(cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 1: Hoeken Naam

Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Hoofdstuk 1 : Hoeken
- 1Klas: ......................
( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)
Hoekeenheden (boek pag 1)
Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de
rechte hoek
de graad :
....................................................................................
....................................................................................
notatie : ...........
de minuut : ....................................................................................
notatie : ...........
de seconde : ....................................................................................
notatie : ...........
voorbeelden : 60° 15’ 30”
120° 36’ 12”
55° 25”
15’45”
Let op : 1° = ................. ’ = ........................”
1’ = .................”
1’ = .................°
1” = .................’ = .....................”
Taak 1: Teken met je geodriehoek een hoek met de aangegeven graden:
a.
30°
c.
120°
b.
45°
d.
210°
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Taak 2: Teken de volgende hoeken
a.
Nulhoek
α = .........
b.
Scherpe hoek
.......< α < .........
c.
Rechte hoek
α = .........
c.
Stompe hoek
.......< α < .........
d.
Gestrekte hoek
α = .........
e.
Inspringende hoek
.......< α < .........
f.
Volle hoek
α = .........
- 2Klas: ......................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Taak 3: Meet volgende hoeken met je gradenboog
a.
- 3Klas: ......................
c.
c.
Hoek a: ..................................
Hoek b : .................................
Hoek c : ..................................
Berekeningen met hoekgrootten ( boek pag 2 - 6)
•
De optelling
BAˆ C = ..........................
CAˆ D = ..........................
BAˆ D = ...........................
Om twee hoekgrootten, die in dezelfde eenheid uitgedrukt zijn, op te tellen, behoud
je die eenheid en tel je de maatgetallen op.
63°
48’ 42”
+ 15°
19’ 34”
...................................
= .......................................... = .........................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
•
- 4-
Naam: ……………………………………….…
De aftrekking
Klas: ......................
BAˆ C
= ........................
BAˆ D = ........................
CAˆ D = ........................
63°
48’
42”
- 15°
19’
34”
...................................
63° 48’ 42”
63°47’102”
- 15° 53’ 55”
- 15°53’ 55”
62°
107’
102”
- 15°
53’
55”
= .........................................
•
De vermenigvuldiging met een getal
BAˆ C
= ........................
BAˆ D = ........................
63°
48’
42”
x3
..........................................= ......................................... = ....................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
•
- 5-
Naam: ……………………………………….…
De delingen
Klas: ......................
Een hoek delen door een getal
55°35’40” : 5 = ..............................................
165° 15’9” : 7 = 23° 36’ 27”
graden
•
165° : 7 = 23°
minuter
240’ + 15’ = 235’
235’ : 7 = 36’
seconden
180” + 9” = 189”
189” : 7 = 27”
rest 4° ( = 4 x 60’ = 240’)
rest 3’ ( = 3 x 60” = 180”)
Een hoek delen door een hoek
40° : 4° = ..............................
25” : 5” = .............................
Let op :
Als je een hoek deelt door een hoek dan krijg je een getal.
4° 10’ 48” : 13’ 12” = ...................................................................................
= ....................................................................................
= ....................................................................................
= ....................................................................................
180° 3’ : 3° 3”
= ...................................................................................
= ....................................................................................
= ....................................................................................
= ....................................................................................
Methode:
Zet deler en deeltal om in dezelfde eenheid ( vb seconden)
Maak de deling en je krijgt een getal als quotiënt
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
•
- 6-
Naam: ……………………………………….…
Graden met decimale verdeling
We kunnen de graad ook decimaal verdelen:
Klas: ......................
7°30’ schrijven we dan als 7,5°
10°15’ schrijven we dan als ............
Omzetting van graden, minuten en seconden (60-delige) naar graden met decimale
verdeling (10-delige) :
 1 
1’ =  
 60 
Voorbeeld:
'
°
en
 1 
 1 
1” =   = 

 60 
 3600 
 1 
15° 42’9” = 15° + 42 .  
 60 
°
°
 1 
+ 9. 

