Het nieuwe leerplan wiskunde
advertisement
Het nieuwe leerplan wiskunde in de eerste graad Sessie 2 meetkunde Werkgroep Sabine Beringhs, Linda Duponcheel, Gerd Hellemans, Daisy Peelmans, Björn Carreyn, Hilde De Maesschalck, Maggy Van Hoof, Andre Van der Spiegel Schooljaar 2008-2009 Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 1 Deel I - Congruentie A Situering in het leerplan 1 De doelstellingen uit het leerplan Meetkundige kennis en vaardigheden gebruiken om ruimtelijke en vlakke situaties te modelleren M34 Ruimtelijke en vlakke situaties onderzoeken en daarbij meetkundige concepten en relaties voorstellen en verwoorden. Meetkundige relaties herkennen, onderzoeken, verwoorden en gebruiken M41 Congruente figuren herkennen. 27 M42 De congruentiekenmerken van driehoeken formuleren en illustreren door tekening. 40 U De congruentie van twee figuren illustreren door aan te geven door welke verschuiving, spiegeling of draaiing de ene figuur een beeld is van de andere. Meet- en tekenvaardigheid ontwikkelen M48 Met behulp van passer een hoek construeren waarvan de hoekgrootte gelijk is aan die van een gegeven hoek, en de werkwijze verklaren met congruentiekenmerken. 2 Pedagogisch-didactische wenken a) Komen tot het begrip congruentie De leerlingen kunnen vlakke figuren en patronen in vlakke figuren (zoals bij friezen, behangpapier, figuren van Escher …) onderzoeken op transformaties, congruentie en gelijkvormigheid. Zo krijgen ze een natuurlijke, betekenisvolle basis. Vanuit het basisonderwijs kennen de leerlingen congruente figuren als figuren die gelijk zijn van vorm en grootte, figuren die door 'verplaatsen' op elkaar kunnen gelegd worden. Deze kennis kan nog intuïtief gebruikt worden bij het onderzoeken van allerlei realiteitsgebonden materiaal op congruente figuren. Het begrip zal nu verfijnd worden naar gelijkheid van overeenkomstige zijden en hoeken. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 2 b) De congruentiekenmerken Het overtekenen of construeren van een driehoek leidt op een natuurlijke wijze tot de vraag naar congruentiekenmerken: met behulp van welke elementen, zo klein mogelijk in aantal, kan de driehoek volledig bepaald worden? Voor een aantal leerlingen volstaat deze ontegensprekelijke manier van tekenen als verklaring van de kenmerken. Het formuleren van afzonderlijke congruentiekenmerken voor rechthoekige driehoeken is niet echt noodzakelijk. Die zijn terug te brengen tot de andere kenmerken (van willekeurige driehoeken) waarbij de rechte hoek een van de gegevens is. Uiteraard kunnen deze kenmerken als oefening onderzocht worden. Het gebruiken van de congruentiekenmerken in verklaringen wordt ingeoefend in een stapsgewijs proces. In een eerste stap worden ze toegepast in eenvoudige, snel te herkennen situaties (bijv. bewijs in een gegeven figuur de congruentie van twee aangeduide driehoeken). Ook de vraag waarom twee gegeven driehoeken niet congruent zijn, blijkt een goede oefening te zijn om de kenmerken te herkennen. Daarna wordt overgegaan naar meer complexe toepassingen (bijv. bewijs de gelijkheid van twee hoeken), waarbij de leerling zelf op zoek moet gaan naar de driehoeken, waarvan de congruentie gebruikt zal worden. Zowel de transformaties als de congruentiekenmerken zijn geen doel op zich, maar dienen om eigenschappen van vlakke figuren te bewijzen. Als uitbreiding kan een verband gelegd worden tussen congruentie en transformaties. Het aspect 'verplaatsing' bij congruente figuren (zie M41) kan geïllustreerd worden met behulp van transformaties, zonder evenwel een formeel bewijs op te stellen. c) Bewijzen met behulp van congruentie Het argumenteren en bewijzen van meetkundige eigenschappen biedt een ideale kans om alle fasen van het redeneren te doorlopen. Vanaf een onderzoek op voorbeelden en tegenvoorbeelden,al of niet gesteund door ict-gebruik (meetkundige software), kunnen leerlingen komen tot het behoorlijk formuleren van een vermoeden of hypothese. In het onderzoeksproces worden ze al geconfronteerd met