1 Waarvoor gebruiken we getallen

1 Waarvoor gebruiken we getallen?
Getallen kom je overal tegen. De huisnummers van de huizen in
de straat, op verkeersborden, in advertenties in de krant, noem
maar op. Soms zijn deze getallen alleen maar bedoeld om iets
aan te duiden, als een soort etiketje, een identificatienummer.
Bijvoorbeeld, een bankrekeningnummer of een artikelnummer in
een winkel wordt gebruikt voor de identificatie van een
bankrekening of artikel. Dat zijn geen getallen om mee te
rekenen. Ze zijn vaak wel gegroepeerd, bijvoorbeeld alle
bankrekeningnummers die met de cijfers 38 beginnen horen bij een
bepaalde bank.
1.1 Ken je meer voorbeelden van getallen waarmee niet gerekend
wordt en die personen of dingen identificeren? Zijn de getallen
gegroepeerd?
Huisnummers zijn ook ‘etiketjes’ van een huis, maar hier is de
volgorde toch wel van belang. In een straat zal huis nr. 52 dichtbij nr.
58 staan. Maar als het ene nummer even is en het ander oneven, dan
wordt het al minder zeker omdat er voor huisnummers vaak een
groepering wordt gebruikt.
1.2 Welke groepering(en) van huisnummers ken je?
Als je op zoek bent naar huis nr. 619 en je staat voor huis nr. 235
dan moet je waarschijnlijk nog een flink eind lopen. Het verschil
van twee nummers, dus het grootste min de kleinste, zegt meestal
iets over de afstand tussen de huizen.
1.3 Is het wel eens zinvol om twee huisnummers met elkaar te vermenigvuldigen, met andere
woorden, heeft het product van twee huisnummers betekenis?
1.4 Ken je meer voorbeelden waarin getallen als volgnummers worden gebruikt?
We gaan het hier vooral hebben over getallen waarmee je rekent. Getallen als ‘drie’ in “Er
zijn nog drie beschuitjes in de trommel” of ‘vijf’ in “De vijfde straat na de brug moet je
rechtsaf” noemen we natuurlijke getallen. Het zijn de getallen waarmee je telt en waarmee je
een aantal aangeeft. Het zijn gehele getallen en ze zijn niet negatief. Met natuurlijke getallen
kun je rekenen. Als je de zevende straat na de brug moest afslaan en je slaat de vijfde straat al
af, dan ben je twee straten te vroeg afgeslagen. Koop je vier rollen beschuit van ieder dertien
beschuitjes en je eet elke dag een beschuitje, dan heb je niet genoeg voor acht weken.
1.5 Hoeveel beschuitjes zou je na zeven weken nog over hebben?
Je kent al veel meer getallen dan alleen de natuurlijke getallen. Negatieve getallen, breuken,
kommagetallen, en nog meer. Negatieve getallen worden wel eens tekortgetallen genoemd.
Als je €57,50 op je rekening hebt staan en je geeft tachtig euro uit, dan wordt je saldo –
€22,50, je staat ‘in de min’. Als het vier graden Celsius is en het wordt zes graden kouder, dan
wijst de thermometer –2 °C aan. Gebroken getallen of breuken hebben we nodig om te
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 1
kunnen delen. Acht pizza’s eerlijk delen met
twaalf personen: ieder krijgt 23 pizza. Breuken
worden ook rationale getallen genoemd omdat ze
een verhouding (ratio) aangeven tussen twee
getallen (de teller en de noemer).
1.6 Is het mogelijk dat, als twaalf personen acht
pizza’s delen, ieder één stuk pizza krijgt, dus
niet twee of meer stukken van verschillende
pizza’s? Ga na bij welke aantallen het mogelijk
is om de pizza’s met twaalf personen zo te
verdelen dat ieder maar één stuk pizza krijgt en
dat de verdeling toch eerlijk is. Doe hetzelfde
voor dertien en veertien personen.
Stellingen van Pythagoras
In een rechthoekige, gelijkbenige driehoek
(de vorm van een geodriehoek) verhouden de
lengtes van de schuine en een korte zijde
zich als √2 : 1. Dat kun je bewijzen met de
beroemde Stelling van Pythagoras, die
overigens al ver vóór Pythagoras bij de
Babyloniërs bekend was.
