Kansrekening en stochastische processen (2DE18)

12
Kansrekening en stochastische
processen 2DE18
Docent : Jacques Resing
E-mail: [email protected]
/k
1/28
12
The delta functie
Zij
(
dε (x) =
1
ε
0
als − 2ε ≤ x ≤
anders
ε
2
De eenheids impulsfunctie is:
δ(x) = lim dε (x)
ε→0
/k
2/28
12
Delta functie
1/ε
−ε/2
ε/2
/k
3/28
12
De interpretatie:
(
δ(x) =
∞
0
als x = 0
anders
werkt niet want hoe moeten we hier mee rekenen?
/k
4/28
12
Voor elke continue functie g(x)
geldt:
Z ∞
g(x)δ(x − x0 ) dx = g(x0 )
−∞
Dit wordt de zeefeigenschap genoemd.
/k
5/28
12
De eenheids stapfunctie wordt gedefinieerd als:
(
0 als x < 0
u(x) =
1 als x ≥ 0
We hebben:
Z
x
δ(v)dv = u(x)
−∞
/k
6/28
12
Voor een discrete stochastische variabele met bereik S X = {x1 , x2 , . . .} geldt:
X
FX (x) =
PX (xi )u(x − xi )
xi ∈S X
en
f X (x) =
X
PX (xi )δ(x − xi )
xi ∈S X
/k
7/28
12
Gemengde stochastische variabelen
X wordt een gemengde stochastische variabele genoemd als f X (x) zowel
impulsen als eindige waarden ongelijk aan nul aanneemt.
/k
8/28
12
Afgeleide stochastische variabelen
Als we een afgeleide stochastische variabele
Y = g(X )
hebben dan willen we de kansverdeling en de kansdichtheid kunnen bepalen gegeven de verdeling van X .
We doen dit meestal in twee stappen:
• Bepaal de cumulatieve
FY (y) = P[Y ≤ y].
kansverdeling
• Bereken de kansdichtheid f Y (y) via de afY (y)
geleide f Y (y) = dFdy
.
/k
9/28
12
Zij X een uniform(0, 1) verdeelde stochastische variabele.
Bepaal de cumulatieve verdelingsfunctie en de kansdichtheid van de stochasten:
• Y1 = 100X ,
• Y2 = X 2 ,
• Y3 = X 3 .
/k
10/28
12
Zij Y = a X met a > 0, dan heeft Y als kansverdelingsfunctie en kansdichtheid respectievelijk:
y
y
1
FY (y) = FX a ,
f Y (y) = a f X a
Y = a X met a > 0:
• Als X uniform(b, c) is dan is Y
uniform(ab, ac),
• Als X exponentieel(λ) is dan is Y
exponentieel(λ/a),
• Als X Erlang(n, λ) is dan is Y
Erlang(n, λ/a),
• Als X Gaussisch(µ, λ) is dan is Y
Gaussisch(aµ, aσ ),
/k
11/28
12
Zij Y = X + b, dan heeft Y als kansverdelingsfunctie en kansdichtheid
respectievelijk:
FY (y) = FX (y − b),
f Y (y) = f X (y − b)
/k
12/28
12
Zij U een uniforme(0, 1) verdeelde stochastische variabele. Zij F(x) een
cumulatieve verdelingsfunctie met een inverse F −1 gedefinieerd op [0, 1].
Dan heeft de stochastische variabele X = F −1 (U ) een kansverdelingsfunctie FX (x) = F(x).
/k
13/28
12
Conditionele verdelingsfunctie gegeven een gebeurtenis
Voor een stochastische variabele X met kansdichtheid f X (x) en een gebeurtenis B ⊂ S X met P[B] > 0 de conditionele kansdichtheid gegeven B is:
(
f X (x)
als x ∈ B
f X |B (x) = P[B]
0
anders
/k
14/28
12
Een stochastische variabele X resulterend van een experiment en een partitie B1 , B2 , . . . , Bm van de uitkomstenruimte met conditionele kansdichtheden f X |Bi (x), heeft een kansdichtheid:
X
f X (x) =
f X |Bi (x)P[Bi ]
i
/k
15/28
12
Conditionele verwachting gegeven een gebeurtenis
Gegeven dat x ∈ B dan is de conditionele verwachting van X gelijk aan:
Z ∞
x f X |B (x) dx.
