Les 2

De wondere wereld van de
kwantummechanica
Tweede les
Klassieke natuurkunde (vervolg)
Klassieke natuurkunde
Klassieke (Newtonse) Mechanica
De klassieke bewegingsvergelijking (tweede wet van Newton) is een
differentiaalvergelijking: niet alleen de functie zelf, maar ook afgeleiden
van de functie komen in de vergelijking voor.
F  ma of a 
d2x
dt 2

F
m
Dit is een tweede orde differentiaalvergelijking.
Programma van de klassieke mechanica:
Bij gegeven kracht F: bereken de plaats r als functie van de tijd (de
baanbeweging) door F/m twee keer te integreren (primitieveren). De
eerste integratie geeft de snelheid als functie van de tijd, de tweede
integratie geeft de plaats als functie van de tijd.
Hierbij krijgen we twee onbepaalde constanten. Deze leggen we vast met
begin(of rand)voorwaarden. Meestal zijn dit de plaats en de snelheid op
tijdstip t=0.
Het meest eenvoudige geval:
Kracht is nul: F=0: het vrije deeltje.
Bewegingsvergelijking: d2r/dt2=0
Kies als randvoorwaarden: v(0)=0, r(0)=0
Wat verwacht u voor de baanbeweging?
Hint: denk aan knikker op tijdstip t=0 stilliggend in krater.
y-as
x-as
Oplossing: wat is de eerste integraal, dit is de snelheid? Met andere
woorden: wat is de primitieve van 0?
Antwoord: een constante, want de afgeleide van een constante is 0.
Waaruit volgt v=const. Wat is deze constante?
Antwoord: omdat v(0)=0 moet de const=0 zijn.
U mag nu bewijzen dat de tweede integraal, dit is de baanbeweging, als
oplossing heeft r(t)=0: het deeltje blijft stilliggen in de oorsprong.
F blijft 0 maar we veranderen de randvoorwaarden: v(0) is een constante ≠0,
stel v0 (r(0) blijft 0). Toon aan: het deeltje beweegt rechtlijnig eenparig met
snelheid v0, dus r(t)=v0t.
Samenvattend: als de resultante kracht 0 is, dan volgt uit de tweede wet van
Newton (F=ma) dat het deeltje stilligt of rechtlijnig eenparig beweegt.
Dit is de eerste wet van Newton! (Hebben we die eerste wet wel nodig??)
Wat is de grafiek van plaats tegen tijd van een rechtlijnig eenparige
beweging langs de x-as?
Antwoord: een rechte lijn.
Wat stelt de helling van deze lijn voor?
Opgave: het op een na eenvoudigste geval is: kracht is een constante
ongelijk 0: F=const.. Toon aan dat de beweging nu eenparig versneld is.
Dat wil zeggen de versnelling is constant, de snelheid is evenredig met t en
de plaats is evenredig met t2 (afgezien van constanten).
Dit is de vrije worp of kogelbaan: een van de eerste en zeker niet de laatste
toepassing van de natuurkunde voor militaire doeleinden!
Aristoteles ca 350 voor Christus: het
deeltje vliegt rechtuit omhoog dankzij
impetus; zodra de impetus op is valt het
recht naar beneden,dat is de natuurlijke
baan van een vallend lichaam.
Galilei rond 1630: projectiel neemt deel
aan twee bewegingen: horizontaal een
eenparige, verticaal een eenparig
versnelde. Het resultaat is een parabolische
baan. Theoretische rechtvaardiging:
Newton (geboren in het jaar dat Galilei
stierf).
Hint: googlen of mailen [email protected].
Het op twee na eenvoudigste geval: de kracht is evenredig met de afstand
tot de oorsprong F=-kx. Dat is de 1-dimensionale harmonische oscillator:
Zie les 1.
Bewegingsvergelijking:
d 2 x t 
k
k
2
a t  
  x  t    x  t  met  
2
m
m
dt
ω is de hoeksnelheid of hoekfrequentie.
Kies randvoorwaarden x(0)=A en v(0)=0
Oplossing: x(t)=Acos(ωt).
De beweging is periodiek met periode T=2π/ω . Het aantal keren per
tijdseenheid dat de beweging zich herhaalt is de frequentie f=1/T=ω/2π.
