Introductie van de Thermodynamica der Zwarte Gaten

Introductie van de Thermodynamica
der Zwarte Gaten
Wolf Weymiens
begeleider: prof. dr. E.P. Verlinde,
Instituut der Theoretische Fysica, Universiteit van Amsterdam
27 augustus 2007
Samenvatting
In dit artikel wordt een introductie gegeven voor de thermodynamica
der Zwarte Gaten. Hierbij wordt eerst iets duidelijk gemaakt over Zwarte
Gaten in het algemeen. En dan worden nieuwe coördinaten systemen
ingevoerd, om zo een handige manier te verkijgen voor het afleiden van de
Unruh temperatuur en daarbij ook het geval voor de Hawkingstraling. En
wat dat dan voor gevolgen heeft voor de theorie van de Thermodynamica
der Zwarte Gaten.
Inhoudsopgave
1 Inleiding
2
2 Zwarte Gaten
2
3 Innermost Stable Circular Orbit [2]
3
4 Coordinaten transformaties [2]
4.1 tortoise coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Eddington-Finkelstein coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Kruskal-Szekeres coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
8
9
5 Thermodynamica van Zwarte Gaten [3][4][6][7]
5.1 de 0de wet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 de 1ste wet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 de 2de wet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 de 3de wet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 van Analogie naar werkelijke Thermodynamica .
5.5.1 Unruh temperatuur [1][5][8][9] . . . . . . .
5.5.2 Hawking straling [9][1] . . . . . . . . . . .
5.6 verdamping van Zwart Gaten . . . . . . . . . . .
6 Conclusie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
12
12
14
15
16
16
27
30
31
1
1
Inleiding
Zwarte Gaten, iedereen heeft er wel eens over gehoord maar weet lang niet wat het
precies is. Veel mythes bestaan er over Zwarte Gaten die alles naar binnen zuigen
en het er niet meer uit laten. Dit laatste is niet helemaal waar dat weten we nu wel
zeker, hij zuigt het er niet in maar hij is gewoon zo enorm zwaar dat je heel veel kracht
en vermogen nodig hebt om aan zijn zwaartekracht te ontsnappen, tot je voorbij de
waarneemhorizon komt want dan is het onmogelijk geworden om er weer uit te komen.
Ook blijkt een Zwart Gat een thermodynamische eigenschappen te hebben, dit kwam
in opkomst toen Stefan Hawking zijn theorie verzon over de temperatuur en het stralen
van een Zwart Gat.
Maar is er nog veel meer te ontdekken aan een Zwart Gat. Zo is het het ideale onderzoeksgebied naar de Algemene Relativiteits Theorie vanwege de extreme omstandigheden, en misschien kunnen er wel bewijzen gevonden worden voor nieuwe theorien zoals
Quantum Gravitatie.
Dit artikel geeft een inleiding in de Thermodynamica der Zwarte Gaten, door te kijken naar de analogiën met de Thermodynamica, en te bewijzen dat een Zwart Gat
Hawkingstraling produceerd. Hierdoor is het heel aannemelijk om een Zwart Gat te
zien als een Thermodynamisch systeem.
2
Zwarte Gaten
Zwarte Gaten worden compleet beschreven door maar 3 parameters, dit zijn de Massa
van het Zwarte Gat, M , zijn totale Impulsmoment, J, en zijn Lading, Q.
Als je deze drie eigenschappen van het Zwarte Gat weet, kun je alles zeggen over
dat Zwarte Gat. Dit wordt ook wel het No-Hair principe genoemd. Dat maakt dat
de problemen betreffende Zwarte Gaten vereenvoudigd kunnen worden door de grote
mate van symmetrie. Zo is onder andere een Zwarte Gat perfect spherisch symmetrisch, waardoor je een rotationele invariantie krijgt wat zorgt voor een behoud van
Impulsmoment. Bij de beschrijving van Zwarte Gaten wil je eigenlijk weten hoe test
deeltjes zich gedragen in de aanwezigheid van een Zwarte Gat, dit wordt beschreven
door de Metriek van zo een ruimte-tijd configuratie. Aangezien de ruimte-tijd gekromd
wordt door de aanwezigheid van massa, kun je niet gebruik maken van de normale
Minkowski-metriek:
ds2 = −c2 dt2 + dr2 + r2 dΩ2
(1)
Met dΩ2 = dθ2 + sin θ2 dθ2
Maar zul je rekening moeten houden met een verandering van de metriek in aanwezigheid van een massa, dit is gedaan door Karl Schwarzschild in 1915:
ds2 =
1−
2GM
c2 r
−1
2GM
c2 dt2 − 1 − 2
dr2 − r2 dΩ2
c r
(2)
Na Schwarzschild zijn er ook meer algemene oplossingen van de Einstein vergelijkingen gevonden. De metriek, rekening houdende met de lading van een Zwart Gat
werd gevonden door Gunnar Nordström en Hans Reissner. Ook werd de metriek
van een niet-geladen roterend Zwart Gat gevonden door Roy Kerr. Maar de totale
2
beschrijving met lading en met Impulsmoment, wordt gegeven door de Kerr-Newman
metriek:
ds2 = −
2 sin θ2 2
2 ρ2
∆
dt − a sin θ2 dφ +
r + a2 dφ − adt + dr2 + ρ2 dθ2
2
2
ρ
ρ
∆
(3)
Met:
∆ = r2 − 2M r + a2 + Q2
ρ2 = r2 + a2 cos θ2
J
a= M
Voor een Zwart Gat in de Kerr-Newman metriek geldt:
a2 + Q2 < M 2
(4)
Want als a te groot wordt t.o.v. M zal de middelpuntvliegende kracht groter worden dan de aantrekkende zwaartekracht, en valt het Zwarte Gat uit elkaar. Hetzelfde
geldt voor de afstotende elektrische kracht t.o.v. de aantrekkende zwaartekracht.
3
Innermost Stable Circular Orbit [2]
Om de eigenschappen van een Zwart gat verder te bestuderen, moeten we nog verder
kijken naar het gedrag van test deeltjes in de buurt van zo een Zwart Gat. Aller eerst
merken we op dat als zo een deeltje een behoorlijke tijd buiten het Zwarte Gat wil
blijven, het met relativistische snelheden zal moeten bewegen om niet direct op het
Zwarte Gat te vallen. Hierdoor is de energie van zo een deeltje:
2GM
(5)
E = γmc2 1 − 2
c r
Waarin de tweede term komt van de gravitationele energie. Hieruit volgt nu dat:

E = γmc2 1 − 2GM

c2 r
dt
2GM
1− 2
⇒ E = mc2

dτ
c r
dt = γdτ
dt
Voor het bepalen van dτ
kijken we terug naar de geometrie van de ruimte-tijd in dit
probleem, en pakken er de Schwarzschild metriek (vgl 2) bij, daaruit volgt namelijk:
dt
dτ
2
−2 2
2 −1
2GM
r2
dφ
2GM
dr
= 1− 2
−
+ 1− 2
c r
dτ
dτ
c r
1 − 2GM
c2 r
(6)
Hierbij is de symmetrie van het systeem gebruikt om de θ afhankelijkheid er uit
te werken, je kunt namelijk altijd zeggen dat je tegen de evenaar (θ = π/2) aan zit te
kijken aangezien het Zwarte Gat toch perfect spherisch symmetrisch is. Door dit nu
in te vullen in de formule voor E 2 krijg je:
E 2 = (mc2 )2
dt
dτ
2 3
1−
2GM
c2 r
2
1 E2
1
=
2 m2 c2
2
⇒
dr
dτ
2
−
GM
L2
GM L2
1
+
− 2 2 3 + c2
2
2
r
2m r
m c r
2
(7)
Met L = mr2 dφ
het Impulsmoment van het deeltje.
dτ
Om dit wat overzichtelijker te maken, verdelen we de energie van het deeltje in zijn
rustenergie en de rest van de energie:
E = mc2 + E 0
(8)
1
GM m
L2
GM L2
E 02
mṙ2 −
+
−
−
(9)
2
r
2mr2
mc2 r3
2mc2
Wat een heel mooie uitkomst is voor de energie van het deeltje je ziet duidelijk
een kinetische term, de tweede term komt overeen met de gravitationele energie van
het deeltje. De derde term is gelijk aan de rotationele energie van het deeltje, en de
laatste twee termen komen alleen voor in het relativistisch geval. Deze twee termen
gaan allebei ∝ c12 waardoor ze in de niet-relativistische limiet verdwijnen zoals het
hoort. Maar wat zegt dit nu over de beweging van het deeltje, je ziet dat zijn totale
energie wordt opgebouwd uit zijn rustenergie zijn kinetische energie en een potentiële
energie bestaande uit vier termen. Deze potentiaal van het deeltje is erg afhankelijk
van zijn Impulsmoment, L, wat duidelijk te zien is in figuur 1.
⇒
E0 =
Figuur 1: De potentiaal die een testdeeltje voelt in de buurt van een veel
zwaarder Zwart Gat, voor verschillende waardes van het impulsmoment L van
het testdeeltje. Hierbij gaan de grafieken van hoog naar laag ook van meer
naar minder Inpulsmoment. Je ziet daarbij dat bij een bepaalde waarde van het
Impulsmoment (de middelste lijn) de potentiaalpiek verdwijnt zodat het deeltje
ongehinderd verder kan vallen.