 3600 
°
= 15° + ............... + ........................
= ..........................................................
Opmerking : Het gebruik van de ZRM TI-30xIIB
Tik in 15 ° ‘ ” enter 42 ° ‘ ” enter 9 ° ‘ ” enter , enter 15,7025°
Omzetting van graden met decimale verdeling (10-delig) naar graden , minuten en
seconden (60-delig)
1° = 60’ = 60 . 60” = 3600”
Voorbeeld : 57,13°
=
57° + 0,13°
=
en
1’= 60”
57° + (0,13 . 60’)
=
57° + 7,8’
=
...................................................
=
....................................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Opmerking : Het gebruik van de ZRM TI-30xIIB
Tik in 15,7025 ° ‘ ” DMS
- 7Klas: ......................
enter enter 15°42’9”
Taak 4: Bereken zonder zakrekenmachine (opgave zie boek pag 6 opgave 1)
a.
b.
c.
7°20’ + 8°50’
f.
9°40” + 12°30”
= .......................................................
= .......................................................
= ........................................................
= ........................................................
15°24’ – 7°30’ =
g.
90° - 37°20”
= .......................................................
= .......................................................
= ........................................................
= ........................................................
8° 12’ . 7
h.
1’1” . 1000
= .......................................................
= .......................................................
= ........................................................
= ........................................................
= ......................................................
d.
i.
12° : 3 ° = ........................................
e.
12° : 12”
j.
40°14’ : 3 = ...................................
5° : 50’
= .......................................................
= .......................................................
= ........................................................
= ........................................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 8-
Naam: ……………………………………….…
Klas: ......................
Taak 5: Zet om in graden, minuten en seconden ( opgave zie boek pag 6 nr. 2)
a.
15,5° = ..........................................
c.
= ..........................................
22,2225° = .......................................
= ........................................
= .......................................
b.
37,37° = .......................................
d.
0,075° = ...........................................
= ......................................
= ..........................................
= ......................................
= ..........................................
Taak 6: Zet om in graden met decimale verdeling (opgave zie boek pag 6 nr. 3)
a.
18°30’ = ...........................................
c.
= ..............................................
= ...........................................
b.
12°10’3” = .......................................
5’ 15” = ..............................................
d.
22°22’22” = .......................................
= .......................................
= .......................................
= .......................................
= .......................................
Taak 7 : Bereken ( opgave zie boek pag 6 nr.4)
a.
35°23’51” + 71°51’43”
43°7’12” – 30°20’42”
= ..........................................
= ...................................................
= ..........................................
= ...................................................
= ..........................................
= ...................................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 9-
Naam: ……………………………………….…
b.
32°17’24” . 10
Klas: ......................
g.
92°51’36” : 6 = .................................
h.
117°20” : 5 = .....................................
i.
15°: 15 = ...........................................
j.
15°:15’ = ............................................
= ....................................................
= ....................................................
= ....................................................
c.
1° : 100 = ........................................
= .......................................
d.
6’ : 1’20” = ........................................
= ........................................
e.
15°:15” = ...........................................
= ........................................
= ........................................
= ........................................
= ........................................
f.
15°27’9” . 8
k.
12°18” - 8°24’
= .............................................
= .................................................
= .............................................
=.................................................
= ............................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Complementaire hoeken ( boek pag 7)
- 10Klas: ......................
Twee hoeken zijn complementair als .............................. van hun hoekgrootten .......... is.
Voorbeelden:
Een hoek van 40o is het complement van een hoek van 50o want 40o + 50o = 90o
Een hoek van 35o is het complement van een hoek van ......... want 35o + ......... = ...........
Een hoek van 22o 10’ 15” is het complement van een hoek van .......................................
want 22o 10’ 15” + ....................................... = .....................................................
Supplementaire hoeken ( boek pag 7)
Twee hoeken noemen we supplementair als .............................. van hun hoekgrootten
............... is.
Voorbeelden:
Een hoek van 40o is het supplement van een hoek van ......... want 40o +.......... = 180o
Een hoek van 35o is het supplement van een hoek van ......... want 35o + ......... = .......
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
- 11Klas: ......................
Taak 1: Bereken de complementaire en supplementaire hoek van de volgende hoeken:
Hoek : α
Complement: 90o - α
Supplement: 180o - α
70o
8o
58o15’
80o20’30”
44o44’44”
Nevenhoeken:
Definitie:
Nevenhoeken zijn ....................................................... hoeken met één.......................
gemeenschappelijk.
Stelling van de nevenhoeken:
Â1 en Â2 zijn twee nevenhoeken:
Construeer de bissectrice x van de hoek Â1
Construeer de bissectrice y van de hoek Â2
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
- 12Klas: ......................
Wat stel je vast in verband met de stand van de bissectrices x en y : x .......... y
Besluit:
De bissectrices van twee nevenhoeken staan ......................................... op elkaar
Stelling met symbolen:
nevenhoeken a b en b c 

x bissectrice van a b
 ⇒ ........................