Waaruit volgt ω=2πf.
Belang van de harmonische oscillator:
1. Fourier stelling: iedere willekeurige periodieke functie laat zich schrijven
als een som van harmonische oscillatoren met verschillende amplitudes
en frequenties. Voorbeeld: de klankkleur van een muziekinstrument zoals
een fluit of een viool is bepaald door de mate waarin behalve de
grondtoon ook boventonen een rol spelen.
Fluit G4
Viool G4
2. De harmonische beweging is de eerste benadering van een beweging
die door een dal gaat. Voorbeeld: een slinger.
Voor kleine φ is sinφ ≈ φ (hoek in radialen)
Bewegingsvergelijking:
d 2
dt 2
g
g
  sin   
l
l
is een harmonische oscillator met hoekfrequentie √(g/l)
Een voorbeeld van een gegeven baanbeweging: eenparige cirkelbeweging
(aarde om zon, maan om aarde, elektron rond proton??...).
Vraag: welke kracht hoort daarbij?
v
y
θ R
x
De hoek θ neemt eenparig toe: θ(t)= ωt . ω noemen we de hoeksnelheid.
Voor de coördinaten geldt:
x(t)=Rcos(ωt)
y(t)=Rsin(ωt)
De beweging is periodiek, met periode T=2π/ω, want als t met T toeneemt
dan neemt ωt met 2π toe. De frequentie is f=1/T=ω/2π. Waaruit volgt ω=2πf.
In een periode T legt het deeltje 1 keer de omtrek 2πR van de cirkel af met
snelheid v. Dus vT= 2πR waaruit volgt ω=v/R.
De snelheid vind je door de coördinaten te differentiëren naar de tijd.
v
y
θ R
x
Na differentiatie (zie tabel!) volgt:
vx(t)= dx(t)/dt=d{Rcos(ωt)}/dt= -ωRsin(ωt)
vy(t)= dy(t)/dt= d{Rsin(ωt)}/dt= ωRcos(ωt)
De versnelling vind je door nog een keer te differentiëren.
ax(t)=dvx(t)/dt=-ω2Rcos(ωt) =-ω2x(t)
ay(t)=dvy(t)/dt=-ω2Rsin(ωt) =-ω2y(t).
In vectornotatie: a(t)=-ω2r(t): centripetale versnelling.
De bijbehorende centripetale kracht is F=ma=-mω2r. (2-D harmonische
oscillator). N.B.: de eenparige cirkelbeweging is niet de enige oplossing van
de 2-D harmonische oscillator!
Zijn er meer voorbeelden van centripetale krachten?
Jazeker! En niet de minsten.
De zwaartekracht die de kracht tussen twee massapunten geeft:
FG
-FG
FG  G
r
m
Mm
er
2
r
M
er is een eenheidsvector in de
richting van r.
G=6,67 10-11 Nm2/kg2
is centripetaal (aantrekkend).
De coulombkracht die de elektrostatische kracht tussen twee ladingen geeft:
Qq
-FC
FC
C=9 109 Nm2/C2
FC  C 2 er
r
r
q
Q
is ook centripetaal als de ladingen een tegengesteld teken hebben. Als de
ladingen hetzelfde teken hebben dan is de kracht centrifugaal (afstotend).
proton – elektron (in H atoom)
FG= 3,6 10-47 N (aantrekkend)
FC=8,2 10-8 N (aantrekkend)
proton-proton (in He kern)
FG=3.2 10-35 N (aantrekkend)
Fc=40 N (afstotend)
Bewering: van iedere centripetale kracht is de eenparige cirkelbeweging een
oplossing (maar niet noodzakelijk de enige oplossing!). Dus ook voor de
zwaartekracht en de coulombkracht is de eenparige cirkelbeweging een
oplossing.
Newton ca 1666: banen van de 1/r2 kracht zijn kegelsnedes: ellips
(met cirkel als bijzonder geval), parabool of hyperbool. Hij geeft
daarvan in de Principia (1687) een geometrisch en niet een analytisch
bewijs.
Klassieke natuurkunde
Impuls
v
V
m
M
Twee botsende deeltjes. Wat bepaalt het effect van de botsing?
