Conceptlesmateriaal Getallen

Conceptlesmateriaal Getallen
TvdB
13 juli 2012
Inhoudsopgave
0
1
2
3
Voorkennis
5
0.1
Getalverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
0.2
Rekenalgoritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Getalnotatie
15
1.1
Positiestelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2
De kommanotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3
Wetenschappelijke notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Gehele getallen
41
2.1
Deelbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.2
Gemeenschappelijke delers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.3
De hoofdstelling van de rekenkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.4
Kardinaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.5
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Reële getallen
75
3.1
Breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.2
Irrationale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.3
Algebraïsche getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.4
Compleetheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4
5
Complexe getallen
95
4.1
De wortel uit −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.2
De hoofdstelling van de algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.3
Compleetheid van C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Verzamelingenleer
107
5.1
Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2
Venndiagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3
Veel en meer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Onderzoeksopgaven
123
Verwijzingen
125
Antwoorden
127
LEIDRAAD
De cursus Getallen is een eerstejaarsvak van 5 ECTS (oftewel 140 uur!) voor de
bacheloropleiding tot tweedegraads wiskundedocent aan de HU. Het vak gaat
over de structuur van getallen, zowel bekende soorten (geheel, breuk, reëel) als
waarschijnlijk nog onbekende (zoals complexe getallen). Er worden veel onderwerpen behandeld die in eenvoudigere vorm in de onderbouw zijn terug te
vinden, maar er is ook ruimte gereserveerd voor zaken die in het tweedegraadsgebied niet meteen aan bod zullen komen. Een docent dient immers niet alleen
boven de stof te staan, maar moet ook globaal weten in welke richting zijn of
haar vak zich verder ontwikkelt en op welke manier het wordt toegepast.
In deze cursus besteden we ook voorzichtig aandacht aan algemenere wiskundige vaardigheden als bewijzen en structureren. Dit is een onderdeel van een
leerlijn die in de latere vakken in de opleiding zal worden voortgezet.
Naast dit dictaat wordt hoofdstuk 7 uit de negende editie van het boek Moderne Wiskunde vwo D2 (Moderne Wiskunde) behandeld. Dit hoofdstuk gaat
over complexe getallen. De beoogde volgorde is:
college 1
college 2
college 3
college 4
college 5
college 6
college 7
hoofdstuk 1 (getalnotatie)
begin hoofdstuk 2 (gehele getallen)
vervolg hoofdstuk 2, deel hoofdstuk 3 (reële getallen)
rest hoofdstuk 3, §4.1 en eerste deel Moderne Wiskunde
vervolg Moderne Wiskunde
rest hoofdstuk 4, hoofdstuk 5 (verzamelingenleer)
overzicht en tentamenvoorbereiding
Er is ook een kort hoofdstuk 0 met voorkennis. De stof in de kaders getiteld
‘Achtergrond’ behoort niet tot de tentamenstof.
In ieder hoofdstuk staan opgaven. Deze zijn onderverdeeld in vijf soorten:
reproductie Dit zijn opgaven waarbij je tijdens het tentamen er niet meer over
zou hoeven na te denken op welke manier je het moet aanpakken. Dat wil
niet zeggen dat dit opgaven zijn die automatisch makkelijk zijn. Ze zijn
echter wel makkelijk te leren door veel te oefenen met standaardsommen.
1
2
productie Met dit type opgaven wordt het inzicht in de stof getoetst. Het zijn
vragen waarbij niet meteen een pasklare oplossingsmethode voor handen
is. Het volgende schema van Van Streun (2011) maakt het onderscheid tussen reproductie en productie duidelijk. De twee linker oplossingen vallen
onder reproductie, de rechter onder productie.
discussie Dit soort vragen gaat vaak over didactische aspecten. Kenmerk is dat
je een persoonlijke afweging van voor- en nadelen zult moeten maken. Of
een antwoord goed of fout is, hangt af van de argumentatie die je geeft; er
is in ieder geval niet een uniek juist antwoord.
ster De ∗-opgaven overstijgen het tentamenniveau.
onderzoek Zes onderzoeksopdrachten zijn opgenomen in een aparte bijlage.
Deze opdrachten zouden over de groep kunnen worden verdeeld, waarna
ieder college een groepje hun opgave presenteert. De precieze omgang met
de opgaven is afhankelijk van de groepsgrootte, de contacttijd, de didactische keuzes van de docent, etc.
In de studiewijzer is precies voorgeschreven welke opgaven worden behandeld. Er is de mogelijkheid om de studenten keuzes te laten maken, met name in
de productie- en ∗-opgaven. De conceptmaps op het titelblad van ieder hoofdstuk, vormen een beknopt overzicht van de stof en kunnen in de tentamenvoorbereiding als leidraad gebruikt worden.
De uitwerkingen van de opgaven staan achterin. Bekijk je dit document digitaal, dan kun je op het icoontje ‘ A link O ’ klikken om tussen opgave en uitwerking
heen en weer te gaan.
LEIDRAAD
3
Bij sommige voorbeelden zijn filmfragmenten beschikbaar.
Deze vind je door op de gegeven link te klikken of via Sharepoint.
In dit vak worden de volgende onderwerpen uit de Kennisbasis (HBO-raad,
2009) behandeld:
Domein 3: Algebra
• uit categorie 1 (Elementaire algebra) de verzamelingenleer
• uit categorie 2 (Getalverzamelingen) alles behalve: modulorekenen,
het oplossen van lineaire diophantische vergelijkingen, en de capita
selecta; in ieder geval de eerste twee komen in het vervolgvak Redeneren en bewijzen aan de orde
• uit categorie 3 (Bewijstechnieken) wordt op een aantal onderwerpen
een eerste introductie gegeven die zal worden voortgezet in het vak
Redeneren en bewijzen
Domein 5: Wiskunde overig
Uit categorie 4 (Abstracte structuren) wordt aandacht besteed aan deductieve structuren, lichamen en aan de ‘axiomatische opbouw van getalverzamelingen’. De interpretatie van dit laatste is enigszins vrij: axioma’s zijn
niet zo geschikt om dingen op te bouwen, hooguit om een categorische
beschrijving van een model te geven. Bovendien suggereert ‘opbouw’ dat
je met niets moet beginnen, om vervolgens een voor een de bekende getallen te ‘maken’. Zoals Freudenthal (1973) al opmerkte, sluit dit niet goed
aan op de voorkennis—en ook niet met de praktijk of de ‘werkelijkheid’.
Vier min of meer didactische keuzes drukken een belangrijk stempel op de
tekst:
• Verzamelingenleer wordt niet als losstaand onderwerp behandeld, maar
geïntegreerd in de ontwikkeling van de getalstructuur. Dit leidt bij sommige concepten tot een bijzondere invalshoek, bijvoorbeeld bij de ggd of
bij het begrip compleetheid. In het afsluitende hoofdstuk wordt de verzamelingenleer nog eens op een rijtje gezet.
• Er wordt geprobeerd om de complexe getallen op een natuurlijke manier
te introduceren vanuit de algebra. De aanloop hiertoe begint al in hoofdstuk 2. Dit ontwikkeling van de theorie van complexe getallen wordt in
het college Matrixrekening en complexe getallen voortgezet.
4
• Overeenkomsten en verschillen tussen getalverzamelingen hebben een prominente plek. Dat betekent dat aandacht wordt besteed aan begrippen als
ordening, volledigheid en algebraïsche geslotenheid. De behandeling van
met name ordening is echter erg informeel.
• Geprobeerd is om schoolwiskunde een duidelijke plek te geven, zonder
dat het vak als ‘didactiekvak’ omschreven kan worden. Een belangrijk
accent ligt daarbij op het kritisch kijken naar fragmenten uit lesboeken.
Euclides is het tijdschrift van de Nederlandse Vereniging van
Wiskundeleraren. In april 2012 ontving ieder lid een speciale
editie over getallen (NVvW, 2012). Maar deze special krijg je,
zolang de voorraad strekt, ook bij deze cursus cadeau. Er staan
een aantal toegankelijke artikelen in die vaak vergezeld gaan van
concrete lesideeën of zelfs links naar leerlingmateriaal.
In het volgende schema staan enkele artikelen uit de special die heel direct aansluiten bij de hoofdstukken uit deze reader. Een aanrader!
algemeen:
Getallen in de krant (blz. 14–15)
Betekenis geven aan getallen bij wiskunde C (blz. 176–179)
bij hoofdstuk 1:
De helderheid van onze getallen (blz. 11–13)
Getal(len) volgens Van Dalen en WikipediA (blz. 104)
Telwoorden in Nieuw Guinea (blz. 164)
bij hoofdstuk 2:
Groot, groter, nóg groter (blz. 64–73)
Dieren tellen mee – getalbegrip bij dieren (blz. 118–123)
bij hoofdstuk 3:
Irrationale getallen (blz. 45–50)
bij hoofdstuk 4:
Factor (blz. 151)
Complexe getallen (blz. 180–187)
hoofdstuk 0
VOORKENNIS
5
6
Hoofdstuk 0
VOORKENNIS
7
0.1 Getalverzamelingen
In het gewone taalgebruik kan het woord ‘getal’ verschillende betekenissen hebben. Wiskunde is echter een exact vak. Daarom is het nodig om precieze afspraken te maken.
• Met reële getallen bedoelen we alle getallen die je in de gewone schoolwiskunde tegenkomt: geheel, breuk, kommagetal, negatief, wortel, π, . . . ,
het maakt niet uit. Voor de verzameling reële getallen gebruiken we het
symbool R.
reële getallen
• De verzameling gehele getallen, zowel positief, negatief als nul, geven we
aan met het symbool Z. Dus: Z = {. . . , −3, −2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}. In het
Engels worden deze getallen ‘integers’ genoemd.
gehele getallen
• De verzameling N = {0, 1, 2, 3, . . . } bestaat uit de natuurlijke getallen. Dit
zijn precies de niet-negatieve, gehele getallen.
natuurlijke
getallen
Later zul je bij dit vak ook nog andere getalverzamelingen tegenkomen, zoals
Q en C.
ACHTERGROND
In deze cursus hoort 0 wel bij de natuurlijke getallen. Wiskundigen verschillen hierover
echter van mening. Als in een wiskundeboek wordt gesproken over ‘natuurlijke getallen’
moet je dus altijd even nagaan of 0 meedoet of niet. De reden om 0 mee te laten doen, is
dat een ‘aantal’ ook best nul kan zijn. Een reden om het niet te doen, is dat we nu eenmaal
beginnen te tellen bij 1; al doet gek genoeg bij terugtellen 0 vaak weer wel mee. . .
Over de betekenis van woorden moet je afspraken maken en soms, maar gelukkig niet heel
vaak, zijn die niet universeel. Een ander voorbeeld waarbij dit gebeurt, betreft het woord
‘positief’. Nederlanders en Engelstaligen onderscheiden drie soorten getallen: positieve,
negatieve en het ‘neutrale’ getal 0. Sommigen, in het bijzonder Vlamingen en Fransen,
noemen 0 ook positief.
Hierboven zijn drie verzamelingen geïntroduceerd: N, Z en R. Bij dit college zullen we veel gebruik maken van de taal van verzamelingen, omdat dit
een belangrijk instrument is binnen de wiskunde. Relevante begrippen over
verzamelingen zullen gaandeweg worden geïntroduceerd, waarna in het laatste
hoofdstuk alles nog even op een rijtje wordt gezet.
verzameling
Een verzameling bestaat uit elementen. Om aan te geven dat een bepaald object een element is van een bepaalde verzameling, gebruiken we het symbool ∈:
dus ‘12 ∈ Z’ betekent dat de verzameling Z van gehele getallen het element 12
bevat. Er geldt ook 12 ∈ N en 12 ∈ R. Met ‘ 12 ∈
/ Z’ geven we aan dat 12 juist geen
element
8
Hoofdstuk 0
element is van Z. De notatie ‘a, b ∈ A’ is een verkorte schrijfwijze voor ‘a ∈ A
en b ∈ A.’
deelverzameling
Een ander belangrijk begrip is dat van deelverzameling. Een verzameling A
is een deelverzameling van B als ieder element van A ook een element is van B;
de notatie hiervoor is A ⊂ B. Er geldt dus ook N ⊂ Z, N ⊂ R en Z ⊂ R.
Verzamelingen kun je definiëren door de elementen op te sommen tussen
accolades, zoals op de vorige bladzijde. (Accolades zijn de tekens ‘{’ en ‘}’.) Een
andere manier is het beschrijven van de elementen, bijvoorbeeld
of
x ∈ Z x2 < 8 .
x x ∈ Z en x 2 < 8
Deze notatie definieert de verzameling van objecten x waarvoor geldt “x ∈ Z en
x 2 < 8”. Dat is dus gewoon {−2, −1, 0, 1, 2}.
interval
Een derde manier is de intervalnotatie die je uit de analyse kent, bijvoorbeeld:
⟨a, b ] = x ∈ R a < x ≤ b .
Een begrensd open interval is van de vorm ⟨a, b ⟩; een begrensd gesloten interval
is van de vorm [a, b ]. Het interval ⟨a, b ] is gesloten noch open. Onbegrensde
intervallen, zoals [a, →⟩, zullen we bij dit vak niet gebruiken. Intervallen zijn
deelverzamelingen van R.
0.2 Rekenalgoritmes
algoritme
Een algoritme is een serie instructies om een bepaalde taak uit te voeren. Synoniemen zijn ‘stappenplan’ of ‘recept.’ Op de basisschool leer je algoritmes voor
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Met name omtrent de laatste
rekenoperatie wordt, tot in de landelijke kranten aan toe, flink geruzied over
welke methode nu het beste is: staartdelen of kolomdelen. Bij dit vak zullen
we staartdelen gebruiken, zonder daarmee te willen propageren dat dit altijd de
beste keuze is. Het is een goede oefening om de toepassing van staartdelen om
te zetten in kolomdelen—zie ook Koolstra (2011).
Als het rekenwerk een beetje is weggezakt en als je nog eens precies wilt
nalezen hoe het ook al weer werkt, kun je bijvoorbeeld het Basisboek rekenen
van Van de Craats en Bosch (2007) raadplegen. (De auteurs hebben een uitgesproken mening over welke algoritmes de juiste zijn, maar daar moet je tegen
kunnen.) Op twee bladzijden hierna citeren we uit dit boek de algoritmes voor
optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Raadpleeg de rest van het boek
voor meer uitleg over deze algoritmes.
VOORKENNIS
Enkele passages uit Van de Craats en Bosch (2007)
Optellen:
Aftrekken:
9
10
Hoofdstuk 0
Nog meer passages uit Van de Craats en Bosch (2007)
Vermenigvuldigen:
Delen:
VOORKENNIS
11
Wanneer je twee positieve, gehele getallen a en b hebt, dan is ba niet altijd een
geheel getal. Is dit wél het geval, dan is a deelbaar door b . In het algemeen heb je
bij een geheeltallige deling te maken met een rest. Deel je bijvoorbeeld 7 door 2,
dan is de uitkomst 3 met rest 1. Je kunt dit schrijven als 7 = 3 · 2 + 1. Het getal 3
heet het geheeltallig quotiënt. De rest wordt ook wel genoteerd als ‘7 mod 2.’
THEORIE: Geheeltallige deling
Voor ieder tweetal a, b ∈ N met b 6= 0, zijn er unieke natuurlijke getallen
q en r waarvoor geldt:
a = q b + r,
met 0 ≤ r < b .
Met behulp van een staartdeling (zoals in het geciteerde voorbeeld) kun je
een deling met rest uitvoeren. Het is ook mogelijk om verder te gaan met de
staartdeling. Je krijgt dan een kommagetal:
De uitleg bij dit voorbeeld is als volgt. Je wil 83218 delen door 37. Begin met een
staartdeling, totdat je 2249 als quotiënt hebt met rest 5, zoals aan de linkerkant.
Maar nu zet je een komma en ga je gewoon door met delen: dat resulteert eerst
in het middelste en vervolgens in het rechter plaatje. Je kunt nu desgewenst nog
verder doorgaan.
deelbaar door
rest
geheeltallig
quotiënt
12
Hoofdstuk 0
Opgaven
Opgaven bij paragraaf 0.1
A
link
O
1r.
Hebben de volgende uitspraken betekenis en, zo ja, zijn ze waar?
p
a 4∈Z
b −1 + 1 ∈ N
c −3 ∈ x −x ∈ N
d {0, 2} ⊂ x x ∈ R en
x 3 − 3x 2 + 2x = 0
e x − y ∈ N voor alle x, y ∈ N
f x/y ∈ R voor alle x, y ∈ R
g {3} ∈ R
h 2⊂N
i {1, 1, 2} ⊂ {1, 2}
A
link
O
2r.
Beschrijf de volgende verzamelingen in gewonemensentaal.
a x er is een y ∈ Z zodat x = 2y
p
x ∈N x ∈N
b
c
x x = f (y) voor een y ∈ R , waarbij f een functie is
Opgaven bij paragraaf 0.2
A
link
O
3r.
Bereken met de basisschoolalgoritmes:
a
365 + 523
b
928 + 124
c
131 + 237 + 122
d
22386 + 2312 + 89
e
523 − 351
f
211 − 132
i
12 · 983
g 234234 − 23443 − 32134
h
A
link
O
4p.
243 · 47
Het aftrekalgoritme om a − b te berekenen werkt prima als a ≥ b . Probeer het algoritme
ook eens uit voor a < b en analyseer wat er misgaat.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 0
A
link
O
5r.
13
Bereken geheeltallig quotiënt en rest bij de volgende delingen:
a
793432 ÷ 43
b
12345678 ÷ 321
Bereken met een staartdeling op drie cijfers achter de komma:
c 12345678 ÷ 321
A
link
O
6r.
Bereken met staartdelen 793432 ÷ 43 en rond je antwoord af op drie cijfers achter de
komma.
14
Hoofdstuk 0
hoofdstuk 1
GETALNOTATIE
15
OVER DIT HOOFDSTUK
Dit eerste hoofdstuk gaat over manieren om getallen
weer te geven. Verschillende onderwerpen passeren de
revue: het decimale en binaire stelsel, breuken, decimale ontwikkeling en wetenschappelijke notatie. De
intrinsieke structuur van getallen, dat wil zeggen de
structuur die onafhankelijk is van de notatiewijze, is het
onderwerp van de volgende hoofdstukken.
Het decimale stelsel is in onze cultuur zo vanzelfsprekend dat iedereen—en wiskundedocenten in het
bijzonder—er natuurlijk alles van af moet weten. Dit
is tegenwoordig zelfs wettelijk vastgelegd in het referentiekader rekenen (zie het kader hieronder). In de
schoolwiskunde wordt er met name in de eerste klas
aandacht aan besteed.
De wetenschappelijke notatie komt voor in de
schoolwiskunde op alle niveaus. Het is belangrijk voor
het getalbegrip, voor het kunnen aflezen van de rekenmachine, maar vooral ook als wiskundig hulpmiddel bij
de andere bètavakken.
Het binaire stelsel kent belangrijke toepassingen
in de ICT. Het komt aan bod bij het schoolvak natuurkunde op havo en vwo en in sommige mbo-opleidingen,
maar ook als verdiepingsmateriaal bij de onderbouwwiskunde. Net als onze decimale notatie is ook de binaire een positiesysteem. Daarom is het volgens sommigen een mooi hulpmiddel om onze getalnotatie te begrijpen, omdat er geen cognitieve ruis optreedt. Het lijkt
iets nieuw, maar stiekem werkt alles net zoals we gewend zijn. Niet iedereen erkent deze didactische meerwaarde. De beroemde Nederlandse wiskundedidacticus Freudenthal (1984, blz. 144) schrijft: “Vergeleken
bij al die [diepe schoolwiskunde] zijn afwijkende positiesystemen maar een grapje. Grapjes horen er ook bij in
het onderwijs, en leerlingen door grapjes motiveren is
een goede didactiek, en wat dit betreft kan een afwijkend positie-systeem een goed grapje zijn.”
Het referentiekader rekenen (SLO, 2009) schrijft voor welke kennis en vaardigheden leerlingen moeten beheersen. Er zijn verschillende
niveaus: 1F en 1S aan het einde van de basisschool, 2F in vmbo en mbo 1, 2 en 3 en 3F in mbo 4, havo en vwo. Er zijn ook streefniveaus, die
extra uitdaging bieden aan leerlingen. Mogelijk wordt in de toekomst op vwo 3S vereist.
Het referentiekader besteed veel aandacht aan getalnotatie. Bijvoorbeeld:
1F: uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken en decimale getallen
1F: structuur van het tientallig stelsel
3F: passende voorvoegsels bij maten functioneel gebruiken
3F: eenheden en grootheden
1S: verschil tussen cijfer en getal
1S: opbouw decimaal positiestelsel
1S:
2S:
2S:
2S:
3S:
3S:
breuken omzetten in een kommagetal, eindig of oneindig aantal decimalen
voorvoegsels bij maten
wetenschappelijke notatie
decimale getallen als tiendelige breuken
relatie leggen tussen breuken, decimale notatie en afronden
kennis getalsystemen en hun onderlinge relatie
GETALNOTATIE
17
1.1 Positiestelsels
Je moet onderscheid maken tussen een getal en de notatie van een getal. Een
getal is een abstract wiskundig concept, waar we met notaties als ‘dertien’, ‘13’,
‘thirteen’ of ‘XIII’ naar kunnen verwijzen. Je ziet dat er meerdere notaties mogelijk zijn. Wij zijn gewend aan de decimale notatie. Deze naam komt uit het
Latijn en verwijst naar het feit dat we getallen noteren als een combinatie van
tien verschillende symbolen, namelijk ‘0’, ‘1’, ..., ‘9’, die we cijfers noemen. Een
cijfer is dus iets anders dan een getal!
Schoolboekfragment 1.1 Getal
decimale
notatie
cijfer
& Ruimte, vwo deel 2
Schoolboekfragment 1.1 laat een belangrijke eigenschap van onze decimale
notatie zien: het is een positiestelsel (ander woord: plaatswaardesysteem). Dat
betekent dat de plaats van een cijfer de waarde bepaalt die dit cijfer vertegenwoordigt. De begrippen ‘honderdtallen’, ‘tientallen’, e.d. kun je vervangen door
machten van tien. Een andere manier om het getal 832,485 uit het voorbeeld te
schrijven is:
8 · 102 + 3 · 101 + 2 · 100 + 4 · 10−1 + 8 · 10−2 + 5 · 10−3 .
positiestelsel
18
Hoofdstuk 1
THEORIE: Decimale notatie
Ieder positief, geheel getal x is op een unieke manier te schrijven als
x = ck · 10k + ck−1 · 10k−1 + · · · + c0 · 100 ,
met ci ∈ {0, . . . , 9} en ck 6= 0.
Het rijtje cijfers ck , ck−1 , . . . , c0 vormt de decimale representatie van x.
In het bovenstaande kader gaat enkel over positieve getallen. Natuurlijk weten we ook hoe je een negatief getal weergeeft: door er een minteken voor te
zetten. Dit is hetzelfde teken als gebruikt wordt voor de aftrekoperatie en dat
leidt bij leerlingen soms tot verwarring; met name omdat de rekenmachine wel
twee verschillende knoppen gebruikt! De nieuwste edities van de meeste schoolboeken gebruiken daarom subtiel andere mintekens: vergelijk ‘-1’ met ‘2 − 1’.
Ook het getal nul, dat negatief noch positief is, heeft natuurlijk een decimale
notatie: 0.
We zijn zo gewend aan de decimale notatie dat we er niet meer bij stilstaan
hoe handig dit is in gebruik. Probeer maar eens een optelling uit te voeren op
z’n Romeins, of het getal honderd uit te schrijven in turfnotatie. Toch heeft
het lang geduurd voor het decimale positiestelsel ingeburgerd raakte. Bij het vak
Geschiedenis van de wiskunde zul je hier nog uitgebreid naar kijken.
É
binaire notatie
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 5, 6, 9
klassengesprek: 1, 2, 4
Aangezien wij tien vingers hebben, is het werken met tien cijfers voor ons
letterlijk een handig systeem. Bij computers past een systeem met slechts twee
cijfers, 0 en 1, beter. In binaire notatie ziet de telreeks één, twee, . . . er zo uit:
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, enz.
Maak niet de fout om het tweede getal in dit rijtje uit te spreken als ‘tien’, want
in binaire notatie is ‘één-nul’ het getal twee. Om verwarring te voorkomen,
zullen we vanaf nu met een symbooltje expliciet aangeven dat het om de binaire
notatie gaat. We kunnen nu dus schrijven: 10 = 1010bin (links staat tien in
decimale notatie, rechts in binaire).
GETALNOTATIE
19
THEORIE: Binaire notatie
Binaire notatie is een positiestelsel met slechts twee cijfers. Ieder positief,
geheel getal x is op een unieke manier te schrijven als
x = bk · 2k + bk−1 · 2k−1 + · · · + b0 · 20 ,
met bi ∈ {0, 1} en bk 6= 0.
Het rijtje bk , bk−1 , . . . , b0 vormt de binaire representatie van x.
Voorbeeld
Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.
De titel van het filmpje is BinaireNotatie.
De binaire notatie ‘1011010’ is als volgt opgebouwd:
binaire notatie:
waarde:
1
↑
26
0
2
5
1
↑
24
1
↑
23
0
2
2
1
↑
21
0
.
2
0
Dit geeft
1011010bin = 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20
= 64 + 16 + 8 + 2 = 90.
Het getal 1011010bin is dus het getal 90.
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 10, 11, 12, 13
klassengesprek: 18
Het grote voordeel van een positiestelsel is dat je er makkelijk mee kunt
rekenen. De rekenalgoritmes van de basisschool (zie voorkennis, blz. 9) werken
ook in binaire notatie:
1111
101 ×
1111
00000
111100 +
1001011
(alles in binaire notatie).
Ê
20
Hoofdstuk 1
Merk op dat je maar een beperkt aantal soorten optellingen en vermenigvuldigingen hoeft uit te voeren. Zo zijn er maar twee tafels van vermenigvuldiging
nodig, die bovendien heel kort zijn:
tafel van 0
0×0 = 0
1×0 = 0
tafel van 1
0×1 = 0
1×1 = 1
Dit moet toch de droom van iedere scholier zijn! Degenen die recent op havo of
vwo natuurkunde hebben gedaan, zullen hier overigens een EN-poort van het
elektronische systeembord herkennen.
É
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 14, 16
klassengesprek: 15, 17
1.2 De kommanotatie
breuk
decimale
kommanotatie
Een breuk is een getal dat op een speciale manier is geschreven, namelijk als ba
met a, b ∈ Z en b 6= 0. Het getal a dat boven de breukstreep staat heet de teller,
het getal b de noemer. We zullen later zien dat niet alle reële getallen als breuk
kunnen worden geschreven. En als dat wel kan, dan kan dat op oneindig veel
manieren: 13 = 62 = · · · .
De decimale kommanotatie is een speciale manier om een breuk te noteren.
Je schrijft de noemer niet expliciet op, maar leidt deze af uit het aantal getallen
achter de komma. Enkele voorbeelden maken dit duidelijk:
0,5 =
tiendelige breuk
decimalen
5
10
,
0,75 =
75
100
,
832, 485 =
832485
1000
.
De regel is dat de noemer gelijk is aan 10k , waar k het aantal cijfers achter de
komma is. Ander woorden voor decimale kommanotatie zijn decimale breuk en
tiendelige breuk. Het aantal cijfers achter de komma wordt ook wel het aantal
decimalen genoemd.
Sommige getallen kun je in decimale kommanotatie schrijven, zoals 12 = 105 =
0,5 en 75 = 14
= 1,4. Bij de meeste getallen lukt dat echter niet. We kunnen alleen
10
een ‘beginnetje’ van de kommanotatie opschrijven:
1
6
= 0,16666666666666666666666666666666666666666666666666666 . . .
π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582 . . .
GETALNOTATIE
21
De puntjes aan de rechterkant geven aan dat we nog niet klaar zijn—en dat zal
ook nooit gebeuren, hoe groot het papier ook is. Wat hier staat is slechts het
begin van de decimale ontwikkeling van 16 en π. Natuurlijk weten we bij 61 wel
hoe de decimale ontwikkeling verder gaat. We gebruiken een streep om aan te
geven dat een getal of een groepje getallen zich blijft herhalen: 0,1/6 of 0,16 en
noemen zo’n decimale ontwikkeling repeterend omdat een serie cijfers zich op
den duur blijft herhalen. Iedere decimale breuk is repeterend: 0,25 = 0,250. In
de decimale ontwikkeling van π valt geen enkele regelmaat te herkennen (al is
dat niet heel eenvoudig te bewijzen).
decimale
ontwikkeling
repeterende
decimale
ontwikkeling
Wat betekent zo’n decimale ontwikkeling eigenlijk? Een eerste antwoord is
het volgende: π = 3,1415 . . . geeft aan dat het getal π niet kleiner is dan 3,1415
en niet groter dan 3,1416. In andere notatie:
31415 31416
;
.
π∈
10000 10000
Voor een preciezer antwoord breiden we de decimale notatie zoals die is opgeschreven in het kader op bladzijde 18 uit. In deze uitbreiding corresponderen
cijfers achter de komma met negatieve machten van tien, bijvoorbeeld:
12,345 = 1 · 101 + 2 · 100 + 3 · 10−1 + 4 · 10−2 + 5 · 10−3 .
Dit komt inderdaad overeen met onze eerdere definitie 12,345 =
we dit toe op pi, dan krijgen we
12345
.
1000
Passen
π = 3,141592 . . .
= 3 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2 + 1 · 10−3 + 5 · 10−4 + 9 · 10−5 + 2 · 10−6 + · · · .
Een decimale ontwikkeling is dus in feite een oneindige som! De theorie van
oneindige sommen krijg je bij het vak Analyse – dynamische modellen. Daar
noemt men oneindige sommen reeksen, welke worden gedefinieerd met behulp
van het limietbegrip. We gaan er bij dit vak nog niet verder op in (maar bekijk
eventueel het achtergrondkader).
reeks
Een vervelend technisch detail is dat de decimale ontwikkelingen niet altijd
uniek is. Zo geldt bijvoorbeeld 1 = 0,99999999 . . .. Wat zou 1 − 0,9 anders moeten zijn dan nul? (In opgave 27 volgt een tweede argument.) Eigenlijk zouden we
dus over een in plaats van de decimale ontwikkeling moeten spreken. Gelukkig
doet dit probleem zich alleen voor bij tiendelige breuken (zie opgave 21).
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 21, 19
klassengesprek: 22
Ê
22
Hoofdstuk 1
ACHTERGROND
We hebben gezien dat decimale ontwikkelingen te maken hebben met oneindige sommen,
die reeksen worden genoemd. De theorie van reeksen is vrij subtiel. Om dit te illustreren
maken we enkele opmerkingen hierover:
1. De eerste vraag die je bij reeksen moet beantwoorden, is of ze convergeren. Natuurlijk is
dat voor decimale ontwikkelingen het geval, maar dat is niet triviaal. Zo geldt 12 + 13 +
1
+ · · · = ∞, maar 212 + 312 + 412 + · · · = 61 π2 . Zie opgave 20.
4
2. Bij het werken met reeksen moet je voorzichtig zijn. Een bekend grapje is bijvoorbeeld
0 = 0 + 0 + 0 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · ·
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + · · · = 1.
3. Rekenen met decimale ontwikkelingen is lastig. Volgens de elementaire rekenalgoritmes
kun je twee getallen optellen of vermenigvuldigen door ze onder elkaar te schrijven en
van rechts naar links de cijfers af te werken (zie blz. 9). Maar in decimale ontwikkelingen
is er geen rechts!