GM m
L2
GM L2
E 02
+
−
−
(10)
r
2mr2
mc2 r3
2mc2
Wat nu interessant is om te bekijken is bij welke waarde van de Impulsmoment is
de potentiaalpiek verdwenen en valt het deeltje direct in het Zwarte Gat. Hiervoor
kijken we wanneer de twee maxima samenvallen, want bij lagere Impulsmomenten zal
V (r) = −
4
er dan geen plek meer zijn op de potentiaal die geschikt is voor het deeltje om daar te
blijven hangen (er is geen vlak stukje meer). Voor het vinden van de maxima kijken
we naar:
dV (r)
=0
(11)
dr
p
c2 L2 ± cL (cL)2 − 12(GM m)2
⇒
r± =
(12)
2GM m2 c2
Al stel je deze twee oplossingen aan elkaar gelijk vind je:
√
2 3GM m
(13)
Lmin =
c
Dus voor deze waarde voor de Impulsmoment van het deeltje zal er net nog een
plek bestaan in de potentiaal waar hij zich kan bevinden zonder direct het Zwarte Gat
in te vallen, deze komt overeen met:
GM
(14)
c2
Dit alles betekend dus dat er geen enkel deeltje met minder Impulsmoment dan
Lmin een stabiele baan kan beschrijven om een Zwart Gat, en een deeltje met precies
impulsmoment Lmin kan nog net een stabiele cirkelbaan volgen op r = rmin . Deze
laatste stabiele baan wordt ook wel de Innermost Stable Circular Orbit (ISCO) genoemd. En is geobserveerd bij accretie schijven rond heel zware objecten zoals Zwarte
Gaten maar ook rond neutronensterren zoals te zien in figuur 2.
rmin = 6
Figuur 2: een artist impression van een accretieschijf rond een neutronenster
Maar wat interessant is om even te bekijken is de energie van het deeltje dat nog
net in die laatste stabiele baan blijft hangen:
1
mc2
(15)
18
1
Dit betekend dat het deeltje 18
van zijn rustmassa-energie die hij op oneindig nog
had is kwijt geraakt tijdens het invallen op het Zwarte Gat. Dit is hij kwijt geraakt
op het moment dat hij ook impulsmoment moest veliezen om steeds dichter bij het
Zwarte Gat te komen. Dit kan onder andere gebeurd zijn door wrijving met andere
deeltjes in de accretie schijf.
V (rmin ) = −
5
4
Coordinaten transformaties [2]
Tot nu toe is onze kennis over de eigenschappen van Zwarte Gaten beperkt gebleven
tot fenomenen buiten de Scwarzschildstraal, in dit gebied kunnen we zonder problemen
gebruik maken van de bekende metrieken. Maar wat als we nu dichterbij het Zwarte
Gat willen kijken, dan is het misschien opgevallen dat er iets mis gaat met de metriek
zelf:
Bij r = 2GM/c2 wordt de tijd-coëfficiënt nul en de radiële-coëfficiënt oneindig, wat
men een coördinaten singulariteit noemt. Door de keuze van onze coördinaten kunnen
we wel iets zeggen over hoe dat punt er vanuit oneindig uitziet, maar verteld dat ons
in feite niets over de werkelijke gebeurtenissen rond dat punt.
Als je kijkt naar een radieel invallend foton, daarvoor geldt:
θ en φ zijn constant,
⇒ dθ = dφ = 0
vanwege de radiëliteit van de baan
En ds2 = 0
omdat het een foton is.
Hierdoor wordt de Schwarzschild metriek:
−1
2GM
2GM
0=− 1− 2
c2 dt2 + 1 − 2
dr2
c r
c r
(16)
Waaruit we kunnen zien dat:
−1
dt
2GM
1
=± 1− 2
dr
c r
c
(17)
Dit geeft je dus de wijdte van de lichtkegel in een ruimte-tijd diagram van het
t-r vlak. Je ziet dat bij hele grote r de helling gewoon ± 1c is, maar naar mate
r richting 2GM
gaat zal de helling van de lichtkegel steeds steiler worden, totdat
c2
dt
=
±∞
bij
r
= 2GM
(zie figuur 3). Zo lijkt het erop dat het foton nooit de
dr
c2
Schwarzschilstraal kan bereiken, maar in feite is het zo dat het foton helemaal niets
merkt van de Schwarzschildstraal en het gewoon recht door vliegt.
Figuur 3: In Schwarzschildcoördinaten lijkt het alsof lichtkegels zich sluiten als
we r = 2GM/c2 naderen
6
Het is een artefact van het coördinaten stelsel dat we gebruiken, aangezien wij
op oneindig steeds kijken naar fotonen die uitgezonden worden door het invliegende
foton en door de grote aantrekkingskracht van het Zwarte Gat komen deze fotonen
steeds met grotere tussenposen bij ons aan. Waardoor het lijkt alsof het foton wordt
afgeremd tot het een oneindige tijd duurt voor het volgende foton bij ons aankomt
wanneer het invallende foton de Schwarzschilstraal passeert.
4.1
tortoise coordinaten
Om toch iets te kunnen zeggen over het werkelijke gedrag van bijvoorbeeld fotonen
rond de Schwarzschildstraal kunnen we beter over gaan naar een ander coördinatenstelsel
waarin de tijd-coördinaat langzamer loopt langs nul-geodeten (wereldlijnen van fototen):
t = ±r∗ + constante
(18)
∗
Met de tortoise coördinaat, r :
r
−1
2GM
Hierdoor veranderd de Schwarzschild metriek naar:
2GM 2
ds = 1 − 2
−dt2 + dr∗2 + r2 dΩ2
c r
r∗ = r + 2GM ln
(19)
(20)
Waar r nu een functie is van r∗ . Dit ziet er al beter uit, er zijn geen coëfficiënten
meer die naar oneindig gaan bij r = 2GM/c2 , en de licht kegels worden niet meer
smaller bij het invallen van het foton (zie figuur 4).
Figuur 4: Schwarzschild licht kegels in tortoise coördinaten, hier blijven de licht
kegels netjes hetzelfde
Echter is nu wel het oppervlak waar we naar wilden kijken verplaatst van r = 2GM/c2
naar r∗ = −∞.
7
4.2
Eddington-Finkelstein coordinaten
Om ons coordinaten stelsel nu nog overzichtelijker te maken, gaan we ze op zo een
manier aanpassen aan nul-geodeten dat die er op een natuurlijke wijze in voorkomen.
Daarvoor nemen we:
v = t + r∗
u = t − r∗
(21)
Nu zie je mooi dat invallende nul-geodeten voldoen aan v = constant en uitgaande nul-geodeten voldoen aan u = constant. Als je dit nu om schrijft naar een
coördinatensysteem met weer de originele radiële coördinaat, r, en de tijdsafhankelijkheidscoördinaat vervangen voor de v-coördinaat. Krijg je de Eddington-Finkelstein coördinaten,
met nu als metriek de Eddington-Finkelstein metriek:
2GM
ds2 = − 1 − 2
dv 2 + (dvdr + drdv) + r2 dΩ2
(22)
c r
Dit ziet er al een stuk beter uit, als je bijvoorbeeld kijkt naar de vergelijkingen
voor de nul-geodeten in deze coördinaten:

(invallend)
 0
dv
=
−1

dr
2 1 − 2GM
(uitgaand)
c2 r
zie je dat er de lichtkegels zich netjes gedragen bij r = 2GM/c2 en dat het inderdaad een artefact was van het voormalige coördinatenstelsel dat er een singulariteit te
zien was. En nu is ook het betreffende oppervlak niet meer op oneindig maar op een
eindige coördinaat waarde.
Maar er is wel wat bijzonders te zien als je ook kijkt naar figuur 5, in plaats van dat
de lichtkegels dicht vouwen als ze de Scwarzschildstraal naderen roteren ze nu steeds
verder tot dat ze bij r = 2GM/c2 zo gekanteld zijn dat alle mogelijke toekomst gerichte
paden naar afnemende straal gericht zijn. Er is dus geen mogelijkheid, zelfs niet met
de lichtsnelheid, om na het passeren van de Schwarzschildstraal nog terug te keren
naar grotere r, dit is de waarneemhorizon van een Zwart Gat.
Figuur 5: Schwarzschild licht kegels in (v, r) coördinaten, in deze coördinaten
kun je heel goed de toekomst gerichte paden volgens zelfs voorbij r = 2GM/c2
8
4.3
Kruskal-Szekeres coördinaten
Om een nog beter inzicht te krijgen in de werkelijke geometrie van de ruite-tijd in en
rond een Zwart Gat bekijken we het Zwarte Gat nogmaals alleen dan in weer een wat
ander coördinatenstelsel: het zogenaamde Kruskal-Szekeres coördinatenstelsel.
Het lijkt er niet mooier op te worden maar uiteindelijk geeft het toch weer extra
informatie over de ruimte-tijd, ze laten wel de θ en φ coördinaten zoals ze waren maar
vervangen de t en r coördinaten voor nieuwe V en U coördinaten die als zolgt zijn
gedefineerd (met G = c = 1):
1/2 r/4M

r
t

U = 2M
−1
e
cosh 4M

r > 2M
1/2 r/4M


t
r
−1
e
sinh 4M
V = 2M
U = 1−
r
2M
1/2
er/4M sinh
t
4M



V = 1−
r
2M
1/2
er/4M cosh
t
4M


r < 2M
Met deze transformaties veranderd natuurlijk ook weer de Schwarzschild metriek:
32M 3 −r/2M
e
−dV 2 + dU 2 + r2 dΩ2
(23)
r
waar nu r weer een functie is van U en V , die impliciet volgt uit de definities van
U en V :
r
− 1 er/2M = U 2 − V 2
(24)
2M
Ook aan deze Kruskal-Szekeres metriek zie je dat er geen singulier punt is bij
r = 2M , wat dus nogmaals bewijst dat de singulariteit uit de Schwarzschild metriek
een gevolg is van de coördinaten keuze. Wat het grote voordeel van de Kruskal-Szekeres
coördinaten zijn is dat de bij behoordende Kruskal-diagrammen veel inzicht geven in
de ruimte-tijd rond een Zwart Gat, zie figuur 6.