Niet alleen de snelheid maar ook de massa bepaalt het effect van de
botsing. Nuttiger in veel gevallen is daarom het product p =mv.
Dit noemen we hoeveelheid van beweging of impuls (Eng. momentum).
De tweede wet van Newton wordt dan
dv
dmv dp
F  ma  m
 (als m constant is)

dt
dt
dt
In deze vorm geldt de wet ook als m niet constant is, bijvoorbeeld bij een
raket.
Zolang Fres=0 verandert de totale impuls niet in de tijd, want alle actie-reactie
paren heffen elkaar op: wet van behoud van impuls.
Deze behoudswet geldt ook in de kwantummechanica!
Klassieke natuurkunde
Impulsmoment
Impuls is een maat voor doorgaande beweging: translatie.
Impulsmoment (Eng. angular momentum) is een maat voor rotatie ten
opzichte van een bepaald punt in de ruimte.
p θ
p│
p//
r
P
Alleen de loodrechte component van de impuls p draagt bij aan draaiing. Er
is meer draaiing naarmate de “arm” r en/of de impuls loodrecht op die arm
groter worden (denk aan een steen aan een touw).
Vandaar: impulsmoment L is “arm” maal impuls loodrecht op die arm:
L=rpsin(θ).
z
L
r
y
x
p
Van L maken we een vector. L staat loodrecht op het vlak van r en p :
“draai r naar p over de kleinste hoek en ga door volgens een rechtse
schroef” (kurkentrekker regel). Notatie: L=rxp, spreek uit:“L is r uit p” of: “L
is het vectorproduct van r en p”. Merk op: p uit r is een andere vector dan r
uit p.
y
Voorbeeld: eenparige cirkelbeweging. r
staat loodrecht op v, dus ook loodrecht op
p=mv.
L=Rmv is constant, staat loodrecht op het
vlak en wijst het vlak uit.
p
r
x
Een deeltje krijgt meer impuls door een kracht uit te oefenen: dp/dt=F.
Hoe krijgt een deeltje impulsmoment?
Daarvoor moet je een krachtmoment=arm maal kracht loodrecht op die arm
uitoefenen. Denk aan een moersleutel. Krachtmoment M is een vector
waarvoor dezelfde regel geldt als voor het impulsmoment: M=rxF. Dan geldt
dL/dt=M.
massa aan staaf
F//
F
arm r
kracht F
draaipunt
Voor het impulsmoment geldt weer een behoudswet: als het resulterende
krachtmoment nul is, dan is het impulsmoment behouden. Ook deze
behoudswet blijft gelden in de kwantummechanica.
Toepassingen: professor met fietswiel op draaikruk, gyrokompas, stabilisatie
van ruimtevaartuigen.
Het impulsmoment speelt in de kwantummechanica een belangrijke rol:
1. Het is altijd gekwantiseerd: de component van het impulsmoment langs
een gekozen richting is een geheel aantal malen ħ (heeltallig
impulsmoment) of een geheel aantal malen ½ħ (halftallig impulsmoment,
is een gevolg van spin).
2. Tussen de componenten gelden onzekerheidsrelaties: ΔLxΔLy≥½ħ |<Lz>|
etc. Gevolg is dat het impulsmoment nooit volledig langs een gekozen
oriëntatie kan liggen.
Klassieke natuurkunde
Arbeid en Energie
Als u een halter optilt, dan verricht u arbeid. Eenmaal opgetild heeft de halter
vermogen gekregen om arbeid te verrichten. De halter heeft “potentiële”
energie gekregen ten koste van uw arbeid.
Richting
gravitatieveld
F=-mg
Als u de halter laat vallen wordt deze potentiële energie omgezet in
kinetische (bewegings) energie. En als de halter op de grond ligt, dan is
de bewegingsenergie omgezet in deformatie-energie van de ondergrond
(deels veerkrachtig en daarmee potentieel) en/of de halter en in warmte.
Hoe hoger u tilt en hoe groter de massa, des te groter uw inspanning. En
naarmate de zwaartekracht meer afwijkt van de richting waarin u tilt hoeft u
minder arbeid te verrichten.
