Logica in de Kwantumfysica

Logica in de Kwantumfysica∗
Joost van Bruggen
[email protected]
13 juni 2005
Samenvatting
In deze paper geven we aan op welke punten de ontologie die ten
grondslag ligt aan de klassieke mechanica niet-intuı̈tief is. Vervolgens verwijderen we zulke punten om de zo verkregen ontologie als startpunt te
gebruiken voor een beschrijving van de kwantummechanica. We construeren uit deze verzwakte ontologie een formele taal en een logica voor de
kwantummechanica. Hiermee vinden we de beschrijving van de kwantummechanica in de Hilbert-ruimte. We hebben de kwantummechanica dan
als het ware afgeleid uit de slechts enkele algemene vooronderstellingen,
die we de kwantummechanische ontologie noemen.
∗ Geschreven
in het kader van het vak NS-HP428m
1
1
De Kopenhaagse interpretatie
De interpretatie die door het merendeel van de hedendaagse fysici wordt
aangehangen, wordt de Kopenhaagse interpretatie genoemd. Hierin gaat
men uit van twee verschillende werelden: de kwantumwereld van de microscopische objecten waar de kwantummechanica heerst en onze alledaagse
wereld waar de klassieke mechanica de wetten voorschrijft. In de kwantumwereld treden allerlei vreemde verschijnselen op zoals complementariteit en het gebrek aan determinisme. De apparaten echter waarmee we
metingen verrichten aan de objecten die in de kwantumwereld leven, zijn
onderdeel van de klassieke wereld waarin ook wij leven. Als een gevolg
hiervan, zo beweren de aanhangers van de Kopenhaagse visie, mogen we
voor het beschrijven en interpreteren van de kwantummechanica gebruik
maken van alledaagse begrippen en klassieke logica. In deze paper zullen
we ten minste twee redenen aanvoeren die de Kopenhaagse interpretatie
minder aannemelijk maken.
De eerste reden is dat de kwantummechanica door empirische gegevens
uit de laatste decennia wél toepasbaar lijkt te zijn op de macroscopische
alledaagse wereld en er dus geen reden is om een soort scheiding te forceren tussen kwantumwereld en klassieke wereld. De ontdekking van kwantumeffecten als supergeleiding en superfluı̈diteit zijn sterke aanwijzingen
hiervoor.
De tweede reden is dat de klassieke mechanica niet zo intuı̈tief1 is als
men vaak aanneemt. In de Kopenhaagse interpretatie gaat men er van uit
dat de kwantummechanica veel minder intuı̈tief is dan de klassieke mechanica die zijn oorsprong echter heeft in de metafysica van de zeventiende
en achttiende eeuw; allerlei vooronderstellingen over de wereld zijn deel
van de ontologie die ten grondslag ligt aan de klassieke mechanica en er
bestaan geen empirische bewijzen voor deze vooronderstellingen. In deze
zin bevat de klassieke ontologie onderdelen die niet zondermeer intuı̈tief
te noemen zijn. Als voorbeeld geven we het bestaan van een absolute tijd,
strikte causaliteit en het behoud van materie.
In de volgende paragrafen zullen we laten zien dat de kwantummechanica volgt uit de ontologie die we overhouden van de klassieke ontologie als
we de niet-intuı̈tieve vooronderstellingen achterwege laten. In deze zin is
de kwantummechanica intuı̈tiever te noemen dan de klassieke mechanica.
2 Een ontologie voor de kwantummechanica
De klassieke ontologie, dat wil zeggen die ontologie die ten grondslag ligt
aan de klassieke mechanica, wordt gekenmerkt door eigenschappen die we
hieronder zullen bespreken.
Ten eerste bestaan er in de klassieke ontologie onderscheidbare objecten Si die elementaire eigenschappen Pk bezitten. Het is zo dat een
object hetzij de eigenschap Pk bezit hetzij de eigenschap Pk niet bezit,
1 Met intuı̈tief bedoelen we in overeenstemming met de alledaagse macroscopische klassieke
wereld waarin we leven.
