Een nieuw leerplan wiskunde in de eerste graad Sessie 2 Meetkunde

Een nieuw leerplan wiskunde
in de eerste graad
Sessie 2 Meetkunde
Werkgroep
Sabine Beringhs, Linda Duponcheel, Gerd Hellemans,
Daisy Peelmans, Björn Carreyn, Hilde De Maesschalck,
Maggy Van Hoof, Andre Van der Spiegel
Schooljaar 2008-2009
1
INHOUD
DEEL I : Congruentie
Bijlage 1 : Congruente figuren in ontwikkelingen van regelmatige veelvlakken
Bijlage 2 : Oefeningen
Bijlage 3: Probleemoplossend denken
Bijlage 4 : Onderzoeksopdrachten
DEEL II : Werkvormen
Tekst
Webquest
Bijlage 5 : Congruentiespel
Bijlage 6 : BZL / BZW
DEEL III : Parate kennis
Bijlage 7 : Discussietekst
DEEL IV : Evaluatie
Bijlage 8 : Toetsen
2
Deel I - Congruentie
A
Situering in het leerplan
1
De doelstellingen uit het leerplan
Meetkundige kennis en vaardigheden gebruiken om ruimtelijke en vlakke situaties te
modelleren
M34
Ruimtelijke en vlakke situaties onderzoeken en daarbij meetkundige concepten en
relaties voorstellen en verwoorden.
Meetkundige relaties herkennen, onderzoeken, verwoorden en gebruiken
M41
Congruente figuren herkennen.
27
M42
De congruentiekenmerken van driehoeken formuleren en illustreren door
tekening.
40
U
De congruentie van twee figuren illustreren door aan te geven door welke
verschuiving, spiegeling of draaiing de ene figuur een beeld is van de andere.
Meet- en tekenvaardigheid ontwikkelen
M48
Met behulp van passer een hoek construeren waarvan de hoekgrootte gelijk is aan
die van een gegeven hoek, en de werkwijze verklaren met congruentiekenmerken.
2
Pedagogisch-didactische wenken
a)
Komen tot het begrip congruentie
De leerlingen kunnen vlakke figuren en patronen in vlakke figuren (zoals bij friezen, behangpapier,
figuren van Escher …) onderzoeken op transformaties, congruentie en gelijkvormigheid. Zo krijgen
ze een natuurlijke, betekenisvolle basis.
Vanuit het basisonderwijs kennen de leerlingen congruente figuren als figuren die gelijk zijn van
vorm en grootte, figuren die door 'verplaatsen' op elkaar kunnen gelegd worden. Deze kennis kan
nog intuïtief gebruikt worden bij het onderzoeken van allerlei realiteitsgebonden materiaal op
congruente figuren. Het begrip zal nu verfijnd worden naar gelijkheid van overeenkomstige zijden
en hoeken.
3
b)
De congruentiekenmerken
Het overtekenen of construeren van een driehoek leidt op een natuurlijke wijze tot de vraag naar
congruentiekenmerken: met behulp van welke elementen, zo klein mogelijk in aantal, kan de
driehoek volledig bepaald worden? Voor een aantal leerlingen volstaat deze ontegensprekelijke
manier van tekenen als verklaring van de kenmerken.
Het gebruiken van de congruentiekenmerken in verklaringen wordt ingeoefend in een stapsgewijs
proces. In een eerste stap worden ze toegepast in eenvoudige, snel te herkennen situaties (bijv.
bewijs in een gegeven figuur de congruentie van twee aangeduide driehoeken). Ook de vraag
waarom twee gegeven driehoeken niet congruent zijn, blijkt een goede oefening te zijn om de
kenmerken te herkennen. Daarna wordt overgegaan naar meer complexe toepassingen (bijv. bewijs
de gelijkheid van twee hoeken), waarbij de leerling zelf op zoek moet gaan naar de driehoeken,
waarvan de congruentie gebruikt zal worden.
