Hoeken en afstanden

Domein Meetkunde
havo B
3
Hoeken en
afstanden
Inhoud
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Cirkels en hun middelpunt
Snijden en raken
Raaklijnen en hoeken
Afstanden berekenen
Overzicht
In opdracht van:
Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs
© cTWO Utrecht 2009
Dit lesmateriaal is ontwikkeld in het kader van de nieuwe examenprogramma’s zoals
voorgesteld door de Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs.
De gebruiker mag het werk kopiëren, verspreiden en doorgeven en remixen (afgeleide
werken maken) onder de volgende voorwaarden:
• Naamsvermelding. De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de
licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zodanig dat de indruk
gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met uw werk of uw gebruik van het werk).
• Niet-commercieel. De gebruiker mag het werk niet voor commerciële doeleinden
gebruiken.
• Gelijk delen. Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk
uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige
licentie worden verspreid.
Versie proefscholen met ingedikt programma: jan 2012
Overzicht lesmateriaal in het domein Meetkunde
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Analytische meetkunde
Coördinaten in het vlak
Vergelijkingen van lijnen
Vergelijkingen van cirkels
Snijden
Hoeken
Overzicht
2
2.1
2.2
2.3
2.4
Trigonometrie
Sinus, cosinus en tangens
De sinusregel
De cosinusregel
Overzicht
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Hoeken en afstanden
Cirkels en hun middelpunt
Snijden en raken
Raaklijnen en hoeken
Afstanden berekenen
Overzicht
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
2
1 Cirkels en hun middelpunt
Verkennen
Van dit bord van Delft’s Blauw zijn
vier scherven overgebleven. Je
kunt zien dat het een rond bord
was.
Opgave 1
Probeer de omtrek van het bord nu
zelf nauwkeurig te tekenen.
Tip:
Het middelpunt ligt even ver van
alle randpunten. Dus neem eens
twee randpunten, op welke lijn
moet het middelpunt dan liggen?
Uitleg 1
Wil je een cirkel tekenen met je passer, dan heb je
middelpunt en straal nodig. Hoe vind je die als je
alleen (een paar punten van) de omtrek hebt?
Bedenk dan dat het middelpunt even ver van alle
punten op de cirkel ligt. Neem je nu twee punten A
en B op de cirkel, dan liggen de punten op de
middelloodlijn van AB even ver van A als van B.
Het middelpunt van de cirkel ligt dus op de
middelloodlijn van AB.
Neem je drie punten, dan zijn er drie
middelloodlijnen te maken die allemaal door het
middelpunt van de cirkel gaan. En met twee
middelloodlijnen bepaal je het middelpunt.
Opgave 2
Teken zo maar drie punten op een blaadje papier.
Teken vervolgens de drie middelloodlijnen van de lijnstukken tussen die punten.
Teken nu de cirkel door die drie punten.
Opgave 3
Hier zie je een driehoekig grasveld.
In tijden van droogte sproei je water over het gras. Je
hebt een vaste sproeier die een cirkelvormig gebied kan
besproeien. Waar plaats je de sproeier en hoe groot
moet de straal van het gebied dat hij kan bestrijken
minstens zijn?
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
3
Opgave 4
Neem in een cartesisch assenstelsel de punten O(0,0), A(4,0) en B(3,5).
a) Stel vergelijkingen op van de middelloodlijnen van OA, AB en AC.
b) Laat met berekeningen zien dat die middelloodlijnen door één punt gaan.
c) Teken een cirkel door die drie punten en stel er een vergelijking van op.
d) Laat met berekeningen zien dat zowel O als A en B ook echt op de cirkel
liggen.
Opgave 5
Er zijn computerprogramma’s die bij (een deel) van een geconstrueerde kromme
lijn een vergelijking kunnen geven. Stel je vindt x2 + y2 + 6x = 0. Is dit dan een
vergelijking van een cirkel? Licht je antwoord toe.
Uitleg 2
Als je een vergelijking zoals x2 + y2 + 6x = 0 bij een kromme lijn ziet staan, hoe
weet je dan of de kromme een cirkel is?
Vergelijkingen van cirkels hebben de vorm (x − a)2 + (y − b)2 = r2 waarin het
middelpunt M(a, b) en de straal r is.
De vraag is daarom: kun je de gegeven vergelijking in die vorm schrijven?
Met y2 heb je geen moeite, dat is (y − 0)2.
Maar x2 + 6x ligt anders.
Bekijk de figuur en ga na, dat
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9 en dus
x2 + 6x = (x + 3)2 − 9.
Dit noem je een kwadraat afsplitsen.
Je hebt van de vorm x2 + 6x een kwadraat
afgehaald, ofwel afgesplitst. Merk op dat je
daarbij de term 6x moet lezen als 2 ⋅ 3x.
De gegeven vergelijking kun je nu schrijven als
(x + 3)2 − 9 + (y − 0)2 = 0
en dus als
(x + 3)2 + (y − 0)2 = 9.
Het is daarom de vergelijking van een cirkel met middelpunt M(−3,0) en straal 3.
Opgave 6
Splits een kwadraat af van de volgende uitdrukkingen:
a) x2 + 8x
b) x2 + 12x
c) x2 + 5x
d) x2 − 6x
e) x2 − 8x
f)
x2 − x
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
4
Opgave 7
Ga op dezelfde wijze als in de Uitleg 2 na of de volgende vergelijkingen bij cirkels
horen. Bepaal dan ook het middelpunt en de straal van die cirkel.
a) x2 + y2 + 8x + 4y = 0
b) x2 + y2 − 8x + 4y = 25
c) 2x2 + y2 + 8x = x2 + 4y
Opgave 8
Niet elke vergelijking van de vorm x2 + y2 + ax + by + c = 0 is de vergelijking
van een cirkel.
Neem bijvoorbeeld x2 + y2 − 8x + 4y = −25.
Laat met behulp van kwadraat afsplitsen zien, dat hier van een cirkel geen
sprake is.
Theorie ***************************************
Heb je drie punten A, B en C die niet op één lijn
liggen, dan kun je daar altijd een cirkel door
tekenen. Door twee van de drie bijbehorende
middelloodlijnen met elkaar te snijden bepaal
je het middelpunt M van die cirkel.
|MA| = |MB| = |MC| is de straal van de cirkel.
Bij een gegeven kwadratische vergelijking kun je
niet altijd onmiddellijk zien of het een cirkel
betreft of niet.
Elke cirkelvergelijking kan in de vorm (x − a)2 + (y − c)2 = r2 worden gezet,
waarin het middelpunt M(a, b) en de straal r is.
Heb je een vergelijking waarin naast x2 + y2 ook nog termen van de vorm 2ax en
2by voorkomen, dan gebruik je het kwadraat afsplitsen om de vergelijking in
de voorgaande vorm te brengen.
Je gebruikt daarbij x2 + 2ax = (x + a)2 − a2 en y2 + 2by = (y + b)2 − b2.