ds2 =
In deze diagrammen zijn lijnen van constante r getekend als hyperbolen waarvoor
geldt: U 2 −V 2 = constant zoals volgt uit vergelijking 24. Voor de specifieke waarde van
r = 2M zal gelden: U 2 − V 2 = 0 en dus V = ±U wat overeenkomt met de diagonalen
uit figuur 6. Voor de waarde van r = 0, de singulariteit, zal gelden U 2 − V 2 = 1 en
dus:
p
V = + U2 + 1
(25)
Maar er is nog meer te zien, als we kijken naar de tijdsafhankelijkheid in de Kruskaldiagrammen, uit de definities van U en V volgt dat:
t
V
tanh
= ,
r < 2M
(26)
4M
U
t
U
tanh
= ,
r > 2M
(27)
4M
V
En dus geldt voor lijnen met constante t dat het rechte lijnen zijn door de oorsprong, met de ene diagonaal (U = V ) overeenstemmend met t = ∞ en de andere
(U = −V ) overeenstemmend met t = −∞. Ook kun je zien dat t = 0 op U = 0 ligt
9
Figuur 6: Er zijn twee figuren getoont van een twee dimensionale schijf van de
Schwarzschild geometrie weergegeven in Kruskal-Szekeres coördinaten. In het linker
figuur zijn lijnen van constante r en t getekend, namelijk de hyperbolen met constante
r-waardes; 0, 1.75M, 2M, 2.25M, 2.75M en 3.25M . En rechte lijnen met constante
t-waardes; 0, ±M, ±2.25M, ±3M en ±3.25M . Het witte gebied komt overeen met de
Schwarzschildcoördinaten 2M < r < ∞ en −∞ < t < +∞, dit is het gebied waar wij
leven. Alleen het deel van het diagram waarvoor geldt V > −U wordt gedekt door de
Eddington-Finkelstein coördinaten (0 < r < +∞, −∞ < v < +∞). De grijze gebieden
onder en boven de r = 0 hyperbolen zijn helemaal geen deel van de ruimte-tijd. In
het rechter figuur is een invallende tijdachtige wereldlijn te zien, met een aantal licht
kegels. Radiële lichtbundels bewegen langs 45◦ lijnen in een Kruskal-diagram
voor r < 2M en op V = 0 voor r > 2M .
Het mooie ook van de Kruskal-Szekeres coördinaten is dat ze veel meer kunnen
beschrijven dan de vorige twee coördinatenstelsels, aangezien de Schwarz-schildcoördinaten
maar het kwart van het Kruskal-diagram, U > 0 −U < V < U , kunnen beschrijven
wat overeenkomt met −∞ < t < ∞, 2M < r < ∞. Ook de Eddington-Finkelstein
coördinaten beschrijven niet zo veel, aangezien zij maar de helft (V > −U ) dekken.
Dit komt dan overeen met −∞ < v < ∞ en 0 < r < ∞.
Een andere nadeel aan de Schwarzschild coördinaten is dat de metriek veranderd
bij r = 2M , want de toenemende t is een tijdachtig richting voor r < 2M maar
ruimteachtig voor r > 2M , zo ook is toenemende r een ruimteachtige richting voor
r < 2M en een tijdachtige richting voor r > 2M . Ook hier heb je geen last meer van
in de Kruskal-Szekeres coördinaten, want dan is de richting langs V altijd tijdachtig
en de richting langs U altijd ruimteachtig.
10
Verder is het ook makkelijker om wereldlijnen van deeltjes of fotonen in en rondom
een Zwart Gat te bekijken, aangezien alle lichtkegels rechtop staan met hoeken van
45◦ ten opzichte van de V -as. Daarom zullen fotonen altijd aan:
V = ±U + constante
(28)
voldoen. Ook is duidelijk zichtbaar dat zelfs fotonen niet meer bij een verre waarnemer
op vaste straal kunnen komen als ze eenmaal de schwarzschild straal zijn gepasseerd,
zie figuur 7.
Figuur 7: in het figuur zijn twee wereldlijnen getekend; een van een verre waarnemer op vast straal (de hyperbool), en een van een vrij vallende waarnemer richting de singulariteit (de rechte lijn, met de bolletjes). Lichtbundels bewegen zich
langs 45◦ lijnen en zijn weergegeven als gestreepte lijntjes, heel duidelijk is te
zien dat de fotonen uitgezonden door de vrij vallende waarnemer steeds met
grotere tussenposen worden ontvangen door de verre waarnemer. Totdat de
vrij vallende waarnemer de Schwarzschildstraal overschreidt het foton op dat
moment uitgezonden komt pas op t = +∞ aan bij de verre waarnemer
5
Thermodynamica van Zwarte Gaten [3][4][6][7]
Stel je voor dat je een brok massa in een Zwart Gat laat vallen, dan kun je naderhand
niet meer zien wat voor materie het was. Het enige wat je kan vertellen over de materie
waar het Zwarte Gat oorspronkelijk uit ontstaan is, is de massa, het impulsmoment
en de lading van de ingevallen materie. Dit wordt ook wel de No-Hair principe van
een Zwart Gat genoemd (zie paragraaf 2).
Wat er ook moet zijn gebeurt bij het absorberen van de het brok materie is de toename
van de entropie van het Zwarte Gat, want zo een brok materie heeft altijd entropie, en
volgens de tweede wet der Thermodynamica moet de entropie in een gesloten systeem
altijd toenmenen of gelijk blijven.
11
Men heeft ook geprobeerd een manier te bedenken om de entropie van een Zwart Gat
te bepalen [4], hiervoor moet je bedenken dat materie volgens de Quantummechanica
beschreven kan worden door zijn golffunctie, en dat deze golffuncties begrensd worden
door de grootte van de Schwarzschild straal. Maar zoals bekend is worden opgesloten
golven staande golven, en aangezien je niets kunt zeggen over alle materie afzonderlijk
in een Zwart Gat zal een Zwart Gat gevult zijn met staande golven in alle soorten en
maten. De enige eigenschap van al die staande golven die we tot uiting zien komen is
de energie van de golven, namelijk in de totale massa-energie van een Zwart Gat. Als
men nu de massa(-energie) van een Zwart Gat weet, weet men ook de totale energie
in de staande golven, die bepaald worden door de frequentie en de amplitude van de
golven. Onder de aanname dat elke soort golf met bepaalde amplitude en frequentie
met even grote waarschijnlijkheid voor komt, kun je het aantal mogelijke toestanden
in een Zwart Gat bepalen. En daarmee kun je iets zeggen over de entropie van het
Zwarte Gat.
Maar als een systeem entropie bevat, heeft het volgens de thermodynamica ook
een temperatuur. Maar als iets een temperatuur heeft zal het ook straling uitzenden,
en dat terwijl ze dachten dat alles werd geabsorbeerd door een Zwarte Gaten, dus ook
straling met een lagere temperatuur dan de temperatuur van het Zwarte Gat. In hoeverre bestaat er nu een analogie met de Thermodynamica, laten we daarvoor eerst eens
kijken naar de basis van de Thermodynamica. De vier wetten der Thermodynamica:
5.1
de 0de wet
De nulde wet van de Thermodynamica luidt:
Als twee systemen of delen van hetzelfde systeem in thermisch evenwicht verkeren,
dan hebben ze dezelfde temperatuur.
Deze wet heeft dus te maken met het constant zijn van een grootheid in een bepaald
systeem. Nu weten we dat als een object perfect sferisch symetrisch is met alle massa
exact in het midden gelocaliseerd (de singulariteit), zal de oppervlakte gravitatie overal
op het oppervlak (de waarneemhorizon) even groot zijn. Dus de nulde wet van de Thermodynamica der Zwarte Gaten luidt:
Als een Zwart Gat in evenwicht is (dus niet tijdens het in elkaar vallen van de ster)
zal de oppervlakte gravitatie (κ) constant zijn over het hele oppervlak.
Dus van de nulde wet is er in ieder geval wel een analoge wet voor Zwarte Gaten.
5.2
de 1ste wet
De eerste wet is als volgt:
12
De totale energie in een gesloten systeem is behouden.
Dit is een hele algemene wet, en het is niet moeilijk te bedenken om ook het behoud
van energie van toepassing te laten zijn in een systeem met een Zwart Gat. Maar een
andere vorm van de eerste wet heeft een mooiere analogie met Zwarte Gaten, namelijk
de Thermodynamische Identiteit:
T dS = dE + pdV
(29)
De verandering van de entropie maal de temperatuur is gelijk aan verandering van
energie plus de arbeid verricht op het systeem.
Nu valt er voor Zwarte Gaten een analoge vergelijking op te stellen, daarvoor kijken we
naar de Kerr-Newman metriek (vgl. 3) maar stellen voor het gemak het impulsmoment
(J) gelijk aan nul waardoor we eigenlijk de Reissner-Nordström metriek gebruiken:
−1
2GM
Q2
2GM
Q2
2
ds = − 1 − 2 + 2 dt + 1 − 2 + 2
dr2 + r2 dΩ2
c r
r
c r
r
2
(30)
Nu zijn we benieuwd naar de eigenschappen op de horizon van dit Zwart Gat. Om
de horizon te vinden stellen we de tijd-coëfficiënt, f , gelijk aan nul. En zien dat er een
quadratische vergelijking in r uit volgt (G = c = 1):
f =1−
2M
Q2
+ 2 =0
r
r
(31)
Zo een vergelijking heeft twee oplossingen, wat betekend dat er twee horizonnen
zijn. We nemen voor de horizon die we willen bekijken de buitenste, welke zich op
straal r+ bevindt. Nu expanderen we de functie f rond r = r+ en willen dat ook deze
gelijk aan nul is:
f (r) ' f (r+ ) + (r − r+ )f 0 (r+ ) + O( r − r+ )2 = 0
(32)
hiervoor stellen we:
df (r+ ) =
df
df
df
dr +
dQ +
dM
dr
dQ
dM
=0
(33)
r=r+
waarin:
df
dQ
df
dM
=
=
2Q
r2
2
−
r
(34)
(35)
hieruit volgt dus dat:
df
(r+ )dr+
dr
⇒
⇒
r+ df
(r+ )dr+
2 dr
2
r+
df
(r+ )d
dr
4
=
−
2Q
2
dQ +
dM
2
r+
r+
(36)
=
−
Q
dQ + dM
r+
(37)
=
−
Q
dQ + dM
r+
(38)
13
De coëfficiënt voor dQ is, op een normalisatrie constante
elektrische potentiaal φ. En omdat c = 1 is dE = dM :
2
r+
df
(r+ )d
= φdQ + dE
dr
4
1
4π0
na, gelijk aan de
(39)
Een verschil nog met de Thermodynamische Identiteit is de soort van arbeid in
het systeem. De arbeid van de druk op het volume, is vervangen door de arbeid van
het elektrisch veld op de lading. Maar wat er aan de linker kant staat moet dan iets
te maken hebben met T dS, laten we het eens wat physischer proberen te maken:
2
2
r+
πr+
df
1 df
(r+ )d
(r+ )d
⇒
(40)
dr
4
π dr
4
waarin dus:
T =
1 df
(r+ )
π dr
(41)
en,
2
πr+
A
=
(42)
4
16
met A de oppervlakte van de waarneemhorizon. Er is wel een manier om te laten
df
zien dat dr
(r+ ) te maken heeft met de temperatuur, door de metriek om te schrijven in
zo een vorm dat het overeen komt met de metriek van een thermisch bad met bepaalde
de temperatuur, maar dat geeft je meteen het bewijs dat het ook echt een temperatuur
is. Ik wil graag dat bewijs op een andere manier tot stand laten komen in paragraaf
5.5.2, zodat ook meteen de relatie geimpliceerd door de 0de wet meteen duidelijk is,
dus daarom laat ik het er nu bij.