E[X |B] =
−∞
/k
16/28
12
Gezamenlijke cumulatieve verdelingsfunctie
De gezamenlijke cumulatieve verdelingsfunctie (joint cumulative distribution or joint CDF) van de stochastische variabelen X en Y is:
FX,Y (x, y) = P[X ≤ x, Y ≤ y]
/k
17/28
12
Voor een paar stochastische variabelen X en Y :
• 0 ≤ FX,Y (x, y) ≤ 1
• FX (x) = FX,Y (x, ∞)
• FY (y) = FX,Y (∞, y)
• FX,Y (−∞, y)
FX,Y (x, −∞) = 0
=
• Als x ≤ x1 en y ≤ y1 dan
FX,Y (x, y) ≤ FX,Y (x1 , y1 )
• FX,Y (∞, ∞) = 1
/k
18/28
12
Gezamenlijke verdelingsfunctie
De gezamenlijke verdelingsfunctie (joint probability mass function or joint
PMF) van de discrete stochastische variabelen X en Y is:
PX,Y (x, y) = P[X = x, Y = y]
We definiëren het bereik (range) van het paar stochastische variabelen X en
Y is:
S X,Y = {(x, y) | P[X = x, Y = y] > 0} .
/k
19/28
12
Voor discrete stochastische variabelen X en Y en elke verzameling B in het
X, Y vlak, is de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis {(X, Y ) ∈ B} gelijk
aan:
X
P[B] =
PX,Y (x, y)
(x,y)∈B
/k
20/28
12
Marginale kansverdeling
X en Y zijn discrete stochastische variabelen met gezamenlijke kansverdeling PX,Y (x, y). We hebben:
X
X
PX (x) =
PX,Y (x, y), PY (y) =
PX,Y (x, y)
y∈S y
x∈Sx
Dit wordt de marginale kansverdeling (marginal PMF) genoemd.
/k
21/28
12
Gezamenlijke kansdichtheidsfunctie
De gezamenlijke kansdichtheidsfunctie (joint probability density function
or joint PDF) f X,Y van de stochastische variabelen X en Y is zodanig dat:
Z x Z y
FX,Y (x, y) =
f X,Y (u, v) dvdu
−∞ −∞
∂ 2 FX,Y (x, y)
f X,Y (x, y) =
∂ x∂ y
/k
22/28
12
Een gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f X,Y (x, y) heeft de volgende eigenschappen:
• f X,Y (x, y) ≥ 0 voor alle (x, y)
Z ∞Z ∞
f X,Y (x, y)dxdy = 1
•
−∞ −∞
Verder geldt:
P[x1 ≤ X ≤ x2 , y1 ≤ Y ≤ y2 ]
= FX,Y (x2 , y2 ) − FX,Y (x2 , y1 ) − FX,Y (x1 , y2 ) + FX,Y (x1 , y1 )
/k
23/28
12
Voorbeeld
Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid:
(
2 0≤y≤x ≤1
f X,Y (x, y) =
0 anders
Bepaal de cumulatieve kansverdeling.
/k
24/28
12
De kans dat de continue stochastische variabelen (X, Y ) in A liggen is
ZZ
P[A] =
f X,Y (x, y) dxdy
A
/k
25/28
12
Voorbeeld
Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid:
(
2 0≤y≤x ≤1
f X,Y (x, y) =
0 anders
Bepaal de kans P[A] = P[Y > X ]
/k
26/28
12
Marginale kansdichtheid
Gegeven zijn stochastische variabelen X en Y met gezamenlijke kansdichtheid f X,Y (x, y). We hebben:
Z ∞
Z ∞
f X (x) =
f X,Y (x, y)dy, f Y (y) =
f X,Y (x, y)dx.
−∞
−∞
Dit wordt de marginale kansdichtheid (marginal PDF) genoemd.
/k
27/28
12
Voorbeeld
Gegeven stochasten met een gezamenlijke kansdichtheid:
(
5
y −1 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ 1
4
f X,Y (x, y) =
0
anders
Bepaal de marginale kansdichtheden f X (x) en f Y (y).
/k
28/28