Zowel de transformaties als de congruentiekenmerken zijn geen doel op zich, maar dienen om
eigenschappen van vlakke figuren te bewijzen.
Als uitbreiding kan een verband gelegd worden tussen congruentie en transformaties. Het aspect
'verplaatsing' bij congruente figuren (zie M41) kan geïllustreerd worden met behulp van
transformaties, zonder evenwel een formeel bewijs op te stellen.
c)
Bewijzen dat driehoeken congruent zijn
Het argumenteren en bewijzen van meetkundige eigenschappen biedt een ideale kans om alle fasen
van het redeneren te doorlopen. Vanaf een onderzoek op voorbeelden en tegenvoorbeelden,al of
niet gesteund door ict-gebruik (meetkundige software), kunnen leerlingen komen tot het behoorlijk
formuleren van een vermoeden of hypothese. In het onderzoeksproces worden ze al geconfronteerd
met argumenten, die bij het opstellen van een verklaring nog moeten verfijnd worden.
Zoals in het onderdeel redeneervaardigheden uit het leerplan is beschreven (5.1) wordt dit proces
afgesloten met het uitschrijven van een ordelijk bewijs. Ordelijk betekent dan niet alleen
overzichtelijk en net geschreven, maar ook volgens “logische gevolg trekkingen” (zonder dat er
noodzakelijk logica bij betrokken wordt).
Het opstellen van een meetkunde”bewijs” bestaat gewoonlijk uit volgende drie fasen.
- De eerste fase is het ontdekken van de kernidee van het bewijs.
o Welke transformatie beeldt een figuur af op zichzelf of op een andere figuur?
o Welke congruente driehoeken kunnen gebruikt worden?
o Welke hulplijn(en) moet(en) getekend worden?
- Dan volgt het verfijnen van de redenering, het verklaren.
o Waarom wordt figuur 1 precies op zichzelf of op figuur 2 afgebeeld?
o Waarom zijn de driehoeken congruent?
o Waarom mag die eigenschap in deze situatie toegepast worden?
- Pas daarna volgt in een derde fase het ordelijk uitschrijven van het gevonden bewijs.
In het onderdeel redeneervaardigheden in het leerplan werd ruim ingegaan op de aanpak ervan in de
lessen. Merk nog op dat het al of niet bewijzen van een eigenschap geen rechtstreeks verband houdt
met het ter beschikking zijn van eigenschappen. In de eerste graad is het mogelijk dat aan leerlingen
(of aan bepaalde groepen van leerlingen) een bewering als eigenschap geconfirmeerd wordt ‘op
gezag van de leraar’. Beter dan de onmogelijke taak op te nemen ‘alles’ te willen bewijzen, worden
duidelijke en overzichtelijke bewijzen als model voor een bepaalde wijze van redeneren aangeboden
(zie de eigenschappen opgesomd bij het basisbeheersingsniveau).
4
Het doel van bewijsvaardigheid is niet (uitsluitend) te overtuigen van de juistheid van de bewering,
maar wel denkwijzen en denkprocessen te ontwikkelen die leiden tot het beredeneren en het
argumenteren van een bewering. Dat is wat het grootste deel van de leerlingen zal overhouden van
‘bewijsvaardigheid’: het onderbouwen van hun standpunten, die later niet noodzakelijk wiskundig
zullen zijn, met argumenten.
Zoals aangegeven in deel 5.1 (leerplan) kan het verwerven van redeneervaardigheid maar
stapsgewijze verlopen. De eerste graad legt hier de basis voor de verdere ontwikkeling ervan in de
tweede en de derde graad (en al of niet afhankelijk van de gekozen doorstroming). Meetkunde biedt
heel wat kansen om dat proces te ondersteunen vanuit het voorafgaand onderzoek op voorbeelden,
vanuit het gebruik van figuren en vanuit het gebruik van enkele duidelijke standaardschema’s, die
het opstellen van een bewijs vereenvoudigen. (Bijv. bij congruentie. Welke driehoeken? Welk
congruentiegeval? Welke overeenkomstige elementen in de driehoeken?) Ervaring toont dat een
aantal leerlingen met dergelijke schematische steun wel zelf tot het bewijs kan komen. Andere
leerlingen hebben die schema’s helemaal niet nodig. Toch kan het eveneens voor hen een hulp zijn
om hun denken beter te leren structureren.