S=
5.3
de 2de wet
De Entropie van een systeem dat niet in evenwicht is zal altijd toenemen:
dS ≥ 0
(43)
in paragraaf 5.2 hebben we al gezien dat de entropie samen hangt met de oppervlakte van de waarneemhorizon en dus ook van de Massa van het Zwarte Gat:
S
=
=
=
1
A
16
1 2
πrs
4
G2 M 2
c4
(44)
(45)
(46)
Wat we weten van de massa van een Zwart Gat is dat het alleen maar kan toenemen
aangezien niets uit een Zwart Gat kan komen, zelfs niet met de lichtsnelheid, en er
wel dingen in kunnen vallen. Dus de oppervlakte van de waarneemhorizon kan alleen
maar toenemen:
dA ≥ 0
(47)
14
5.4
de 3de wet
En ook voor de laatste wet is er een analogie gevonden, de derde wet van de Thermodynamica luidt:
Een systeem met nul entropie wordt alleen bereikt wanneer de temperatuur van
het systeem gezakt is tot het absolute nulpunt (T = 0K).
Daarbij komt wel dat het onmogelijk is om de temperatuur van een systeem in een
eindig aantal stapjes naar nul te krijgen, zo ook is het onmogelijk om de entropie
van een systeem nul te laten worden in een eindig aantal stapjes. In oneindig aantal
stapjes zou het wel kunnen maar dat is een beetje lastig te realiseren.
De analogie van de temperatuur hebben we al gevonden in paragraaf 5.1, namelijk
de oppervlaktge gravitatie (κ).
Het is dus niet mogelijk om de oppervlakte gravitatie in een eindig aantal stapjes
naar nul te laten gaan. Voor het verduidelijken van dit kijken we naar een simpel
Schwazschild Zwart Gat, waarbij:
κ=
1
4GM
(48)
Je ziet hierbij dat de oppervlakte gravitatie afneemt naar mate er meer massa in
het Zwart Gat verdwijnt, maar je zou wel een oneindige hoeveelheid massa moeten
hebben om de oppervlakte gravitatie naar nul te laten gaan. Wat meer algemeen geldt:
κ = 4πµ/A
(49)
met:
A = 4π[2M (M + µ) − Q2 ],
µ = (M 2 − Q2 − J 2 /M 2 )1/2
(50)
Hier zie je dat κ ook nul kan worden als µ nul wordt, zo een Zwart Gat wordt een
extreem Zwart Gat genoemd. Maar zo een Zwart Gat heeft wel A = 4π(2M 2 − Q2 ) en
dus ook entropie. Dus voor een extreem Zwart Gat wordt er niet aan de bovenstaande
vorm van de derde wet van de Thermodynamica voldaan. Maar laten we eens kijken
hoe we sowieso een extreem Zwart Gat moeten krijgen, dan moet namelijk:
M 2 − Q2 − J 2 /M 2 = 0
(51)
gelden. Hiervoor moet je dus steeds meer lading of impulsmoment toevoegen om het
totaal dichter bij nul te laten komen.
Laten we eens kijken wat er gebeurt als je een lading q met massa m laat vallen op een
geladen niet roterend Zwart Gat, met massa M en lading Q < M . Om te proberen
de totale lading gelijk te krijgen aan de totale massa: Q + q = M + m, en zo µ = 0 te
verkrijgen. Maar al moet het deeltje in het Zwarte Gat komen moet de gravitationele
aantrekking wel groter zijn de elektrostatische afstoting, dus: mM > qQ en dus ook:
q/m < M/Q, en deze ongelijkheid verteld je dat Q + q < M + m, dus zal µ nooit nul
worden omdat de elektrostatische afstoting dan te groot wordt en de lading er dan
niet meer bij kan komen.
Zo geldt dat ook voor J, Als het impulsmoment te groot wordt kan het deeltje ook
15
niet meer op het Zwarte Gat vallen. Hij zal er dan gewoon voorbij vliegen. Ook
zijn er vele andere configuraties waarbij je bijvoorbeeld spinnende deeltjes langs de
rotatie-as van het roterende Zwarte Gat laat vallen, en ook geladen deeltjes langs de
as er in laten vallen, of zelfs magnetische monopolen in een electrische geladen Zwart
Gat laten vallen. Maar bij al deze gedachten-experimenten wordt uiteindelijk een afstotende kracht groter dan de aantrekkende kracht gevonden waardoor je nooit µ = 0
kunt bereiken.
Er is dus echt geen enkele manier om in een eindig aantal stapjes de oppervlakte
gravitatie, κ, naar nul te krijgen.
5.5
van Analogie naar werkelijke Thermodynamica
Wat we tot nu toe gedaan hebben, is de verschijnselen van Zwarte Gaten in zo een
vorm opgeschreven dat ze lijken op Thermodynamische systemen, maar dat wil nog
niet zeggen dat ze ook werkelijke thermodynmica volgen. Bijvoorbeeld wordt de oppervlakte gravitatie als een analogie van de temperatuur beschouwd, maar dat wil niet
zeggen dat een Zwart Gat ook werkelijk een Temperatuur heeft.
Maar de analogie wordt werkelijkheid op het moment dat Hawking bewijst dat Zwarte
Gaten wel degelijk straling uitzenden met het spectrum van zwarte lichaam stralers
bij een bepaalde temperatuur. En dat die grootheden evenredig zijn met de voorspelde grootheden uit de voorgaande paragrafen. Hiervoor bekijken we eerst het effect
gevonden door Bill Unruh in 1976.
5.5.1
Unruh temperatuur [1][5][8][9]
Bij het Unruh effect wordt er gekeken naar het vacuum, en hoe dat wordt gezien vanuit verschillende waarnemers. Een waarnemer die zich in hetzelfde inertiaalsysteem
bevindt als het vacuum dat we bekijken zal niets vreemds zien. Daarentegen zal een
waarnemer die ten opzichte van dat systeem een eenparige versnelling ondergaat, zal
geen vacuum meer zien maar een thermische straling alsof er zich een zwartlichaam
straler bevindt.
Met andere woorden zal de quantum toestand, die voor de ene waarnemer de grondtoestand (het vacuum) is, voor de versnellende waarnemer een toestand zijn van thermisch
evenwicht.
Hiervoor gaan we proberen een gequantiseerd scalar veld in de Minkowski ruimtetijd te beschrijven vanuit een eenparig versnellende waarnemer. Hierbij negeren we
het feit dat zo een versnelling niet voor altijd kan doorgaan omdat een waarnemer
nooit sneller dat de lichtsnelheid kan gaan. Laten we beginnen met het beschrijven
van enkele definities waar we rekening mee moeten houden bij onze afleiding.
Ons probleem bestaat namelijk uit 3 verschillende referentie kaders:
• laboratorium stelsel,
het inertiaalstelsel, beschreven met de coördinaten xµ = (t, x, y, z), wat stil staat
ten opzichte van de aarde.
16
• acceleratie stelsel,
het niet-inertiaalstelsel waarin de accelererende waarnemer zich altijd in de oorsprong bevindt. En wordt beschreven met de coördinaten (τ, ξ), waarin τ de
eigentijd is en ξ de afstand gemeten door de accelererende waarnemer is.
• comoving stelsel,
het inertiaalstelsel dat met dezelfde snelheid beweegt ten opzichte van het labstelsel als het acceleratie stelsel op tijdstip t = t0 . Hierdoor is het comoving
stelsel steeds een ander stelsel als je op een ander tijdstip, t0 , kijkt, terwijl
de vorige twee stelsels hetzelfde stelsel blijven. Het voordeel hiervan is dat
de acceleratie van de waarnemer op een tijdstip wordt gegeven door zijn 3acceleratie, ~a0 in dit stelsel. De coördinaten dan dit stelsel worden gegeven
door: x0µ = (t0 , x0 , y 0 , z 0 )
Laten we nu eens proberen de baan van de waarnemer door de Minkowski ruimttijd te beschrijven door xµ (τ ). Door de baan te parameteriseren met de eigentijd, τ ,
geldt:
dxµ
uµ uµ = 1,
met uµ =
(52)
dτ
En er bestaat een verband tussen de 4-versnelling in het lab-stelsel,
aµ =
duµ
d2 xµ
=
dτ
dτ 2
(53)
en de 3-versnelling in het comoving stelsel, namelijk:
aµ aµ = −|~a|2
(54)
waarin ~a de acceleratie van de waarnemer is in het comoving stelsel. Om dit te
laten zien kijken we naar het comoving stelsel waarin uµ (τ0 ) ≡ (1, 0, 0, 0) en dus o.a.:
dtc u0 (τ0 ) =
=1
(55)
dτ τ =τ0
Maar we willen de acceleratie in dit stelsel weten:
dτ d dτ dxµ d2 xµ =
dtc τ =τ0
dtc dτ dtc dτ τ =τ0
1
d
1 dxµ
=
u0 (τ0 ) dτ u0 (τ0 ) dτ τ =τ0
d dxµ
=
dτ dτ τ =τ0
d2 xµ =
dτ 2 τ =τ0
=
aµ (τ0 )
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
waarbij we bij de derde stap gebruik hebben gemaakt van vergelijking 55. Over de
eerste term van de acceleratie kunnen we wat meer zeggen door vergelijking 55 te
differentieren naar τ :
du0 (τ0 )
d
a0 (τ0 ) =
=
1=0
(61)
dτ
dτ
17
waardoor dus:
aµ (τ0 ) =
0,
d2 x1 d2 x2 d2 x3
,
,
dtc dtc dtc
= (0, a1 , a2 , a3 )
(62)
Hierdoor geldt dus vergelijking 54 in het comoving stelsel, en vanwege het Lorentz
invariante inproduct dus ook in alle andere inertiaalstelsels.
