Opgaven Optimalisering in Netwerken, reducties Opgave 1 Tijdens

Opgaven Optimalisering in Netwerken, reducties
Opgave 1 Tijdens het college is door middel van een reductie (polynomiale transformatie)
vanuit het probleem SAT bewezen dat het volgende probleem NP-volledig is:
0-1 ILP
Gegeven: een geheeltallige matrix A (m × n), een geheeltallige vector b (lengte m)
Gevraagd: beslis of er een vector x ∈ {0, 1}n bestaat met Ax ≤ b.
Bewijs dat het volgende probleem ook NP-volledig is:
0-1 ILP-rat
Gegeven: een rationale matrix A (m × n), een rationale vector b (lengte m), een
rationale vector c (lengte n), en een ondergrens B ∈ Q
′.
n
Gevraagd: beslis of er een vector x ∈ {0, 1} bestaat met Ax ≤ b en cx ≥ B.
Opgave 2 Gegeven is dat zelfs het volgende probleem (een speciaal geval van 0-1 ILP) NPvolledig is.
KNAPZAK
Gegeven: een eindige verzameling U van voorwerpen, een volume v(u) ∈ ZZ + voor
elke u ∈ U , en een totaalvolume K ∈ ZZ + (volume van een “knapzak”)
P
Gevraagd: beslis of er een deelverzameling T van U bestaat met u∈T v(u) = K
(a) Ga na dat dit probleem een speciaal geval is van 0-1 ILP, zoals gedefinieerd in opgave 1.
(b) Bewijs door middel van een reductie vanuit KNAPZAK dat het volgende probleem NPvolledig is:
Equal 2-partition (EQ2PART)
Gegeven: m niet-negatieve gehele getallen bj (j = 1 . . . m)
Gevraagd:
beslisPof er een deelverzameling S van {1, . . . , m} bestaat met
P
n
j∈S bj = D := ( j=1 bj )/2
(c) Bewijs dat het probleem EQ2PART NP-volledig blijft als een extra eis wordt toegevoegd
die zegt dat de verzameling S precies m/2 elementen moet bevatten (het gegeven getal m
is even).
(d) Bewijs door middel van een reductie vanuit EQ2PART dat het volgende probleem NPvolledig is:
KNAPZAK-opt
Gegeven: 2n + 2 niet-negatieve gehele getallen ai (i = 1 . . . n) en ci (i = 1 . . . n),
b en B
Gevraagd:
beslis of P
er een vector x = (x1 , . . . , xn ) ∈ {0, 1}n bestaat met
Pn
n
i=1 ai xi ≤ b zodat
i=1 ci xi ≥ B.
Opgave 3
In het dictaat wordt een reductie gegeven van 3SAT naar PARTITION om te bewijzen dat
dit laatste probleem NP-volledig is. Geef aan waarom dezelfde constructie geen polynomiale
transformatie van SAT naar PARTITION geeft.
Opgave 4
Een clique in een graaf is een verzameling van punten die paarsgewijs verbonden zijn. Het
probleem CLIQUE is het volgende beslissingsprobleem:
Gegeven: een graaf G = (V, E) en een getal k ∈ ZZ +
Gevraagd: bevat G een clique van cardinaliteit ≥ k?
Het probleem CLIQUE is een NP-volledig probleem.
(a) Geef aan wat de (orde van grootte van de) invoerlengte is voor het probleem CLIQUE.
(b) Beredeneer dat het volgende beslissingsprobleem in de klasse NP zit.
Gegeven: een graaf G = (V, E) en een graaf H = (W, F )
Gevraagd: is H isomorf met een deelgraaf van G?
(c) Bewijs dat het probleem gegeven bij onderdeel (b) NP-volledig is.
Opgave 5
Een Hamilton pad tussen de punten u en v in de graaf G = (V, E) is een pad tussen u en v dat
alle punten van G precies één maal aandoet. Het probleem HAMILTON PAD is het volgende
beslissingsprobleem:
Gegeven: een graaf G = (V, E) en twee punten u en v uit V
Beslis of G een Hamilton pad bevat tussen u en v.
Gegeven is dat het probleem HAMILTON PAD een NP-volledig probleem is.
(a) Bewijs dat het volgende beslissingsprobleem, HAMILTON CIRCUIT, NP-volledig is, door
middel van een reductie vanuit HAMILTON PAD.
Gegeven: een graaf G = (V, E)
Beslis of G een Hamilton circuit bevat.
(b) Bewijs dat het volgende beslissingsprobleem, LANGSTE PAD, NP-volledig is.
Gegeven: een graaf G = (V, E), een lengtefunctie l : E → Q
′ , twee punten s en t
uit V , en een getal B ∈ Q
′
Beslis of G een (simpel) s–t pad heeft van lengte minstens B.