GEOMETRISCHE OPTICA MET MATRICES Matrices

GEOMETRISCHE OPTICA MET MATRICES
Matrices
Spiegels
Voorwerpsafstand
De afstand van het voorwerp tot de spiegel wordt voorgesteld door de matrix
⎡1 xV ⎤
⎢
⎥
⎣0 1 ⎦
Beeldafstand
De afstand van het beeld tot de spiegel wordt voorgesteld door de matrix
⎡1 x B ⎤
⎢
⎥
⎣0 1 ⎦
De brandpuntsafstand van de spiegel wordt voorgesteld door de matrix
⎡ 1
⎢ 1
⎢− x
⎣ F
0⎤
⎥
1⎥
⎦
De afstand tussen twee spiegels wordt voorgesteld door de matrix
⎡1 d ⎤
⎢0 1 ⎥
⎣
⎦
Lenzen
Voorwerpsafstand
De afstand van het voorwerp tot de lens wordt voorgesteld door de matrix
⎡1 xV1 ⎤
⎢
⎥
⎣0 1 ⎦
Beeldafstand
De afstand van het beeld tot de lens wordt voorgesteld door de matrix
⎡1 x B2 ⎤
⎢
⎥
⎣0 1 ⎦
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
1
De lens
De lens met brandpuntsafstand
⎡ 1
⎢ 1
⎢− x 2
⎣ F2
1
wordt voorgesteld door de matrix
xF2 2
0⎤
⎥
1⎥
⎦
De afstand tussen twee lenzen wordt voorgesteld door de matrix
⎡1 d ⎤
⎢0 1 ⎥
⎣
⎦
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
2
Eigenschappen van spiegels met matrices
De spiegelformule en de lineaire vergroting
Beschouw een voorwerp op afstand xV voor een lens met brandpuntsafstand xF. Het beeld wordt gevormd op
afstand xB. De vergroting bedraagt G. Het geheel wordt voorgesteld door de matrixvermenigvuldiging van 3
matrices.
⎡1 xB ⎤ ⎡ 1
⎢
⎥ ⎢− 1
⎣0 1 ⎦ ⎢⎣ xF
0⎤ ⎡1 x ⎤
V
⎥
1 ⎥ ⎢0 1 ⎥
⎦
⎦⎣
De resulterende matrix is
⎡ xB
⎢1 − x
F
⎢
⎢− 1
⎢ x
F
⎣
(
)
xB xF − xV + xF xV ⎤
⎥ ⎡A B⎤
xF
⎥=⎢
⎥
xV
⎥ ⎣C D ⎦
1−
⎥
xF
⎦
B = 0 geeft de spiegelformule
1
1
1
+
=
xV xB xF
A geeft de lineaire vergroting
x B2
x B2, N
G = 1− 2 = − 2
xF 2
xF 2
Positie en hoek van de weerkaatste straal als de positie en hoek van de invallende straal gekend is.
⎡ yB ⎤
⎢ ⎥=
⎣θ B ⎦
⎡1 xB ⎤ ⎡ 1
⎢
⎥ ⎢− 1
0
1
⎣
⎦ ⎢⎣ xF
0⎤ ⎡1 x ⎤ ⎡ y ⎤
V
V
⎥
1 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎢ θ ⎥
⎦ ⎣ v⎦
⎦⎣
yB en yV zijn de hoogtes van beeld en voorwerp, θB en θV zijn de hoeken, die de weerkaatste en de invallende
straal maken met de optische as.
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
3
Holle spiegel
Y
(xV,yV)
F
X
(xB,yB)
Bolle spiegel
(xV,yV)
(xB,yB)
F
X
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
4
Eigenschappen van lenzen met matrices
De lenzenformule en de lineaire vergroting
Beschouw een voorwerp op afstand xV1 voor een lens met brandpuntsafstand xF22. Het beeld wordt gevormd op
afstand xB2. De vergroting bedraagt G. Het geheel wordt voorgesteld door de matrixvermenigvuldiging van 3
matrices.