De conclusie van het bovenstaande is dat de structuur van reële getallen ingewikkeld is. Vanaf de pythagoreeërs rond 500 v.C. zijn wiskundigen bezig reële
getallen te begrijpen; en nog steeds zijn er onopgehelderde vragen. In hoofdstuk 3 komen we hier nog op terug. Een aspect waar we met gezond boerenverstand wel grip op kunnen krijgen, is de decimale ontwikkeling van breuken.
STELLING
De volgende uitspraken over een niet-negatief reëel getal x zijn equivalent:
1. x =
a
b
voor bepaalde a, b ∈ Z met a, b > 0;
2. de decimale ontwikkeling van x is repeterend.
Dit is de eerste serieuze stelling van dit dictaat, in de zin dat het een eigenschap van getallen beschrijft die niet direct evident is. Bij stellingen hoort een
bewijs, waarin wordt uitgelegd waarom de uitspraak waar is. We zullen het bewijs in stapjes opbouwen, om uiteindelijk het volledige bewijs aan het einde van
deze paragraaf te presenteren.
GETALNOTATIE
23
BEWIJSTECHNIEK: Equivalentie
Bovenstaande stelling gaat over het equivalent zijn van twee uitspraken. In
feite worden twee dingen gezegd:
1. Als x = ba (met a, b ∈ Z en a, b > 0), dan is zijn decimale ontwikkeling
repeterend.
2. Als de decimale ontwikkeling van x repeterend is, dan bestaan er
a, b ∈ Z (met a, b > 0) waarvoor x = ba .
Het bewijs van een equivalentie bestaat dus ook uit twee delen.
Naast het woord ‘equivalentie’ wordt ook ‘precies dan als’ of de dubbele
pijl ‘⇔’ gebruikt. De taalkundig lelijke uitdrukking ‘dan en slechts dan als’
komt ook veel voor.
Laten we beginnen met de eerste uitspraak: gegeven is x = ba , hoe te bewijzen
dat de decimale ontwikkeling repeterend is? Om te zien wat er aan de hand is,
bekijken we een voorbeeld.
Voorbeeld: van breuk naar decimaal
Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.
De titel van het filmpje is BreukNaarDecimaal.
Wat is de decimale ontwikkeling van 17 ?
24
Hoofdstuk 1
Het antwoord volgt uit een staartdeling (zie blz. 11):
7 1,0000000 \ 0,14285714 . . .
7
30
28
20
14
60
56
40
35
50
49
10∗ ∗ ∗
7
30
28
...
Het lijkt erop dat geldt 17 = 0,142857. Maar weten we dit zeker? Waarom
zou na de laatste vier niet een heel ander getal kunnen komen? De reden
is dat vanaf ∗ ∗ ∗ het algoritme zichzelf gaat herhalen. De rest 10 die bij
de sterretjes staat, staat ook linksboven. We zijn dus dus in een lus terecht
gekomen.
Maar dit is slechts een voorbeeld. De vraag is nu: treedt de herhaling ook
bij andere breuken op? Het antwoord is ‘ja’ en wel om de volgende reden:
Als je deelt door n, dan is in de staartdeling de rest per definitie altijd kleiner
dan n − 1. Er is dus maar een eindig aantal mogelijkheden voor de rest, namelijk
0, 1, . . . , n−1. Maar dat betekent dat als je maar lang genoeg doorgaat met staartdelen, je altijd een moment zult krijgen dat er een rest optreedt die al eerder is
voorgekomen. Op dat moment treedt de herhaling op. (In het vak Redeneren
en bewijzen zul je leren dat dit argument een toepassing is van het zogenaamde
duivenhokprincipe.)
Samengevat: Als x een breuk is, dan is zijn decimale ontwikkeling repeterend. Bewijs: Om de decimale ontwikkeling van de breuk nt te bepalen, voer je
een staartdeling uit. Voor iedere rest r die in deze staartdeling voorkomt, geldt
0 ≤ r < n. Dat betekent dat er maar eindig veel mogelijke resten zijn en dus zal
het staartdelingsalgoritme zich gaan herhalen.
GETALNOTATIE
25
BEWIJSTECHNIEK
In het voorgaande hebben we drie stappen genomen om tot een bewijs te
komen:
1. Begin met één of meer concrete voorbeelden.
2. Probeer op grond daarvan een patroon te herkennen en jezelf te
overtuigen; dit geeft een informeel bewijs.
3. Schrijf het informele bewijs uit tot een formeel bewijs.
In de praktijk kunnen zich in alle drie de stappen problemen voordoen.
Stap 2 is de essentiële stap: om op basis van voorbeelden tot een informeel
bewijs te komen, is inzicht, abstractievermogen en creativiteit vereist. Als
je jezelf hebt overtuigd, kan het nog steeds een heel gedoe zijn om een
bewijs netjes uit te werken (stap 3), maar dit is een techniek die goed te
oefenen is. Merk op dat de vaardigheid om een bewijs helder te presenteren
voor docenten een belangrijke is!
ACHTERGROND
Het is binnen de wiskunde gebruikelijk dat je een bewering altijd voorziet van een bewijs.
Hiermee controleer en bevestig je dat een stelling waar is. Dit zal voor de meesten echter
niet het belangrijkste doel zijn: meestal wil je een stelling immers wel aannemen op autoriteit; omdat het boek of de docent het zegt. Bij andere vakken, zoals Geschiedenis of Frans,
is dat toch ook heel normaal? Een veel belangrijkere functie van bewijzen is uitleggen
waarom een stelling waar is. Een mooi bewijs geeft inzicht.
Naast stellingen en bewijzen bestaat wiskunde ook uit een hoop definities. Een definitie
is niet waar of onwaar, maar moet wel zinvol zijn of een intuïtief idee goed formaliseren.
De definitie “een decimale breuk is een getal dat gelijk is aan een breuk met een macht van
tien in de noemer” bijvoorbeeld, is zinvol omdat het precies karakteriseert welke getallen
als eindig kommagetal zijn te schrijven. Vervang je ‘macht van tien’ door ‘macht van elf,’
dan heb je nog steeds een correcte definitie, maar veel heb je er niet aan.
Een didactisch probleem in het wiskundeonderwijs is dat het door voorkennis niet altijd
duidelijk is waar de grens tussen definitie en stelling moet worden gelegd. Dat is ook een
probleem in dit hoofdstuk, bijvoorbeeld in het kader over de decimale ontwikkeling. Dit
kader zegt dat ieder reëel getal een decimale ontwikkeling heeft. Dit lijkt een stelling,
maar als je die wilt bewijzen, loop je meteen tegen de vraag aan wat een reëel getal is. En
de meest voor de hand liggende definitie is circulair: iets dat beschreven wordt door een
decimale ontwikkeling. In hoofdstuk 3 komen we hier op terug.
Nu het tweede deel van de stelling: Als de decimale ontwikkeling van x
repeterend is, dan is het een breuk. Wederom beginnen we met een voorbeeld.
Het bewijs is onderwerp van opgave 28.
Voorbeeld: van decimaal naar breuk
26
Hoofdstuk 1
Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.
De titel van het filmpje is DecimaalNaarBreuk.
Is x = 0,1234 = 0,1234234234 . . . een breuk?
Om deze vraag te beantwoorden, is er de volgende truc:
1000x = 123,4234234234234234 . . .
x =
0,1234234234234234 . . . −
999x = 123,3
De onderste vergelijking heeft als oplossing x = 123,3999 =
1233
.
9990
THEORIE
Een decimale ontwikkeling van een reëel getal x met x ≥ 0 is een oneindige
rij getallen n, c−1 , c−2 , c−3 , . . . waarvoor geldt
x = n + c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + c−3 · 10−3 + · · ·
en waarbij n ∈ N en ci ∈ {0, 1, . . . , 9}.
Een decimale ontwikkeling heet repeterend als er herhaling in de rij ci ’s
optreedt: er bestaat een r > 0 waarvoor geldt dat ci+r = ci voor alle i vanaf
een bepaalde waarde.
Breuken corresponderen met repeterende decimale ontwikkelingen.
Als een positief getal als tiendelige breuk kan worden geschreven, dan
horen er twee decimale ontwikkelingen bij: de staart van de ene bestaat uit
allemaal nullen, die van de ander uit allemaal negens.
Alle andere positieve getallen hebben een unieke decimale ontwikkeling.
GETALNOTATIE
27
Waarschuwing: Het taalgebruik rondom de kommanotatie is niet uniform
en soms zelfs slordig. Zo wordt iedere decimale ontwikkeling soms een decimale
breuk genoemd, al dan niet met het voorvoegsel ‘oneindig’. In dit dictaat doen
we dat niet. Zie bijvoorbeeld schoolboekfragment 3.1 op blz. 79.
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 24, 25, 27, 31
klassengesprek: 29
Ê
1.3 Wetenschappelijke notatie
Schoolboekfragment 1.2 Getal
& Ruimte, vmbo-KGT deel 1
Bekijk schoolboekfragment 1.2. Dit fragment gaat over de wetenschappelijke
notatie. Dit is een getalnotatie van de vorm ±a ·10k , waarbij k ∈ Z en a ∈ [1, 10⟩.
Er zijn vier redenen om de wetenschappelijke notatie te gebruiken:
1. Het maakt het compact noteren van grote of kleine getallen mogelijk. Dit
is het argument dat het schoolboek in het voorbeeld noemt. Niet alleen
passen extreme getallen niet op het scherm, maar ook niet meer in het
werkgeheugen van de rekenmachine. Merk wel op dat de resultaten daardoor vaak niet meer exact zijn.
wetenschappelijke
notatie
28
Hoofdstuk 1
2. Het geeft een snelle indruk van de grootte van een getal. Zo is bijvoorbeeld de notatie ‘152587890625’ minder duidelijk dan ‘1,52587890625 ·
1011 ’ waaraan je meteen ziet met welke orde van grootte je te maken hebt.
3. Het maakt rekenen met grote en kleine getallen makkelijk. Er geldt immers (a ·10k ) · (b ·10 l ) = ab ·10k+l . (Het rechter lid staat niet noodzakelijk
in wetenschappelijke notatie—zie opgave 34.)
4. Anders dan de gewone decimale notatie kan wetenschappelijke notatie
gebruikt worden om de resultaten van metingen weer te geven. Daarom
wordt het bij natuurkunde, scheikunde en biologie vaak gebruikt en heet
de notatie ‘wetenschappelijk’. We zullen op dit punt nu dieper ingaan.
É
meetonnauwkeurigheid
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 34
klassengesprek: 32, 33
Resultaten van metingen van continue grootheden zijn nooit exact. Meet je
bijvoorbeeld de lengte van deze streep,
, dan zul je waarschijnlijk vinden
dat die 1 cm is. Maar wie zegt dat de werkelijke lengte niet dichter bij 1,0023 cm
ligt? Natuurlijk bestaat er apparatuur waarmee je preciezer kunt meten dan met
jouw liniaal, maar ook die apparaten hebben altijd een bepaalde meetonnauwkeurigheid. Daarom is de afspraak binnen de natuurwetenschappen dat de notatie ‘1 cm’ moet worden beschouwd als afronding van de werkelijke waarde, die
ook best 1,3 cm of 0,6 cm zou kunnen zijn. Net zo betekent ‘1,0 cm’ dat de werkelijke lengte in centimeters gelijk aan 1, 0 wanneer je het afrondt om één cijfer
na de komma. Het gaat dan dus om het interval [0,95 cm; 1,05 cm⟩ waarin de
werkelijke lengte ligt. Bij natuurkunde betekent 1 dus niet hetzelfde als 1,0 !
Om deze afspraken te laten werken, zijn machten van tien essentieel. De
afstand van de aarde tot de zon is bijvoorbeeld 149,6 · 109 m. Dit is niet hetzelfde als 149600000000 m, want de laatste notatie impliceert dat we de afstand
tot op de meter nauwkeurig kennen en dat is niet zo—de afstand varieert zelfs
een beetje gedurende een jaar. Overigens worden machten van tien soms ‘verstopt’ in voorvoegsels van eenheden (zie het kader). (De afstand aarde–zon zou
je in Gm (gigameter) kunnen aangeven, maar dat is zeer ongebruikelijk.)
significante
cijfers
Bij de natuurwetenschappen noemt men het aantal cijfers waarmee een meetwaarde in wetenschappelijke notatie wordt genoteerd, het aantal significante cijfers. Dat doen ze beter dan bij het schoolvak wiskunde, waar men het altijd
heeft over het aantal cijfers achter de komma, of over het aantal ‘decimalen’ (dat
laatse is eigenlijk heel raar taalgebruik). Voorbeeld: in de notatie 1,1 cm is er
GETALNOTATIE
ACHTERGROND
voorvoegsel
exapetateragigamegakilohectodeca–
decicentimillimicronanopicofemtoatto-
symbool
E
P
T
G
M
k
h
da
–
d
c
m
µ
n
p
f
a
29
betekenis
1.000.000.000.000.000.000
1.000.000.000.000.000
1.000.000.000.000
1.000.000.000
1.000.000
1.000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,000 001
0,000 000 001
0,000 000 000 001
0,000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 001
macht
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
100
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
één cijfer achter de komma. Je zou dit ook kunnen noteren als 0,011 m, maar
dan zijn er opeens drie cijfers achter de komma nodig. Beter is het dus om in
beide gevallen te zeggen dat er sprake is van twee significante cijfers (want 0,011
in wetenschappelijke notatie is 1,1 · 10−2 ). Er wordt al geruime tijd gelobbyd om
significante cijfers in de eindexameneisen voor havo en vwo op te nemen—en dan
zou het best eens kunnen doorsijpelen naar de onderbouw. Er zijn echter ook
goede redenen om het niet te doen, want wiskundig rammelt het systeem—zie
opgave 40.
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 35, 36, 40, 41
klassengesprek: 37, 39
Ê
30
Hoofdstuk 1
Opgaven
Opgaven bij paragraaf 1.1
A
link
O
1d.
In de tekst staat dat je verschil moet maken tussen getal, cijfer en de notatie van een getal.
Daarnaast kent het Nederlands ook nog het woord ‘nummer’. Worden deze woorden in
de volgende uitspraken op een wiskundig correcte manier gebruikt?
a “Het getal 333 bestaat uit drie drieën.”
b “Mijn telefoonnummer is 0612345678.”
c “Het cijfer dat ik voor de toets heb gehaald, is een 7.”
d “Wij zijn getalsmatig in de meerderheid.”
e “De bussen met nummers 11 en 12 gaan naar de Uithof.”
f “Mijn huisnummer is 3bis .”
g “Een pincode is een getal van vier cijfers.”
A
link
O
2d.
In de tekst wordt opgemerkt dat je onderscheid moet maken tussen een getal en zijn
notatie. Wat vind je, in het licht van deze opmerking, van de vraag “Wat is de noemer
van 45 ?” Hoe zou je de vraag kunnen aanpassen? Vind je dat nodig?
A
link
O
3d.
De nieuwste edities van de meeste schoolboeken gebruiken subtiel andere mintekens
voor ‘negatief getal’ versus de operatie aftrekken. Wat vind je hiervan?
A
link
O
4p.
a Verklaar waarom je aan het laatste cijfer van de decimale notatie van een geheel getal
kunt zien dat het deelbaar is door 2 of door 5, maar niet of het deelbaar is door 7.
deelbaarheidscriterium
Een ander deelbaarheidscriterium is: “een getal is deelbaar door 4 als het getal gevormd
door de laatste twee cijfers van de decimale notatie deelbaar is door 4.
b Bewijs dit.
c Vind een soortgelijk deelbaarheidscriterium voor het getal 8.
A
link
O
5p.
Wat zijn de mogelijkheden voor het laatste cijfer (in decimale notatie) van een kwadraat?
A
link
O
6p.
In deze opgave betekent ‘som van de cijfers’ de som van de cijfers van de decimale representatie van een getal. De som van de cijfers van bijvoorbeeld 526 is dus 5 + 2 + 6 = 13.
a Laat zien dat ieder geheel getal n > 0 te schrijven is als 9a + b , waarbij a ∈ N en waarbij
b de som is van de cijfers van n.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 1
31
b Verklaar de ‘negen-truc’: een positief, geheel getal is deelbaar door 9 precies dan als de
som van de cijfers deelbaar is door 9.
c Voor welke decimale cijfers c is er nog meer de ‘c-truc’?
d Verifieer of 4736786374627148732647828471 deelbaar is door 3.
A
link
O
7∗.
Dit is een vervolg op opgave 6. Van een groot natuurlijk getal is niet makkelijk direct te
zeggen of het een kwadraat is. Wel is het in een groot aantal gevallen mogelijk te zeggen,
dat het geen kwadraat kan zijn. De som van de cijfers van een kwadraat is namelijk een
negenvoud + 0, 1, 4 of 7. Dat kun je in twee stappen bewijzen:
a Zij n ∈ N. Laat zien dat n 2 een negenvoud is + 0, 1, 4 of 7.
b Leidt uit de vorige stap af dat de som van de cijfers van n 2 een negenvoud + 0, 1, 4 of 7
is.
Een andere methode staat in opgave 5.
—Bron: Steur (1980)
A
link
O
8p.
Gegeven zijn twee decimale voorstellingen
x = ak · 10k + ak−1 · 10k−1 + · · · + a0 · 100 ,
y = b l · 10 l + b l −1 · 10 l −1 + · · · + b0 · 100 .
Leg met behulp van deze decimale voorstellingen uit waarom het optelalgoritme uit het
voorkennishoofdstuk (zie blz. 9) correct is. (Begin, als je dit lastig vindt, met een concreet
voorbeeld. Bijvoorbeeld x = 321 en y = 987.)
(Merk op dat de uitleg van het vermenigvuldigingsalgoritme notationeel lastiger is. . . )
A
link
O
9p.
“log x is een maat voor de lengte van het getal x in decimale notatie.” Verklaar deze
uitspraak. Maak daarbij ook precies wat wordt bedoeld met ‘een maat voor’.
A
link
O
10r.
In een schoolboek voor de eerste klas staat een hoofdstuk over de binaire notatie. Maak
daaruit de volgende opdracht: “Schrijf alle machten van 2 op vanaf 21 = 2 tot en met
210 = 1024 en leer ze uit je hoofd.” Wat is het analogon van deze vraag voor decimale
notatie?
—Bron: Het wiskundeboek voor klas 1 van het Barlaeus Gymnasium (Barlaeus, 2009)
A
link
O
11r.
In de tekst staat het begin van de telreeks
1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, enz.
Breid dit rijtje uit tot en met zestien.
32
A
link
O
12r.
Hoofdstuk 1
Schrijf de volgende getallen in decimale notatie:
a
10011bin
b
10101010bin
d
1023
Schrijf de volgende getallen in binaire notatie:
c
A
link
O
13r.
111
a Hoe kun je aan een binair getal zien of het even of oneven is?
b Hoe kun je aan een binair getal zien of het deelbaar is door acht?
—Bron: Het wiskundeboek voor klas 1 van het Barlaeus Gymnasium (Barlaeus, 2009)
A
link
O
14r.
a Bereken 110101bin × 1011bin met het binaire vermenigvuldigingsalgoritme.
b Controleer je antwoord door het sommetje om te zetten in decimale notatie.
A
link
O
15p.
Deze opgave gaat over het aftrekken van de getallen a = 11010011010bin en b = 11011011bin .
Voor decimale notatie is er het bekende aftrekalgoritme: schrijf de getallen onder elkaar;
werk van rechts naar links; ‘koop’ zonodig een 1 (zie voorkennis, blz. 9).
a Voer dit algoritme nu uit in binaire notatie en bepaal zo a − b .
b Controleer je antwoord door de binaire notatie om te zetten in decimale.
Als je in ‘11010011010’ de enen en nullen omwisselt, krijg je het getal 00101100101bin ;
deze getallen noemen we elkaars 11-bits-negatie. Met behulp van deze negatie kun je de
aftrekking a − b omschrijven in een optelling.
c Onderzoek hoe dat moet.
d Waarom gaat de frase ‘11-bits’ vooraf aan het woord ‘negatie’?
e In plaats van a kun je ook b omdraaien. Wat moet je dan doen?
Een computer kan heel makkelijk van een getal zijn negatie bepalen (voor de natuurkundigen: met NOT-poorten). Het voordeel van het aftrekalgoritme via negatie is dat
voor aftrekken dezelfde elektronica kan worden gebruikt als voor optellen; dat maakt
computers sneller, goedkoper en kleiner!
A
link
O
16p.
Deze opgave gaat over het delen van 1110101000bin door 1101bin .
a Probeer je favoriete delingsalgoritme (staartdelen of kolomdelen; zie eventueel voorkennis, blz. 9) binair uit te voeren.
b Schrijf de getallen in decimale notatie en controleer je berekening uit onderdeel a.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 1
33
Het lastige van onze delingsalgoritmes is dat je op één of andere manier moet ‘zien’ hoe
vaak een bepaald getal in een ander getal past. Chipsfabrikanten zoals Intel lossen dit
op door tabellen met delingen in hun computerchips ‘in te bakken’. Ook een computer
kent dus tafels uit zijn hoofd! Bovendien bestaan er snellere delingsalgoritmes voor grote
getallen.
A
link
O
17p.
Een bit is een binair cijfer, dat wil zeggen een nul of een één. De I8008 is de codenaam
voor een computerchip waarmee je twee getallen kunt optellen die elk uit 8 bits (een byte)
bestaan. Deze chip ziet er schematisch zo uit:
bit
byte
Ieder blokje is hier een bitopteller. De letter corresponderen met de pootjes van de chip;
de elektrische spanning op zo’n pootje correspondeert met een binair cijfer. De invoer is
aan de bovenkant, de uitvoer aan de onderkant. Op CIN staat geen spanning, d.w.z. CIN =
0.
a Verklaar hoe deze opteller werkt.
b Waar zou het pootje CIN voor dienen?
A
link
O
18r.
Het binaire systeem werkt met twee cijfers en het decimale met tien. Dit kun je veralgemeniseren naar een positiestelsel met b cijfers, waarbij b een geheel getal is met b ≥ 2.
Het getal b heet de basis.
a Geef de definitie van getalrepresentatie in basis b .
Computerprogrammeurs werken vaak met basis 16; dit is de zogenaamde hexadecimale
notatie. De cijfers zijn dan, in volgorde: 0, 1, . . . , 9, A, B, C, D, E, F. Zet om in decimale
notatie:
b
2Ahex
c
100hex
e
255
Zet om in hexadecimale notatie:
d
1023
f Kun je een argument geven waarom hexadecimale notatie handig is voor programmeurs?
Een andere basis die in computerland soms gebruikt wordt, is 8; dit heet octaal.
Bij het vak Geschiedenis van de wiskunde zul je kennismaken met basis 60 (Babylonië),
die we nog terugvinden in onze tijdweergave. Ook bases als 5, 8, 12 en 20 werden veel
basis
34
Hoofdstuk 1
gebruikt en sommige zijn zelfs nog steeds in zwang: denk bijvoorbeeld aan ‘dozijn’ of het
Engelse muntstelsel. De Maya’s uit Midden-Amerika maakten het helemaal bont, door
verschillende bases door elkaar heen te gebruiken.
Opgaven bij paragraaf 1.2
A
link
O
19p.
Een definitie van de breuknotatie ‘ ba ’ (met a, b ∈ Z en b 6= 0) is als volgt:
Een getal x ∈ R is gelijk aan
a
b
als geldt b x = a.
a Gegeven zijn getallen a, b , c, d , x, y waarvoor geldt b x = a en d y = c. Bewijs dat
b d (x + y) = ad + b c.
b Welke rekenregel voor breuken volgt uit onderdeel a?
c Leid op soortgelijke manier de rekenregel voor het vermenigvuldigen van breuken af.
d Bewijs: “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde.”
A
link
O
20∗.
a Leg uit dat
1
n −1
=
1
n
+
1
n
2
+
1
n3
+ ···
voor iedere geheel getal n > 2.
Als je niet weet hoe je een ronde pizza moet opsnijden in gelijke stukken voor drie
kinderen, maar wel weet hoe je moeten vierendelen, dan snij je de pizza eerst in vier
stukken, deelt drie stukken uit, laat ze lekker eten. Je deelt vervolgens het overgebleven
stuk weer in vieren, en herhaalt deze eerlijke procedure net zolang als ze honger hebben
of de grootte van de pizza toestaat. (Hulshof en Meester, 2011)
b Wat heeft dit met onderdeel a te maken?
c Maak met behulp van onderdeel a aannemelijk dat iedere decimale ontwikkeling convergeert naar een reëel getal, door aan te tonen dat de reeks niet groter is dan een
bepaald getal.
A
link
O
21∗.
a Laat zien dat iedere positieve tiendelige breuk precies twee verschillende decimale ontwikkelingen heeft.
b Stel x is een getal met verschillende decimale ontwikkelingen. Laat zien dat x dan
gelijk is aan een tiendelige breuk.
c In het bijzonder heeft elk geheel getal ongelijk aan nul twee verschillende decimale
ontwikkelingen. Hoe zit het met het getal nul?
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 1
A
link
O
22p.
35
In de onderbouw besteed je aandacht aan het afronden van getallen. In Getal & Ruimte,
vwo 1, deel 1, blz. 56 staat bijvoorbeeld:
Bij het afronden op twee decimalen kijk je naar de derde decimaal.
Derde decimaal 5 of meer? Rond af naar boven.
Derde decimaal minder dan 5? Rond af naar beneden.
In andere schoolboeken gebeurt hetzelfde. Deze regel geeft niet altijd een uniek antwoord!
1
en gebruik deze om
a Geef twee verschillende decimale ontwikkelingen van 200
ronden op twee cijfer na de komma (d.w.z. ‘twee decimalen’).
1
200
af te
b Kun je de regel zo aanpassen dat dit probleem zich niet meer voordoet?
c Vind je het wenselijk om hier in je eigen lessen aandacht aan te besteden?
A
link
O
23∗.
In de tekst staat dat je de basisschoolalgoritmes (blz. 9) voor optellen en vermenigvuldigen niet kunt toepassen op decimale ontwikkelingen. Je kunt immers niet ‘rechts beginnen’. Meneer X kiest twee getallen a en b in het interval [0, 1⟩ en kiest bij ieder getal een
decimale ontwikkeling. Je mag aan meneer X onbeperkt vragen stellen, maar die mogen
maar van één soort vraag zijn:
Wat is het i -de cijfer achter de komma in de decimale ontwikkeling van a
(of b )?
a Leg uit dat het op grond van dit soort informatie soms niet lukt om ook maar één
cijfer van de decimale ontwikkeling van a + b te bepalen.
b Leg uit hoe je in de meeste situaties toch wel de som van twee getallen a en b op een
aantal cijfers achter de komma kunt bepalen.
A
A
A
link
link
link
O
O
O
24r.
25r.
26r.
Bepaal (zonder rekenmachine) de decimale ontwikkeling van de volgende breuken:
a
3
11
b
3
13
c
313
495
d
15
3
Schrijf de volgende repeterende decimale ontwikkelingen als breuk:
a
0,4234231 = 0,42342310
c
2,121
b
0,3211
De herhaling in een repeterende decimale ontwikkeling is op verschillende manieren te
beschrijven. Zo is bijvoorbeeld 1,232323 . . . te schrijven als 1,23, maar ook als 1,232 of als
1,2323. Schrijf deze ontwikkelingen als breuk met behulp van de truc uit het voorbeeld
op bladzijde 25 en ga na dat je drie keer hetzelfde getal krijgt.
36
Hoofdstuk 1
A
link
O
27r.
In de tekst staat een argument waarom ‘0,999 . . .’ en ‘1’ hetzelfde getal voorstellen: wat
kan het verschil anders zijn dan nul? Geef een alternatief argument door een breuk te
bepalen die hoort bij de repeterende decimale ontwikkeling 0,9.
A
link
O
28∗.
Het doel van deze opgave is een formeel bewijs op te schrijven van de stelling
Zij x ∈ R positief. Als de decimale ontwikkeling van x repeterend is, dan is
x gelijk aan een breuk.
Het idee van het bewijs komt in de tekst aan bod in het voorbeeld op blz. 25. Het
technische probleem is om een notatie te maken voor repeterende breuken. Bestudeer
bijvoorbeeld eens de volgende notatie:
p · 10−k + p · 10−2k + p · 10−3k + · · · ,
waarbij k, p ∈ N met k > 0 en p < 10k . Geef een bewijs van de stelling waarin je deze
notatie gebruikt.
A
link
O
29p.
Niet ieder reëel getal is te schrijven als een breuk. Neem als voorbeeld het getal x, waarvan in de decimale ontwikkeling het cijfer 1 wordt afgewisseld door een aantal nullen dat
gestaag toeneemt:
x = 0,101001000100001000001 . . . .
a Bewijs dat x niet gelijk is aan een breuk.
b Geef zelf nog een voorbeeld, met bewijs, van een getal dat niet gelijk is aan een breuk.
De verzameling R bestaat dus uit meer getallen dan enkel breuken. In hoofdstuk 3 gaan
we hier dieper op in.
link
A
O
periode
A
link
O
30∗.
De periode van de decimale ontwikkeling van een breuk, is het kleinste aantal cijfers in
de decimale ontwikkeling dat steeds herhaald wordt. Zo is de periode van 13 = 0,3333 · · ·
gelijk aan één, terwijl die van 17 = 0,143857 gelijk is aan zes. Onderzoek het verband
tussen n ∈ N en de periode van n1 .
31p.
In plaats van decimale ontwikkeling kun je ook kijken naar binaire ontwikkeling. Voor
x ∈ R met 0 < x < 1 is dit
x = c−1 · 2−1 + c−2 · 2−2 + c−3 · 2−3 + · · ·
met c−i ∈ {0, 1}.
a Geldt nog steeds de stelling “x is gelijk aan een breuk precies dan als de binaire ontwikkeling repeterend is?” Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
b Welke getallen hebben een eindige binaire ontwikkeling, d.w.z. een ontwikkeling waarbij c−i = 0 vanaf een bepaalde i?
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 1
37
c Beantwoord vraag a en b (zonder bewijs) voor de ontwikkeling in een willekeurige
basis b (zie opgave 18).
Opgaven bij paragraaf 1.3
A
link
O
32d.
Het teken ‘≈’ wordt gebruikt om aan te geven dat twee getallen ongeveer gelijk aan
elkaar zijn. Maar wat betekentp‘ongeveer gelijk?’ Bijvoorbeeld:
veel mensen lijken het
p
eens tepzijn met de bewering 2 ≈ 1,41421356. Is 2 ≈ 1,41 ook goed? Maar dan
moet 2 ≈ 1,41429 toch ook correct zijn? Het getal 1,41429 ligt immers dichterbij
de
p
99
werkelijke waarde dan 1,41. Bovendien is 70 een veelgebruikte benadering van 2. Of is
p
p
deze gedachtengang niet juist? En hoe zit het met 2 ≈ 1? En 2 ≈ 0?
Probeer zo precies mogelijk uit te leggen wat de notatie ≈ volgens jou betekent.
A
link
O
33d.
Hier zijn enkele krantenkoppen:
“Per eind 2010 stond de Amerikaanse overheid 14.000.000.000.000 dollar in het krijt.”
“The national debt of the USA is now 13.5 trillion dollars.”
“US debt: 13,562 billion US dollars.”
“Staatsschuld Nederland: 371.028 miljoen euro.”
a Maak een tabel met daarin de Nederlandse en Amerikaanse woorden voor 106 , 109 ,
1012 en 1015 .
b Wat is het verband tussen deze krantenkoppen en de wetenschappelijke notatie?