argumenten, die bij het opstellen van een verklaring nog moeten verfijnd worden. Zoals in het onderdeel redeneervaardigheden uit het leerplan is beschreven (5.1) wordt dit proces afgesloten met het uitschrijven van een ordelijk bewijs. Ordelijk betekent dan niet alleen overzichtelijk en net geschreven, maar ook volgens “logische gevolg trekkingen” (zonder dat er noodzakelijk logica bij betrokken wordt). Het opstellen van een meetkunde”bewijs” bestaat gewoonlijk uit volgende drie fasen. - De eerste fase is het ontdekken van de kernidee van het bewijs. - Welke transformatie beeldt een figuur af op zichzelf of op een andere figuur? - Welke congruente driehoeken kunnen gebruikt worden? - Welke hulplijn(en) moet(en) getekend worden? - Dan volgt het verfijnen van de redenering, het verklaren. - Waarom wordt figuur 1 precies op zichzelf of op figuur 2 afgebeeld? - Waarom zijn de driehoeken congruent? - Waarom mag die eigenschap in deze situatie toegepast worden? - Pas daarna volgt in een derde fase het ordelijk uitschrijven van het gevonden bewijs. In het onderdeel redeneervaardigheden werd ruim ingegaan op de aanpak ervan in de lessen. Merk nog op dat het al of niet bewijzen van een eigenschap geen rechtstreeks verband houdt met het ter beschikking zijn van eigenschappen. In de eerste graad is het mogelijk dat aan leerlingen (of aan Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 3 bepaalde groepen van leerlingen) een bewering als eigenschap geconfirmeerd wordt ‘op gezag van de leraar’. Beter dan de onmogelijke taak op te nemen ‘alles’ te willen bewijzen, worden duidelijke en overzichtelijke bewijzen als model voor een bepaalde wijze van redeneren aangeboden (zie de eigenschappen opgesomd bij het basisbeheersingsniveau). Het doel van bewijsvaardigheid is niet (uitsluitend) te overtuigen van de juistheid van de bewering, maar wel denkwijzen en denkprocessen te ontwikkelen die leiden tot het beredeneren en het argumenteren van een bewering. Dat is wat het grootste deel van de leerlingen zal overhouden van ‘bewijsvaardigheid’: het onderbouwen van hun standpunten, die later niet noodzakelijk wiskundig zullen zijn, met argumenten. Zoals aangegeven in deel 5.1 kan het verwerven van redeneervaardigheid maar stapsgewijze verlopen. De eerste graad legt hier de basis voor de verdere ontwikkeling ervan in de tweede en de derde graad (en al of niet afhankelijk van de gekozen doorstroming). Meetkunde biedt heel wat kansen om dat proces te ondersteunen vanuit het voorafgaand onderzoek op voorbeelden, vanuit het gebruik van figuren en vanuit het gebruik van enkele duidelijke standaardschema’s, die het opstellen van een bewijs vereenvoudigen. (Bijv. bij congruentie. Welke driehoeken? Welk congruentiegeval? Welke overeenkomstige elementen in de driehoeken?) Ervaring toont dat een aantal leerlingen met dergelijke schematische steun wel zelf tot het bewijs kan komen. Andere leerlingen hebben die schema’s helemaal niet nodig. Toch kan het eveneens voor hen een hulp zijn om hun denken beter te leren structureren. Gezien de zeer heterogene samenstelling van de leerlingengroepen en de uiteenlopende moeilijkheidsgraad van bewijzen moeten de aanbevelingen soepel geïnterpreteerd worden. De leraar zal de mogelijkheden, om hier al of niet verder op door te gaan, moeten afwegen tegen de beheersingsniveaus die de leerlingen van de klasgroep aankunnen. Met andere woorden, hier liggen heel wat kansen tot differentiatie en verdieping. B Situering in het schooljaar In het leerplan worden er vijf lestijden voorzien voor de aanbreng van het meetkundig concept "congruentie" en de daarbij horende congruentiekenmerken. De verdere toepassing van het begrip congruentie zit verweven in het bewijzen, redeneren en argumenteren. Gedurende het schooljaar zal het onderwerp nog verschillende keren gebruikt worden. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 4 C Leerproces bij de leerlingen 1 Beginsituatie a) Voorkennis In het vierde en vijfde leerjaar van het basisonderwijs leerden leerlingen: - Gelijkheid van grootte en vorm ontdekken en verwoorden in vlakke figuren - Eenvoudige figuren van gelijke vorm en grootte tekenen op geruit papier - Gelijkvormigheid ontdekken en verwoorden in vlakke figuren - Eenvoudige gelijkvormige figuren tekenen op geruit papier In het zesde leerjaar van het basisonderwijs leerden leerlingen: - Met een geodriehoek hoeken meten en tekenen tot op 1° nauwkeurig. In het secundair onderwijs werd er reeds voldoende aandacht besteed aan de notatie van lengte van een lijnstuk, grootte van een hoek, … . Ook leerden leerlingen in het eerste leerjaar A - Een hoek tekenen waarvan de grootte in graden gegeven is. - Een hoek meten tot op één graad nauwkeurig - Een hoek tekenen met dezelfde hoekgrootte als een gegeven hoek. - Ruimtelijke en vlakke situaties onderzoeken en daarbij meetkundige concepten en relaties voorstellen en verwoorden. Opmerkingen - Het is handig om even in de lagere scholen in de buurt na te vragen hoe het gebruik van de geodriehoek aan bod komt in de lessen. Dit gebeurt niet overal op eenzelfde manier. Misschien kunnen hier afspraken rond gemaakt worden. Ook de collega-leerkrachten uit het eerste jaar worden hier best bij betrokken. - De elementen die worden aangegeven in de beginsituatie kunnen gebruikt worden bij het opstellen van diagnostische toetsen. document doorstroming basisonderwijs - secundair onderwijs VVKSO eerste graad Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 5 b) Diagnostische toets Voorbeeld 1: Teken de figuur over zoals gevraagd. Schrijf voluit hoe je onderstaande wiskundige notaties zou lezen Voorbeeld: A: het punt A a) CD: ............................................................................................................ b) c d : ........................................................................................................... c) DÊF : ............................................................................................................ d) XY : ............................................................................................................. e)  : ................................................................................................................. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 6 2 Het begrip congruentie (ca. 1,5 lestijd) a) Congruente figuren rondom ons Media - PowerPoint - foto's en boeken meebrengen naar klas - figuren van Escher - boeken Islamitische patronen - foto's vanuit de schoolomgeving Doel We komen tot de vaststellingen dat er in de omgeving en de realiteit figuren zijn die - niet dezelfde vorm en grootte hebben - dezelfde vorm hebben, maar niet noodzakelijk dezelfde grootte gelijkvormigheid - dezelfde vorm hebben en dezelfde grootte congruentie Suggestie van werkvormen Aan de hand van een leergeprek met een PowerPointpresentatie kunnen we het meetkundige concept (congruentie) voorstellen en verwoorden. Dit duurt zo een tien minuten. PowerPoint: Inleiding begrip congruentie: http://public.me.com/bjorncarreyn Leerlingen kunnen vanuit hun leefomgeving een collage maken met foto's en objecten die gelijkvormig of congruent zijn. Bijlage 1: Congruente figuren in ontwikkelingen van de regelmatige veelvlakken GeoGebra 1: 1_tetraeder.ggb Internet - Escher in the classroom: http://britton.disted.camosun.bc.ca/home.htm Op de website http://britton.disted.camosun.bc.ca/home.htm vind je heel wat informatie over het maken van "Escherfiguren". Klik hiervoor op het icoon van Escher in the classroom. De bouwplaten die je in bijlage 1 vindt, kun je ook daar in afbeeldingformaat downloaden. http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbescher6.htm Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 7 b) Classificatie van de vlakke figuren Media - Verschillende vlakke figuren (driehoeken, vierhoeken, cirkels) YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=P7mze8BuldE Suggestie van werkvormen - klasgesprek over het groeperen van vlakke figuren volgens de indeling die gemaakt is met de foto's uit