y bissectrice van b c

Bewijs : (zie boek pag 8)
De som van twee nevenhoeken is 180° :
180° =
A1 + A2
= .................................................................................
= .................................................................................
= ..................................................................................
= .................................................................................
⇒ ........................................................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
- 13Klas: ......................
Hoeken met benen paargewijs evenwijdig ( boek pag 9-10)
a. Hoeken waarvan de benen paarsgewijs evenwijdig zijn in dezelfde zin zijn
even groot.
Stelling met symbolen:
hoek a b met hoekpunt P
hoek c d met hoekpunt Q
a // c ( zelfde zin )
b // d ( zelfde zin)



 ⇒ ........................



Bewijs: (zie boek pag 9)
De hoek Q̂ is het .......................................... van de hoek ...........
door een verschuiving ......... met koppel (........,.......)
Maar: een verschuiving beeldt een hoek af op een ............................ grote hoek
Dus: ......................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 14-
Naam: ……………………………………….…
Klas: ......................
b. Twee hoeken waarvan de benen paarsgewijs evenwijdig in tegengestelde zin,
zijn even groot
Stelling met symbolen:
hoek a b met hoekpunt P
hoek c d met hoekpunt Q
a // c ( tegengestelde zin )
b // d ( tegengestelde zin)



 ⇒ ........................



Bewijs : ( zie boek pag 10)
We construeren de overstaande hoek Q̂2 van de hoek c d
Dan geldt :
Pˆ = ..............
want (1) : ...............................................
...............................................
...............................................
Maar
: Qˆ 2 = ............
want (2) : ...............................................
Uit (1) en (2) volgt : ....................................................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 15-
Naam: ……………………………………….…
Klas: ......................
c. Twee hoeken waarvan één paar benen evenwijdig is in dezelfde zin en één paar
benen evenwijdig is in tegengestelde zin, zijn elkaars supplement.
Stelling met symbolen:
hoek a b met hoekpunt P
hoek c d met hoekpunt Q
a // c ( dezelfde zin )
b // d ( tegengestelde zin)



 ⇒ ........................



Bewijs : ( zie boek pag 10)
We verlengen d tot een rechte. Zo onstaat de hoek Q̂ 2
Dan geldt :
Pˆ = ..............
want (1) : ........................... ..............
...............................................
...............................................
Maar
: Qˆ1 + Qˆ 2 = ............
want (2) : ..........................................
Uit (1) en (2) volgt : ....................................................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Samenvatting:
- 16Klas: ......................
Hoeken waarvan de benen paarsgewijs
evenwijdig zijn in dezelfde zin zijn
.......................................................
Twee hoeken waarvan de benen paarsgewijs
evenwijdig in tegengestelde zin, zijn
..........................................................
Twee hoeken waarvan één paar benen
evenwijdig is in dezelfde zin en één paar
benen evenwijdig is in tegengestelde zin, zijn
elkaars ................................................
Taak 8: Voor de figuren geldt: a//b en c//d. Bepaal door de stelling toe te passen
welke hoeken even groot en welke supplementair zijn.
(Opgave zie boek pag 11 nr 10: )
a.
b.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
c.
e.
Naam: ……………………………………….…
d.
- 17Klas: ......................
f.
Taak 9 : Voor de figuren geldt: a//b en c//d. Bereken α door de stelling toe te passen.
(Opgave zie boek pag 11 nr 11)
a.
b.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
c.
Naam: ……………………………………….…
d.
e.
- 18Klas: ......................
f.
Taak10: (Opgave zie boek pag 11 nr. 13)
In een parallellogram ABCD trekken we door A
een rechte die BC snijdt in een punt E. Door C
trekken we een evenwijdige met AE. Zij snijdt
AD in F.
Bewijs: BAˆ E = DCˆ F
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
- 19Klas: ......................
Hoeken met benen paargewijs loodrecht ( boek pag 12-13)
a. Twee scherpe hoeken of twee stompe hoeken waarvan de benen paarsgewijs
loodrecht staan, zijn even groot.
Stelling met symbolen:
hoek a b met hoekpunt P
hoek c d met hoekpunt Q
Pˆ en Qˆ beide scherp of beide stomp
a ⊥ c en b ⊥ d



 ⇒ ........................



