Goniometrie - My Group T

Goniometrie
Dr. Caroline Danneels
Dr. Paul Hellings
1
Hoeken
1.1
De goniometrische cirkel
De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een
cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met de gebruikte lengte-eenheid als straal. Men
definieert op deze cirkel de positieve zin als de tegenwijzerzin, en de negatieve zin als de
wijzerzin (fig. 1).
1.2
Georiënteerde hoeken
Een hoek wordt bepaald door 2 gesloten halfrechten met een zelfde beginpunt O. Beschouwen
we bij deze hoek [OA als beginbeen en [OB als eindbeen, dan hebben we een georiënteerde
hoek. We noteren ∠AOB en duiden de oriëntatie aan door een pijltje van begin- naar eindbeen.
We kunnen het pijltje ook in de andere zin tekenen, steeds vertrekkend bij het beginbeen [OA.
Het gaat in beide gevallen om dezelfde georiënteerde hoek ∠AOB. De hoek ∠BOA is een
andere georiënteerde hoek die we de tegengestelde hoek van ∠AOB zullen noemen (fig. 2).
Opmerking: een georiënteerde hoek is eigenlijk de verzameling van alle hoeken die door een
rotatie en/of translatie in elkaar kunnen worden getransformeerd.
y
Z
+
α
B
B
x
O
O
∠AOB
A
∠BOA
A
fig. 2 : hoeken ∠AOB en ∠BOA
fig. 1 : de goniometrische cirkel
De invoering van de goniometrische cirkel maakt het mogelijk een waarde toe te kennen aan elke
georiënteerde hoek ∠AOB, die we voortaan α zullen noemen. Stel de georiënteerde hoek voor in
de goniometrische cirkel en laat het beginbeen samenvallen met de x-as (zie fig. 1). Dan snijdt
het eindbeen de goniometrische cirkel in het punt Z. Z is dan de voorstelling van de
georiënteerde hoek α op de goniometrische cirkel.
Goniometrie
2
Als Z ∈ I: hoek α behoort tot het eerste kwadrant.
Als Z ∈ II: hoek α behoort tot het tweede kwadrant.
Als Z ∈ III: hoek α behoort tot het derde kwadrant.
Als Z ∈ IV: hoek α behoort tot het vierde kwadrant.
fig. 3 : de vier kwadranten
Praktisch worden twee hoekeenheden frequent gebruikt: de 60-delige graad en de radiaal. Enkel
de radiaal heeft een wiskundige en reële basis: een hoek van 1 radiaal bepaalt op de cirkel een
boog met als lengte 1 maal de straal. Omdat de lengte van de volledige cirkelomtrek 2πR
bedraagt, zijn er in een volledige cirkel dus 2π radialen. Omgekeerd, tekent men in het
middelpunt van een cirkel met straal R een hoek van θ radialen, dan bepaalt deze op de cirkel
een boog met lengte θ.R. Onderverdelingen van radialen worden steeds in decimale vorm
geschreven.
In een volledige cirkelboog gaan ook 360 graden, elke graad verdeeld in 60 boogminuten en elke
boogminuut in 60 boogseconden. De symbolen °, ' en " worden gebruikt voor resp. graden,
boogminuten en boogseconden.
Naast Z kan je oneindig veel waarden plaatsen, aan elkaar gelijk op een geheel veelvoud van
360° of 2π na, vermits je meerdere omwentelingen in de ene of de andere zin kan maken
alvorens bij het eindbeen te eindigen. De verzameling van alle waarden wordt het maatgetal van
de georiënteerde hoek α genoemd. De hoofdwaarde van α is die waarde van α welke behoort tot
]- 180°, 180°], resp. ]- π,π].
1.3
Omzetting radialen naar graden en omgekeerd
Omdat 2π = 360° gelden de volgende omzettingsformules:
°
 360ir 
r rad → 