Een stelling, wel van Pythagoras en zijn
volgelingen (hij was een sekteleider)
afkomstig, is dat alle getallen rationaal zijn.
De Pythagoreërs hebben veel moeite gedaan
om aan te tonen dat √2 als breuk te schijven
is, maar dat bleek onmogelijk! Euclides heeft
er een mooi bewijs van gegeven waar we
later op terugkomen. De Pythagoreërs
hielden dit bewijs angstvallig geheim.
Volgens de overlevering is zelfs iemand die
dit toch bekendmaakte om het leven
gebracht.
Aan Pythagoras zijn meer curieuze stellingen
toegeschreven. “De hemel is harmonie en
getal”. “Vriendschap is gelijkheid, gelijkheid
vriendschap”. “Jongens moeten voor hun
twintigste geen seks hebben”.
Naast de gehele getallen en de breuken zijn er nog
getallen als π en √2. Je bent ze waarschijnlijk al
tegengekomen bij het meten van lengtes: π is de
omtrek van een cirkel met diameter 1 en √2 is de
lengte van een zijde van een vierkant met
oppervlakte 2. Het zijn irrationale getallen, ze
zijn niet als een breuk te schrijven. De natuurlijke,
gehele, gebroken en irrationale getallen vormen
samen de reële getallen. Elk reëel getal heeft een
plaats op de getallenlijn en elk punt op de
getallenlijn correspondeert met een reëel getal.
<< ander plaatje, wel op volgorde, ook negatief en
(ir)rationaal>>
Het reële getallensysteem wordt volledig genoemd. Er zijn geen
uitbreiding meer mogelijk die alle belangrijke eigenschappen van de
getallen intact laten.
1.7 Bekijk het rekeningafschrift van een bank. Ga voor ieder getal op
dit rekeningafschrift na waarvoor het wordt gebruikt en of het
bedoeld is om er mee te rekenen.
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 2
<<van internet geplukt, privacy-gevoelig…- een bank vragen om een voorbeeld?>>
Kernbegrippen
Natuurlijke getallen: voor identificatie, volgnummers, aantallen (bijv. 0, 1, 2, 476, 127 978).
Gehele getallen: natuurlijke getallen en negatieve gehele getallen (–3, –21, –86 439).
Rationale getallen: gehele getallen en breuken ( 85 , 24,89, 3 17 ,  1 34 ).
Reële getallen: rationale getallen en irrationale getallen (√17, 4π, sin 36°).
Elk punt op de getallenlijn komt overeen met een reëel getal.
Opgaven
1.8 Geef aan of de getallen in de volgende situaties worden gebruikt voor identificatie, als
volgnummer, om een aantal of een hoeveelheid aan te geven en/of om berekeningen mee te
kunnen maken.
- het getal op de kilometerteller in een auto
- het rijnummer en het stoelnummer in een theater
- het getal dat je afleest op de snelheidsmeter op een scooter
- het nummer van de lijst van een partij die meedoet met verkiezingen
- je pincode
- de prijs van een huis in euro’s
1.9 Je kent vier getallensystemen: de natuurlijke, gehele, rationale en reële getallen. Geef aan
tot welke getalsystemen de volgende getallen horen: 3, 4,8, –2, √15, 0, -π,  3 23 .
1.10 Teken een getallenlijn van -5 tot 5 en plaats daarop de getallen van de vorige opgave.
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 3
2 Hoe noteren we getallen?
Om op papier bij te houden hoeveel dingen je geteld hebt, kun je een trucje
gebruiken dat heet turven. Hiernaast zie je het getal 23 geturfd. Het is de
oudste en meest eenvoudige manier om een getal te noteren.
2.1 Schrijf in de turfnotatie de getallen 17 en 9. Tel deze bij elkaar op.
We gebruiken in ons moderne talstelsel (onze manier van getallen noteren) niet alleen het
streepje, de 1, maar nog negen andere cijfers: 2 tem 9 en 0. Een cijfer is een teken of symbool
dat staat voor een van de natuurlijke getallen en het wordt bovendien gebruikt om andere
getallen te noteren. Ons talstelsel is afkomstig uit India en via de Arabieren is het in Europa
ingevoerd.