2
wat we aangeven met P̄k . Als voorbeeld geven we de eigenschap massa
van een object, zoals een bal. De bal heeft ofwel een massa van 5 kg ofwel
een massa ongelijk aan 5 kg. Door een geschikte meting aan het object
te verrichten kan bepaald worden of het object eigenschap Pk of P̄k bezit. De verzameling van alle mogelijke eigenschappen Pk legt het object
éénduidig vast. Ook moet een object elke eigenschap hetzij in positieve
vorm Pk hetzij in negatieve vorm P̄k bezitten (complete determination).
Verder gelden in de klassieke ontologie causaliteit en behoud van materie. En aangezien er één tijd is binnen de klassieke ontologie volgen de
objecten binnen deze ontologie een tijdsontwikkeling die door de causaliteit bepaald wordt.
Het is evident dat de bovengenoemde vooronderstellingen van de klassieke ontologie niet intuı̈tief te noemen zijn in de eerder gedefinieerde zin.
Bovendien is er geen empirisch bewijs beschikbaar dat stelt dat objecten te allen tijde éénduidig worden vastgelegd door hun eigenschappen en
daar aan te herkennen zijn. Ook het principe van complete determination
stoelt niet op enig empirisch bewijs. Hieruit volgt dat de huidige toestand
(verzameling van alle eigenschappen) van een object niet kan voorspellen
wat de eigenschappen van het object op een later tijdstip zullen zijn. De
klassieke ontologie is dan ook niet empirisch te noemen.
In tegenstelling tot de objecten uit de klassieke ontologie, zijn de objecten uit de kwantummechanische ontologie niet te beschrijven door de
verzameling van alle mogelijke eigenschappen. Slechts een gedeelte van
de verzameling van alle eigenschappen is op een bepaald moment toe te
schrijven aan een object en hieruit volgt dat er geen causaliteit is binnen de kwantummechanische ontologie. Ook bepaalt de verzameling van
eigenschappen het object niet éénduidig binnen deze ontologie. We zien
dus dat de kwantummechanische ontologie erg lijkt op de klassieke; slechts
enkele vooronderstellingen zijn wat minder strikt.
We zullen nu de klassieke ontologie verzwakken en de dan verkregen
ontologie de kwantummechanische noemen.
• Als een object een eigenschap P bezit dan zal deze eigenschap bij een
geschikte meting gevonden worden. In het algemeen geldt dat bij
meting van een eigenschap P als resultaat P ofwel P̄ wordt gevonden.
• Kwantum-objecten zijn niet volledig gespecificeerd. Slechts enkele
eigenschappen zijn tegelijk van toepassing op een systeem (en worden
objectief genoemd).
• Er bestaat geen causaliteit omdat toestanden niet compleet gespecificeerd zijn.
• Objecten kunnen op latere tijdstippen niet worden herkend aan eigenschappen vanwege de twee hierboven genoemde zaken.
De opsomming hierboven noemen we de kwantummechanische ontologie.
3
Kwantum-taal
Ten eerste zullen we een formele taal van de kwantummechanica introduceren die gebaseerd is op de hierboven beschreven ontologie. Bekijken
3
we een kwantum-systeem S dan geven we proposities over dat systeem
aan met A, B, .... Hiermee kunnen we vervolgens bepaalde eigenschappen
P (A), P (B), ... toekennen aan het systeem S (op een bepaald tijdstip t).
Volgens het eerste punt uit de hierboven geformuleerde ontologie, bestaat er voor elke propositie A een experiment dat als uitkomst heeft dat
P (A) een eigenschap is van S of niet. In het eerste geval noemen we de
propositie A van het systeem S op het tijdstip waarop we het experiment
hebben uitgevoerd, waar. We geven dit aan met A(S, t) = waar. Anders
zeggen we dat de propositie onwaar is. We stellen bovendien dat, wanneer we hebben gevonden dat een bepaalde propositie waar is op tijdstip
t en we hetzelfde experiment op tijdstip t0 ≈ t opnieuw uitvoeren, we
dezelfde uitkomst krijgen, dat wil zeggen: de propositie is nog steeds (of
beter: weer) waar. Hebben we echter tussendoor een ander experiment
met het systeem uitgevoerd om de waarde van een andere propositie B
te bepalen, dan geeft een herhaling van het eerste experiment niet perse
dezelfde waarde voor propositie A. Is dit wel altijd het geval, dan heten
de proposities A en B commensurabel.