(Voor leuke inbreng in de les, zie: http://www.destaatsschuldmeter.nl .)
A
link
O
34p.
Gegeven zijn twee positieve getallen in wetenschappelijke notatie: x = a · 10k en y =
b · 10 l . We bekijken het product x y. Rekenregels voor vermenigvuldigen en machtsverheffen geven
x y = a · 10k · b · 10 l = a b · 10k+l .
Schrijven we echter x y in wetenschappelijke notatie als c·10 m , dan geldt niet noodzakelijk
c = a b en m = k + l .
a Geef een voorbeeld waarbij dat niet geldt.
b Wat is precies het verband tussen (c, m) enerzijds en (a, k, b , l ) anderzijds?
c Hoe zit het met de som x + y?
38
A
link
O
35r.
Hoofdstuk 1
Wat is het volume van de vloeistof te bepalen in deze pipet:
De ‘3’ staat voor ‘3 ml.’
A
link
O
36r.
Deze opgave gaat over je rekenmachine.
a Buiten welk interval stapt je rekenmachine op het scherm automatisch over op wetenschappelijke notatie?
b Rekenmachines werken intern vaak preciezer dan ze op het scherm laten zien. Onderzoek of dit voor jouw rekenmachine geldt. Wat zou de reden hiervoor zijn?
c Ga na hoe je de rekenmachine zo in kunt stellen dat het alle getallen weergeeft in
wetenschappelijke notatie met een bepaalde significantie.
d Hoe wordt het getal nul weergegeven?
A
link
O
37r.
Hoe kun je het getal nul in wetenschappelijke notatie weergeven?
A
link
O
38p.
Wat is het verband tussen wetenschappelijk notatie en logaritmische schaalverdelingen?
A
link
O
39r.
Geef aan in hoeveel significante cijfers je verwacht dat, bij normaal gebruik, de volgende
grootheden worden gegeven.
a De lengte van een persoon.
b Het gewicht van een persoon.
c Het gewicht van een diamantje.
d De rondetijd in een schaatswedstrijd.
e Het aantal koeien in een weiland.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 1
39
f Waarom is het onzinnig om te vragen in hoeveel cijfers achter de komma (of decimalen) je deze getallen verwacht?
A
link
O
40p.
Uit Systematische natuurkunde, havo 4 deel A:
Deze regels zijn op school gemeengoed. Toch is het niet helemaal goed om op deze
manier met significantie om te gaan. Wat is er mis? Analyseer bijvoorbeeld wat er gebeurt
als je 0,5 met zichzelf vermenigvuldigt.
A
link
O
41d.
Vind je dat er bij het schoolvak wiskunde iets aan significante cijfers moet worden gedaan? Waarom?
40
Hoofdstuk 1
hoofdstuk 2
GEHELE GETALLEN
41
OVER DIT HOOFDSTUK
Dit hoofdstuk gaat over de verzamelingen N en Z van
natuurlijke en gehele getallen. Begrippen als deelbaarheid en priemgetallen spelen hier een centrale rol. Dit
onderdeel is in de schoolwiskunde een tijd lang minder
prominent aanwezig geweest. Inmiddels is er een kentering gaande. Er wordt bijvoorbeeld weer aandacht
besteed aan kgv’s en ggd’s, terwijl priemgetallen vaak
een plaats krijgen in verdiepingsparagrafen. In de Tussendoelen havo/vwo (zie kader) worden deelbaarheid
en priemgetallen expliciet voorgeschreven. Daarnaast
vormt het rekenen met gehele getallen de basis voor
de diverse algebraïsche vaardigheden uit de schoolwiskunde.
Dit hoofdstuk bevat ook een eerste kennismaking
met de axiomatische beschrijving van getalsystemen.
Dit vormt een benadering van de wiskunde die structuralisme genoemd wordt en die in de twintigste eeuw
heel populair is geweest—en nog steeds is. In de jaren
zeventig heeft men geprobeerd hier ook in de onderbouw systematisch aandacht aan te besteden, maar dat
leidde tot zoveel didactische problemen dat het, althans
in Nederland, vrijwel geheel uit het voortgezet onderwijs is verdwenen. Toch is het zinvol voor docenten om
van de axiomatische benadering kennis te nemen, om
de volgende redenen:
•het bijbehorende jargon komt nog af en toe voor
in de schoolwiskunde;
•het is dé manier om het verschil in structuur tussen getalverzamelingen expliciet te maken;
•het biedt een instrument om vragen omtrent rekenregels te benaderen.
De axiomatische methode zal ook bij Euclidische meetkunde aan bod komen, maar dan binnen een andere
context.
De Tussendoelen onderbouw wiskunde VO zijn recent ontwikkelde documenten waarin de minimale wiskundekennis voor de onderbouw is
opgenomen. Het is de bedoeling dat deze tussendoelen officiële status krijgen en het uitgangspunt vormen voor de wettelijke diagnostische
toetsen. Mogelijk belangrijker is het feit dat de auteurs van de schoolboeken de tussendoelen als leidraad gebruiken. Er is een versie voor
vmbo (SLO, 2011a), die het eindniveau voor klas 2 beschrijft, en een versie voor het eindniveau van klas 3 in havo en vwo (SLO, 2011b). In
beide documenten wordt verder gedifferentieerd op niveau.
GEHELE GETALLEN
43
2.1 Deelbaarheid
Als a en b twee gehele getallen zijn, dan is ba niet altijd een geheel getal. De
verzameling van gehele getallen is niet gesloten onder deling. Daarom zijn voor
gehele getallen de begrippen deelbaarheid en priemgetal relevant. Deze begrippen ken je waarschijnlijk al wel. Voor de duidelijkheid zetten we de zaken nog
even op een rijtje.
THEORIE
Laat k, n ∈ Z. We zeggen dat k een deler is van n als er een r ∈ Z bestaat
zodat n = k r . De notatie hiervoor is k|n.
Je kunt ook zeggen:
k deelt n, of
n is deelbaar door k, of
n is een veelvoud van k.
Als n niet deelbaar is door k, noteer je dat als k6 | n.
Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 met als enige positieve
delers 1 en het getal zelf.
Als k|n (en k 6= 0) dan kun je n delen door k. Met andere woorden: nk ∈ Z. In
het algemeen is nk natuurlijk geen geheel getal. Je kunt echter wel delen met rest.
In hoofdstuk 0 staat uitgelegd wat delen met rest is (althans, voor natuurlijke
getallen) en hoe je daarmee werkt door middel van staartdelen. Die rest is 0
precies dan als k|n.
delen met rest
Ieder geheel getal n is deelbaar door n, −n, 1 en −1. Daarom is een equivalente definitie van priemgetal: “een natuurlijk getal dat precies vier delers heeft.”
Vaak kom je de definitie “een getal dat alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf” tegen, maar strikt genomen ontbreekt hier voorwaarde dat een priemgetal
groter moet zijn dan 1.
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 1, 3, 4, 8, 9, 10, 11
klassengesprek: 2, 6
Ê
44
Hoofdstuk 2
Schoolboekfragment 2.1 Getal
& Ruimte, vwo 1 deel 1
2.2 Gemeenschappelijke delers
THEORIE
Gegeven a, b ∈ Z, niet beide gelijk aan 0.
Het grootste getal d ∈ N dat zowel a als b deelt, heet de grootste gemene
deler (afgekort tot ggd) van a en b . Deze wordt genoteerd als d = (a, b ).
De notatie ‘ggd(a, b )’ wordt ook vaak gebruikt, met name in schoolboeken.
Zolang er geen verwarring kan zijn met coördinaten, laten we in dit dictaat ‘ggd’
weg.
Voor k ∈ Z definiëren we de verzameling Dk van delers van k. Bijvoorbeeld
D36 = {−36, −18, −12, −9, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
Noteer nu met
Da ∩ D b
de verzameling van elementen die zowel in Da als in D b zitten. Ze bestaat dus
uit die getallen die zowel a als b delen. Het grootste element in Da ∩ D b moet
dus de ggd van a en b zijn. (In opgave 19 ga je na dat dit een goede definitie is.)
É
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 14, 16, 17, 37
klassengesprek: 15, 18, 19
Voor kleine getallen zie je vaak zo wel wat de ggd is. Voor grote getallen is
dat niet zo makkelijk: wat is bijvoorbeeld (2520, 1100)? Je zou natuurlijk alle getallen 1, 2, . . . , 1100 kunnen afgaan en steeds uitzoeken of ze zowel 2520 als 1100
GEHELE GETALLEN
45
delen. Hoewel dit proces wel iets slimmer kan worden uitgevoerd, blijft het érg
veel werk.
Een methode die erg efficiënt is, heet het algoritme van Euclides. Dit is gebaseerd op het feit dat
(a, b ) = (b , a − k b )
voor alle k ∈ Z.
Het bewijs hiervan is onderwerp van opgave 24.
Voorbeeld
Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.
De titel van het filmpje is Euclidisch agroitme.
Het euclidisch algoritme werkt als volgt:
(2520, 1100)
(1100, 320)
(320, 140)
(140, 40)
(40, 20)
(20, 0)
=
=
=
=
=
=
(1100, 320), want 2520 − 2 · 1100
(320, 140), want 1100 − 3 · 320
(140, 40),
want 320 − 2 · 140
(40, 20),
want
140 − 3 · 40
(20, 0),
want
40 − 2 · 20
20.
=
=
=
=
=
320;
140;
40;
20;
0;
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
We lezen hieruit af dat (2520, 1100) = · · · = (40, 20) = 20.
In de linkerkolom staat de uitleg, rechts staat het feitelijke rekenwerk. Als
je enkel het algoritme wilt uitvoeren en de uitleg wel gelooft, dan is het
korter om alleen de vergelijkingen aan de rechterkant op te schrijven. Zie
hier het patroon:
(i) 2520 − 2 · 1100 = 320
z
v
(ii) 1100 − 3 · 320 = 140
z
v
(iii) 320 − 2 · 140 = 40
v
(iv) 140 − 3 ·
40
u
− 2 ·
z
40
20
y
= 20
=
0
Omdat op de laatste regels de uitkomst 0 is, is de uitkomst één regel daarboven de ggd.
algoritme van
Euclides
46
Hoofdstuk 2
Voorbeeld
Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.
De titel van het filmpje is Uitgebreid euclidisch algoritme.
De rekenpartij uit het vorige voorbeeld levert meer op dan alleen de ggd.
Loop dezelfde berekening nog eens door, maar nu van onder naar boven
beginnend bij (iv).
(iv) is:
gebruimakend van (iii):
gebruimakend van (ii):
gebruikmakend van (i):
uitgebreide
algoritme van
Euclides
140 − 3 · 40 = 20
140 − 3 · (320 − 2 · 140) = 20
7 · 140 − 3 · 320 = 20
7 · (1100 − 3 · 320) − 3 · 320 = 20
7 · 1100 − 24 · 320 = 20
7 · 1100 − 24 · (2520 − 2 · 1100) = 20
55 · 1100 − 24 · 2520 = 20
Dit heet het uitgebreide algoritme van Euclides. Het is een methode om de
ggd van twee getallen a en b te schrijven als een som van gehele veelvouden
van a en b .
THEORIE
Gegeven a, b ∈ N, niet beide gelijk aan nul.
Er bestaan r, s ∈ Z zodat
ra + s b = (a, b ).
De ggd en de getallen r en s kunnen met het (uitgebreide) euclidisch
algoritme berekend worden.
É
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 21, 22, 25, 28
klassengesprek: 23, 24, 26
2.3 De hoofdstelling van de rekenkunde
priemfactorontbinding
De priemfactorontbinding van een getal n is de rij priemgetallen waarvan het
product gelijk is aan n. De priemfactorontbinding van 12852 is bijvoorbeeld
2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 · 17,
ofwel
22 · 33 · 7 · 17.
GEHELE GETALLEN
47
De hoofdstelling van de rekenkunde zegt dat ieder getal op precies één manier te
ontbinden in is priemfactoren. Deze uitspraak moet preciezer worden geformuleerd. Zo heeft 0 geen priemfactorontbinding. Het getal 1 lijkt dat ook niet te
hebben, maar hier redden wiskundigen zich met een flauw, maar zeer bruikbaar
trucje. We spreken gewoon af dat ‘een product van nul getallen’ gelijk is aan 1
(dit is in overeenstemming met de regel a 0 = 1). Ook ‘op precies één manier’
moet exacter worden geformuleerd. Dit leidt tot de volgende uitspraak.
THEORIE: Hoofdstelling van de rekenkunde
Ieder positief, geheel getal n is op precies één manier te schrijven als een
product van priemgetallen
n = p1 · p2 · · · · · p r ,
waarbij p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ p r .
BEWIJSTECHNIEK: Existentie en uniciteit
De hoofdstelling van de rekenkunde bestaat in feite uit twee uitspraken:
1. Existentie: Ieder positief, geheel getal is te schrijven als product van
priemgetallen.
2. Uniciteit: Zo’n product is uniek.
Dit stramien komt vaak voor in wiskundige stellingen. We zullen later nog
enkele voorbeelden tegenkomen. Het bewijs van een dergelijke stelling valt
logischerwijs ook uiteen in twee delen: een bewijs voor existentie en een
bewijs van uniciteit.
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 31, 34, 37, 38
klassengesprek: 30, 32, 40
—Het vervolg van deze paragraaf behoort niet tot de tentamenstof.
Op bladzijde 25 e.v. is verteld dat een belangrijke functie van een bewijs is om inzicht te
verschaffen en dat de beste methode om tot inzicht te komen is om eerst zelf over een bewijs na
te denken. In het geval van de hoofstelling is het existentiegedeelte het eenvoudigst te bewijzen.
Een formeel bewijs staat hieronder, maar als je dat meteen leest, mis je een belangrijke stap tot
het verkrijgen van inzicht. Probeer dus eerst zelf een informeel bewijs te vinden: begin met
enkele voorbeelden en overtuig vervolgens jezelf.
Ê
48
Hoofdstuk 2
..............................................................
Als je inderdaad even aan het puzzelen bent geweest, heb je waarschijnlijk een inzicht gekregen dat grofweg luidt: “Om een gegeven getal te factoriseren, deel je het gewoon net zolang in
producten op totdat je niet meer verder kunt. De getallen die je overhoudt zijn dan noodzakelijkerwijs allemaal priemgetallen.” De volgende tekst formaliseert dit inzicht.
Bewijs van existentie van een priemfactorontbinding. Gegeven is een positief,
geheel getal n. Als n = 1 dan zijn we klaar, vanwege de afspraak over een ‘leeg
product’ (blz. 47). We kunnen dus aannemen dat n > 1.
Werk van laag naar hoog de getallen 2, 3, 4, . . . af, totdat je er eentje vindt die
een deler is van n; in het uiterste geval is dit n zelf. Noem dit getal p1 . Het is
een priemgetal, want een deler van p1 is immers ook een deler van n en omdat je
de getallen van klein naar groot afloopt, zou je deze deler tegengekomen moeten
zijn. Het getal p1 vormt het begin van de priemfactorontbinding: n = p1 · n2 .
Nu passen we hetzelfde proces toe op n2 : Als n2 = 1 dan zijn we klaar. Werk
anders van laag naar hoog de getallen 2, 3, 4, . . . door, totdat je er eentje vindt die
n2 deelt. Dit getal p2 is weer priem en vormt het vervolg van de priemfactorontbinding: n = p1 · p2 · n3 .
Pas nu hetzelfde proces toe op n3 . . . .
Omdat n > n2 > n3 > · · · > 0 moet dit proces een keertje stoppen (n r +1 is dan
gelijk aan 1).
Dit bewijs geeft zelfs een algoritme om de priemfactorontbinding te vinden: loop de priemgetallen van klein naar groot af en probeer steeds te delen (hier gaan we in opgave 41 verder op
in).
Het uniek zijn van de priemontbinding is veel lastiger te bewijzen. Het is niet waar dat ieder
getal maar op één manier als product te schrijven is: zo is 12 gelijk aan 2 · 6, maar ook aan 3 · 4.
Beperk je je echter tot priemgetallen, dan gaat het blijkbaar wél goed. De reden hiervoor is het
volgende lemma (een lemma is een chique woord voor hulpstelling):
Lemma. Als p|a b en p is een priemgetal, dan p|a of p|b .
Bewijs. Stel p is een priemgetal en p|a b . Als ook geldt p|a dan zijn we klaar.
Neem dus aan p6 | a.
Omdat p een priemgetal is en p 6 | a, geldt ( p, a) = 1. Volgens het uitgebreide
algoritme van Euclides zijn er dan r, s ∈ Z zodat
r p + s a = 1.
Als we links en rechts met b vermenigvuldigen, krijgen we
r pb + sab = b.
Maar uit p|a b volgt het bestaan van een getal t zodat a b = t p. Substitutie geeft
r pb + st p = b
GEHELE GETALLEN
49
en vervolgens kunnen we aan de linkerkant p buiten haakjes halen:
p(r b + s t ) = b ;
maar uit deze laatste vergelijking volgt p|b .
Het bewijs van uniciteit gaat nu als volgt:
Bewijs van uniciteit van de priemfactorontbinding. Stel dat er een getal is
waarvan de priemontbinding niet uniek is. Bekijk dan twee ontbindingen van
zo’n getal n ∈ N:
n = p1 p2 . . . p r
met p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ p r alle priem;
n = q1 q2 . . . q s
met q1 ≤ q2 ≤ · · · ≤ q s alle priem.
Als er boven en onder een priemgetal hetzelfde is, zeg pi en q j , dan kunnen we
ze wegdelen en kijken naar pn = qn . Op deze manier kunnen we doorgaan tot de
i
j
priemgetallen pi alle verschillend zijn van de priemgetallen q j . Neem vanaf nu
dus aan dat dit het geval is.
Omdat p1 priem is en p1 |(q1 q2 . . . q s ) geldt volgens het lemma dat p1 |qi voor een
zekere i. Maar omdat qi ook priem is, volgt p1 = qi . Dit is in tegenspraak met
het uitgangspunt dat alle priemgetallen in de eerste ontbinding verschillen van die
van de tweede. De aanname dat er een getal is waarvan de priemontbinding niet
uniek is, kan dus niet waar zijn.
2.4 Kardinaliteit
Natuurlijke getallen gebruik je voor het aangeven van aantallen: het aantal vingers van je hand, het aantal leerlingen in de klas, et cetera. Waarschijnlijk is dit
de manier waarop getallen historisch het eerst werden gebruikt.
Neem een verzameling A met een eindig aantal elementen. Dit aantal elementen heet de kardinaliteit van A. Op deze manier hoort bij iedere eindige
verzameling een natuurlijk getal, dat je noteert met |A|. De verzameling met
kardinaliteit 0 is de verzameling zonder elementen. Dit is de lege verzameling,
genoteerd als ∅.
De vereniging van twee verzamelingen A en B is de verzamelingen die alle
elementen van A en B bevat. De vereniging wordt genoteerd met A ∪ B, dus:
A ∪ B = x x ∈ A of x ∈ B .
De tegenhanger van vereniging is doorsnede. Dit begrip ben je al eerder tegengekomen. De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling
kardinaliteit
lege
verzameling
vereniging
doorsnede
50
Hoofdstuk 2
elementen die zowel in A als in B zitten:
A ∩ B = x x ∈ A en
disjunct
x ∈B .
Als A en B geen gemeenschappelijke elementen hebben, dan is A∩ B = ∅; in dat
geval heten A en B disjunct.
THEORIE
Er geldt voor twee eindige verzamelingen A en B:
|A ∪ B| = |A| + |B|,
precies dan als A en B disjunct zijn.
We zien zo dat het optellen van natuurlijke getallen correspondeert met en
samenvoegen van verzamelingen. Dit wist je natuurlijk al lang! Maar wat misschien nieuw is, is de wiskundige manier om dit met verzamelingleer te beschrijven. Vermenigvuldiging is ook te interpreteren met kardinaliteit. Zo kun je 3 · 2
modelleren door een stippenrechthoek:
• • •
.
• • •
product
Het begrip uit de verzamelingenleer dat hierbij hoort, is het product A × B van
twee verzamelingen A en B:
A × B = (x, y) x ∈ A en y ∈ B .
Hierbij staat (x, y) voor een getallenpaar (bij meetkunde zou je dit coördinaten
noemen).
THEORIE
Er geldt voor twee eindige verzamelingen A en B:
|A × B| = |A| · |B|.
Getallen zijn abstracte dingen. Niet voor niets wordt aan het begin van de
basisschool een aanzienlijke tijd besteed aan het verwerven van getalbegrip; en
dit proces zet zich voort tot het einde van de middelbare school en zelfs tot dit
vak! Wat zijn getallen? Over deze vraag hebben vele geleerden zich het hoofd
GEHELE GETALLEN
51
gebroken. Laten we ons beperken tot de simpelste getallen, namelijk natuurlijke
getallen. Eén beschrijving daarvan is met behulp van kardinaliteit: natuurlijke
getallen zijn wat je overhoudt als je van verzamelingen de aard van de elementen
weg-abstraheert. Dit heet het kardinale getalmodel. Het is niet de enige manier
om tegen getallen aan te kijken. Zo is er ook het ordinale getalmodel, dat zich
richt op de volgorde van getallen—denk aan de getallenlijn. We gaan hier in
de opgaven verder op in. Het ordinale model is voor de wiskunde verrassend
genoeg belangrijker dan het kardinale (Freudenthal, 1973).
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 46, 47, 48
klassengesprek: 49
Ê
ACHTERGROND
Er is veel onderzoek gedaan naar de ontwikkeling van getalbegrip bij kinderen. In een
beroemd experiment van Wynn (1992), krijgen baby’s een poppenkastvoorstelling te zien
waarin bijvoorbeeld één figuurtje achter een scherm verdwijnt, waarna er soms één en
soms twee weer tevoorschijn komen. Door te meten hoe lang de baby’s hier hun aandacht
op blijven vestigen, concludeert Wynn dat baby’s al op zeer jonge leeftijd gevoel hebben
voor het aantal objecten in kleine verzamelingen. Ook bij sommige diersoorten treedt dit
op.
Baby’s werken hier (uiteraard onbewust) met de kardinale voorstelling. Als peuters het
telrijmpje “één, twee, . . . ” opzeggen, kunnen ze dit nog niet meteen koppelen aan het
kardinaliteitsbegrip. Voor deze peuters is alleen de volgorde van belang; dat is het ordinale
gebruik van getallen. Pas richting de kleutertijd gaan kinderen het verband tussen het
ordinale en kardinale model zien. Wij volwassenen zijn zo gewend aan deze koppeling,
dat we het lastig vinden om kardinaliteit en ordinaliteit los van elkaar te zien.
Zie voor meer informatie bijvoorbeeld Ifrah (1988).
2.5 Algebra
In de vorige paragraaf zijn we twee getalmodellen tegengekomen. Deze modellen kunnen gebruikt worden om betekenis te geven aan getallen en de rekenoperaties. Om vlot mee te werken zijn de modellen echter omslachtig. De grootste
verdienste van de algebra is dat het werken met rekenoperaties geautomatiseerd
wordt. En dit automatiseren is, zeker ook in de schoolwiskunde, belangrijk—zie
de vele discussies over algebraïsche vaardigheden. De moderne algebra doet dit
zo succesvol, dat tegenwoordig zelfs computers uitstekend algebra kunnen doen!
Bovendien leert algebra je ook veel over de structuur van getalverzamelingen.
We beginnen met de natuurlijke getallen, verzameld in N. Binnen deze verzameling kun je niet altijd aftrekken of delen, omdat bijvoorbeeld 1 − 5 en 3 ÷ 4
geen elementen zijn van N. Optellen en vermenigvuldigen kun je daarentegen
algebra
52
Hoofdstuk 2
naar hartelust doen: we zeggen dat N gesloten is onder optellen en vermenigvuldigen. Dit begrip ben je aan het begin van deze paragraaf ook al een keer tegengekomen. De verzameling N is ook gesloten onder machtsverheffen, behalve dat
hier een subtiliteit is aangaande 00 ; zie daarvoor opgave 52.
gesloten
De verzameling van natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling gehele getallen Z. Bovendien laten de rekenoperaties optellen en vermenigvuldigen voor natuurlijke getallen zich veralgemeniseren naar Z. We zeggen
in dit geval dat Z een uitbreiding van N is. Door deze uitbreiding krijgen we bovendien een verzameling die gesloten is onder aftrekken. De verzameling gehele
getallen is zelfs de kleinste uitbreiding die gesloten is onder aftrekken. Daarmee
onderscheid Z zich van andere verzamelingen als R die ook gesloten zijn onder
aftrekken.
uitbreiding
De verzameling Z is niet langer gesloten onder machtsverheffen (zie opgave 52). Bij het uitbreiden van getalsverzamelingen kan het gebeuren dat je
bepaalde mooie eigenschappen verliest. Dus: Z is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen; maar niet onder delen of machtsverheffen.
É
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 50, 54, 52
klassengesprek: 51
De rekenoperaties voldoen aan allemaal rekenregels, zoals
2a + 3b + 2a + 4b = 4a + 7b ,
7(a + b ) = 7a + 7b ,
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
enzovoorts.
fundamentele
rekenregels
commutativiteit
Deze lijst kun je natuurlijk willekeurig lang maken. Er zijn echter een paar
regels die er uitspringen door hun eenvoud en toepasbaarheid. Dit zijn regels
die essentiële eigenschappen van de rekenoperaties beschrijven; we noemen ze
fundamentele rekenregels of axioma’s. Het idee is dat je door combinatie van
fundamentele regels heel veel andere rekenregels af kunt leiden.
Eén zo’n fundamentele rekenregel is bijvoorbeeld de commutativiteit van de
optelling. Deze regel luidt
a + b = b + a.
In woorden: het maakt niet uit in welke volgorde je twee getallen optelt. Ook
voor vermenigvuldigen geldt commutativiteit (a · b = b · a), maar niet voor aftrekken of machtsverheffen: 2 − 3 6= 3 − 2 en 23 6= 32 .
GEHELE GETALLEN
53
Een ander soort fundamentele regel is associativiteit; ook deze is er voor zowel optellen als vermenigvuldigen. Om 122 + 312 + 444 te berekenen, kun je
beginnen met 122 + 312 = 434 en hier vervolgens 444 bij optellen. Je kunt ook
beginnen met 312+444 = 756 en dit bij 122 optellen; het maakt niet uit. De regel
van associativiteit van de optelling legt dit vast door voor één keer met behulp
van haakjes wel heel precies aan te geven in welke volgorde je moet werken:
(a + b ) + c = a + (b + c).
Machtsverheffen is niet associatief en daarom hoor je hier altijd haakjes te zetten:
€ Šc
c
a (b ) is niet gelijkwaardig aan
ab .
Gelukkig komt herhaaldelijk machtsverheffen in de praktijk niet zo vaak voor—
en bovendien kun je de tweede uitdrukking ook schrijven als a b c .
Combineer je optellen en vermenigvuldigen, dan zijn haakjes wel degelijk
nodig: 2 · (3 + 4) is niet hetzelfde als (2 · 3) + 4. Om te voorkomen dat lange
formules een woud van haakjes zijn, is de afspraak gemaakt dat vermenigvuldigen voor optellen komt: de haakjes in (2 · 3) + 4 zijn dus overbodig. Een tweede
afspraak is dat machtsverheffen voor vermenigvuldigen en optellen gaat. Een
afspraak berust op een culturele keuze; de fundamentele rekenregels geven daarentegen eigenschappen van getalverzamelingen aan.
Schoolboekfragment 2.2 Getal
& Ruimte, vwo 1 deel 2
[Merk op dat er in de oppervlakteredenering impliciet vanuit wordt gegaan dat a, b ≥ 0.Uiteraard
geldt de uitspraak ook voor negatieve getallen—althans, dat vindt men tegenwoordig vanzelfsprekend. Het grootste deel van de geschiedenis van de wiskunde heeft men echter juist om deze reden
het onzinnig gevonden om a of b negatief te nemen. In de zeventiende eeuw kwam men tot het
inzicht dat dit wel betekenisvol was en dat was een grote sprong voorwaarts in de algebra. Zie het
vak Geschiedenis van de wiskunde.]
associativiteit
54
distributiviteit
Hoofdstuk 2
Om het verband tussen twee operaties te beschrijven, zijn er fundamentele
regels van distributiviteit, zoals a(b + c) = ab + ac. Commutativiteit en associativiteit zijn zo voor de hand liggend dat ze op school vaak niet expliciet worden
gemaakt. Maar met distributiviteit gebeurt dat wel: zie schoolboekfragment 2.2.
Zijn er ook fundamentele regels nodig voor aftrekken, zoals a(b − c) = ab −
ac? Het antwoord is nee. Je kunt aftrekken namelijk altijd vervangen door
optellen, als volgt:
x − y = x + (−y).
De fundamentele regels voor Z staan in de volgende tabel.
optellen
vermenigvuldigen
a + b = b +a
ab = ba
(a + b ) + c = a + (b + c)
(a b )c = a(b c)
a +0=0+a =a
a ·1=1·a =a
commutativiteit
associativiteit
neutraal element
bestaan inverse
voor alle a, b ∈ Z heeft
a + x = b een oplossing
a(b + c) = a b + ac
distributiviteit
verband met
ordening
als a < b
dan a + c < b + c
als a < b en c > 0
dan ac < b c
fundamentele rekenregels voor Z
In het vakje bij ‘bestaan inverse’ wordt het gebruik van het minteken omzeild. De enige oplossing van deze vergelijking is immers x = b − a.
É
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 56, 57, 62, 67, 69, 73
klassengesprek: 59, 63, 71
Kunnen met de regels uit dit schema alle rekenregels voor gehele getallen
worden afgeleid? Nee. De regels in het schema zijn echter wel bruikbaar om
verschillen te beschrijven: zowel tussen de verschillende operaties (optellen en
vermenigvuldigen), als tussen verschillende getalverzamelingen. We zullen varianten van het schema voor N, R, etc. later nog tegenkomen.
GEHELE GETALLEN
55
ACHTERGROND
In de rekenregels, zoals a + b = b + a, komen letters voor. De impliciete betekenis van
deze letters is dat a + b = b + a geldt voor alle getallen a en b . Bij didactiek van de algebra
zul je leren dat de letters hier de rol van onbepaalde onbekende vervullen. Vergelijk dit
bijvoorbeeld met een vergelijking als a + b = a, die waar is voor b = 0, maar zeker niet
voor alle waarden van b .
Professionele wiskundigen gruwen van dit soort vaagheid: in wetenschappelijk boeken en
publicaties geven ze daarom altijd aan dat een uitspraak geldt ‘voor alle a en b ’. Dit is in de
schoolwiskunde niet zo gebruikelijk: altijd waar, nooit waar, soms wel eens waar of bijna
nooit waar; dat moet je vaak zelf uit de context opmaken.
56
Hoofdstuk 2
Opgaven
Opgaven bij paragraaf 2.1
A
link
O
1r.
a Voor welke a ∈ Z geldt a|108?
b Voor welke b ∈ Z geldt 15|b ?
c Voor welke c ∈ Z geldt 14|c en c|144?
d Voor welke d ∈ Z geldt d |0?
e Voor welke e ∈ Z geldt 1|e?
d Voor welke f ∈ Z geldt 0| f ?
A
link
O
2p.