Met de vergelijkingen 52 en 54 kunnen we nu de baan bepalen van de waarnemer.
Voor het gemak laten we de versnelling alleen in de positieve x-richting staan (~a = ax̂),
zodat de waarnemer vanuit x = +∞ richting x = x0 (op t = t0 ) beweegt daar stil
komt te staan en dan weer versnelt richting x = +∞. Waardoor alleen x(τ ) en t(τ )
berekend moeten worden. Dit doen we door het stelsel van vergelijkingen (vgl 52 en
vgl 54) op te lossen:
uµ uµ
=
aµ aµ
=
(u0 )2 − (u1 )2 = t2 − x2 = 1
0 2 1 2 2 2
du
du
dt
dx
−
=
−
= −a2
dτ
dτ
dτ
dτ
(63)
(64)
Hierdoor krijg je:
x(τ ) = x0 −
1
1
+ cosh aτ ,
a
a
t(τ ) = t0 +
1
sinh aτ
a
(65)
Door nu de volgende randvoorwaarden:
x0 =
1
,
a
t0 = 0
(66)
te nemen, wat betekend dat de waarnemer op t0 = 0 stil staat op x0 = 1/a. Wordt
vergelijking 65:
1
1
x(τ ) = cosh aτ ,
t(τ ) = sinh aτ
(67)
a
a
2
2
2
de wereldlijn van dit pad voldoet dus aan: x − t = 1/a , wat te zien is in figuur 8:
Om nu een beschrijving kunnen te geven van velden in het lab-stelsel gezien vanuit
de accelererende waarnemer moeten we de coördinaten t en x laten afhangen van τ en
ξ, en vica versa.
Hiervoor laten we de accelererende waarnemer een stok vast houden van lengte ξ0
zodat deze mee versneld. In het comoving stelsel zal het uiteinde van de stok dan
beschreven worden door de 4-vector (τ, ξ0 ), door nu deze 4-vector te beschrijven in
coördinaten (t, x) vind je een relatie tussen de twee coördinatenstelsels.
De stok wordt in het comoving stelsel beschreven door de 4-vector sµ
com = (0, ξ0 ) die
het verschil is tussen de eindpunten (τ, 0) en (τ, ξ0 ). Omdat dit comoving stelsel een
inertiaal stelsel is van het lab-stelsel met 4-snelheid uµ (τ ) = dxµ /dτ , kun je een inverse
Lorentz-transformatie uitvoeren om de coördinaten van de stok in het lab-stelsel sµ
lab
te vinden.
! 0 !
s0lab
scom
γ γβ
=
γβ γ
s1lab
s1com
µ
hierin zijn sµ
lab de (t, x)coördinaten van het eindpunt van de stok, en scom = (0, ξ0 ) de
coördinaten van het eindpunt van de stok in het comoving stelsel. Dus:
t
=
γ 0 + γβ ξ0 = γβξ0
(68)
x
=
γβ 0 + γ ξ0 = γξ0
(69)
18
Figuur 8: de wereldlijn van een uniform accelererende waarnemer in een
Minkowski ruimte-tijd. De gestreepte lijn is de licht kegel, en de waarnemer
kan de gebeurtenissen P en Q niet waarnemen en kan zelf geen signalen zenden
naar punt R
Het verschil tussen het begin- en eindpunt van de stok wordt dus gegeven door
dt
(t, x) = (γβξ0 , γξ0 ). Nu weten we uit hoofdstuk 3 dat γ = dτ
= u0 en het is ook
dx
u1
duidelijk dat β = v = dt = u0 waardoor vergelijkingen 68 en 69 veranderd naar:
t = u1 ξ 0 ,
x = u0 ξ0
(70)
Aangezien het beginpunt van de stok wordt vast gehouden door de versnelde
waarnemer beweegt die over het pad xµ (τ ), waardoor je nu dus voor elke lengte van
de stok, ξ, de coördinaten kunt opschrijven in het lab-stelsel:
t(τ, ξ)
=
x(τ, ξ)
=
dx1 (τ )
1
sinh aτ +
ξ
a
dτ
dx0 (τ )
1
cosh aτ +
ξ
a
dτ
(71)
(72)
We lossen nu deze vergelijking op met de begincondities: x0 (0) = 0, x1 (0) = a−1 ,
voor het bepalen van de relatie tussen de coördinaatstelsels (en hun inverse vergelijkingen):
t(τ, ξ) =
1+aξ
a
τ (t, x) =
sinh aτ
1
2a
ln
x+t
x−t
⇔
x(τ, ξ) =
1+aξ
a
1
ξ(t, x) = − 2a
+
cosh aτ
19
√
x2 − t 2
Met deze coördinaten (τ, ξ) wordt maar een deel van de Minkowski ruimte-tijd
gedekt. Zoals volgt uit de transformatie vergelijkingen hier boven, namelijk: −∞ <
τ < +∞ en −a−1 < ξ < +∞ wat overeen komt met x > |t| in Minkowski coördinaten
zoals te zien is in figuur 9. De accelererende versneller kan dus in zijn coördinaten
stelsel geen gebeurtenissen beschrijven buiten dit gebied. Zo zal hij nooit de gebeurtenissen P en Q kunnen beschrijven omdat deze geen informatie kunnen verzenden richting
de waarnemer omdat deze altijd buiten hun lichtkegel valt. Wel kan er informatie van
gebeurtenis R bij de waarnemer komen, maar volgens de waarnemer lijkt het signaal
niet van R te komen maar van ξ = −a−1 op t = −∞.
De waarnemer lijkt een horizon te hebben bij ξ = −a−1 , want hij kan onmogelijk
informatie verkrijgen van gebeurtenissen in het gebied ξ < −a−1 .
Een andere manier om in te zien dat er een horizon moet zijn bij ξ = −a−1 is door
te kijken naar een lijn met constante eigenlengte, ξ = ξ0 > −a−1 uit de transformatie vergelijkingen hier boven blijkt dan dat zulke paden worden beschreven door
x2 − t2 = constant en een eigen-acceleratie van:
a0 ≡ √
1
= (ξ0 + a−1 )−1
x2 − t2
(73)
Zoals te zien heeft een beweging langs een pad met ξ = −a−1 een oneindige acceleratie
nodig, wat niet mogelijk is.
Figuur 9: Het eigen coördinaten systeem van een uniforme accelererende waarnemer in de Minkowski ruimte-tijd. De hyperbolen zijn lijnen van constante
eigenafstand ξ, de hyperbool met de pijlen is de wereldlijn van de waarnemer;
ξ = 0 of x2 − t2 = a−2 . De lijnen met constante τ worden gegeven door rechte
gestippelde lijnen. De gestreepte lijn stelt de licht kegel voor, ξ = −a−1 . De
gebeurtenissen P, Q en R worden niet beschreven door de eigencoördinaten
20
Rindler ruimte
Door dit nieuwe coördinatenstelsel veranderd ook de metriek van de normale
Minkowski metriek naar een nieuwe metriek:
ds2 = dt2 − dx2 = (1 + aξ)2 dτ 2 − dξ 2
(74)
Om quantum velden theorie toe te kunnen passen in deze ruimte-tijd, kunnen we
hem beter eerst omschrijven naar een wat mooiere vorm. Hierbij hebben dτ 2 en dξ 2
dezelfde factor, om dit te verkrijgen introduceren we,
dξ = (1 + aξ)dξ˜
(75)
˜
Wat betekend voor ξ:
1
ξ˜ ≡ ln(1 + aξ)
(76)
a
−1
˜
we zien nu ook dat waar het gebied van ξ: ξ > −a was, daar het gebied van ξ;
−∞ < ξ˜ < +∞ is. En dat de metriek veranderd naar:
ds2 = e2aξ̃ (dτ 2 − dξ˜2 )
(77)
en de relatie tussen de coördinaten stelsels wordt nu:
˜ = a−1 eaξ̃ sinh aτ ,
t(τ, ξ)
˜ = a−1 eaξ̃ cosh aτ
x(τ, ξ)
(78)
Dit beschrijft de ruimte-tijd die met de Rindler ruimte-tijd wordt aangeduid.
Nu kunnen we echt gaan kijken naar velden in deze Rindler ruimte-tijd, met
aangepaste coördinaten. Ons doel daarbij is om een scalar veld, φ, in het stelsel
˜ te quantiseren. Voor het gemak kijken we nog steeds naar
van de waarnemer, (τ, ξ),
1+1 dimensionale ruimte-tijd, en naar een massaloos scalarveld.
Omdat onze metriek (77) heel erg lijkt op de gewone Minkowski metriek, alleen
dan op een fasefactor eaξ̃ na, kun je zeggen dat de actie integraal in allebei de stelsels
dezelfde vorm heeft (ook te bewijzen door gewoon de coördinaten transformatie toe te
passen op de actie integraal). We kennen de actie integraal in Minkowski ruimte-tijd:
Z
1
(∂t φ)2 − (∂x φ)2 dtdx
(79)
S[φ] =
2
Waardoor de actie integraal in de aangepaste Rindler ruimte-tijd:
Z
1
S[φ] =
(∂τ φ)2 − (∂ξ̃ φ)2 dtdx
2
(80)
wordt. De bewegingsvergelijkingen die daaruit volgen moeten dan voldoen aan:
∂2φ
∂2φ
−
= 0,
2
∂t
∂x2
∂2φ
∂2φ
−
=0
2
∂τ
∂ ξ˜2
(81)
Algemene opplossingen van deze vergelijkingen worden gegeven door:
˜ = P (τ − ξ)
˜ + Q(τ + ξ)
˜
φ(τ, ξ)
φ(t, x) = A(t − x) + B(t + x),
21
(82)
Waar A, B, P en Q willekeurige gladde functies zijn. Let wel op dat de twee oplossingen
totaal verschillend kunnen zijn, aangezien ze uit een totaal ander coördinaten stelsel
komen.