 2π 
 2π i g 
g° → 
 rad
 360 
Opmerking: Bij een hoek uitgedrukt in radialen wordt enkel het maatgetal gegeven zonder de
vermelding ‘rad’.
Goniometrie
3
2
De goniometrische getallen
2.1
Definities
Beschouw de constructie van de georiënteerde hoek α zoals omschreven in de vorige paragraaf.
Het eindbeen van de hoek α snijdt de goniometrische cirkel in het punt Z. Dan noemt men de xcoördinaat van Z de cosinus van α, of kortweg cos α, en de y-coördinaat de sinus van α of
kortweg sin α. De keuze van een hoek legt dus ondubbelzinnig haar cosinus en sinus vast.
Omgekeerd legt de selectie van een cosinuswaarde en een sinuswaarde de hoek slechts vast op
een geheel veelvoud van 2π na.
y
Z
sinα
1
α
x
cosα
fig. 4 : Sinus en cosinus op de goniometrische cirkel
Naast sinus en cosinus worden nog gedefinieerd :
de tangens : tan α =
de secans : sec α =
sin α
cos α
de cotangens : cot α =
1
cos α
de cosecans : csc α =
cos α
sin α
1
sin α
Fig. 5 toont waar de zes belangrijkste goniometrische getallen kunnen worden afgelezen op of in
de buurt van de goniometrische cirkel.
Goniometrie
4
S1
cscα
cotα
1
tanα
S2
sinα
α
cosα
secα
1
fig. 5 : de meetkundige definitie van de goniometrische getallen
Als gevolg van hun definities kunnen de zes goniometrische getallen waarden aannemen in
volgende gebieden :
sin α ∈ [ -1,1 ]
cos α ∈ [ -1,1 ]
tan α ∈ ] -∞ , +∞ [
cot α ∈ ] -∞ , +∞ [
sec α ∈ ] -∞ , −1] ∪ [ 1, +∞ [
csc α ∈ ] -∞ ,−1] ∪ [ 1, +∞ [
2.2
Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen
α
0
30° = π/6
45° = π/4
sin α
0
1/2
2 /2
3 /2
1
cos α
1
3 /2
2 /2
1/2
0
tan α
0
1/ 3
3
∞
cot α
∞
sec α
1
csc α
∞
1
60° = π/3
90° = π/2
1
1/ 3
0
2/ 3
2
2
∞
2
2
2 /3
1
3
Goniometrische getallen van hoeken in het tweede, derde en vierde kwadrant zullen we vinden
door herleiding van die hoeken naar het eerste kwadrant via de formules van aanverwante
hoeken.
Goniometrie
5
2.3
Tekenverloop van de goniometrische getallen
Binnen een kwadrant behouden de goniometrische getallen eenzelfde teken (fig. 6).
+
-
-
-
+
+
sinus
cosecans
+
+
-
+
+
-
+
+
cosinus
secans
-
tangens
cotangens
fig.6 : tekenverloop van de goniometrische getallen volgens het kwadrant.
2.4
Hoofdformule en afgeleide formules
De formule van Pythagoras in de driehoek OPZ (zie fig. 7) levert ons :
OP
2
+ PZ
2
= OZ
Met OP = cos α
;
2
PZ = sin α
;
OZ = 1
betekent dit :
cos 2 α + sin 2 α = 1
Dit is de hoofdformule van de goniometrie.
Delen we deze formule respectievelijk door de twee termen van het linkerlid :
1 + tan 2 α = sec 2 α
1 + cot 2 α = csc2 α
y
Z
Q
α
Ο
x
P
fig. 7 : de driehoek OPZ
Goniometrie
6
2.5
Voorbeelden
2.5.1 Berekening van goniometrische getallen
Gegeven:
sin α = 5 13
Gevraagd:
alle andere goniometrische getallen
Uit het feit dat de sinus van deze hoek positief is volgt dat de hoek in het eerste of het tweede
kwadrant ligt. We bepalen dus nu de andere getallen :
cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − 25 169 = 144 169
• uit de hoofdformule :
cos α = ± 144 169 = ± 12 13
dus
• tan α = sin α cos α = ± 5 12
• cot α = 1 tan α = ± 12 5
• sec α = 1 cos α = ± 13 12
• csc α = 1 sin α = 13 5