Twee eigenschappen van deelbaarheid worden vaak gebruikt:
Als k|n EN k|m,
Als k|n OF k|m,
dan k|(n ± m).
dan k|(n m).
a Neem eerst eens k = 2. Vertaal de eigenschappen in uitspraken over even en oneven
getallen.
b Bewijs de eerste uitspraak, door gebruik te maken van de definitie van deelbaarheid op
blz. 43.
c Bewijs de tweede uitspraak.
d Blijven de uitspraken gelden als je de woorden ‘EN’ en ‘OF’ verwisselt?
e Formuleer de omkering van beide uitspraken.
f Laat met een tegenvoorbeeld zien dat het omgekeerde van beide uitspraken niet geldt.
g Stel m|n. Kun je een soortgelijke uitspraak formuleren voor k| mn ?
A
link
O
3p.
Stelling: als a b |n, dan a|n en b |n.
a Bewijs deze stelling.
b Onderzoek of de stelling ook geldt als je het product a b vervangt door de som a + b .
De omkering van de stelling geldt niet.
c Formuleer deze omkering.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
57
d Laat met een tegenvoorbeeld zien dat de omkering inderdaad niet geldt.
Als je voor (a, b ) bijvoorbeeld de tweetallen (2, 3), of (2, 11), of (5, 9) neemt, geldt de
omkering wel (voor alle n).
e Aan welke eis moet (a, b ) voldoen opdat de omkering geldt?
A
link
O
4p.
Herinner je de definitie van faculteit: k! is het product van de getallen 1 tot en met k.
Bijvoorbeeld 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
a Bewijs dat 2|(16! + 2), 3|(16! + 3), . . . , 16|(16! + 16).
b Laat zien dat 176 | (16! + 17).
c Geldt 18|(17! + 18)?
d Voor welke getallen n ∈ Z met n > 1 geldt n| (n − 1)! + n ?
A
link
O
5∗.
Ieder positief getal k ∈ Z met 26 | k en 56 | k heeft een veelvoud waarvan de decimale notatie
bestaat uit een rij negens. Bewijs dit.
Hint: gebruik de decimale ontwikkeling van k1 .
A
link
O
6p.
Onderzoek of er positieve, gehele getallen zijn die meer dan duizend positieve delers
hebben, maar die toch uit niet meer dan tien cijfers (in decimale notatie) bestaan.
A
link
O
7∗.
Zoek op internet op wat perfecte getallen zijn. Geef enkele voorbeelden en beschrijf het
belangrijkste feit dat nog niet bekend is over dit soort getallen.
A
link
O
8p.
In hoofdstuk 0 staat in het theorievak op bladzijde 11 uitgelegd dat je ieder tweetal a, b ∈
N met b 6= 0 kunt schrijven in de vorm a = q b + r . Dit is delen met rest: q is het resultaat
van de geheeltallige deling van a door b en r is de rest.
a Bepaal q en r voor a = 32412 en b = 17.
Als a, b , q en r ook negatief mogen zijn, dan kun je geheeltallige deling op meerdere
manieren definiëren. Je zult dus een keuze moeten maken:
i.
je kunt eisen dat de rest altijd een natuurlijk getal is, oftewel 0 ≤ r < |b |;
ii.
of je eist dat de rest altijd zo dicht mogelijk bij 0 ligt.
(Hier staat ‘|b |’ voor de absolute waarde van b . Per definitie: |b | = b als b ≥ 0 en
|b | = −b als b < 0.)
We gebruiken voorlopig de eerste eis: 0 ≤ r < |b |.
b Bepaal q en r voor deling van −32412 door 17.
c Bepaal q en r voor deling van 32412 door −17.
faculteit
58
Hoofdstuk 2
d Bepaal q en r voor deling van −32412 door −17.
e Neem vervolgens de tweede keuze: de rest ligt zo dicht mogelijk bij 0 en beantwoord
nogmaals de vragen a tot en met d.
f Geef een definitie zoals in het theorievak in het geval je de tweede keuze maakt.
g Welke keuze vind je het natuurlijkst?
A
link
O
9p.
In veel schoolboeken uit de onderbouw wordt in de verdiepingsstof de zeef van Eratosthenes behandeld. Dit is een methode om alle priemgetallen kleiner of gelijk aan n te vinden,
waarbij n een getal is dat je zelf mag kiezen. Je schrijft hierbij alle gehele getallen van 2 tot
en met n op. Vervolgens streep je alle veelvouden van 2 weg die groter zijn dan 2, daarna
alle veelvouden van 3 die groter zijn dan 3, enzovoorts. De getallen die je overhoudt, zijn
de priemgetallen.
a Bepaal met behulp van deze procedure alle priemgetallen ≤ 30.
b Leg uit waarom deze methode werkt.
c Waarom wordt dit een ‘zeef’ genoemd?
d In veel lesboeken staan de getallen in een rechthoekige tabel; wat is hier de reden van?
A
link
O
10p.
Als een geheel getal n ≥ 2 niet deelbaar is door de getallen k ∈ N met 2 ≤ k ≤
n een priemgetal. Geef hiervoor een verklaring.
A
link
O
11p.
Bewijs zonder het product uit te rekenen dat
p
n, dan is
111111 · 732593 6= 745577 · 109279.
A
link
O
12r.
Wiskundigen hebben lange tijd gezocht naar formules om priemgetallen te genereren.
Vul de volgende tabel in en omcirkel de priemgetallen. Welke formule levert voor alle
n ∈ N een priemgetal op?
n
4n + 3
n2 + 1
n2 − 2
n 2 + 2n + 2
n 2 + n + 41
n 2 − 79n + 1601
n4 + 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
59
Opgaven bij paragraaf 2.2
A
link
O
13r.
Vereenvoudig de volgende breuken zoveel mogelijk met behulp van de ggd:
a
12663
28917
b
397483969
223553581
A
link
O
14p.
Wat zijn de mogelijke waarden van ( p, n) als p een priemgetal is?
A
link
O
15r.
a Wat is (x, 0) voor x 6= 0?
b Waarom mag x niet nul zijn?
A
link
O
16r.
Waar of niet waar?
a 1 ∈ Da voor alle a ∈ Z.
b Er is een a ∈ Z waarvoor geldt dat 0 ∈ Da .
c D p ∩ Dq = {−1, 1} als p en q priemgetallen zijn.
d Als a|b , dan Da ⊂ D b .
A
link
O
17r.
Hieronder staan twee beweringen. Bewijs ze door ze te vertalen in uitspraken over de
verzamelingen D x .
a Als a|b en b |c, dan is a|c.
b Als a|b en b |a, dan is a = b of a = −b .
A
link
O
18p.
a Formuleer zelf een definitie van ‘kleinste gemene veelvoud’.
b Herformuleer je definitie in verzamelingentaal.
c Waarom is de ‘kleinste gemene deler’ geen nuttig begrip?
d Waarom is het ‘grootste gemene veelvoud’ onzinnig?
e Wat kun je zeggen over het product van de ggd en het kgv?
A
link
O
19r.
Neem a, b ∈ Z, niet beide gelijk aan 0. In de tekst staat dat de ggd van a en b gelijk is
aan het grootste element van Da ∩ D b . Dit zou als alternatieve definitie van de ggd kunnen
dienen. Maar dan moet je wel zeker weten dat zo’n grootste element ook echt altijd
bestaat. Er zouden namelijk twee dingen mis kunnen gaan:
1.
Da ∩ D b is niet naar boven begrensd, zodat de elementen willekeurig groot zijn en
er geen grootste is aan te wijzen;
kleinste
gemene
veelvoud
60
Hoofdstuk 2
2.
Da ∩ D b heeft geen enkel element, en er is dus ook geen grootste.
Laat zien dat deze ‘ongelukken’ niet kunnen gebeuren.
A
link
O
20p.
Neem a ∈ Z, a > 1. Bewijs: Het kleinst getal x ∈ Da met x > 1 is een priemgetal.
A
link
O
21r.
Gebruik in deze opgave het euclidisch algoritme.
a Bereken (5454, 1221).
b Bereken (233, 144).
c Bepaal de ggd van je geboortedatum (ddmmjjjj) en je telefoonnummer (zonder kengetal of 06).
A
link
O
22r.
In opgave 21 heb je drie keer met het euclidisch algoritme de ggd bepaald van concrete getallen a en b . Gebruik nu het uitgebreide algoritme om ook r, s ∈ Z te vinden waarvoor
ra + b s = (a, b ).
A
link
O
23p.
a Leg in eigen woorden uit hoe het algoritme van Euclides werkt. Dat wil zeggen: gegeven twee gehele getallen a, b , met a > b > 0, welke stappen moet je uitvoeren om
de grootste gemene deler van a en b te vinden? Schrijf het zo op dat iemand die de
collegestof niet kent, jouw stappenplan toch kan uitvoeren.
b Waarom stopt het algoritme altijd?
A
link
O
24p.
In deze opgave zijn a, b ∈ Z niet beide 0.
a Bewijs dat (a, b ) = (b , a − b ).
b Bewijs dat (a, b ) = (b , a − k b ) voor iedere k ∈ N.
A
link
O
25p.
De rij van Fibonacci is een getallenrij. Je begint met tweemaal een 1 op te schrijven, en
daarna bereken je elk volgend getal uit de rij als de som van zijn twee voorgangers. De rij
begint dus als volgt:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . .
Bewijs dat twee opeenvolgende getallen in deze rij altijd ggd gelijk aan 1 hebben.
A
link
O
26p.
Bereken de ggd van 3100 + 2100 en 3100 − 2100 .
A
link
O
27p.
In het tijdschrift Pythagoras staat een methode om de grootste gemeenschappelijke deler
van meer dan twee getallen uit te rekenen. De methode wordt beschreven aan de hand
van een voorbeeld:
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
61
Gevraagd: Bereken de ggd van 72–54–24–12 (de getallen zijn in volgorde van
grootte gezet).
De verschillen zijn resp. 18–30–12.
We plaatsen nu de gevonden verschillen in de rij van de oorspronkelijke getallen, waarbij we de getallen maar eenmaal opschrijven:
72–54–30–24–18–12.
De verschillen zijn nu resp. 18–24–6–6–6. Het getal 6 is er dus nog bijgekomen. Dit geeft de rij
72–54–30–24–18–12–6.
Hiervan is de rij van verschillen 18–24–6–6–6–6.
Er komen nu geen nieuwe getallen meer bij. De ggd is dus 6.
Verklaar deze methode.
—Bron: Steur (1980)
A
link
O
28r.
In de film Die Hard with a Vegeance moeten de hoofdrolspelers Bruce Willis and Samuel
L. Jackson een bom onschadelijk maken door op een weegschaal 4 gallon water te plaatsen. Helaas beschikken ze enkel over flessen van 3 en 5 gallon. Hoe lossen onze helden
dit op? En wat heeft het met de theorie van dit hoofdstuk te maken?
A
link
O
29r.
a Een kangoeroe zit bij 0 op de getallenlijn. Hij kan sprongen maken van 9 en 14 meter.
Hoe kan hij het getal 1 bereiken?
b Welke getallen kan hij niet bereiken?
Opgaven bij paragraaf 2.3
A
link
O
30p.
In de hoofdstelling van de rekenkunde wordt geëist dat p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ p r . Waarom?
A
link
O
31r.
Ontbind in factoren:
a
A
link
O
32p.
b
352
123
Alle positieve delers van het getal 54 vind je terug in een vermenigvuldigingstabel:
×
30
31
32
33
20
1
3
9
27
1
2
6
18
54
2
a Leg uit waarom elke deler van 54 in deze tabel moet staan.
b Maak een vergelijkbare tabel om alle positieve delers van 200 te bepalen.
c Hoeveel positieve delers heeft 19800?
62
Hoofdstuk 2
d Bepaal het kleinste natuurlijke getal met precies 105 delers.
e Bepaal alle getallen tussen 0 en 200 die precies tien delers hebben.
A
link
O
33p.
Een computer kan heel snel nagaan of een getal een priemgetal is. Het gebruikt hiervoor
een slim algoritme waar we hier niet verder op ingaan. Op de site www.math.rug.nl/crypto
van de Rijksuniversiteit Groningen staat een applet dat een gegegeven getal n net zo lang
ophoogt tot je een priemgetal krijgt.
a Overtuig je ervan dat dit inderdaad een snel programma is. Bepaal in ieder geval het
eerstvolgende priemgetal na het idioot grote getal
9876543210987654321098765432109876543210.
Een voor de hand liggende methode om de priemfactorontbinding te vinden, is door
eerst te delen door 2 net zolang tot dit niet meer kan, vervolgens door 3, enzovoorts.
Dit doet de applet op de site http://www.math.princeton.edu/math_alive/Crypto/
Lab2/Factorization.html.
b Factoriseer 121932633334857493.
c Factoriseer 121932633334857492.
d Waarom wordt het getal uit e veel sneller gefactoriseerd dat het getal uit d?
e Bedenk zelf een getal waarvoor de applet meer dan 40 seconden nodig heeft om het te
factoriseren. Hint: Gebruik ook de eerste applet uit deze opgave.
Tegenwoordig wordt in de ICT veel gebruik gemaakt van grote priemgetallen om berichten te coderen. Denk aan pincodes, elektronisch bankieren, etc. Bijna al deze methodes
zijn gebaseerd op het ervaringsfeit dat factoriseren van grote getallen lang duurt. Maar:
niemand weet of er toch niet een methode denkbaar is die wél snel is (zoals bij de priemtest aan het begin van de opgave). Iemand die zo’n algoritme vindt, kan alle bankrekeningen kraken. Maar er zijn eerlijkere manieren om met wiskunde rijk te worden. . .
A
link
O
34p.
a Bewijs dat alle priemgetallen in de ontbinding van een kwadraat een even aantal keer
voorkomen.
b Algemener: hoe zit het met een n-de macht?
We nemen een rij kwadraten 1, 4, 9, 16, . . . en verdubbelen de getallen: 2, 8, 18, 32, . . . .
c Bewijs dat geen getal uit het tweede rijtje een kwadraat is.
We nemen een rij derde machten 1, 8, 27, 64, . . . en voegen in de decimale notatie achter
ieder getal een nul toe: 10, 80, 270, 640, . . .
d Laat zien dat geen van de getallen uit dit laatste rijtje een derde macht is.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
63
e Zitten er kwadraten in het laatste rijtje?
A
link
O
35r.
Maak de volgende opgave uit Matrix:
A
link
O
36r.
In de vorige paragraaf heb je de ggd van 2520 en 1100 bepaald door middel van het euclidisch algoritme. In deze opgave zul je ervaren dat dit inderdaad een handig algoritme
is, door het nu een keer op een onhandige manier te doen. Als volgt: bepaal (2520, 1100)
met behulp van de priemfactorontbinding van 2520 en 1100.
A
link
O
37p.
In Barlaeus (2009) staat het volgende plaatje:
a Wat gebeurt hier?
b Wat is de didactische meerwaarde van dit plaatje?
c Stellen de omlijnde gebieden verzamelingen voor?
A
link
O
38p.
Als je één van de drie opgaven 35, 36, of 37 hebt gemaakt, zul je hebben geconstateerd
dat er een verband is tussen de priemfactorontbinding van de ggd van a en b en de priemfactorontbindingen van beide getallen. Maak dit verband expliciet.
A
link
O
39∗.
De priemfactorontbinding wordt ook wel eens zo geschreven:
Y
n=
p i ( p) .
p priem
64
Hoofdstuk 2
In woorden staat hier: “het product van factoren p i ( p) , waarbij p alle priemgetallen doorloopt.” Verklaar deze notatie en leg uit hoe dit oneindige product toch een getal kan
opleveren.
A
link
O
40p.
a Gegeven is een natuurlijk getal n. Laat zien dat n!+1 niet deelbaar is door ieder getal k
waarvoor geldt 1 < k ≤ n.
b Bewijs een stelling van Euclides: Er zijn oneindig veel priemgetallen.
A
link
O
41∗.
Bestudeer het bewijs van priemfactorontbinding (blz. 48).
a Schrijf het bewijs uit voor een concreet voorbeeld: n = 60.
b Waarom geeft het bewijs een algoritme om de priemfactorontbinding te bepalen?
A
link
O
42∗.
Een ander bewijs van het lemma uit de tekst gaat als volgt:
Stelling. Als p|a b en p is een priemgetal, dan p|a of p|b .
Bewijs. Definieer de verzameling
B = q ∈ N q 6= 0 en p|q b .
Deze verzameling is niet leeg: bijvoorbeeld p ∈ B en a ∈ B. Laat x het
kleinste element van B zijn.
Als q ∈ B, dan geldt x|q. Immers, x = q of x < q. In het eerste geval geldt
natuurlijk x|q. In het tweede geval (x < q) passen we deling met rest toe:
q = l x + r met 0 ≤ r < x. Als r = 0 dan inderdaad x|q. Maar r 6= 0
kan niet, omdat in dat geval r = q − l x een element is van B dat kleiner is
dan x (zie opgave 42) terwijl we juist hadden aangenomen dat x het kleinste
element van B is.
Dus x|q voor alle q ∈ B. Passen we dit toe op a, p ∈ B, dan volgt x| p en
x|a. Omdat p een priemgetal is, geldt x = 1 of x = p. Als x = p dan geldt
dus p|a en is de uitspraak bewezen. Als x = 1 dan volgt uit p|x b dat p|b en
is de uitspraak ook bewezen.
Een klein voordeel van dit bewijs boven dat in de tekst is dat je voor dit bewijs geen
kennis van het uitgebreide algoritme van Euclides nodig hebt.
In het bewijs wordt beweerd dat r = q − l x een element is van B. Waarom is dat waar?
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
A
link
O
43∗.
65
In de, helaas opgegeven, onderbouwmethode Matrix staat het volgende plaatje:
In de opgave die erbij hoort, wordt gevraagd de ontbrekende woorden in te vullen (in het
boek is een aantal opties gegeven waaruit de leerling kan kiezen; die laten we hier weg).
Bepaal de ontbrekende woorden.
N.B. Dit bewijs is een alternatief voor het existentiebewijs van de priemfactorontbinding
uit de tekst. Anders dan ons bewijs, geeft het bewijs uit Matrix geen algoritme om de
factorontbinding te bepalen. Het is geen constructief bewijs.
A
link
O
44∗.
Gegeven n ∈ N. Bewijs: er bestaat een getal N ∈ N waarvoor de getallen N , N + 1, N + 2,
. . . , N + n allemaal niet priem zijn.
Hint: laat je inspireren door opgave 4.
A
link
O
45∗.
In hoofdstuk 0 wordt als voorkennis delen met rest (voor niet-negatieve getallen) beschreven:
Stelling. Voor ieder tweetal a, b ∈ N met b 6= 0, zijn er unieke gehele
66
Hoofdstuk 2
getallen q en r waarvoor geldt:
a = q b + r,
met 0 ≤ r < b .
Hoewel dit een weinig opzienbarende uitspraak is, is het wel een wiskundige stelling die
je van een formeel bewijs zou kunnen voorzien. Deze opgave gaat hier op in.
De stelling bestaat uit twee gedeelte: een existentie-uitspraak en een uniciteituitspraak.
a Probeer eerst eens aan jezelf uit te leggen waarom er getallen q en r zijn zodat a =
q b + r als in de stelling. Probeer het bijvoorbeeld eens uit op een voorbeeld, zoals
a = 3563 en b = 63.
Als je jezelf hebt overtuigd waarom q en r moeten bestaan, is de kunst (met name voor
een docent!) om dit onder woorden te brengen. Nu zijn er van een stelling heel veel
mogelijke correcte bewijzen. Eén manier maakt gebruik van de getallenlijn, bijvoorbeeld:
0b
1b
2b
3b
4b
a
5b
r
b Werk dit idee uit tot een bewijs van het existentiegedeelte.
c Bewijs het uniciteitsgedeelte. Begin als volgt: “Stel de paren (q1 , r1 ) en (q2 , r2 ) voldoende beide aan de voorwaarde voor deling met rest.”
Een alternatief bewijs voor existentie luidt als volgt:
Bewijs van existentie. Definieer de verzameling
A = x x ∈ N en x = a − q b met q ∈ Z .
De verzameling A bevat een kleinste element; noem dat r . Voor r geldt dus
dat er een q ∈ Z is zodat a = q b + r en bovendien is r ≥ 0. Het enige dat
rest, is te bewijzen dat r < b . Maar als r ≥ b , dan geldt r − b ∈ A. Er is dus
nog een getal in A dat kleiner is dan r en dat kan niet.
d Bestudeer dit alternatieve bewijs en schrijf het uit voor het concrete voorbeeld a = 23
en b = 3.
Er is nog een derde manier om het existentiegedeelte van delen met rest te bewijzen,
namelijk door het staartdelingsalgoritme te gebruiken.
e Leg uit hoe dat gaat.
In ‘gevorderde’ wiskundeboeken gaat het andersom: daar laat men zien dat staartdelen
‘werkt’ vanwege delen-met-rest.
f Eigenlijk is dat een eerlijkere methode. Waarom?
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
67
Opgaven bij paragraaf 2.4
A
link
O
46r.
Neem de verzamelingen A = {3, 7, 13} en B = {5, 6}.
a Bepaal |A| + |B| en |A ∪ B|.
b Geef een voorbeeld van een verzameling C waarvoor |A ∪ C | < |A| + |C |.
c Is |A ∪ C | > |A| + |C | ook mogelijk?
d Geef de elementen van A × B.
A
link
O
47r.
Bepaal de kardinaliteit van de volgende verzamelingen:
a {7, 2}
b {7, 2} ∪ {5, 4, 3, 2, 1}
c {7, 2} × {5, 4, 3, 2, 1}
d ∅ × {4, 2}
e
x x ∈ Z ∧ x 4 < 27
f
a a ∈ R ∧ f 0 (a) = 0 , waarbij f (x) = 123x 2 − 7912x + 12
g {∅, {∅}} ∪ {∅}
A
link
O
48p.
Het ordinale model heeft als basis de getallenlijn. Een mooie eigenschap van dit model is
dat ook negatieve getallen een natuurlijke plek hebben. Optellen wordt nu beschreven
door het naast elkaar leggen van twee getallenlijnen. Vermenigvuldiging kan met de getallenlijn worden uitgelegd met behulp van schalen en (voor negatieve getallen) spiegelen.
6
5
6
5
4
←−−−−
3
4
2
3
1
2
−−−−→
1
0
−1
3
−−−−→
−−−−−
0 −−−−−
0
2
−1
1
−1
2+3
2·3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
3
−−−−→
−−−−−
0 −−−−−
2
1
−1
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
2 · −3
(Getallenlijnen worden vaak verticaal weergegeven, om ze op een thermometer te laten
lijken.) Teken het getallenlijnmodel bij 2 + (−3) en bij −2 · −3.
ordinale model
68
A
link
O
49r.
Hoofdstuk 2
Uit Moderne Wiskunde, vmbo KGT 1b:
a Welk getalmodel ligt ten grondslag achter de heks met de ketel?
b Economen gebruiken een kardinaal model voor negatieve getallen. Licht dit toe.
c Voor degenen die de methode Netwerk kennen: welk model ligt ten grondslag achter
het ‘treintje’? Voor degenen die dit niet kennen: wat zou dit model kunnen zijn?
d Welk model heeft jouw voorkeur?
Opgaven bij paragraaf 2.5
A
link
O
50p.
Een even getal is van de vorm 2k. Een oneven getal is van de vorm 2k + 1. Bewijs
hiermee:
a even+even=even
b oneven+oneven=even
c even+oneven=oneven
d even×iets=even
e oneven×oneven=oneven
A
link
O
51r.
Welke van de volgende verzamelingen zijn gesloten onder optellen? En vermenigvuldigen?
a Z
b de verzameling van even getallen, E = {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, . . .}
c de verzameling oneven getallen O
d de verzameling En van n-vouden, met n ∈ N
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
69
e de verzameling gehele, negatieve getallen
f {0}
A
link
O
52d.
In de tekst staat dat Z niet gesloten is onder machtsverheffen. Dat klopt, want er geldt
/ Z. Maar waarom geldt eigenlijk 2−1 = 12 ? Kunnen we 2−1 niet
bijvoorbeeld 2−1 = 12 ∈
gewoon een andere betekenis geven? Het antwoord is natuurlijk nee, tenzij we allerlei
rekenregels overhoop halen.
a Hoe leg je uit waarom 2−1 gelijk is aan 12 ?
b Wat is 00 ?
A
link
O
53d.
In De telduivel (Enzenberger, 1999, 218) staat de volgende dialoog tussen Robert en de
Telduivel:
– Jij denkt waarschijnlijk dat je van het huppen wel alles af weet. Alleen maar omdat je
gemakkelijk van 2 op 2 × 2 komt, en van 2 × 2 op 2 × 2 × 2.
– Natuurlijk. 21 , 22 , 23 enzovoort, heel makkelijk. – Ja, maar wat gebeurt er als je nul
keer hupt? 10 , 80 of 1000 ? Weet je wat er dan uit komt? Zal ik het je zeggen? Je zult
het niet geloven, maar er komt steeds één uit:
10 = 1, 80 = 1, 1000 = 1
– Hoe kan dat nu? vroeg Robert verbluft.
– Vraag dat maar liever niet. Ik zou het je kunnen bewijzen, maar je zou denk ik gek
worden als ik het deed.
– Probeer het dan, riep Robert woedend.
Maar de oude baas liet zich niet uit zijn evenwicht brengen.
Probeer dit toch uit te leggen (zonder gek te worden).
A
link
O
54p.
Onderzoek of de verzameling
t
B = x x = met t , n ∈ N en n oneven
n
gesloten is onder optellen, respectievelijk vermenigvuldigen.
A
link
O
55r.
In het eersteklasboek van de eerste druk van Moderne wiskunde (Krooshof, 1968) staat
70
Hoofdstuk 2
het volgende plaatje bij de uitleg van de commutatieve eigenschap van optellen:
Welke eigenschap heeft het 6-bij-6-getallenblok vanwege commutativiteit?
A
link
O
56r.
a Onderzoek of aftrekken (in Z) commutatief en associatief is.
b Onderzoek of delen (in R) commutatief en associatief is.
c Hoe zit het met logaritmen (a log b )?
A
link
O
57r.
Zonder de afspraak ‘vermenigvuldigen gaat voor delen,’ heb je heel veel haakjes nodig.
a Zet alle haakjes in de formule x 3 + 2x 2 + 3x + 4.
b Zonder associativiteit van + zijn nog meer haakjes nodig; zet deze ook.
A
link
O
58r.
€ Šc
c
In de tekst over associativiteit (blz. 53) staat “a (b ) is niet gelijkwaardig aan a b .” Waarom
€ Šc
c
staat er niet gewoon “a (b ) 6= a b ?”
A
link
O
59d.
Een oud ezelsbruggetje luidt ‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’. De eerste letters staan voor Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen en
Aftrekken en het ezelsbruggetje geeft aan in welke volgorde je deze operaties moet uitvoeren. Wat vind je van deze regel?
A
link
O
60r.
Een bekende rekenregel is de ‘papegaaienbek’: (a + b )(c + d ) = ac + ad + b c + b d . Hoe
volgt deze regel uit distributieve eigenschap?
A
link
O
61r.
Leerlingen maken soms fouten als (x +3)2 = x 2 +32 . Welke niet-bestaande fundamentele
rekenregel gebruiken zij hier ten ontechte? Geef deze regel ook een naam.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
A
link
O
62p.
71
De paragraaf begint met drie niet-fundamentele regels:
(a) 2a + 3b + 2a + 4b = 4a + 7b ,
(b) 7(a + b ) = 7a + 7b ,
(c)
(a + b )2 = a 2 + 2a b + b 2 ,
Op welke fundamentele rekenregels zijn deze gebaseerd? Je mag daarbij associativiteit
negeren. Geef een afleiding van deze drie regels.
A
link
O
63p.
In het geschiedenisboek Goffree et al. (2000) wordt verhaald hoe in de jaren zestig aan de
brugklas havo/vwo werd uitgelegd waarom 5x + y +3x +4y ‘evenwaardig is’ aan 8x +5y.
Dat ging als volgt:
5x + y + 3x + 4y =
(conv)
((5x + y) + 3x) + 4y =
(cwo)
((y + 5x) + 3x) + 4y =
(awo)
(y + (5x + 3x)) + 4y =
(dw)
(y + (5 + 3) · x) + 4y =
(conv)
(y + 8x) + 4y =
(cwo)
(8x + y) + 4y =
(awo)
8x + (y + 4y) =
(mer)
8x + (y · 1 + 4y) =
(cwv)
8x + (1 · y + 4y) =
(dw)
8x + (1 + 4)y =
(conv)
8x + 5y
Analyseer wat hier gebeurt.
(De auteurs van het geschiedenisboek constateren dat deze aanpak voor de meeste leerlingen veel te abstract bleek.)
A
link
O
64p.
In de eerste editie van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968) wordt in het eersteklasdeel
uitvoerig ingegaan op de fundamentele rekenregels. Ter oefening definieert het lesboek
op N enkele fantasie-operaties:
“∗ betekent: verdubbel het eerste getal en tel er het tweede bij op.”
“ƒ betekent: kwadrateer het eerste getal en tel er het tweede bij op.”
“4 betekent: vermeerder het eerste getal met 10 en tel er het tweede bij op.”
Er geldt dus 5 ∗ 4 = 14 en 10ƒ1 = 101.
a Onderzoek of ∗, ƒ en 4 commutatief en associatief zijn.
b Kun je zelf een originele operatie verzinnen die commutatief is, maar niet associatief?
72
Hoofdstuk 2
c En andersom?
d En zowel commutatief als associatief?
A
link
O
65r.
Eerder zagen we het ‘grapje’:
0 = 0 + 0 + 0 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · ·
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + · · · = 1.
Welke fundamentele rekenregel is blijkbaar niet geldig voor reeksen (d.w.z. oneindige
sommen).
A
link
O
66p.
Bij het vak Vectormeetkunde ben je vectoren tegengekomen. De verzameling vectoren
van de vorm (x, y) noteer je als R2 . Ook voor vectoren is een operatie ‘+’ gedefinieerd.
a Laat zien dat R2 gesloten is onder +.
b Is deze commutatief en associatief?
c Hoe zit het met vermenigvuldigen?
A
link
O
67p.
Voor de natuurlijke getallen geldt: vermenigvuldigen is herhaald optellen en machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen. Definieer een nieuwe operatie ‘↑’ als herhaald
machtsverheffen:
.
.. a
a
a↑n=a
n keer een a.
a Bereken 2 ↑ 1, 2 ↑ 2, 2 ↑ 3 en 2 ↑ 4.
b Schat hoe groot 2 ↑ 5 is.
c Is ↑ associatief?
d Is ↑ commutatief?
e Waarom is de definitie van ↑ waarbij de haakjes andersom staan (machtsverheffen is
niet associatief!) minder interessant?
Deze truc kun je nogmaals toepassen, en nogmaals. . . . Op deze manier beschrijf je
al snel onvoorstelbaar grote getallen. Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Knuths_
pijlomhoognotatie (waar ↑ genoteerd wordt als ↑↑). Zie ook Klingens (2012).
A
link
O
68∗.
In de tekst staat dat het niet nodig is fundamentele regels voor aftrekken te hebben,
omdat je aftrekken altijd kunt omschrijven in optellen. Je gebruikt dan dat −a een getal
is waarvoor a+(−a) = 0. Toch is het afleiden van zelfs een eenvoudige regel als a(b −c) =
a b − ac best ingewikkeld. We delen het probleem in stapjes op. Leidt uit de axioma’s
voor Z de volgende regels af:
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 2
73
a a · 0 = 0 (hint: begin met 0 = 0 + 0)
b a(−b ) = −(a b )
c a(b − c) = a b − ac
A
link
O
69r.
In de axioma’s voor Z (blz. 54) is in de laatste regel ‘verband met ordening’ de eis c > 0 is
toegevoegd.
a Geef met een voorbeeld aan wat er mis kan gaan als c ≤ 0.
b Formuleer de regel voor c < 0: de zogenaamde omklapwet.