*********************************************
Voorbeeld 1
Bij een kromme k1 staat de vergelijking y2 = 5x − x2 + 8y.
Bij een kromme k2 staat de vergelijking x2 + y2 + 6y + 13 = 0.
Zijn beide krommen cirkels?
Uitwerking:
Door herschrijven en kwadraat afsplitsen vind je:
k1: (x − 2,5)2 + (y − 4)2 = 22 14
k2: (x − 0)2 + (y + 3)2 = −4
Je ziet dat k1 een cirkel is met middelpunt (2 12 ;4) en straal
22,25 .
2
Maar k2 is geen cirkel, want als de straal r is moet r = −4 en dat kan niet.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
5
Opgave 9
Controleer in Voorbeeld 1 het herschrijven van beide vergelijkingen.
Opgave 10
Bereken (indien mogelijk) de straal en de coördinaten van het middelpunt van
deze cirkels.
a) x2 + y2 = 6x − 4y − 5
b) x2 + y2 = 6x − 4y − 50
c) x(x + 4) = 3 − y(y + 2)
d) 2x2 + 2y2 − 12x + 4y = 0
e) 5 − x2 − y2 = 4x + 2y
f)
x2 + y2 = 4x + 2y − 5
Opgave 11
Stel een vergelijking op van een cirkel door:
a) A(−2,3), B(4,3) en C(2,4)
b) A(−4,6), B(8,6) en C(4,8)
Opgave 12
Onderzoek of de volgende vier punten op een cirkel liggen: A(0,0), B(9,12),
C(25,0) en D(12,−13).
Opgave 13
Gegeven zijn de vergelijkingen c1: x2 + y2 − 4y = 0 en c2: x2 + y2 − 4x − 2y = 20.
Probeer je van c1 en c2 de snijpunten uit te rekenen, dan merk je dat ze geen
gemeenschappelijke punten hebben. Welke van beide cirkels ligt geheel binnen
de andere?
Verwerken
Opgave 14
Stel bij de volgende gegevens de vergelijking(en) van de cirkel(s) c op.
a) c gaat door de punten P(20,5), Q(28,9) en R(25,15).
b) c heeft middelpunt (−5,10) en gaat door O(0,0).
c) c gaat door A(2 12 ;5) en B(5 12 ,1) en heeft straal 5.
Opgave 15
Bereken de straal van de cirkel die door de hoekpunten van een gelijkbenige
driehoek met zijden van 12, 10 en 10 cm gaat. (Kies een handig assenstelsel.)
Opgave 16
Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 − 2x + 4y = 0.
a) Stel een vergelijking op van de middelloodlijn m van lijnstuk OM waarin M
het middelpunt van c is.
b) Bereken in twee decimalen nauwkeurig de lengte van het lijnstuk PQ als P
en Q de snijpunten van m met cirkel c zijn.
c) Toon aan dat vierhoek MQOP (of MPOQ, afhankelijk van wat je P en wat je
Q hebt genoemd) een ruit is.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
6
Opgave 17
Je ziet hier allerlei kwadratische vergelijkingen. Een kwadratische vergelijking
stelt vaak een kromme lijn in het platte vlak voor. Onderzoek in welke gevallen
het om een cirkel gaat en bereken dan het middelpunt en de straal. Bereken in
alle gevallen de snijpunten met de x-as.
a) x2 + y2 = 3x
b) x2 − y2 = 3x
c) x2 − y = 3x
d) x2 + y2 + 2xy = 16
e) x(x − 4) = y(6 − y)
f)
(x − y)2 = 2x(6 − y)
Opgave 18 Cirkels in ellips
De kromme k met vergelijking 4x2 + 9y2 = 36 is geen cirkel, maar een ellips.
a) Bereken van deze ellips de snijpunten met de assen.
Cirkel c is de grootste cirkel die nog precies in de ellips past. B is het snijpunt
van k met de x-as dat een positieve x-coördinaat heeft.
A is het snijpunt van c met de x-as dat een positieve x-coördinaat heeft.
Door A en B gaat een cirkel c2 met middelpunt op de x-as. Iemand beweert dat
deze cirkel geheel binnen de ellips k ligt. Of dit waar is mag je niet zomaar uit de
figuur afleiden.
b) Stel een vergelijking op van de cirkel c2.
c) Onderzoek door berekening op c2 binnen k ligt.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
7
2 Snijden en raken
Verkennen
Hier zie je een cirkel met straal
5 en de lijn l: y = − 34 x + b met
b = 2. De waarde van b laat je
variëren.
Opgave 19
A en B zijn de snijpunten van
deze lijn met de cirkel.
a) Bereken nu de coördinaten
van A en B.
b) Voor welke waarden van b
vallen dan A en B samen?
(Gebruik de figuur.)
Uitleg
Heb je een cirkel c met straal 5 en middelpunt O en de lijn l: y = − 34 x + 2, dan
bereken je hun snijpunten door in de cirkelvergelijking x2 + y2 = 25 voor y de
uitdrukking − 34 x + 2 te substitueren.
Je vindt: x2 + (− 34 x + 2)2 = 25.
En deze vergelijking kun je oplossen.
9
x2 − 3x − 21 = 0.
Daartoe schrijf je hem als 1 16
Zo’n vergelijking los je op met de abc-formule die de oplossingen van de
−b ± b2 − 4ac
2a
9
, b = −3 en c = −21 in te vullen.
Beide oplossingen vind je door a = 1 16
vergelijking ax2 + bx + c = 0 geeft: x =
Er zijn twee oplossingen omdat de discriminant D = b2 − 4ac > 0.
Wil je de snijpunten van m: y = − 34 x + 6 14 en cirkel c berekenen, dan gebeurt er
iets bijzonders. Na invullen vind je x2 + (− 34 x + 6 14 )2 = 25.
9
1
Dit kun je herschrijven tot 1 16
x2 − 9 38 x + 14 16
= 0.
En nu zijn er geen twee x-waarden, maar slechts één.
9
1
⋅ 14 16
= 0.
Dat komt omdat hier de discriminant 0 is: D = (9 38 )2 − 4 ⋅ 1 16
De twee snijpunten vallen als het ware samen.
Je zegt dan dat de lijn m en de cirkel c elkaar raken. Lijn m is een raaklijn aan
cirkel c. De twee samenvallende snijpunten vormen één raakpunt.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
8
Opgave 20
Bekijk de Uitleg nog eens.
a) Bereken de snijpunten van l: y = − 34 x + 2 en de gegeven cirkel in twee
b)
c)
d)
decimalen nauwkeurig.
Toon aan dat m: y = − 34 x + 6 14 raakt aan de cirkel c: x2 + y2 = 25.
Bereken het raakpunt.
Er is nog een lijn met dezelfde richtingscoëfficiënt die aan cirkel c raakt.
Welke vergelijking heeft die lijn?
Opgave 21
Gegeven is de cirkel met vergelijking x2 + y2 = 5.
Welke van deze lijnen raakt cirkel c? Bereken telkens de snijpunten of het
raakpunt van lijn en cirkel.
a) y = 2x
b) y = 2x + 2,5
c) y = −0,5x + 2,5
d) y = −0,5x − 2,5
Theorie***************************************
Een lijn en een cirkel hebben geen, één of twee
punten gemeenschappelijk.
Hebben een lijn en een cirkel twee punten
gemeen, dan snijden ze elkaar.
Hebben een lijn en een cirkel maar één punt
gemeen (beide snijpunten vallen dan samen),
dan zeg je dat ze elkaar raken. De lijn is een
raaklijn aan de cirkel.
Om snijpunten te berekenen van een lijn en een
cirkel gebruik je de vergelijking van de lijn en
die van de cirkel: je combineert het
bijbehorende stelsel vergelijkingen tot één
kwadratische vergelijking met één onbekende.
Als de lijn en de cirkel elkaar raken dan heeft deze kwadratische vergelijking met