Gezien de zeer heterogene samenstelling van de leerlingengroepen en de uiteenlopende
moeilijkheidsgraad van bewijzen moeten de aanbevelingen soepel geïnterpreteerd worden. De
leraar zal de mogelijkheden, om hier al of niet verder op door te gaan, moeten afwegen tegen de
beheersingsniveaus die de leerlingen van de klasgroep aankunnen. Met andere woorden, hier liggen
heel wat kansen tot differentiatie en verdieping.
B
Situering in het schooljaar
In het leerplan worden er vijf lestijden voorzien voor de aanbreng van het meetkundig concept
"congruentie" en de daarbij horende congruentiekenmerken.
C
Toepassing: bewijzen van eigenschappen van vlakke figuren
met behulp van congruentie
De verdere toepassing van het begrip congruentie zit verweven in het argumenteren, redeneren,
bewijzen, vooral bij de verdere studie van vlakke figuren (driehoeken, vierhoeken).
Hierbij zijn heel wat kansen om gedifferentieerd te werken.
Leerlingen vertrouwd maken met het gebruik van heuristische methoden en het werken met een
‘gereedschapskist’ kan hier ook een plaats krijgen.
5
D Leerproces bij de leerlingen
1
Beginsituatie
a)
Voorkennis
In het vierde en vijfde leerjaar van het basisonderwijs leerden leerlingen:
- Gelijkheid van grootte en vorm ontdekken en verwoorden in vlakke figuren
- Eenvoudige figuren van gelijke vorm en grootte tekenen op geruit papier
- Gelijkvormigheid ontdekken en verwoorden in vlakke figuren
- Eenvoudige gelijkvormige figuren tekenen op geruit papier
In het zesde leerjaar van het basisonderwijs leerden leerlingen:
- Met een geodriehoek hoeken meten en tekenen tot op 1° nauwkeurig.
In het secundair onderwijs werd er reeds voldoende aandacht besteed aan de notatie van lengte van
een lijnstuk, grootte van een hoek, … .
Ook leerden leerlingen in het eerste leerjaar A
- Een hoek tekenen waarvan de grootte in graden gegeven is.
- Een hoek meten tot op één graad nauwkeurig
- Een hoek tekenen met dezelfde hoekgrootte als een gegeven hoek.
- Ruimtelijke en vlakke situaties onderzoeken en daarbij meetkundige concepten en relaties
voorstellen en verwoorden.
Opmerkingen
- Het is handig om even in de lagere scholen in de buurt na te vragen hoe het gebruik van de
geodriehoek aan bod komt in de lessen. Dit gebeurt niet overal op eenzelfde manier. Misschien
kunnen hier afspraken rond gemaakt worden. Ook de collega-leerkrachten uit het eerste jaar
worden hier best bij betrokken.
- De elementen die worden aangegeven in de beginsituatie kunnen gebruikt worden bij het
opstellen van diagnostische toetsen.
document doorstroming basisonderwijs - secundair onderwijs VVKSO eerste graad
6
b)
Diagnostische toets
Voorbeeld 1:
Teken de figuur over zoals gevraagd.
Schrijf voluit hoe je onderstaande wiskundige notaties zou lezen
Voorbeeld: A: het punt A
a)
[CD ]: ............................................................................................................
b)
c ⊥ d : ...........................................................................................................
c)
DÊF : ............................................................................................................
d)
XY : .............................................................................................................
e)
 : .................................................................................................................
