Inleiding Astrofysica

Inleiding Astrofysica - Werkcollege 2
Maarten van Hoven, OG 441
November 5, 2008
1. In deze opgave behandelen we de getijdenkrachten en zullen enkele afleidingen
doen die in het hoorcollege niet aan de orde zijn gekomen. Bij het tentamen wordt
je geacht een goed begrip te hebben van dit onderwerp. Zoals je weet van de gravitatiewet van Newton: Fg = G Mr2m , is de gravitatiekracht dichtbij het aantrekkende
object groter dan verder weg van het aantrekkende object. (Ga dit na!). Het gevolg
hiervan is, dat een object met een eindige afmeting dat onderhevig is aan de gravitatiekracht van een ander object, aan de ene zijde sterker wordt aangetrokken dan
aan de andere zijde. Dit effect noemen we de getijdenwerking.
a. Een planeet met een diameter d bevindt zich op een afstand rp (>> d) van een ster met massa
Ms . Laat zien dat het verschil in gravitatiekracht (werkend op een massa m) tussen de ’voorkant’
van de planeet en de ’achterkant’ van de planeet bij benadering gelijk is aan: Ft = 2G Mrs3m d.
p
(Hint: Je kunt bijvoorbeeld de gravitatiewet van Newton benaderen met een eerste orde Taylorreeks rondom rp ). Deze kracht noemen we de getijdenkracht.
b. Op de Aarde werken zowel getijdenkrachten van de Maan als van de Zon. Bereken de
verhouding (Ft,Maan /Ft,Zon ) tussen deze getijdenkrachten. Worden de getijden veroorzaakt door
de maan of door de zon?
c. Leg uit waarom door de getijdenkracht de zeespiegel 2 maal per etmaal tot een maximum
stijgt, en niet bijvoorbeeld 1 maal.
d. Bereken ook de verhouding tussen de gravitatiekrachten (Fg,Maan /Fg,Zon ). Waarom is deze
verhouding zo anders dan die van opgave 1b?.
e. Binnen een zekere afstand rR van een planeet met massa Mp zijn de getijdenkrachten van
de planeet werkend op een maan met diameter dm groter dan de gravitatiekracht van de maan
zelf. Het gevolg is dat wanneer deze maan binnen de afstand rR van de planeet komt, hij door
de getijdenkracht uit elkaar gerukt wordt. Deze afstand rR wordt de Roche limiet genoemt. Vind
met behulp van de uitdrukkingen voor Fg en Ft een uitdrukking voor de Roche limiet rR .
f. Hoe groot is de Roche limiet voor een object als onze maan dat zich in het gravitatieveld van
de planeet Saturnus bevindt? Kun je hiermee een verklaring geven voor de ringen van Saturnus?
2. In deze opgave zullen we de baan berekenen van een ruimtesonde die vanaf de
Aarde opweg gestuurd wordt naar de planeet Mars.
We nemen voor het gemak aan dat zowel Aarde als Mars in perfecte cirkelbanen om
de zon bewegen. Voor deze opgave heb je o.a. de wetten van Kepler nodig. Deze
zijn te vinden in hoofdstuk 22.1 van het boek (maar moeten voor het tentamen uit
het hoofd gekend worden!).
1
a. De meest energie-voordelige manier om een sonde naar de planeet Mars te sturen, is door
deze in een elliptische baan om de zon te brengen zodanig dat het perihelium van deze baan
samenvalt met de baan van de Aarde, en het aphelium met de baan van Mars. Maak een schets
van deze baan, en bereken de eccentriciteit.
b. Hoelang heeft de sonde nodig om bij Mars te komen?
c. Hoe verhoudt de baansnelheid van de sonde op het moment dat hij vanaf de Aarde vertrekt
vp zich met de baansnelheid op het moment dat hij de planeet Mars bereikt va ?
d. We weten nu de verhouding van de baansnelheden van de sonde op perihelium en op
aphelium (resp. vp en va ), maar we weten nog niet hoe groot deze snelheden ook werkelijk zijn.
Hiervoor hebben we nog een relatie tussen va en vp nodig. Deze relatie is de wet van behoud van
energie. Geef een uitdrukking van de totale energie (kinetisch + potentieel) als functie van de
afstand tot de zon r en de baansnelheid v.
e. Gebruik deze uitdrukking om de snelheden vp en va te berekenen.
f. Welke snelheid (t.o.v. de Aarde) moeten we de sonde geven om hem in de juiste baan te
brengen?
g. Met welke snelheid (t.o.v. Mars) komt de sonde op de plaats van bestemming?
h. Stel nu dat we de sonde na een aantal maanden weer terug willen sturen naar de aarde.
Hoeveel snelheid (t.o.v. Mars) moeten we hem dan meegeven in zijn baan?
i. Uiteraard moeten we, om onze sonde uit het gravitatieveld van Mars (of de Aarde) te brengen, bij de lancering een extra snelheid meegeven, namelijk de ontsnappingssnelheid. Leid een
uitdrukking af voor deze ontsnappingssnelheid. Wat is de totale snelheid waarmee de sonde vanaf
Mars en Aarde gelanceerd moet worden?
j. Wat kost meer energie? De heenweg of de terugweg?
Constanten:
G = 6.67· 10−8 cm3 g−1 s−2
DAarde−Zon = 1.50· 1013 cm = 1 AE
DMars−Zon = 1.52 AE
DAarde−Maan = 0.00257 AE
RAarde = 6.37· 108 cm
RMaan = 0.273 RAarde
RMars = 0.531 RAarde
MAarde = 5.97· 1027 g
MZon = 3.33· 105 MAarde
MMaan = 0.0126 MAarde
MSaturnus = 95.2 MAarde
MMars = 0.107 MAarde
2