A
link
O
70p.
Ieder getal n ongelijk aan nul is verschillend van zijn inverse voor optellen: n 6= −n.
Waarom geldt dan wel 0 = −0?
A
link
O
71p.
Is het mogelijk om ‘oneindig’ als een getal te beschouwen? Hoe zou de getalverzameling
van ‘gehele getallen met oneindig’ eruitzien? Welke fundamentele rekenregels zijn geldig?
A
link
O
72p.
Op bladzijde 54 staan de fundamentele rekenregels voor de verzameling gehele getallen Z.
a Welk vakje in dit schema verandert als je de axioma’s voor N neemt?
Anders dan Z is de verzameling van natuurlijke getallen N ook gesloten onder machtsverheffen (behalve 00 , zie opgave 52). Deze operatie is commutatief noch associatief, zoals
we in de tekst hebben gezien.
b Bestaat er een ‘rechts-neutraal element,’ dwz. een element a waarvoor geldt x a = x?
c Wat zou een ‘links-neutraal element’ zijn? Bestaat dit?
d Waarom is het nodig om links en rechts te onderscheiden?
Als je machtsverheffen combineert met optellen of vermenigvuldigen, ontstaan een hoop
rekenregels, zoals (a b )c = a c · b c .
e Geef nog een aantal regels die ‘fundamenteel’ lijken.
A
link
O
73p.
De verzameling R+ is de verzameling van positieve reële getallen:
R+ = x x ∈ R en x > 0 .
a Is deze verzameling gesloten onder optellen en vermenigvuldigen?
b Maak een tabel voor R+ analoog aan de tabel op bladzijde 54.
omklapwet
74
Hoofdstuk 2
hoofdstuk 3
REËLE GETALLEN
75
OVER DIT HOOFDSTUK
De verzameling van reële getallen is veel ingewikkelder te beschrijven dan de verzameling gehele getallen.
Een belangrijke deelverzameling van R is de verzameling van breuken. Verrassend genoeg is niet ieder reëel
getal te schrijven als een breuk. Dit geldt in het bijzonder voor de meeste wortels en π; getallen die je
in de onderbouw tegenkomt en waarmee je slechts met
moeite ‘exact’ kunt werken. De Tussendoelen schrijven
voor dat de irrationaliteit van wortels en π in de onderbouw moet worden behandeld.
een opmaat voor de invoering van complexe getallen in
het volgende hoofdstuk.
Het is een technisch gedoe, waarbij veel kennis uit
de analyse nodig is, om de precieze structuur van R te
beschrijven. Dat gaan we bij dit vak dan ook nog niet
doen; in de schoolwiskunde gebeurt het overigens ook
niet. Toch speelt de kenmerkende eigenschap van R,
compleetheid, impliciet een rol. Dat gebeurt bijvoorbeeld als niet-gehele machten worden behandeld bij het
onderwerp exponentiële groei (al aangestipt in de onTussen de ‘kleine’ verzameling van breuken en de derbouw); of voor het bestaan van inverse functies zoals
‘grote’ verzameling R bevinden zich heel veel getalver- wortels (onderbouw) en logaritmen (bovenbouw); of bij
zamelingen die gesloten zijn onder optellen, aftrekken, eigenlijk alles rondom continuïtiet, differentiëren en invermenigvuldigen en delen. Dit soort verzamelingen he- tegreren. Aan het einde van dit hoofdstuk komen we tot
ten lichamen en de behandeling in dit hoofdstuk vormt een pragmatische behandeling van compleetheid.
REËLE GETALLEN
77
3.1 Breuken
De reden om de getalverzameling N uit te breiden naar Z is aftrekken: anders
dan N is Z gesloten onder aftrekken. De volgende stap is om ook naar delen te
kijken. De verzameling van alle breuken noteren we met Q en heet de verzameling van rationale getallen
Q = x x = nt met t , n ∈ Z en n 6= 0 .
rationale
getallen
Ze is gesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ieder geheel getal is te schrijven als een breuk (met bijvoorbeeld 1 in de noemer). Er
geldt dus Z ⊂ Q. Schematisch:
N
⊂
⊂
Z
↑
kleinste uitbreiding
gesloten onder
aftrekken.
Q
↑
kleinste uitbreiding
gesloten onder delen
Als wordt gezegd dat Q gesloten is onder delen, dan wordt impliciet het getal 0
uitgezonderd om als deler op te treden. Delen door nul is immers flauwekul.
Iets preciezer: het is onmogelijk om delen door nul betekenis te geven, zonder
dat fundamentele rekenregels worden opgegeven—zie opgave 1. In het volgende
schema staan de fundamentele rekenregels voor Q. Het schema heet: de fundamentele rekenregels voor een geordend lichaam; op deze naamgeving komen we
later nog terug. De mogelijkheid om te delen komt tot uitdrukking als het bestaan van een inverse voor vermenigvuldigen.
commutativiteit
associativiteit
neutraal element
inverse
distributiviteit
verband met
ordening
optellen
vermenigvuldigen
a + b = b +a
ab = ba
(a + b ) + c = a + (b + c)
(a b )c = a(b c)
a +0=0+a =a
a ·1=1·a =a
voor alle a, b ∈ Q heeft
a + x = b een oplossing
voor alle a, b ∈ Q
met a 6= 0 heeft
a x = b een oplossing
geordend
lichaam
a(b + c) = a b + ac
als a < b
dan a + c < b + c
als a < b en c > 0
dan ac < b c
fundamentele rekenregels voor een geordend lichaam
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 2
klassengesprek: 1
Ê
78
Hoofdstuk 3
ACHTERGROND
Een bekende eigenschap van de rationale getallen is dat de breuknotatie niet uniek is: 32 =
6
= · · · . Men zegt dat de breuknotatie gedegenereerd is. Het is de moeite waard hier een
4
parallel te trekken met negatieve getallen. Voor negatieve getallen kunnen we aan elke
a ∈ N een getal in Z koppelen dat we volgens afspraak noteren als −a. De notatie −a kun
je op twee manieren interpreteren: als afkorting voor 0 − a of als de unieke oplossing van
de vergelijking a + x = 0.
Kun je voor Q iets soortgelijks doen? Het ligt voor de hand om optellen te vervangen
door vermenigvuldigen, aftrekken door delen en 0 (het neutrale element voor optelling)
door 1 (het neutrale element voor vermenigvuldiging). Dat geeft dan een element dat je
zou kunnen noteren met a −1 met de interpretaties: een afkorting voor a1 of de unieke
oplossing van a x = 1. Dat is allemaal prima, maar op deze manier beschrijf je maar een
gedeelte van de breuken! Overigens zul je bij het vak Geschiedenis van de wiskunde zien
dat de oude Egyptenaren op precies deze manier met breuken omgingen.
Wat ontbreekt zijn gehele veelvouden van breuken: b · a −1 met b ∈ N. En zo krijg je te
maken met een gedegenereerde notatie. Het lijkt duidelijk dat dit nadeel onoverkomelijk
is: bij de overgang van N naar Z verdubbelt het aantal elementen gevoelsmatig en lukt het
dus om ieder negatief getal te koppelen aan precies één positief getal. Maar bij de overgang
van Z naar Q voeg je gevoelsmatig veel meer elementen toe. Uit moderne wiskundige
inzichten, ontdekt door de Duitser Cantor, blijkt echter dat onze intuïtie ons hier bedriegt.
Maar: om goede redenen heeft dit niet geleid tot een aanpassing van onze getalnotatie.
3.2 Irrationale getallen
Een verrassend feit is dat niet ieder reëel getal te schrijven is als een breuk. Dat
is heel eenvoudig in te zien:
Stelling. Niet ieder reëel getal is te schrijven als een breuk.
Bewijs. In hoofdstuk 1 hebben we geconstateerd dat breuken corresponderen met repeterende decimale ontwikkelingen. Een reëel
getal waarvan de decimale ontwikkeling geen herhaling vertoont, is
dus geen breuk. Een voorbeeld is:
0,101001000100001000001000000100000001000000001 . . . .
Omdat de lengte van het rijtje aaneengesloten nullen steeds toeneemt,
is dit geen repeterende decimale ontwikkeling. (Dit getal ben je misschien in opgave 1.29 al tegengekomen.)
Als je lukraak een decimale ontwikkeling opschrijft, is de kans nul dat die periodiek is. Je zou dus kunnen zeggen dat ‘de meeste’ reële getallen niet als breuk
zijn te schrijven!
REËLE GETALLEN
Schoolboekfragment 3.1 Getal
79
& Ruimte, vwo 2 deel 1
[Let op het taalgebruik! Het begrip ‘decimale breuk’ wordt
hier anders gebruikt dan in dit dictaat. Zie ook de opmerking aan het einde van §1.2.]
De getallen die met willekeurige decimale ontwikkelingen corresponderen,
zijn de reële getallen, verzameld in R. Er geldt dus Q ⊂ R en Q 6= R. Een reëel
getal dat niet in Q zit, wordt een irrationaal getal genoemd.
De verzameling irrationale getallen wordt genoteerd met R \ Q. Het symbool ‘\’ staat voor het verschil of complement van twee verzamelingen. Voor
verzamelingen A en B is dit gedefinieerd als:
A \ B = x x ∈ A en x ∈
/B .
Het voorbeeldgetal uit het bovenstaande bewijs zul je in de schoolwiskunde
niet snel tegenkomen.
Maar enkele alledaagsere getallen zijn ook irrationaal,
p 2
bijvoorbeeld 2, log 3, e en π. Van de eerste twee getallen zullen we dat nu
bewijzen; het bewijs voor e en met name voor π is ingewikkelder en slaan we
over (zie Beukers (2000)).
irrationaal getal
complement
80
Hoofdstuk 3
Stelling. 2log 3 is irrationaal.
Bewijs. Stel 2log 3 is wel rationaal: 2log 3 = rs met r, s ∈ N en s 6= 0.
Dan geldt:
r
en dus
2 r = 3s .
2s =3
Maar de rechter gelijkheid kan niet waar zijn: Uit s > 0 volgt dat
3 s deelbaar is door 3, terwijl 2 r niet deelbaar is door 3. We hebben
dus een tegenspraak afgeleid. De aanname dat 2log 3 rationaal is, kan
niet juist zijn.
BEWIJSTECHNIEK: Bewijs uit het ongerijmde
Het bewijs dat 2log 3 ∈
/ Q is een voorbeeld van een bewijs uit het
ongerijmde. Je neemt het tegengestelde aan van wat je wil bewijzen en laat
zien dat daaruit een tegenspraak (onzin) volgt:
tegengestelde: 2log 3 is wél rationaal
−→ · · · −→ tegenspraak: 2 r = 3 s
−→ conclusie: Dus de aanname dat 2log 3 rationaal is,
kan niet juist zijn.
Deze bewijstechniek zullen we nog veel tegenkomen. Een ander voorbeeld
heb je misschien al in opgave 2.43 gezien.
p
Een klassieker in de wiskunde is het bewijs dat 2 ∈
/ Q. Dit is ontdekt door
de volgelingen van Pythagoras, waarna het de Griekse wiskunde op z’n kop
zette en (in moderne
ogen) overdreven ingewikkeld maakte, omdat de Grieken
p
weigerden om 2 als een getal te zien. Ook dit bewijs is uit het ongerijmde. Het
begint dan ook op dezelfde manier als het vorige bewijs:
p
Stelling. 2 is irrationaal.
p
p
Bewijs. Stel 2 is wel rationaal: 2 = rs met r, s ∈ N en s 6= 0. Dan
volgt:
 r ‹2
=2
en dus
r 2 = 2s 2 .
s
In de priemfactorontbinding van een kwadraat komen alle priemfactoren een even aantal keer voor. Dat betekent dat in de priemfactorontbinding van r 2 het getal 2 een even aantal keer voorkomt,
terwijl het in de priemfactorontbinding van 2s 2 een oneven aantal
keer voorkomt. Vanwege de uniciteit van de priemfactorontbinding, kunnen r 2 en 2s 2 dus niet
p gelijk aan elkaar zijn. Dat is een
tegenspraak. De aanname dat 2 rationaal is, kan niet juist zijn.
REËLE GETALLEN
81
Schoolboekfragment 3.2 Getal
& Ruimte, vwo 2 deel 1
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 5, 7, 8, 10, 12, 14
klassengesprek: 6, 9, 11
3.3 Algebraïsche getallen
Hoe gaat de overgang van Q naar R in zijn werk? Het schemaatje aan het begin
van dit hoofdstuk suggereert de volgende aanvulling:
N
⊂
Z
↑
⊂
kleinste uitbreiding
gesloten onder
aftrekken.
Q
↑
⊂
kleinste uitbreiding
gesloten onder delen
R
↑
kleinste uitbreiding
gesloten onder . . . ???
Omdat worteltrekken in de schoolwiskunde een belangrijke plaats inneemt, is
het de moeite waard om hier eerst eens naar te kijken. Kunnen we op de puntjes
misschien worteltrekken invullen?
p
Laten we p
ons eerst eens concentreren op één
wortel,
bijvoorbeeld
2. We
p
weten al dat 2 ∈
/ Q. Wat gebeurt er als we 2 toevoegen aan Q? Als je p
geslotenheid onder optellen, vermenigvuldigen, e.d. wilt behouden, is alleen 2
toevoegen niet genoeg. Je loopt dan immers ook aan tegen getallen als:
p
p
p
p
p
p
1
1+3 2
p ,
p ,
1 + 2, 3 2, 35 − 72 2, (1 + 2 2)(1 − 3 2),
etc.
2
1−5 2
Ê
82
Hoofdstuk 3
De laatste drie formules in dit rijtje kun je ook anders schrijven:
Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.
De titel van het filmpje is wortel2.
p
p
p
p
p
p
p
(1 + 2 2)(1 − 3 2) = 1 + 2 2 − 3 2 + 2 2 · (−3) 2 = −11 − 2,
p
p
2
1
1
1
p = p · p =0+
2,
2
2
2
2
p
1+3 2
p
1−5 2
=
p
8
= − 31
−
2.
49
49
p
p
(1+3 2)(1+5 2)
p
p
(1−5 2)(1+5 2)
THEORIE
Voor iedere a ∈ N is de verzameling
p
p
Q( a) = z z = x + y a voor zekere x, y ∈ Q
gesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (door een
getal
p 6= 0).
Q( a) voldoet aan de rekenregels voor een geordend lichaam (zie blz. 77).
p
Je kunt Q( a) als volgt karakteriseren:
N
⊂
Z
↑
⊂
kleinste uitbreiding
gesloten onder
aftrekken.
Q
↑
⊂
kleinste uitbreiding
gesloten onder delen
p
Q( a)
↑
kleinste
uitbreiding die
p
a bevat
Of anders gezegd
p
p
Q( a) is de kleinste uitbreiding van Q ∪ { a} die een geordend lichaam is.
É
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 16, 17, 18
klassengesprek: /
Terug naar de vraag waarmee we deze paragraaf begonnen. Geldt misschien p
dat
R de kleinste uitbreiding van Q is die een geordend lichaam is en alle wortels
Æp a
bevat waarbij a ∈ N? Het antwoord is ‘nee;’ denk alleen al aan getallen als
2,
q
Æ
p
3
7 − 5 133 . Al deze getallen hebben gemeenschappelijk dat het nulpunten zijn
REËLE GETALLEN
83
van polynomen. (Ter herinnering: Een polynoom (ander woord: veelterm) is een
functie van de vorm
polynoom
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 .
De hoogste macht met coëfficiënt ongelijk aan nul heet de graad van het polynoom. Een veelterm heeft niet meer nulpunten dan zijn graad.
THEORIE
Een algebraïsch getal is een getal dat een nulpunt is van een polynoom
(6= 0) met coëfficiënten in Q.
Dus a is een algebraïsch getal precies dan als
cn a n + cn−1 a n−1 + · + c2 a 2 + c1 a + c0 = 0
voor zekere ci ∈ Q met cn 6= 0.
Is R dan misschien de kleinste uitbreiding van Q die een geordend lichaam
is en alle algebraïsche getallen bevat? Het antwoord is weer ‘nee’: bij lange na
niet! Bekende, maar best ingewikkelde, redeneringen laten zien dat bijvoorbeeld
p
2
log 3 en π géén algebraïsche getallen zijn. Hetzelfde geldt voor getallen als 2 2 .
Om de reële getallen te beschrijven, is echt een andere insteek nodig. Het belangrijke begrip is compleetheid. Los gezegd betekent dit dat iedere decimale
ontwikkeling een reëel getal bepaalt. Het betekent ook dat je met limieten kunt
werken zoals je dat gewend bent uit het vak Analyse: bij kleinere verzamelingen
dan R ‘past’ het vak Analyse niet. In de volgende paragraaf gaan we hier nader
op in.
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 20, 22, 23
klassengesprek: 21, 24
3.4 Compleetheid
—Heel deze paragraaf behoort niet tot de tentamenstof.
Hoe benader je
gaat als volgt:
p
2 op een aantal cijfers achter de komma? Een (niet zo heel handige) aanpak
compleetheid
Ê
84
Hoofdstuk 3
Stap 1 Begin met eenpte klein en een te groot getal, bijvoorbeeld 1 en 2. Het eerste is te klein
omdat
12 < ( 2)2 = 2 en het tweede is te groot omdat 22 = 4 > 2. Hieruit volgt dat
p
2 dus in het interval [1, 2] ligt.
p
Stap 2 Halverwege dit interval ligt 32 . Omdat geldt ( 32 )2 > 2, geldt dus zelfs 2 ∈ [1, 23 ]. Hiermee
hebben we ons eerste interval gehalveerd tot [1, 23 ].
p
Stap 3 Halverwege [1, 32 ] ligt 45 ; het kwadraat hiervan is kleiner dan 2; dus 2 ∈ [ 45 , 32 ].
Stap n Enzovoorts. . .
We geven de intervallen die we tegenkomen een naam: I0 , I1 , I2 , . . . . We krijgen op deze
manier een oneindige keten van intervallen die steeds kleiner worden:
···
⊂
I4
=
, 23 ]
[ 11
8 16
⊂
I3
=
[ 11
, 3]
8 2
⊂
I2
=
[ 45 , 32 ]
⊂
I1
=
[1, 23 ]
⊂
I0
=
[1, 2]
In een tekening ziet dat er zo uit:
I1
I2
I3
I4
I5
p↑
2
De pointe is nu:
p
2 is element van ál deze intervallen;
p
• ieder getal x 6= 2 valt op den duur buiten de intervallen: deplengte van de intervallen
wordt op den duur immers kleiner dan de afstand tussen x en 2.
•
Deze twee punten kun je samenvatten door te zeggen dat de doorsnede van alle intervallen Ii
p
gelijk is aan { 2}. De notatie hiervoor is:
\
p
Ii = { 2}.
i ∈N
THEORIE
Ieder reëel getal x kun je inklemmen tussen rationale getallen.
Dat wil zeggen dat je rijtjes ai ∈ Q en bi ∈ Q kunt kiezen, zodat
\
Ii = {x},
i ∈N
waarbij Ii = [ai , bi ].
REËLE GETALLEN
85
THEORIE
Stel dat je intervallen I0 , I1 , I2 , . . . hebt die allemaal in elkaar zijn bevat:
· · · ⊂ I2 ⊂ I1 ⊂ I0 .
En stel dat ieder interval van de vorm [a, b ] is (d.w.z. gesloten, begrensd, niet leeg).
Dan is de doorsnede van deze verzamelingen niet leeg:
\
Ii 6= ∅.
i∈N
Deze eigenschap heet compleetheid.
De verzameling R is dus compleet. Het is het enige geordende lichaam met deze
eigenschap. Los gezegdpbetekent compleetheid dat R “geen gaten bevat,” zoals Q dat wel
heeft bij bijvoorbeeld 2 of π.
Belangrijk aan de eigenschap in het theorievak is dat zijn geldt voor alle series intervallen.
In Q (of elk ander geordend lichaam) kun je namelijk best een serie verzinnen die geen lege
doorsnede heeft; bijvoorbeeld
1 1
[− 10
, 10 ],
1
1
[− 100
, 100
],
1
1
[− 1000
, 1000
],
....
Compleetheid is een hele krachtige eigenschap. Het vak Analyse gaat over R en dat is niet
voor niets. Want in Q kun je geen limieten nemen, niet differentiëren of integreren, geen wortels
trekken, niet goed werken met exponentiële verbanden, bestaan logaritmen niet, . . . .
86
Hoofdstuk 3
ACHTERGROND
Een andere manier om R te beschouwen is als een model van de
volledige getallenlijn. De punten op deze lijn zijn precies de elementen van R. Daarmee is echter niet uitgelegd wáárom R (waarvan je de elementen bijvoorbeeld voorstelt als decimale ontwikkelingen) zo precies de lijn uit ons intuïtie beschrijft.
Eerder zaggen we dat de gehele getallen fungeren in twee getalmodellen: het ordinale en het kardinale. De verzameling R is een
model voor een lijn. Een lijn is iets waar we een sterke intuïtie bij
hebben. Over de verzameling R hebben we dat veel minder. Wiskundigen hebben er sinds de ontdekking van irrationale getallen
dank ook meer dan tweeduizend jaar over gedaan om het concept
L.E.J. Brouwer
van reële getallen te ontwikkelen. En zelfs nu nog vinden sommi1881–1966
gen dat de reële getallen een verkeerd of onvolledig model van de
getallenlijn vormen. Een beroemde wiskundige die deze mening was toegedaan, is de Nederlandse hoogleraar Brouwer. Hij vond onder meer dat je zoiets vloeiends als een lijn niet
kon opvatten als een verzameling losse punten.
Ook natuurkundigen ligt de verzameling R niet lekker. Ze maken namelijk veel gebruik
van zogenaamde infinitesimalen, ofwel oneindig kleine getallen, en dit zijn geen elementen
van R. Neem bijvoorbeeld de kettingregel:
dy
dy du
·
=
du dx
dx
Voor natuurkundigen is d u een ‘infinitesimaal getal’ waar je gewoon mee kunt rekenen
zoals in bovenstaande vergelijking wordt gesuggereerd. Wiskundigen vinden infinitesimalen flauwekul. Voor hen is het idee dat je d u boven en onder de streep kunt wegstrepen
slechts een ezelsbruggetje is en geen wiskundige uitleg. Overigens is in bepaalde moderne,
geavanceerde takken van wiskunde weer wel plek voor dit soort technieken. Zie ook opgave 19.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 3
87
Opgaven
Opgaven bij paragraaf 3.1
A
link
O
1r.
Waarom kun je niet delen door nul?
1
Soms denkt men te kunnen volstaan met de regel 10 = ∞. De intuïtie hierbij is dat 0,00...01
een heel groot getal is en 0,00 . . . 01 ≈ 0. Echter, er geldt ook −0,00 . . . 01 ≈ 0 maar als we
1 door dat getal delen, krijgen we juist een heel erg groot negatief getal. Zie voor betere
argumenten opgave 2.71.
A
link
O
2p.
Hoe ziet de kleinste uitbreiding van N eruit die gesloten is onder delen (behalve door
nul)?
A
link
O
3∗.
De notatie nt geeft het unieke getal x aan waarvoor geldt n x = t . Net als breuken,
kunnen ook negatieve getallen met een gedegenereede notatie (zie het kader op blz. 78)
a
worden geïntroduceerd. We gebruiken hiervoor de fantasienotatie ◦◦ . Dit staat voor het
b
unieke getal x waarvoor geldt b + x = a.
0
3
3
a Wat is in de gewone schrijfwijze ◦◦ ? En ◦◦ ? Heeft ◦◦ ook betekenis?
3
4
0
b Waarom is deze notatie gedegenereerd? Geef een voorbeeld.
Opgaven bij paragraaf 3.2
A
link
O
4r.
Bewijs dat het getal van Champerowne
C = 0,123456789101112131415161718192021222324 . . .
irrationaal is.
A
link
O
5p.
Bekijk schoolboekfragment
3.2 op blz. 81. Geef de overeenkomsten en verschillen aan
p
met het bewijs dat 2 ∈
/ Q in dit dictaat.
A
link
O
6r.
In de eerste paragraaf van dit hoofdstuk staat een bewijs dat
werkt dit bewijs niet voor het getal π?
A
link
O
7r.
p
2 niet rationaal is. Waarom
p
Het bewijs dat 2 irrationaal is, kun je omzetten in een bewijs dat andere wortels irrationaal zijn.
p
a Bewijs 45 ∈
/ Q.
b Precies waar gaat het mis als je het bewijs probeert toe te passen op
c Hoe kun je aan de priemfactorontbinding van n zien of
p
p
49?
n wel of niet rationaal is?
88
Hoofdstuk 3
d Bewijs je uitspraak in c
p
p
p
7
8
5
21, 1024 en 243 irrationaal zijn.
A
link
O
8r.
Ga na of
A
link
O
9r.
Stel dat bij twee getallen a, b ∈ N met a, b > 0 er een priemgetal is dat de één wel deelt en
de andere niet. Bewijs dat a log b irrationaal is
A
link
O
10r.
Bewijs: voor iedere k ∈ Q geldt
A
link
O
11p.
a Geef een voorbeeld van twee verschillende irrationale getallen waarvan de som ook
irrationaal is.
p
2+k ∈
/ Q.
b Laat zien dat R \ Q niet gesloten is onder optellen.
A
link
O
12p.
p
p
Doel van deze opgaven is te bewijzen dat p2 + p3 irrationaal is. Dat doe je door een
tegenspraak af te leiden. Neem dus aan dat 2 + 3 ∈ Q.
p
p
a Leid uit deze aanname af dat ook ( 2 + 3)2 ∈ Q.
b Laat zien dat dit een tegenspraak geeft.
c Onderzoek nu ook of
p
p
7 − 5 rationaal is.
A
link
O
13p.
Stelling: Er bestaan irrationale getallen
a en b zodat a b ∈ Q.
p p2
Bekijk, om dit te bewijzen, x = 2 . Waarschijnlijk heb je geen flauw idee of x rationaal
danwel irrationaal is. Maar dat hoef je ook niet te bewijzen! De truc is om twee gevallen
te onderscheiden: x ∈ Q en x ∈
/ Q. Maak het bewijs af.
A
link
O
14p.
Gegeven zijn a, b ∈ R met a < b . Noteer met I het interval ⟨a, b ⟩.
a Laat zien dat I ∩ Q 6= ∅.
b Laat zien dat I \ Q 6= ∅.
c Laat zien dat I zelfs oneindig veel rationale getallen bevat.
d Laat zien dat I zelfs oneindig veel irrationale getallen bevat.
A
link
O
15p.
Bekijk het reële getal x dat gegeven is door de decimale ontwikkeling
x = c−1 10−1 + c−2 10−2 + c−3 10−2 + · · · .
waarbij ci = 0 tenzij i een priemgetal is, in welk geval ci = 1. Laat zien dat x ∈
/ Q.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 3
89
Opgaven bij paragraaf 3.3
A
link
O
16r.
A
link
O
17r.
A
link
O
18p.
A
link
O
19p.
p
De theorie zegt dat Q( 5) gesloten p
is onder optellen,
p aftrekken, vermenigvuldigenr en
delen. Neem als voorbeeld r = 1 + 2 5 en s = 3 − 5. Schrijf r + s, r − s, r · s en s in
p
de vorm x + y 5.
p
Dit is een veralgemenisering van opgave 16. Bewijs door algebraïsch uitwerken dat Q( a)
gesloten is onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. [N.B. Hoewel dit een
reproductie-opgave is, wil dat niet zeggen dat dit makkelijk te doen is! Er zijn veel letters
in het spel, dus het vraagt veel van je algebraïsche vaardigheid.]
p p
In lijn met de ideeënp uit dit
p hoofdstuk, definiëren we Q( 2, 3) als de kleinste uitbreiding van Q die 2 en 3 bevat en bovendien
verp p gesloten is onder optellen
p en p
menigvuldigen. Niet alle elementen in Q( 2, 3) zijn van de
p a + b 2 + c 3.
p vorm
2,
3) is te schrijven als
Bepaalpeen getal
n
∈
N
waarvoor
geldt:
ieder
element
in
Q(
p
p
a + b 2p+ c p 3 + d n, met a, b , c, d ∈ Q. Bewijs je antwoord.
N.B. Q( 2, 3) is ook een geordend lichaam. De
pmakkelijkste
p pmanier om dit te bewijzen, is door het in twee stappen te doen: Q ⊂ Q( 2) ⊂ Q( 2, 3). Dat hoef je voor dit
vak niet te kunnen.
Neem de verzameling
Q(") = z z = x + y"
met x, y ∈ Q
Hier is " geen getal, maar gewoon een letter waarmee je volgens de gebruikelijke regels
voor het letterrekenen kunt werken—op één uitzondering na: er geldt "2 = 0.
a Laat zien dat (2 + 3")(1 − 4") = 2 − 5".
b Welke axioma’s van een geordende lichaam gelden voor Q(")?
Het voorbeeld uit deze opgave lijkt misschien vergezocht. p
Maar in het volgende hoofdstuk gaan we ook een ‘gek’ element toevoegen (namelijk −1) en daar blijkt bijna (!)
alles wél goed te gaan!
Natuurkundigen gebruiken het element " uit deze opgave heel vaak tijdens berekeningen. Hun idee is dat " een ‘erg klein’ getal is, zodat "2 helemaal onmeetbaar klein is en
dus kan worden genegeerd.
A
link
O
20r.
Waarom zijn alle a ∈ Q algebraïsche getallen?
A
link
O
21p.
Laat zien dat ieder van de volgende getallen algebraïsch is, door steeds een polynoom
(6= 0) te geven waar het een nulpunt van is:
a
p
5
4
p
b 1− 6
A
link
O
90
Hoofdstuk 3
22r.
Laat zien dat ieder van de volgende getallen algebraïsch is, door steeds een polynoom
(6= 0) te geven waar het een nulpunt van is:
Æp
2
a
b
p
3
7
5
c ( 23 ) 7
d
e
f
A
link
O
23p.
p
1+ 5
2
Æ
11
2
3
−4
p
p
2+ 3
Gegeven is een tweedegraads polynoom
f (x) = a x 2 + b x + c,
waarvoor geldt a, b , c ∈ Q en b 2 − 4ac = 0. Voor een zekere α ∈ R geldt f (α) = 0.
Beschrijf Q(α).
A
link
O
24d.
In Moderne Wiskunde, vwo 3 staan opgaven over exponentiële functies, bijvoorbeeld:
In deze fase van de leerlijn zijn enkel gehele exponenten behandeld. Gebroken exponenten komen pas in klas 4 aan bod. Wat vind je van deze aanpak?
Opgaven bij paragraaf 3.4
A
link
O
25∗.
Aan
p het begin van de paragraaf staan stappen die steeds kleinere intervallen geven waar
2 in ligt. Iedere stap ziet er als volgt uit:
Stap n. Begin met een interval [a, b ] en neem het midden c = a+b
. Als
2
2
2
c < 2 dan is het nieuwe interval [c, b ]. En als c > 2 dan is het nieuwe
interval [a, c].
Nu is naast c 2 < 2 en c 2 > 2 ook c 2 = 2 een mogelijkheid. Waarom zal dat nooit gebeuren?
A
link
O
26∗.
Gegeven is een continue functie f op het domein [a, b ]. Stel dat f (a) > 0 en f (b ) < 0.
De beroemde tussenwaardestelling zegt dat er een x ∈ [a, b ] is waarvoor geldt f (x) = 0.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 3
91
a Maak deze tussenwaardestelling met behulp van een tekening aannemelijk.
b Geef een algoritme om x te benaderen.
c Op welke functie moet je dit algoritme toepassen om
A
link
O
27∗.
p
2 te benaderen?