één onbekende maar één oplossing. De discriminant van deze vergelijking is
dan 0.
*********************************************
Voorbeeld 1
Gegeven is de cirkel c met middelpunt M(2,0) en straal 10 .
Van de familie van lijnen l: y = 3x + b raken er twee aan deze cirkel.
Welke twee?
Uitwerking:
De cirkel c heeft vergelijking: (x − 2)2 + y2 = 10.
Het combineren van de vergelijkingen van l en c geeft:
(x − 2)2 + (3x + b)2 = 10.
Herschrijven levert op: 10x2 − 4x + 6bx + 4 + b2 = 10.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
9
En dus: 10x2 + (6b − 4)x + b2 − 6 = 0.
Omdat l en c elkaar raken heeft deze vergelijking precies één oplossing.
De discriminant ervan is daarom 0: (6b − 4)2 − 4 ⋅ 10 ⋅ (b2 − 6) = 0.
Uitwerken geeft: −4b2 − 48b + 256 = 0 en dus b2 + 12b − 64 = 0 .
Dit levert op: b = −16 ∨ b = 4.
De twee raaklijnen zijn y = 3x − 16 en y = 3x + 4.
Opgave 22
Bekijk Voorbeeld 1. Er zijn ook twee lijnen van de familie m: y =
1
3
x + b die aan
cirkel c raken. Stel van deze twee lijnen de vergelijkingen op.
Opgave 23
Stel vergelijkingen op van de raaklijnen met richtingscoëfficiënt
2
1
2
die raken aan
2
de cirkel met vergelijking x + (y − 3) = 20.
Opgave 24
Gegeven is de lijn k met vergelijking x + 2y = 6.
Er is een cirkel met middelpunt O die deze lijn raakt.
Stel van deze cirkel een vergelijking op.
Opgave 25
De lijnen die door het punt P(0,5) gaan hebben een vergelijking van de vorm
y = ax + 5. Twee van die lijnen raken de cirkel c met vergelijking x2 + y2 = 10.
Welke twee lijnen zijn dat?
Voorbeeld 2
Het punt P(0,−2) ligt buiten cirkel c: (x − 4)2 + y2 = 10.
Er zijn twee lijnen door P te tekenen die de cirkel c raken.
Stel van die twee raaklijnen de vergelijkingen op.
Uitwerking:
Je stelt eerst de vergelijking op van een lijn met richtingscoëfficiënt a die door
het punt P gaat: y = ax + b door P(0,−2) geeft y = ax − 2.
Combineren met de cirkelvergelijking geeft: (x − 4)2 + (ax − 2)2 = 10.
Uitwerken tot: (1 + a2)x2 + (−4a − 8)x + 10 = 0.
Bij raken moet voor de discriminant D gelden: D = 0.
Dus: (−4a − 8)2 − 4 ⋅ (1 + a2) ⋅ 10 = 0.
Hieruit volgt: a = 3 v a = − 13 .
De gevraagde vergelijkingen zijn: y = 3x − 2 en y = − 13 x − 2.
Opgave 26
Het punt Q(0,2) ligt buiten de cirkel c: (x − 5)2 + (y − 2)2 = 5.
Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan c die door Q gaan.
Opgave 27
Gegeven het punt R(0,4) en de cirkel c: (x − 3)2 + y2 = 25.
Stel de vergelijkingen op van alle lijnen die door R gaan en de cirkel c raken.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
10
Opgave 28
Hoeveel lijnen door A(0,2) raken de cirkel met middelpunt M(1,2) en straal 3?
Opgave 29
Vanuit O(0,0) kun je twee
raaklijnen tekenen aan de cirkel c
met middelpunt (25,0) en
diameter 10.
Deze raaklijnen raken de cirkel in
de punten A en B.
Bereken de lengte van AB door
de vergelijkingen van beide raaklijnen op te stellen.
Verwerken
Opgave 30
Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 = 25.
Stel vergelijkingen op van alle lijnen l die voldoen aan:
a) l heeft een richtingscoëfficiënt van 1 en raakt cirkel c;
b) l gaat door P(6,0) en raakt cirkel c;
c) l gaat door Q(4,3) en raakt cirkel c;
d) l staat loodrecht op de lijn y = 0,75x en raakt cirkel c.
Opgave 31
Er is een cirkel met middelpunt O(0,0) die de lijn met vergelijking l: y = 6 − x
raakt. Stel van deze cirkel een vergelijking op en bereken de coördinaten van het
raakpunt.
Opgave 32
Stel een vergelijking op van de cirkel met middelpunt M(1,2) die de lijn l met
vergelijking x − 2y = 6 raakt.
Opgave 33
De cirkel c heeft middelpunt O(0,0) en straal 1. De verticale lijn l: x = a snijdt
deze cirkel als −1 < a < 1 in twee punten A en B.
De raaklijnen in die twee punten aan de cirkel snijden elkaar in het punt C.
a) Neem a = 12 en toon aan, dat C = (2,0).
b)
Toon aan dat voor elke a ≠ 0 geldt: C = ( 1a ,0).
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
11
3 Raaklijnen en hoeken
Verkennen
Hier zie je een cirkel om O met
straal 5 en de lijn l:
y = −0,75x + 6,25.
Lijn l raakt de cirkel.
Opgave 34
Wat weet je van lijnstuk OC en
lijn l? Waarom weet je dat zo
zeker?
Opgave 35
Ga na, dat ook D(4,3) een punt
van de cirkel is. Bepaal de
richtingscoëfficiënt van lijn OD.
Kun je hiermee de vergelijking van de raaklijn in D aan de cirkel opstellen?
Uitleg
In deze figuur hierboven zie je dat de
raaklijn in P aan de cirkel loodrecht
staat op de straal OP. De raaklijn aan
een cirkel staat altijd loodrecht op de
straal naar het raakpunt.
Met behulp van symmetrie is dat snel
duidelijk te maken. De hele figuur van
cirkel en raaklijn is namelijk
spiegelsymmetrisch t.o.v. de lijn door
het middelpunt O van de cirkel en het
raakpunt P. Dit betekent dat de twee
hoeken bij P waarvan de raaklijn het
éne been en de straal OP het andere
been is even groot moeten zijn. Maar ze
zijn ook samen 180°. Dus zijn ze elk 90°.
Dit kun je gebruiken om een vergelijking op te stellen van een raaklijn als het
raakpunt bekend is.
De richtingscoëfficiënt astraal van de straal naar het raakpunt kun je immers
berekenen vanuit de coördinaten van middelpunt en raakpunt.
Omdat raaklijn en straal loodrecht op elkaar staan geldt: astraal ⋅ araaklijn = − 1.
Hiermee bepaal je de richtingscoëfficiënt van de straal. Omdat je het raakpunt
weet kun je nu een vergelijking van de raaklijn opstellen…
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
12
Opgave 36
Op de cirkel c met vergelijking x2 + y2 = 10 ligt het punt P(3,1).
Stel een vergelijking op van de raaklijn door P aan cirkel c.
Opgave 37
De lijn l: x + y = 7 snijdt de cirkel c: x2 + y2 = 25 in twee punten P en Q.
a) Bereken deze punten en stel in beide punten de vergelijking op van de
raaklijn aan de cirkel door dat punt.
b) Bereken in beide gevallen de hoek tussen de raaklijn en l.
Theorie***************************************
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de
lijn door het middelpunt van die cirkel en het
raakpunt.
Daarvan kun je goed gebruik maken bij het
opstellen van de vergelijking van een raaklijn
aan een cirkel in een punt P op cirkel:

