Rekenregels van machten

4
Rekenregels van machten
Dit kun je al
1 machten met een natuurlijke exponent berekenen
2 machten met een gehele exponent berekenen
3 terminologie in verband met de machtsverheffing correct gebruiken
Test jezelf
Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel.
Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek.
A
B
C
Verder oefenen?
1 Welke uitdrukking is gelijk aan 100?
–1001
( 2 · 5 )2
254
2 Welke macht is het grootst?
5–2
( –3 )0
( B14)
oef. 68
–2
3
oef. 63
3 Welk getal is het grondtal in de macht –23? 2
oef. 67
–1
Dit heb je nodig
Inhoud
• leerwerkboek p. 69 - 82
• oefenboek nr. 293 - 354
• rekenmachine
G18 Machten vermenigvuldigen en delen
G19 Een macht tot een macht verheffen
G20 Een product en een quotiënt tot een macht
verheffen
G21 Rekenregels van machten noteren in symbolen
p. 70
p. 74
p. 76
p. 80
69
G18
Machten vermenigvuldigen en delen
Op verkenning
a
Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen
• Vul de tabel in.
23 · 26
Noteer elke macht als een
vermenigvuldiging.
=
Werk de haakjes weg.
Welke eigenschap pas je toe?
Noteer het resultaat als één macht.
•
(
) · ( 2·2·2·2·2·2 )
2·2·2
= (a · a) · (a · a · a · a · a)
= 2·2·2·2·2·2·2·2·2
= a·a·a·a·a·a·a
Het vermenigvuldigen is
Het vermenigvuldigen is
associatief in q.
associatief in q.
= 29
= a7
Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
a3 · a2 =
noteer elke macht als een vermenigvuldiging
noteer indien mogelijk het
resultaat als één macht
(a · a · a) · (a · a) = a · a · a · a · a
a5
–1 3
B
–1 B
–1 B
–1 B
B
· –1
· B
= –1
· B
· –1 2
2
2
2 2 2
( )
[( ) ( )] ( )
2
(B–12 ) · (B–12 ) =
62 · 42 =
62 · 42
3·3·3
1 B
·3·3·3=B
=3
3
1
x·x·x·x =x·x
B
x · (x · x · x) · B
x · x = x · x x2
(a · a · a · a · a · a) · b
a6 · b
3·3
x · x3 · x–2 =
2
6·6·4·4
3–2 · 33 =
a6 · b =
5–3 · 5–2 =
3·3
1 1 1
B
·B
=B
5·5·5 5·5
•
a2 · a5
5·5·5·5·5
1 = 5–5
B
5
5
Wanneer kun je het resultaat noteren als één macht?
Als de factoren machten zijn met hetzelfde grondtal.
Je behoudt het grondtal. . . . . . . .
– Wat doe je telkens met het grondtal?
............................................................................
Je telt de exponenten op. . . . . . . .
– Wat doe je telkens met de exponenten?
............................................................................
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
•
Je ontdekte hoe je machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigt.
Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.
– Neem 23 · 26 = 23+6 = 29
ak · ap = ak + p
–
Vervang het grondtal 2 door de letter a en de exponenten 3 en 6
door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.
............................................................................ . . . . . . .
–
Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid?
............................................................................ . . . . . . .
Door alle gehele getallen.
1
B
Noteer a–3 met een positieve exponent.
............................................................................
.......
3
–
Door welk getal kun je a zeker niet vervangen?
............................................................................ . . . . . . .
–
Door welke getallen kun je a wel vervangen in deze gelijkheid?
............................................................................ . . . . . . .
maar niet door 0.
a
Door 0; B10 is niet gedefinieerd.
Door alle rationale getallen,
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
rekenregels van machten
Rekenregel – machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen
Machten met eenzelfde grondtal
vermenigvuldigen:
• Behoud het grondtal.
• Tel de exponenten op.
a is een rationaal getal verschillend van 0
k en p zijn gehele getallen.
52 · 53 = 52+3 = 55
11
1
a–8 · a–3 = a–8+( –3 ) = a–11 = B1a = B
11
()
ak · ap = ak+p
a
CONTROLE 11 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe.
De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
3
5. . . .2. . .+. . .1. . .=
. . . . . .5
. . . . . . .=
. . . . . 125
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
6 + (–6)
0
d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . .d
.......=
. . . . . .1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
52 · 5 =
d6 · d–6 =
b
53 · 63 =
a9 · a–14 =
125 · 216 = 27 000
1
a9 + (–14) = a9 – 14 = a–5 = B
................................................................................
......
5
................................................................................ . . . . . .
a
Machten met eenzelfde grondtal delen
• Vul de tabel in.
26 B
2
(a ≠ 0)
2
Noteer elke macht als een
vermenigvuldiging.
Vereenvoudig.
=
Noteer het resultaat als één macht.
