2 Pretpark aan de hemel

2 Pretpark aan de hemel
In deze paragraaf onderzoeken en leren we over de beweging van de aarde om de zon, de
draaiing van de aarde om haar as, de beweging van de maan rond de aarde, en hoe die
bewegingen met elkaar verband houden. Je gaat dit doen aan de hand van een aantal
kermisattracties.
Draaien I
Hierin bestuderen we de beweging van de aarde om de zon.
We beginnen met een eenvoudig voorbeeld: de draaimolen.
Je weet dit vast nog wel uit je jonge jaren: ieder rondje zwaaien naar je moeder, een oude man
in overall die je kaartje uit je hand griste.
Opgave 1
Je stapt op het paard in de draaimolen. Je
moeder slaat je van een afstand gade. Tijdens
een rit van precies acht hele rondjes zie je je
moeder acht keer langskomen.
Tijdens dezelfde rit zag je je vader negen keer
langskomen.
a. Hoe kan dit?
moeder
Je vriendje naast je beweert dat hij z'n vader
maar zes keer zag, en dat hij zeker weet dat hij
hem niet een keer over het hoofd heeft gezien.
b. Hoe vaak komen de vaders elkaar tegen?
Nog steeds dezelfde situatie. Je moeder ziet de
oude man in overall zeven keer langskomen.
c. In welke richting loopt deze man zijn rondje
over de draaimolen om de kaartjes op te halen:
met de draairichting mee of tegen de
draairichting in?
7
De draaimolen staat model voor de beweging van de aarde om de zon. Jij bent de aarde, het
middelpunt van de draaimolen is de zon en je moeder is een verre ster.
Even tussendoor: we nemen hier aan dat de aarde in een cirkel rond de zon draait. Dat is wel
niet helemaal zo (*), maar voor onze tellingen hoe vaak je iemand ziet langskomen maakt dat
niet uit.
Stel dat je je telescoop gericht hebt op een zekere verre ster, op een zeker tijdstip van de dag.
Bijvoorbeeld op de ster Aldabaran, de helderste ster in het sterrenbeeld Stier, om
middernacht op 12 december. Hieronder staat een plaatje van die situatie.
aardbaan
telescoop
Aldebaran
Na een zekere tijdsduur zie je dezelfde ster op hetzelfde tijdstip van de dag weer in je
telescoop. Die tijdsduur is een sterrenjaar. Dat is 365d 6u9m 10s lang, en daarmee 20m 24s
langer dan een (gemiddeld) kalenderjaar, dat uitgaat van de seizoenen. (Over de dag zullen we
het later nog hebben.)
(*) De baan is enigszins ellipsvormig.
8
Opgave 2
Eén van de vaders uit opgave 1 staat
model voor de beweging van Jupiter,
een planeet die verder van de zon
staat dan de aarde. Jupiter draait in
dezelfde richting om de zon, maar
doet daar langer over.
Welke vader is dat?
Opgave 3 (*)
Vanaf de aarde zien we Jupiter één keer per 1,092 sterrenjaar langskomen. Officieel gezegd:
de tijd tussen twee opeenvolgende opposities van Jupiter is 1,092 sterrenjaar. Hierbij is een
oppositie een situatie waarin Zon, Aarde en Jupiter in die volgorde op een rechte lijn liggen.
In onderstaand plaatje zijn twee opeenvolgende opposities getekend. De beweging van Jupiter
is met een pijl aangegeven.
a. Geef ook de beweging van Aarde tussen de twee opposities aan met een pijl.
Z
A
J
b. Hoe kun je uit die 1,092 afleiden dat de omlooprichting van Jupiter hetzelfde als die van de
aarde?
Op het Internet vind je dat een sterrenjaar op Jupiter 11,86 aardse sterrenjaren duurt.
c. Reken na of dit klopt.
(*) Deze opgave is niet essentieel in de opbouw van het verhaal.
9
Draaien II
Hierin bestudeer je de draaiing van de aarde om haar as, en in relatie daarmee de beweging
van de aarde om de zon.
Dit doen we aan de hand van de attractie Kop en Schotel in familiepretpark Koningin Juliana
Toren te Apeldoorn.
Zie bijvoorbeeld: http://www.youtube.com/watch?v=8d7KTThUpzM
De koppen draaien rond het centrale middelpunt (de theepot), en kunnen zelf ook ronddraaien,
elk om hun eigen as.
Je stapt in zo’n kopje; je moeder staat langs de kant. Terwijl de hele attractie nog stilstaat, kun
je je kopje al om zijn as ronddraaien. Je draait het twee keer rond; je kunt je moeder dus twee
keer aankijken.