⎡1 x B2 ⎤ ⎡ 11
⎢
⎥ ⎢−
⎣0 1 ⎦ ⎢⎣ x F2 2
0⎤ ⎡1 x1 ⎤
V
⎥
1 ⎥ ⎢0 1 ⎥
⎦
⎦⎣
De resulterende matrix is
⎡
x B2
⎢1 − 2
⎢ xF 2
⎢ 1
⎢ − x2
F2
⎣
(
)
x B2 x F2 2 − xV1 + x F2 2 xV1
x F2 2
xV1
1− 2
xF 2
⎤
⎥ ⎡A B⎤
⎥=⎢
⎥
⎥ ⎣C D ⎦
⎥
⎦
B = 0 geeft de lenzenformule
1
1
1
+ 2 = 2
1
xV x B x F 2
A geeft de lineaire vergroting
x B2
x B2, N
G = 1− 2 = − 2
xF 2
xF 2
Positie en hoek van de gebroken straal als de positie en hoek van de invallende straal gekend is.
⎡ yB ⎤
⎢ ⎥=
⎣θ B ⎦
⎡1 x B2 ⎤ ⎡ 11
⎢
⎥ ⎢− 2
0
1
⎣
⎦ ⎢⎣ x F 2
0⎤ ⎡1 x1 ⎤ ⎡ y ⎤
V
V
⎥
1 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎢ θ ⎥
⎦ ⎣ v⎦
⎦⎣
yB en yV zijn de hoogtes van beeld en voorwerp, θB en θV zijn de hoeken, die de gebroken en de invallende straal
maken met de optische as.
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
5
Convergerende Lens
Y
( xV1 , yV )
F1
X1
F2
X2
( xB2 , y B )
Divergerende lens
( xV1 , yV )
( xB2 , y B )
X1
F2
F1
X2
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
6
VOORBEELDEN
Voorbeeld 1
Een voorwerp van 2 cm hoogte staat op 10 cm voor een holle spiegel met hoofdbrandpuntsafstand 15 cm. Bepaal de eigenschappen van het beeld.
Dia 1
Geometrische Optica Met
Matrices
Spiegels
Dia 2
Geometrische Optica met
Matrices
• Applicatie
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
7
Dia 3
Nieuwe Applicatie
Dia 4
Geometrische Optica met
Matrices
• Voorwerpsmatrix
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
8
Dia 5
Voorwerpsmatrix
Dia 6
Geometrische Optica met
Matrices
• Applicatie
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
9
Dia 7
Nieuwe Applicatie
Dia 8
Geometrische Optica met
Matrices
• spiegelmatrix
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
10
Dia 9
Spiegelmatrix
Dia 10
Geometrische Optica met
Matrices
• Applicatie
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
11
Dia 11
Nieuwe Applicatie
Dia 12
Geometrische Optica met
Matrices
• beeldmatrix
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
12
Dia 13
Beeldmatrix
Dia 14
Resulterende Matrix
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
13
Dia 15
Resulterende matrix wordt in
matrix A bewaard
Dia 16
A[1,2]=0 spiegelformule
A[1,1] lineaire vergroting
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
14
Voorbeeld 2
Een voorwerp wordt afgebeeld op een scherm, dat geplaatst is op een afstand D van het
voorwerp. Men maakt gebruik van een lens met brandpuntsafstand f. De afstand tussen het
voorwerp en de lens bedraagt x. De afstand tussen de lens en het scherm bedraagt D-x. Op
welke afstand x moet het voorwerp geplaatst worden voor de lens om een beeld op het scherm
te leveren?
⎛ 1 D − x ⎞ ⋅⎛ 1 0 ⎞ ⋅⎛ 1 x ⎞
⎜
⎜
⎜
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −f − 1 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
⎡ 1 − D − x ⎛ 1 − D − x ⎞ ⋅ x + D − x⎤
⎜
⎢
⎥
f
f ⎠
⎝
⎢
⎥
−1
⎢ −1
⎥
⋅x + 1
f
f
⎣
⎦
⎛ 1 − D − x ⎞ ⋅x + D − x 0
⎜
f ⎠
⎝
De twee mogelijke oplossingen worden hieronder gegeven. De oplossingen duiden ook aan dat de
minimumafstand tussen het voorwerp en het scherm 4f moet zijn om een reële x te verkrijgen.