Eerst bepaal je de richtingscoëfficiënt astraal
van lijn MP.

Omdat straal en raaklijn loodrecht op
elkaar staan is astraal ⋅ araaklijn = − 1.
Dus: araaklijn = −1/astraal.

Je weet nu de richtingscoëfficiënt van de raaklijn en een punt waar hij
doorheen gaat (het raakpunt P). Daarmee stel je de vergelijking van de
raaklijn op.
Als een lijn een cirkel snijdt, kun je je afvragen welke hoek ze in een snijpunt
met elkaar maken. Onder de hoek tussen een lijn en een cirkel versta je de
hoek die de lijn maakt met de raaklijn aan de cirkel in één van beide snijpunten.
Als twee cirkels elkaar snijden, kun je je afvragen welke hoek ze in een snijpunt
met elkaar maken. Onder de hoek tussen twee cirkels versta je de hoek die
de raaklijnen aan de cirkels in één van beide snijpunten met elkaar maken.
*********************************************
Voorbeeld 1
De lijn l: y = 3 snijdt de cirkel c: x2 + y2 = 25.
Bereken de hoek die l en c met elkaar maken.
Uitwerking:
Eerst bereken je beide snijpunten: A(−4,3) en B(4,3).
De cirkel heeft middelpunt O(0,0).
Nu ga je de vergelijking van de raaklijn opstellen in (bijvoorbeeld) B. Omdat OB
een richtingscoëfficiënt van 34 heeft, is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn − 34 .
Deze raaklijn maakt dus een richtingshoek α met de x-as met tan α =
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
4
3
.
13
De richtingshoek is a ≈ 53,13°.
De lijn y = 0 heeft een richtingscoëfficiënt van 0 en een richtingshoek van 0°.
De hoek tussen beide lijnen is 53,13°.
Dit is tevens de hoek tussen de lijn en de cirkel.
Opgave 38
Bekijk Voorbeeld 1.
a) Stel een vergelijking op van de raaklijn in punt B aan de cirkel.
b) Waarom heb je in het voorbeeld die vergelijking niet nodig?
c) Laat zien dat de hoek tussen l en c in het punt A(−4,3) hetzelfde is.
Opgave 39
Gegeven de cirkel c: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 5.
a) Bereken de snijpunten van c met de beide assen.
b) Stel de vergelijkingen op van de raaklijnen aan de cirkel c in de snijpunten
met de assen.
c) Bereken de hoek waaronder c de x-as snijdt in graden nauwkeurig.
d) Bereken de hoek waaronder c de y-as snijdt in graden nauwkeurig.
Opgave 40
De lijn l met vergelijking y = x en de cirkel c met middelpunt M(3,0) en door het
punt P(4,2) snijden elkaar in A en B.
Bereken de hoek waaronder l en c elkaar snijden in graden nauwkeurig.
Voorbeeld 2
De twee cirkels c1: x2 + y2 = 5 en c2: x2 +
y2 = 6x − 1 snijden elkaar in de punten A
en B. Bereken de hoek waaronder ze elkaar
snijden.
Uitwerking:
Eerst bereken je de snijpunten A(1,2) en
B(1,−2).
Dan stel je de raaklijn aan c1 en die aan c2
op in één van die punten, zeg A.

Het middelpunt van c1 is O(0,0) en OA heeft als richtingscoëfficiënt 2.
De raaklijn aan c1 in A heeft als richtingscoëfficiënt − 12 .
Deze raaklijn maakt een hoek van 26,6° met de x-as.
Het middelpunt van c2 is M(3,0) en MA heeft als richtingscoëfficiënt −1.
De raaklijn aan c2 in A heeft als richtingscoëfficiënt 1.
Deze raaklijn maakt een hoek van 45° met de x-as.
De hoek tussen beide raaklijnen is 45° + 26,6° ≈ 72°.