•
2·2·2·2·2·2
2·2
=
=
a2 : a5
a·a
a·a·a·a·a
1 =B
2·2·2·2
a·a·a
1 = a–3
=B
a3
= 24
Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor ≠ 0.
noteer elke macht als een vermenigvuldiging
46 =
B
2
4
( –5 )3 : ( –5 )2 =
4·4·4·4·4·4
4·4
(–5) · (–5) · (–5)
(–5) · (–5)
noteer indien mogelijk het
resultaat als één macht
44
(–5)1 = –5
h2 =
B
2
h
h · h
B
32 =
B
3
3·3
B
2–4 : 23 =
1
1
B
: (2 · 2 · 2) = BB
z3 : z–2 =
1
z·z·z:B
z · z = z · z · z · z · z
103 : 3–3 =
1 10 · 10 · 10 : B
= 10 · 10 · 10 · 3 · 3 · 3
3·3·3
103 · 33
a–3 : a–3 =
a·a·a
1 :B
1 =B
1 ·a·a·a=B
B
a · a · a
a · a · a
a · a · a
a · a · a
a0 = 1
2
•
h0 = 1
h·h
32
B
3
2·2·2
2·2·2·2
2
2·2·2·2·2·2·2
Wanneer kun je het resultaat noteren als één macht?
1 = 2–7
B
7
2
z5
Als
het deeltal en de deler . . . . . . .
............................................................................
machten zijn met hetzelfde grondtal.
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–
Wat doe je telkens met het grondtal?
–
Wat doe je telkens met de exponenten?
Je
behoudt het grondtal. . . . . . . .
............................................................................
Je bepaalt het verschil
van de exponent van. . . . . . .
............................................................................
het deeltal en de exponent van de deler.
71
G18
Machten vermenigvuldigen en delen (vervolg)
•
•
Je ontdekt hier hoe je machten met eenzelfde grondtal deelt.
Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.
– Neem 26 : 22 = 26–2 = 24
ak : ap = ak – p
–
Vervang het grondtal 2 door de letter a en de exponenten 2 en 6
door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.
............................................................................ . . . . . . .
–
Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid?
............................................................................ . . . . . . .
Door alle gehele getallen.
1
B
Noteer a–3 met een positieve exponent.
............................................................................
.......
3
a
Door 0; B10 is niet gedefinieerd.
............................................................................
.......
–
Door welk getal kun je a zeker niet vervangen?
–
Door welke getallen kun je a wel vervangen in deze gelijkheid?
Door alle rationale getallen, maar niet door 0.
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekenregel – machten met eenzelfde grondtal delen
Machten met eenzelfde grondtal
delen:
• Behoud het grondtal.
• Trek de exponenten van elkaar af
(exponent van het deeltal – exponent van de deler).
98 : 96 = 98–6 = 92 = 81
a is een rationaal getal
verschillend van 0.
k en p zijn gehele getallen.
x9 = x9–2 = x7
(x ≠ 0) B
x2
ak : ap = ak – p
10–4 : 10–2 = 10–4–(–2) = 10–4+2 = 10–2 =
1 1 2 = B
1 = B
B
10
102 100
( )
CONTROLE 12 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe.
De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
8 – 7 = 151 = 15
7 – 5 = d2
158 =
B
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
d7 : d5 = d
................................................................................
......
157
p9
9 – (–2)
B
p
= p9 + 2 = p11
123 : 63 = 1728
. . . . . . . . . . . . . . .:. . .216
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . . . . .8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
=
................................................................................
......
p–2
Oefeningen
Algemene opmerkingen bij de oefeningen:
– De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
– Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.
WEER?
293 - 296
1
MEER?
297 - 299
WEER?
300 - 302
MEER?
303 - 306
72
2
•
•
Reken uit.
Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.
a
53 · 5 =
d
42 – 43 =
................................................................. . . . . . . .
b
a6 · a35 =
6 + 35
41
a
. . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . .a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
e
145 · 114 =
................................................................. . . . . . . .
c
b102 · b–2 =
102 + (–2)
100
b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . .b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
f
102 · 22 =
................................................................. . . . . . . .
•
•
Reken uit.
Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.
44 =
B
² 4
d
38 : 38 =
.................................................................. . . . . . .
a
16 – 64 = –48
145 + 14 = 159 = 1
100 · 4 = 400
38 – 8 = 30 = 1
36 : 10 000 = 0,0036
b
1255 =
B
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
1255 – 4 = 1251 = 125
e
62 : 1002 =
................................................................. . . . . . . .
c
d2 : d6 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . ..................
1
d2 – 6 = d–4 = B
f
f19 =
B
6
................................................................. . . . . . . .
125
rekenregels van machten
d
f
f19 – 6 = f13
3
WEER?
307 - 312
•
•
Reken uit.
Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.
a
33 : 3–1 =
b
132 + (–133)
132 – 133
99–1 = B
99132 · 99–133 = 99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . .99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . ...................
c
991 · 199 =
d
( –3 )
B
=
–1 4
3. . . .3–(–1)
. . . . . . . . . . . .=
. . . . .3
. . . . . . .=
. . . . . .81
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
0,12 · 0,1 =
................................................................. . . . . . . .
f
53 + 5–2 =
................................................................. . . . . . . .
99
. . . . . . . . .·. . .1
....=
. . . . . .99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
g
10210 : 1029 =
................................................................. . . . . . . .
2 – (–1)
2+1
3
(–3)
= –27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . .(–3)
. . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . .(–3)
. . . . . . ..................
h
d–2 · d–6 =
................................................................. .8. . . . . .
1
99
2
4
( –3 )
0,12 + 1 = 0,13 = 0,001
e
1
125 + B
= 125 + 0,04 = 125,04
25
10210 – 9 = 1021 = 102
1
d–2 + (–6) = d–2 – 6 = d–8 = B
d
MEER?
