Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en

Vlakke Meetkunde
Les 1
Congruentie en gelijkvormig
(Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van
de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf
de site van de Open Universiteit. )
Congruent
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn congruent als de ene figuur verplaatst kan worden
zodat hij de andere precies bedekt.
Daarbij mag gespiegeld worden.
Congruent
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden
dat hij de andere precies bedekt.
Daarbij mag gespiegeld worden.
Voorbeeld
Congruent
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden
dat hij de andere precies bedekt.
Daarbij mag gespiegeld worden.
Voorbeeld
Congruent
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden
dat hij de andere precies bedekt.
Daarbij mag gespiegeld worden.
Voorbeeld
Congruent
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden
dat hij de andere precies bedekt.
Daarbij mag gespiegeld worden.
Voorbeeld
Congruent
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden
dat hij de andere precies bedekt.
Daarbij mag gespiegeld worden.
Voorbeeld
Zelf doen
Opgave 1:
Zijn de volgende figuren congruent?
• Twee cirkels met dezelfde straal.
• Twee rechthoeken met dezelfde oppervlakte.
• Twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde omtrek.
• Twee lijnstukken van dezelfde lengte.
• Twee rechte hoeken.
Zelf doen
Antwoorden opgave 1:
Zijn de volgende figuren congruent?
• Twee cirkels met dezelfde straal. ja
• Twee rechthoeken met dezelfde oppervlakte. nee
• Twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde omtrek. nee
• Twee lijnstukken van dezelfde lengte. ja
• Twee rechte hoeken. ja
Geef voorbeelden van de niet-congruente figuren.
Gelijkvormig
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur door een vergroting of
verkleining in de andere kan worden overgevoerd.
Daarbij mag verschoven en gespiegeld worden.
Voorbeeld
Gelijkvormig
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur door een vergroting of
verkleining in de andere kan worden overgevoerd.
Daarbij mag verschoven en gespiegeld worden.
Voorbeeld
Gelijkvormig
Definitie (afspraak):
Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene figuur door een vergroting of
verkleining in de andere kan worden overgevoerd.
Daarbij mag verschoven en gespiegeld worden.
Voorbeeld
De blauwe figuur is een vergroting van de gele met een factor 2.
Gelijkvormig
Maak nu opgave 2.
Congruentie van driehoeken
Vier verschillende congruentiekenmerken:
• ZZZ: drie paar zijden gelijk;
• ZHZ: twee paar zijden gelijk en ingesloten hoeken gelijk;
• HZH: twee paar hoeken gelijk en ingesloten zijden gelijk;
• ZZR: twee paar zijden gelijk en aanliggende rechte hoek.
Congruentie van driehoeken
ZZH: twee paar zijden gelijk en aanliggende hoek is geen
juist congruentiekenmerk.
Congruentie van driehoeken
ZZH: twee paar zijden gelijk en aanliggende hoek is geen
juist congruentiekenmerk.
Gegeven: lengtes van twee zijden en een hoek.
Congruentie van driehoeken
ZZH: twee paar zijden gelijk en aanliggende hoek is geen
juist congruentiekenmerk.
Gegeven: lengtes van twee zijden en een hoek.
• Je tekent eerst de hoek.
• Op een been pas je één zijde af.
Congruentie van driehoeken
ZZH: twee paar zijden gelijk en aanliggende hoek is geen
juist congruentiekenmerk.
Gegeven: lengtes van twee zijden en een hoek.
• Je tekent eerst de hoek.
• Op een been pas je één zijde af.
• Dan pas je de andere zijde af.
• Er zijn twee niet congruente oplossingen.
Een bewijs met congruentie
Stelling
Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken.
Een bewijs met congruentie
Stelling
Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken.
Gegeven
|AC| = |BC|
(1)
Te bewijzen A = B
Een bewijs met congruentie
Stelling
Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken.
Gegeven
|AC| = |BC|
(1)
Te bewijzen A = B
Bewijs (met congruentie)
Kies M als midden van AB.
 |AM| = |BM| (2)
|CM| = |CM|
(3)
 AMC  BMC ( volgt uit (1), (2) en (3) en ZZZ)
 A = B.
Een bewijs met congruentie
Stelling
Als in een driehoek de zwaartelijn en de hoogtelijn uit een hoek
hetzelfde zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.
Een bewijs met congruentie
Stelling (opgave 3a)
Als in een driehoek de zwaartelijn en de hoogtelijn uit een hoek
hetzelfde zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.
Bewijs
M is het midden van AB.
 CM is zwaartelijn en CM is hoogtelijn.
  AMC =  BMC is recht.
|AM| = |MB| en |MC| = |MC|
  AMC is congruent met  BMC (ZHZ).
 |AC| = |BC|
C
A
M
B
Een bewijs met congruentie
Stelling (opgave 3b)
Als in een driehoek twee hoogtelijnen even lang zijn,
dan is de driehoek gelijkbenig.