7
2
Het begrip congruentie (ca. 1,5 lestijd)
a)
Congruente figuren rondom ons
Media
- PowerPoint, bijv. ‘Kijken rondom ons’
- foto's en boeken meebrengen naar klas
- figuren van Escher
- boeken Islamitische patronen
- foto's vanuit de schoolomgeving
Doel
We komen tot de vaststellingen dat er in de omgeving en de realiteit figuren zijn die
- niet dezelfde vorm en grootte hebben
- dezelfde vorm hebben, maar niet noodzakelijk dezelfde grootte gelijkvormige figuren
- dezelfde vorm hebben en dezelfde grootte congruente figuren
Suggestie van werkvormen
Aan de hand van een leergeprek met een PowerPointpresentatie kunnen we het meetkundige
concept (congruentie) voorstellen en verwoorden. Dit duurt zo een tien minuten.
PowerPoint: Kijken rondom ons
Leerlingen kunnen vanuit hun leefomgeving een collage maken met foto's en objecten die
gelijkvormig of congruent zijn.
Bijlage 1: Congruente figuren in ontwikkelingen van de regelmatige veelvlakken
GeoGebra 1: 1_tetraeder.ggb
Internet - Escher in the classroom: http://britton.disted.camosun.bc.ca/home.htm
Op de website http://britton.disted.camosun.bc.ca/home.htm vind je heel wat informatie over het
maken van "Escherfiguren". Klik hiervoor op het icoon van Escher in the classroom.
De bouwplaten die je in bijlage 1 vindt, kun je ook daar in afbeeldingformaat downloaden.
http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbescher6.htm
8
b)
Classificatie van de vlakke figuren
Media
- Verschillende vlakke figuren (driehoeken, vierhoeken, cirkels)
YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=P7mze8BuldE
Suggestie van werkvormen
- klasgesprek over het groeperen van vlakke figuren volgens de indeling die gemaakt is met de
foto's uit de realiteit.
c)
Congruente figuren: wiskundige notatie
We verdiepen ons nu in het concept "congruentie". Aan de hand van de vorige voorbeelden kan er
gemakkelijk tot een definitie* worden gekomen.
- Invoeren van het symbool.
F2
F1
Symbool
Voorbeeld
We lezen dit als
9
≅
F1 ≅ F2
F1 is congruent met F2
10
Mogelijke opdrachten:
- Vanuit patronen en regelmaat congruente figuren herkennen en overtekenen.
- notatie inoefenen
werkblad vlakke figuren
Noteer in symbolen welke figuren met elkaar congruent zijn.
Noteer in symbolen welke figuren met elkaar gelijkvormig zijn
f3
f2
f1
f6
f4
f5
f7
f9
f8
f11
f10
f12
f13
f14
11
d)
Congruente figuren: afspraak bij het noteren
Aan de hand van onderstaande figuren kunnen de begrippen overeenkomstige lijnstukken,
overeenkomstige punten en overeenkomstige hoeken aangebracht worden.
Je kan even goed de begrippen onmiddellijk aanbrengen met twee driehoeken.
∆ABC ≅ ∆DEF
Begrippen:
[AB] en [DE] zijn overeenkomstige lijnstukken
[BC] en [DE] zijn overeenkomstige lijnstukken
[AC] en [DE] zijn overeenkomstige lijnstukken
A en D zijn overeenkomstige hoekpunten
B en E zijn overeenkomstige hoekpunten
C en F zijn overeenkomstige hoekpunten
 en D̂ zijn overeenkomstige hoeken
B̂ en Ê zijn overeenkomstige hoeken
Ĉ en F̂ zijn overeenkomstige hoeken
Definitie in symbolen
 AB = DE

∆ABC ≅ ∆DEF ⇔  BC = EF

 AC = DF
e)
en
 = D̂
en
B̂ = Ê
en
Ĉ = F̂
Klassikaal oefenen
12
f)
Gedifferentieerde oefeningen
Oefeningen op het elementaire niveau
Oefening 1
Hieronder zie je een tegelpatroon. Geef de congruente figuren een zelfde kleur.