We gaan de velden, φ, nu proberen te quantiseren en de twee verschillende oplossingen uit de twee stelsels met elkaar vergelijken. Laten we eerst kijken naar φ(t, x) in
het lab-stelsel, we kunnen het veld opschrijven als een integraal over alle gecreërde en
geannihileerde deeltjes in het systeem, met daarin gesubstitueerd ωk = |k|:
Z +∞
i
dk
1 h −i(kt−kx) −
p
φ̂(t, x) =
e
âk + ei(kt−kx) â+
(83)
k
1/2
2|k|
−∞ (2π)
Met de normalisatiefactor (2π)1/2 die wordt gebruikt in een 1+1 dimensionaal stelsel
in plaats van de factor (2π)3/2 die wordt gebruikt in een 3+1 dimensionaal systeem.
â±
k zijn de creatie en annihilatie operatoren, van deeltjes die in de positieve x-richting
bewegen (k > 0) of in de negatieve x-richting bewegen (k < 0).
Om maar weer eens de symetrie van de twee ruimte-tijd stelsels te gebruiken kunnen
˜
we dit ook doen voor φ(τ, ξ):
˜ =
φ̂(τ, ξ)
Z
+∞
−∞
i
1 h −i(kτ −kξ̃) −
dk
p
b̂k + ei(kτ −kξ̃) b̂+
e
k
1/2
(2π)
2|k|
(84)
Hierin geldt weer de substitutie ωk = |k|, maar zoals te zien is zijn de creatie-, anni±
hilatie operatoren â±
k en b̂k wel degelijk verschillend.
Voor beide velden kun je nu een vacuum opschrijven namelijk:
â−
k |0M i = 0,
b̂−
k |0R i = 0
∀k
(85)
Hierin staat |0M i voor het Minkowski vacuum en |0R i voor het Rindler vacuum. En
deze zijn ook zeker verschillend omdat de creatie- en annihilatie operatoren verschillend zijn. Maar nu is de vraag welke van de twee is het echte vacuum? Om hier een
antwoord op te vinden moeten we eerst bepalen wat de twee vacua nu eigenlijk zijn.
Stel dat je een apparaat hebt die het quantum veld in de laagst mogelijke toestand
brengt. Als je deze nu in het lab-stelsel en in een accelererend ruimtschip plaatst
zullen ze twee verschillende toestanden maken, |0M i en |0R i. Als je nu met een detector metingen gaat doen aan deze twee toestanden, zul je zien dat een detector die
in rust is ten opzichte van het ruimteschip de |0R i toestand zal zien als de minst energetische, en daarom de |0M i als een aangeslagen toestand (hij detecteerd dus wel
deeltjes in dit vacuum). Daarentegen zal een detector die zich in rust bevindt ten
opzichte van het lab-stelsel geen deeltjes meten in de |0M i toestand, maar wel deeltjes
in de |0R i toestand. Tot nu toe hebben ze allebei gelijk, maar de keuze voor het echt
vacuum wordt maar weer eens bepaald door het gezichts punt van de mens. Aangezien
metingen van het vacuum om ons heen volgens ons het echte vacuum is, en dat dat toevalligerwijs in hele goede benadering een Minkowski ruimte-tijd is. Daarom is besloten
dat |0M i het ëchte vacuumı̈s, de deeltjes die gedetecteerd worden door de detector in
het ruimteschip zijn puur een gevolg van het zogenaamde Unruh-effect.
Om nu een idee te krijgen van wat de distributie is van deeltjes die gedetecteerd worden door een versnellende waarnemer in het vacuum, proberen we een relatie te vinden
±
tussen de operatoren â±
k en b̂k uit de twee verschillende stelsels. Dit doen we door
gebruik te maken van de gepaste Bogolyubov coëficiënten. Deze berekening geeft ons
22
de mogelijkheid om het Minkowski vacuum (het vacuum) te schrijven als een superpositie van aangeslagen toestanden boven op het Rindler vacuum.
Eerst gaan we het ons zelf wat makkelijker maken, door over te gaan naar lichtkegel
coördinaten zoals we ook gedaan hebben bij de Eddington-Finklestein coördinaten (zie
paragraaf 4.2):
ū
≡
t − x,
u
≡
˜
τ − ξ,
v̄ ≡ t + x;
v ≡ τ + ξ˜
(86)
(87)
hierdoor worden de relaties tussen de coördinaten stelsels een stuk eenvoudiger:
ū = −a−1 e−au , v̄ = a−1 eav
(88)
ds2 = dūdv̄ = ea(v−u) dudv
(89)
en de metrieken worden dan:
Ook de veldvergelijkingen en hun oplossingen moeten dan omgeschreven worden:
∂2
φ(ū, v̄) = 0
∂ ū∂v̄
2
∂
φ(u, v) = 0
∂u∂v
,
φ(ū, v̄) = A(ū) + B(v̄);
(90)
,
φ(u, v) = P (u) + Q(v)
(91)
Vergelijkingen 83 en 84 kunnen worden omgeschreven naar lichtkegel coördinaten,
daarvoor moet je ze wel eerst opsplitsen in delen met positieve k en negatieve k, we
beginnen met het veld in het lab-stelsel:
Z
φ̂(t, x)
=
0
i
dk
1 h i(kt+kx) −
p
e
âk + e−i(kt+kx) â+
k
1/2
2|k|
−∞ (2π)
Z +∞
i
dk
1 h −i(kt−kx) −
√
+
e
âk + ei(kt−kx) â+
k
1/2
(2π)
2k
0
(92)
(93)
Nu veranderen we de integratie variabele naar ω = |k| in het interval 0 < ω < +∞,
en doen de coördinaten transformatie:
Z +∞
i
dω
1 h −iωū −
iω ū +
−iωv̄ −
iωv̄ +
√
φ̂(ū, v̄) =
e
â
+
e
â
+
e
â
+
e
â
(94)
ω
ω
−ω
−ω
(2π)1/2 2ω
0
Het is nu inderdaad ook duidelijk dat het veld wordt opgedeeld in een functie van
ū plus een functies van v̄ zoals in vergelijking 91, hierdoor worden de functies:
Z +∞
i
dω
1 h −iωū −
iω ū +
√
Â(ū) =
e
â
+
e
â
(95)
ω
ω
(2π)1/2 2ω
0
Z +∞
i
dω
1 h −iωv̄ −
√
B̂(v̄) =
e
â−ω + eiωv̄ â+
(96)
−ω
1/2
(2π)
2ω
0
23
Dit alles kunnen we natuurlijk ook doen voor het veld beschreven vanuit het accelererende stelsel, dan volgt daaruit dat:
φ̂(u, v)
=
P̂ (u)
=
Q̂(v)
=
P̂ (u) + Q̂(v)
Z +∞
i
dΩ
1 h −iΩu −
iΩu +
√
e
b̂
+
e
b̂
Ω
Ω
(2π)1/2 2Ω
0
Z +∞
i
dΩ
1 h −iΩv −
√
e
b̂−Ω + eiΩv b̂+
−Ω
1/2
(2π)
2Ω
0
(97)
(98)
(99)
Hier is ω vervangen door Ω om onderscheid te houden tussen het accelererende stelsel
en het Minkowski stelsel. Wel moet men in gedachte houden dat formules 98 en 99
alleen geldig zijn in het gebied x > |t| omdat daar de Rindler coördinaten alleen maar
geldig zijn, dus de vergelijking van de twee velden geldt alleen in dat deel van de
Minkowski ruimte.
±
Om nu eindelijk b̂±
±Ω te kunnen uitdrukken in â±Ω voeren we een Bogolyubov
transformatie uit. We hebben het veld opgeschreven in twee verschillende coördinaten
systemen, maar als we in het ene stelsel de coördinaten omschrijven in de andere zijn
deze twee representatie van het veld aan elkaar gelijk:
φ̂(u, v) = Â(ū) + B̂(v̄) = P̂ (u) + Q̂(v)
(100)
en omdat in de transformatie formules (88) de coördinaten niet mixen gelden de twee
volgende vergelijkingen:
Â(ū(u)) = P̂ (u),
B̂(v̄(v)) = Q̂(v)
Laten we gewoon beginnen met de eerste:
Z +∞
i
dω
1 h −iωū −
√
Â(ū) =
e
âω + eiωū â+
ω
1/2
(2π)
2ω
0
Z +∞
i
1 h −iΩu −
dΩ
√
b̂Ω + eiΩu b̂+
e
=
Ω = P̂ (u)
1/2
(2π)
2Ω
0
(101)
(102)
als we nu de functie ū(u) invullen kunnen we deze vergelijking oplossen door aan allebei
de kanten de Fourier getransformeerde te nemen, laten we eerst de rechter kant doen:
(
Z +∞
b̂−
du
1
Ω , Ω > 0;
√ eiΩu P̂ (u) =
+
b̂
2|Ω|
2π
−∞
|Ω| , Ω < 0;
De Fourier transformatie van de linkerkant geeft:
Z +∞
Z ∞
Z +∞
du
dω
du iΩu−iΩū −
√ eiΩu Â(ū) =
√
[e
âω + eiΩu+iΩū â+
ω]
2π
2ω −∞ 2π
−∞
0
Z ∞
dω
+
√ [F (ω, Ω)â−
≡
(103)
ω + F (−ω, Ω)âω ],
2ω
0
Hierbij hebben we in de laatste stap gebruik gemaakt van de volgende definitie:
Z +∞
Z +∞
h
i
du iΩu−iωū
du
ω
F (ω, Ω) ≡
e
=
exp iΩu + i e−au
(104)
2π
a
∞
−∞ 2π
24
door nu beide kanten aan elkaar gelijk te stellen krijg je, voor positieve Ω de relatie:
Z ∞
+
b̂−
=
dω[αωΩ â−
(105)
ω + βωΩ âω ],
Ω
0
met de coëfficiënten αωΩ en βωΩ :
r
r
Ω
Ω
αωΩ =
F (ω, Ω),
βωΩ =
F (−ω, Ω);
ω
ω
b̂−
Ω,
ω > 0, Ω > 0.