Vandaar de definitie van arbeid : W (van Work)=afgelegde weg x
component van de kracht langs die weg. W=d x Fcos(θ). Notatie: W=d.F,
spreek uit: “W is d in F” of “W is d punt F” of “W is het sacalairproduct van d
en F”.
Merk op: het inproduct is een getal (scalar) en geen vector. Merk ook op: F
in d is hetzelfde als d in F.
Als de kracht loodrecht op de weg staat is de verrichte arbeid nul. Lopen
langs een horizontaal pad, dus loodrecht op de zwaartekracht, kost dan in
principe geen arbeid. Waarom word je toch moe?
Wat is de richting van de kracht die de zon op de aarde uitoefent?
Terug naar de halter: u verplaatst een massa m over een hoogte z in een
gravitatieveld met constante gravitatieversnelling g in de negatieve zrichting. De door de kracht verrichte arbeid is dan: W= kracht langs z x
afgelegde weg=–mgz. Door deze verrichting stijgt de potentiële energie van
de halter met ΔU=mgz.
U laat de halter vallen en daarmee neemt de kinetische energie toe met ΔT.
Hoe groot is ΔT?
s
De beweging is eenparig versneld. Stel t=0 op het moment van loslaten. Er
geldt v(0)=0. Noem de afgelegde weg s en stel s(0)=0.
Dan geldt: v=at en s= ½at2. Elimineer t dan volgt: s= ½v2/a, waaruit volgt:
W= Fs=½mv2 dus de kinetische energie van de halter bij het raken van de
grond is toegenomen met ΔT= ½mv2.
Neem nu een willekeurig krachtveld:
r1
F
θ
v2
v1
ds
r2
Dan geldt dW=F.ds=dT. Als we al deze bijdragen optellen en de limiet
nemen van ds→0 krijgen we een integraal:
r2
W   F .ds 
r1
1
1
mv 22  mv12  T
2
2
De verrichte arbeid is dus gelijk aan de verandering van de kinetische
energie.
In het zwaartekrachtveld geldt ΔT=-ΔU. Dus ΔT+ΔU=0 waaruit volgt
Δ(T+U)=0. Noemen we E=T+U de mechanische energie, dan geldt hier
dus een wet van behoud van mechanische energie.
W2
B
W1
A
W3
Als de arbeid W niet afhankelijk is van de gevolgde weg dan kunnen we een
functie U(r) definiëren, zodanig dat W gelijk is aan het verschil UA-UB =-ΔU.
U heet de potentiële energie(functie). Het krachtveld noemen we dan
conservatief. In zo’n krachtveld is er behoud van mechanische energie.
Voorbeelden: massa-veer systeem zonder demping, gravitatie.
Voorbeeld van niet conservatieve kracht: wrijvingskracht.
Merk op: U is bepaald op een constante na. We kunnen het nulput van U
dus kiezen. Vaak kiezen we daarvoor het punt waar de kracht 0 is.
De wet van behoud van energie heeft in de natuurkunde de status van een
geloofsartikel: als hij niet lijkt te gelden verzinnen we een nieuw soort
energie zodanig dat de wet weer opgaat. Voorbeeld: warmte bij wrijving.
De wet van behoud van energie geldt ook in de kwantummechanica.
In een conservatief krachtveld is F.ds=dT=-dU.
Gevolg is dat we de kracht kunnen afleiden uit de potentiële energiefunctie
door het bepalen van de richtingsafgeleide of gradiënt.
De officiële notatie is F=-U of F=-grad(U). Spreek uit: “F is de negatieve
gradiënt van U.”
Helling van de raaklijn is
de gradiënt
De x-component van de grad(U) vinden we door U naar x te differentiëren,
waarbij y en z constant worden gehouden. Dit heet partieel differentiëren,
notatie U/x (dus ronde d’s!). Dus Fx=-U/x etc.
Voordeel: in plaats van met een vectorgrootheid F kunnen we werken met
een scalaire grootheid U.
Toon aan: de potentiële energiefunctie van de 1-dimensionale harmonische
oscillator is ½mω2x2.
Toon ook aan (nadat u zonodig gegoogled hebt op partieel differentiëren)
dat de potentiële energiefunctie van een centripetale kracht van het type
const/r2 (zwaartekracht, coulombkracht) gelijk is aan const/r.