We introduceren nu de logische verbindingsoperatoren die twee proposities met elkaar kunnen verbinden en zo een nieuwe propositie opleveren.
De eerste is de sequentiële conjunctie: A u B. Hierbij wordt het experiment om de waarde van de eerste propositie op tijdstip t gedaan en het
tweede experiment om de waarde van de tweede propositie te bepalen
op een later tijdstip t0 . Bij de volgende operatoren worden de metingen
op het zelfde tijdstip gedaan. We hebben de bekende conjunctie A ∧ B,
disjunctie A ∨ B en de implicatie A → B. Als laatste is er ook nog een
operator die op één propositie werkt en zo een nieuwe propositie oplevert:
de negatie ¬A. Merk op dat het voor de waarheid van de sequentiële
conjunctie niet uitmaakt of A en B commensurabel zijn of niet. Voor de
conjunctie, disjunctie en implicatie maakt dit wel degelijk uit.
Als laatste geven we de binaire relaties tussen operatoren: de equivalentie A ≡ B, wat betekent dat A door B kan worden vervangen in een
willekeurige samengestelde propositie zonder dat die daarbij van waarde
verandert. De waarde-equivalentie A = B die zegt dat A waar is alleen
dan als B waar is. De implicatie-relatie A ≤ B die gedefinieerd wordt
door A ≡ A ∧ B. Merk op dat A → B alleen dan geldt, als A ≤ B.
Voegen we aan de volledige verzameling van alle mogelijke proposities
en de hierboven gedefinieerde operatoren nog de altijd-waar-propositie W
en de altijd-onwaar-propositie O toe, dan verkrijgen we een volledige taal
die we de kwantum-taal noemen.
4
Kwantum-logica
Met behulp van de kwantum-taal kunnen we nu een logica voor die als
basis de kwantummechanische ontologie heeft, ontwikkelen. We noemen
deze logica vanzelfsprekend kwantum-logica.
Duiden we met LQ de calculus van alle formeel-ware uitspraken2 aan,
2 Uitspraken die waar zijn onafhankelijk van het waar- of onwaar-zijn van de proposities
waaruit die uitspraken zijn opgebouwd. Een voorbeeld is de propositie A ∨ ¬A.
4
dan kunnen we LQ karakteriseren door een Lindenbaum-Tarski algebra3 ,
die in het geval dat de proposities horen bij commensurabele experimenten
gegeven wordt door een Boolese algebra. Door toevoeging van een de wet
van Solér, is het mogelijk de Hilbertruimte van projectoren te vinden
[Mittelstaedt, 1987].
5
Conclusie
Met behulp van enkele heel algemene uitspraken, samengevat in de kwantummechanische ontologie, is het mogelijk de Hilbert-ruimte waarin we
de kwantummechanica bedrijven te verkrijgen. Dit duidt er dus op dat
de kwantummechanica een theorie is die heel nauw met de werkelijkheid
samenhangt en, in tegenstelling tot wat op het eerste gezicht het geval
lijkt, intuı̈tiever is dan de klassieke mechanica, omdat die steunt op enkele metafysische aannames.
Het is echter wel zo dat voor het vinden van de Hilbert-ruimte de wet
van Solér nodig is. Deze extra aanname is ook metafysisch, in de letterlijke
betekenis van het woord, te noemen. Hij wordt slechts gebruikt om het
gewenste resultaat te verkrijgen. Duidelijkheid over de betekenis van deze
wiskundige wet is er tot op heden nog niet.
Toch durven we te concluderen dat de kwantummechanica intuı̈tiever
is dan de klassieke mechanica, in de eerder beschreven zin.
3 Zo’n algebra bestaat uit de equivalentieklassen van de uitspraken gedaan door de onderliggende logica, samen met een equivalentierelatie die twee uitspraken equivalent noemt als ze
in de bijbehorende logica logisch equivalent zijn.
5
Referenties
[1] Peter Mittelstaedt Quantum Physics and Classical Physics - in the
Light of Quantum Logic, 2003
[2] Wikipedia http://www.wikipedia.org
6