Opmerking:
De hoek tussen de raaklijnen is hetzelfde als de hoek tussen beide stralen naar
het raakpunt. De berekening had daarom wel korter gekund.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
14
Opgave 41
De twee cirkels c1: x2 + y2 = 10 en c2: x2 + y2 = 8y − 14 snijden elkaar in de
punten A en B. Bereken de hoek waaronder ze elkaar snijden.
Opgave 42
De cirkel c1 met middelpunt M1(1,2) en straal
5 en de cirkel c2 met middelpunt
M2(0,2) en straal 2 snijden elkaar in de punten P en Q.
Bereken de hoek waaronder ze elkaar snijden.
Verwerken
Opgave 43
Nu je weet dat een raaklijn aan een cirkel
loodrecht staat op de straal naar het
raakpunt, is het werken met de
discriminant niet meer nodig.
Het punt Q(1,4) ligt buiten de cirkel c:
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 5.
Er zijn twee raaklijnen te tekenen vanuit Q
aan cirkel c. De bijbehorende raakpunten
zijn A en B.
a) M is het middelpunt van c. Bereken |QM|.
b) De lengtes van de stralen MA en MB zijn bekend. Bereken |QA| en |QB|.
c) De punten A en B liggen op een cirkel met middelpunt Q en straal |QA|. Stel
een vergelijking van die cirkel c2 op.
d) Bereken nu de coördinaten van A en B als snijpunten van c en c2.
e) Stel de vergelijkingen op van de twee raaklijnen aan c die door Q gaan.
Opgave 44
a)
b)
Bereken de hoek waaronder een cirkel met een straal van 13 en
middelpunt (2,4) de y-as snijdt.
Bereken de hoek waaronder een cirkel met straal 13 en middelpunt (2,4)
een andere cirkel met middelpunt (−2,0) en straal 2 3 snijdt.
Opgave 45
Een cirkel snijdt de x-as onder een hoek van 45° in de punten (1,0) en (5,0).
Bereken het middelpunt en de straal van deze cirkel.
Opgave 46
Een cirkel raakt de lijn l: y = 0,5x in het punt P(4,2).
Het middelpunt van deze cirkel ligt op de lijn m: y = 2x + 2.
Onder welke hoek snijdt deze cirkel de y-as?
Opgave 47
Lijn m raakt de cirkel c: x2 + y2 = 6 14 in het punt A(−2;1,5).
De punten B(2 12 ;0) en C(1 12 ;−2) liggen op cirkel c.
Toon aan dat de hoek tussen m en lijn AB even groot is als ∠C van ∆ABC.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
15
Opgave 48 Ingeschreven cirkel (1)
De driehoek ABC heeft hoekpunten A(−2,0), B(2,0) en C(0,2 3 ).
a) Toon aan dat driehoek ABC gelijkzijdig is.
b) De ingeschreven cirkel van deze driehoek is de cirkel die alle drie de zijden
raakt. Stel een vergelijking van deze cirkel op.
Opgave 49 Ingeschreven cirkel (2)
De punten A(−2,0), B(0,−4), C(2,0) en D(0,4) zijn hoekpunten van een ruit
ABCD. De ingeschreven cirkel van deze ruit is de cirkel die alle vier de zijden
raakt. Stel een vergelijking van deze cirkel op.
Opgave 50 Eerlijk delen
Er bestaat een truc om snel de vergelijking van de raaklijn aan een cirkel in een
punt op de cirkel op te stellen. Je noemt die truc “eerlijk delen” en hij gaat zo:
Voorbeeld 1:
Stel de vergelijking van cirkel c is x2 + y2 + 4x = 21 en je wilt de raaklijn weten
in P(−6,3) aan c. Je gaat dan eerst na, dat P op de cirkel ligt. Daarna schrijf je de
cirkelvergelijking zo: x ⋅ x + y ⋅ y + 2x + 2x = 21.
Voor de vetgedrukte x en y vul je de waarden van punt P in:
−6 ⋅ x + 3 ⋅ y + 2 ⋅ −6 + 2x = 21.
En de vergelijking van de raaklijn is: −4x + 3y = 33.
Voorbeeld 2:
Stel de vergelijking van cirkel c is (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 en je wilt de raaklijn
aan c opstellen in het punt P(6,8) op de cirkel. Dan schrijf je de cirkelvergelijking
zo: (x − 3)(x − 3) + (y − 4)(y − 4) = 25.
Weer vul je voor de vetgedrukte x en y de waarden van P in:
(6 − 3)(x − 3) + (8 − 4)(y − 4) = 25.
De vergelijking van de raaklijn wordt: 3(x − 3) + 4(y − 4) = 25.
Dit kun je schrijven als 3x + 4y = 50.
Maar waarom kan dit zomaar?
Bekijk eerst cirkel c: x2 + y2 = r2 met daarop punt P(p,q). De raaklijn in P aan c
krijgt dan volgens het “eerlijk delen” de vergelijking px + qy = r2.
a) Bewijs dat dit zo is door te laten zien dat de lijn l: px + qy = r2 door P gaat
en loodrecht staat op OP.
Bekijk vervolgens de cirkel c met vergelijking (x − a)2 + (y − b)2 = r2. Nu heeft
de raaklijn aan deze cirkel in een punt P(p,q) op de cirkel volgens de “eerlijk
delen” truc de vergelijking l: (p − a)(x − a) + (q − b)(y − b) = r2.
b) Ga na dat P inderdaad op c ligt.
c) Laat zien dat l en de straal naar het raakpunt loodrecht op elkaar staan.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
16
4 Afstanden berekenen
Verkennen
Opgave 51
Teken in een cartesisch assenstelsel lijn l: 2x + 3y = 6 en punt P(3,4).
Wat versta je onder de afstand van punt P tot lijn l?
Meet hoe groot die afstand is. Kun je hem ook berekenen?
Uitleg
Hier zie je lijn l: 2x + 3y = 6 en punt P(3,4). De
afstand van punt P tot lijn l geef je aan met d(P,l)
(de “d” komt van “distance”, Engels voor
“afstand”). Het is de lengte van het kortste
verbindingslijnstuk van punt P en lijn l. Je ziet dat
dit loodrecht op de lijn staat.
Het berekenen van die afstand kun je dus als volgt
doen:

Stel de vergelijking op van de lijn m door P en
loodrecht l.

Bereken de coördinaten van punt Q, het
snijpunt van m en l.

Bereken de afstand tussen de punten P en Q.
Je ziet in de figuur hoe groot die kortste afstand is.
Controleer of je met een berekening op ditzelfde getal uitkomt.
Opgave 52
Voer de berekening die in de Uitleg is beschreven zelf uit.
Opgave 53
Bereken de afstand van P(0,5) tot lijn m: y = −0,5x + 10.
Theorie **************************************
Onder de afstand tussen twee objecten wordt altijd de lengte van hun kortste
verbindingslijn verstaan. De afstand tussen twee objecten V1 en V2 noteer je als
d(V1,V2).

De afstand tussen twee punten P(p1,p2) en Q(q1,q2) is:
d(P,Q) = |PQ| =

(p1 − q1 )2 + (p2 − q2 )2 .
De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het lijnstuk vanuit
het punt en loodrecht op de lijn. De afstand van P tot l is d(P,l) en kun je
dus berekenen door:
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
17

de vergelijking op te stellen van de lijn m door P en loodrecht l;

de coördinaten van punt Q, het snijpunt van m en l, te berekenen;

de afstand tussen de punten P en Q te berekenen.
Je kunt met behulp van vergelijkbare methoden de afstand tussen twee lijnen,
de afstand van een punt tot een cirkel of een lijn tot een cirkel, e.d., berekenen.
Het is soms nuttig om te gebruiken dat de lijn m: bx – ay = d loodrecht op l:
ax + by = c staat, waarin d afhangt van het punt waar m doorheen moet gaan.
Met behulp van richtingscoëfficiënten kun je dat zelf aantonen…
*********************************************
Voorbeeld 1
Je ziet hier ΔABC met daarin de hoogtelijn CD
getekend.
Met “hoogtelijn” wordt meestal het lijnstuk CD
bedoeld, dus een hoogtelijn heeft een bepaalde
lengte. Ga door berekening na of de lengte in de
figuur klopt.
Uitwerking:
De lengte van hoogtelijn CD is gelijk aan de
afstand van C tot lijn AB. De afstand van C tot
lijn AB kun je zo berekenen:

de vergelijking van AB is: x – 2y = 0

de vergelijking van de lijn m door C en loodrecht AB is: 2x + y = 6

de coördinaten van het snijpunt van m en AB zijn: D(2,4;1,2)