1
Hint:   1     1  r    1    x 2  y 2  z2     1  1 x 2  y 2  z2  2 2x   x
x  r 
 2
 r  x
 2 
 r  x 


 2
r 2


r3
Nog een belangrijk voordeel van het gebruik van de potentiële
energiefunctie dat we danken aan Lagrange, Hamilton, Jacobi e.a.:
E=T+U=½mv2+U =p2/2m+U kan gebruikt worden als uitgangspunt voor de
oplossing van een mechanisch probleem in plaats van de tweede wet van
Newton.
We noemen E dan de hamiltoniaan of hamiltonfunctie H.
Kracht overleeft niet in de kwantummechanica maar de hamiltoniaan
wel!!
Klassieke natuurkunde
“We can scarcely avoid…”
“We can scarcely avoid the conclusion
that light consists in the transverse
undulations of the same medium
which is the cause of electric and
magnetic phenomena“
James Clerk Maxwell
Klassieke natuurkunde
James Clerk Maxwell: levensloop
1831 Geboren in Edinburgh, enigst kind van de advocaat James Clerk
Maxwell (Clerk Maxwell is een dubbele achternaam!) en Frances Cay.
1832 Famillie verhuist naar het platteland (Glenair). James ontwikkelt
zich als een ongewoon nieuwsgierig kind. ““Show me how it
doos” is never out of his mouth”. Zijn moeder onderwijst hem
thuis met onder andere bijbelstudie. Blijft zijn leven lang een
toegewijd Christen. Hij valt op door een uitzonderlijk goed
geheugen. Als achtjarige kan hij alle 176 versen van de 119e
psalm opzeggen.
1839 Zijn moeder sterft aan darmkanker, dezelfde ziekte waaraan hij op
ongeveer dezelfde leeftijd zal sterven. De ingehuurde tutor voldoet
niet en James gaat op voorspraak van zijn tante Jane Cay naar de
Edinburgh Academy.
1841-1847 Opleiding aan de Edinburgh Academy. Bijnaam “Dafty” (halve
gare) gekregen vanwege zijn plattelandsafkomst. Schoolgenoot en
vriend P.G. Tait (de latere wis- en natuurkundige): “At school he was
first regarded as shy and rather dull [...] About the middle of his school
career however he surprised his companions by suddenly becoming
one of the most brilliant among them …”. Raakt ook bevriend met
Lewis Campbell, de “dux” van de Academy en later een beroemd
classicus. Ook biograaf van Maxwell.
1846 Heeft (als Newton en Einstein!) veel belangstelling voor geometrie.
Publiceert “On the description of oval curves and those having a
plurality of foci” voorgelezen door Forbes aan de Royal Society of
Edindburgh (14 jaar oud!).
1847 Toegelaten tot Edinburgh University. Studeert Natural Philosophy,
Moral Philosophy en Mental Philosophy. Hamilton (hamilton
mechanica, quaternionen) is een van zijn leermeesters. Bestudeert
veel buiten het curriculum om, vooral gedurende midterms in Glenair.
1849 Publiceert “On the Equilibrium of Elastic Solids”. Legt daarin de basis
voor later werk over dubbele breking. Maakt gebruik van twee Nicol
prisma's, gekregen van Nicol zelf. Publiceert “The Theory of Rolling
Curves”.
1850 Gaat naar Cambridge om af te studeren. Eerst Peterhouse, later Trinity
(waar ook Newton!). Wordt lid van de Cambridge Apostles, een
geheim elite gezelschap.
1854 Studeert af als tweede ”wrangler”(hoogste graad in de wiskunde in
Cambridge; Edward Routh is eerste). Blijft in Cambridge als tutor.
1855/1856 Publiceert “On the Transformation of Surfaces by Bending” en
“On Faraday’s Lines of Force”.
1856 Solliciteert naar leerstoel Natural Philosophy in Marischal College in
Aberdeen om dicht bij zijn zieke vader te kunnen zijn. Kort na het
overlijden van zijn vader krijgt hij de benoeming.
1856-1872 Diverse publicaties over kleurenzien en
kleurenblindheid. Toont aan dat voor een
kleurenfoto drie primaire kleuren (rood, groen
en blauw) voldoende zijn.