XI
XXX = 30
= 11
In Europa zie je soms op oude gebouwen I = 1
II
XII
XL
=
2
=
12
= 40
jaartallen staan geschreven met
III = 3
XIII = 13
L
= 50
Romeinse cijfers. Maar ook op
IV
XIV
LX
=
4
=
14
= 60
wijzerplaten van klokken en zelfs
XV = 15
LXX = 70
V = 5
moderne horloges staan soms Romeinse
VI
XVI
LXXX = 80
=
6
=
16
getallenen. Waarschijnlijk is deze notatie
VII
XVII
XC
=
7
=
17
= 90
afkomstig van Etruskische schaapherders
VII
XVII
= 8
= 18
C
= 100
die op kerfstokken turfden als ze de
I
I
schapen telden. De Romeinse cijfers
IX = 9
XIX = 19
CXI
= 111
moeten bij elkaar opgeteld worden,
XX = 20
CC
X = 10
= 200
behalve als een cijfer wordt gevolgd door
een met een hogere cijferwaarde. Want zo’n cijfer moet er juist van worden
afgetrokken.
CCXXIV = 224
CCC
= 300
CD
= 400
D
= 500
DC
= 600
DCC
= 700
DCCC
= 800
CM
= 900
M
= 1000
MM
= 2000
2.2 In welk jaar is dit gebouw gebouwd? <<plaatje!!>>
2.3 Schrijf je geboortedag, maand en jaar als Romeinse getallen. Let op:
schrijf niet meer dan één cijfer voor een cijfer met een hogere waarde, om dit ervan af te
trekken (bijvoorbeeld: 8 is niet IIX maar VIII).
Een belangrijke ontdekking in de geschiedenis van de talstelsels is het getal nul, dat in het
Romeinse talstelsel nog niet voorkomt. De tekens voor de cijfers 1 t.e.m. 9 waren in India
meer dan tweeduizend jaar geleden uitgevonden. Ze komen voor in inscripties vanaf de 3e
eeuw v. Chr. Maar het duurde tot de 5e eeuw na Chr. dat de nul – het symbool voor niets, of
een hoeveelheid van ‘geen enkele’ – zijn intrede deed. Het is een bijzonder natuurlijk getal,
het wordt niet gebruikt om te tellen maar wel om een aantal aan te geven. Bijvoorbeeld, het
aantal bomen langs een weg kan nul zijn, maar het is onzin om te spreken van de nulde boom.
In ons positionele talstelsel vertegenwoordigt de plaats van elk cijfer, van rechts naar links
gelezen, een bepaalde waarde: 1, 10, 100, 1000 enz. Het getal 349 (9×1+4×10+3×100) is
daardoor een heel ander getal dan 493 (3×1+9×10+4×100).
2.4 Waarom is het cijfer 0 voor de positionele notatie noodzakelijk?
Met de tien cijfers 0 tot en met 9 is elk willekeurig natuurlijk getal schrijven. Bij grote
getallen van meer dan vier cijfers kunnen groepjes van drie cijfers worden gescheiden door
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 4
een spatie (of door een punt). In Angelsaksische landen, China, India en Japan, gebruikt men
hiervoor een komma. Bijvoorbeeld, 2 360 000 wordt in Amerika en Japan (en op sommige
rekenmachines) geschreven als 2,360,000.
2.5 Wat wordt in Amerika bedoeld met: “This car costs $ 24,500”? En wat voor soort auto
koop je in Nederland voor € 24,50?
Het positionele talstelsel is niet alleen geschikt om elk natuurlijk getal mee te kunnen
schrijven maar ook om berekeningen te maken met deze getallen. Bovendien, met enkele
uitbreidingen kunnen we ook andere dan de natuurlijke getallen met cijfers noteren, zoals de
negatieve getallen met een minteken vóór het getal.