Een bewijs met congruentie
Stelling (opgave 3b)
Als in een driehoek twee hoogtelijnen even lang zijn,
dan is de driehoek gelijkbenig.
Gegeven
BP en AQ zijn hoogtelijnen.
|AQ| = |BP|
A
C
P
Q
B
Een bewijs met congruentie
Stelling (opgave 3b)
Als in een driehoek twee hoogtelijnen even lang zijn,
dan is de driehoek gelijkbenig.
Gegeven
BP en AQ zijn hoogtelijnen.
|AQ| = |BP|
A
C
P
Q
Bewijs
B
|AB| = |BA| en |AQ| = |BP|
 AQB =  BAP is recht.
  ABQ is congruent met  BAP (ZZR)
  ABQ =  BAP
 Driehoek ABC is gelijkbenig (gelijke basishoeken)
Een bewijs met congruentie
Maak nu opgave 4.
Argumenten om te gebruiken
Bij evenwijdige lijnen: F-hoeken
Argumenten om te gebruiken
Bij evenwijdige lijnen: Z-hoeken
Argumenten om te gebruiken
De som van de hoeken in een driehoek:
A1 + B1 + C1 = 180
C
2
1
1
A
1
B
Argumenten om te gebruiken
De stelling van de buitenhoek:
C2 = A1 + B1
C
2
1
1
A
1
B
Argumenten om te gebruiken
De stelling van Pythagoras:
In een rechthoekige driehoek geldt dat a2 + b2 = c2.
a2
c2
b2
Voorbeeld
Stelling (opgave 5)
Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is
van de overstaande zijde, dan is die hoek recht.
Voorbeeld
Stelling (opgave 5)
Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is
van de overstaande zijde, dan is die hoek recht.
• Stap 1:Maak een geschikte tekening
Voorbeeld
Stelling (opgave 5)
Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is
van de overstaande zijde, dan is die hoek recht.
• Stap 1:Maak een geschikte tekening
C
A
M
B
Voorbeeld
Stelling (opgave 5)
Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is
van de overstaande zijde, dan is die hoek recht.
• Stap 1:Maak een geschikte tekening
C
A
M
• Stap 2: Schrijf op wat gegeven is.
B
Voorbeeld
Stelling (opgave 5)
Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is
van de overstaande zijde, dan is die hoek recht.
• Stap 1:Maak een geschikte tekening
C
A
M
• Stap 2: Schrijf op wat gegeven is.
1
|CM| = 2 |AB| = |AM| = |MB|
B
Voorbeeld
Stelling (opgave 5)
Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is
van de overstaande zijde, dan is die hoek recht.
• Stap 1:Maak een geschikte tekening
C
A
M
B
• Stap 2: Schrijf op wat gegeven is.
1
|CM| = 2 |AB| = |AM| = |MB|
• Stap 3: Welke stelling of argument kun je gebruiken?
Voorbeeld
Stelling (opgave 5)
Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek de helft is
van de overstaande zijde, dan is die hoek recht.
1
• Stap 1:Maak een geschikte tekening
• Stap 2: Schrijf op wat gegeven is.
1
|CM| = 2 |AB| = |AM| = |MB|
C
A
1
1
M
2
2
1
B
• Stap 3: Welke stelling of argument kun je gebruiken?
Δ AMC en Δ BMC zijn gelijkbenig
  A1 =  C1 en  B1 =  C2
(1)
De som van de hoeken in Δ ABC is 180 (2)
  C12 +  A1 +  B1 =  C12 +  C1 +  C2 = 180 (1) en (2)
  C12 = 90
Parallellogram
Definitie
Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden.
Parallellogram
Definitie
Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden.
Stelling (opgave 6a)
In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk.
Parallellogram
Definitie
Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden.
Stelling
In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk.
D
C
1
Bewijs
(Gegeven is de evenwijdigheid van de zijden,
gebruik dus eigenschappen van evenwijdigheid)
Trek een geschikte hulplijn (een diagonaal).
2
1
A
2
B
Parallellogram
Definitie
Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden.
Stelling
In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk.
D
C
1
2
Bewijs
(Gegeven is de evenwijdigheid van de zijden,
gebruik dus eigenschappen van evenwijdigheid)
A
Trek een geschikte hulplijn (een diagonaal).
B1 = D1 (Z- hoeken) en B2 = D2 (Z- hoeken) en BD = BD.
1
2
B
Parallellogram
Definitie
Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden.
Stelling
In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk.
D
C
1
2
Bewijs
(Gegeven is de evenwijdigheid van de zijden,
gebruik dus eigenschappen van evenwijdigheid)
A
Trek een geschikte hulplijn (een diagonaal).
B1 = D1 (Z- hoeken) en B2 = D2 (Z- hoeken) en BD = BD.
 ⊿DAB is congruent met ⊿BCD (HZH).