315
316
In het midden van een vijver groeit een witte waterlelie. De lelie breidt zich zo snel uit, dat het aantal
bloemen elke dag verdubbelt. Als de drijfplant ongestoord kan groeien dan is de vijver volledig bedekt
in 12 dagen.
a
b
c
MEER?
313
314
Vul in de tabel de tweede rij aan die het verband aangeeft tussen de tijd en het aantal bloemen.
Noteer in de laatste rij het aantal bloemen als een macht met grondtal 2.
tijd (in dagen)
0
1
2
3
4
5
6
7
aantal bloemen
1
2
4
8
16
32
64 128 256 512 1024 2048 4096
als macht 2n
20
21
22
23
24
25
26
27
8
28
9
29
10
210
11
211
12
212
Zoek het antwoord op onderstaande vragen. Je mag hiervoor alleen een beroep doen op de machten uit de
laatste rij van de tabel en op de gepaste rekenregel.
– Na hoeveel dagen is de vijver half bedekt?
12
12 – 1
11
2.............
: 2 .=
. . . . .2
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . .2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Na
11. . .dagen
.............
. . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . . de
. . . . . . . .vijver
. . . . . . . . . . . . . . .half
. . . . . . . . . . .bedekt.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–
Na vier dagen is 1 m2 van de vijver gevuld met 24 bloemen. Wat is de oppervlakte van de vijver?
12 : 24 = 28 = 256
2.............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
De
oppervlakte
.............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . .de
. . . . . . .vijver
. . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . .256
. . . . . . . . . .m
. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat moet je kunnen?
τ machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen
τ machten met eenzelfde grondtal delen
τ de rekenregels verwoorden
73
G19
Een macht tot een macht verheffen
Op verkenning
•
Vul de tabel in.
3
( 32 )
( a2 )3
(a ≠ 0)
Noteer de derdemacht als een
vermenigvuldiging van kwadraten.
= 32 · 32 · 32
= a2 · a2 · a2
Noteer het resultaat als één macht.
= 36
= a6
•
Vul de tabel in.
De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
noteer de macht als een vermenigvuldiging
2
noteer het resultaat als
één macht
( ( –4 ) ) =
(–4)4 · (–4)4
( 35 )3 =
35 · 35 · 35
315
( b2 )6 =
b2 · b2 · b2 · b2 · b2 · b2
b12
4
( ( 5k )
B
–3 2
)
5 –3 B
5 –3
B
· k
() ()
k
a–2 · a–2
( 02 )5 =
02 · 02 · 02 · 02 · 02
•
5 –6 B
k 6
B
= () ()
=
( a–2 )2 =
•
(–4)8
k
5
1 4
a–4 = B
a
()
010 = 0
Hoe kun je een macht tot een macht verheffen?
–
Wat doe je telkens met het grondtal?
–
Wat doe je telkens met de exponenten?
Je behoudt het grondtal.
Je vermenigvuldigt de exponenten. . . . . . . .
...........................................................................................................
........................................................................................................... . . . . . . .
Je ontdekt hier hoe je een macht tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.
3
– Neem ( 42 ) = 42·3 = 46
–
Vervang het grondtal 4 door de letter a en de exponenten 2 en 3 door de letters k en p.
–
Noteer de gelijkheid met letters.
–
Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid?
(ak)p = ak · p
........................................................................................................... . . . . . . .
Door alle gehele getallen.
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–
Mag je a door alle getallen vervangen? Verklaar.
Door alle rationale getallen, maar niet door 0.
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
rekenregels van machten
Rekenregel – een macht tot een macht verheffen
Een macht tot een macht verheffen:
• Behoud het grondtal.
• Vermenigvuldig de exponenten.
a is een rationaal getal verschillend
van 0.
k en p zijn gehele getallen.
p
( ak )
( 22 )3 = 22·3 = 26 = 64
( 5–1 )–2 = 5(–1)·(–2) = 52 = 25
( a3 )5 = a3·5 = a15
= ak·p
Oefeningen
Algemene opmerkingen bij de oefeningen:
– Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0.
– Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.
5
6
7
WEER?
317 - 319
•
•
Reken uit.
Pas de gepaste rekenregel toe.
a
( 2 2 )3 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
d
( ( –g )2 )
b
· (–1)
2
. . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . .9
. . . . . . .=
. . . . . .81
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
( 9–2 )–1 = .9. . . –2
e
1 6 = B
1= B
1
B
· (–2)
= 2–6
( 23 )–2 = 23.......................................................................
.. 2
26 . . . . 64
c
12
. . . . . . . .=
. . . . . .a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
( a–3 )–4 = .a. . . .–3. . . . .·.(–4)
f
( a8 )2 =
•
•
Reken uit.
Pas de gepaste rekenregel toe.
a
( 104 )2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
104 · 2 = 108 = 100 000 000
d
( k3 )3 =
....................................................................... . . . . . .
b
p3 · p–2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
p3 + (–2) = p3 – 2 = p
e
b5 =
B
2
....................................................................... . . . . . .
c
a–2 : a–4 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
a–2 – (–4) = a–2 + 4 = a2
f
x–2 · x–3 =
.......................................................................5. . . . . .
