei en deze laatste vector is de i-de kolomvector van M .
2. Het beeld van A wordt opgespannen door de kolommen van M en dus ook
door de vectoren A(e1 ), A(e2 ), . . . , A(en ).
7
Opgaven
1. Onderzoek welk van de volgende afbeeldingen lineair zijn en bepaal van de
lineaire afbeeldingen de matrices.
(a) A1 : R2 → R2 ,
A1 (x, y) = (x + y, x − y).
2
3
A2 (x, y) = (x + 1, 2y, x + y).
3
2
(c) A3 : R → R ,
A3 (x, y, z) = (y, z).
(d) A4 : R3 → R3 ,
A4 (x, y, z) = (y, z, x).
(e) A5 : R1 → R2 ,
A5 (x) = (2x, 3x).
(f) A6 : R2 → R2 ,
A6 (x, y) = (|x|, |y|).
(b) A2 : R → R ,
2. De matrix van een lineaire afbeelding

2 8
1 3
1 1
A : R3 → R3 wordt gegeven door

5
2.
1
(a) Bepaal het beeld A(R3 ) van A.
(b) Aan welke vergelijking voldoen de coördinaten van een vector uit
A(R3 ) ?
(c) Bepaal de verzameling originelen van (6, 2, 0).
3. De afbeelding A : Rn → Rn wordt gegeven door A : (x1 , x2 , . . . , xn ) =
(0, x1 , x2 , . . . , xn−1 ) voor iedere (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
6
(a) Bewijs dat A een lineaire afbeelding.
(b) Bepaal de matrix van A ten opzichte van de standaardbasis van Rn .
4. De lineaire afbeelding A : R3 → R3

3
 −1
4
heeft de matrix

2 1
0 −3  .
3 0
(a) Aan welke vergelijking voldoen de coördinaten van een vector uit
A(R3 ) ?
(b) Bepaal zowel het beeld als de verzameling originelen van de vector
(1, −1, 1).
5. Dezelfde vragen als in de vorige opgave, maar nu voor de matrix


2 1 3
 0 2 −1  .
5 3 1
6. Zij T : R2 → R2 een lineaire afbeelding is met de eigenschap dat |T x| = |x|
voor alle x ∈ R2 . Laat zien dat T ofwel een rotatie is, of een loodrechte
spiegeling. (Hint: Laat zien dat T e2 loodrecht staat op T e1 ).
7. Bepaal met de formule uit Stelling 4.1 de matrices van de volgende rotaties
(a) Rotatie om de as (1, 1, 1) om een hoek van π/2.
(b) Rotatie om de as (1, 1, 1) om een hoek van 2π/3. Heb je een verklaring
voor het simpele antwoord?
(c) Rotatie om de as (2, 2, 1) om een hoek van π/3.
8. Zij a ∈ R3 met a 6= 0 en A : R3 → R3 de afbeelding gegeven door A : x 7→
a × x (uitwendig product).
(a) Bewijs dat A een lineaire afbeelding is.
(b) Gegeven is dat a = (a1 , a2 , a3 ). Bepaal de matrix van A ten opzichte
van de standaardbasis in R3 .
7