Dan gaat de attractie draaien. Dan laat je je kopje niet meer om zijn as ronddraaien.
Als de attractie één ronde heeft gemaakt, kan je je moeder dus één keer aankijken.
Opgave 4
Tijdens de volgende ronde van het geheel draai je je kopje twee keer om zijn as, in dezelfde
draairichting als de hele attractie.
a. Hoeveel keer zie je je moeder dan passeren?
In het bovenaanzicht dat hiernaast staat is de
beginsituatie gegeven. De pijl geeft je kijkrichting
aan.
10
De draaiing waarbij het geheel één keer rond gaat,
verdelen we in acht stukken.
b. Geef met een pijl de kijkrichting aan in elk van
de zeven tussenposities.
Zodoende is een volledig rondje van de grote schijf
opgesplitst in acht stukken.
c. In welke van de acht stukken kun je je moeder
aankijken? Klopt dat met je antwoord op a?
Wat er aan de hand is in het
voorgaande geldt algemener.
Stelling
Een voorwerp draait om een punt A; dat punt A draait om zijn beurt om een
tweede punt B.
Neem een vast tijdsinterval. Als daarin het voorwerp p rondjes om A maakt en
punt A q rondjes om B maakt in dezelfde richting,
dan draait het voorwerp in die periode p+q keer rond.
Opgave 5
Neem een tijdsinterval waarbij het geheel twee keer ronddraait en een kopje vijf keer om zijn
as draait (ten opzichte van de schijf).
a. Hoe vaak kun je je moeder aankijken, als de draairichtingen hetzelfde zijn?
b. En als de draairichtingen tegengesteld zijn?
Neem een tijdsinterval waarbij het geheel één keer ronddraait en een kopje 365 keer om zijn
eigen as (t.o.v. de schijf) draait, met dezelfde draairichting.
c. Hoe vaak kun je je moeder dan aankijken in dat tijdsinterval?
Het draaien van de kopjes staat model voor de draaiing van de aarde om haar as, en het
draaien van de kopjes op de schijf om de theepot voor de beweging van de aarde om de zon.
Je moeder is weer een verre ster.
We nemen hierbij aan dat de draaias
van de aarde loodrecht staat op het vlak
waarin de aarde om de zon draait. Bij
Kop en Schotel is dat het geval: daar
zijn beide draaiassen verticaal.
In werkelijkheid zijn de draaias van de
baan van de aarde om de zon en de
draaias van de aarde zelf niet
evenwijdig. Maar dat is voor ons
verhaal niet van belang.
11
Opgave 6
In het plaatje hieronder is de positie van de aarde op twee momenten getekend.
zon
a. Iemand ziet de zon opkomen.
Geef voor beide posities van de aarde een plek aan waar hij zich kan bevinden.
b. Een ander ziet de zon op hetzelfde moment op het hoogste punt.
Geef voor beide posities van de aarde een plek aan waar hij zich kan bevinden.
Een zonnedag is de tijdsduur waarin de aarde één keer ronddraait ten opzichte van de zon.
Preciezer: de tijdsduur die verstrijkt tussen twee momenten waarop de zon op dezelfde plaats
staat; bijvoorbeeld twee zonsopkomsten twee tijdstippen waarop de zon op het hoogste punt
is.
Dit is wat we normaal gesproken onder een dag verstaan. Een zonnedag heeft een lengte van
precies 24 uur = 86400 seconden. Vroeger was dit zelfs de definitie van de seconde!(1). De
dagen die op bladzijde 8 gebruikt zijn om te vertellen hoe lang een jaar is, te weten 365d
6u9m 10s, zijn zonnedagen.
Iemand kijkt elke avond naar een ster.
ster
Een sterrendag is de tijdsduur waarin de aarde één keer ronddraait ten opzichte van de
sterren. Preciezer: de tijdsduur die verstrijkt tussen twee opvolgende momenten waarop een
ster op dezelfde positie aan de hemel is.
1
( )
Tegenwoordig is de seconde gedefinieerd als “de tijdsduur van 9.192.631.770 perioden van de straling
die overeenkomt met de overgang tussen de twee hyperfijnenergieniveaus van de grondtoestand van het 133cesiumatoom.”
12
Merk op dat daarbij wordt aangenomen dat de sterren oneindig ver weg staan. Welke ster je
neemt, doet er niet toe. Alleen de Poolster is niet geschikt. Waarom niet?
Opgave 7
Een zonnedag en een sterrendag duren niet even lang!.
a. Leg dat uit aan de hand van het volgende plaatje.
is de positie van de aarde op een zeker tijdstip
is de positie van de aarde een sterrendag later,
is de positie van de aarde een zonnedag later.