22 · 3 = 26 = 64
–3
–6
1 triljard : duizend = .1
. . . . triljoen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................
b
1 miljard · 1 biljard = 1
. . . . quadriljoen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................
c
1 triljoen : . . . . . . . . . . . . . .1
. . . . .biljoen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 1 miljoen
d
1 miljoen ·
e
f
1 triljard
= 1 quadriljard
(1 miljard)2 = .1
. . . . triljoen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................
(1 quadriljoen)0 = .1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................
............................................
Wat moet je kunnen?
1
B
6
( )
=
()
g
MEER?
320 - 323
(a)8 · 2 = (a)16 = a16
....................................................................... . . . . . .
WEER?
324
b
k3 · 3 = k9
MEER?
325
326
b5 – 2 = b3
1
x–2 + (–3) = x–5 = B1x = B
x
()
5
Vul in. Verklaar door de oplossing te berekenen met machten van 10.
a
1
B
(–g) = – g = 6 . . . . . .
= .......................................................................
1021 : 103 = 1018
109 · 1015 = 1024
.....................................................
1018
B
= 106
.....................................................
1012
106 · 1021 = 1027
.....................................................
(109)2 = 1018
.....................................................
(1027)0 = 1
.....................................................
WEER?
327
.....................................................
HHQPLOMRHQ
HHQPLOMDUG
HHQELOMRHQ HHQELOMDUG HHQWULOMRHQ
HHQWULOMDUG
Q HHQTXDGULOMRH
HHQTXDGULOMDUG
τ een macht tot een macht verheffen
τ de rekenregel verwoorden
75
G20
Een product en een quotiënt tot een macht verheffen
Op verkenning
a
Een product tot een macht verheffen
• Vul de tabel in.
(2 · 4)
Noteer de derdemacht als een
vermenigvuldiging.
Plaats de gelijke factoren samen tussen
haakjes.
(
2·4
(
)·(
3
) ( 5·a )·( 5·a )·( 5·a )
)·( 4·4·4 ) ( 5·5·5 )·( a·a·a )
2·4
2·2·2
( 5a )3
)·(
2·4
Welke eigenschappen van bewerkingen
pas je toe?
Het vermenigvuldigen is commu- Het vermenigvuldigen is commutatief en associatief in q.
tatief en associatief in q.
Noteer als een vermenigvuldiging van
twee machten.
= 23 · 43
•
= 53 · a3
Vul de tabel in.
De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
noteer de macht als een vermenigvuldiging.
plaats de gelijke factoren samen tussen de haakjes
(a · b)
3
=
( –9 · 5 )2 =
noteer het resultaat als een
vermenigvuldiging van machten
(a · b) (a · b) (a · b) = (a · a · a) (b · b · b)
a3 · b3
(–9 · 5) · (–9 · 5) = ( (–9) · (–9) ) (5 · 5)
(–9)2 · 52
1
1
1 B
=B
( xyz )–2 = B
(xyz)(xyz) (xx)(yy)(zz)
(xyz)2
3
–1 2 B
–1 2
–1 B
–1
B
–1 a
B
2
–1
a
2 B
a
= B
a
· –1 · B
· (a2 · a2 · a2)
2 =
2
2
2
2 2 2
( )( )( ) (
( )
•
1
B
2 2 2
xyz
–1 3 2 3 B
–1 3 6
B
·
(a
)
=
·a
2
2
( )
)
( )
Hoe kun je een product tot een macht verheffen? Wat doe je telkens met de factoren?
Je verheft elke factor tot die macht.
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
Je ontdekte hoe je een product tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.
3
– Neem ( 2 · 4 ) = 23 · 43
– Vervang de factoren 2 en 4 door de letters a en b en de exponent 3 door de letter m.
Noteer de gelijkheid met letters.
(a · b)m = am · bm
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–
Door welke getallen kun je m vervangen in deze gelijkheid?
Door alle gehele getallen.
............................................................................. . . . . . . .
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–
Mag je a en b door alle getallen vervangen? Verklaar.
= B· B a, b mogen niet gelijk zijn aan 0.
1 1
–2
............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. .. . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Door alle rationale getallen, maar niet door 0.
(ab)
a b
Rekenregel – een product tot een macht verheffen
Een product tot een macht verheffen: a en b zijn rationale getallen, ververhef elke factor van het product tot schillend van 0
die macht.
p is een geheel getal
( a · b )p = ap · bp
( 9 · t )2 = 92 · t2 = 81t2
(x ≠ 0)
1
( 2x )–1 = 2–1 · x–1 = B12 · B1x = B
2x
( –0,5p )3 = ( –0,5 )3 · p3 = –0,125p3
CONTROLE 13 Reken uit. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
Pas de rekenregel toe indien mogelijk.
(–10)4 · p4 = 10 000 p4
1 B
1 =B
1
B
–3
–3
(4 · a)–3 = . .4
. . . . . . . . .·. . .a
. . . . . . . . .=
. . . . . . . . .3. . ..·. . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . .
. . . . . . ...................
(–10p)4 =
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
4 a
76
rekenregels van machten
64a
3 3
3
(–4) x = –64x
(–4x)3 = ....................................................................................
.......
(4 – x) (4 – x) (4 – x)
(4 – x)3 = ...................................................................................
......
b
Een quotiënt tot een macht verheffen
• Vul de tabel in.
()
2
B
3
Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging.
2
= B
Noteer op één breukstreep.
=
Noteer als een deling van twee machten.
= .....................................................