De twee mogelijke oplossingen voor enkele van de goniometrische getallen stemmen overeen
met de waarden van deze getallen volgens de beschouwde kwadranten.
Samengevat :
kwadrant
sin
cos
tan
cot
sec
csc
1ste
5/13
12/13
5/12
12/5
13/12
13/5
2de
5/13
-12/13
-5/12
-12/5
-13/12
13/5
Goniometrie
7
2.5.2 Bewijs de volgende identiteit
sec 2 α + csc2 α = sec 2 α csc 2 α
Bewijs :
sec 2 α + csc 2 α
=
=
=
1
2
+
1
cos α sin 2 α
sin 2α + cos 2 α
cos 2 α sin 2 α
1
2
cos α sin 2 α
= sec 2α csc 2 α
Goniometrie
8
2.6
Goniometrische getallen van aanverwante hoeken
2.6.1 Formules
a. Supplementaire hoeken ( = som is π )
sin(π − α) = sin α
cos(π − α) = - cos α
tan(π − α) = - tan α
cot(π − α) = - cot α
b. Anti-supplementaire hoeken ( = verschil is π )
sin(π + α) = - sin α
cos(π + α) = - cos α
tan(π + α) = tan α
cot(π + α) = cot α
c. Tegengestelde hoeken ( = som is 2π )
sin(2π − α) = - sin α
cos(2π − α) = cos α
tan(2π − α) = - tan α
cot(2π − α) = - cot α
d. Complementaire hoeken ( = som is π / 2 )
sin(π/2 − α) = cos α
cos(π/2 − α) = sin α
tan(π/2 − α) = cot α
cot(π/2 − α) = tan α
y
π-α
α
x
-α
π+α
fig. 8 : De aanverwante hoeken van α
De formules van de tegengestelde hoeken reduceren een hoek van vierde naar eerste kwadrant;
de formules van anti-supplementaire hoeken van derde naar eerste kwadrant en de
supplementaire hoeken van tweede naar eerste kwadrant. Met de formules van complementaire
hoeken kunnen hoeken tussen 45° en 90° herleid worden naar hoeken tussen 0° en 45°. het
volstaat dus in principe de goniometrische getallen daar te kennen.
Goniometrie
9
2.6.2 Hoeken terugzoeken
Wanneer men startend van een zeker goniometrisch getal de hoek terugzoekt die dit getal
oplevert zijn er meestal twee oplossingen. Rekenmachines geven systematisch de meest voor de
hand liggende oplossing, maar in een praktische situatie kan de tweede oplossing even correct
zijn, of zelfs de enige correcte. Het antwoord van een rekenmachine moet dan door de gebruiker
aangepast worden, zoniet rekent men met een fout resultaat verder!
Onderstaande tabel geeft voor positieve en negatieve goniometrische getallen het kwadrant
waarin de oplossing van de rekenmachine ligt, en daarnaast het kwadrant van de tweede
oplossing:
Invoer
Rekenmachine
Tweede oplossing
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Positieve sinus of cosecans
1
2
Negatieve sinus of cosecans
4
3
Positieve cosinus of secans
1
4
Negatieve cosinus of secans
2
3
Positieve tangens of cotangens
1
3
Negatieve tangens of cotangens
4
2
Goniometrie
10
2.7
Oefeningen
2.7.1 Bepaal voor de gegeven goniometrische getallen de overige goniometrische getallen
(zonder vooraf de hoek te bepalen)
1. sin α = − 6 6
2. csc α = 4 3
3. cot α = −13 6
4. sec α = 25 24
2.7.2 Bewijs volgende identiteiten
1. csc2 α + cot 2 β = csc 2 β + cot 2 α
2.
(1 − sin α ) (1 + sin α )
= cos 2 α cot 2 α
sec
α
1
sec
α
1
+
−
(
)(
)
3.
sec α + tan α
1 + sin α
2
= ( sec α + tan α ) =
sec α − tan α
1 − sin α
4.
(1 + cot α ) sec2 α + 2 tan α =
(
)
(1 + tan α )3
tan α
2.7.3 Vereenvoudig volgende uitdrukkingen steunend op de formules voor aanverwante
hoeken.
π