3
2
verre
ster
zon
1
b. Wat duurt het langst, een sterrendag of een zonnedag?
Het plaatje is niet op schaal. Vanuit en is er een lijn getekend naar de zon.
c. Hoe groot zou de hoek tussen die lijnen ongeveer geweest zijn als het plaatje wel op schaal
was geweest?
d. Hoeveel keer zo lang is de zonnedag dus als de sterrendag?
e. Hoe lang duurt dus een sterrendag?
Wat blijkt? De lengte van de sterrendag komt daar volgens de observaties heel nauwkeurig
mee overeen: 23u 56m 4s.
Opgave 8
1 sterrenjaar = 365,25 zonnedagen. Hieruit volgt dat 1 sterrenjaar = 366,25 sterrendagen.
a. Leg dat uit aan de hand van Kop en Schotel.
b. Laat zien dat hieruit het resultaat van opgave 7e volgt.
13
Opgave 9*
De vijfde en grootste planeet in ons zonnestelsel is Jupiter. Net als bij de aarde is bij Jupiter
de draairichting om zijn as hetzelfde als de draairichting om de zon.
Jupiter loopt in 11,86 (aardse) sterrenjaren om de zon. Dat betekent dat een sterrenjaar op
Jupiter 11,86 (aardse sterren)jaren bedraagt.
Jupiter roteert in 9,8 uur om zijn as. Dat betekent dat een sterrendag op Jupiter 9,8 uur
bedraagt.
Net als bij de aarde kunnen we bij Jupiter over een zonnedag spreken.
Ga met een berekening na dat een zonnedag en een sterrendag op Jupiter nauwelijks
verschillen.
Opgave 10*
De vierde planeet in ons zonnestelsel is Mars. Net
als bij de aarde is bij Mars de draairichting om zijn
as hetzelfde als de draairichting om de zon.
Mars loopt in 1,88 (aardse) sterrenjaren om de zon.
Dat betekent dat een sterrenjaar op Mars 1,88
(aardse sterren)jaren bedraagt.
Mars roteert in 24,6 uur om zijn as. Dat betekent
dat een sterrendag op Mars 24,6 uur bedraagt.
Ook bij Mars kunnen we over een zonnedag
spreken.
Bereken hoeveel minuten een zonnedag op
Mars langer duurt dan een sterrendag.
14
Draaien III
Hierin bestudeer je de draaiing van de maan om de aarde, en de relatie daarvan met de
beweging van de aarde om de zon.
We bekijken de attractie Calypso.
Die zit als volgt in elkaar: de wagentjes zitten met stangen vast aan een draaipunt, waar ze dus
omheen draaien, en die draaipunten zitten weer met stangen vast aan het middelpunt, waar ze
op hun beurt omheen draaien. We gaan er weer vanuit dat de draairichtingen hetzelfde zijn.
Opgave 11
Je maakt een rit in de Calypso. Tijdens de rit kan je je vriend, die misselijk wordt van
dit soort attracties en daarom aan de kant blijft staan, dertien keer aankijken. Verder ben
je totaal zes keer langs de kassa gekomen, preciezer gezegd, ben je in de draairichting
tussen het middelpunt en de kassa doorbewogen.
Hoeveel rondjes heeft je wagentje rond z'n eigen draaipunt gemaakt?
Opgave 12
Volgende rit. Je wagentje maakt elf rondjes rond z'n eigen draaipunt en je komt vijf keer
langs de kassa.
Ben je nu misselijker dan de vorige keer, gemeten in het totaal aantal rotaties dat je
hebt
gemaakt?
Het draaien van een wagentje staat model voor de beweging van de maan om de aarde (het
draaipunt is dus de aarde), en het draaien om het middelpunt staat natuurlijk voor de
beweging van aarde-maan om de zon. De rol van de verre ster wordt nu gespeeld door je
vriend.
We nemen hierbij aan dat de maan in hetzelfde vlak om de aarde draait als dat de aarde om de
zon draait. Dat is weer niet zo, maar dat is niet erg voor onze berekeningen. Als deze
aanname waar zou zijn, zou er iedere maand een maans- en zonsverduistering zijn. Waarom is
dat eigenlijk zo?
15
Opgave 13
In het plaatje hieronder is de positie van de aarde op twee momenten getekend. De baan van
de maan is gestippeld.
Teken voor beide momenten de plaats van de maan,
op het moment dat het Volle Maan is.
zon
Definitie
Een zonnemaand is de tijd die verstrijkt tussen twee opvolgende keren dat het Volle Maan is.
Opgave 14
Nog eens de positie van de aarde op twee momenten.