33
•
( 3 ) ( B23) ( B23)
2·2·2
3·3·3
23
B
(7 : k)3
(k ≠ 0)
3
=
( 7k ) ( 7k ) ( 7k )
=
7·7·7
k·k·k
73
B
= .................................................
....
k3
Vul de tabel in.
De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
noteer de macht als een vermenigvuldiging.
noteer op één breukstreep
(
(
(
(
3
()
9
B
=
7
( 14 : 3 )5 =
–c 2 =
B
(d)
( –2 : a3 )–2
noteer als een deling van
twee machten
9 B
9 9 9·9·9
B
B = B
93
B
3
14 5
B
3·3·3·3·3
145 B
5
–c · (–c)
B
(–c)
B
= c2
2 )( )( )
)=
)( ) =
) =( ) =( )( ) =
7 7 7
–c B
–c
B
d
–2 –2
B
3
a
7
14 · 14 · 14
· 14 · 14 BB
3
d
7·7·7
3
2
d
d·d
a3 2
B
–2
a3 B
a3
B
(–2)–2
a6
B
B
=
–6 2
a3 · a3
B
–2 –2
a
(–2)
(–2) · (–2)
•
Hoe kun je een quotiënt tot een macht verheffen? Wat doe je telkens met het deeltal en de deler?
•
Je ontdekt hier hoe je een quotiënt tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.
4
24 – Neem B23 = B
4
Je verheft het deeltal en de deler tot die macht.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
()
3
–
Vervang het deeltal 2 door de letter a, de deler 3 door de letter b en exponent 4 door de letter m.
–
(a : b) = a : b
= . . . .m. . . ...........................................................................................................
Noteer de gelijkheid met letters.
b
b
Door welke getallen kun je m vervangen in deze gelijkheid?
m
m
a
B
m
()
m
am
B
Door alle gehele getallen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
–
Mag je a en b door alle getallen vervangen? Verklaar.
Door alle rationale getallen, maar niet door 0. De noemer mag niet gelijk zijn aan 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . .
Rekenregel – een quotiënt tot een macht verheffen
(p ≠ 0)
Een quotiënt tot een macht verheffen: a en b zijn rationale getallen,
verhef het deeltal en de deler tot die verschillend van 0
macht.
p is een geheel getal
(4 : p)2 = 42 : p2 = 16 : p2
(–10)4 B
–10 4 = B
B
= 10 000 4 (7)
7
2 401
(a : b)p = ap : bp
CONTROLE 14 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe.
De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
1 3 = B
13 = B
1
B
–23 = –8
5
125
5
2
(–0,5)
0,25
–0,5 2 B
B
= B
.......
p = ..................................................................................
p2
p2
3
(
()
( )
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
4
64
4
4
4
3
3
81
B
a –4 = . . .B
B
= B
. . . . . . . . . . . .4. .
a. . . .. . . . . . . .=
3
a . . . . . . . . . . . .a. . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
()
B B
–2 = ......................................................................................
B
.......
3
()
(1 : 4)3 =
)
77
G20
Een product en een quotiënt tot een macht verheffen (vervolg)
Oefeningen
Algemene opmerkingen bij de oefeningen:
– Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0.
– Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.
WEER?
328
329
8
MEER?
330
WEER?
331
332
9
•
•
Reken uit.
Pas de gepaste rekenregel toe.
a
(–5 · x)3 = .(–5)
. . . . . . . . . . . . . .·. . x
. . . . . . .=
. . . . . .–125x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
b
160 000
(–2 · 10)4 = .(–2)
. . . . . . . . . . . .·. .10
. . . . . . . . .=
. . . . .16
. . . . . . .·. .10
. . . . . . .000
. . . . . . . . . .=
. . . ...................
•
•
Reken uit.
Pas de gepaste rekenregel toe.
a
b
WEER?
333 - 335
MEER?
336 - 341
10 •
•
a
b
78
3
3
4
3
4
4 4
c
ax
(a · x)4 = ............................................................................
......
d
100 · (–a)2 =
B B
5 4
B
= . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
c
(k)
B B
3 3
B
. . .3. . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
p = .p
p
d
(–3 : 11)2 =
54 625
= 16
2
(2)
33
()
= 27
100a2
................................................................... . . . . . . .
B
m 8 = .............................................................................
B
......
8
m8
k
2
(–3) B
–3 2 B
B
=
= 9 ( )
....................................................................
.......
2
11
Reken uit.
Pas de gepaste rekenregel toe.
( –5 · 10–2 )2
–2
B
( 103 )
( B)
1
4
= 25 · 10 = (–5)
. . . . . . . . . . . . (10
. . . . . . . . . . .). . . . . . .=
. . . . . . .25
. . . . . . .·. .10
. . . . . . . ..................
2
–2 2
–4
25
1
= B
= B
10000
400
(10) B
10 2 B
100
B
= . . . .3
.....
. . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . .2. . . . .
.=
. . . . . . . . . . . . . . . .
9 . . . . . . . . . . . ...................
(3)
( DÃE) N
( DE) N
2–1
1
(–3)2
B
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
1
d
d–2 · d–6 =
e
000
(10–4)–2 = 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=
. . . . . .10
. . . . . . . . . .=
. . . . . 100
. . . . . . . . . . . .000
. . . . . ..................
g
(–2ab)–5 =
f
1
B
–9
–10
f–1 = . . . –1
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................