Breuken kennen we in twee geheel verschillende notaties: met een breukstreep of als
kommagetal. Eenvoudige breuken worden wel eens met een schuine breukstreep geschreven,
bijvoorbeeld ⅝, maar de horizontale breukstreep is meestal duidelijker: 85 .
Kommagetallen of decimale getallen of tiendelige breuken zijn een handige schrijfwijze voor
breuken waarvan de noemer 10, 100, 1000, enz. is. Bijvoorbeeld: 101  0,1 , 107  0,7 ,
483
 0,01 , 1000
 0,483 . Kommagetallen worden ook gebruikt om een goede benadering te
667
geven van andere breuken en van getallen die niet als breuk te schrijven zijn: 66,667 is 66 1000
en dit is een benadering, in drie decimalen nauwkeurig, van 66⅔. In plaats van een komma
schrijft met in landen als Amerika en Japan een punt en daar laat men vaak een enkele 0 voor
de komma weg. Een half wordt dan genoteerd als .5. Je kunt dit ook zo op een rekenmachine
intikken.
1
100
Percentages zijn een bijzonder soort kommagetallen. Het procentteken % is ontstaan als een
slordige schrijfwijze van /100 (cent is Frans voor honderd). Dus 5% is eigenlijk de breuk
5
5/100 of 100
en dat is weer, als kommagetal geschreven: 0,05. Van percentage naar
kommagetal is eenvoudig: de komma schuift twee plaatsen naar links. Naast percentage
kennen we ook het promillage ‰: per mille (mille is duizend).
2.6 Schrijf eenachtste op zoveel mogelijk manieren.
Voor heel erg grote (of kleine) getallen is er de zogenaamde scientific of
(natuur)wetenschappelijke notatie. Bijvoorbeeld, de gemiddelde afstand van de aarde tot de
zon (een Astronomische Eenheid, AE) is 149 597 870 691 meter. Je rekenmachine kan dit
getal niet aan. Je kunt het wel intoetsen, maar je rekenmachine zal dan waarschijnlijk dit laten
zien:
De onderste regel is ‘rekenmachinetaal’ voor 1,495978707×1011, wat gelijk is aan het getal
1,495978707 keer een 1 met 11 nullen, dus 1,1495978707  100 000 000 000 
149 597 870 700 . Praktisch gezien betekent “E11” dat de komma 11 plaatsen naar rechts moet
schuiven. Het kan ook voorkomen dat de komma naar links moet:
Hier zie je dat 0,00068 gelijk is aan 6,8 ×10-4 (de “E-4” betekent dat de komma 4 plaatsen
naar links moet). In de wetenschappelijke notatie begint een getal met een kommagetal dat
precies één cijfer (ongelijk aan 0) voor de komma heeft.
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 5
2.7 Schrijf de volgende getallen, die hier in wetenschappelijke notatie staan, als een
kommagetal: 7,458×105, 5,8977×103, 2,9×10-2, -1,23×10-4.
2.8 Schrijf de volgende getallen in wetenschappelijke notatie: 987654321, 0,0098,
7985,5431.
Ons moderne positionele talstelsel is gebaseerd op het grondtal tien. Er zijn ook andere
talstelsels die op een ander grondtal zijn gebaseerd. In sommige talen kun je merken dat men
vroeger een ander grondtal heeft gebruikt, bijvoorbeeld in het Frans.
2.9 Op welk afwijkend grondtal zijn sommige Franse telwoorden gebaseerd en aan welke
getallen kun je dit merken?
Klokrekenen is een voorbeeld van het rekenen met
afwijkende grondtallen.
15:05
15:10
15:20
2.10 Welke afwijkende grondtallen worden gebruikt 15:25
bij het klokrekenen? Heeft deze afwijking
15:30
invloed op de manier waarop getallen worden
15:40
genoteerd?
2.11 Ebru fietst met constante snelheid. Zij legt 36
kilometer af in 3 uur. In hoeveel minuten legt zij één
kilometer af?
2.12 Tjalling schaatst op de schaatsbaan 10 km in 15
minuten. Een rondje is 400 meter. Hoeveel rondjes
moet hij schaatsen en hoeveel seconden heeft hij
gemiddeld nodig voor een rondje?