cos  + x  cos (π − x )
sin ( π − x ) cos (π + x )
2

1.
+
π

π

 3π

sin  − x  sin ( x − 2π ) sin  + x  cos 
+ x
2

2

 2

2.
csc(2π + x) sec(π − x)
sec(2π − x) csc(π − x)
−
π
π
 
 3π
  3π

csc  − x  sec  x +  sec 
+ x  csc 
− x
2
2
 
 2
  2

Goniometrie
11
2.7.4 Bepaal volgende goniometrische getallen: reduceer eerst de hoek naar het eerste
kwadrant, gebruik makende van de formules van aanverwante hoeken (gebruik
geen rekenmachine).
1. sin 120°
2. cos ( -135° )
3. tan 225°
4. cot  − 3π 
4


11π 
5. tan 

 3 
2.7.5 Los op in IR. Druk de oplossing(en) uit in radialen.
1. cos 5x = −
3. sin 2x =
3
2
3 sin x
5. 2 sin 2 x = 3 cos x
2. sin 5x = −
4. sin x =
3
2
1
π 
en x ∈  , π  ; gevraagd: sin 2x
5
2 
6. tan ( 3x + 2 ) =
Goniometrie
3
12
3
De goniometrische functies
3.1
Periodieke functies
Definitie :
een functie f : IR → IR is periodiek
⇔
∃ p ∈ IRo : ∀ x ∈ dom f : x + p ∈ dom f ∧ f (x + p ) = f(x)
Indien p een getal is dat hieraan voldoet, dan voldoen ook alle positieve en negatieve veelvouden
aan de definitie. We noemen daarom de kleinste positieve waarde p die voldoet de periode P van
de functie. Grafisch betekent periodiciteit dat de vorm van de grafiek van f(x) zich herhaalt over
opeenvolgende intervallen met lengte P.
3.2
Even en oneven functies
Een functie f heet EVEN indien:
∀ x ∈ dom f :
- x ∈ dom f ∧ f (- x) = f(x)
Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus steeds dezelfde y-waarden hebben. De
grafiek is dus symmetrisch tegenover de y-as.
Een functie f heet ONEVEN indien:
∀ x ∈ dom f :
- x ∈ dom f ∧ f (- x) = - f(x)
Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus ook tegengestelde y-waarden hebben. De
grafiek is dus symmetrisch tegenover de oorsprong.
Goniometrie
13
3.3
Sinusfunctie
sin : IR → [ -1,1 ] : x → sin x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De
sinusfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde sinussen.
π
-π
fig. 9 : de sinusoïde
3.4
Cosinusfunctie
cos : IR → [ -1,1 ] : x → cos x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De
cosinusfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen.
-π
π
fig. 10 : de cosinusoïde
Goniometrie
14
3.5
Tangensfunctie
π

tan : IR \  + kπ , k ∈ IR  → IR : x → tan x
2

Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De
tangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde tangensen.
−π
−
π
π
2
π
2
fig. 11 : de tangensfunctie
3.6
Cotangensfunctie
cot : IR \ {kπ , k ∈ IR} → IR : x → cot x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De
cotangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde cotangensen.
−π
π
2
π
fig. 12 : de cotangensfunctie
Goniometrie
15
3.7
De secansfunctie
π

sec : IR \  + kπ , k ∈ IR  → ] −∞, −1] ∪ [1,+∞[ : x → sec x
2


Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De
secansfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben ook gelijke cosinussen en dus gelijke
secansen.
−π
−
π
π
2
2
π
fig. 13 : de secansfunctie
3.8
De cosecansfunctie
csc : IR \ {kπ , k ∈ IR} → ] −∞,−1] ∪ [1,+∞[ : x → csc x
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De
cosecansfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben tegengestelde sinussen en dus
tegengestelde cosecansen.
Goniometrie
16
−π
−
π
π
2
2
π
fig. 14 : de cosecansfunctie
3.9
Oefeningen
3.9.1 Bepaal de periode van volgende functies en teken hun grafiek
1. f(x) = sin 2x
x
2. f(x) = cos  
3
3. f(x) = cos  π + 
2
x