In de Volkskrant van 6 maart 2010 staat de volgende column van de Wiskundemeisjes
(Daems, 2010):
Als je wil weten hoe de decimalen van het getal pi (de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel,
ongeveer gelijk aan 3,14159265 . . . ) er uitzien, hoef je tegenwoordig alleen maar je rekenmachine te pakken of je computer aan te zetten. Dat was in de zeventiende eeuw wel
anders. Ook toen was men geïnteresseerd in pi.
Het rekenwerk in die tijd lijkt mij geen pretje, maar scherm- en rekenmeester Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) dacht daar heel anders over. Hij
berekende pi tot maar liefst 35 decimalen. Zijn methode, naar een idee van
Archimedes, komt neer op het volgende principe. Een cirkel met diameter 1
heeft een omtrek van lengte pi. Je kunt nooit een cirkel zó precies tekenen
en meten dat je op die manier pi redelijk kunt benaderen.
Teken nu in een cirkel met diameter 1 een vierkant dat nog nét in de cirkel past, en teken om die cirkel heen een vierkant zodat de cirkel precies aan
de vier zijden raakt. Dan zit de omtrek van de cirkel tussen de omtrek van
het kleine en die van het grote vierkant in. En omtrekken van vierkanten
kun je makkelijk uitrekenen.
1 vind je zo de volgende benadering van pi:
p
p Bij een cirkel met diameter
2 2 < π < 4. Het getal 2 2 is ongeveer 2,82842712, dus dit geeft geen goede
benadering. Maar als je in plaats van vierkanten regelmatige veelhoeken
met veel meer hoeken in en om de cirkel past, en daar de omtrekken van
uitrekent, krijg je steeds betere onder- en bovengrenzen voor pi.
Archimedes gebruikte regelmatige 96-hoeken en vond dat 3,140909654 <
π < 3,142826575. Van Ceulen ging veel verder en gebruikte regelmatige
32.212.254.720-hoeken. Daarmee vond hij 20 decimalen. Hij moet een veelhoek met nog meer hoeken gebruikt hebben voor zijn 35 decimalen, maar
we weten niet welke. Een hele prestatie, als je bedenkt dat hij daarvoor
92
Hoofdstuk 3
talloze wortels moest trekken, met ook extreem veel decimalen om nauwkeurig genoeg verder te kunnen rekenen, en dat met de hand. . .
Met zijn benaderingen kon Van Ceulen en passant een aantal geleerde
tijdgenoten die claimden oplossingen van de cirkelkwadratuur gevonden te
hebben, op hun nummer zetten. De vraag daarbij is om, gegeven een cirkel
van een bepaalde grootte, een vierkant te construeren dat dezelfde oppervlakte heeft. Dat is een onmogelijke opdracht, en de crux zit in het woord
“construeren”: je mag alleen een passer en een latje (een liniaal zonder schaalverdeling) gebruiken. In 1882 werd definitief bewezen dat het probleem onoplosbaar is, maar in de zeventiende eeuw wist men dat nog niet zeker. Van
Ceulen kon met zijn benaderingen van pi wel laten zien dat de geclaimde
oplossingen allemaal fout waren!
Hij was erg trots op zijn prestatie, en daarom kwamen de 35 decimalen
op zijn grafsteen terecht. Dat was de eerste keer dat al die decimalen gepubliceerd werden. In de Leidse Pieterskerk is een replica te zien. Dit jaar is Van
Ceulen vierhonderd jaar dood, dus laten we op pi-dag (14 maart, naar 3,14)
maar eens aan zijn gereken denken!
a Op welke manier wordt inklemmen in de method van Archimedes gebruikt? Wat is
het verschil met de theorie uit het hoofdstuk?
b In het artikel wordt als voorbeeld het inklemmen met een vierkant gegeven.
Maak
p
hierbij een tekening en controleer hiermee de bewering in het artikel dat 2 2 < π < 4.
c Doe hetzelfde voor de zeshoek.
A
link
O
28∗.
p
De methode in dit hoofdstuk om de decimale ontwikkeling van 2 te bepalen, is niet
heel
p efficiënt. De Babyloniërs konden dit al veel sneller. Zij begonnen met een ‘gok’ voor
2, bijvoorbeeld a0 = 2 (het precieze getal is niet zo belangrijk). Vervolgens berekenden
ze
a0
1
1
a1 = + = 1 .
2
a0
2
p
Deze nieuwe waarde ligt al dichter bij 2. Om een steeds betere benadering te krijgen,
werd dit proces herhaald. In het algemeen:
an+1 =
an
2
+
1
an
.
a Onderzoek met je rekenmachine hoe goed a2 , a3 , en a4 het getal
b Wat gebeurt er als je
p
2 benaderen.
p
2 in deze formule invult in plaats van an ?
Bij het vak Analyse – dynamische modellen, in de theorie van rijen en recursieve betrekkingen, zul je leren waarom deze methode werkt.
A
link
O
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 3
93
29∗.
p
3
3
a Pas de methode op blz. 83 toe om het eerste decimale cijfer achter de komma van
te bepalen.
b Pas de methode toe om 2log 3 te benaderen op twee cijfers achter de komma.
A
link
O
30∗.
Gegeven is de decimale ontwikkeling
x = n + c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + c−3 · 10−3 + · · ·
van een reëel getal x. Geef een keten intervallen · · · ⊂ I2 ⊂ I1 ⊂ I0 die x inklemmen.
A
link
O
31∗.
Een manier om R te beschrijven, is door de elementen te beschrijven: alle ‘kommagetallen’, of liever gezegd: alle decimale ontwikkelingen. Deze aanpak heeft een aantal
nadelen.
1.
Het geeft geen mooie karakterisering van R, zoals we dat eerder bij Z en Q wel
hebben gekregen.
2.
Het is onduidelijk of het woordje ‘decimaal’ een belangrijke rol speelt; wat gebeurt
er als je in plaats van decimale naar bijvoorbeeld binaire ontwikkelingen kijkt (zie
ook opgave 31 uit hoofdstuk 1)? Krijg je dan een ander soort reële getallen?
3.
De definitie van optellen en vermenigvuldigen blijft nog onduidelijk—zie opgave 1.23.
Leg uit waarom met de benadering uit dit hoofdstuk, dus via het begrip compleetheid,
deze bezwaren niet geldig zijn. Geef bij punt 3 ook aan hoe je optellen en vermenigvuldigen in R kunt definiëren.
A
link
O
32∗.
Definieer voor iedere i ∈ N de verzameling
1 1
Ii = − i , i .
10 10
a Geef de eerste vier intervallen I0 , I1 , I2 en I3 aan op de getallenlijn.
b Bepaal
\
Ii .
i ∈N
c Op bladzijde 85 staat een keten van intervallen beschreven waarvan de doornede in Q
niet leeg zou zijn. Toon dat aan.
Definieer ook
1
Ji = 0, i .
10
d Teken ook hiervan de eerste vier intervallen op getallenlijn en bepaal
\
i ∈N
Ji .
94
Hoofdstuk 3
Definieer ten slotte
1
Ki = −1, i .
10
e Doe hetzelfde als bij d voor Ki .
In plaats van gesloten intervallen [·, ·] kun je ook kijken naar open intervallen ⟨·, ·⟩.
f Hoe veranderen de antwoorden van onderdeel b, d en e als je met open intervallen
werkt?
hoofdstuk 4
COMPLEXE GETALLEN
95
OVER DIT HOOFDSTUK
Complexe getallen kom je in de schoolwiskunde alleen
soms tegen bij het keuzevak Wiskunde D in de Tweede
Fase. Het is een nieuw soort getallen waarvoor geen
plek is op de bekende getallenlijn. Binnen de moderne
wiskunde spelen complexe getallen een zeer belangrijke
rol, omdat het veel problemen veel simpeler en eleganter maakt. Ook in de beschrijving van de natuur zijn ze
essentieel.
wers ervaren dit ook, als ze kennismaken met voor hen
nieuwe getallen zoals negatieve. Mede daarom kan een
kennismaking met complexe getallen voor een docent
een leerzame ervaring zijn.
Omdat complexe getallen geheel nieuw zijn, zul je
‘opnieuw moeten leren rekenen.’ Hier toont de axiomatische aanpak uit de vorige hoofdstukken zijn kracht.
Uit het feit dat ook de complexe getallen voldoen aan
Dit onderdeel van de cursus zal voor de meesten de fundamentele rekenregels volgt namelijk dat ook aleen kennismaking zijn met een nieuw soort getallen. Je lerlei zaken als haakjes uitwerken e.d. net zo werken
zult daarbij bekend terrein moeten verlaten. Onderbou- als voorheen. Gelukkig maar!
Dit hoofdstuk sluit aan bij hoofdstuk 7 uit Moderne Wiskunde vwo D deel 2 (de negende editie). We korten dit boek af to MW D2 . De aanbevolen volgorde om dit hoofdstuk en het boek te
behandelen, is:
/ §4.2
/ MW
§4.1
D2 7.1–7.4
/
MW D2 7.5–7.6
(opg. 48 overslaan)
/
§4.3
COMPLEXE GETALLEN
97
4.1 De wortel uit −1
p
In het vorige hoofdstuk hebben we de getalverzameling Q( 2) bekeken en het
volgende gezien:
p
p
1. Per definitie is Q( 2) de kleinste uitbreiding van Q ∪ { 2} die gesloten is
onder optellen en vermenigvuldigen.
p
p
2. Alle elementen van Q( 2) zijn van de vorm x + y 2.
p
3. Het blijkt dat Q( 2) een geordende lichaam is. Dat impliceert bijvoorbeeld dat het gesloten is onder aftrekken en delen.
Aan het getal 2 is niets bijzonders: het werkt voor ieder natuurlijk getal. In de
zestiende eeuw ontstond bij Italiaanse wiskundige de behoefte om ook met de
wortel
Wat gebeurt er als we de ‘fantasieverzameling’
p
p uit −1 te kunnen rekenen.
Q( −1) bekijken? Of R( −1)? De grote verrassing is dat het rekenen nog
steeds net zo kan werken als gebruikelijk.
In MW D2 zal de verzameling van complexe getallen C worden gedefinieerd.
Bovendien zal aan optellen en vermenigvuldigen in C betekenis worden gegeven.
De verzameling complexe getallen is een uitbreiding van de verzameling reële
getallen, R ⊂ C. Het bevat een bijzonder ‘nieuw getal’ dat we met i noteren en
waarvoor geldt i 2 = −1. Deze i is dus ‘de wortel uit −1’.
Bij deze theorie zijn twee filmpjes beschikbaar.
De titels zijn: Verbandiwortel2 en rekeneni.
p
De notatie i = −1 ligt voor de hand, maar zal niet worden gebruikt. De
verleiding is dan namelijk te groot om te denken dat alle bekende rekenregels
voor wortels blijven gelden, maar dat is niet zo—zie het voorbeeld
op blz. 172
p
van MW D2 . In je hoofd mag je echter best over i nadenken als −1.
De rekenregels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen blijven
wel gelden. Om precies te zijn: C is een lichaam. Alleen aan de ordeningsrelaties
kan geen zinvolle betekenis worden gegeven. Uit de fundamentele rekenregels
voor een geordend lichaam volgt namelijk voor alle a dat a 2 ≥ 0 en dat valt niet
te rijmen met i 2 = −1. De complexe getallen kun je dus niet plaatsen op een
getallenlijn! In MW D2 zul je zien dat C past bij een tweedimensionaal model.
Met deze operaties vormt de verzameling complexe getallen een lichaam:
complexe
getallen
98
Hoofdstuk 4
optellen
vermenigvuldigen
a + b = b +a
ab = ba
(a + b ) + c = a + (b + c)
(a b )c = a(b c)
a +0=0+a =a
a ·1=1·a =a
voor alle a, b ∈ Q heeft
a + x = b een oplossing
voor alle a, b ∈ Q
met a 6= 0 heeft
a x = b een oplossing
commutativiteit
associativiteit
neutraal element
inverse
a(b + c) = a b + ac
distributiviteit
fundamentele rekenregels voor een lichaam
THEORIE
Dep
volgende tabel geeft belangrijke verschillen en overeenkomsten tussen
Q( 2) en C:
p
Q( 2)
É
C
. . . bevat een speciaal element
waarvan het kwadraat 2 is
. . . bevat een speciaal element
waarvan het kwadraat −1 is
. . . kleinste
uitbreiding van
p
Q ∪ { 2} gesloten onder
optellen en vermenigvuldigen
. . . kleinste uitbreiding van
Q ∪ {i} gesloten onder
optellen en vermenigvuldigen
. . . ieder element
is van de
p
vorm x + y 2
. . . ieder element is van de
vorm x + yi
. . . vormt een geordend lichaam
. . . vormt een lichaam, maar
zonder ordening (er is wel de
zwakkere notie van ‘modulus’)
. . . past binnen het model van
de getallenlijn
. . . nieuwe getalmodel nodig:
het complexe vlak
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 2
klassengesprek: 1
COMPLEXE GETALLEN
99
4.2 De hoofdstelling van de algebra
In MW D2 , opgave 7.22 heb je twee kwadratische vergelijkingen opgelost met
behulp van de ab c-formule. Dat kon je in deze opgave makkelijk doen, omdat de
discriminant in beide gevallen een reëel getal is. Je kon daardoor probleemloos
een wortel van de discriminant bepalen.
Maar hoe zit het met een kwadratische vergelijking als
z 2 + z − i = 0?
De discriminant is in dit geval D = 12 − 4 · 1 · (−i) = 1 + 4i. Als
p je nu de ab cformule wilt gebruiken, dan loop je aan tegen de uitdrukking ‘ 1 + 4i ’. Wat is
dat? Bestaat deze wortel eigenlijk wel?
p
In de onderbouw leer je dat bijvoorbeeld 2 (met 2 ≥ 0) een getal x is waarvan het kwadraat gelijk is aan 2. Het gaat dus om de vergelijking x 2 = 2. Deze
heeftpechter twee oplossingen (een postitieve en een negatieve)
en de afspraak is
p
dat 2 de positieve oplossing voorstelt. Bekijk nu ‘ 1 + 4i ’. Dit zou moeten
staan voor een complex getal z dat oplossing is van de vergelijking z 2 = 1 + 4i.
Deze vergelijking heeft twee oplossingen. Maar voor complexe getallen is er
geen ‘positieve’ en ‘negatieve’ oplossing; dus welke van de twee moeten we kiezen? Het blijkt dat iedere afspraak die je hierover maakt tot ongerijmdheden
leidt. Daarom:
Om de kwadratische vergelijking az 2 + b z + c z = 0 (met a, b , c ∈ C) op
te lossen, berekenen we eerst de discriminant D = b 2 − 4ac.
p
de notatie ‘ D’ gebruiken we
je kunt wel zinvol spreken over
bij complexe getallen niet
een oplossing v van v 2 = D
de a b c-formule met de bekende
vorm
p
−b ± D
z=
2a
je kunt wel gebruiken:
z=
−b ± v
2a
gebruiken we niet
N.B. Opgave 23a in MW D2 is dus eigenlijk niet netjes.
We gaan verder met ons voorbeeld. Hoe bepaal je een oplossing van v 2 = 1+
4i? Een inzichtelijke manier om zo’n getal te vinden, is door de poolcoördinaten
te gebruiken. De redenering gaat als volgt:
Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.
De titel van het filmpje is kwadratisch.
100
Hoofdstuk 4
(i) Als v een oplossing is van de vergelijking v 2 = 1 + 4i, dan moeten argument en modulus van het linker en rechter lid gelijk zijn: arg(v 2 ) =
arg(1 + 4i) en |v 2 | = |1 + 4i|.
(ii) Wat de modulus betreft:
v²
– |v | = |v| ;
p
p
– |1 + 4i| = 12 + 42 = 17;
Æp
– dus |v| =
17 ≈ 2,03.
2
2
(iii) Wat het argument betreft:
v
– arg(v 2 ) = 2 arg(v);
– tan (arg(1 + 4i)) = 41 , dus arg(1 + 4i) ≈ 1,326;
– dus arg(v) ≈ 12 · 1,326 ≈ 0,66.
(iv) Het getal 2,03 (cos 0,66 + i sin 0,66) ≈ 1,60+1,25i is dus bij benadering een
oplossing van de vergelijking v 2 = 1 + 4i.
In het vervolgvak Matrixrekening en complexe getallen gaan we hier uitgebreider op in en besteden we ook aandacht aan een manier om dit exact te doen. Zie
ook opgave 6 voor een algebraïsche truc.
Op deze manier kun je iedere tweedegraadsvergelijking oplossen. Een bijzondere eigenschap van complexe getallen is dus dat iedere tweedegraads vergelijking een oplossing heeft. Er geldt zelfs nog een mooiere eigenschap:
THEORIE: Hoofdstelling van de algebra
Iedere veelterm van positieve graad
P (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0
(met an 6= 0 en n ≥ 1)
met complexe coëfficiënten a0 , a1 , . . . , an ∈ C heeft een nulpunt.
Deze eigenschap
p is heel bijzonder. Het zegt dat C algebraïsch gesloten is. De
lichamen Q, Q( 2) en R zijn dat alle niet. In het vak Matrixrekening en complexe functies gaan we hier verder op in. Zie opgave 11 voor een bewijs van de
hoofdstelling van de algebra.
algebraïsch
gesloten
É
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 3, 4, 5, 9
klassengesprek: 7, 8, 10
COMPLEXE GETALLEN
101
4.3 Compleetheid van C
—Heel deze paragraaf behoort niet tot de tentamenstof.
In §3.4 heb je gezien dat de verzameling van reële getallen compleet is. De intuïtie hierbij is
dat de reële as geen ‘gaten’ bevat. Voor het complexe vlak is dit ook het geval. De definitie
van compleetheid uit §3.4 is echter niet direct bruikbaar, omdat de intervalnotatie in C geen
betekenis heeft.
In de ontwikkeling van de wiskunde gebeurt het vaak dat men een oud begrip (‘compleetheid’) in een nieuwe situatie (‘complexe getallen’) wil gebruiken, maar dat de definitie van het
oude begrip niet helemaal toepasbaar is. De definitie moet dan worden geherformuleerd, zodat
het breder is in te zetten. Voor het begrip compleetheid gaat dat als volgt.
Bekijk de verzameling R. De definitie van het interval [a, b ] is:
[a, b ] = x ∈ R a ≤ x ≤ b .
tussen a en b .
Er is echter ook een andere formulering mogelijk. Neem het midden m = a+b
2
Punt m ligt op afstand r = m − a van de punten a en b . Het interval [a, b ] kun je nu ook
beschrijven als de verzameling punten die ten hoogste afstand r tot m hebben:
x ∈ R |x − m| ≤ r .
En deze definitie is wél toepasbaar op complexe getallen:
B = z ∈ C |z − m| ≤ c .
De deelverzameling B ⊂ C is de gesloten schijf met middelpunt m en straal r .
THEORIE
De verzameling C is compleet, in de volgende zin. Stel dat je gesloten schijven B0 , B1 ,
B2 , . . . hebt die allemaal in elkaar zijn bevat:
· · · ⊂ B2 ⊂ B1 ⊂ B0 .
Dan is de doorsnede van deze verzamelingen niet leeg:
\
B j 6= ∅.
j ∈N
Compleetheid is essentieel als je analyse (limieten, differentiëren, intergreren) wilt doen.
Bij alle analysevakken in de bachelor wordt het complete lichaam R gebruikt. Maar omdat C
ook compleet is, zou je dit lichaam net zo goed kunnen gebruiken. Dit leidt tot de ‘complexe
functietheorie’—maar dat is een vak dat in de master thuishoort.
102
Hoofdstuk 4
Opgaven
Opgaven bij paragraaf 4.1
A
link
O
1r.
Op het moment dat je deze opgave maakt, hoef je maar één ding over C te weten: C voldoet aan de rekenregel voor een lichaam. Bewijs voor alle complexe getallen a, b , c
en d :
a a + 3a = b + 2b precies dan als 4a = 3b
b (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
c a b = 0 precies dan als a = 0 of b = 0
A
link
O
2p.
Je kunt C beschouwen als de tweedimensionale vectorruimte R2 , maar wel met een bijzonder definitie van een product. Laat zien dat met de naïeve definitie van een product
(a, b ) · (c, d ) = (ac, b d )
R2 niet voldoet aan de fundamentele rekenregels voor een lichaam.
Opgaven bij paragraaf 4.2
A
link
O
3r.
In de tekst wordt afgeleid dat v = 1,60 + 1,25i bij benadering een oplossing is van de
vergelijking v 2 = 1 + 4i. Controleer dat.
A
link
O
4r.
Bepaal een oplossing (exact) van de vergelijking.
a
z2 = i
b
z2 = i + 1
Bij de volgende vergelijking mag je de reële coëfficiënten x, y in de oplossing z = x + i y
afronden op twee cijfers achter de komma.
c
A
link
O
5r.
link
O
6p.
d
z 2 = 3i − 2
b
z 2 + (1 − i)z = 3i
Los de volgende vergelijkingen op.
a
A
z2 = 4 − i
z 2 + 2z + 2 = 0
Op bladzijde 99 staat een algoritme om bij een complex getal D = a + b i een getal z te
bepalen zodat z 2 = D. Dit kan sneller met behulp van een algebratruc. Bekijk namelijk
Æ
|D| + a + i
Æ
|D| − a
2
.
Werk in de deze formule de haakjes uit en onderzoek hoe je hiermee z kunt bepalen.
Let ook op de volgende dingen:
•
Zijn de termen onder de wortels in de formule nooit negatief?
•
Wat gebeurt er als b < 0?
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 4
•
103
Als D 6= 0, dan heeft de vergelijking z 2 = D twee oplossingen; hoe vind je die
terug?
—Bron: gebaseerd op Van Rooij en Van den Broek (2009, p. 35)
A
link
O
7p.
Op bladzijde 99 staat een algoritme om bij een complex getal D = a + b i een getal z te
bepalen zodat z 2 = D. Deze vergelijking heeft (als D 6= 0) echter twee oplossingen. In
welke stap van het algoritme wordt de (impliciete) keuze voor één van de twee oplossingen gemaakt?
A
link
O
8p.
Op bladzijde 99 staat:
om a z 2 + b z + c = 0 (met a, b , c ∈ C) op te lossen, kun je gebruiken:
z=
−b ± v
2a
,
waarbij v een oplossing is van v 2 = b 2 − 4ac.
Bewijs dit op twee manieren:
a door z =
−b ±v
2a
in te vullen in de kwadratische vergelijking;
b door kwadraatafsplitsen.
A
link
O
9p.
A
link
O
10r.
A
link
O
11∗.
Gebruik de ideeën in het stappenplan op blz. 99 om een 7-demachtswortel van 1 + i te
bepalen.
p
Waarom zijn Q, Q( 2) en R niet algebraïsch gesloten?
Deze opgave behandelt een bewijs van de hoofdstelling van de algebra. Een essentieel
ingrediënt van dit bewijs is het concept beeld van een complexe functie.
a Maak opgave 1, 2, 3 en 5 uit §8.1 van MW D2 .
Begin met een figuur X in het complexe vlak en een complexe functie f . Deze functie
voert de punten van de figuur over in nieuwe punten. Op deze manier wordt X door de
functie overgevoerd in een nieuw figuur, het beeld van X :
beeld(X ) = f (z) z ∈ X .
In de opgave in het boek is de figuur steeds een driehoek en is de functie zo eenvoudig
gekozen dat het beeld weer een driehoek is. Het is in dat geval voldoende te onderzoeken
wat er met de hoekpunten gebeurt. In het algemeen is de vervorming wat ingewikkelder.
Voor het bewijs nemen we als figuur cirkels om de oorsprong met straal r :
C r = z ∈ C |z| = r .
beeld
104
Hoofdstuk 4
b Onderzoek wat het beeld is van C2 als f (z) = 2z + 1.
c Onderzoek wat het beeld is van C1 als f (z) = z 2 .
d Onderzoek wat het beeld is van C r als f (z) = z k (met r ≥ 0 en k ∈ N).
Een bewijs van de hoofdstelling van de algebra gaat als volgt:
Stelling. Iedere veelterm van positieve graad
f (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0
(met an 6= 0 en n ≥ 1)
met complexe coëfficiënten (a0 , a1 , . . . , an ∈ C) heeft een nulpunt.
Bewijsschets. We mogen aannemen dat an = 1.
Bekijk de familie van cirkels C r met straal r om de oorsprong in het complexe vlak.
•
•
Als r = 0 dan is deze ‘cirkel’ een punt; het beeld is dus ook een punt A
in het complexe vlak. Als A = 0 dan zijn we klaar. Neem vanaf nu dus
aan dat A 6= 0.
Voor een complex getalen z dat ver van de oorsprong ligt, geldt P (z) ≈
z n . Als de straal r heel groot is, is het beeld dus bij benadering een
cirkel om de oorsprong (met een gigantische straal); zie onderdeel d.
Bekijk nu het beeld van C r als r gestaag toeneemt van 0 tot ∞. Je begint met
een klein figuurtje bij punt A dat geleidelijk uitdijt tot je iets krijgt wat er bij
benadering uitziet als een steeds groter wordende cirkel om de oorsprong.
Omdat A buiten de oorsprong ligt, zal het beeld op een bepaald moment
door de oorsprong moeten gaan.
Er is dus een straal r zodat 0 ∈ beeld(C r ). Maar voor een punt z op C r geldt
dan dus f (z) = 0. Dit is het gezochte nulpunt.
e Maak een ‘filmpje’ bij dit bewijs in de vorm van een aantal tekeningen.
f Waarom mogen we aannemen dat de topcoëfficiënt an = 1?
g Waarom zijn we (in het eerste bolletje van het bewijs) klaar als A = 0?
h Er is sprake van een ‘bewijsschets’. Waarom is dit nog geen formeel bewijs?
Bij het vak Redeneren en bewijzen zul je het begrip ‘bewijs op tussenniveau’ leren. Daar
is deze bewijsschets een voorbeeld van. Zie ook Courant en Robbins (1941).
Opgaven bij paragraaf 4.3
A
link
O
12∗.
Waarom heeft de intervalnotatie in C geen betekenis?
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 4
A
link
O
13∗.
105
Maak een schets van de verzameling
z ∈ C |z − 5i| ≤ 2|
in het complexe vlak en geef drie voorbeelden van elementen uit de verzameling die niet
op één lijn liggen.
A
link
O
14∗.
Wat is de doorsnede van de verzamelingen B j (met j ∈ N), waarbij
B j = z ∈ C |z − 2| ≤ 2 +
1 j +1
?
106
Hoofdstuk 4
hoofdstuk 5
VERZAMELINGENLEER
107
OVER DIT HOOFDSTUK
In de vorige hoofdstukken is af en toe een concept uit
de verzamelingenleer geïntroduceerd. In dit hoofdstuk
zetten we alles nog eens op een rijtje. We maken van
de gelegenheid gebruik om wat zaken die nog niet eerder zijn genoemd, maar wel in de Kennisbasis staan, te
noemen: zoals het symmetrisch verschil, de machtsverzameling en willekeurige verenigingen en doorsneden.
Ook venndiagrammen komen aan bod. Er wordt een
koppeling gemaakt met de concepten functie, domein
en bereik die bekend zijn uit de analyse.
De verzamelingenleer is aan het einde van de negentiende eeuw ontstaan. Men ontdekte dat verzamelingen konden dienen als bouwstenen voor de wiskunde.
Dit leidde tot heftige discussies en tot een felle vernieuwingsslag in de wiskunde, hetgeen uitmondde in
de indrukwekkende werken van Bourbaki, waarin heel
de wiskunde door middel van verzamelingen wordt beschreven. In de jaren ’60 wilden aanhangers van de zogenaamde New Math-beweging deze aanpak van wiskunde ook in het voortgezet onderwijs (en zelfs het primair onderwijs) gaan toepassen. In dit hoofdstuk zal dat
worden geïllustreerd met enkele passages uit wiskundeboeken van die tijd. In havo en vwo heeft deze aan-
pak, mede door toedoen van Hans Freudenthal, nooit
echt voet aan de grond gekregen. Op mavo heeft het
echter wel lang bestaan. Ook in landen als Frankrijk
of de VS is New Math nog steeds actueel op scholen. Zie voor meer informatie bijvoorbeeld Goffree et al.
(2000), of het stripverhaal Logicomix (Doxiades, 2011)—
een aanrader!
Hoewel de verzamelingenleer niet meer wordt gebruikt om de schoolwiskunde op te bouwen, is het niet
helemaal verdwenen uit de lesboeken. Ook zonder de
New Math-gedachte zijn er namelijk goede redenen om
verzamelingen te gebruiken; bijvoorbeeld als ordeningsgereedschap, als moderne ‘taal van de wiskunde’ en als
instrument om je beknopt en helder te kunnen uitdrukken.
Tot slot wordt in dit hoofdstuk kort aandacht besteed aan het functiebegrip. Enerzijds verheldert verzamelingenleer dit concept, maar anderzijds maakt het
duidelijk dat hier in de schoolwiskunde op een warrige
manier mee wordt omgegaan. Wat betreft het functiebegrip op school heeft wiskundige strengheid het afgelegd
tegen didactische en pragmatische overwegingen.
VERZAMELINGENLEER
109
5.1 Verzamelingen
Wat is een verzameling? Deze simpele vraag is meteen één van de moeilijkste
uit de verzamelingenleer. Hoewel we bij het begrip ‘verzameling’ een sterke
intuïtitie hebben, is het niet makkelijk om het begrip verzameling precies te
definiëren. Dat zullen we dan ook niet doen, maar in plaats daarvan noemen we
twee belangrijke eigenschappen van een verzameling:
• Een verzameling bestaat uit verschillende en onderscheidbare elementen.
Deze elementen kunnen alle mogelijke objecten zijn: getallen, personen,
. . . , of zelfs verzamelingen! De notatie x ∈ A geeft aan dat x een element
is van de verzameling A.
• Op welke manier een verzameling precies wordt beschreven is irrelevant.
Je kunt dat doen door extensie, d.w.z. het opnoemen van alle elementen:
A = {1, 5, 4}
A = {Jan, Piet}
of
of
C = {{1, 5, 4}, ∅, π}
of
,
of door intentie, d.w.z. het geven van voorwaarden waaraan de elementen
moeten voldoen:
D = x x ∈ R en x 2 ≥ 8
of
E = a a is een even getal
maar ook
“F is de verzameling personen die ingeschreven staan aan de HU.”
Deze eigenschappen leiden tot het volgende:
THEORIE
Twee verzamelingen zijn gelijk als ze dezelfde elementen hebben:
A= B
precies dan als
extensie
x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B.
intentie
110
Hoofdstuk 5
Schoolboekfragment 5.1 Krooshof (1968)
[Begin jaren 70 begint Moderne Wiskunde in de brugklas (voor alle niveaus) op
deze manier.]
VERZAMELINGENLEER
111
BEWIJSTECHNIEK
Als je moet bewijzen dat twee verzamelingen gelijk zijn, dan is de
procedure dus:
1. Neem x ∈ A willekeurig en bewijs dat x ∈ B.
2. Neem x ∈ B willekeurig en bewijs dat x ∈ A.
THEORIE
A ⊂ B geeft aan dat A een deelverzameling is van B.
A⊂ B
precies dan als
x ∈ A ⇒ x ∈ B.
Voor de lege verzameling geldt x ∈
/ ∅ voor alle x en ∅ ⊂ A voor alle
verzamelingen A.