Oefening 2
Welke van onderstaande figuren zijn congruent en welke gelijkvormig?
f5
f3
f2
f4
f1
f8
f6
f7
f10
f9
f11
a)
Deze figuren zijn congruent met elkaar:
b)
Deze figuren zijn gelijkvormig met elkaar:
f12
13
Oefening 3
Teken een telkens een congruente figuur met ...
2
1
3
driehoek 1
vierkant 2
zeshoek 3
OEFENINGEN OP HET BASISNIVEAU
Oefening 4
Wanneer zijn twee cirkels congruent?
Oefening 5
Waar of niet waar ?
Vierkanten met dezelfde omtrek zijn altijd congruent.
Vierkanten met dezelfde oppervlakte zijn altijd congruent.
Driehoeken met dezelfde omtrek zijn altijd congruent.
Driehoeken met dezelfde oppervlakte zijn altijd congruent.
Cirkels met dezelfde omtrek zijn altijd congruent.
Cirkels met dezelfde oppervlakte zijn altijd congruent.
14
Oefening 6
Noteer in symbolen dat onderstaande driehoeken congruent zijn.
Oefening 7
Noteer in symbolen welke driehoeken op de figuur congruent zijn.
Oefening 7
a) Plaats de volgende punten in een assenstelsel.
A(6,5)
B(4,1)
C(2,2)
J(-1,-1)
K(-3,0)
b) We willen een congruente driehoek tekenen met de driehoek ABC. Met welke zijde uit de
driehoek ABC zal [JK] een overeenkomstige zijde zijn?
d) Bepaal nu een punt L zodat er een congruente driehoek ontstaat met de driehoek ABC. Hoeveel
mogelijkheden zijn er ?
15
e) Geef de coördinaat van elk mogelijk punt.
f) Schrijf in symbolen dat de twee getekende driehoeken congruent zijn.
GeoGebra 2: 2_congruentie_coordinaten.ggb
schermafdruk na stap 1
16
OEFENINGEN OP HET VERDIEPINGSNIVEAU
Oefening 8
Vierendelen
Wie in Frankrijk de koning vermoordde werd ‘gevierendeeld’. Vierendelen was ook een oude maat
om graan te wegen. Ook in de meetkunde wordt geprobeerd figuren in ‘vieren te delen’.
Verdeel elke figuur in 4 congruente figuren.
Eventueel kan een tip worden toegevoegd.
Oefening 9
Het vierkant hiernaast is onderverdeeld in 16 congruente vierkanten. Als je de
bovenste gearceerde driehoek wil afbeelden op de onderste gearceerde
driehoek, dan kan dit gebeuren door …….
Oefening 10
Een vierkante vloer is bedekt met congruente vierkante tegels. De tegels op de
twee diagonalen van de vloer zijn zwart. Alle andere tegels zijn wit. Alle
andere tegels zijn wit. Als er 101 zwarte tegels zijn, dan is het totaal aantal
tegels gelijk aan
17
3
Ontdekken van congruentiekenmerken bij driehoeken
a)
Komen tot de congruentiekenmerken
Bedoeling?
Als twee driehoeken congruent zijn, dan gelden zes gelijkheden.
 AB = DE

∆ABC ≅ ∆DEF ⇔  BC = EF

 AC = DF
en
 = D̂
en
B̂ = Ê
en
Ĉ = F̂
Volgens de definitie is het omgekeerde ook waar: als deze 6 gelijkheden gelden dan zijn de twee
driehoeken congruent.
We willen nu op zoek gaan of het altijd nodig is om alle 6 gelijkheden aan te tonen. Misschien
volstaat het om er een beperkt aantal aan te tonen.
Media
Een combinatie van meetkundesoftware zoals GeoGebra, transparanten en bord is hier mogelijk.
We bevelen het gebruik van ICT en GeoGebra het meest aan!
Internet: http://www.aromath.net/Page.php?IDP=562&IDD=0
Suggestie van werkvormen
-
Leerlingen laten onderzoeken welke mogelijke combinatie van gelijkheden leiden tot een
congruentiekenmerk. Laat leerlingen hun bevindingen verwoorden.
