Mechanica: Formularium

Mechanica: Formularium
θ < 15◦ ⇒ sinθ ≈ θ
3. cilinder:
• A = 2πr2 + 2πrh
1
Inleiding
2
Kinematica: 1 dim.
• V = πr2 h
4
Cte a:
2. x = x0 + v0 t + 12 at2
3. Actie = Reactie
3. v 2 = v0 2 + 2a(x − x0 )
3
v+v0
2
5
Kinematica: 2,3 dim.
Goniometrische formules:
2
• kin: Fwr = µkin FN
• stat: Fwr ≤ µstat FN
2. 1 + tan2 α = cos12 α
1 + cot2 α = sin12 α
2. ECB:
• arad =
3. 1 + tan2 α = sec2 α
1 + cot2 α = csc2 α
• T =
5. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
1
f
2πr
T
mv 2
r
3. Snelheids afhankelijke krachten (b is
cte):
P
• eindsnelheid:
Fy = mg − bvT = 0
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
= 2cos2 (x) − 1 = 1 − 2sin2 (x)
• eindsnelheid: vT =
2tan(x)
1−tan2 (x)
6
6. Max. 2bereik:
v sin2θ
R= 0 g
√
v = 2gh
mg
b
De zwaartekracht en de synthese van Newton
1. Zwaartekracht:
Inhoud en oppervlakte:
2
• F = G mr1 m
2
1. bol:
• A = 4πr
• G = 6, 67.10−11 N.m2 /kg2
2
• V = 43 πr3
• F~12 = −G mr12m2 r̂21
21
2. kegel:
2. Voor voorwerpen dicht bij het aardoppervlak:
• A = πr2 + πrl
• V =
v2
r
• v=
P
•
FR = maR =
tan2 α
1+tan2 α
1
1+tan2 α
tan(2x) =
Dynamica: wrijving, cirk.
beweging, weerstandskrachten
1. Wrijving:
2
1. sin α + cos α = 1
cos2 α = 1 − sin2 α
4. sin2 α =
cos2 α =
3 wetten van
1. Traagheidswet
P
2.
F = m.a
1. v = v0 + at
4. v =
Dynamica:
Newton
A
A
• mg = G mm
⇒ g = Gm
r2
r2
πr 2 h
3
A
1
A
3. Voor voorwerpen ver van het aardoppervlak:
5. Met wrijving:
• ∆K + ∆U + Fwr l = 0
2
v
A
• G mm
r 2 = m r (r = rA + h)
•
4. 3e wet van Kepler:
•
• De Planeten hebben elliptische baan
6. ontsnappingssnelheid:
q
A
= 1, 12 · 104 m/s
• vontsn = 2GM
rA
• Perkenwet
2
3
• ( TT21 ) = ( rr12 ) (met
T12
r13
=
4π 2
GMmiddelpunt )
5. Veldsterkte:
• ~g =
7
~
F
m
7. Vermogen:
[N/kg]
• P =
(=
dE
dt )
= F~ ·
• rendement: e =
1. Arbeid:
• Constante kracht:
W = F~ · d~ = F dcosθ
9
• Variabele
R b kracht R b
Rb
W =
F~ · d~l =
F⊥ dl =
F cosθdl
a
a
= F~ · ~v
Puit
Pin
Impuls
1. Impuls:
• p~ = m~v
P
p
•
F = d~
dt
3. Veersysteem:
2. Behoud van impuls:
• Fv = −kx
0
0
+ mB ~vB
• mA~vA + mB ~vB = mA~vA
• Fp = kx
Rx
• Wnet = x12 Fp (x)dx = 12 kx22 − 12 kx21
~
3. De stoot J:
4. Kinetische energie:
1
2
2 mv
d~l
dt
a
~·B
~ = ABcosθ
2. Inproduct vectoren: A
• J~ = ∆~
p = p~eind − p~begin =
(zie hfdstuk 36)
• W = ∆K =
8
dW
dt
• 1 pk = 746 Watt
Arbeid en Energie
• K=
1
2
2
2 m(v2 − v1 ) + mg(y2 − y1 ) + Fwr l = 0
1
1
2
2
2 mv1 + mgy1 = 2 mv2 + mgy2 + Fwr l
mv22
2
−
R te
tb
F~ dt
4. Elastische botsing:
mv12
2
•
Behoud van energie
1
2
2 m A vA
,2
,2
2
+ 12 mB vB
= 12 mA vA
+ 12 mB vB
• 1 Dimensie:
0
0
− vB
)
vA − vB = −(vA
1. Potentiële energie (ver van de aarde):
• 2 Dimensies:
pAx + pBx = p0Ax + p0Bx
0
0
0
0
cosθB
mA vA = mA vA
cosθA
+ mB vB
A
• U = −G m·M