Bewijs : ( zie boek pag 12)
We onderwerpen de hoek Q̂1 aan een draaiing met centrum Q en een hoek van 90° .
Zo ontstaat de hoek .....................
(1) De hoek Q̂ 2 is een hoek waarvan de benen ....................................................................
zijn met de benen van de hoek P̂ en in ...........................................................................
We mogen dus zeggen dat Q̂2 .................. P̂
(2) De draaiing behoudt ......................................... van de hoek dus : Q̂ 2 ......... Q̂1
uit (1) en (2) volgt : P̂ ........................ Q̂1
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 20-
Naam: ……………………………………….…
Klas: ......................
b. Een scherpe en een stompe hoek waarvan de benen paarsgewijs loodrecht op elkaar
staan, zijn elkaars supplement.
Stelling met symbolen:
hoek a b met hoekpunt P
hoek c d met hoekpunt Q
Pˆ stomp en Qˆ scherp
a ⊥ c en b ⊥ d



 ⇒ ........................



Bewijs : ( zie boek pag 13 )
We verlengen c tot een rechte. Zo onstaat de hoek Q̂ 2 .
Dan geldt :
P̂ ..................... Q̂2
want : ......................................................
.......................................................
Maar
:
Q̂1 + Q̂2
= ............
Dus
:
P̂
+
= ............
Toepassing:
Q̂1
want : .....................................................
De hoogtelijn op de schuine zijde van een rechthoekige
driehoek verdeelt de rechte hoek in twee hoeken die even
groot zijn als de scherpe hoeken van de driehoek.
Verklaring:
..................................................................................................
..................................................................................................
Gevolg: De scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek
zijn elkaars compliment.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
- 21Klas: ......................
Opgave pag 13 nr. 14 : Welke hoeken zijn even groot, welke zijn elkaar supplement?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 22-
Naam: ……………………………………….…
Opgave pag 14 nr. 15 : Bereken α in de volgende figuren
Klas: ......................
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Opgave pag 14 nr 16 :
- 23Klas: ......................
In een ∆ABC trekken we de hoogtelijnen uit B en C.
Eén van de hoeken gevormd door die hoogtelijnen is even groot als Â
Welke? ...........................................................................
Waarom? ..........................................................................
..........................................................................
Eén van de hoeken gevormd in B is even groot als één van de hoeken
gevormd in C.
Over welke hoeken gaat het?
........................................................................
Waarom?
........................................................................
........................................................................
Samenvatting:
Twee scherpe hoeken of twee stompe hoeken waarvan de benen
paarsgewijs loodrecht op elkaar staan zijn ........................................
Een scherpe hoek en een stompe hoek waarvan de benen
paarsggewijs loodrecht op elkaar staan zijn ....................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 24-
Naam: ……………………………………….…
Klas: ......................
Hoeken gevormd door twee rechten en een snijlijn ( boek pag 14)
Overeenkomstige hoeken : ................................................................................................
Verwisselende binnenhoeken : ..........................................................................................
Verwisselende buitenhoeken : ..........................................................................................
Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn : ............................................................
Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn : .............................................................
Opgave pag 15 nr 17 : Geef voor de volgende hoeken de passende namen
Aˆ 1 en Bˆ 4
Aˆ 1 en Bˆ 3
……………………………..
……………………………..
Aˆ 3 en Bˆ 3
Aˆ 2 en Bˆ 2
……………………………..
……………………………..
Aˆ 2 en Bˆ 4
Aˆ 1 en Aˆ 3
……………………………..
……………………………..
Aˆ 4 en Bˆ 4
Bˆ 1 en Aˆ 3
……………………………..
……………………………..
Aˆ 4 en Bˆ 1
Bˆ 3 en Bˆ 2
……………………………..
……………………………..
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 25-
Naam: ……………………………………….…
Klas: ......................
Hoeken gevormd door twee evenwijdige rechten en een snijlijn ( boek pag 16)
Stelling: Als a // b dan geldt:
Overeenkomstige hoeken zijn .....................................................................................
Verwisselende binnen hoeken zijn .............................................................................
Verwisselende buitenhoeken zijn ...............................................................................
Binnenhoeken aan een zelfde kant van de snijlijn zijn...............................................
Buitenhoeken aan een zelfde kant van de snijlijn zijn ...............................................
Stelling met symbolen:
Aˆ 1 ........ Bˆ 1
a // b
a ∩ c = {A}
b ∩ c = {B }