Goniometrie
17
4
Rechthoekige driehoeken
4.1
Formules
C
C
γ
γ
a
b
β
b
β
α
c
B
a
A
B
α
c
A
fig. 15 : rechthoekige driehoeken gebruikt bij de opstelling van de formules van deze paragraaf
In een rechthoekige driehoek met α als rechte hoek gelden steeds volgende formules:
α=
π
2
β+γ =
π
2
a2 = b2 + c2
Tekenen we in bovenstaande driehoek een cirkelsegment met middelpunt in B en straal a (zie
eerste driehoek in fig. 15), dan zien we hierin een deel van een cirkel met straal a. De
aanliggende rechthoekzijde c en de overstaande rechthoekzijde hebben resp. de volgende
lengten:
c = a cos β en b = a sin β
Op analoge wijze, nu d.m.v. een cirkelsegment met middelpunt in C en straal a (zie tweede
driehoek in fig. 15), vinden we:
b = a cos γ en c = a sin γ
In woorden :
De cosinus van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de
lengte van de schuine zijde
De sinus van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld
door de lengte van de schuine zijde
Goniometrie
18
Delen wij de eerste twee formules dan vinden we :
b = c tan β
of
c = b cot β
of
b = c cot γ
Analoog met de laatste twee formules :
c = b tan γ
In woorden :
De tangens van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld
door de lengte van de aanliggende rechthoekzijde
De cotangens van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door
de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde
Voorbeeld :
Gegeven : α = 90° ; β = 13° ; b = 10
Gevraagd : alle ontbrekende hoeken en zijden
γ = 90° - β = 90° - 13° = 77°
a =
c =
b
10
=
= 44.5
sin β sin13°
a 2 − b 2 = 43.5
Goniometrie
19
4.2
Oefeningen
1. Gegeven : ∆ABC met a = 45, α = 90° ; β = 40°10'35"
Gevraagd : de overige zijden en hoeken
2. Een schuifladder staat schuin tegen een verticale muur op een horizontale grond. Helemaal
uitgetrokken vormt hij met de vloer een hoek van 53°18' ; helemaal ingeschoven is de hoek
29°10', terwijl de top op dat moment op een hoogte van 5m tegen de muur leunt. In de
veronderstelling dat de voet van de ladder op zijn plaats blijft, bereken :
•
•
de maximale hoogte die men kan bereiken
de maximale lengte van de ladder
3. Een lichtstraal die schuin op het water invalt, ondergaat een breking die in de volgende
formule wordt uitgedrukt:
sin α 4
= .
sin β 3
Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem in het punt P. Op welke afstand van P treft
de lichtstraal de bodem als de invalshoek 30° bedraagt en het water 1 m diep is.
Opmerking: los deze oefening op zonder de hoek β te berekenen.
fig. 16 : illustratie bij oefening 3
Goniometrie
20
In mechanica zal je te maken krijgen met oefeningen waarin krachten moeten berekend worden.
In de volgende oefeningen worden dergelijke situaties geschetst. Hier beperken we ons tot het
berekenen van hoeken tussen staven.
4. Bereken:
•
•
hoek tussen FE en het horizontaal vlak
hoek tussen FC en het verticaal vlak
fig. 17 : illustratie bij oefening 4
5. Bereken hoek tussen CD en DF
fig. 18 : illustratie bij oefening 5
6. Bereken hoek tussen BC en CD
fig. 19 : illustratie bij oefening 6
Goniometrie
21
5
Willekeurige driehoeken
Voor de volledigheid vermelden we eerst dat ook voor willekeurige driehoeken blijft gelden dat
de som van de hoeken 180° is.
Aan de hand van de formules voor rechthoekige driehoeken kan men formules opstellen voor
willekeurige driehoeken. We beschouwen hiervoor een willekeurige driehoek ∆ABC met zijden
a, b en c en hoeken α, β en γ.
5.1
De sinusregel
De hoogtelijn uit A op de overstaande zijde a snijdt deze in het punt S. Op deze wijze wordt de
driehoek verdeeld in twee rechthoekige driehoeken met een gemeenschappelijke zijde AS, met
lengte d. De lengte d kan men nu beschrijven vanuit het punt B, in de driehoek ∆ΑΒS enerzijds,
en vanuit het punt C in de driehoek ∆ASC anderzijds :
A
α
Cb
c
B
d
βγ
a1
a2
C
S
a
γβ
B
fig. 20 : Willekeurige driehoek
d = c sin β
Dus bekomen we
en
d = b sin γ
sin β sin γ
=
b
c
Een zelfde redenering met een andere hoogtelijn brengt ook nog de zijde a en haar overliggende