r
A
A
• W = ∆U = −G m·M
+ G m·M
r2
r1
2. Potentiële energie (dichtbij de aarde):
pAy + pBy = p0Ay + p0By
0
0
0
0
0 = mA vA
sinθA
+ mB vB
sinθB
• UG = mgy
• −WG = ∆U = mgy2 − mgy1
1
1
1
2
02
02
2 mA vA = 2 mA vA + 2 mB vB
2
02
0
⇒ vA = vA + v 2B
3. Potentiële energie (elastisch):
• Uel = 21 kx2
R
• U (x) = − F (x)dx + C
5. Massamiddelpunt:
• xM M =
mA xA +mB xB
mA +mB
• xM M =
m1 x1 +...+mn xn
m1 +m2 +...+mn
• K1 + U1 = K2 + U2
• ~rM M =
P
mi ~
ri
M
• ⇒ 12 mv12 + mgy1 = 12 mv22 + mgy2
• ~rM M =
1
M
R
• F (x) = − dUdx(x)
4. Behoud van energie:
2
~rdm
mA +mB xB
M
Pn
m x
= i=1M i i
=
10
Rotatiebeweging
11
1. impulsmoment
1. hoek in radialen:
• θ=
• L = Iω [kg· m2 /s]
• L = mRv (voor een puntmassa)
l
R
• GRM: θ(rad) =
θ(◦ )
180 π
2. 2e wet van Newton voor rotatie:
P
•
τ = dL
dt
2. hoeksnelheid:
• ω=
∆θ
∆t
• ω = lim∆t→0 ∆θ
∆t =
3. behoud van impulsmoment:
P
• ( τ = 0) L = Iω =cte
dθ
dt
3. hoekversnelling:
• α=
• α=
ω2 −ω1
∆t
4. uitwendig vectorproduct (zie p.331):
∆ω
∆t
∆ω
lim∆t→0 ∆t = dω
dt
=
~ × B| = ABsinθ
• C = |A
~×A
~=0
• A
~×B
~ = −B
~ ×A
~
• A
~
d ~
dA
~
~ +A
~×
• (A × B) =
×B
4. lineaire snelheid:
• v = Rω
dt
= ω2 R
• ~a = ~atan + ~aR met θ = tan−1 ( aatan
)
R
6. f =
ω
2π
7. T =
1
f
6. precessiehoeksnelheid Ω:
[Hz]
• Ω=
[s]
• Ω=
8. kinematische
(cte α):
bewegingsvergelijkingen
• Ω=
• s = ωvt2
• acor = 2ωv
• ω = θ0 + ω0 + αt
• ω 2 = ω02 + 2αθ
9. krachtmoment [N·m (6= J)] :
12
• τ = RF sinθ
P
•
τ = Iα (2e wet van Newton: rotatie)
• I = mR2 (voor puntmassa)
2. Spanning en vervorming:
• zie p.297 voor formules
R
• I = R2 dm
• spanning =
2
12. rotationele kinetische energie:
−
F
A
[N/m2 ]
• vervorming =
∆l
l0
• synthese:
E ∆l
l0
F
A
=
[geen eenheid]
⇒E=
spanning
vervorming
3. Trek - Elasticiteitsmodulus E (zie p367)
• ∆l =
• K = 12 Iω 2
Rθ
Rω
• W = θ12 τ dθ = ω12 Iωdω
• W =
Statica
1. Voorwaarde voor evenwicht:
P
P
P
(a)
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0
P
(b)
τ =0
10. traagheidsmoment [kg·m2 ] :
1
2
2 Iω
τ
Lsinφ
M gr
L
M gr
Iω
7. Corrioliseffect:
• θ = ω0 t + 12 αt2
11. Stelling van Steiner: I = IM M + M h
~
dB
dt
~ = ~r × p~
• L
• ~τ = ~r × F~
P
~
•
~τ = ddtL
• atan = Rα
v2
R
dt
5. vectoriëel:
5. lineaire versnelling :
• aR =
Impulsmoment
1 F
E A l0
4. Schuif - Glijdingsmodulus G (zie p367)
• ∆l =
1
2
2 Iω
• P = τω
1 F
G A l0
5. druk - Compressiemodulus K (zie p367)
•
13. totale kinetische energie:
∆V
V0
1
= −K
∆P
∆P
• K = − ∆V
/V0
2
• Ktot = 12 IM M ω 2 + 12 M vM
M
3
13
Vloeistoffen
11. Wet van Torricelli:
p
• v1 = 2g(y2 − y1 )
1. Dichtheid (zie p.391)
• ρ=
m
V
12. Viscositeit:
[kg/m3 ]
• Gewicht: mg = ρV g
2. Soortelijk gewicht =
• F = ηA vl
• voor η zie p.412
ρstof
ρwater(bij4graden)
13. Oppervlaktespanning:
3. Druk P [Pa]:
• P =
• γ=