1
2
B
Parallellogram
Definitie
Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden.
Stelling
In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk.
D
C
1
2
Bewijs
(Gegeven is de evenwijdigheid van de zijden,
gebruik dus eigenschappen van evenwijdigheid)
A
Trek een geschikte hulplijn (een diagonaal).
B1 = D1 (Z- hoeken) en B2 = D2 (Z- hoeken) en BD = BD.
 ⊿DAB is congruent met ⊿BCD (HZH).
 B12 = D12 en A = C .
1
2
B
Parallellogram
Maak nu opgaven 6b en 6c
Rechthoek en ruit
Definities
• Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken
• Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.
Rechthoek en ruit
Definities
• Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken
• Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.
D
Stelling (opgave 9b)
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
C
A
B
Rechthoek en ruit
Definities
• Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken
• Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.
D
Stelling (opgave 9b)
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
1 2
A
Bewijs
⊿𝐴𝐷𝐶 is gelijkbenig dus A1 = C1 (zo ook A2 = C2)
⊿𝐷𝐴𝐵 ≅ ⊿𝐷𝐶𝐵 (ZHZ) dus D1 = D2
 ⊿𝐷𝑆𝐴 ≅ ⊿𝐷𝑆𝐶 (HZH)
 S1 = S2
S1 + S2= 180 S1 = S2 = 90.
1
1 2
2
S
1 2
B
1
C
Rechthoek en ruit
Maak nu opgave 9c.
Twee cirkels
Stelling (opgave 10)
Als twee cirkels elkaar snijden dan staat de verbindingslijn van de
snijpunten loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten.
Twee cirkels
Stelling (opgave 10)
Als twee cirkels elkaar snijden dan staat de verbindingslijn van de
snijpunten loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten.
Bewijs
• Maak een correcte tekening met de gegevens.
P
A
S
Q
B
Twee cirkels
Stelling (opgave 10)
Als twee cirkels elkaar snijden dan staat de verbindingslijn van de
snijpunten loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten.
Bewijs
• Maak een correcte tekening met de gegevens.
• Ga op zoek naar congruente driehoeken.
P
A
S
Q
B
Twee cirkels
Stelling (opgave 10)
Als twee cirkels elkaar snijden dan staat de verbindingslijn van de
snijpunten loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten.
Bewijs
• Maak een correcte tekening met de gegevens.
• Ga op zoek naar congruente driehoeken.
⊿𝐴𝑃𝐵 ≅ ⊿𝐴𝑄𝐵 (ZZZ)
 PAB = QAB
AP = AQ en AS = AS
 ⊿𝑃𝐴𝑆 ≅ ⊿𝑄𝐴𝑆 (ZHZ)
 De hoeken bij S zijn gelijk.
Samen zijn ze 180, dus elke hoek is 90
P
A
S
Q
B
Raakpunten aan een cirkel
Maak nu opgave 11.
De middenparallel
Gegeven
In ⊿𝐴𝐵𝐶 gaat lijn k door het midden M van AC en k is evenwijdig aan AB.
N is het snijpunt van k met BC.
C
N
Stelling
N is het midden van BC.
M
B
A
De middenparallel
Gegeven
In ⊿𝐴𝐵𝐶 gaat lijn k door het midden M van AC en k is evenwijdig aan AB.
N is het snijpunt van k met BC.
C
N
Stelling
N is het midden van BC.
M
2
1
A
B
S
Bewijs
• Teken de hulplijn door M evenwijdig aan BC met snijpunt S op AB.
A = M2 en C = M1 (F-hoeken) en AM = CM
 ⊿𝐴𝑀𝑆 ≅ ⊿𝑀𝐶𝑁 (HZH)
 |MS| = |CN| en |MS| = |BN| (overstaande zijden in parallellogram)
 |CN| = |NB|, dus N is het midden van BC.
De middenparallel
Gegeven
In ⊿𝐴𝐵𝐶 gaat lijn k door het midden M van AC en k is evenwijdig aan AB.
N is het snijpunt van k met BC.
C
N
Stelling
N is het midden van BC.
M
2
1
A
B
S
Bewijs
• Teken de hulplijn door M evenwijdig aan BC met snijpunt S op AB.
A = M2 en C = M1 (F-hoeken)
 ⊿𝐴𝑀𝑆 ≅ ⊿𝑀𝐶𝑁 (HZH)
 |MS| = |CN| en |MS| = |BN| (overstaande zijden in parallellogram)
 |CN| = |NB|
Gevolg: |MN| = |SB| = |AS| en |AB| = 2 x |MN| .
Oefenen
Bestuderen: Bladzijde 4 tot en met 8.
Maken: De opgaven 1 tot en met 14, in ieder geval de opgaven
7, 8 en 11.
Huiswerk
Inleveren: opgave 17 van bladzijde 9.