de afstand tussen de punten C en D is: |CD| =
1, 42 + 2,82
≈ 3,13.
Opgave 54
Bereken nu zelf de lengte van de hoogtelijnen uit A en uit B.
Opgave 55
Bereken de afstand van P(25, −13) tot de lijn l: 5x − 3y = 30.
Opgave 56
Gegeven is de cirkel c met vergelijking (x − 5)2 + (y − 4)2 = 10 en de lijn
l: x + y = 2.
a) Wat versta je onder de afstand van O tot cirkel c?
Bereken deze afstand.
b) Bereken de afstand van het middelpunt M van de gegeven cirkel tot lijn l.
De afstand van lijn l tot cirkel c is nu d(l,c) = d(M,l) − r waarin r de straal
van de cirkel is. Licht deze formule toe en bereken d(l,c).
c) Bereken de afstand van het middelpunt M van de gegeven cirkel tot lijn l.
De afstand van lijn l tot cirkel c is nu d(l,c) = d(M,l) − 10 .
Licht dit toe en bereken d(l,c).
d) Bereken ook de afstand tussen cirkel c en de cirkel om O en door (1,1).
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
18
Opgave 57
Bereken de afstand tussen de twee lijnen 2x + 4y = 7 en y = 6 − 0,5x.
Opgave 58
Wanneer is het zinvol om te vragen naar de afstand tussen twee rechte lijnen?
Hoeveel bedraagt die afstand in alle andere gevallen?
Opgave 59
Bedenk een manier om de vergelijkingen op te stellen van de twee rechte lijnen
die evenwijdig zijn aan de lijn l: x + 4y = 8 en een afstand van 2 tot die lijn
hebben.
Verwerken
Opgave 60
Bereken (eventueel in twee decimalen nauwkeurig) de afstand van
a) punt P(2, 3) tot lijn l: 4x − 5y = 40
b) punt P(2, 3) tot cirkel c: (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16
c) lijn l tot cirkel c.
Opgave 61
Bereken in de volgende gevallen de afstand van cirkel c1 tot cirkel c2.
a) c1: (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 en c2 heeft middelpunt M2(−2,1) en straal 1.
b) c1: (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 en c2 heeft middelpunt M2(2,3) en straal 1.
c) c1: (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25 en c2 heeft middelpunt M2(−2,1) en straal 4.
Opgave 62
Een driehoek PQR is gegeven door P(12,5), Q(35,7) en R(40,12).
a) Bereken de lengte van de hoogtelijn uit P.
b) Bereken de oppervlakte van ∆PQR.
Opgave 63 Afstand uit oppervlakte
Soms kun je de lengte van een hoogtelijn in een driehoek snel vinden vanuit de
oppervlakte. Neem bijvoorbeeld ∆ABC met A(1,0), B(5,2) en C(2,6). De afstand
van punt C tot lijn AB is de lengte van de hoogtelijn CD in deze driehoek.
a) Bepaal eerst de oppervlakte van ∆ABC met behulp van het rooster.
b) Bereken nu de lengte van basis AB.
c) Bereken vervolgens |CD| vanuit de formule voor de oppervlakte van een
driehoek.
Deze techniek kun je toepassen om de afstand van punt P tot lijn l te berekenen.
Je bepaalt dan eerst twee (willekeurige) punten A en B op l. En vervolgens
bereken je de lengte van de hoogtelijn PS in ∆PAB vanuit de oppervlakte van die
driehoek.
d) Bereken op deze manier de afstand van P(2,10) tot de lijn l: y = 2x.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
19
Overzicht
Je hebt nu alle theorie van het onderwerp “Hoeken en afstanden” doorgewerkt.
Het is nu tijd om een overzicht over het geheel te krijgen.
Begrippenlijst
31: een kwadraat afsplitsen
32: raaklijn aan een cirkel, raakpunt
33: de hoek tussen een lijn en een cirkel, tussen twee cirkels
34: de afstand van een punt tot een lijn, van een punt tot een cirkel, tussen
twee evenwijdige lijnen en van een lijn tot een cirkel
Activiteitenlijst
31: door kwadraat afsplitsen middelpunt en straal van een cirkel bepalen
32: nagaan of een lijn een cirkel snijdt, raakt of mijdt – met behulp van de
discriminantmethode een vergelijking opstellen van een lijn die een cirkel raakt
of een cirkel die een lijn raakt
33: met behulp van de loodrechte stand van raaklijn en straal naar raakpunt de
vergelijking van een raaklijn aan een cirkel opstellen – de hoek tussen een lijn en
een cirkel en tussen twee cirkels berekenen
34: de afstand berekenen tussen twee punten, van een punt tot een lijn of een
cirkel en van een lijn tot een evenwijdige lijn of een cirkel
Opgave 64 Samenvatten
Maak een samenvatting van dit onderwerp door bij elk van de genoemde
begrippen een omschrijving of een voorbeeld te geven en bij elk van de
genoemde activiteiten een voorbeeldberekening te geven.
Toetsen
Opgave 65
Gegeven zijn de cirkels c1: x2 + y2 = 12x − 10 en c2 met middelpunt M2(4,2) en
straal 10 .
a) Bereken het middelpunt en de straal van c1.
b) Bereken de snijpunten van c1 en c2.
c) Bereken de afstand van M2 tot cirkel c1.
d) Bereken de hoek waaronder beide cirkels elkaar snijden in graden
nauwkeurig.
e) Door A(0,4) gaan twee lijnen die c2 raken. Stel van elk van deze twee lijnen
een vergelijking op.
f)
De raaklijn aan c1 in het punt P(7,5) snijdt de x-as in Q. Bereken de
coördinaten van Q.
g) Bereken de afstand van lijn PQ tot punt M2.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
20
Opgave 66
Cirkel c snijdt van de lijn y = 4 een lijnstuk met lengte 4 af, gaat door P(−5,2) en
heeft een middelpunt M op de x-as. Stel een vergelijking op van c.
Opgave 67
Een bol met straal 12 cm ligt in een vaas waarvan de open binnenkant een