hoek α in de gelijkheid. Dit geeft ons de
SINUSREGEL :
sin α sin β sin γ
=
=
a
b
c
Goniometrie
22
5.2
De cosinusregel
Deze regel kan op verschillende manieren worden afgeleid. In fig. 20 wordt de zijde a door S in
twee stukken gedeeld met lengte a1 en a2. We kunnen dan a1 en d respectievelijk schrijven als
a1 = b cos γ
d = b sin γ
In de rechterdriehoek ABS geldt volgens Pythagoras:
c 2 = d 2 + a 22 = d 2 + (a-a1 ) 2
= b 2 sin 2 γ + a 2 + a12 - 2 a a1
= b 2 sin 2 γ + a 2 + b 2 cos 2 γ - 2 a b cos γ
= b 2 + a 2 - 2 a b cos γ
Dezelfde uitdrukking kan bekomen worden indien het voetpunt S buiten de zijde a valt.
Vervolgens kunnen analoge uitdrukkingen worden afgeleid voor de andere hoeken.
Samengevat krijgen we op die manier:
COSINUSREGEL : a2 = b2 + c2 - 2 b c cos α
b2 = a2 + c2 - 2 a c cos β
c2 = a2 + b2 - 2 a b cos γ
Merk op dat de cosinusregels in feite niets anders zijn dan de stelling van Pythagoras, uitgebreid
met een bijkomende cosinusterm in een bepaalde hoek. Indien de driehoek in deze hoek
rechthoekig is valt de cosinusterm weg en krijgen we zuiver de stelling van Pythagoras.
Goniometrie
23
5.3
Oplossen van een willekeurige driehoek
Met het oplossen van een willekeurige driehoek bedoelt men het berekenen van de ontbrekende
zijden en hoeken van de driehoek, uitgaande van een minimum aantal gegevens. Hierbij wordt
gebruik gemaakt van 3 soorten formules, die geldig zijn in alle driehoeken:
• de som van de hoeken is 180°
• de sinusregel: betrekkingen tussen 2 zijden en hun overstaande hoeken
• de cosinusregel: betrekkingen tussen de 3 zijden en één hoek.
Uiteraard moeten de gegevens zodanig zijn dat ze elementen van een driehoek kunnen zijn. De
gegeven hoeken mogen samen niet meer dan 180° bedragen, en de zijden moeten voldoen aan de
driehoeksongelijkheid, nl. de som van 2 zijden moet steeds groter zijn dan de derde zijde.
a. Gegeven twee zijden a en b en de ingesloten hoek.
Dan is er 1 oplossing:
bepaal de derde zijde uit zijn cosinusregel, een andere hoek via de sinusregel en de derde
hoek als 180° min de twee reeds gekende.
Opgelet: de sinusregel geeft 2 oplossingen voor de tweede hoek (nl. supplementaire
hoeken). Toets de oplossingen aan de driehoekseigenschappen. (zie oefeningen)
b. Gegeven één zijde en zijn twee aanliggende hoeken.
Dan is er één oplossing:
de derde hoek is onmiddellijk gekend als 180° min de twee gegeven hoeken, de twee
overige zijden zijn gekend via de sinusregel.
c. Gegeven de drie zijden.
Dan is er één oplossing:
bepaal een hoek uit een cosinusregel, de tweede eveneens of uit de sinusregel, de derde
via de som van de hoeken die 180° moet zijn.
d. Gegeven de zijden a en b en aanliggende hoek aan a. In dit geval kunnen er 0, 1 of 2
oplossingen zijn.
Bepaal de hoek α uit de sinusregel. Dit levert 0 (indien sin α > 1) of 2 oplossingen
(supplementaire hoeken hebben gelijke sinus) naar gelang de getalwaarden van de
begingegevens. Voor elk van de oplossingen bepaal je de ontbrekende hoek γ, en dan de
zijde c via de sinusregel. Tenslotte ga je na of elk van de gevonden oplossingen zinvol is:
er mogen geen negatieve hoeken of zijden voorkomen. (zie oefeningen)
Goniometrie
24
5.4
Oefeningen
1. Een toren wordt vanop het grondoppervlak gezien onder een hoek van 21°. Gaat men 24
meter dichterbij, dan is die hoek 35°. Bepaal de hoogte van de toren.
2. Twee vliegtuigen vertrekken van éénzelfde punt elk in een andere richting. De richtingen
maken onderling een hoek van 32°. De snelheid van het eerste vliegtuig is 600 km/u, van het
tweede 900 km/u. Bepaal hun onderlinge afstand na anderhalf uur.
3. Een vlaggenstok steekt omhoog uit een gevel met een hoek van 45°. Vijf meter boven het
steunpunt van de stok in de muur bevestigt men aan de muur een kabel van 3.60 meter. Op
welke afstand van het steunpunt zal men het andere einde van de kabel aan de stok kunnen
vastmaken.
fig. 21 : illustratie bij oefening 3
4. Los de vorige oefening ook op met een kabel van 2 meter, en daarna met een kabel van
8 meter.
