Verdelingsfunctie - Wetenschapsforum

Verdelingsfunctie
In de kansrekening en de statistiek is de verdelingsfunctie, ook aangeduid als cumulatieve kansverdelingsfunctie of cumulatieve distributiefunctie (cdf), van
een stochastische variabele de functie waarmee de verdeling van de stochastische variabele beschreven of vastgelegd wordt. De verdelingsfunctie bestaat altijd en voor
elke gebeurtenis die de stochastische variabele betreft kan
daarmee de kans op die gebeurtenis bepaald worden. Populair gezegd worden alle kansen betreffende de stochastische variabele bepaald door de verdelingsfunctie.
lim F (x) = F (a).
x↓a
Monotoon stijgend betekent:
x < y ⇒ F (x) ≤ F (y).
De verdelingsfunctie FX en de verdeling PX van een stoElke functie die opgevat kan worden als verdelingsfunc- chastische variabele X zijn een-eenduidig met elkaar vertie van een stochastische variabele, wordt ook verdelings- bonden door de relatie:
functie genoemd. Het betreft dan een functie met de hieronder aangeduide eigenschappen.
FX (x) = P (X ≤ x) = PX ((−∞, x])
Als de verdelingsfunctie absoluut continu is, dan is ze
de integraal van een kansdichtheid. Als de verdeling
singulier is, dan is de verdelingsfunctie soms de inteDe verdelingsfunctie van de stochastische variabele X op graal van een discrete kansfunctie. In het algemeen gade kansruimte (S, Σ, P ) , is de functie FX , gedefinieerd randeert de Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue (zie
voor x ∈ R door:
wederzijds singuliere maten) dat de verdeling de som is
van een absoluut continu en een singulier gedeelte.
1
Definitie
Van de bekende kansverdelingen bestaan tabellen, waarin meestal de verdelingsfunctie getabelleerd is. Uit zo'n
tabel kan men dus eenvoudig van die verdeling de linker
overschrijdingskans aflezen.
FX (x) = P (X ≤ x) = P ({s ∈ S|X(s) ≤ x})
(Let op het verschil tussen X en x.)
De waarde FX (x) van de verdelingsfunctie van X in het
punt x, is dus de (cumulatieve) kans op waarden van X
kleiner dan of gelijk aan x.
2
3 Voorbeeld
Een willekeurig getal X tussen 0 en 1 wordt beschreven
door de kansdichtheid:
Eigenschappen
fX (x) = 1 voor x ∈ (0, 1) en 0 elders.
Een verdelingsfunctie is een monotoon stijgende,
rechtscontinue functie F met domein R en bereik [0,1], De bijbehorende verdelingsfunctie is:
waarvoor geldt:


0
FX (x) = x


1
lim F (x) = 0
x→−∞
en
als x ≤ 0
als 0 < x ≤ 1
als x > 1
Om de kans te bepalen dat X tussen 0,33 en 0,44 ligt,
berekenen we:
lim F (x) = 1.
x→∞
Rechtscontinu betekent:
P (0,33 < X < 0,44) = P (X < 0,44)−P (X < 0,33) = FX (0,44)−FX
1
2
4
4 ZIE OOK
Zie ook
• Somfrequentie
• Cumulatieve frequentieanalyse
• Empirische verdelingsfunctie
3
5
Tekst-en beeldbronnen, medewerkers, en licenties
5.1
Tekst
• Verdelingsfunctie Bron: https://nl.wikipedia.org/wiki/Verdelingsfunctie?oldid=35487979 Bijdragers: Romaine, Serassot, RobotE, Michiel1972, Nijdam, Lieven Smits, LimoWreck, RoboRex, Madyno, Lymantria, IrGent, R.Oosterbaan, JRB, MystBot, Nallimbot, Xqbot,
RomaineBot, RedBot, KamikazeBot, Yucateco, EmausBot, ZéroBot, HRoestBot, MerlIwBot, Legobot en Anoniem: 3
5.2
Beelden
5.3
Content license
• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0