(106)
Om b̂+
Ω te vinden moet je zoals gewoonlijk de Hermitisch geconjugeerde nemen van
waarbij je gebruik maakt van:
F ∗ (ω, Ω) = F (−ω, −Ω)
(107)
De vergelijkingen die deze relatie geven voor negatieve impuls kunnen gevonden
worden op dezelfde manier maar dan door de vergelijking B̂(v̄) = Q̂(v) op te lossen.
Nu is het eindelijk gelukt om de creatie- en annihilatie operatoren uit de Rindler
ruimte-tijd te schrijven als functie van de creatie- en annihilatie operatoren uit de
Minkowski ruimte-tijd. En omdat het veld een lineaire combinatie daarvan is, wordt
het veld beschreven vanuit het accelererende stelsel alsof het een veld is die niet in de
grondtoestand zit maar in een willekeurige combinatie van aangeslagen toestanden.
Maar wat zegt dat ons over de toestand die waargenomen wordt door de versnellende waarnemer, om iets meer te weten te komen over deze waargenomen toestand
proberen we er achter te komen wat het gemiddeld aantal deeltjes is in die toestand.
−
Dit komt overeen met de verwachtingswaarde van de telopperator, N̂Ω = b̂+
Ω b̂Ω :
hN̂Ω i
≡
=
=
=
(108)
b̂− |0M i
h0M |b̂+
ZΩ ∞Ω
Z ∞
+
∗
+
∗
−
0
−
h0M |
dω[αωΩ âω + βωΩ âω ]
dω [αω0 Ω âω0 + βω0 Ω âω0 ]|0M i
0
0
Z
dω|βωΩ |2
(109)
Z
Ω
dω |F (−ω, Ω)|2
(110)
ω
Het is mogelijk om de coëfficiënten βωΩ expliciet te bereken maar het is een stuk
makkelijk om met behulp van een truc in een keer de intgraal uit te rekenen. Daarvoor kijken we eerst kijken we eerst naar de commutatie relaties van de creatie- en
annihilatieoperatoren uit beide stelsels:
+
0
[â−
ω , âω 0 ] = δ(ω − ω ),
+
0
[b̂−
Ω , b̂Ω0 ] = δ(Ω − Ω ),
(111)
Hieruit volgt een belangrijke algemene vergelijking:
Z +∞
Z +∞
+
−
+
∗
+
∗
−
0 âω + βωΩ0 âω ]
[b̂−
,
b̂
]
=
dω[α
â
+
β
â
]
dω[αωΩ
0
ωΩ
ωΩ
ω
ω
Ω
Ω
−∞
−∞
Z
+∞
−
∗
+
∗
−
0 âω + βωΩ0 âω ]
dω[αωΩ
−∞
Z
+∞
−∞
25
+
dω[αωΩ â−
ω + βωΩ âω ]
Z
+∞
Z
−∞
+∞
=
=
−∞
+∞
Z
=
−∞
Z +∞
=
∗
− +
+ −
∗
+ −
− + 0 (âω âω − âω âω ) + βωΩ βωΩ0 (âω âω − âω âω )
dω αωΩ αωΩ
∗
∗
− +
+ − 0 − βωΩ βωΩ0 )(âω âω − âω âω )
dω (αωΩ αωΩ
∗
∗
−
+ 0 − βωΩ βωΩ0 )[âω , âω ]
dω (αωΩ αωΩ
0
∗
∗
0 − βωΩ βωΩ0 ) = δ(Ω − Ω )
dω(αωΩ αωΩ
(112)
−∞
Om nu iets meer te kunnen zeggen over vergelijking 110 vullen we in de vergelijking
112 de definities van de coëfficiënten (vgl 106) in:
Z +∞ r
ΩΩ0
0
dω
δ(Ω − Ω ) =
(113)
F (ω, Ω)F ∗ (ω, Ω0 ) − F (−ω, Ω)F ∗ (−ω, Ω0 )
2
ω
−∞
Nu kun je deze vergelijking versimpelen door F (ω, Ω) om te schrijven in een functie
van F (−ω, Ω):
πΩ
F (ω, Ω) = F (−ω, Ω)e a , ∀ ω > 0, a > 0
(114)
Om dit even te laten zien pakken we er de definitie van F (ω, Ω) (vgl 104) bij, en
vullen ω = −ω in:
Z +∞
h
du
−ω −au i
exp iΩu + i
e
(115)
F (−ω, Ω) =
a
−∞ 2π
Z +∞
h
i
ω
du
exp iΩu + i eiπ e−au
(116)
=
a
−∞ 2π
Z +∞
i
h
iπ
du
ω
=
(117)
exp iΩu + i e−a(u− a )
a
−∞ 2π
Z +∞
du
iπ
ω
=
exp iΩ(u + ) + i e−au
(118)
a
a
−∞ 2π
Z +∞
h
i −πΩ
du
ω
(119)
=
exp iΩu + i e−au e a
a
−∞ 2π
−πΩ
= F (ω, Ω) exp
(120)
a
In de derde stap hebben we hier een verschuiving van de coördinaten u → u + iπ/a
gedaan, dit mag omdat de complete functie nog steeds onder het integratie interval
ligt. Hierdoor versimpeld vergelijking 113 tot:
Z +∞ r
πΩ + πΩ0
ΩΩ0 ∗
0
δ(Ω − Ω ) = exp
−1
dω
F (−ω, Ω0 )F (−ω, Ω). (121)
a
ω2
0
En dit is waar we op gewacht hebben, want als je deze nu omschrijft en Ω = Ω0
invult krijg je:
−1
Z +∞
Ω
2πΩ
dω |F (−ω, Ω)|2 = exp
−1
δ(0)
(122)
ω
a
0
26
Hiermee hebben we dan eindelijk de verwachtingswaarde van de teloperator gevonden:
−1
Z +∞
Ω
2πΩ
hN̂Ω i =
dω |F (−ω, Ω)|2 = exp
−1
δ(0)
(123)
ω
a
0
δ(0) staat hier voor het volume van de hele ruimte waar je naar kijkt, omdat het
gemiddeld aantal deeltjes toeneemt met de grote van de ruimte. De andere term staat
dan voor de dichtheid van deeltjes met impuls Ω in dat volume:
−1
2πΩ
nΩ = exp
(124)
−1
a
Dit is een heel belangrijk resultaat verkregen door Bill Unruh, want het komt
overeen met een Bose-Einstein distributie:
−1
E
(125)
−1
n(E) = exp
kT
Waarbij E = ~|Ω| de energie van het deeltje is en T de temperatuur van het BoseEinstein gas, en k de Boltzmann-constante. Wat dus betekend dat een versnelde
waarnemer die naar het Minkowski vacuum kijkt helemaal geen vacuum ziet, zoals we
eerder al opgemerkt hadden, maar juist een distributie van deeltjes die overeen komt
met een Bose-Einstein gas met een temperatuur, de Unruh temperatuur:
2πΩc
a
=
~Ω
kT
(126)
⇒ TU ≡
5.5.2
~a
2πkc
(127)
Hawking straling [9][1]
Klassieke Zwarte Gaten werden gezien als hele massieve objecten die zo zwaar zijn dat
niets eruit kan ontsnappen zelfs niet het licht. Maar door combinatie met de Quantum
Mechanica, kan zelfs een Zwart Gat straling uitzenden. Het straalt dan alsof het een
zwartlichaam is met een bepaalde temperatuur. Een intuitieve manier om een idee te
krijgen van hoe er energie (in de vorm van deeltjes) vanuit het Zwarte Gat kan komen
en richting r = ∞ vertrekt is door gebruik te maken van het wel bekende Quantum
Mechanische effect van de paarcreatie. Hierbij wil het wel eens gebeuren dat per toeval
er een virtueel paar gecreerd wordt op de rand van de waarneemhorizon, zodat het
ene deeltje zich net binnen de Schwarzschildstraal en het andere er net buiten bevind.
Het binnenste deeltje is dan gedoemd om in de singulariteit te verdwijnen, terwijl het
andere deeltje energie ontleent aan de enorme zwaartkracht (enorme kromming van
de ruimte-tijd) waarmee het paar uit elkaar getrokken wordt zodat het virtueel paar
veranderd in een reëel paar. Dit buitenste deeltje heeft dan genoed energie vergaard
om te kunnen vertrekken richting r = ∞. En er is een deeltje uitgestraald.
Een andere manier om over de temperatuur van een Zwart Gat na te denken is het
onvermogen van een Zwart Gat om straling met te lage energie te absorberen. Net als
ieder ander object met een temperatuur kan het geen energie opnemen van straling
met een lagere temperatuur. Een bepaald Zwart Gat met straal R zal geen straling
kunnen opnemen die een veel langere golflengte heeft dan zijn straal. Hieruit kun je
dan concluderen dat straling met energiën E ~c/R zeer waarschijnlijk niet door
het Zwarte Gat geabsorbeerd worden. Van buiten af lijkt het dan net dat straling
vanaf een bepaalde temperatuur pas wordt geabsorbeerd en daar onder niet, wat dus
27
betekend dat het object in kwestie die temperatuur moet hebben.
Deze laatste mogelijkheid geeft een correcte orde van grootte van de energie voor de
uitgezonde straling, maar het blijft onzeker over hoe er nu werkelijk straling uit een
Zwart Gat wordt gezonden.