5. Drie waarnemers bevinden zich op onderlinge afstanden van 2, 3 en 4 meter. Bepaal voor
elke waarnemer de hoek waaronder hij de twee andere ziet.
6. Een boot vaart pal noord en ziet een vuurtoren op 40° naar het oosten. Na 20 km te hebben
gevaren is de hoek toegenomen tot 80°. Bepaal op beide punten de afstand van de boot tot de
vuurtoren.
7. Hier volgt opnieuw een situatie uit mechanica. Bepaal de hoek tussen de touwen AC en AD
(d = 1 m).
fig. 22 : illustratie bij oefening 7
Goniometrie
25
6
Aanvullingen
6.1
Speciale lijnen in een driehoek
6.1.1 Hoogtelijn
= de loodlijn uit een hoekpunt op de overstaande zijde. Het voetpunt van de hoogtelijn kan
buiten deze zijde liggen.
Eigenschap : De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het hoogtepunt. Dit
kan buiten de driehoek liggen.
H
fig. 23 : hoogelijnen
6.1.2 Zwaartelijn
= verbindingslijn tussen een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.
Eigenschap : De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het zwaartepunt. Dit
ligt binnen de driehoek.
Z
fig. 24 : zwaartelijnen
6.1.3 Andere lijnen
Ook de bissectricelijnen snijden in één punt. Dit punt ligt binnen de driehoek.
Ook de middelloodlijnen snijden in één punt. Dit punt kan buiten de driehoek liggen.
Goniometrie
26
6.2
Gelijkbenige driehoeken
α
b
h
b
H
β
β
a
fig. 25 : gelijkbenige driehoek
Indien een driehoek twee gelijke zijden heeft noemt men deze gelijkbenig. De twee gelijke
zijden noemt men de opstaande zijden, de derde zijde is de basis. De hoek tegenover de basis is
de tophoek. De twee andere hoeken zijn noodzakelijkerwijze gelijk en worden de basishoeken
genoemd.
Eigenschap : de hoogtelijn en de zwaartelijn uit de tophoek vallen samen.
Noemen we deze hoogtelijn h, de opstaande zijde b, de basis a, de tophoek α en de basishoek β:
dan : h = b sin β
en
a
= b cos β
2
6.2.1 Oefeningen
1. Stel analoge formules op die de tophoek gebruiken.
2. Bepaal de grootte van de hoeken van een gelijkbenige driehoek met basis 8 en opstaande
zijde 14.
3. Bepaal de lengte van de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 42° en
basis 12.
4. Bepaal de lengte van elke zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 36° en tophoogtelijn 28.
5. In een gelijkbenige driehoek met tophoek 24° ligt het hoogtepunt op afstand 26 cm van de
top. Bepaal alle hoeken en zijden.
Goniometrie
27
6.3
Gelijkzijdige driehoeken
60°
a
a
H=Z
60°
60°
a
fig. 26 : gelijkzijdige driehoek
Indien in een driehoek de drie zijden gelijke lengte hebben noemt men de driehoek gelijkzijdig.
Als gevolg zijn ook de drie hoeken aan elkaar gelijk, en dus gelijk aan 60°.
Eigenschap : de hoogtelijn uit een bepaalde hoek valt samen met de zwaartelijn uit deze hoek.
Hoogtepunt en zwaartepunt vallen samen.
6.3.1 Oefeningen
1. Bepaal de afstand van het zwaarte/hoogtepunt tot één van de hoekpunten in functie van de
lengte van de zijde (gelijkzijdige driehoek).
2. Bepaal de lengte van een hoogtelijn in een gelijkzijdige driehoek met zijde 28 cm.
3. De hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek heeft lengte 8 cm. Bepaal de lengte van de
zijden.
6.4
Buitenhoeken
De buitenhoek van een hoek in een driehoek is het supplement van deze hoek. Bijgevolg is elke
buitenhoek gelijk aan de som van de twee andere hoeken. De som van de buitenhoeken is dus
360° of 2π .
Goniometrie
28
7
Goniometrisch rekenen
De formules uit deze paragraaf behandelen de berekening van de goniometrische getallen van
een som of verschil van twee hoeken, van een dubbele of halve hoek, de omzettingen tussen
sommen en producten van sinussen en cosinussen... Minstens even belangrijk als de kennis van
deze formules is hun onderlinge samenhang, de manier waarop de ene formule snel uit de andere
kan worden afgeleid. Op die manier hoeven slechts enkele formules gememoriseerd te worden.
Merk op dat volgende formules vaak worden gebruikt bij het oplossen van integralen.
7.1
Som- en verschilformules
Startend vanaf één van de zes formules kunnen de andere eenvoudig worden afgeleid.