1857 Wint de Adam’s prijs voor een artikel over de ringen van Saturnus.
Voorspelt dat het stofringen zijn. Bevestigd door de Voyager missies
van 1980-1990.
1859 Trouwt met Katherine Mary Dewar. Geen kinderen.
1860 Professoraat in Natural Philosophy bij King’s College in Londen.
Experimenteel en theoretisch werk aan de kinetische gastheorie.
Werkt aan een nieuw eenhedenstelsel voor elektromagnetisme.
1861 Lid van de Royal Society. Onderzoek aan elasticiteit en geometrie.
Publiceert “On Physical Lines of force”: 20 differentiaalvergelijkingen
in 20 onbekenden.
1864 Presenteert zijn wetten over het elektromagnetisme aan de Royal
Society. Publicatie “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”
waarin de hypothese dat licht een elektromagnetisch golfverschijnsel
is. “We can scarcely avoid…”. Hertz wekt elektromagnetische golven
op in 1887. Begin van de radiotelefonie.
1865 Keert terug naar Glenair. Accepteert als eerste het Cavendish
Professoraat in Cambridge. Zet het Cavendish laboratorium op.
1866 Ontdekt onafhankelijk van Boltzman de evenwichtsverdeling van de
moleculaire snelheden in gassen: Maxwell-Boltzmann verdeling.
Introduceert “Maxwell’s demon”.
1867 Publiceert “On Governor’s”. (centrifugaal
regelsystemen in stoommachines).
1871 Boek “Theory of Heat” verschijnt.
Ca 1873 Leert de “low Dutch language” om het
proefschrift van Van der Waals te kunnen lezen.
1873 Boek “A treatise on Electricity and Magnetism” verschijnt met zijn
4 wetten.
1876 Boek “Matter and Motion” verschijnt.
1879 Overlijdt aan darmkanker.
”No man ever met death more consciously or more calmly.”
“Aye, I suppose I could stay up that late.” Reactie van Maxwell toen
hij hoorde dat er in Cambridge een verplichte kerkdienst was om 6
uur ‘s ochtends
Klassieke natuurkunde
Maxwell vergelijkingen
Maxwell neemt in navolging van Faraday aan dat elektrische en
magnetische ladingen en stromen de bronnen zijn van elektrische E en
magnetische B velden. De Maxwell vergelijkingen drukken die velden uit
in de bronnen.
De vergelijkingen zijn niet symmetrisch in E en B omdat er wel elektrische
ladingen en stromen zijn, maar geen magnetische (?).
Eerste Maxwellvergelijking: de oppervlakte-integraal van de normale
component van de elektrische veldsterkte over een gesloten oppervlak is
gelijk aan de omsloten lading.
Voorbeeld : puntlading Q. Vanwege symmetrie wijst het veld overal naar de
puntlading toe (Q negatief) of van de puntlading af (Q positief).
r
Sla een bol rond de puntlading met straal r en voer de oppervlakteintegratie uit. Vanwege bolsymmetrie is het veld op een boloppervlak
overal even sterk en gericht langs de normaal op dit oppervlak. Dus
E.dA=EdA. Geïntegreerd wordt dit Ex4πr2. Dit stellen we gelijk aan Q/ε0.
De veldsterkte is dus E=Q/ (ε04πr2).
De kracht op een testlading q is dan (per definitie):
FC 
1 qQ
4 0 r
2
De wet van Coulomb!
De derde en de vierde wet van Maxwell zeggen dat een veranderlijk
magnetisch veld een elektrisch veld geeft en een veranderlijk elektrisch
veld een magnetisch veld (inductiewetten). Dit maakt het ontstaan van een
elektromagnetische golf mogelijk. De voortplantingssnelheid in vacuüm is
1/√(ε0μ0)≈300000 km/s. “We can scarcely avoid …”
Uit de maxwellvergelijkingen kunnen we afleiden dat
een versnelde lading elektromagnetische straling
uitzendt. Een elektron dat om een proton draait, zendt
straling uit met een frequentie die gelijk is aan de
omloopfrequentie. Gevolg is dat het elektron in een
steeds lagere baan met een steedse hogere frequentie
beweegt. In ca 10-11 seconde stort het elektron op het
proton en zendt daarbij elektromagnetische straling uit
met een continu oplopende frequentie.