9
h
–( 32 )
(–3)
f
DNÃS
DNÃEN
DNEN
= (–3) = –3
1
d–2 + (–6) = d–8 = B
.............................................8
. . . . . . . . . . . . . . ..................
d
–4 · (–2)
f
DNDS DN²S
( DN ) S
c
(–3)
DNÃDS DNS
2
( )
121
11
=f
rekenregels van machten
=
8
f
–2
1 = –B
1 1 –B
= –B
5 5
( )
5
.....................................................................
.......
5 5 5
2ab
2ab
1
B
32a b
4
()
1
B
–3
= –3 = – 3 = . . .–. . . 81 = .........................................................................
2 · (–2)
–4
11 a
Reken uit. Let op de volgorde van de bewerkingen.
2
. . . . . . .=
. . . . . 49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................
(5 + 2)2 = .7
b
25 + 4 = 29
52 + 22 = ...................................................................................
.......
WEER?
342
Kun je hier één van de rekenregels toepassen? Verklaar.
Neen,
is niet gelijk aan de som van de machten.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . macht
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . . . . een
. . . . . . . . . . . .som
. . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................
.......
c
Vul in met = of ≠. Verklaar.
(1 + 5)2
≠
........
12 + 52
De
macht van een som is niet gelijk aan. . .de
............................................................................................................
....
som
van de machten.
............................................................................................................
.......
(2 · 10)2
=
........
22 · 102
De
rekenregel voor de macht van
............................................................................................................
.......
een
product.
............................................................................................................
.......
(2 · b)2
=
........
22 · b2
De
rekenregel voor de macht van
............................................................................................................
.......
een
product.
............................................................................................................
.......
(2 – b)2
≠
........
22 – b2
De
macht van een som is niet gelijk aan. . .de
............................................................................................................
....
som
van de machten.
............................................................................................................
.......
(a + 3)2
≠
........
a2 + 9
De
macht van een som is niet gelijk aan. . .de
............................................................................................................
....
som
van de machten.
............................................................................................................
.......
(a · b)2
=
........
a2 b2
De
rekenregel voor de macht van
............................................................................................................
.......
een product.
............................................................................................................ . . . . . . .
Wat moet je kunnen?
τ een product tot een macht verheffen
τ een quotiënt tot een macht verheffen
τ de rekenregels verwoorden
79
G21
Rekenregels van machten noteren in symbolen
Op verkenning
•
•
Vul aan:
Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen,
behoud
je de exponenten op.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .je
. . . . . .het
. . . . . . . . . . .grondtal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . . . .tel
. . . . . . ..............................................................................
k
Vul aan: ap · . . .a
. . . . . . . = ap + k
–
Door welke getallen kun je in deze gelijkheid de letter a vervangen? Je
onderzocht dit in de ‘op verkenning’ van les G18. Noteer je antwoord volledig in symbolen.
a∊q
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................
–
Door welke getallen kun je in deze gelijkheid p en k vervangen? Je onderzocht dit in de ‘op verkenning’ van les G18. Noteer je antwoord volledig in
symbolen.
p, k ∊ z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................
•
Noteer de volledige rekenregel in symbolen.
a ∊ q , p, k ∊ z: ap · ak = ap+k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................
Rekenregels van machten
∀ a, b ∊ q0, ∀ p, k ∊ z:
Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen.
ap · ak = ap + k
126 · 12–4 = 122
Machten met eenzelfde grondtal delen.
ap : ak = ap – k
10–3 : 102 = 10–5
Een macht tot een macht verheffen.
( ap )k = ap · k
( 25–2 )–2 = 254
Een product tot een macht verheffen.
(a · b)p = ap · bp
(6de)3 = 63d3e3 = 216d3e3
Een quotiënt tot een macht verheffen.
(a : b)p = ap : bp
(4 : c)2 = 42 : c2 = 16 : c2
(c ≠ 0)
Oefeningen
Algemene opmerkingen bij de oefeningen:
– Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0.
– Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.
WEER?
343
MEER?
344
WEER?
345
346
MEER?
347 - 349
80
a
∀ a, b ∊ q0, ∀ m ∊ n: (a · b)m = am · bm
b
∀ a, b ∊ q, ∀ m ∊ n: (a : b)m = am : bm
Juist de rekenregel geldt ook voor m ∊ z,
dus
ook voor m ∊ N
..................................................................................................................
.......
Fout,
het moet zijn: a, b ∊ q0
..................................................................................................................
.......
c
∀ a, b ∊ q, ∀ m ∊ n: (a + b)m = am + bm
Fout,
de macht van een som is niet gelijk aan de. . . . . . .
..................................................................................................................
12 Juist of fout? Verklaar.
som van de machten.
13 Reken uit.
2
32
6
a
(–2a3)2 = .(–2)
. . . . . . . . . . . . . ·. . .(a
. . . . . . . .). . . . .=
. . . . . 4a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . .
b
(ap)–2 = . . . .a
. . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . 2p
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . .
c
st + 8
r –(t+8)
Bs (t+8)
B
Br –t–8 = . . . . .B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .t......................................................................................................................................
......
+ 8
s
r
s
–2p
1
B
a
()
()
rekenregels van machten
=
()
=
r
d
– 6)
p–p+6
6
10p = . . . . . . . .p. . .–. . .(p
B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . .
p–6
e
omdat je geen regel kent om een som tot een macht te verheffen.