-
Per twee werken, of in groep werken kan het denken bevorderen. Leerlingen confronteren met
situaties die leiden naar een congruentiekenmerk, maar evenzeer naar met tegenvoorbeelden van
niet correcte situaties. (niet elk onderzoek leidt tot een eigenschap of kenmerk)
18
b)
Congruentiekenmerken met GeoGebra
Het kenmerk ZHZ
GeoGebra 3: congruentiekenmerk_ZHZ.ggb
19
onderzoek congruentiekenmerken
Naam: ............................................................................ Klas: .....................
Wiskunde - 2e gemeenschappelijk jaar - Vakleerkracht: Björn Carreyn
Stap 1: Een eerste paar overeenkomstige zijden
0
Teken een eerste overeenkomstige zijde [DE ] zodat AB = DE .
0
Controleer met GeoGebra. Vink "Eerste gemeenschappelijke zijde" aan.
Stap 2: Een paar overeenkomstige hoeken
0
Teken een overeenkomstige hoek Ê zodat B̂ = Ê .
0
Controleer met GeoGebra. Vink "Een gemeenschappelijke hoek" aan.
Stap 3: Een tweede paar overeenkomstige zijden.
Je kunt nu ofwel vanuit het punt D ofwel vanuit het punt E een zijde tekenen om een
driehoek te vormen. Maar is de dan gevormde driehoek altijd congruent met de gegeven
driehoek?
20
ONDERZOEK 1
Afspraak We zullen eerst vanuit het punt E de zijde contrueren.
Zo is Ê de ingesloten hoek.
0
Teken vanuit het punt E een cirkelboog met r = BC .
0
0
0
0
Noem het snijpunt met het been van de hoek E, het punt O
Welke vaststelling kun je doen?
Controleer met GeoGebra: vink onderzoek 1 aan
Formuleer jouw besluit, hou rekening met de startvoorwaarden bij onze constructie.
ONDERZOEK 2:
0
Maak een nieuwe tekening. Herneem de eerste twee stappen
We construeren vanuit het punt D een zijde. In dit geval is Ê
niet de ingesloten hoek.
0
Teken vanuit het punt D een cirkelboog met r = AC .
0
0
0
0
0
Wat stel je vast?
Noem het snijpunt dat het verst van E ligt H.
Teken de driehoek DEH
Welke vaststelling kun je doen?
Controleer met GeoGebra: vink onderzoek 2a aan
0
0
0
0
Noem het andere snijpunt G.
Teken de driehoek DEG.
Welke vaststelling kun je doen?
Controleer met GeoGebra: vink onderzoek 2b aan.
0
Formuleer jouw besluit aan de hand van de twee vaststellingen, hou rekening met de
startvoorwaarden bij onze constructie.
Stap 4: Het komen tot een kenmerk
Probeer aan de hand van de vorige onderzoeken het congruentiekenmerk te verwoorden.
21
c)
Oefeningen
Het is belangrijk om de nodige aandacht te besteden aan de taalvaardigheid en het verwoorden van
o.a. de congruentiekenmerken. Vragen zoals "Formuleer het congruentiekenmerk ZZZ in woorden."
moeten zeker niet uit de weg gegaan worden.
Soms kunnen de congruentiekenmerken op een andere manier getoetst worden. Dit vraagt van de
leerlingen een ruimere kijk.
Voorbeeld
- Teken, indien mogelijk, een driehoek STV die niet congruent is aan driehoek DEF zodat:
|ST| = |DE|
D̂ = Ŝ = 25°
|TV| = |EF|
-
Is het mogelijk om een driehoek STV te tekenen die niet congruent is met driehoek DEF? Leg
uit waarom wel of waarom niet?
22
4
Bewijzen met behulp van congruentie
a)
Diagnostische toets: voorkennis van de congruentiekenmerken
∆XPZ ≅ ∆XYP
Noteer onder de figuur op basis van welk congruentiekenmerk je dit kunt besluiten.
a)
b)
P
c)
P
P
Y
Y
X
X
Y
X
Z
Z
Z
d)
e)
X
P
f)
X
X
Z
Y
P
Z
Z
Y
P
Y
Schrijf op in symbolen welke driehoeken congruent zijn.