de realiteit. c) Congruente figuren: wiskundige notatie We verdiepen ons nu in het concept "congruentie". Aan de hand van de vorige voorbeelden kan er gemakkelijk tot een definitie worden gekomen. - Invoeren van het symbool. F2 F1 Symbool Voorbeeld F1 F2 Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde We lezen dit als F1 is congruent met F2 8 Mogelijke opdrachten: - Vanuit patronen en regelmaat congruente figuren herkennen en overtekenen. - notatie inoefenen Mogelijke werkvormen: - onderwijsleergesprek - duowerk - BZW - BZL werkblad vlakke figuren Noteer in symbolen welke figuren met elkaar congruent zijn. Noteer in symbolen welke figuren met elkaar gelijkvormig zijn f3 f2 f1 f6 f4 f5 f7 f9 f8 f11 f13 f12 f14 f10 Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 9 d) Congruente figuren: afspraak bij het noteren Aan de hand van onderstaande figuren kunnen de begrippen overeenkomstige lijnstukken, overeenkomstige punten en overeenkomstige hoeken aangebracht worden. Je kan even goed de begrippen onmiddellijk aanbrengen met twee driehoeken. ABC DEF Begrippen: [AB] en [DE] zijn overeenkomstige lijnstukken [BC] en [DE] zijn overeenkomstige lijnstukken [AC] en [DE] zijn overeenkomstige lijnstukken A en D zijn overeenkomstige hoekpunten B en E zijn overeenkomstige hoekpunten C en F zijn overeenkomstige hoekpunten  en D̂ zijn overeenkomstige hoeken B̂ en Ê zijn overeenkomstige hoeken Ĉ en F̂ zijn overeenkomstige hoeken Definitie in symbolen AB DE ABC DEF BC EF AC DF Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde en  D̂ en B̂ Ê en Ĉ F̂ 10 e) Gedifferentieerd oefenmateriaal OEFENINGEN OP HET ELEMENTAIRE NIVEAU Oefening 1 Hieronder zie je een tegelpatroon. Geef de congruente figuren een zelfde kleur. Oefening 2 Welke van onderstaande figuren zijn congruent en welke gelijkvormig? f5 f3 f2 f4 f1 f8 f6 f7 f9 f11 f10 a) Deze figuren zijn congruent met elkaar: b) Deze figuren zijn gelijkvormig met elkaar: Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde f12 11 Oefening 3 Teken een telkens een congruente figuur met ... 2 1 3 driehoek 1 vierkant 2 zeshoek 3 OEFENINGEN OP HET BASISNIVEAU Oefening 4 Wanneer zijn twee cirkels congruent? Oefening 5 Noteer in symbolen dat onderstaande driehoeken congruent zijn. Oefening 6 Noteer in symbolen welke driehoeken op de figuur hiernaast congruent zijn. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 12 Oefening 7 a) Plaats de volgende punten in een assenstelsel. A(6,5) B(4,1) C(2,2) J(-1,-1) K(-3,0) b) Welke figuur wordt er gevormd door de punten A, B en C? c) We willen een congruente driehoek tekenen met de driehoek ABC. Met welke zijde uit de driehoek ABC zal [JK] een overeenkomstige zijde zijn? d) Bepaal nu een punt L zodat er een congruente driehoek ontstaat met de driehoek ABC. e) Welke is de coördinaat van het punt L? f) Schrijf in symbolen dat de twee getekende driehoeken congruent zijn. GeoGebra 2: 2_congruentie_coordinaten.ggb schermafdruk na stap 1 Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 13 OEFENINGEN OP HET VERDIEPINGSNIVEAU Oefening 8 Oefening 9 Het vierkant hiernaast is onderverdeeld in 16 congruente vierkanten. Als je de bovenste gearceerde driehoek wil afbeelden op de onderste gearceerde driehoek, dan kan dit gebeuren door een draaiing van de eerste driehoek om het punt … Oefening 10 Twee congruente rechthoekige driehoeken worden op elkaar geplaatst zoals in de figuur. Als de hoek = 57° , dan is gelijk aan… Oefening 11 Een vierkante vloer is bedekt met congruente vierkante tegels. De tegels op de twee diagonalen van de vloer zijn zwart. Alle andere tegels zijn wit. Alle andere tegels zijn wit. Als er 101 zwarte tegels zijn, dan is het totaal aantal tegels gelijk aan Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 14 3 Ontdekken van congruentiekenmerken bij driehoeken a) Komen tot de congruentiekenmerken Bedoeling? Als twee driehoeken congruent zijn, dan gelden zes gelijkheden. AB DE ABC DEF BC EF AC DF en  D̂ en B̂ Ê en Ĉ F̂ Volgens de definitie is het omgekeerde ook