Met een pijl is de richting aangegeven van een zekere
verre ster.
verre
ster
zon
Geef voor beide momenten de plaats van de maan aan, wanneer hij voor de verre ster staat.
Definitie
Een sterrenmaand is de tijd die verstrijkt tussen twee opvolgende keren dat de maan op eenzelfde positie staat ten opzichte van de verre sterren.
16
De zonnemaand is niet wat we normaal gesproken bedoelen als we het over een maand
hebben. De lengte van de zonnemaand is 29,53 zonnedagen (29d 12u 44m 2.9s), terwijl de
lengte van de kalendermaand meestal 30 of 31, soms 28 of 29 dagen is.
Opgave 15
Bereken hoeveel zonnemaanden er in één sterrenjaar zijn. ( 2 )
Opgave 16
a. Wat duurt het langst, de zonnemaand of de sterrenmaand?
b. Leg uit dat in een periode van één sterrenjaar geldt:
het aantal sterrenmaanden = 1 + het aantal zonnemaanden.
Opgave 17
Leid uit het verband in opgave 16b en het resultaat van opgave 15 de lengte van de
sterrenmaand af, gemeten zowel in zonnedagen als in sterrendagen.
In feite zijn de draaiingen II en III wiskundig hetzelfde. In beide gevallen draait een plek om
een as, terwijl die as op zijn beurt om een centrale as draait.
( 2 ) 12 van deze maanden vormen een islamitisch jaar. Dit verklaart waarom de ramadan, de negende maand van dat jaar,
door het westerse jaar heenloopt
17
Draaien IV
Nu gaan we alle draaiingen combineren! Er is hiervoor geen attractie die dat mooi doet.
We hebben te maken met drie draaiingen:
1. de aarde draait om de zon,
2. de aarde draait om haar as,
3. de maan draait om de aarde.
Merk op dat de maan altijd dezelfde kant naar de
aarde toegekeerd heeft. De achterkant van de
maan kunnen we dus vanuit de aarde nooit
rechtstreeks waarnemen.
Opgave 18
Een van de 63 manen van Jupiter is Ganymedes. Ganymedes loopt in 7,155 (aardse) zonnedag
om Jupiter. Dat betekent dat een sterrenGanymedesd 7,155 zonnedag duurt (de letters “maan”
in sterrenmaand zijn letterlijk vervangen door "Ganymedes").
De draairichtingen van Ganymedes om Jupiter en van Jupiter om de zon zijn hetzelfde.
Net als van een zonnemaand kunnen we ook van een zonneGanymedesd spreken.
Bekijk een periode van 1 Jupiterjaar, dat is 11,86 (aardse sterren)jaren. Zie opgave 9.
Noem het aantal zonneGanymedesds daarin z en het aantal sterrenGanymededs s.
a. Bereken s.
b. Hoe groot is z dus?
c. Bereken hoe lang een zonneGanymedesd duurt.
Opgave 19*
Een van de twee manen van Mars is Phobos; die raast in hoog tempo rond Mars. Phobos
beweegt sneller aan de Marshemel dan de zon. De maan loopt in 0,3189 (aardse) zonnedag
om Mars. Dat betekent dat een sterrenPhobosd 0,3189 zonnedag duurt.
De draairichtingen van Phobos om Mars en van Mars om de zon zijn hetzelfde.
Bereken hoe lang een zonnePhobosd duurt.
Opgave 20
Als je (voor een maan van een planeet) weet hoeveel zonnedagen er in een zonnemaand zijn,
kun je nog niet berekenen hoeveel sterrendagen er in een sterrenmaand zijn.
Welk gegeven heb je nog meer nodig?
18
Samenvatting
sterrenjaar
= de tijdsduur voordat de situatie zon-aarde weer hetzelfde is ten opzichte van
de sterren (blz. 8)
(zonne)dag = de tijdsduur voordat de situatie waarnemer-aarde weer hetzelfde is ten
opzichte
van de zon (blz.12)
sterrendag = de tijdsduur voordat de situatie waarnemer-aarde weer hetzelfde ten opzichte
van
de sterren (blz.13)
zonnemaand = de tijdsduur tussen twee opvolgende keren Volle Maan.
(blz.15)
sterrenmaand= de tijdsduur tussen twee opvolgende keren dat de maan op eenzelfde positie
staat ten opzichte van de verre sterren. (blz.16)
Op de planeet Aarde is
• sterrenjaar =
• zonnedag
=
• sterrendag =
• zonnemaand =
• sterrenmaand =
365d, 6h, 9m, 10s
24h
23h, 56m, 4s
29d 12u 44m 2.9s = 29,53 zonnedagen
27d, 7h, 43m, 11.6s = 27,32 zonnedagen
19