zuivere kegelvorm van hoogte 30 cm en diameter 30 cm heeft.
De vraag is: Steekt de bol boven de bovenrand van de vaas uit? En zo ja
hoeveel?
Je lost dit probleem op door gebruik te maken van analytische meetkunde.
a) Teken een dwarsdoorsnede van kegel en bol in een cartesisch assenstelsel.
Neem voor de top van de kegel O(0,0) en laat de hoogte van de kegel
samenvallen met de y-as.
b) Kies voor het middelpunt van de bol M(0,m) en stel een bijpassende
vergelijking voor de bol op.
c) Welke twee raaklijnen aan de bol kun je nu gebruiken om het probleem op
te lossen?
d) Bepaal door berekening m en bereken hoever de bol boven de kegel uit
steekt.
e) Hoe had je dit probleem zonder analytische meetkunde kunnen oplossen?
Opgave 68
Gegeven is de cirkel c: x2 + y2 = 2x + 3 en de lijn l: y = ax.
De snijpunten van l en c zijn A en B.
a) Neem a = 2. Toon aan dat |OA| ⋅ |OB| = 3.
b) Bewijs dat voor elke a geldt: |OA| ⋅ |OB| = 3.
Toepassen
Opgave 69 King pepermunt
Drie pepermuntrollen liggen in een doosje met de vorm van een regelmatig
driehoekig prisma. Welke straal hebben die rollen pepermunt?
Opgave 70 Macht van een punt ten opzichte van een cirkel
Punt P ligt buiten een cirkel c. Er zijn twee lijnen door P die de cirkel raken, één
van die lijnen is l, het bijbehorende raakpunt is R. Verder is m een lijn door P die
de cirkel snijdt in A en B. Nu geldt: |PR|2 = |PA| ⋅ |PB|.
Dit kun je met analytische meetkunde bewijzen door P(0,0) te kiezen en een
cirkel te kiezen met middelpunt M(2,0) en straal 1.
a) Stel een vergelijking op van een mogelijke lijn l en bereken het
bijbehorende raakpunt R.
b) Neem nu de lijn m: y = ax en kies een geschikte waarde van a.
Bereken de snijpunten A en B.
Bereken |PR|, |PA| en |PB| en ga na dat: |PR|2 = |PA| ⋅ |PB|.
c) Onderzoek of ook voor andere a geldt: |PR|2 = |PA| ⋅ |PB|.
d) Is je bewijs nu helemaal compleet? Licht je antwoord toe.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
21
Opgave 71 Omgeschreven cirkel
De straal van de omgeschreven cirkel van een gelijkzijdige driehoek met zijden
van a cm kun je in a uitdrukken. Laat zie hoe je dit kunt doen door een geschikt
assenstelsel te kiezen.
Opgave 72 Deellijn
De deellijn (of bissectrice) van een hoek is de lijn die de hoek in twee gelijke
delen verdeelt.
De lijnen l: y = 0 en m: y = 2x maken een scherpe hoek met elkaar. Punt P(x,y)
is een punt van de deellijn van deze hoek.
a) Stel een vergelijking op van deze deellijn (benaderingen in drie decimalen
nauwkeurig).
b) Toon aan dat elk punt van deze deellijn dezelfde afstand heeft tot lijn l als
tot lijn m.
Opgave 73 Grootste cirkel uit een driehoek
Je ziet hier een gelijkbenig driehoekige lap
stof. Je wilt er een zo groot mogelijke
cirkelvormige lap stof uit snijden. Hoe groot
wordt de straal?
a) Maak een assenstelsel zo, dat
A = (−2,0), B = (2,0) en C = (0,4).
b) Het middelpunt van de gevraagde cirkel
is M(0,p). M moet even ver van de
lijnen AB, BC en AC liggen. Druk
d(M,AB) en d(M,BC) beide uit in p.
c) Bereken p en beantwoord de vraag.
CTWO – havo wiskunde B – Meetkunde 3 – Hoeken en afstanden
22
Domein Meetkunde Havo B
H.3 : Hoeken en afstanden
§1
1.
2.
3.
Teken middelloodlijnen op de
zijden van de driehoek
Snijpunt is plaats van de sproeier.
Straal = 2,7cm
mllOA: x = 2 , mllAB:=
y 15 x + 1 54
4.
zodat =
PQ
c)
17a)
b)
c)
d)
mllOB: y =
− 53 x + 3 25
MP
=
=
PO
15 ≈ 3, 87
OQ
=
M(1 12 , 0) , r =
QM
=
5
1 12
x-as: (0,0), (3,0); y-as: (0,0)
geen cirkel
x-as: ( 3, 0) , (− 3, 0) ; y-as: geen cirkel
x-as: (0,0), (3,0); y-as: (0,0)
geen cirkel
x-as: (4,0), (-4,0);
y-as: (0,4), (0,-4)
5.
6a)
b)
c)
d)
e)
f)
Ja. M(-3,0) en straal = 3
(x + 4)2 − 16
(x + 6)2 − 36
(x + 2,5)2 − 6,25
(x − 3)2 − 9
(x − 4)2 − 16
(x − 0,5)2 − 0,25
7a)
Ja, M(-4,-2) en
=
r
=
20 2 5
b)
1
( x − 2 12 )2 + y 2 =
4
en
=
r
=
45 3 5
c)
vergelijkingen van c2 en k levert
één oplossing: x=3
c2 ligt geheel binnen de ellips
b)
Ja, M(4,-2)
e)
f)
18a)
c)
8.
9.
Ja, M(-4,2) en
=
r
=
20 2 5
2
2
(x − 4) + (y + 2) = −5 ???
-
10a)
b)
M(3,-2) en
=
r
geen cirkel
=
18 3 2
c)
M(-2,-1) en=
r
=
8 2 2
d)
M(3,-1) en r =
e)
f)
M(-2,-1) en r = 10
M(2,1) en r = 0; cirkel?
11a)
( x − 1)2 + (y + 12 )2 =
21 14
b)
12.
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 85
cirkel door A, B en C:
10
14a)
snijden, (1,2) , (-1,-2)
snijden, (-1,87;-1,23),
(-0,14;2,23)
c) raken, (1,2)
d) raken, (-1,-2)
22.
y 13 x − 4
=
y 13 x + 2 23 ,=
b)
c)
D ligt niet op deze cirkel
c1: M1(0,2) en r1=2
c2: M2(2,1) en r2=5
c1 ligt in zijn geheel binnen c2
625
( x − 24 16 )2 + (y − 9 16 )2 =
18
2
23.
24.
26.
( x + 5) + (y − 10) =
125
2
2
2
b)
P(-1,23;-1,67) en Q(2,23;-0,13)
1
2
x −2
2
x + y = 7,2
1 12 x + 5 , y =
− 1 12 x + 5
Eerst raaklijnen door (0,6) aan
Dus:
y =
− 12 x + 6 12 en y =
−5 12 x + 11 12
( x − 7, 880) + (y − 5, 087) =
25
16a)
2
y
x + 8 ,=
Dit geeft:
y =
− 12 x + 6 en y =
−5 12 x + 6
( x − 0,112) + (y + 0, 087) =
25
A(-6,0) , B(6,0), C(0,8) en
M(0,q): geeft q = 1,75 en
r = 6,25
m:=
y 12 x − 1 14
1
2
( x − 3)2 + (y − 2)2 =
5
2
2
=
y
25. =
y
of
15.
A(-2,83;4,12), B(4,75;-1,56)
b = 6,25 of b = −6,25
zie 19a)
raken want D=0
(3,4)
y =
− 34 x − 6 14