Noteer onder de figuur op basis van welk congruentiekenmerk je dit kunt besluiten.
Noteer met symbolen
a)
Het lijnstuk CD: ..............................................................................................
b)
de rechten c en d vormen een rechte hoek: ...................................................
c)
de hoek A en de hoek B zijn even grote hoeken: ...........................................
d)
De lengte van het lijnstuk RT: ........................................................................
e)
M is het midden van het lijnstuk AB: ..............................................................
23
b)
Waarom moet je bewijzen?
Media: Filmpje wiskundemeisjes
wiskunde.m4v - compilatie fragmenten schooltv - Is het echt waar?
Fragment 1: Waarom moet er bewezen worden.
In dit fragment wordt er aan de hand van een eenvoudig voorbeeld aangetoond waarom er moet
bewezen worden.
Fragment 2: Het denken van een wiskundige - een duidelijk bewijs.
Aan de hand van een kauwgomballenautomaat wordt er aangetoond dat je niet zomaar alles mag
geloven. Een wiskundige wil namelijk zeker zijn voor alle gevallen.
24
c)
Bewijzen met congruentie
Methode 1 : leerlingen ondersteunen met een gegeven structuur
Illustratie 1: flowchart
(uit: Discovering Geometry)
Gegeven:
AC = AD
CB = DB
Te bewijzen: Ĉ = D̂
Bewijs:
Voorbeeld 2:
Gegeven:
M is het midden van [AB]
M is het midden van [CD ]
Te bewijzen:
AC = BD
Bewijs:
25
Illustratie 2 : een schema
vierhoek ABCD
Â1 = Â2
AB=AD
Gegeven:
Te bewijzen: BC=DC
Bewijs:
In ∆ ................ en ∆ ................ geldt:
.......................
.................................
.......................
.................................
.......................
.................................
Congruentiekenmerk: ..........................
Dus: ∆ ......... ≅ ∆ ...........
Dus ...............................
want ...........................................................
Illustratie 3 : een tabel
Tekening
Gegeven
AC = AD
CB = DB
Te Bewijzen
Bewijs
∆ACB ≅ ∆ADB
∆ACB
∆ADB
Verklaring
=
=
=
congruentiekenmerk: ..................................
Dus: ∆ACB ≅ ∆ADB
26
Methode 2 : leerlingen ondersteunen met een stappenplan
We bevorderen denk- en redeneervaardigheid door het volgen van een stappenplan.
Voorbeeld 1
Gegeven:
AB // CD
AB = CD
CB snijdt AD in M
Te Bewijzen:
CM = BM
a)
Maak een passende tekening en duid de gegevens aan op de tekening.
b)
Zoek in je wiskundekennis hoe je gelijkheid van even lange lijnstukken kunt bewijzen.
c)
Welke driehoeken herken je in de figuur?
d)
Welk congruentiekenmerk kun je hier gebruiken?
e)
Schrijf de elementen van het congruentiekenmerk uit en verklaar telkens waarom.
f)
Welke conclusie kun je nu trekken?
g)
Schrijf alle elementen uit de vorige stappen uit tot één volwaardig bewijs.
Voorbeeld 2: Gegevens visualiseren: met ondersteuning van GeoGebra
Gegeven:
vierhoek ABCD
AB = AD
CB = CD
Te Bewijzen: a) ∆ABC ≅ ∆ADC
b) AC is een deellijn van de hoeken  en Ĉ
GeoGebra 4: 4_congruentie_oefening7.ggb
27
Voorbeeld 3: Opbouw stappenplan: met ondersteuning van GeoGebra
Gegeven:
Ô
OA = OC
OB = OD
Te Bewijzen: ∆OAD ≅ ∆OCB
28
GeoGebra 5: 5_congruentie_oefening6.ggb
Methode 3: Open opdrachten (opdracht gegeven in woorden, geen ondersteuning gegeven,
niet noodzakelijk een figuur gegeven)
Voorbeeld
- de deellijn van de tophoek van een gelijkbenige driehoek verdeelt die driehoek in twee
congruente driehoeken.