Aˆ 2 ........ Bˆ 4
⇒
Aˆ 4 ........ Bˆ 2
Aˆ 2
+
Bˆ 3
= .............
Aˆ 3
+
Bˆ 2
= ..............
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Bewijs + overzicht : (zie boek pag 16)
- 26Klas: ......................
Geval 1: overeenkomstige hoeken
Beide benen ........................................ en in
........................................... zin
Geval 2 : Verwisselende binnenhoeken
Geval 3: Verwisselende buitenhoeken
Beide benen ........................................ en in
Beide benen ........................................ en in
........................................... zin
........................................... zin
Geval 4: Binnenhoeken aan eenzelfde
Geval 5: Buitenhoeken aan eenzelfde
kant
kant
Één paar benen ........................................
Één paar benen ........................................
en in ......................................... zin en één
en in ......................................... zin en één
paar benen ................................................
paar benen ................................................
en ................................................... zin
en ................................................... zin
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 27-
Naam: ……………………………………….…
Klas: ......................
Opgave pag 19 nr 18 : Voor de volgende figuren geldt a // b . Bereken α..
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
- 28Klas: ......................
Opgave pag 19 nr. 19 :
Twee evenwijdige rechten vormen met een snijlijn acht hoeken.
Ken je de grootte van één van die hoeken, dan kun je de grootte van de andere berekenen.
Doe dit voor de nevenstaande figuur
waarvoor gegeven is : Aˆ 1 = 130 0
Opgave pag 20 nr 20 : Welke hoeken hebben ook de grootte α
a // b
c // d
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
- 29Klas: ......................
Eigenschappen van een trapezium en een parallellogram ( boek pag 21 – 22 )
Stelling 1:
In een trapezium zijn de hoeken gelegen aan een zelfde opstaande zijde ........................
Gevolg:
 + ………….. = ………….
Ĉ
+ ………….. = ………….
In een parallellogram zijn elke twee opeenvolgende hoeken ......................................
Stelling 2 :
In een parallellogram zijn alle overstaande zijden ...................................
Omgekeerde stelling :
Als in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijn dan is die vierhoek ........
Stelling 3:
In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar ....................................
Stelling 4:
Als in een vierhoek één paar overstaande zijden evenwijdig en even lang zijn dan is die
vierhoek een ........................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Studiehulp:
- 30Klas: ......................
Zorg dat je de leerfiches ( zijn de kadertjes met het uitlje) goed
kent.
Hermaak de oefeningen uit je map die we in de klas gemaakt
hebben. Controleer jezelf door de oplossingen uit je map te
vergelijken met de oplossing die je gevonden hebt.
De opgaven staan in je boek en in je map krijg je steeds een
verwijzing naar de pagina en het nummer uit je boek.
Maak steeds de oefeningen uit “Toets jezelf”.
Dit kan je vinden aan het einde van elk hoofdstuk en de
oplossingen staan achteraan in je boek.
Tracht eventueel ook nog een paar oefeningen uit je boek te maken
die we niet in de klas gemaakt hebt.
Heb je vragen, kom dan gerust langs.....
Opgave pag 20 nr. 21 :
Twee evenwijdige rechten a en b worden door een rechte c gesneden in A en B.
De bissectrice van één van de in A gevormde binnenhoeken snijdt b in C.
Welke soort driehoek is ∆ABC? Leg uit.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Opgave pag 20 nr.23 a
- 31Klas: ......................
Twee evenwijdige rechten a en b worden door een rechte c gesneden in A en B. Bewijs
dat de bissectrices van twee binnenhoeken aan een zijde van de snijlijn loodrecht op
elkaar staan.
Opgave pag 22 nr. 26
Een parallellogram heeft een hoek van 50°. Bereken de grootte van de overige hoeken.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
- 32-
Naam: ……………………………………….…
Klas: ......................
Middenparallel van een driehoek ( boek pag 23)
Instap pag 23
•
Construeer een ∆ABC met AB = 6 cm en BC = 10 cm en AC = 9 cm
•
•
•
•
Construeer het midden M van [ BC ]
Construeer het midden N van [ AC ]
Construeer het midden P van [ AB ]
Construeer de rechten PN, MN, en PM
•
Welk verband zie je tussen de onderlinge ligging van de rechten
PN ........ BC
•
en
MN .........AB en PM ........ AC
Meet de lengtes van volgende lijnstukken en zoek een verband tussen die lengtes
PN = ....................... en
BC = ....................... ⇒ PN = ........... BC
MN = ....................... en
AB = ....................... ⇒ MN = ........... AB
MP = ....................... en
AC = ......................
⇒ MP = ........... AC
Stelling met woorden:
Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is
........................................................ met de derde zijde en is
.............................................. als die derde zijde.
We noemen zo een lijnstuk een ........................................................... van de driehoek.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Stelling met symbolen:
∆ ABC
M midden van [ AB ]
N midden van [ AC ]
- 33Klas: ......................