HV 0738
Kalamata
BA 8453
London City
HV 0347
Maastricht
HV 0602
Funchal
BA 0438
London Heathrow
KL 0868
Osaka Kansai
aankomsttijden Schiphol
Wereldrecord 10 km schaatsen
Atleet : Sven Kramer
Tijd : 12:49,88
Locatie : Heerenveen
Datum : 11/02/2007
2.13 In welke andere situaties kom je een afwijkend grondtal tegen?
Kernbegrippen
Turven, Romeinse getallen
Positioneel talstelsel, grondtal
Breuk, kommagetal, percentage, promillage
Wetenschappelijke notatie
Klokrekenen
Opgaven
2.14 ….
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 6
3 Gebruik maken van het positionele talstelsel
Er zijn even getallen en oneven getallen. We hebben het dan over natuurlijke getallen, een
‘even breuk’ bestaat niet. Een even aantal is een aantal dat in twee even grote porties is te
verdelen. Even getallen zijn deelbaar door twee, oneven getallen niet. Van negatieve gehele
getallen kan nog wel gezegd worden dat ze even of oneven zijn, en dan wordt gekeken naar
het getal zonder het minteken.
3.1 Welke getallen zijn oneven: 7, 16, 2045, -393, 0,
even is?
1
3
, -1? Hoe zie je aan een getal of het
3.2 Hoe zie je aan een getal of het deelbaar is door 5? En door 10? Kun je ook gemakkelijk
zien of een getal deelbaar is door 25? En door 50? En door twee miljoen?
Honderd is deelbaar door 4, want 4 × 25 = 100. Om na te gaan of een getal deelbaar is door 4
is het daarom voldoende om naar de laatste twee cijfers te kijken.
3.3 Welke getallen zijn deelbaar door vier: 28, 34, -82, 143, -576, 2898? Hoe zie je precies
aan een getal of het deelbaar is door 4?
De negenproef
Voordat rekenmachines en computers hun intrede
Er zijn ook tests om te zien of een getal
deden, moesten klerken administratieve berekeningen
deelbaar is door 3 en 9. Dit gaat zo: tel
met potlood en papier maken en natuurlijk werden er
alle cijfers van het getal bij elkaar op. Als
wel eens foutjes gemaakt. Het was belangrijk dat
de som van de cijfers deelbaar is door 3,
berekeningen werden gecontroleerd en een veel
dan is het getal zelf ook deelbaar door 3
gebruikte controle was de negenproef. Die gaat als
(en andersom: is de som niet deelbaar
volgt.
door 3 dan het getal ook niet). Een getal is
Stel, je vermenigvuldigt de getallen 14837 en 67238 en
alleen deelbaar door 9 als de som van de
je noteert als product 997601206. Neem nu van de twee
cijfers deelbaar is door 9. Bijvoorbeeld:
getallen de rest bij deling door 9. Die vind je door de
2757 is deelbaar door 3 maar niet door 9,
som van de cijfers te nemen en na te gaan hoeveel dit
want 2+7+5+7=24 is wel deelbaar door 3
meer is dan het grootste negenvoud dat niet groter is
maar niet door 9.
dan deze som. 1+4+8+3+7=23=18+5 dus rest 5.
6+7+2+3+8=32=26=18+8 dus rest 8. 5×8=40=36+4
3.4 Welke getallen zijn deelbaar door 3 en
dus rest 4. Nu is 9+9+7+6+0+1+2+0+6=40=36+4 dus
welke door 9: 2759, 3987, -759,
rest 4.
197836.
De negenproef heeft geen fout ontdekt. Maar dat biedt
nog geen garantie… het product is niet juist, het goede
Er is helaas geen test voor deelbaarheid
antwoord is 997610206. Welke soort fouten kan de
door 7. Er is er wel een voor 11: tel de
negenproef niet ontdekken?
cijfers ‘om en om’ bij elkaar op, en neem
het verschil van deze twee getallen. Het oorspronkelijke getal is alleen deelbaar door 11 als
dit verschil deelbaar is door 11. Bijvoorbeeld: 1749 is deelbaar door 11 want 1+4=5 en
7+9=16 en het verschil 16–5=11 is deelbaar door 11.