F
A
• voor γ zie p.414
• P = ρgh
•
dP
dy
14
= −ρg
• P2 − P1 = −
R y2
y1
• Fv = −kx
• T =
• P = P0 + ρgh
• x = Acos(ωt + φ)
• v = −ωAsin(ωt + φ)
4. Druk eenheden (zie p.399):
• a = −ω 2 Acos(ωt + φ)
• 1 Pa = 1 N/m
2
d2 x
dt2
• 1 atm = 1,013 · 105 N/m2 = 101,3 kPa
• 1 bar = 1,000 · 105 N/m2
ω=
• 1 torr = 1 mm Hg = 133 N/m2
2π
T
= 2πf
• x = Acos( 2πt
T + φ)
Auit
Ain
• x = Acos(2πf t + φ)
6. Wet van Archimedes (opw. kracht FB ):
• FB = ρvl gA∆h = ρvl V g
• f=
• FB = mvl g
1
2π
q
• T = 2π
• massa van de verplaatste vloeistof, dus
volume van het voorwerp
k
m
pm
k
• vmax = ωA =
7. Drijven:
q
• amax = ω 2 A =
• FB = mg
Vverplaatsing
Vvoorwerp
k
m
3. Synthese:
• Puit = Pin
•
k
+m
x=0
q
ω=
5. Mechanisch voordeel (→ Wet van Pascal):
=
1
f
2. Bewegingsvergelijkingen:
– h is diepte in vloeistof
– P0 = atmosferische druk
Fuit
Fin
Trillingen
1. Veersysteem:
ρgdy
• P2 − P1 = −ρg(y2 − y1 )
•
F
l
=
k
mA
4. Energie:
ρvoorwerp
ρvloeistof
• Uveer = 21 kx2
8. Debiet
• Etot = 12 mv 2 + 21 kx2
• massadebiet =
• volumedebiet
k
mA
∆m
∆t
= ∆V
∆t
– In de extrema: E = 12 kA2
– In de evenwichtst: E = 12 mv 2
q
k
• v=± m
(A2 − x2 )
q
x2
• v = ±vmax 1 − A
2
= Av
9. Continuı̈teitsvergelijking
• ρ 1 A1 v 1 = ρ 2 A2 v 2
• voor vloeistof (V niet afhankelijk van P):
A1 v 1 = A2 v 2
5. Slinger (voor θ < 15◦ ):
p
• ω = gl
10. Wet van Bernoulli (behoud v. E):
• a = lα
• P1 + 12 ρv12 + ρgy1 = P2 + 12 ρv22 + ρgy2
• f=
4
1
2π
pg
l
• T = 2π
q
15
l
g
• F = −mgθ
1. γ = √
6. Fysische slinger (θ < 15◦ ):
•
2
d θ
dt2
+
( mgh
I )θ
• T = 2π
q
Relativiteit
1
1−v 2 /c2
2. Lorentz-transformaties:
• x = γ(x0 + vt0 )
=0
• y = y0
I
mgh
• z = z0
7. Torsieslinger (K is stugheidscte):
• t = γ(t0 +
• τ = −Kθ
p
• ω = K/I
vx0
c2 )
• px = γ(p0x +
8. Gedempte trilling (b dempingscte):
vE 0
c2 )
• py = p0y
• pz = p0z
2
• m ddt2x + b dx
dt + kx = 0
9. Gedempte harmonische trilling:
• E = γ(E 0 + vp0x )
2
dx
d
• m dt
2 + b dt + kx = 0
3. Tijddilatie:
• x = Ae−γt cosω 0 t
• γ=
b
2m
• ω0 =
q
• t = γt0
4. Lengtecontractie:
k
m
−
b2
4m2
• ∆l = l0 /γ
• x = Ae(−b/2m)t cosω 0 t
q
k
ω0
1
b
• f 0 = 2π
= 2π
m − 4m2
• Gemiddelde levensduur:
5. Snelheidsverandering:
2m
b
• ux =
u0x +v
1+vu0x /c2
• uy =
u0y 1−v 2 /c2
1+vu0x /c2
• uz =
u0z 1−v 2 /c2
1+vu0x /c2
√
• Onderkritisch gedempt: b2 < 4mk
√
• Kritisch gedempt: b = 4mk
2
• Overkritisch gedempt: b2 > 4mk
6. Impuls:
• p = γmv
10. Eigenfrequentie f0 :
q
k
• ω0 = 2πf0 = m
7. Energie:
2
• m ddt2x + b dx
dt + kx = F0 cosωt
• A0 =
m
√
• K = (γ − 1)mc2
F
(ω 2 −ω02 )2 +b2 ω 2 /m2
• Etot = K + mc2
• Voorwerp in rust: E = mc2
ω 2 −ω 2
0
• φ0 = tan−1 ω(b/m)
• Kwaliteitsfactor Q:
–
–
8. Invarianten
0
Q = mω
b
∆ω
1
ω0 = Q
• E 2 = p2 c2 − m2 c4 ⇒ E 2 − p2 c2 = cte
• p2 t2 − x2 = p2 t02 − x02 = cte
5