waar: als deze 6 gelijkheden gelden dan zijn de twee driehoeken congruent. We willen nu op zoek gaan of het altijd nodig is om alle 6 gelijkheden aan te tonen. Misschien volstaat het om er een beperkt aantal aan te tonen. Congruentiekenmerken voor bijv. rechthoekige driehoeken moeten niet afzonderlijk worden behandeld. Die zijn terug te brengen tot de andere kenmerken waarbij de rechte hoek één van de gegevens is. Een onderzoek naar andere afzonderlijke kenmerken kan uiteraard wel verdiepend werken. Media Een combinatie van meetkundesoftware zoals GeoGebra, transparanten en bord is hier mogelijk. We bevelen het gebruik van ICT en GeoGebra het meest aan! Internet: http://www.aromath.net/Page.php?IDP=562&IDD=0 Suggestie van werkvormen - Leerlingen laten onderzoeken welke mogelijke combinatie van gelijkheden leiden tot een congruentiekenmerk. Laat leerlingen hun bevindingen verwoorden. - Per twee werken, of in groep werken kan het denken bevorderen. Leerlingen confronteren met situaties die leiden naar een congruentiekenmerk, maar evenzeer naar met tegenvoorbeelden van niet correcte situaties. (niet elk onderzoek leidt tot een eigenschap of kenmerk) Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 15 b) Congruentiekenmerken met GeoGebra Het kenmerk ZHZ GeoGebra 3: congruentiekenmerk_ZHZ.ggb Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 16 onderzoek congruentiekenmerken Naam: ............................................................................ Klas: ..................... Wiskunde - 2e gemeenschappelijk jaar - Vakleerkracht: Björn Carreyn Stap 1: Een eerste paar overeenkomstige zijden Teken een eerste overeenkomstige zijde DE zodat AB DE . Controleer met GeoGebra. Vink "Eerste gemeenschappelijke zijde" aan. Stap 2: Een paar overeenkomstige hoeken Teken een overeenkomstige hoek Ê zodat B̂ Ê . Controleer met GeoGebra. Vink "Een gemeenschappelijke hoek" aan. Stap 3: Een tweede paar overeenkomstige zijden. Je kunt nu ofwel vanuit het punt D ofwel vanuit het punt E een zijde tekenen om een driehoek te vormen. Maar is de dan gevormde driehoek altijd congruent met de gegeven driehoek? Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 17 ONDERZOEK 1 Afspraak We zullen eerst vanuit het punt E de zijde contrueren. Zo is Ê de ingesloten hoek. Teken vanuit het punt E een cirkelboog met r BC . Noem het snijpunt met met het been van de hoek E, het punt O Welke vaststelling kun je doen? Controleer met GeoGebra: vink onderzoek 1 aan Formuleer jouw besluit, hou rekening met de startvoorwaarden bij onze constructie. ONDERZOEK 2: Maak een nieuwe tekening. Herneem de eerste twee stappen We construeren vanuit het punt D een zijden. In dit geval is Ê niet de ingesloten hoek. Teken vanuit het punt D een cirkelboog met r AC . Wat stel je vast? Noem het snijpunt dat het verst van E ligt H. Teken de driehoek DEH Welke vaststelling kun je doen? Controleer met GeoGebra: vink onderzoek 2a aan Noem het andere snijpunt G. Teken de driehoek DEG. Welke vaststelling kun je doen? Controleer met GeoGebra: vink onderzoek 2b aan. Formuleer jouw besluit aan de hand van de twee vaststellingen, hou rekening met de startvoorwaarden bij onze constructie. Stap 4: Het komen tot een kenmerk Probeer aan de hand van de vorige onderzoeken het congruentiekenmerk te verwoorden. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 18 c) Oefeningen Het is belangrijk om de nodige aandacht te besteden aan de taalvaardigheid en het verwoorden van o.a. de congruentiekenmerken. Vragen zoals "Formuleer het congruentiekenmerk ZZZ in woorden." moeten zeker niet uit de weg gegaan worden. Soms kunnen de congruentiekenmerken op een andere manier getoetst worden. Dit vraagt van de leerlingen een ruimere kijk. Voorbeeld - Teken, indien mogelijk, een driehoek STV die niet congruent is aan driehoek DEF zodat: |ST| = |DE| D̂ Ŝ 25 |TV| = |EF| - Is het mogelijk om een driehoek STV te tekenen die niet congruent is met driehoek DEF? Leg uit waarom wel of waarom niet? Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 19 4 Bewijzen met behulp van congruentie a) Diagnostische toets: voorkennis van de congruentiekenmerken XPZ XYP Noteer onder de figuur op basis van welk congruentiekenmerk je dit kunt besluiten. a) b) P P c) P Y Y X X Y X Z Z Z d) e) X P X f) X Z Y P Z Z Y P Y Schrijf op in symbolen welke driehoeken congruent zijn. Noteer onder de figuur op basis van welk congruentiekenmerk je dit kunt besluiten. Noteer met symbolen a) Het lijnstuk CD: .............................................................................................. b) de rechten c en d vormen een rechte hoek: ................................................... c) de hoek A en de hoek B zijn even grote hoeken: ........................................... d) De lengte van het lijnstuk RT: ........................................................................ e) M is het midden van het lijnstuk AB: .............................................................. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 20 b) Waarom moet je bewijzen? Media: Filmpje wiskundemeisjes wiskunde.m4v - compilatie fragmenten schooltv - Is het echt waar? Fragment 1: Waarom moet er bewezen worden. In dit fragment wordt er aan de hand van een eenvoudig voorbeeld aangetoond waarom er moet bewezen worden. Fragment 2: Het denken van een wiskundige - een duidelijk bewijs. Aan de hand van een kauwgomballenautomaat wordt er aangetoond dat je niet zomaar alles mag geloven. Een wiskundige wil namelijk zeker zijn voor alle gevallen. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 21 c) Bewijzen met congruentie Methode 1 : leerlingen ondersteunen met flow-chart (inspiratie: Discovering Geometry) Voorbeeld 1: Gegeven: AC AD CB DB Te bewijzen: Ĉ D̂ Bewijs: Voorbeeld 2: Gegeven: M is het midden van AB M is het midden van CD Te bewijzen: AC BD Bewijs: Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 22 Een ingevulde versie van een leerling uit 2 Handel Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 23 Methode 2 : leerlingen ondersteunen met een schema (structuur) Gegeven: vierhoek ABCD Â1 = Â2 AB=AD Te bewijzen: BC=DC Bewijs: In ∆ ................ en ∆ ................ geldt: ....................... ................................ ....................... ................................ ....................... ................................ Congruentiekenmerk: ......................... Dus: ......... ........... Dus ................................ want ............................................................ Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 24 Methode 3 : leerlingen ondersteunen met een tabel Tekening Gegeven AC AD CB DB Te Bewijzen Bewijs ACB ADB ACB ADB Verklaring = = = congruentiekenmerk: .................................. Dus: ACB ADB Methode 4 : leerlingen ondersteunen met een stappenplan We bevorderen denk- en redeneervaardigheid door het volgen van een stappenplan. Voorbeeld 1 Gegeven: AB // CD AB = CD CB snijdt AD in M Te Bewijzen: CM = BM a) Maak een passende tekening met behulp van de gegevens. b) Zoek in je wiskundekennis hoe je gelijkheid van even lange lijnstukken kunt bewijzen. c) Welke driehoeken herken je in de figuur? d) Welk congruentiekenmerk kun je hier gebruiken? e) Schrijf de elementen van het congruentiekenmerk uit en verklaar telkens waarom. f) Welke conclusie kun je nu trekken? g) Schrijf alle elementen uit de vorige stappen uit tot één volwaardig bewijs. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 25 Voorbeeld 2: Gegevens visualiseren: met ondersteuning van GeoGebra Gegeven: vierhoek ABCD AB AD CB CD Te Bewijzen: a) ABC ADC b) AC is een deellijn van de hoeken  en Ĉ GeoGebra 4: 4_congruentie_oefening7.ggb Voorbeeld 3: Opbouw stappenplan: met ondersteuning van GeoGebra Ô Gegeven: OA OD 0B OD Te Bewijzen: OAD OCB GeoGebra 5: 5_congruentie_oefening6.ggb Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 26 Methode 5: Open opdrachten (opdracht gegeven in woorden, geen ondersteuning gegeven, niet noodzakelijk een figuur gegeven) Voorbeeld - de deellijn van de tophoek van een gelijkbenige driehoek verdeelt die driehoek in twee congruente driehoeken. - de hoogtelijn uit de top van een gelijkbenige driehoek verdeelt die driehoek in twee congruente driehoeken. Ingevulde versie van een leerling: De zwaartelijn uit de top van een gelijkbenige driehoek verdeelt die driehoek in twee congruente driehoeken. GeoGebra 6: 6_congruentie_oefening8.ggb - Als men op de benen [AB en [AC van een hoek BÂC gelijke stukken AB AC afmeet en in B en C de loodlijnen opricht op de benen, dan snijden deze loodlijnen elkaar in een punt P. Toon aan dat het punt P op de deellijn ligt van de hoek BÂC. Stappen in het denkpatroon van de leerling: - Het maken van de tekening. - Het nadenken over wat er moet bewezen worden. - Het zoeken naar de juiste driehoeken. - Het zoeken naar het congruentiekenmerk. - Het opschrijven van het bewijs. Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 27 Methode 6: tweekolommenbewijs (Methode uit een Amerikaans handboek) Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 28 5 Oefenpakket met verschillende beheersingniveaus Bijlage 2: oefeningen over congruentie Noteer bij de oefeningen het beheersingsniveau voor leerlingen van de eerste graad, tweede gemeenschappelijk leerjaar a. Denk vooral in functie van alle leerlingen van het tweede jaar. Internet: http://www.usolvit.be Bijlage 3: toetsen Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 29 6 Congruentie in het verder curriculum a) Het tweede gemeenschappelijk leerjaar leerplan VVKSO - wiskunde eerste graad b) Voorbeeld uit het tweede jaar Voorbeeld: eigenschappen vierhoeken In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot.. Maak een passende tekening aan de hand van jouw gegevens. Welk(e) wiskundig(e) concept(en) zul je gebruiken om deze eigenschap te bewijzen? transformaties evenwijdigen en een snijlijn congruentie Toon de eigenschap aan. Schrijf jouw redenering wiskundig. Maak gebruik van de figuur bij vraag a Gegeven: Te Bewijzen: Bewijs: c) Wat na het tweede jaar? Bijlage 4: doorstroming in de tweede graad Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 30 Deel II - Werkvormen a) Werken in duo's zie pag. 16 b) Congruentiespel Bijlage 5: bestanden congruentiespel c) webquest symmetrie http://users.telenet.be/bjorncarreyn/sym/ d) BZL / BZW Bijlage 6: BZL Deel III - Parate kennis Bijlage 7: Leren leren - wiskunde ordenen en structureren Deel IV - Evaluatie Bijlage 6: BZL/BZW - product- en procesevaluatie Excel: beheersingsniveaus bijhouden met een rekenblad Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 31 D Referenties BOEKEN SERRA, M., Discovering Geometry - An investigative Approach - Fourth Edition, Key Curriculum Press, Emeryville, 2008, 834 pagina's BROUG, E., Islamitische geometrische patronen zelf ontwerpen en maken, Bulaaq, Amsterdam, 2006, 123 pagina's Leerboeken secundair onderwijs - eerste graad INTERNET Escher in the classroom - http://britton.disted.camosun.bc.ca/home.htm Webquest symmetrie - http://users.telenet.be/bjorncarreyn/sym/ Congruentiekenmerken - applets: http://www.aromath.net/Page.php?IDP=562&IDD=0 Werkbladenruimte: - http://public.me.be/bjorncarreyn/ Usolv-It : http://www.usolvit.be Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 32 Inhoudstafel A Situering in het leerplan ................................................................................................................ 2 1 De doelstellingen uit het leerplan............................................................................................... 2 2 Pedagogisch-didactische wenken ............................................................................................... 2 a) Komen tot het begrip congruentie......................................................................................... 2 b) De congruentiekenmerken .................................................................................................... 3 c) Bewijzen met behulp van congruentie .................................................................................. 