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 1, 3, 4
klassengesprek: 2, 5
Ê
5.2 Venndiagrammen
In 1881 bedacht de Engelsman Venn een didactisch instrument om verzamelingenleer grafisch weer te geven: het venndiagram. Hier is een voorbeeld (uit de
NRC van 24 dec. 2011):
venndiagram
112
Hoofdstuk 5
De cirkel linksboven stelt de verzameling voor van ingrediënten die in de ZuidEuropese keuken worden gebruikt. De cirkel rechtsboven is de verzameling
ingrediënten uit Oost-Azië en de cirkel onder gaat over Latijns-Amerikaanse ingrediënten. In gebieden waar de cirkels overlappen, staan ingrediënten die twee
of drie streken gemeenschappelijk hebben. Dit zijn doorsnedes van verzamelingen.
In de verzamelingenleer gaat het vaak over ‘een verzameling A,’ zonder dat
de verzameling concreet wordt omschreven. In een venndiagram laat je dan
slechts de omlijningen staan en teken je de elementen niet. In bovenstaand voorbeeld zou je de etenswaren dan dus weghalen en de cirkels laten staan.
In de volgende tabel zijn de operaties met verzamelingen uit dit hoofdstuk
verzameld en uitgebeeld met venndiagrammen. Er is ook een operatie toegevoegd die nog niet aan bod is gekomen: het symmetrische verschil.
THEORIE
De linker cirkel in het venndiagram representeert de verzameling A, de
rechter de verzameling B.
Vereniging
A ∪ B = x x ∈ A of
x ∈B
Doorsnede
A ∩ B = x x ∈ A en
x ∈B
Verschil
A \ B = x x ∈ A en
x∈
/B
Symmetrisch verschil
A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Het verschil A \ B wordt soms ook wel genoteerd als A − B.
Neem een venndiagram in gedachten. Wat stelt het gebied buiten de omlijning voor? Dit zouden ‘alle andere elementen’ moeten zijn en dat suggereert dat
VERZAMELINGENLEER
113
er een totaliteit van elementen is: het universum. Wiskundig is dit een wankel
begrip, maar in contexten wordt het nog wel eens gebruikt als duidelijk is dat je
alleen geïnteresseerd bent in objecten van een bepaald type. Bijvoorbeeld: in het
venndiagram over eten zou het universum bestaan uit alle ingrediënten die in de
wereld worden gebruikt. In dat geval kun je spreken over het complement van
een verzameling:
/A .
Ac = x x ∈
universum
complement
Nogmaals: zonder dat het universum is omschreven, is dit geen goede wiskunde!
Hoewel venndiagrammen een didactische meerwaarde hebben, kunnen ze
ook leiden tot misconcepties. Ze worden in de praktijk vaak fout gebruikt. Zie
bijvoorbeeld de vernietigende kritiek van Freudenthal (1973).
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 9, 11, 13, 14, 16
klassengesprek: 7, 8, 17, 18
5.3 Veel en meer
In deze paragraaf behandelen we nog drie losse bewerkingen met verzamelingen. Deze bewerkingen zijn voor geavanceerde wiskunde essentieel, maar in de
schoolwiskunde en in de rest van de bacheloropleiding zul je ze niet heel vaak
tegenkomen. (Zonder landelijke Kennisbasis zou deze paragraaf er niet zijn geweest. . . )
We beginnen met producten van twee verzamelingen. Hier heb je in de
schoolwiskunde nog wel een klein beetje mee te maken, namelijk bij coördinaten. Een (twee-dimensionale) coördinaat is een paar getallen (x, y). Hierbij
kunnen x en y willekeurige reële getallen zijn. De verzameling van deze coördinaten geven we aan met R × R, hetgeen in de praktijk vaak korter wordt
genoteerd als R2 .
THEORIE
Het product A × B van twee verzamelingen is de verzameling geordende
paren (a, b ) met a ∈ A en b ∈ B:
A × B = (a, b ) a ∈ A en b ∈ B .
Van de volgende (erg abstracte!) concepten geven we enkel de definitie.
Ê
114
Hoofdstuk 5
THEORIE
Gegeven is een verzameling A.
• De machtsverzameling van A is de verzameling P (A) die alle
deelverzamelingen van A als element heeft (inclusief de lege verzameling
en A zelf). Dit is dus een ‘verzameling van verzamelingen’:
P (A) = B B ⊂ A .
• Als de elementen van A verzamelingen zijn, dan hebben de volgende
definities betekenis:
\
A = x voor alle B ∈ A geldt x ∈ B
[
A = x voor een B ∈ A geldt x ∈ B
In woorden betekent dit dat je de doorsnede of vereniging neemt van alle
verzamelingen in A.
Als A = {B, C S
} (met B en C verzamelingen), dan is dit niets nieuws;
bijvoorbeeld: A = B ∪ C .
É
Suggesties voor opgaven
zelfstandig: 19, 20, 21
klassengesprek: 22
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 5
115
Opgaven
Opgaven bij paragraaf 5.1
A
link
O
1r.
Toon de volgende beweringen aan:
a {1, 1, 2} ⊂ {1, 2}
b {1, 1, 2} = {1, 2}
A
link
O
2r.
Geef een formeel bewijs, waarbij je enkel gebruik maakt van de theorievakken uit §5.1,
van de volgende stelling:
A= B
A
link
O
3d.
precies dan als
A⊂ B
en B ⊂ A.
Bekijk de tweedegraadsvergelijking x 2 − 5x + 6 = 0.
a Geef een intrinsieke definitie van de oplossingsverzameling.
b Geef een extrinsieke definitie van de oplossingsverzameling.
c Wat is het verband tussen de kardinaliteit van de verzameling van reëelwaardige oplossingen van een tweedegraadsvergelijking en de discriminant?
Dertig jaar terug moesten leerlingen hun oplossingsproces soms nog zo opschrijven (Goffree et al., 2000):
x ∈ R x 2 − 5x + 6 = 0 = x ∈ R (x − 2)(x − 3) = 0 =
x ∈ R x − 2 = 0 ∪ x ∈ R x − 3 = 0 = {2, 3}.
d Wat vind je hiervan? Benoem voor- en nadelen.
A
link
O
4r.
Maak de volgende opgaven uit de mavo-examens van 1968 en 1969. (Goffree et al., 2000)
a Als (9, 2) ∈ (x, y) 5x + p y = 39 , dan is p gelijk aan
a. −6
b. −3
c. 3
d. dat kan men niet weten
b A = {gelijkbenige driehoeken},
B = {rechthoekige driehoeken},
C = {gelijkzijdige driehoeken}.
Dan geldt:
a. A ∩ B = ∅
b. A ∩ C = ∅
c. B ∩ C = ∅
d. geen van deze beweringen is juist
116
A
link
O
5p.
Hoofdstuk 5
In de experimentele uitgave van Moderne wiskunde uit 1968 staat de volgende opgave:
Waarom is dit geen goede opgave?
A
link
O
6∗.
Een reden waarom het lastig is om een goede definitie van verzamelingen te geven, is dat
je definitie zó moet luiden, dat de beroemde paradox van Russell wordt vermeden. Deze
opgave gaat over die paradox. Definieer de verzameling
P= xx∈
/x .
a Is ∅ een element van P ?
b Geef een voorbeeld van een niet-lege verzameling dat een element is van P .
c Kun je ook een voorbeeld geven dat juist niet element is van P ?
Is P zelf een element van P ? Op deze vraag gaan we nu in.
d Laat zien dat uit de aanname P ∈ P een tegenspraak volgt.
e Laat zien dat uit de aanname P ∈
/ P een tegenspraak volgt.
f Waarom is hier sprake van een ‘paradox’?
Opgaven bij paragraaf 5.2
A
link
O
7r.
Verzin bij ieder van de verzamelingstheoretische operaties uit deze paragraaf een concrete
beschrijving in de context van de ingrediënten uit de wereldkeukens.
A
link
O
8r.
Maak een venndiagram voor de getalverzamelingen uit dit dictaat. Geef hierin ook de
verzameling R+ van positieve reële getallen een plek.
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 5
A
link
O
9r.
117
a Maak de volgende opgave uit de beginjaren van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968):
b Herformuleer c en d in verzamelingentaal.
A
link
O
10r.
Maak de volgende opgave uit de beginjaren van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968)
118
Hoofdstuk 5
A
link
O
11p.
Maak de volgende opgave uit de beginjaren van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968):
A
link
O
12r.
Uit de beginjaren van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968):
Maak hier een moderne variant van.
A
link
O
13p.
In het hoofdstuk wordt het symmetrisch verschil gedefinieerd als (A ∪ B) \ (A ∩ B). Het
kan echter ook zo: A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).
a Maak dat aannemelijk met behulp van venndiagrammen.
b Geef een bewijs met behulp van de formele definities uit dit hoofdstuk.
c Verklaar de term ‘symmetrisch’ in ‘symmetrisch verschil’.
A
link
O
14r.
Geef een venndiagram bij de complementoperatie Ac
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 5
A
link
O
15p.
119
Er zijn15verschillende
soorten
Hieronder
is een
begin
van een vennEr zijn verschillende
soortendriehoeken.
driehoeken. Hieronder
is een begin
gemaakt
vangemaakt
een Venn-diagram.
diagram. Teken dit begin in je schrift en voeg nog een paar verzamelingen toe (in ieder geval die van de gelijkzijdige driehoeken) en teken op iedere plek in het diagram een voorbeeld.
driehoeken
rechthoekig
gelijkbenig
Een terugblik op als-dan redeneringen
Met Venn-diagrammen kun je laten zien waaarom je een als-dan redenering niet zomaar kunt omdraaien.
a. Laat zien dat ‘als een driehoek gelijkzijdig is, dan is hij gelijkbenig’ niet betekent ‘als een driehoek
a Voeg16aan
de tekening nog een paar verzamelingen toe (in ieder geval die van de gelijkgelijkbenig is, dan is hij gelijkzijdig’.
zijdige driehoeken) en teken op iedere plek in het diagram een voorbeeld.
b. Geef zelf nog zo’n voorbeeld met behulp van Venn-diagrammen.
‘Als een driehoek gelijkzijdig is, dan is hij gelijkbenig’ betekent niet ‘als een driehoek
17 In een
wijk is
in hij
Utrecht
hebben een aantal jongeren een jongeren met scooter (30)
gelijkbenig
is, dan
gelijkzijdig’.
b
c
scooter. In die wijk waren afgelopen jaar ook een aantal
23
verkeersongelukken. Bij sommige ongelukken waren jonLaat dit
met
vanbetrokken.
een venndiagram zien.
7
geren
metbehulp
een scooter
Welke uitspraak is waar:
64
“Ongeveer 25% van de jongeren met scooter is betrokken
Geef zelf
nog
zo’n
voorbeeld
met
behulp
van
een
venndiagramm.
geweest bij een verkeersongeluk.”
“Ongeveer 10% van de jongeren in de wijk is betrokken —Bron:
bij
Doorman
en Roodhart
personen
met verkeersongeluk
(71)
een verkeersongeluk.”
18 Een veelgemaakte redenering is de volgende:
90 % van de longkanker patienten heeft gerookt.
Dus: als je rookt, dan is de kans op longkanker 90%.
Laat met een Venn-diagram zien dat deze omdraaing niet zomaar is toegestaan.
Samenvatting
Je hebt 7 soorten mensen . . .
Waar zit jij nu?
43
(2010)
120
A
link
O
16r.
11 Bij het zoeken op internet kun je meestal gebruik maken van AND en OR.
Op woensdag 9 april 2008 gaf dat de volgende resultaten:
Amsterdammer:
341.000 hits.
leugenaar:
174.000 hits
Amsterdammer AND leugenaar:
39.000 hits
Amsterdammer OR leugenaar:
476.000 hits
*
Verklaar deze getallen.
Hoofdstuk 5
In een juridisch handboek staat de volgende bladzijde over zoeken op internet:
In een juridische handboek staat het volgende over zoeken op internet:
Booleaanse operatoren zijn logische zoekoperatoren, genoemd naar de Engelse wiskundige
George Boole (1816-1854). Met de operatoren AND, OR en NOT kunnen relaties tussen zoektermen worden aangegeven, waardoor er preciezer gezocht kan worden.
AND = alle zoektermen gecombineerd met AND moeten in een pagina voorkomen.
OR = bij zoektermen gecombineerd met OR hoeft maar één van de termen voor te komen.
NOT = met NOT geef je aan dat een zoekterm niet in een pagina voor mag komen.
Bijvoorbeeld de zoekvraag: appels AND peren heeft als resultaat pagina's waarin de termen
appels en peren beide voorkomen. In onderstaande figuur is dit geïllustreerd.
Zoekvraag: appels OR peren. Resultaat: pagina's waarin in ieder geval één van beide termen
voorkomt. Pagina's waarin beide termen voorkomen behoren natuurlijk ook tot de resultaten.
Zoekvraag: appels NOT peren. Resultaat: pagina's waarin wel de term appels voorkomt, maar
niet de term peren.
AltaVista heeft een afwijkende not-operator. Daar dien je AND NOT te gebruiken om een term
uit te sluiten. Bovenstaande zoekvraag zou bij AltaVista als volgt geformuleerd moeten worden:
appels AND NOT peren.
*
Zie ook "De Google-dans" in het tijdschrift Pythagoras (nummer 1, september 2008).
Verderop in het juridische handboek staat:
41 combineren in één zoekvraag. Zoek
Je kunt de verschillende operatoren ook
je bijvoorbeeld informatie over campings op Terschelling of Ameland, dan
zou je zoekvraag er zo uit kunnen zien:
camping AND (Ameland OR Terschelling).
Het trefwoord camping moet voorkomen, in combinatie met of Ameland,
of Terschelling, of beide. Gebruik je de OR operator in combinatie met
AND of NOT, plaats dan de OR-verklaring altijd tussen haakjes.
Laat met behulp van venndiagrammen zien dat het belangrijk is om haakjes te zetten.
—Bron: Doorman en Roodhart (2010)
OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 5
A
link
O
17d.
121
Op internet levert zoeken op ‘venn diagram’ het volgende plaatje.
Waarom is dit een verkeerd voorbeeld van een venndiagram?
A
link
O
18r.
In het boek Understanding the Number System (Osborn et al., 1968) staat op blz. 111:
Suppose we wish to determine the greatest common factor [vertaling:
ggd] of 12 and 18. Set A includes the prime factors of 12, and set B those of
18.
Set A =
{2, 2, 3}
Set B =
{2, 3, 3}
The prime numbers 2 and 3 are common to both sets, and so the product of
2 and 3 (or 6) is the greatest common factor of the numbers 12 and 18.
Geef kritiek hierop. Kijk ook nog maar eens naar opgave 2.37.
Opgaven bij paragraaf 5.3
A
A
A
link
link
link
O
O
O
19r.
20r.
21p.
Bepaal alle elementen van de volgende producten:
a
{1, 3, 5} × {2, 4}
b
{1} × {2}
c
N×Q
d
R×∅
Bepaal alle elementen van de volgende machtsverzamelingen:
a
P ({1, 2}
c
P (∅)
b
P ({1})
Leg uit: P (N) is de verzameling functies van N naar {0, 1}.
122
A
link
O
22p.
Hoofdstuk 5
a Geef alle deelverzamelingen van {1, 2, 3, 4}. Hoeveel zijn dit er?
b Probeer vast te stellen hoeveel deelverzamelingen een eindige verzameling heeft.
c Herformuleer je conclusie uit onderdeel b in termen van de machtsverzameling.
A
link
O
23p.
Bij analyse ben je de begrippen functie, domein en bereik tegengekomen. De formele
definitie is als volgt:
Gegeven twee verzamelingen A en B. Een functie f : A → B is een deelverzameling f ⊂ A×B waarvoor geldt: voor iedere a ∈ A is er precies één element
(a, b ) ∈ f . Hierbij heet A het domein van de functie en B het codomein.
Waarschijnlijk herken je hier helemaal niet het functiebegrip in zoals je dat gewend bent!
De volgende notatie-afspraak verduidelijkt het een en ander:
(a, b ) ∈ f schrijven we als f (a) = b .
Deze definitie wordt in de schoolwiskunde niet gehanteerd. Zie voor een didactische
motivatie hiervan Van Dormolen (1976, p. 176 e.v.), maar de volgende vraag zullen je
ook al een beeld van de argumenten-tegen geven.
Leg uit waarom de vraag “Bepaal het domein van f (x) = x1 ” volgens de formele definitie
betekenisloos is.
A
link
O
24p.
A = P (R). Wat is
A
link
O
25p.
Bij Analyse heb je kennisgemaakt met de eigenschap differentieerbaarheid van functies
(van R naar R). Een functie is differentieerbaar als de afgeleidefunctie bestaat. Deze
afgeleidefunctie kan op haar beurt weer differentieerbaar zijn, hetgeen betekent dat de
afgeleidefunctie van de afgeleidefunctie bestaat. En die kan op haar beurt weer differentieerbaar zijn. . . .
S
A? Wat is
T
A?
Noteer met D i (voor iT∈ N) de verzameling functies die minstens i keer differentieerbaar
zijn. Definieer D ∞ = D i .
Geef twee echt verschillende voorbeelden van elementen van D ∞ .
ONDERZOEKSOPGAVEN
NOG NIET AF. GAAN WE DIT DOEN?
2. Zoek uit wat Zn is. Iets over delen? Gektallen (uit Getallenbrouwerij)
3. Pythagorese drietallen (Zebra FLT, H2, blz 6–9)
4. Klokrekenen (Brouwerij §1.4 blz. 20–26)
5. Bombelli (Getallenbrouwerij 29–31 met aanvulling)
6. Meetkunde en C. Maak opgave 44 op blz. 46 in Gektallen met en zonder
gebruik van de complexe getallen.
7. Kardinaliteit. Hier is ook een Zebraboekje van. . .
123
124
Hoofdstuk 5
VERWIJZINGEN
Hans van Baalen et al. 2006. Systematische natuurkunde. Nijgh Versluys.
Barlaeus Gymnasium Amsterdam 2009. Wiskundeboek Klas 1. http://www.barlaeus.nl/
onderwijs/wiskunde.html .
Frits Beukers 2000. Getaltheorie voor beginners. Epsilon Uitgaven.
D. van den Bogaart et al. 2005. Matrix. Eerste klas vwo. Malmberg.
Dick Bos et al. 2007–2009. Moderne Wiskunde. Bovenbouw havo/vwo. Negende editie.
Ineke de Bruijn et al. 2006–2010. Moderne Wiskunde. Onderbouw. Wolters-Noordhoff.
Richard Courant en Herbert Robbins 1941. What is Mathematics? Oxford University Press.
Jan van de Craats en Rob Bosch 2007. Basisboek rekenen. Pearson Education Benelux.
Jeanine Daems 2010. Ludolph van Ceulen. de Volkskrant, 6 maart 2010. http://www.
wiskundemeisjes.nl/20100306/ludolph-van-ceulen .
Michiel Doorman en Anton Roodhart 2010. Logisch redeneren. Lesmateriaal voor Wiskunde
C. cTWO. http://www.ctwo.nl → lesmateriaal.
J. van Dormolen 1976. Didactiek van de wiskunde. Tweede druk. Bohn, Scheltema & Holkema.
Apostolos K. Doxiades 2011. Logicomix. Dutch Media uitgevers.
Hans Magnus Enzenberger 1999. De telduivel. Een hoofdkussenboek voor iedereen die bang
voor wiskunde is. De bezige bij.
H. Freudenthal 1973. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel Publishing Company.
H. Freudenthal 1984. Didactische fenomenologie van wiskundige structuren. Publicatie vakgroep OW&OC. Rijksuniversiteit Utrecht.
Goffree, Van Hoorn en Zwaneveld (red.) 2000. Honderd jaar wiskundeonderwijs. Nederlandse
Vereniging van WiskundeLeraren.
HBO-raad
2009.
Kennisbasis
Biologie,
Natuurkunde,
Scheikunde,
Techniek,
Wiskunde
voor
de
lerarenopleiding
voortgezet
onderwijs.
http://www.hbo-raad.nl/hbo-raad/publicaties/doc_download/
1064-kennisbasis-lerarenopleiding-voortgezet-onderwijs-beta-studies .
Joost Hulshof en Ronald Meester 2011. Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs. Vrije Universiteit. http://www.few.vu.nl/~jhulshof .
125
126
Hoofdstuk 5
George Ifrah 1988. De wereld van het getal. Of de geschiedenis van een belangrijke uitvinding.
Servire.
Dick Klingens 2012. Groot, groter, nóg groter. In: NVvW (2012). 64–73.
NVvW (Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren) 2012. Getallen / Euclides Special 2012.
Koninklijk Wiskundig Genootschap. Pythagoras. Wiskundetijdschrift voor jongeren. http://
www.pythagoras.nu .
Gerard Koolstra 2011. Delen van veeltermen, deel 1. Euclides nr. 3 jaargang 87.
Krooshof (red.) 1968. Moderne Wiskunde. Eerste editie. Wolters-Noordhoff.
Roger Osborn, M. Vere DeVault, Claude C. Boyd & W. Robert Houston 1968. Understanding
the number system. Ohio: Charles E. Merill Publishing Company.
L.A. Reichard et al. 2003–2009. Getal & Ruimte. EPN.
Arnoud van Rooij en Leon van den Broek 2009. Getallenbrouwerij. Alternatief rekenen. Epsilon
Uitgaven.
SLO (red.) 2009. Project Doorlopende leerlijn taal en rekenen. Referentiekader taal en rekenen.
De referentieniveaus. Enschede. http://www.taalenrekenen.nl
SLO 2011a. Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo.
SLO 2011b. Tussendoelen wiskunde onderbouw vo havo/vwo. voorlopige versie: http://www.
ctwo.nl .
Hans Steur 1980. Levende wiskunde. Toepassingen, geordend naar wiskundig onderwerp. Educaboek.
Anne van Streun 2011. Wiskundige denkactiviteiten. Prepublicatie van een Elwier-katern.
Karen Wynn 1992. Addition and subtraction by human infants. Nature, vol. 358, 27 augustus
1992. 749–750.
ANTWOORDEN
A
link
O
Opgave 0.1
a waar
b waar
c waar, het gaat hier om de verzameling ‘negatieve gehele getallen en nul’
d waar, 0 en 2 voldoen aan de vergelijking x 3 − 3x 2 + 2x = 0
e niet waar
f dit is niet altijd betekenisvol; het gaat mis als y = 0
g niet waar, {3} is een verzameling en geen reëel getal
h niet waar, want 2 is geen verzameling en dus ook geen deel-verzameling
i waar, want ieder element van {1, 1, 2} is ook een element van {1, 2}; omdat het omgekeerde
ook waar is, geldt zelfs {1, 1, 2} = {1, 2}
A
link
O
Opgave 0.2
a de verzameling even getallen
b de verzameling kwadraten van gehele getallen
c het bereik van de functie f (wat natuurlijk niet helemaal gewonemensentaal is. . . )
A
link
O
Opgave 0.3
a
888
c
490
e
172
g 178657
h 11421
b
d
f
1052
24787
79
i
11796
A
link
O
Opgave 0.4
Je kunt bijvoorbeeld eens proberen om 0−1 via het algoritme te berekenen. Het eerste probleem
is dan dat je van de nul een tien wilt maken door een ‘1 te lenen’. Maar waar haal je die vandaan?
En zelfs als je hier een list verzint, dan zal je antwoord eindigen op een 9, terwijl het correct
antwoord natuurlijk −1 is.
A
link
O
Opgave 0.5
a
18451, rest 39
c
38460,056
A
link
O
b
38460, rest 18
Opgave 0.6
18451,907 (de uitkomst . . . ,906 is fout; om zekerheid te krijgen over de afronding moet je in de
staartdeling de eerste vier cijfers achter de komma berekenen.)
127
128
A
link
O
Opgave 1.1
Voor alle uitspraken geldt dat het correcte Nederlandse zinnen zijn, hoewel in zin d het woordje
‘getalsmatig’ misschien overbodig is. Volgens de conventies die binnen de wiskunde gelden, is er
op een aantal uitspraken wat aan te merken:
a Een getal bestaat niet uit cijfers. Je kunt wel spreken over cijfers in de decimale representatie
van een getal.
b Het woord ‘nummer’ wordt in de wiskunde niet vaak gebruikt. Merk op dat een telefoonnummer geen getal is. Het is een code van tien symbolen, waarbij de symbolen ‘toevallig’
dezelfde zijn als de symbolen die wij voor cijfers gebruiken.
c Het is gek om een toetsresultaat een cijfer te noemen, omdat scores als 10 of 7,3 ook mogelijk
zijn. Voor een juiste analyse is het begrip ‘nominale variabele’ bruikbaar. Zie hiervoor het
vak Beschrijvende statistiek.
d ‘Getalsmatig’ geeft hier aan dat het om aantallen gaat. Is het woord essentieel?
e Hiervoor geldt hetzelfde als voor b, met de kanttekening dat busnummers soms meer betekenis krijgen. Zo bepalen ze bijvoorbeeld de volgorde waarin de buslijnen voorkomen in
bustabellen.
f Het begrip ‘nummer’ is niet ondubbelzinnig gedefinieerd, dus je mag ‘3bis ’ best een nummer
noemen. Een getal (in wiskundige betekenis) is het natuurlijk niet.
g Een pincode kan met een nul beginnen, en dan is het een getal van minder dan vier cijfers.
A
link
O
Opgave 1.2
De pointe is dat ‘ 45 ’ hier niet een getal aanduidt, maar een representatie. Je kunt in de vraag 45
8
immers niet vervangen door 10
of 0,8. Vergelijk: “Stel x = 45 ; wat is de noemer van x?” Of het
nodig is de vraag aan te passen, is een subjectieve vraag. De meeste mensen zullen zich er niet
aan storen en begrijpen wat er wordt bedoeld.
A
link
O
Opgave 1.3
discussievraag. . .
A
link
O
Opgave 1.4
a Neem een getal x en schrijf dit als x = 10y + k; hier is k dus het laatste cijfer van het getal in
decimale notatie.
Als k ∈ {0, 2, 4, 6, 8}), dan is x deelbaar door 2. Er geldt dan namelijk k = 2r en dus
x = 2 · 5y + 2r = 2 · (5y + r ) .
Hier staat dat x gelijk is aan ‘twee maal het gehele getal (5y + r )’ en dus is x deelbaar door 2.
Voor deelbaarheid door 5 geldt een analoge redenering.
Het laatste cijfer van een decimale notatie geeft niet voldoende informatie om te concluderen
dat het deelbaar is door 7. Zo is 21 wel, maar 31 niet deelbaar door 7. De reden is dat 7 geen
deler is van 10, terwijl 2 en 5 dat wel zijn.
b Noem het getal waarvan je de deelbaarheid wilt weten x en noem het getal dat wordt gevormd
door de laatste twee cijfers k. Er geldt dus x = 100y + k met y ∈ N. Als k = 4n dan volgt dat
ook x = 4 · (25y + n) deelbaar is door 4 en omgekeerd.
c Nu moet het getal gevormd door de laatste drie cijfers deelbaar zijn door 8. Reden: 8 · 125 =
1000.
ANTWOORDEN
A
link
O
129
Opgave 1.5
Noem het getal waarvan we een kwadraat nemen x ∈ N en schrijf x = 10y + k; hier is k het
laatste cijfer in de decimale notatie van x. Nu geeft haakjes uitwerken
x 2 = (10y + k)2 = 100y 2 + 20y · k + k 2 = 10 · (10y 2 + 2y · · · k) + k 2 .
Hier staat niet dat k 2 het laatste cijfer van x 2 is, want het is niet gezegd dat k 2 < 10. Maar er valt
wél uit af te leiden dat het laatste cijfer van x 2 hetzelfde is als het laatste cijfer van k 2 .
Maar k ∈ {0, 1, . . . , 9}, dus k 2 ∈ {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}. De elementen van deze laatste
verzameling hebben als laatste cijfer 0, 1, 4, 5, 6 of 9.
A
link
O
Opgave 1.6
a Neem de decimale representatie van n
n = ck · 10k + ck−1 · 10k−1 + · · · + c1 · 101 + c0 · 100 ,
noem de som van de cijfers b
b = ck + ck−1 + · · · + c0
en noem het verschil v:
v = n − b = ck (10k − 1) + ck−1 (10k−1 − 1) + · · · + c1 (10 − 1).
De getallen 10i − 1 = 999 . . . 9 zijn alle deelbaar door 9 en dus is v deelbaar door 9; schrijf
v = 9a. Conclusie: n = v + b = 9a + b .
b Schrijf n = 9a + b zoals in onderdeel a. Als b deelbaar is door 9, dan kun je schrijven b = 9d .
Maar dan n = 9a +9d = 9(a + d ) en hier staat dat n deelbaar is door 9. Omgekeerd: als n = 9e
dan b = n − 9a = 9e − 9a = 9(e − a).
c Het werkt ook voor deelbaarheid door 3; het bewijs gaat op dezelfde manier. De truc gaat
ook op voor deelbaarheid door 1, maar dat is natuurlijk geen interessant geval.
d De som van de cijfers is 142 en dat is niet deelbaar door 3 (want 1 + 4 + 2 = 7).
Er is een handigere manier: streep in het getal alle cijfers weg die gelijk zijn aan 0, 3, 6 of 9.
Streep vervolgens tweetallen weg waarvan de som gelijk is aan 12 of 15. Zo hou je nog maar
een paar cijfers over, waarvan het makkelijker is na te gaan wat de som is.
A
link
O
Opgave 1.7
a Voer een deling-met-rest uit: n = 9a + b met 0 ≤ b < 9. Dan geldt n 2 = 9(9a 2 + 2a b ) + b 2 .
We zijn klaar als we kunnen aantonen dat b 2 een negenvoud + 0, 1, 4 of 7 is. Maar er is een
beperkt aantal mogelijk waarden voor b , en die kunnen we gewoon allemaal nagaan:
n=
n2 =
controle:
0 1 2
3
0 1 4
9
0 1 4 9+0
4
16
9+7
5
25
2·9+7
6
36
4·9+0
7
49
5·9+4
8
64
7·9+1
b Uit het vorige onderdeel volgt dat n 2 = 9y + r , met r ∈ {0, 1, 4, 7}. En uit de vorige opgave
volgt dat de som van de cijfers van n 2 − r = 9y een negenvoud is. Noem nu c0 het laatste cijfer
van n 2 − r . Als c0 + r < 10, dan is de som van de cijfers van n 2 gelijk aan ‘r plus de som van
de cijfers van n 2 − r ’ en voldoet het dus aan de voorwaarde. Als c0 + r ≥ 10, dan is de som
van de cijfers van n 2 gelijk aan ‘r plus de som van de cijfers van n 2 − r min 9’ en voldoet het
dus ook aan de voorwaarde.
130
A
link
O
Opgave 1.8
a Als je gelijkssoortige termen bij elkaar neemt, krijg je
x + y = · · · + (a3 + b3 ) · 103 + (a2 + b2 ) · 102 + (a1 + b1 ) · 101 + (a0 + b0 ) · 100 .
Schrijven we de decimale representatie als
x + y = ck · 10k + ck−1 · 10k−1 + · · · + c0 · 100 ,
dan geldt niet altijd c0 = a0 + b0 . Het zou immers kunnen gebeuren dat a0 + b0 > 9. In dat
geval ‘schuift er een 1 door naar de volgende term’ en wordt c0 = a0 + b0 − 10 en moet je voor
c1 de uitdrukking a1 + b1 + 1 onderzoeken. Is dit > 9 dan schuift er weer een 1 door naar c2 ,
enzovoorts.