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
1
2
⋅D +
1
2
(
)
2
2
⋅ D − 4⋅ D⋅ f
1
1
2
⋅D −
1
2
(
2
)
⋅ D − 4⋅ D⋅ f
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
De afstand tussen de twee mogelijke posities van het voorwerp wordt gegeven door.
d = D D−4f
Deze methode kan ook gebruikt worden om de brandpuntsafstand f te bepalen.
f =
D² − d ²
4D
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
15
Voorbeeld 2
⎛ 1 D − x ⎞ ⋅⎛ 1 0 ⎞ ⋅⎛ 1 x ⎞
⎜
⎜
⎜
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −f − 1 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
evaluate symbolically
⎡ 1 − D − x ⎛ 1 − D − x ⎞ ⋅ x + D − x⎤
⎜
⎢
⎥
f
f ⎠
⎝
⎢
⎥
−1
⎢ −1
⎥
⋅x + 1
f
f
⎣
⎦
⎛ 1 − D − x ⎞ ⋅x + D − x 0
⎜
f ⎠
⎝
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
1
2
⋅D +
1
2
(
)
2
2
⋅ D − 4⋅ D⋅ f
1
1
2
⋅D −
1
2
(
2
)2
⋅ D − 4⋅ D⋅ f
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
16
Voorbeeld 3
Een voorwerp wordt geplaatst op 10 cm voor een convergerende lens met brandpuntsafstand van 5 cm. Aan de
andere kant van de lens staat een holle spiegel met brandpuntsafstand van 4 cm. De afstand tussen de lens en de
spiegel bedraagt 18 cm. Vind de positie, aard en vergroting van het uiteindelijk beeld.
Dia 1
Geometrische Optica Met
Matrices
Voorbeeld 3
Dia 2
Geometrische Optica Met
Matrices
• Voorwerpsmatrix
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
17
Dia 3
Voorwerpsmatrix
Dia 4
Geometrische Optica Met
Matrices
• Lensmatrix
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
18
Dia 5
Lensmatrix
Dia 6
Geometrische Optica Met
Matrices
• Afstandsmatrix
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
19
Dia 7
Afstandsmatrix
Dia 8
Geometrische Optica Met
Matrices
• Beeldmatrix
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
20
Dia 9
Beeldmatrix
Dia 10
Voorbeeld
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
21
Voorbeeld 4
Beschouw een bundelverbreder, een convergerende lens met brandpuntsafstand f1 gevolgd door een
convergerende lens met brandpuntsafstand f2, geplaatst op f1 + f2 van elkaar. De resulterende matrix is opnieuw
een product van drie matrices.
Een invallende parallelle bundel met breedte W1 wordt omgezet in een parallelle bundel met breedte W2 :
W2 = W1 f2/f1
A geeft de vergroting:
A = - f2/f1
⎛ 1 0 ⎞ 1 f1 + f2 ⎛ 1 0 ⎞
⎛
⎞ ⋅⎜
⎜ −1
⋅⎜
−1
1 ⎝0
1
⎜
1 ⎠⎜
⎝ f2 ⎠
⎝ f1 ⎠
symbolics evaluate symbolically
f1 + f2
⎡⎢
f1 + f2
1−
⎥⎤
f1
⎢
⎥
−1
⎢
⎥
⎢ −1 f2 ⋅ ( f1 + f2) + 1 −1
⎥
⋅ ( f1 + f2) + 1⎥
⎢ f2 −
f2
f1
⎣
⎦
⎛ −f2 f1 + f2 ⎞
⎜ f1
⎜
⎟
⎜ 0 −f1
f2 ⎠
⎝
symbolics simplify
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
22
Voorbeeld 5
Beschouw een plaatje met dikte L en brekingsindex n. De matrix voor dit plaatje kan beschouwd worden als het
product van 3 matrices. Twee matrices om de overgangen weer te geven en één om de dikte van het plaatje weer
te geven.
⎛1 0 ⎞
⎛ 1 0 ⎞ ⋅⎛ 1 L ⎞ ⋅⎜
1
⎜
⎜
⎝0 n⎠ ⎝0 1⎠ ⎜0 n
⎝
⎠
⎛1 L ⎞
⎜ n
⎜
⎝0 1 ⎠
Referentielijst
Contemporary optical image processing with Matlab. Ting-Chung Poon & Partha P. Banerjee, Elsevier.
Optique Matricielle. Edgard Elbaz & Françoise Roux, Ellipses.
T³ Europe Symposium: Geometrische Optica met Matrices, J. Vanderhaeghen (KHBO)
23