3 B Situering in het schooljaar ............................................................................................................. 4 C Leerproces bij de leerlingen .......................................................................................................... 5 1 Beginsituatie............................................................................................................................... 5 a) Voorkennis ............................................................................................................................ 5 b) Diagnostische toets ............................................................................................................... 6 2 Het begrip congruentie (ca. 1,5 lestijd) ...................................................................................... 7 a) Congruente figuren rondom ons ........................................................................................... 7 b) Classificatie van de vlakke figuren ....................................................................................... 8 c) Congruente figuren: wiskundige notatie ............................................................................... 8 d) Congruente figuren: afspraak bij het noteren ..................................................................... 10 e) Gedifferentieerd oefenmateriaal ......................................................................................... 11 3 Ontdekken van congruentiekenmerken bij driehoeken ............................................................ 15 a) Komen tot de congruentiekenmerken ................................................................................. 15 b) Congruentiekenmerken met GeoGebra .............................................................................. 16 c) Oefeningen .......................................................................................................................... 19 4 Bewijzen met behulp van congruentie ..................................................................................... 20 a) Diagnostische toets: voorkennis van de congruentiekenmerken ........................................ 20 b) Waarom moet je bewijzen? ................................................................................................ 21 c) Bewijzen met congruentie................................................................................................... 22 5 Oefenpakket met verschillende beheersingniveaus ................................................................. 29 6 Congruentie in het verder curriculum ...................................................................................... 30 a) Het tweede gemeenschappelijk leerjaar .............................................................................. 30 b) Voorbeeld uit het tweede jaar ............................................................................................. 30 c) Wat na het tweede jaar? ...................................................................................................... 30 a) Werken in duo's .................................................................................................................. 31 b) Congruentiespel .................................................................................................................. 31 c) webquest symmetrie............................................................................................................ 31 d) BZL / BZW ......................................................................................................................... 31 D Referenties................................................................................................................................... 32 Inhoudstafel ........................................................................................................................................ 33 Nieuw leerplan wiskunde - meetkunde 33