3.5 Ga voor elk getal na of het deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11:
294, 2375, 45986, 12765490, 238964.
Als je een breuk wilt schrijven als een kommagetal, dan is dit lang niet altijd mogelijk.
Bijvoorbeeld, 17  0,14285714285714285714285714285714 afgerond op 32 decimalen: het is
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 7
dus niet precies gelijk aan het kommagetal. Je ziet wel de regelmaat in de decimalen: de serie
142857 herhaalt zich. Zo’n kommagetal heet een repeterende breuk. Er is een speciale notatie
voor repeterende breuken: het repeterende gedeelte wordt aangegeven door een schuine streep
door (of voor) het eerste cijfer en door (of na) het laatste cijfer. Bijvoorbeeld 71  0, /142857/ .
Elke breuk is te schrijven als repeterende breuk, al kan de serie cijfers die zich herhaalt wel
erg lang worden als de noemer van de breuk veel cijfers heeft.
3.6 Een rekenmachine laat het volgende scherm zien:
Schrijf de getallen 8 152 , 358
, 54 137 als repeterende breuken (de laatste breuk heeft een
925
repeterend gedeelte van 6 cijfers).
Meestal zijn we helemaal niet geïnteresseerd in veel cijfers in getallen. Bijvoorbeeld, op 1
januari 2009 telde Nederland, volgens het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS),
16 486 587 inwoners. Meestal wordt een getal met zoveel cijfers afgerond: Nederland telde
16 miljoen inwoners, of 16,5 miljoen inwoners, of 16 487 000 inwoners (afgerond op een
duizendtal). Let op dat je afgeronde getallen niet nog eens mag afronden: 16,5 miljoen nog
eens afgerond op een heel aantal miljoenen wordt 17 miljoen, en dat is niet juist. Getallen met
veel (of oneindig veel) cijfers achter de komma (decimalen) worden ook meestal afgerond.
Afronden doe je zo. Zet een stippellijn of streepje achter het laatste cijfer dat je wilt
behouden. Staat daar een 5 of hoger achter, dan rond je af naar boven door 1 op te tellen bij
dat laatste cijfer. Vervolgens mag je de cijfers die achter de stippellijn of het streepje staan
door nullen vervangen (of je laat ze weg als ze achter de komma staan). Bijvoorbeeld:
14 587, 86 531 op 2 decimalen afgerond is 14 587, 87 en afgerond op een honderdtal 14 600 .
3.7 Rond de volgende getallen af op 3 decimalen: 0,43726, 43,72694, 0,00084, 23,8995.
3.8 Rond de volgende getallen af op een duizendtal: 43726, 4372694, 379925.
Als je in een supermarkt cash betaalt, dan wordt er afgerond op 5 cent nauwkeurig.
Bijvoorbeeld, een bedrag van €17,07 wordt afgerond op €17,05 omdat dit bedrag er het
dichtst bij ligt, kijk maar op de getallenlijn:
3.9 Rond de volgende bedragen af op 5 cent: €0,43, €12,36, €24,68, €8,256, €9,376.
Vaak geeft een groot aantal cijfers ook een verkeerde indruk van de nauwkeurigheid waarmee
iets gemeten is. Bijvoorbeeld, stel dat op een verkeersbord staat dat de afstand Apeldoorn –
Vaassen 6 km is en je fietst met een constante snelheid van 16 km/uur. Dan kun je berekenen
dat je 166  60  22,5 minuten over de fietstocht zult doen. Maar de afstand van 6 km had ook
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 8
6,4 km kunnen zijn (verkeersborden geven geen cijfers
na de komma) en dan komt je berekening uit op
6, 4
 60  24 minuten. Het verschijnsel waar we hier
16
mee te maken hebben heet significantie. Het gaat
daarbij om het aantal significante (betekenisvolle)
cijfers in getallen. “Nederland heeft 16,5 miljoen
inwoners” betekent niet dat er precies 16 500 000
mensen in Nederland wonen. Het aantal is afgerond op
0,1 miljoen en daardoor zijn er drie significante cijfers
(1, 6 en 5). Pas op: er is verschil tussen ‘afgerond op 3
decimalen’ (wat wil zeggen: 3 cijfers na de komma) en
‘3 significante cijfers’, zie de voorbeelden hiernaast.