 ⇒ MN ....... BC en MN = ........... BC


Bewijs:
We verlengen het lijnstuk [ MN ] met een even lang lijnstuk [ ND ]
We krijgen hierdoor een vierhoek MADC waarvan de diagonalen elkaar
.......................................................... snijden dus mogen we zeggen dat de vierhoek
MADC een .........................................................is. Hieruit volgt dat
AM .......... DC en AM ......... DC
Maar AM en MB zijn dezelfde rechte en AM ....... MB dus :
MB ........ DC en
MB ...... DC
De vierhoek BMDC heeft een paar zijden evenwijdig en even lang en is dus .....................
MD .......... BC en
MD ........ BC
⇔
MD ........... BC en
1
1
MD ........ BC
2
2
⇔
MN ........... BC en
MN ..........
1
BC
2
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Omgekeerde stelling:
- 34Klas: ......................
Een rechte door het midden van een zijde van een driehoek evenwijdig met een andere
zijde getrokken, gaat door het midden van de derde zijde.
∆ABC
M is het midden van [ AB ]
M ∈ x en x // BC
[AC ] ∩
x = {N }



 ⇒ N midden van [ AC ]


Bewijs : zie boek pag 24
Samenvatting:
MN ......... BC
MN = ......... BC
[ MN ] is een ................................................ van de driehoek
ABC
Een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt, is
........................................ met de derde zijde en is .....................................
als die derde zijde.
Omgekeerd:
Een rechte, door het midden van een zijde van een driehoek evenwijdig
met een andere zijde getrokken, gaat door het .........................................van
de derde zijde.
Studietip:
Noteer hier de nieuwe begrippen of begrippen die je steeds vergeet.
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Opgave pag 24 nr. 28
- 35Klas: ......................
De punten D en E zijn de middens van de zijden [ AB ] en [ AC ] van een ∆ ABC.
Het punt F is een willekeurig punt van de zijde [BC ] .
De punten G en H zijn de middens van [FD ] en [FE ] .
Welk veelvoud is BC van GH ?
Opgave pag 24 nr. 29
We hebben de middens van de zijden van een ∆ ABC opeenvolgend verbonden.
Voor de verkregen driehoek deden we dit opnieuw en tenslotte nog een derde maal voor
de laatst verkregen driehoek.
Geg is nu : BC = 5 cm
Bereken MN
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Opgave pag 25 nr. 30
- 36Klas: ......................
We verbinden het midden P van een zijde [BC ] van een ∆ ABC met de middens M en N
van de zijden [ AB] en [ AC ].
Bewijs dat de vierhoek AMPN een parallellogram is.
Opgave pag 25 nr. 31:
We verbinden een willekeurig punt S met de hoekpunten van een parallellogram ABCD.
De punten M, N, P en Q zijn de middens van [ SA ], [ SB ], [ SC ], [ SD ].
Welk soort vierhoek is MNPQ? Waarom?
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Opgave Pag 25 nr. 32
- 37Klas: ......................
Construeer een parallellogram ABCD waarvoor geldt: AD = 6 cm en CD = 4 cm .
Verbindt het snijpunt S van de diagonalen met het midden P van [ AD ] . Bereken SP .
Controleer de verkregen waarde met een meting. Welk gegeven is overbodig?
Opgave pag 25 nr. 33
De middens van de zijden van een vierhoek zijn de hoekpunten van een parallellogram.
Bewijs dit.
Werkboek meetkunde (cursus voor 5u wiskunde)
Hoofdstuk 1: Hoeken
Naam: ……………………………………….…
Opgave pag 25 nr. 34
- 38Klas: ......................
Uit het midden M van de schuine zijde [BC ] van een rechthoekige driehoek ABC laten
we de loodlijn neer op de zijde [ AC ]. We noemen P het voetpunt.
Bewijs AB = 2 ⋅ MP
Opgave pag 25 nr. 35
Trek door het midden E van de zijde [ AB] van een vierhoek ABCD de evenwijdige x met
AD: geef het snijpunt met [BD ] de naam E’.
Trek door het midden F van de zijde [CD ] de evenwijdig y met BC: geef het snijpunt
met [BD ] de naam F’.
Wat stel je vast? Bewijs dit.