(19 + a7)3 = .Je
. . . . .kunt
. . . . . . . . . .geen
. . . . . . . . . . . rekenregel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .toepassen
. . . . . . . . ......................................................................................................................................
....
f
6
6
(x–2)–3 + (x–6)–1 = .x. .6. . +
. . . .x
. . . . .=
. . . .2x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . .
10
10
= 10
= 10 = 1 000 000
Reken uit.
Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.
WEER?
350
a
20 · 2–1 · 2–2 = .2
. . . . . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .=
. . . . . . . . . . . .3. .
. . . . .=
. . . .......................................................................................................................................
....
b
+ + = 20 + 2–1 + 2–2 = .1
. . . . .+
. . . . . . . . ..+
. . . . . . . . . ..=
....
4 . . . . . .4. . . . . . . . . . .4. . . . . . . . .......................................................................................................................................
4 4
MEER?
351
352
14 •
•
c
d
15 a
b
1
B
–3
1
B
2
()
2
1
B
3
1
B
4
B
2
2
B
1
B
1
B
8
7
B
0
. . . . . .a
. . . . . . .=
. . . . .1
. . . . .+
. . . . . .1
. . . . .=
. . . . .2
. . . . . ....................................................................................................................................... . . . .
( a0 )–4 + ( a4 )0 = .a. . . 0. . . .+
4
2
1–5
2–6
–4
x–4 = 2x– 4 = 2 · B1x = B
x · x–5 + x2 · x–6 = .x. . . . . . . . . . . .+
.....x
. . . . . . . . . . . . .=
. . . . . .x
. . . . . . . .+
. . . . .......................................................................................................................................
....
x4
()
WEER?
353
Reken uit en geef het antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.
a
8
7 = (5 · 2)(108 · 107) = 10 · 1015 = 1016 = 1 · 1016
. . . . . . . . . . .·. . 2
. . . . . ·. . .10
. . . . . .......................................................................................................................................
....
( 5 · 108 ) · ( 2 · 107 ) = .5. . . . .·. . 10
b
· 10 = 14 · 10 = 1,4 · 10 · 10 = 1,4 · 10
. . . . . . . . . . ·. . .10
. . . . . . . . . . . . .·. . .4
.......................................................................................................................................
....
( 3,5 · 10–8 ) · ( 4 · 103 ) = 3,5
c
–6
· 108 = 125 · 102 = 1,25 · 102 · 102 = 1,25 · 104
. . . . . . . . . . . . .·. . .25
. . . . . . .......................................................................................................................................
....
( 5 · 10–6 ) · ( 25 · 108 ) = .5. . . . .·. . 10
d
–1
–2 –110
(10–3)–110 = 10330 = 1 · 10330
. . . . . . . . . . . . . . ·. . .10
. . . . . . . . . . .). . . . . . . . . . . =
. . . .......................................................................................................................................
....
( 0,1 · 10–2 )–110 = (10
–8
3
–5
–5
MEER?
354
–4
Een lichtjaar is de afstand die een lichtstraal met een snelheid van 300 000 km per seconde aflegt in één jaar.
Een lichtjaar is 9,461 · 1012 km. De Andromedanevel ligt op een afstand van ongeveer 2,2 miljoen lichtjaar.
Bereken de afstand aarde-Andromeda in km. Geef je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.
2,2 miljoen · 9,461 · 1012 km
12
= 2,2 · 106. . .·. . .9,641
.......................
. . . . . . . . . . . . . . ·. . .10
. . . . . . . . . . km
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
6
= 2,2 · 9,641
.......................
. . . . . . . . .·. . 10
. . . . . . . . . . .·. .10
. . . . . . . . . km
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
= 20,8142. . .·. . .10
.......................
. . . . . . . . . .km
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
= 2,08142. . .·. . .10
.......................
. . . . . . .·. . 10
. . . . . . . . . . .km
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
De afstand
.......................
. . . . . . .van
. . . . . . . . . . .de
. . . . . . .Andromedanevel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . tot
. . . . . . . . .de
. . . . . . .aarde
. . . . . . . . . . . . . . . .is
.. . . .2,08142
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .·. .10
. . . . . . . . . . .km.
..........................................
....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ..
. . . ..
. . . . . . . . . ..
. . . ..
. . . . . . . . . . . . ..
. . . . . . ..
.....................................................................
. . . . . . ... . . . . ...
Wat moet je kunnen?
τ de rekenregels van machten in symbolen weergeven
81
Problemsolving
16 Bereken de som van de eerste 100 oneven getallen.
2
1..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . .=. . . . .1. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . +
.....3
. . . . .+
. . . . .5
.. . .+
. . . . .7
. . . . .+
. . . . ....
. . . . .=
. . . . . . . .n
.................................................
1.....................
+ 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . .=. . . . .2. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n. . . . .termen
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.....................
+ 3 + 5. .=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. . . .=. . . . .3. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . +
.....3
. . . . .+
. . . . .5
.. . .+
. . . . .7
. . . . .+
. . . . ....
. . . . .+
. . . . .199
. . . . . . . . . .=
. . . . .100
. . . . . . . . . . . .=
. . . . .10
. . . . . . . 000
.............
2
1.....................
+ 3 + 5. .+. . . . .7. . . .=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
. . . . . . .=
. . . . .4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.....................
