Sint-Vincentiusinstituut Humaniora

Extra oefeningen: de cirkel
1.
Gegeven een cirkel met middelpunt
en
 PB  uit een punt
P aan deze cirkel bedraagt 12 cm . Bereken de afstand PM . ()
PAM is rechthoekig in A , dus geldt:
MP  MA  AP  52  122  169
2
Dus
2
MP  13 .
2
M en straal r  5 cm . De lengte van de raaklijnstukken  PA
2. Uit een punt
 PQ
en
 PR 
P trekt men de raaklijnstukken
aan een cirkel
c M ,r  . De hoek die
deze twee raaklijnstukken met elkaar maken is
42 groot.
A is een willekeurig punt op de grote boog RQ .
Bepaal de grootte van hoek
in de vierhoek
QAR . ()
PRMQ zijn R en Q rechte hoeken. Dus geldt:
RMQ  360  90  90  42  138
RAQ 
1
RMQ  69
2
(omtrekshoek op zelfde boog)
3. Gegeven: cirkel
c M ,r 
die verdeeld is in 10
gelijke bogen (zie figuur) en
A, B, C  c .
DC en DA zijn raaklijnen aan de cirkel c .
Gevraagd:
De
 , 1 , 2 , 
en
grootte
.
van
de
hoeken
Geef ook een korte
verklaring van je antwoorden.
()
  36 (één tiende van een volledige cirkel)
1
2
  108  54
1  90
1
2
(omtrekshoek op 3 boogjes)
(omtrekshoek op een halve cirkel)
 2  72  36
(omtrekshoek op 2 boogjes)
  72 (in vierhoek DAMC zijn A en C rechte hoeken en is M  3.36  108 )
4.
Van een driehoek
ABC is de zijde AB even lang als de straal
van zijn omgeschreven cirkel.
BP is de loodlijn vanuit B op AC en MQ is de loodlijn
vanuit het middelpunt
M van de omgeschreven cirkel op BC
(zie figuur).
Bewijs dat
AP  MQ . ()


APB  BQM ( 90, geg.) 
 APB  BQM
BAP  BMQ


1
AP

MQ
(omtrekshoek = middelpuntshoek op zelfde boog) 
2

BA  BM ( r , geg.)
5. Vanuit een punt
P buiten een cirkel worden
twee raaklijnstukken
met lengte
 PA
 PB 
getekend
l.
De raaklijn uit een punt
en
en
Q  AB snijdt  PA
 PB  in respectievelijk de punten C
Toon aan dat de omtrek van
is aan
van
en
D.
PCD dan gelijk
2l (en dus onafhankelijk is van de ligging
Q ). ()
Raaklijnstukken uit een punt aan een cirkel zijn gelijk. Dus
De omtrek is dan
CA  CQ , DB  QD en PA  PB  l .
PPCD  PC  CQ  QD  DP  PC  CA  DB  DP  PA  PB  2l .
6. De koorde die bij een cirkelboog
AB hoort meet 60 cm.
De lengte van het lijnstuk dat het midden
koorde verbindt met het midden
M van de
H van de cirkelboog
bedraagt 15 cm. Bepaal de straal van de cirkel waarvan
AB een boog is? ()
Teken eerst de cirkel volledig, noem het middelpunt
M en de straal r .
In AMP geldt de stelling van Pythagoras:
AP  AM  MP
2
2
2
 r 2  302   r  15 
 r 2  900  r 2  30r  225
 30r  1125
 r  37,5
2
7. Beschouw een cirkel
weerskanten van
c met middelpunt M , en punten A , B en C op die cirkel zodat B en C aan
MA liggen. Bewijs dat BAC  ABM  ACM . ()
De driehoeken ABM
en
ACM zijn gelijkbenig, dus zijn hun
basishoeken gelijk. En dus geldt:
BAC  BAM  MAC  ABM  ACM .
8. In een rechthoek met lengte 9 cm en breedte 5 cm
zijn twee cirkels getekend die raken aan drie
zijden van de rechthoek (zie figuur).
Bereken de oppervlakte van het deel waar beide
cirkels overlappen, tot op 0,00001 cm² nauwkeurig.
()
We splitsen de gevraagde oppervlakte verticaal op in twee gelijke
delen.
Elk
zo’n deel
is dan een cirkelsector
zonder
de
corresponderende driehoek.
De stralen van de cirkels zijn 2,5 cm en de lengte
MN is 2 cm
(leid dit zelf af!!). De lengte AN is (Pythagoras) 1,5 cm.
In
AMN geldt: cos M1 
MN
2

 M1  3652'12" , dus M  2.M1  7344'23"
AM 2,5
De oppervlakte van de cirkelsector is dan
S
De oppervlakte van de driehoek is SABM 
De gevraagde oppervlakte is dus
S  2.  S
MAB

 .2,52.7344'23"
360
 4, 02188 .
3.2
3
2
MAB
 SMAB   2,04376 (cm²)
9. Een concerthal is ontworpen in de vorm van een regelmatige vijfhoek met een zijde gelijk aan 36m.

Bereken de oppervlakte van de concerthal.
In driehoek MPR geldt (figuur):
Dus
rch  MP 
PR

sin M
PR  18 en M  36 .
18
 30, 62343 .
sin 36
De oppervlakte van de concertzaal is dan (reg. 5-hoek):
Sch  5.30, 623432.sin

180
180
.cos
 2229, 73871 (m²)
5
5
Stel dat men rond deze hal een terras wil aanleggen met een breedte van 6,2m. Bewijs dat de
zijde
 AB  van dit terras dan ongeveer 45m lang is.
In MPR geldt ook
Dus
MR 
PR

tan M
18
 24, 77487 .
tan 36
MS  MR  RS  30,97487 .
 6,2

In MQS geldt
QS  MS .tan 36  22,50456 .
De zijden (zoals
 AB  ) zijn dus ongeveer 45 m lang.
Bereken dan ook de oppervlakte van dit terras.
Dit terras kan je delen in 5 trapezia
(met grote basis B = 45, kleine basis b = 36, en hoogte h = 6,2).
Dus Sterras  5.Strap  5.
Bb
45  36
.h  5.
.6, 2  1255,5
2
2
10. Gegeven zijn drie cirkels
c1 , c2 , c3 met straal 2 cm, die elkaar uitwendig raken. hun middelpunten
M1 , M 2 , M 3 liggen op  AB  , waarbij A  c1 en B  c3 . Eén van de raaklijnen uit A aan c3 snijdt de
raaklijn in B aan
Driehoeken
geldt dat
Dus geldt:
c3 in het punt P . Bereken de lengte BP . (zie figuur) ()
ARM 3 en ABP zijn gelijkvormig want ze hebben hoek A gemeenschappelijk en ook
B  R  90 (raaklijnen staan loodrecht op de middellijn door het raakpunt).
BP
AB
AB . RM 3 12.2
24
6

 BP 



 6.
RM 3
AR
AR
96 4 6
6
(Merk op dat in
ARM 3 Pythagoras geeft dat AR 
AM 3  RM 3  102  22  96 )
2
2
Antwoorden en moeilijkheidsgraad:
1. ()
PM  13
2. ()
3. ()
QAR  69
  54, 1  90, 2  36,   72,   36
4. () Hint: trek een hulplijn en vind twee
6. ()
r  37,5
7. () Hint: Maak een duidelijke figuur!
8. ()
S  2,04376 cm2
9. () Scz  2229,73871 m ; Ster  1255,5 m
2
congruente driehoeken (en bewijs hun congruentie).
5. () Hint: vind lijnstukken met dezelfde lengte.
10. ()
BP  6
2