Dit is (gelukkig!) in strijd met de waarneming: het waterstofatoom is stabiel.
Als het straalt dan zendt het discrete frequenties uit (lijnspectrum). Deze
frequenties passen niet bij de omloopfrequenties in een klassiek model.
De klassieke theorie faalt!
De maxwellvergelijkingen tonen aan dat het magnetisch veld
veroorzaakt door een kringstroom te vergelijken is met het magnetisch
veld van een magnetische dipool (in het gewone spraakgebruik: een
magneet). Een kringstroom gedraagt zich in een magnetisch veld dus
als een kompasnaaldje: het richt zich langs het magnetisch veld.
Een eenparig rondtollende elektron met snelheid v in een cirkel met straal
R heeft dus zowel een impulsmoment L als een magnetisch
(dipool)moment μ. Klassiek geldt: μ=-(e/2m)gL, waarin g (de Lande gfactor) de waarde 1 heeft.
Einstein en de Haas ca 1915 hebben het bestaan van
atomaire kringstromen proberen aan te tonen door
een gedemagnetiseerde magneet in een magneetveld
te hangen. Het richten van de atomaire kringstromen
en daarmee van de atomaire impulsmomenten moet
dan (impulsmoment behoud!) gecompenseerd worden
door een tegenrotatie van de magneet als geheel. Zij
vonden g≈1, volgens verwachting. Zij hadden moeten
vinden: g=2. Magnetisme is een gevolg van spin, met
een anormale g-factor!
Klassieke natuurkunde
Golven
Wat is een golf?
Een golf is een (zich voortplantende) evenwichtsverstoring in een
medium: watergolven in water, geluidsgolven in lucht, lichtgolven in
…
Welke karakteristieken heeft een (lopende) golf?
v
A
f,T
λ
•
•
•
•
•
•
•
•
•
golflengte λ (labda)
golfgetal k=1/λ of meestal k=2π/λ.
golfvector k: grootte is k, richting is v.
frequentie f (ook n (nu))
hoekfrequentie ω=2πf
periode T; T=1/f
snelheid v; golf loopt 1 golflengte per periode dus v = λ/T= λf=ω/k
amplitude A. Is een maat voor de energie die getransporteerd wordt.
trillingsrichting transversaal (b.v. licht) of longitudinaal (b.v. geluid) of
mengvorm (b.v. zee).
v
A
f,T
λ
Wat is de vergelijking van een lopende sinusgolf met snelheid v?
u  x,t   A sin  kx  t 
met k=2π/λ en ω=2πf (ter herinnering: v= λf=ω/k).
Bewijs:
1. Op een vaste positie x is f een harmonische trilling met hoekfrequentie ω
2. Op een vast tijdstip t is f een staande sinusgolf met golfgetal k.
3. Stel kx-ωt=φ (fase van de golf) Hoe snel beweegt dit punt van vaste
fase? kx=ωt+φ, dus v=dx/dt=ω/k.
Typische golfverschijnselen
Golven lopen door elkaar heen.
Deeltjes niet.
Twee coherente bronnen
geven een patroon van licht en donker
Twee tegen elkaar inlopende golven
geven een staande golf
Gevolg van het superpositiebeginsel: we mogen de uitwijkingen bij elkaar
optellen.
Een golfvergelijking
Van welke vergelijking is u(x,t)=Asin(kx-ωt) de oplossing?
De sinus geeft zichzelf terug na twee keer differentiëren op constanten na.
Twee keer (partieel!) differentiëren naar x geeft –Ak2sin(kx-ωt)
Idem naar t: –Aω2sin(kx-ωt)
Dus:
2
2
2
2
 u  x, t    u  x, t 
2  u  x, t 
 2
v
2
2
t
k
x
x 2
Dit is de vergelijking voor een lopende golf met snelheid v.
Belangrijke eigenschap: de vergelijking is lineair, dat wil zeggen als u1 en
u2 oplossingen zijn dan is ook au1+bu2 (a en b zijn willekeurige constanten)
een oplossing: superpositiebeginsel. Dit leidt tot de typische
golfverschijnselen zoals verstrooiing (diffractie) en interferentie.