getal
aantal
decimalen
12,34
1,2345
0,0123
0,00120
123
120
2
4
4
5
0
0
aantal
significante
cijfers
4
5
3
3
3
2 of 3
(hangt af
van de
context)
Het resultaat van een berekening kan niet nauwkeuriger zijn dan het minst nauwkeurige getal
dat gebruikt is in de berekening. Daarom worden de volgende vuistregels gebruikt voor de
significantie van een antwoord:
- bij optellen en aftrekken wint het kleinste aantal cijfers na de komma
- bij vermenigvuldigen en delen wint het kleinste aantal significante cijfers
3.10 Een auto heeft een gewicht van 967 kg. De vier banden wegen elk 6,3 kg. Bereken het
gewicht van de auto zonder de banden.
3.11 Het aantal inwoners in Apeldoorn op 1 januari 2008 is 155 108. Hiervan is 43,7 %
ongehuwd. Bereken het aantal ongehuwde Apeldoorners op 1 januari 2008. Geef het juiste
aantal significante cijfers!
Kernbegrippen
Deelbaarheid, even en oneven
Repeterende breuk
Afronden
Significante cijfers
Opgaven
3.12 ….
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 9
4 Verdelen
4.1 Je hebt een zakje met 24 snoepjes. Met hoeveel personen kun je de snoepjes delen zodat
iedereen evenveel snoepjes krijgt?
We hadden ook kunnen vragen: “Op hoeveel manieren kun je 24 snoepjes in
rijtjes leggen die even lang zijn?” Of nog anders, wiskundiger: “Hoeveel
delers zijn er van 24?” Drie is een deler van 24 want met drie personen kun je
24 snoepjes eerlijk delen. 24 gedeeld door 3 is een natuurlijk getal (acht).
4.2 Bepaal het aantal delers van 20, 45, 13, 31, 1 en 0.
Natuurlijke getallen die 2 of groter zijn, hebben ten minste twee delers: het getal zelf en 1. Er
zijn getallen met precies twee delers. Die getallen heten priemgetallen. De eerste tien
priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
4.3 Hiernaast zie je een rooster waarmee je alle
0
1
priemgetallen tussen 0 en 100 kunt bepalen.
10
11
Dit doe je zo: begin bij het eerste priemgetal
20
21
30
31
(2), omcirkel dat en streep alle veelvouden
40
41
van 2 door (dus 4, 6, 8, 10, 12, enz.).
50
51
Neem nu het kleinste niet-omcirkelde niet60
61
doorgestreepte getal, omcirkel het want het
70
71
80
81
is priem, en streep vervolgens alle
90
91
veelvouden door. Ga door tot je alle getallen
gehad hebt. Hoeveel priemgetallen heb je gevonden?
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
De methode van opdracht 4.3 heet de Zeef van Eratosthenes, een Griekse wiskundige uit de 3e
eeuw v. Chr. Een tijdgenoot van Eratosthenes, Euclides, heeft aangetoond dat er oneindig veel
priemgetallen zijn. Maar het is een hele klus om te ontdekken of een groot getal priem is. Op
16 september 2008 werd door een Amerikaanse universiteit een priemgetal gevonden dat
bestaat uit 12 978 189 cijfers!
4.4 Maak een schatting van het aantal schriften dat je nodig zou hebben om het priemgetal
van 12 978 189 cijfers op te schrijven. Welke aannames moet je eerst maken?