Nemen we de somformule voor de sinus:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(1)
Vervang hierin β door -β , met sin(-β) = - sin β, cos(-β) = cos β:
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
(2)
Voor de analoge cosinusformules:
cos(α + β)
= sin[
π
2
= sin [(
= sin(
- (α + β)]
π
π
2
2
- α ) - β]
- α) cos β - cos(
π
2
- α) sin β
of nog : cos(α+ β) = cos α cos β - sin α sin β
(3)
Wordt hierin opnieuw β vervangen door -β :
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
(4)
Merk op : de sinusformules behouden het plus- of minteken maar mengen de goniometrische
functies. De cosinusformules wijzigen het teken maar houden de goniometrische functies bij
elkaar.
Goniometrie
29
We delen vervolgens (1) lid aan lid door (3), en delen we vervolgens in het rechterlid teller en
noemer door cos α cos β :
tan(α + β ) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
(5)
en vervangen we β door -β, dan bekomen we:
tan(α − β ) =
7.2
tan α − tan β
1 + tan α tan β
(6)
Verdubbelingsformules
Nemen we in de voorgaande somformules β gelijk aan α dan vinden we de formules voor
dubbele hoeken :
cos 2α = cos2 α - sin2 α
sin 2α = 2 sin α cos α
2 tan α
tan 2α =
1 − tan 2 α
(7)
(8)
(9)
Twee nuttige vormen van (7) krijgt men door cos2 α te vervangen door 1 - sin2 α, of sin2 α door
1 - cos2 α :
cos 2α = 1 - 2 sin2 α
cos 2α = 2 cos2 α - 1
(10)
(11)
En dus:
1
sin2 α = 2 ( 1 - cos 2α )
1
cos2 α = 2 ( 1 + cos 2α )
(12)
(13)
Goniometrie
30
7.3
Halveringsformules
Vervang 2α door α in (10) en (11):
α
cos α = 1 - 2 sin2 2
α
cos α = 2 cos2 2 - 1
7.4
(14)
(15)
Goniometrische getallen in functie van tan α/2
In (8) delen en vermenigvuldigen we het rechterlid met sec 2 α . Door in de noemer
1 + tan 2 α = sec 2 α (zie $ 2.4.) te gebruiken en in de teller een secans weg te werken samen
met de cosinus vinden we :
sin 2α =
2 tan α
1 + tan 2 α
Vervangen we α hierin door
2 tan
α
2
:
α
2
sin α =
1 + tan
(16)
2
(17)
α
2
Door een zelfde operatie op (7) vinden we :
1 − tan 2
cos α =
1 + tan
α
2
2
en door in (9) α te vervangen door
2 tan
tan α =
1 − tan
(18)
2 α
α
2
:
α
2
2
(19)
α
2
Goniometrie
31
7.5
Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd
In de somformules (1) en (2) zit in het rechterlid als gemeenschappelijke factor het product
sin α cos β. Door (1) en (2) lid aan lid op te tellen en vervolgens beide leden door 2 te delen
bekomen wij :
1
sin α cos β = 2 [ sin(α + β) + sin(α - β) ]
(20)
Op analoge manier vinden we door (1) en (2) lid aan lid af te trekken :
1
(21)
cos α sin β = 2 [ sin(α + β) - sin(α - β) ]
Door ook (3) en (4) eens bij elkaar op te tellen en eens van elkaar af te trekken bekomen we nu:
1
cos α cos β = 2 [ cos(α + β) + cos(α - β) ]
(22)
1
sin α sin β = 2 [ cos(α - β) - cos(α + β) ]
(23)
Deze vier formules zetten een product van twee cosinussen en/of sinussen met verschillend
1
argument om in een som. De omgekeerde formules bekomen we door de factor
naar het
2
andere lid te brengen en vervolgens :
p+q
2
α:
te vervangen door
β:
p-q
te vervangen door 2
Dit geeft ons tenslotte de formules van Simpson:
p+q
p-q
cos 2
2
p+q
p-q
sin p - sin q = 2 cos 2
sin 2
p+q
p-q
cos p + cos q = 2 cos 2
cos 2
p+q
p-q
cos p - cos q = - 2 sin 2
sin 2
sin p + sin q = 2 sin
(24)
(25)
(26)
(27)
Goniometrie
32
7.6
Oefeningen
1. In een driehoek geldt:
sin 2 α + sin 2 β − sin 2 γ = 2sin α sin β cos γ
Bewijs.
2. Bereken en/of vereenvoudig:
π
π


a. tan  α −  + cot  α + 
4
4


b.
(opl.: 0)
sin α − cos α
sin α + cos α
π
(opl.: tan(α − ) )
4
3. Schrijf in functie van machten van sin α en/of cos α:
a. sin 3α
(opl.: 3sin α − 4sin 3 α )
b. cos 4α
(opl.: 1 − 8cos 2 α + 8cos 4 α )
α
c. tan
sin
2
α
d.
cos
2
α
2
+ cos
− sin
(opl.:
sin α
)
cos α + 1
(opl.:
1 + sin α
)
cos α
α
2
α
2
4. Ontbind in factoren:
a. sin 3α − sin α
( opl: 2 cos 2α sin α )
b. cos 4α + cos 5α + cos 6α
( opl: cos 5α (2 cos α + 1) )
c. tan α − sin α

2 α 
 opl: 2 tan α sin

2

d. cos 2 β − cos 2 α
( opl: sin(α + β ) sin(α − β ) )
Goniometrie
33