- de hoogtelijn uit de top van een gelijkbenige driehoek verdeelt die driehoek in twee congruente
driehoeken.
Ingevulde versie van een leerling:
De zwaartelijn uit de top van een gelijkbenige driehoek verdeelt die driehoek in twee congruente
driehoeken.
GeoGebra 6: 6_congruentie_oefening8.ggb
-
Als men op de benen [AB en [AC van een hoek BÂC gelijke stukken AB = AC afmeet en in B
en C de loodlijnen opricht op de benen, dan snijden deze loodlijnen elkaar in een punt P. Toon
aan dat het punt P op de deellijn ligt van de hoek BÂC.
Stappen in het denkpatroon van de leerling:
-
Het maken van de tekening met aanduiden van de gegevens
Het nadenken over wat er moet bewezen worden.
Het zoeken naar de juiste driehoeken.
Het zoeken naar het congruentiekenmerk.
Het opschrijven van het bewijs.
29
5
Toepassingen: eigenschappen vlakke figuren
a)
Het tweede gemeenschappelijk leerjaar
leerplan VVKSO - wiskunde eerste graad
b)
Voorbeeld uit het tweede jaar
Voorbeeld: eigenschappen vierhoeken
In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot..
Maak een passende tekening aan de hand van jouw gegevens.
Welk(e) wiskundig(e) concept(en) zul je gebruiken om deze eigenschap te bewijzen?
transformaties
evenwijdigen en een snijlijn
congruentie
Toon de eigenschap aan. Schrijf jouw redenering wiskundig.
Maak gebruik van de figuur bij vraag a
Gegeven:
Te Bewijzen:
Bewijs:
6
Congruentie en toepassingen
Bijlage 2: oefeningen
Opdracht: noteer bij de oefeningen het beheersingsniveau voor leerlingen van de eerste graad,
tweede gemeenschappelijk leerjaar a. Denk vooral in functie van alle leerlingen van het tweede
jaar.
Internet: http://www.usolvit.be
30
Bijlage 3 : Probleemoplossend denken
Bijlage 4 : Onderzoeksopdrachten
7
Congruentie in het verdere curriculum
31
DEEL II
Werkvormen
1 Hoekenwerk – Contractwerk - Groepswerk met experts
Voorbeelden: zie sessie 1
2 Spelvorm
Bijlage 5 : congruentiespel
3 Webquest
Voorbeeld symmetrie
http://users.telenet.be/bjorncarreyn/sym/
4 BZL / BZW
Bijlage 6
5 Opdrachten met gebruik van ICT
Voorbeelden
32
Suggesties voor didactische aanpak
per kleiner onderdeel:
- diagnostische toets over kennis uit het basisonderwijs of vroeger geziene onderdelen
- klassikaal of via taken definities en regels aanbrengen
- klassikaal formuleren van definities en regels
- klassikaal oefenen: E-B-V
- gedifferentieerd oefenen: E-B-V, individueel of in groepjes, met moetjes en magjes
- gemengde oefeningen op het onderdeel en de vorige onderdelen: E-B-V
- diagnostische toets over het onderdeel: E-B-V
- toets over het onderdeel: E-B-V
na een groter geheel:
- groepswerk: E-B-V, met moetjes en magjes
- groepswerk met experts: E-B-V
- hoekenwerk (rekenhoek, computerhoek, spelhoek, vraagstukkenhoek,...): E-B-V,
met moetjes en magjes
- contractwerk: E-B-V, met moetjes en magjes
- diagnostische toets over het geheel: E-B-V
- toets over het geheel: E-B-V
Deel III - Parate kennis
Bijlage 7: Discussietekst
Deel IV - Evaluatie
Bijlage 8
33