1638
Elk getal dat 2 of groter is, kan worden geschreven als een product
= 2×819
= 2×3×273
(vermenigvuldiging) van alleen maar priemgetallen. Bovendien kan dat,
= 2×3×3×91
afgezien van verwisselingen, op precies één manier. Deze eigenschap heet
= 2×3×3×7×13
de hoofdstelling van de rekenkunde <<moet dit genoemd worden??>>. Om
= 2× 32 ×7×13
een getal te schrijven als product van priemgetallen ga je als volgt te werk.
of korter:
Kijk of 2 een deler is van het getal. Zo ja, deel het door 2 en ga verder met
1638 2
819 3
het nieuwe getal. Het is mogelijk weer deelbaar door 2, als dat zo is deel je
273 3
weer door 2, enzovoorts, totdat het getal niet meer deelbaar is door 2 en dan
91 7
probeer je het volgende priemgetal. Zie het voorbeeld hiernaast. 1638 is
13
deelbaar door 2, dus 1638=2×819. Dit nieuwe getal, 819, is niet deelbaar
1638=2×32×7×13
door 2 en we zoeken het volgende priemgetal, dat is 3 want 819=3×273. Dit fig. Een ontbinding
gaat nog een keer want 273=3×91. 91 is niet deelbaar door 3, ook niet door in priemfactoren
5, wel door 7 want 91=7×13. Nu zijn we klaar, 13 is zelf een priemgetal en
we hebben de ontbinding van 1638 in priemfactoren. We schrijven de priemfactoren van klein
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 10
naar groot en als een factor meerdere keren voorkomt (in dit geval komt 3 2 keer voor) geven
we dit aan met een macht: 1638=2×32×7×13.
4.5 Schrijf de volgende getallen als product van priemfactoren: 28, 74, 99, 100, 105.
Als de priemfactoren van een getal bekend zijn, dan is het vaak eenvoudig te zeggen of een
getal een deler is. Een deler (groter dan 1) moet namelijk bestaan uit een combinatie van de
priemfactoren. Bijvoorbeeld, 33 is een deler van 3597 want 33 = 3 × 11 en dat zijn twee
priemfactoren van 3597.
4.6 Ga na of 15 een deler is van de volgende getallen: 75, 225, 420, 130, 180, 1050. Gebruik
de volgende regels:
- een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3
- een getal is deelbaar door 5 als het eindigt op een 0 of 5
Als je 24 snoepjes deelt met 3 personen, dan krijgt ieder evenveel als wanneer je drie keer
zoveel, dus 72 snoepjes, deelt met drie keer zoveel, dus 9 personen, namelijk 72 : 9 = 24 : 3 =
8 snoepjes. In plaats van de dubbele punt als deelteken wordt vaak de deelstreep gebruikt:
72 24
72
24

 8 . De notaties
en
zijn breuken. Het is hier een beetje overbodig, want
9
3
9
3
deze breuken zijn gelijk aan 8.
Niet elke verdeling gaat mooi op. Als je 24 snoepjes met z’n vijven moet delen, dan krijgt
ieder er vier en blijven er nog vier snoepjes over, die met z’n vijven gedeeld zouden moeten
worden. Je kunt zeggen: ieder heeft recht op 4 54 snoepje. Ook als je 72 snoepjes deelt met 15
72 24

 4 54 snoepje.
personen, dan heeft ieder recht op
15
5
Wat boven de breukstreep staat heet de teller, eronder is de noemer van de breuk. Breuken
schrijf je zo eenvoudig mogelijk door gemeenschappelijke delers van de teller en noemer te
zoeken, want die mag je tegen elkaar wegstrepen. De grootste gemeenschappelijke deler van
twee (of meer) getallen heet de ggd van die getallen. Je kunt de ggd te vinden door de getallen
te ontbinden in priemfactoren. Het product van de gemeenschappelijke priemfactoren is het
ggd.
4.7 Schrijf de volgende breuken zo eenvoudig mogelijk door eerst de teller en de noemer te
27 56 32 105
ontbinden in priemfactoren en de g.g.d. te bepalen:
,
, ,
.
36 78 80 126
<< Nog toevoegen: optelling van breuken. >>
<< Nog toevoegen: KGV aan de hand van vermenigvuldiging van breuken. >>
<< Nog toevoegen: bewijs van Euclides dat wortel 2 irrationaal is. >>
Kernbegrippen
Priemgetallen, ontbinding in priemfactoren
Grootste gemene deler (g.g.d.)
Kleinste gemene veelvoud (k.g.v.)
Breuken vereenvoudigen, optellen en vermenigvuldigen
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 11
Opgaven
4.8 ….
Getallen – versie 18-05-2009 – pagina 12