We hebben in de vorige paragraaf al gezien dat een versnellende waarnemer het
Minkowski vacuum observeerd alsof het een thermisch bad is met bepaalde temperatuur afhankelijk van zijn versnelling. Wat nu het verschil is met de afleiding van
de Unruh temperatuur, is dat we niet kijken naar de metriek van de lege Minkowski
ruimte-tijd maar dat we de Schwarzschild metriek van de ruimte-tijd rond een statisch
Zwart Gat bekijken:
−1
2GM
2GM
2
2 2
ds = 1 − 2
dr2 − r2 dΩ2
(128)
c dt − 1 − 2
c r
c r
De twee verschillende stelsels waar we in de vorige paragraaf naar keken veranderen
nu van een accelererende waarnemer naar een waarnemer op een vast straal r van het
Zwart Gat en het stelsel van de stilstaande waarnemer veranderd in een stelsel van een
waarnemer die een vrije val maakt het Zwarte Gat in. Dit valt in te zien als je bedenkt
dat een waarnemer die zich op vaste afstand van een Zwart Gat bevind, continu een
kracht moet verichten van het Zwarte Gat weg gericht. Want anders trekt het Zwarte
gat hem erin. Bij die compensatie kracht hoort dus ook een constante versnelling in
de radiële richting. Terwijl de vrije val waarnemer helemaal geen kracht uit oefend.
Verder zal de hele afleiding analoog gaan aan die van de Unruh effect. We gaan ook
weer zo een coördinaten transformatie uitvoeren zodat de metriek er bruikbaar uitziet
en waarmee we ook iets kunnen zeggen over gebeurtenissen binnen de Schwarzschildstraal.
We voeren weer tortoise coördinaten in, zodat de metriek veranderd in:
2GM
ds2 = 1 − 2
[c2 dt2 − dr∗2 ]
(129)
c r
hiervoor moet dus gelden:
dr
=
r∗ (r)
=
1−
r−
2GM
c2 r
dr∗
2GM
2GM
+
ln
c2
c2
(130)
c2 r
−1
2GM
(131)
Hierbij is de factor −2GM een intgegratie constante. We gaan nu meteen over
naar de Eddington-Finkelstein coördinaten (u, v):
u ≡ t − r∗ ,
ds2 =
1−
v ≡ t + r∗ ;
2GM
c2 r
(132)
dudv
(133)
Dit is een coördinaten systeem voor een waarnemer die op vaste afstand staat
van het Zwarte Gat, hij is dus zoals we hierboven beschreven hebben een waarnemer
28
met een constante acceleratie. En daarom geven we zijn coördinaten aan zonder een
overbar (u, v). Daarentegen krijgt de vrij vallende waarnemer wel een overbar over
zijn coördinaten:
ū ≡ t̄ − r̄, v̄ ≡ t̄ + r̄
(134)
met t̄ de eigentijd en en r̄ de eigenafstand van de vrij vallende waarnemer. Dit
coördinaten stelsel wordt ook wel het Kruskal stelsel genoemd. Een relatie tussen
het Kruskal stelsel en het accelererende stelsel (u, v) wordt gegeven door (met G = c
= 1):
u
ū
ū = −4M exp − 4M
u = −4M ln − 4M
⇔
v
v̄
v̄ = 4M exp 4M
v = 4M ln 4M
waarbij de coördinaten nu in het interval lopen:
−∞ < ū < 0,
0 < v̄ < +∞
(135)
Met op ū = 0 en v̄ = 0 de waarneemhorizon. En de metriek veranderd dan naar:
r 2M
exp 1 −
dūdv̄
(136)
ds2 =
r
2M
Je ziet nu dat bij de schwarzschildstraal r = 2M de metriek ds2 = dūdv̄ hetzelfde is als
bij de Minkowski ruimte-tijd (vgl 89), dus dat er niets geks meer aan de hand is bij het
passeren van de waarneemhorizon. Dit betekend dat er geen singulariteit is, maar dus
ook niet voor ū = 0 of v̄ = 0 en daarom kan het coördinaten stelsel (ū, v̄) uitgebreid
worden met ū > 0 en v̄ < 0 in plaats van het interval gegeven door vergelijking 135.
Maar nog steeds is er bij r = 0 een singulariteit in de metriek, vanwege de werkelijke
singulariteit in de ruimte-tijd.
De afleiding gaat nu weer compleet analoog aan die voor de Unruh temperatuur,
aangezien de coördinaten transformaties tussen een waarnemer op vaste afstand van
een Zwart Gat en een vrij vallende waarnemer, bijna gelijk zijn aan de transformaties
tussen het coördinaten stelsel van een accelererende waarnemer en die van een stilstaande waarnemer (zie vgl. 88). Ze zijn helemaal gelijk wanneer je a ≡ (4M )−1 kiest.
Dit is een heel belangrijk resultaat, want het komt er dus op neer als vanaf nu
exact dezelfde afleiding volgt alleen dan met a ≡ (4GM/c4 )−1 (als je G en c ook weer
mee neemt) dan kom je er dus op uit dat een waarnemer die zich op constante straal
van een Zwart Gat bevindt ook het vacuum rond een Zwart Gat ziet als een thermisch
bad met temperatuur:
~c3
~a
=
(137)
TH =
2πkc
8πGM k
Dit is de beroemde Hawking temperatuur.
Nu bewezen is dat een Zwart Gat wel degelijk straalt met een bepaalde temperatuur
kun je ook laten zien dat de rest van de Thermodynamische wetten voor Zwarte Gaten
hieruit volgt. Zo was κ de analoge grootheid van de temperatuur, nu is κ gelijk aan de
29
temperatuur op enkele constantes na, namelijk als je κ =
voor de Hawking temperatuur (vgl. 137) krijg je:
TH =
1
4GM
invult in de vergelijking
~c3
κ
2πk
(138)
Nu kunnen we zelfs voor de Thermodynamica der Zwarte Gaten een identiteit opstellen:
2 2
~c3
G M
κd
= dM + φdQ
(139)
2πk
c4
5.6
verdamping van Zwart Gaten
Een Zwart gat kan nu gezien worden als een spherisch object met massa M , straal
r = 2GM/c2 en een temperatuur TH . Volgens de Stefan-Boltzmann wet zal zo een
object een energie flux hebben van:
4
L = γσTH
A
(140)
waarbij γ parametereseerd voor het aantal vrijheidsgraden waarop de straling kan
voorkomen. En σ is de bekende Stefan-Boltzmann constante, en A het oppervlakte
van het Zwarte Gat:
A = 4πR2 = 16πM 2
(141)
De energieflux van de straling bepaald dus de energie- en dus ook de massa afname
van het Zwarte Gat:
γ
dM
= −L =
(142)
dt
15360πM 2
Deze vergelijking oplossen voor M , met de beginconditie M (t = 0) = M0 , geeft:
1/3
t
M3
M (t) = M0 1 −
, met tL ≡ 5120π 0
tL
γ
(143)
Uit deze berekening zou je concluderen dat een Zwart een onstabiel object is dat
gedoemd is compleet te verdampen na een levensduur van tL . Maar aangezien de
energieflux toeneemt naar mate de massa van het Zwarte gat afneemt (L ∼ 1/M 2 ) zal
de energie uitstoot enorme groottes aannemen aan het einde van zijn levensduur. Als
de straal van het Zwarte Gat in de orde van grootte van de Planck-schaal komt worden
er onbekende Quantum Gravitatie effecten verwacht waardoor het precieze einde van
een Zwart Gat niet te voorspellen is. Een mogelijke uitkomst is dat een Zwart Gat
eindigt in een restand met een microscopisch Zwart Gat die niet meer straalt, net
als electronen in de grondtoestand van een atoom ook niet meer stralen. Maar dat
zou betekenen dat de massa van een Zwart Gat in gequantiseerde toestanden moet
voorkomen en dus ook de Hawking radiatie, en dat zou misschien wel een meetbaar
effect kunnen zijn van Quantum Gravitatie.
30
6
Conclusie
De mystrieuze objecten die voorspelt worden door de Einstein vergelijkingen en die
gevonden zijn in het heelal, hebben nog vele mysterisch voor ons. Maar Zwarte Gaten
hebben een onverwachte eigenschap; aangezien aangenomen werd dat Zwarte Gaten
alles absorberen en niets er meer uit laten leek het alsof ze een temperatuur hadden van
0 K. Maar door het theoretische bewijs van Stefan Hawking dat een Zwart Gat wel
straling uitzend kun je een Zwart Gat zien als een Thermodynamisch object, dus met
een temperatuur en een entropie. Hierbij komt een effect kijken dat later is bewezen
door Bill Unruh, waarbij niet alleen een waarnemer op vaste afstand van een Zwart
Gat een temperatuur zien maar nog algemener alle accelererende waarnemers zullen
een thermisch bad zien in plaats van het Minkowski vacuum.
Referenties
[1] Introduction to Quantum Fields in Classical Backgrounds, Viatcheslav F.
Mukhanov en Sergei Winitzki, 2004
[2] Spacetime and Geometry: an introduction to general relativity, Sean M. Carroll,
hoofdstukken 5 en 12.
[3] http://www.answers.com/topic/black-hole-thermodynamics
[4] http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison
/BlackHoleThermo/BlackHoleThermo.html
[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Unruh_effect
[6] Quantum aspects of black holes, Claus Kiefer
to appear in: The Galactic Black Hole, edited by Heino Falcke and Friedrich W
Hehl, (IOP Publishing, Bristol, 2002).
http://www.citebase.org/fulltext?format=application%2Fpdf
&identifier=oai%3AarXiv.org%3Aastro-ph%2F0202032, 24–07–2006
[7] Introductory Lectures on Black Hole Thermodynamics, Ted Jacobson, Institute
for Theoretical Physics, University of Utrecht
[8] Unruh Effect, Marc Wagner,
http://theorie3.physik.uni-erlangen.de/~mcwagner/Unruh.ps.gz,
2005
08–08–
[9] Some Heuristic Semiclassical Derivations of the Planck Length, the Hawking Effect and the Unruh Effect, Fabio Scardigli, Dipartimento di Fisica dell’Universita’,
Milano, Italia http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0206/0206025v1.pdf,
09–06–2006
31