+ 3 + 5. .+. . . . .7. . . .+
. . . . .9
....=
. . . . . . . . . .25
. . . . . . .=
. . . . .5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 De toren van Hanoi
De legende vertelt dat in de stad Benares onder keizer Fo Hi een boeddhistische
tempel stond. De grote middenkoepel markeerde het midden van de wereld. In deze
koepels waren priesters continu bezig met het verplaatsen van gouden schijven die op
diamanten punten stonden. God plaatste 64 schijven van groot naar klein op één pin.
Zodra de hele stapel naar een andere pin verplaatst is, zal dat het einde van de wereld
betekenen. Reken uit hoe lang dit duurt als je elke seconde één schijf verplaatst.
Verplaats de toren door alle schijven te verplaatsen naar een ander stokje.
a Er mag slechts 1 schijf tegelijk worden verplaatst.
b Een grotere schijf mag nooit op een kleinere rusten.
Is er een oneven aantal schijven, leg dan de eerste schijf op de stok waarop je uiteindelijk. .wilt
.....................
. . . . . . . . . . .eindigen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Is
. . . . . er
. . . . . . een
. . . . . . . . . . .even
. . . . . . . . . . . . .aantal
. . . . . . . . . . . . . . . . . .schijven,
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .leg
. . . . . . . . .dan
. . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .eerste
. . . . . . . . . . . . . . . .schijf
. . . . . . . . . . . . . .op
..............
een andere
.....................
. . . . . . . . .stok.
. . . . . . . . . . . . . Het
. . . . . . . . . . aantal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . zetten
. . . . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . . steeds
. . . . . . . . . . . . . . . . .het
. . . . . . . . . .dubbele
. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . .de
. . . . . . .vorige
. . . . . . . . . . . . . . . . .stapel
. . . . . . . . . . . . . . . . .+1.
............
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aantal
schijven
aantal
1,84467441
..................... . . . . . . . . . .1
. . .=
. . . .2. .1. .–
. . .1
...........3
. . . .=
. . .2
. . 2. . .–. . .1. . . . . . . . . . .7
. . .=
. . . .2. .3. .–
. . .1
. . . . . . . . . . .15
. . . . .=
. . .2
. . 4. . .–. . .1. . .. . . . . .31
. . . . .=
. . . .2
. .5. . –
...1
. . . . . . . . . . . . . .2
. .n. . .–. . .1. . . . . . . . . . . . . . . . 19
....................
zetten
· 10 = 264 – 1
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . .1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
................
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Voor 64 schijven heb je ongeveer 5,8 · 1010 jaar nodig.
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180°. Van een driehoek ABC is hoek A drie keer zo groot als hoek
B en half zo groot als hoek C. Hoe groot is hoek A?
1 | C | ⇒ | C | = 2| A |
B
|.....................
| . . . .|. . .=. . . . .B1. . .|. .A. . . .|. . . . . . . .en
| . . . . .|. .=
A | = 3| B. .|. .⇒
. . . . . . . . .B
. . . . . . . . . . . . . .A
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 | | + 2| A | = 3 · 180°
B
| . . . .|. .+
|.....................
| . . . .|. .=
A | + | B | .+
. . . . . . .C
. . . . . 180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
. . . . . . . .A
. . . . . . . ... . .A
3 ............................................................................
1
B
| . . . .|. .+
| . . . ..| . +
| . . . . .|. .=
|.....................
| . . . . .2. . . .|. .A. . . .|. .=
A | + 3 | A
. . . . . . .+
. . . . . 180°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
. . . . .A
. . . . . . .A
.....6
. . . . .A
. . . . .540°
........................................................
| . . . . .|. .=
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
. . . . . . .A
. . . . .540°
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
| . . . . .|. .=
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. . . . .540°
. . . . . . . . .. . . .:. .10
..........................................................................
| . . . . .|. .=
..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A
. . . . .54°
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
)
19 Het product van twee gehele getallen is gelijk aan 25 · 3² · 5 · 7³.
De som van deze getallen kan dan deelbaar zijn door:
A 3
B 5
C 8
D 10
E 49
De
som kan
.....................
. . . . . . . . . . .niet
. . . . . . . . . . .deelbaar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn
. . . . . . . . . . .door
. . . . . . . . . . . . .5
. . . . want
. . . . . . . . . . . . . . .slechts
. . . . . . . . . . . . . . . . ..één
. . . . . . . . . . van
. . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .twee
. . . . . . . . . . . . .getallen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
...............
deelbaar
..................... . . . door
. . . . . . . . . . . . . .5.
. . . . . De
. . . . . . . . .som
. . . . . . . . . . . .kan
. . . . . . . . . . .dan
. . . . . . . . . . .zeker
. . . . . . . . . . . . . . niet
. . . . . . . . . . .deelbaar
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .zijn
. . . . . . . . . .door
. . . . . . . . . . . . . .10.
...............................................
3 en 25 = 23 · 22. Slechts één van de
De
som kan
.....................
. . . . . . . . . . .niet
. . . . . . . . . . .deelbaar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn
. . . . . . . . . . .door
. . . . . . . . . . . . .8
. . . .want
. . . . . . . . . . . . . . .8
. . . .=
. . . . .2
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
termen
.....................is
. . . .deelbaar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .door
. . . . . . . . . . . . .8.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
rekenregels van machten