21a)
b)
( x − 12 12 )2 + y =
156 14
13.
§2 19a)
b)
20a)
b)
c)
d)
M(2,3) en r = 13
x-as: (0,0), (4,0);
y-as: (0,0) , (0,6)
M(6,0) en r = 6
x-as: (0,0), (12,0); y-as: (0,0)
x-as: (3,0), (-3,0);
y-as: (0,2), (0,-2)
27.
=
y
3
4
x+4
28.
Geen
29a)
A(24, 24) , B(24, − 24)
=
AB 2=
24 4 6
b)
30a)
Gelijkvormigheid, Pythagoras
y= x + 5 2 , y= x − 5 2
b) y
=
5
11
30
11
11x −
5
y =
− 11
11x +
11 ,
30
11
11
b)
y =
− 34 x + 8 13
d)
y =
− 34 x + 8 13 , y =
− 34 x − 8 13
b)
x2 + y2 = 18, raakpunt (3,3)
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 16,2
-
snijpunt x-as:
34.
C ( 1a
− 34 ×
4
3
36.
37a)
y = −3x + 10
P(3,4) en raaklijn: y =
− 34 x + 6 14
Q(4,3) en raaklijn: y =
− 34 x + 8 13
43a)
=
QM
=
18 3 2
b)
=
QA
=
QB
q −b
p− a
, −
p
q
×
q
p
=−1
p− a
, rc l = − q − b
zie uitleg hierna
m :=
y 23 x − 21 , Q( 15
, 16 )
13 13
d(P ,=
l)
53.
12
13
54.
≈ 3, 33
loodlijn door P op m: y=2x+5
snijden met m: Q(2,9)
d(P=
, m)
- hA : y =
=
20 2 5
3
2
x snijden met BC
28 42
snijpunt E ( 13
, 13 ) , d( A, BC ) =
c)
c2 : ( x − 1)2 + (y − 6)2 =
13
d)
e)
A(4,51 ; 5,18) en B(1,82 ; 2,49)
A: y = -0,23x + 6,23
B: y = -4,27x + 10,27
snijpunten y-as: (0,1) , (0,7)
∠(c,y-as) = 56,3o
snijpunten A(-1,56;3,44) en
B(1,44;0,43), ∠(c1,c2) = 73,7o
M(3,2) of M(3,-2)
snijpunt F ( 12
, 48 ) , d(B, AC ) =
17 17
55.
14
13
56a)
b)
8
58.
59.
134
34
OM snijden met c geeft punt S.
S(2,53 ; 2,02),
d(O=
, c ) OS ≈ 3, 24
d(M, l ) =
d(l , c ) =
57.
14
17
loodlijn door P op l: 3x+5y=10
5
3
snijpunt Q(5 17
, −1 17
) en
d(P , l ) =
c)
d)
13
In beide gevallen : r =
rc MP =
q
p
- hB : y =
− 14 x + 3 snijden met AC
alleen de rc is van belang
x-as: (0,0), (2,0)
y-as: (0,0), (0,4)
b) (0,4): y = 0,5x + 4
(0,0): y = −0,5x
(2,0): y = 0,5x − 1
c) 27o
d) 63o
40.
A(1,1), B(2,2), ∠(l,c) = 18o
41.
A(−1,3), B(1,3), ∠(c1,c2) = 63,4o
42.
P(−1,3), Q(−1,1), ∠(c1,c2) = 18,4o
45.
§4 51.
52.
in beide gevallen 8,13o
y =
− 34 x + 8 13
b)
c)
39a)
b)
p
−1
rc MP × rc l =
=−1
raaklijn door D: y =
− 34 x + 8 13
44a)
rc l = − q , rcOP =
1 − a2
35.
b)
38a)
50a)
c)
4
3
4
3
x2 + y2 = r2 raakt DC
D=0 zodat r2 = 3,2
1 − ax
OC ⊥ l, rcl = − 34 en rcOP =
x 2 + (y − q)2 =
q2 raakt BC
49.
b)
, 0)
∠(m,AB) = ∠C = 71,57o
|AB| = |BC| = |AC| = 4
D=0 zodat q2 =
2
A(a, 1 − a ) , B(a, − 1 − a )
raaklijn door A: y =
§3
47.
48a)
2
∠(m,c) = 90o, logisch want lijn m
is middellijn.
(cirkel : ( x − 2)2 + (y − 6)2 =
20 )
c)
31.
32.
33a)
46.
24 12
24 12 − 10 ≈ 1, 79
zie b)
c2: x2 + y2 = 2 snijden met OM.
snijpunt T(1,10 ; 0,88)
d(c1,c2) = |ST| ≈ 1,83
lijn y=2x+6 staat loodrecht op
gegeven lijnen
snijpunten S(0,6) en T(-1,7 ; 2,6)
|ST| ≈ 3,80
bij evenwijdige lijnen
In overige gevallen afstand = 0
lijn loodrecht l is lijn m: y=4x+2
snijpunt S(0,2) en P(p,4p+2)
4
op m; |SP| = 2 geeft p = ± 17
Zodat y =
− 14 x ± 17 + 2
47
41
60a)
b)
d(P , c )=
c)
d(l,c) = d(M,l) = − 4
M op m: 5x + 4y = −31, m ⊥ l
5
m snijden met l : S( 41
, − 324
)
41
61a)
b)
c)
62a)
b)
63a)
PM − 4=
74 − 4 ≈ 4, 60
d(M,l) = |MS| ≈ 5,00,
d(l,c) ≈ 1,00
c1 snijdt c2. Afstand = 0
c2 binnen c1 dus kortste afstand
lijn door M1 en M2 is l: y = x + 1
l snijden met c1 : S(-0,54;0,46)
l snijden met c2 : T(1,29;2,29)
d(c1,c2) = |ST| ≈ 2,59
c1 snijdt c2. Afstand = 0
basis QR snijden met hoogtelijn
PS; snijpunt S(22 12 , −5 12 )
c)
CD
=
17
=
5
17
5
M1(6,0), r1 =
e)
5 =
3
2
2
2
OA
2
OB
2
=
3 a4 + 8 a2 +5+(2 +2 a2 ) 4 +3 a2
=
3 a4 + 8 a2 +5−(2 +2 a2 ) 4 +3 a2
(1+ a2 )2
(1+ a2 )2
2
=
9
∆ABC, A(−2,0), B(2,0), C(0,2 3 )
c: (x − r)2 + (y − r)2 = r2
BC raakt cirkel c, D=0
6
=
5
6
5
5
26
2
∠(c1,c2) = 29,74o
y = mx + 4 snijden met c1.
D = 24m2 + 64m − 24
D = 0 geeft m = 3 of m = − 13
g)
Q(32,0)
opp(∆MPQ) = 69
PQ =
2
BC : y =
− 3x + 2 3
lijn y=x snijden met c1.
snijpunten P(1,1) en Q(5,5)
M1M2: y = −x + 6 snijden met c1.
snijpunt (2,39 ; 3,61)
d(M2,c1) ≈ 2,27
rc M Q = −5 , rc M Q = 3
1
5
B( 1− 14+ +a23a , a− a1+4a+23a )
5
raaklijn door P : y =
− 15 x + 6 25
67a)
b)
5×
5
A( 1+ 14+ a+23a , a+ a1+4a+23a ) ,
b)
69.
f)
66.
3
5
3r 2 − 4 3r − 12r + 12 =
0
r ≈ 0,676 (r ≈ 10,252 voldoet niet)
70a)
l:y =
− 3 x + 2 , R( 12 3, 12 )
2
−3
, 2+ 1a+ aa2 −3 )
2
−3
, 2− a1+ aa2 −3 )
A( −2 a1++ aa2
B( −2 a1−+ aa2
65a)
d)
B(1,2), OB =
b)
-
3
5
A(− 53 , − 56 ) , OA =
OA × OB
Overzicht
c)
68a)
O(0,0), P(2,10), Q(5,10)
opp(∆OPQ) = 15
64.
720
uitsteken: 12 5 + 12 − 30 ≈ 8, 83
gelijkvormige driehoeken
2
=
20 2 5
OQ = 5 5 , d(P=
, l)
b)
e)
opp = 17
=
AB
y = 2x of y = −2x
D = −4m2 + 2880
D = 0 geeft m =
1
opp =
× PS × QR =
52,5
2
b)
d)
c)
d)
≈ 7, 34
c)
PA
2
PB
2
=
5 a4 +2 a2 −3−(4 a + 4 a3 ) a2 −3
=
5 a4 +2 a2 −3+(4 a + 4 a3 ) a2 −3
(1+ a2 )2
(1+ a2 )2
PA × PB
2
=
9
A(− 12 a, 0) , B( 12 a, 0) , C (0, 12 a 3)
c: x2 + (y − p)2 = r2
p=
72a)
1
6
3
P(a,b) op deellijn.
c: (x − a)2 + (y − b)2 = b2 raakt
de x-as
m snijden met c,
b
a
=
Deellijn : y =
b)
1
3
3, r =
D=0 geeft
650 , d(M2,PQ) ≈ 5,41
r = 20 , M(a,0)
(x − a)2 + y2 = 20
P invullen geeft a = -1 of a = -9
x2 + (y − m)2 = 144
2
|PR|2 = 3
2
71.
2
P (a,
−1+ 5
2
−1± 5
2
−1+ 5
2
x
a) ligt op m
lijn door P loodrecht op m snijdt
m in S( a5 , 25a )
d(P , S) =
−1+ 5
2
a
73a)
b)
d(M,AB) = p
opp(∆MBC) = 4 − p
d(M, BC ) =
c)
p=
4
1+ 5
4− p
5