A
link
O
Opgave 1.9
Het gaat hier over positieve, gehele getallen x. Als
x = ck · 10k + ck−1 · 10k−1 + · · · + c0 · 100
de decimale representatie is van x, dan bestaat de decimale notatie van x uit k + 1 cijfers. Aan de
andere kant geldt 10k ≤ x < 10k+1 , dus ook
k = log(10k ) ≤ log x < log(10k+1 ) = k + 1.
Hieruit volgt dat het aantal cijfers in de decimale representatie van x het kleinste gehele getal is
dat groter is dan log x.
A
link
O
Opgave 1.10
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. In decimale notatie gaat het om machten van tien. Dan
valt er (voor de decimaal ingestelde mens) weinig uit het hoofd te leren.
A
link
O
Opgave 1.11
. . . , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000
A
link
O
Opgave 1.12
a 10011bin = 1 · 24 + 1 · 21 + 1 · 20 = 16 + 2 + 1 = 19
b 10101010bin = 128 + 32 + 8 + 2 = 170
c 111 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1101111bin
d 1023 = 210 − 1 = 1111111111bin
A
link
O
Opgave 1.13
a Dat zie je aan het laatste cijfer. Er geldt immers
€
Š
bk · 2k + bk−1 · 2k−1 + · · · + b0 · 20 = 2 bk · 2k−1 + bk−1 · 2k−2 + · · · + b1 · 20 + b0
en dus is het getal deelbaar door 2 precies dan als b0 = 0.
b Dat zie je aan de laatste drie cijfers. Er geldt immers
€
Š
bk · 2k + bk−1 · 2k−1 + · · · + b0 · 20 = 8 bk · 2k−3 + bk−1 · 2k−4 + · · · + b3 · 20 + 4b2 + 2b1 + b0
en dus is het getal deelbaar door 8 precies dan als 4b2 + 2b1 + b0 = 0. Dat betekent dat de
binaire notatie van het getal eindigt op drie nullen.
ANTWOORDEN
A
link
O
131
Opgave 1.14
a
110101
1011 ×
110101
1101010
00000000
110101000 +
1001000111
b 53 · 11 = 583
A
link
O
Opgave 1.15
a
11010011010
11011011 −
10110111111
b 1690 − 219 = 1471
c Vul de getallen aan met nullen tot ze uit hetzelfde aantal cijfers bestaan en tel ze op:
00101100101
00011011011 +
01001000000
De 11-bits-negatie van 01001000000bin is a − b .
Verklaring: Negatie is ook te interpreteren als ‘11111111111bin − ’. Preciezer gezegd: de 11bits-negatie van a is gelijk aan 211 − 1 − a. Maar dan geldt dus:
negatie(a) + b = 211 − 1 − a + b = 211 − 1 − (a − b ) = negatie(a − b ).
d Het getal 11 duidt op het aantal binaire cijfers dat het getal lang is. Zonder deze toevoeging,
zou je niet weten hoeveel ‘voorloopnullen’ je in een 1 moet veranderen. De 3-bits-negatie van
1 is bijvoorbeeld 110.
e Er geldt
a − b = a + (2n − 1 − b ) − 2n + 1 = a + negatie(b ) − 2n + 1.
In woorden: tel a en het omgekeerde van b op, haal de meest linker 1 weg en tel bij je
antwoord nog eens 1 op. Zie ook http://www.wisc-online.com/objects/ViewObject.
aspx?ID=TMH3503 .
A
link
O
Opgave 1.16
a Bijvoorbeeld staartdelen:
1101 1110101000 \ 1001000
1101
1101
1101
0000
0
0
132
b 936 ÷ 13 = 72
A
link
O
Opgave 1.17
a De optelling kun je je als volgt voorstellen:
A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A0
B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0 +
COUT F7 F6 F5 F4 F3 F2 F1 F0
Het rechter ‘FA’-blokje telt A0 en B0 bij elkaar op. Als A0 + B0 < 10bin , dan is F0 = A0 +
B0 . Anders is A0 + B0 = 10bin en moet er een 1 worden ‘doorgeschoven’ naar de volgende
berekening. Hiervoor zorgt de pijl tussen het laatste en het op-één-na-laatste blokje. In dat
geval is F0 = 0. Voor 1 ≤ i ≤ 7 geldt dat Fi gelijk is aan het laatse binaire cijfer van de som van
Ai , Bi en eventueel de doorgeschoven één.
b Op deze manier kun je meerdere I8008’s aan elkaar koppelen en zo langere getallen optellen:
16 bits, 32 bits, etc.
A
link
O
Opgave 1.18
a Ieder positief, geheel getal x is op een unieke manier te schrijven als
x = ck · b k + ck−1 · b k−1 + · · · + c0 · b 0 ,
met ci ∈ {0, 1, . . . , b − 1} en ck 6= 0.
Het rijtje ck , ck−1 , . . . , c0 vormt de representatie in basis b van x.
b 42
c
256
d 3FF
e
FF
f Fhex = 1111bin ; een hexadecimaal cijfer correspondeert met vier binaire cijfers (bits). Je
kunt binaire en hexadecimale notaties eenvoudig in elkaar omzetten. Bijvoorbeeld F3hex =
11110011bin .
A
link
O
Opgave 1.19
a b d (x + y) = b d x + b d y = d (b x) + b (d y) = d a + b c
c
b ba + dc = adb+b
d
c Gegeven zijn getallen a, b , c, d , x, y waarvoor geldt b x = a en d y = c. Er geldt dan b d · x y =
ac en dus ba · dc = ac db .
d In wiskundige notatie zegt de regel:
c b x = ad y. Dus c b (x ÷ y) = ad .
A
link
O
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
=
ad
.
cb
Bewijs: Uit b x = a en d y = c volgt
Opgave 1.20
a Vermenigvuldig de rechterkant met n − 1 en werk haakjes uit:
(n − 1)(
1
n
+
1
n
2
+
1
n3
+ ···)
=(
n
n
2
+
n
3
+ ···) − (
1
+
1
2
+
1
+ ···)
n n
n
n
n3
1
1
1
1
1
1
= 1 + ( + 2 + 3 + ···) − ( + 2 + 3 + ···)
n n
n n
n
n
= 1.
n
+
ANTWOORDEN
133
(Dit bewijs is niet heel netjes, omdat je goed moet oppassen met het toepassen van de gebruikelijke rekenregels op reeksen. Zie het vak Analyse – dynamische modellen voor een precieze
aanpak.)
b Neem n = 4. Onderdeel a zegt dat je
1
3
krijgt door eerst
1
4
te nemen, vervolgens 41 · 14 =
1
,
42
enz.
c Er geldt:
m + c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + c−3 · 10−3 + · · ·
≤ m + 9 · 10−1 + 9 · 10−2 + 9 · 10−3 + · · ·
1
1
1
1
+ 2 + 3 + ··· = m + 9 · .
= m +9
10 10
9
10
A
link
O
Opgave 1.21
a Schrijf de decimale ontwikkeling van de decimale breuk als volgt:
n + c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + · · · + c−r · 10−r ,
waarbij c−r 6= 0. Dit is gelijk aan
n + c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + · · · + c−r · 10−r + 0 · 10−(r +1) + 0 · 10−(r +2) + · · ·
en aan
n + c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + · · · + (c−r − 1) · 10−r + 9 · 10−(r +1) + 9 · 10−(r +2) + · · ·
en hiermee corresponderen twee verschillende decimale ontwikkelingen.
b Door herhaaldelijk met 10 te vermenigvuldigen en er een geheel getal af te trekken, mogen we
aannemen dat x ∈ [0, 1⟩ en dat de decimale ontwikkelingen meteen bij het eerste cijfer achter
de komma verschillen. Dit maakt de notatie wat beter ‘behapbaar’.
Noteer de twee decimale ontwikkelingen:
x = c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + c−3 · 10−3 + · · ·
x = d−1 · 10−1 + d−2 · 10−2 + d−3 · 10−3 + · · ·
Er geldt:
0 = x − x = (c−1 − d−1 ) · 10−1 + 10−1 (C − D),
waarbij C , D ∈ [0, 1]. Hieruit volgt c−1 − d−1 = ±1 en C − D = ±1. Maar dan zijn er maar
twee mogelijkheden:
1. C = 1 en D = 0 correspondeert met c−i = 9 en d−i = 0 voor i > 1;
2. C = 0 en D = 1 correspondeert met c−i = 0 en d−i = 9 voor i > 1.
c Het getal nul is maar op één manier te noteren: 0,0.
A
link
O
Opgave 1.22
a
1
200
= 0,005000 . . . = 0,004999 . . .. De regel zegt dat je nu naar de derde decimaal moet kijken.
Die is respectievelijk 5 en 4. De afrondingen zijn dus 0,01 en 0,00.
134
1
even ver van 0,00 als
b Dat kan, maar dan wordt de regel wel ingewikkeld. Merk op dat 200
van 0,01 ligt, dus je moet een keuze maken (waarbij winkeliers graag willen dat je naar boven
afrondt). Elke regel waarin alleen maar naar een eindig aantal decimalen wordt gekeken, is in
ieder geval fout. (Zie ook opgave 23)
A
link
O
Opgave 1.23
a Stel dat je naar de eerste honderd cijfers van a vraagt, waarop meneer X steeds het antwoord
‘9’ geeft. Dezelfde vragen voor b levert honderd keer 0 op. Dit kan zich onder meer voordoen
in de volgende twee situaties:
1. a = 0,9 en b = 0,000 . . . 01 (honderd nullen na de komma). In dat geval geldt a + b =
1,000 . . . 01 (honderd nullen).
2. a = 0,999 . . . 90 (honderd negens) en b = 0. In dat geval is a + b = 0,999 . . . 90.
Geen enkel cijfer achter de komma in beide varianten van a + b komt overeen. Dus kun je
geen enkel cijfer van a + b op grond van deze informatie bepalen. Natuurlijk had je naar de
101ste cijfers kunnen vragen, maar hoeveel cijfers je ook vraagt: er is altijd een tegenvoorbeeld
te bedenken.
b Stel c−i zijn de cijfers in de decimale ontwikkeling van a en d−i die in de decimale ontwikkeling van b . Als voor een bepaalde i geldt dat c−i + d−i 6= 9, dan weet je zeker of de optelling
bij het ide cijfer achter de komma wel of geen doorgeef-één oplevert (wel als c−i + d−i ≥ 10,
niet als c−i + d−i ≤ 8). Dus kun je de eerste i − 1 cijfers achter de komma van a + b bepalen.
A
A
A
link
link
link
O
O
O
Opgave 1.24
a
0,27
c
0,632
Opgave 1.25
4234231
a
10000000
1909
c
900
b
d
0,230769
5,0
b
3211
9999
Opgave 1.26
Je krijgt een breuk die gelijkwaardig is met het getal
122
.
99
A
link
O
Opgave 1.27
Als x = 0,9, dan is 10x = 9,9. Dus 9x = 10x − x = 9. Hieruit volgt x = 1.
A
link
O
Opgave 1.28
Gegeven is x > 0. We veronderstellen dat de decimale ontwikkeling van x repeterend is. Je kunt
dan schrijven
€
Š
t
x = r + 10−r · p · 10−k + p · 10−2k + p · 10−3k + · · · .
10
Hierbij zijn r, t ∈ N en t < 10 r en zoals in de opgave k, p ∈ N met k > 0 en p < 10k . (Uitleg: na
het r -de cijfer achter de komma begint de decimale ontwikkeling van x aan de periodieke staart.
Het stuk dat steeds herhaald wordt, is p en bestaat uit k cijfers.)
ANTWOORDEN
135
Nu geldt:
€
Š
t
10k x − x = 10k r + 10−r · p + p · 10−k + p · 10−2k + · · · −
10
 t
€
Š‹
−r
−k
−2k
−3k
+
10
·
p
·
10
+
p
·
10
+
p
·
10
+
·
·
·
10 r
Š
t €
t (10k − 1) + p
.
= r 10k − 1 + p · 10−r =
10
10 r
Hieruit volgt dat
x=
t (10k − 1) + p
10 r (10k − 1)
.
Merk op dat boven en onder de deelstreep een positief geheel getal staat. Dus is x een breuk.
A
link
O
Opgave 1.29
a De decimale ontwikkeling is niet repeterend. Daarom is x niet te schrijven als een breuk.
A
link
O
Opgave 1.30
Met wat proberen vind je waarschijnlijk dat factoren 2 en 5 in de noemer geen invloed hebben
1
1
1
op de periode: die van 17 is gelijk aan die van 14
, 35
of 70
. Het vervolg van het verhaal is echter
1
ingewikkeld. Er geldt dat de periode p van de breuk n het kleinste positieve getal is waarvoor
n een deler is van 10 p − 1. Zie bijvoorbeeld http://www.lrz.de/~hr/numb/period.html .
A
link
O
Opgave 1.31
a Deze stelling geldt nog steeds. Het bewijs (dat uit twee gedeelten bestaat) is analoog aan het
bewijs voor decimale getallen.
b Zogenaamde binaire breuken, dat wil zeggen getallen die te schrijven zijn als een breuk met
een macht van 2 in de noemer.
c Het antwoord op vraag a is ‘ja’. En voor b: breuken met een macht van b in de noemer.
A
link
O
Opgave 1.32
Discussievraag. Het begrip ‘is ongeveer gelijk aan’ is niet exact gedefinieerd.
A
link
O
Opgave 1.33
a De naamgeving verschilt, hetgeen soms tot verwarring leidt:
106
109
1012
1015
miljoen
miljard
biljoen
biljard
million
billion
trillion
quadrillion
(Het Nederlandse ‘triljoen’ is 1018 .)
b De eerste krantenkop suggereert dat het bedrag exact is, maar dat is het niet. Door woorden
als miljoen te gebruiken, geef je, net als in de officiële wetenschappelijke notatie, aan dat je
een getal slechts met beperkte precisie kent. Het grote verschil met de officiële notatie is dat
het getal voor de macht van tien niet in het interval [1, 10⟩ hoeft te liggen.
136
A
link
O
Opgave 1.34
a Bijvoorbeeld a = b = 9 (en k, l willekeurig) geeft a b > 10, maar de afspraak is dat c < 10.
b Er geldt 1 ≤ a b < 100. Als a b < 10 dan c = a b en m = k + l . Als a b ≥ 10 dan c =
m = k + l + 1.
ab
10
en
c Stel dat k ≥ l . Dan zal meestal gelden m = k en c = a + 10 l −k b , behalve als hierdoor c ≥ 10
1
(a + 10 l −k b ) en m = k + 1.
in welk geval c = 10
A
link
O
Opgave 1.35
Het antwoord ‘3,6 ml geeft aan dat het werkelijk volume tussen 3,55 en 3,65 milliliter inzit. Dat
lijkt aannemelijk, hoewel het niet meteen duidelijk is dat het volume niet net iets minder dan
3,55 ml is (het wateroppervlak is immers gekromd). In officiële wetenschappelijke publicaties
schrijft men daarom:
3,6 ± 0,1 ml.
Buiten dit soort publicaties, en ook op school, vindt men deze schrijfwijze te omslachtig—met
name als er mee doorgerekend moet worden.
Het is eigenlijk nog ingewikkelder, want in serieuze wetenschap zijn waarden vaak het gemiddelde van verschillende metingen. Hier komt statistiek om de hoek kijken: er is bijvoorbeeld
sprake van een normale verdeling en de meetonnauwkeurigheid 0,1 is dan eigenlijk de standaarddeviatie die een betrouwbaarheidsinterval geeft. Zie het vak Beschrijvende statistiek.
A
link
O
Opgave 1.36
a Dat hangt van je rekenmachine af. Probeer de machten van 10 uit.
b Stel dat 1010 op jouw rekenmachine net niet meer in gewone notatie wordt weergegeven.
Probeer dan eens het verschil van 1010 + 1 en 1010 te berekenen (druk tussendoor op ‘ =0 ).
Intern werkt de rekenmachine niet met machten van 10, maar met machten van 2 (binair); dat
is een reden voor het verschil.
c Zie de handleiding, zoek op internet, of vraag eens rond.
d Zie ook opgave 37.
A
link
O
Opgave 1.37
Dat lukt niet. De vorm is ±a · 10k , waarbij k ∈ Z en a ∈ [1, 10⟩. Aangezien volgens afspraak
a 6= 0, kan 0 niet in wetenschappelijke notatie worden weergegeven.
N.B. Een opvallend detail dat hiermee te maken heeft, is dat 0 het enige getal is dat je niet
altijd van een eenheid hoeft te voorzien: 0 µm = 0 m = 0 km. Dat geldt overigens alleen als de
grootheid meetniveau ‘ratio’ heeft (zie het vak Beschrijvende statistiek).
A
link
O
Opgave 1.38
In de logaritmische schaalverdeling staan de machten van 10 op gelijke afstand van elkaar. Je
kunt aan de wetenschappelijke notatie dus direct aflezen tussen welke maatstreepjes het getal
een plek moet krijgen. Nog mooier: voor de logaritmische schaalverdeling is de logaritme van
een getal van belang. Nu geldt: log(a · 10k ) = k + log a, met 0 ≤ log a < 1.
A
link
O
Opgave 1.39
a 3 (centimeters nauwkeurig)
b 2 of 3 (dat laatste als iemand zwaarder is dan 100 kg; het gewicht van de mens past niet zo
mooi bij ons decimale systeem)
ANTWOORDEN
137
c 3 of 4 (vaak gemeten in mg of karaat (= 0,2 mg))
d 3 (soms zelfs op honderdsten nauwkeurig)
e Voor discrete getallen is het werken met significantie niet nodig. Tenzij er zoveel koeien zijn
dat je een schatting maakt.
f Het aantal cijfers achter de komma hangt af van de eenheid die je gebruikt.
A
link
O
Opgave 1.40
De notatie 0,5 voor de waarde van een grootheid X geeft aan dat X ∈ [0,45; 0,55⟩. Dan geldt dus
X 2 ∈ [0,2025; 0,3025⟩. De rekenregels zeggen echter: X · X = 0,5 · 0,5 = 0,3 en die notatie geeft
aan dat X 2 ∈ [0,25; 0,35⟩ en dat is een ander interval.
A
link
O
Opgave 1.41
— (Bij dit type vraag past geen uitwerking.)
A
link
O
Opgave 2.1
a Omdat 108 = 22 .33 , zijn dit (zie ook opgave 32):
±20 30
±21 30
±22 30
b
c
d
e
f
A
link
O
±20 31
±21 31
±22 31
±20 32
±21 32
±22 32
±20 33
±21 33
±22 33
ofwel
±1
±2
±4
±3
±6
±12
±9 ±27
±18 ±54
±36 ±108
Voor alle veelvouden van 15. (Dus . . . , −30, −15, 0, 15, 30, . . . .)
Voor geen enkel getal c, want 146 | 144.
Ieder getal d ∈ Z is een deler van 0. Immers, 0 = d · 0.
Alle e ∈ Z. Immers, e = 1e.
Alleen f = 0. Immers, f = 0 · r impliceert f = 0, onafhankelijk van de waarde van r . Dit is
wel een heel bijzonder geval. Sommige wiskundigen kiezen ervoor om 0 niet als deler toe te
staan. Het voordeel is dat dan je bij deelbaarheid een deling ook altijd kunt uitvoeren; als de
deler ook nul mag zijn, wordt dit lastiger, want welke k moet je kiezen waarvoor 0 = k · 0?
In de praktijk krijg je gelukkig zelden met dit probleem te maken en wordt de notatie 00 nooit
gebruikt.
Opgave 2.2
a De som van twee even getallen is even. Het product van een even getal met een willekeurig
geheel getal is even. (Dat de som van twee oneven getallen even is, is waar, maar volgt niet uit
de genoemde eigenschappen—althans, niet direct.)
b Per definitie betekent k|n dat n = k r voor een zekere r ∈ Z. En k|m betekent m = k s voor
een zekere s ∈ Z. Nu geldt n + m = k r + k s = k(r + s ), dus n + m = k t voor een zekere t ∈ Z
(namelijk t = r + s). Dus geldt per definitie k|(n + m).
Evenzo geldt n − m = k(r − s), dus k|(n − m).
c Stel k|n. Dan geldt n = k r voor een zekere r ∈ Z. Maar dan geldt dus ook n m = k r m
en dat impliceert dat n m = k t voor een zekere t ∈ Z (namelijk t = r m). Dus geldt per
definitie k|(n m).
Als k6 | n dan geldt k|m. Op eenzelfde manier volgt hieruit m = k r n en dus geldt ook in dat
geval k|(n m).
d De eerste uitspraak is dan niet waar: neem bijvoorbeeld k = 2, n even en m oneven. De
tweede uitspraak blijft waar, maar hij is minder sterk (in het wiskundig taalgebruik betekent
‘of’ altijd en/of).
138
e (i) Als k|(n ± m), dan k|n EN k|m.
(ii) Als k|(n m), dan k|n OF k|m.
f (i) bijv. k = 2 en n = m = 1. (ii) bijv. k = 4 en n = m = 2.
g Als k|n, dan kan het gebeuren dat k 6 |
implicatie geldt wel: Als k| mn , dan k|n.
A
link
O
n
m
(bijv. k = n = 4 en m = 2). Een omgekeerde
Opgave 2.3
a Als a b |n, dan bestaat er een r ∈ Z met n = a b r . Maar dan is er dus een getal s ∈ Z met
n = a s; neem gewoon s = b r . Dat betekent a|n. Op dezelfde manier geldt ook b |n.
b Nee. Neem bijvoorbeeld a = 1, b = 2, n = 3.
c Als a|n en b |n, dan a b |n.
d Neem a = b = n = 2.
e Laten we het flauwe geval a b = 0 achterwege, dan moet gelden: Er mag geen getal p >
1 zijn dat zowel a als b deelt. In de taal die later in dit hoofdstuk aan bod komt: in de
priemfactorontbinding van a en b moeten de priemfactoren verschillend zijn. Nog anders
gezegd: de grootste gemene deler van a en b is 1.
A
link
O
Opgave 2.4
a 16! = 2 · 3 · 4 · · · · · 16. Dus geldt:
16! + 2 = 2 · (3 · 4 · 5 · · · · · 16 + 1)
16! + 3 = 3 · (2 · 4 · 5 · · · · · 16 + 1)
16! + 4 = 4 · (2 · 3 · 5 · · · · · 16 + 1)
..
.
16! + 16 = 16 · (2 · 3 · 4 · 5 · · · · · 15 + 1)
b Stel 16! + 17 = 17k, ofwel 16! = 17(k − 1). Dan is 16! dus deelbaar door 17. Maar 17 is een
priemgetal en dus zou 17 één van de getallen 2, 3, . . . , 16 moeten delen. Dat is niet het geval.
c Ja. 18 = 2 · 9, dus
17! + 18 = 18 · (3 · 4 · · · · · 8 · 10 · 11 · · · · · 17 + 1).
d Voor ieder getal n dat geen priemgetal is.
A
link
O
Opgave 2.5
Zoals iedere breuk, heeft ook k1 een repeterende decimale ontwikkeling. Noem de periode (zie
opgave 30 in hoofdstuk 1) daarvan r . Definieer a = (10 r − 1) k1 . Merk op dat a 6= 0. Omdat de
decimale ontwikkeling van ak bestaat uit een rij negens, is het voldoende te laten zien dat a ∈ Z.
Nu is a gelijk aan een tiendelige breuk (waarom?). Stel a ∈
/ Z, dus a = 10t s met 106 | t en s ≥ 1.
Dat volgt de vergelijking t k = (10 r − 1)10 s van gehele getallen. Maar de rechterkant van de
vergelijking is deelbaar door 5 en door 2. Omdat k niet deelbaar is door deze getallen, moet
t deelbaar zijn door 5 en door 2. Maar dat betekent dat 10|t en dat is een tegenspraak. Dus
a ∈ Z.
ANTWOORDEN
A
link
O
139
Opgave 2.6
Het getal n = p1 p2 . . . p r met alle pi ’s verschillend, heeft 2 r verschillende delers. Iedere deler
correspondeert immers met de keuze van een aantal pi ’s. Nu is 2 r > 1000 als r > 2log 1000,
ofwel r ≥ 10. De volgende getallen voldoen dus:
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 27 = 6023507490
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 = 6469693230
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 = 6915878970
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 37 = 8254436190
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 29 · 31 = 8720021310
Merk op dat het getal 21000 maar 1001 delers heeft, te weten 20 , 21 , 22 , . . . . Dit getal is veel te
groot: 21000 = 16250 > 10250 .
Al in 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 gaat het mis, omdat dit getal maar 28 · 3 < 1000 delers heeft.
A
link
O
Opgave 2.7
Een perfect getal is een positief, geheel getal n dat gelijk is aan de som van de delers d van n
waarvoor geldt 1 ≤ d < n. Het is niet bekend of er oneindig veel perfecte getallen bestaan.
En ook is het nog niet bekend of er een oneven perfect getal bestaat. Zie bijvoorbeeld http:
//nl.wikipedia.org/wiki/Perfect_getal
A
link
O
Opgave 2.8
a 32412 = 1906 · 17 + 10, dus q = 1906 en r = 10. Dit kun je met je rekenmachine uitrekenen
door eerst 32412 ÷ 17 te bepalen en hier het gehele deel van te nemen. Maar het volgt ook uit
een staartdeling of kolomdeling.
b −32412 = −1907 · 17 + 7, dus q = −1907 en r = 7. De afspraak is immers dat de rest in het
interval [0, 17⟩ moet liggen.
c 32412 = −1906 · −17 + 10, dus q = −1906 en r = 10. Merk op dat | − 17| = 17.
d −32412 = 1907 · −17 + 7, dus q = 1907 en r = 7.
e a: 32412 = 1907 · 17 − 7; b: −32412 = −1907 · 17 + 7; c: 32412 = −1907 · −17 − 7; d: −32412 =
1907 · −17 + 7
h Voor ieder tweetal a, b ∈ Z met b 6= 0, zijn er unieke gehele getallen q en r waarvoor geldt:
a = q b + r,
met − 12 |b | ≤ r < 12 |b |.
Alternatieve eis is: − 12 |b | < r ≤ 12 |b |.
Als je eist − 12 |b | ≤ r ≤ 12 |b |, dan is de rest niet altijd uniek bepaald. Wil je dit, dan moet je
dus een keuze maken.
g Het voordeel van de tweede definitie is dat de uitkomst van de delingen uit a t/m d op mintekens na steeds hetzelfde is, zoals je ook van een gewone deling gewend bent. Nadelen van de
tweede definitie zijn dat je een keuze moet maken (zie f) en dat het geen veralgemenisering is
van deling met positieve getallen (vergelijk a en e). Dan is er ook nog de intuïtie bij rest die je
precies wilt maken: Is de rest iets dat je ’over wilt houden?’ Wat betekent dat voor negatieve
getallen? Of wil je zo dicht mogelijk bij het ’echte’ antwoord uitkomen?
140
A
link
O
Opgave 2.9
a Zeef eerst de veelvouden van 2 weg:
16
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
Vervolgens de veelvouden van 3:
16
2
17
3
18
4
19
5
20
De veelvouden van 4 zijn ook veelvouden van 2, dus hier hoeven we niet meer naar te kijken.
De veelvouden van 5:
16
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
En zo gaan we één voor één verder met de veelvouden van nog niet weggestreepte getallen.
Het blijkt dat dit voor de getallen tussen 2 en 30 niets nieuws oplevert. Zo is bijvoorbeeld het
eerste veelvoud van 7 dat nog niet is weggestreept het getal 49 en dat valt buiten de lijst.
b Een getal r is een priemgetal precies dan als er in de rij voorgaande getallen 2, 3, . . . , r − 1
geen delers zitten.
c Je ‘zeeft’ er steeds deelverzamelingen van getallen uit.
d In een rechthoek worden patronen zichtbaar. Dit is handig bij het wegstrepen en het kan
bovendien een didactische meerwaarde zijn.
A
link
O
Opgave 2.10
p
p
Als n geen priemgetal is, dan is er deler r van n met 1 < r < n. Als r > n dan is nr < n. Dus
p
als n geen priemgetal is, is er een deler in het interval [2, n]. Om te testen of n priem is, is het
dus voldoende om te controleren of n delers heeft in dit interval.
A
link
O
Opgave 2.11
Een argument is bijvoorbeeld: 111111 is deelbaar door 3, terwijl 745577 en 109279 dat niet zijn.
A
link
O
Opgave 2.12
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4n + 3
7
11
15
19
23
27
31
35
39
2
n +1
2
5
10
17
26
37
50
65
82
2
−1
2
7
14
23
34
47
62
79
n + 2n + 2
5
10
17
26
37
50
65
82
101
n + n + 41
43
47
53
61
71
83
97
113
131
1523
1447
1373
1301
1231
1163
1097
1033
971
5
20
85
260
629
1300
2405
4100
6565
n −2
2
2
n − 79n + 1601
2
n +4
4
Priemgetallen staan in de roodgekleurde cellen. Het lijkt erop dat er twee formules zijn die
enkel priemgetallen genereren, maar dat is schijn. Zo is n 2 + n + 41 deelbaar door 41 als je
n = 41 subsitueert. En n 2 − 79n + 1601 is niet priem voor n = 80, 81, 89, 96, . . . . Of neem
n = 79 · 1601.
ANTWOORDEN
141
Er bestaat geen polynoom dat enkel priemgetallen genereert. Wel zijn er veel (lange) polynomiale vergelijkingen bekend die priemgetallen genereren. Het bestaan hiervan volgt uit de theorie
van de wiskundige Turing (∼1940). Een bekend voorbeeld is het polynoom in 26 variabelen van
Jones, Sato, Wado en Wiens uit 1976:
f (a, b , . . . , z) = (k + 2)(1 − [w z + h + j − q]2 − [( g k + 2 g + k + 1)(h + j ) + h − z]2 −
[16(k + 1)3 (k + 2)(n + 1)2 + 1 − f 2 ]2 − [2n + p + q + z − e]2 −
[e 3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 − o 2 ]2 − [(a 2 − 1)y 2 + 1 − x 2 ]2 − [16r 2 y 4 (a 2 − 1) + 1 − u 2 ]2 −
[n + l + v − y]2 − [(a 2 − 1)l 2 + 1 − m 2 ]2 − [ai + k + 1 − l − i]2 −
[((a+u 2 (u 2 −a))2 −1)(n+4d y)2 +1−(x+c u)2 ]2 −[ p+l (a−n−1)+b (2an+2a−n 2 −2n−2)−m]2 −
[q + y(a − p − 1) + s(2a p + 2a − p 2 − 2 p − 2) − x]2 − [z + p l (a − p) + t (2a p − p 2 − 1) − p m]2 )
De positieve uitkomsten van dit polynoom zijn precies alle priemgetallen! Zie Courant en Robbins (1941, appendix A) voor meer informatie.
A
link
O
Opgave 2.13
a De ggd van teller en noemer is 189. Delen we de teller en noemer door 189 dan geeft dit
b De ggd van teller en noemer is 19937. Dat geeft
67
.
153
19937
.
11213
A
link
O
Opgave 2.14
De delers van p zijn ±1 en ± p. Omdat in ieder geval 1|n, betekent dit dat ( p, n) = 1 of ( p, n) =
p. De laatste mogelijkheid doet zich precies dan voor als n een veelvoud is van p.
A
link
O
Opgave 2.15
a (x, 0) = |x|. Het getal 0 wordt immers gedeeld door ieder getal.
b Het getal 0 heeft geen grootste deler.
A
link
O
Opgave 2.16
a Waar, want ieder getal is deelbaar door 1.
b Waar. Dit geldt alleen voor a = 0.
c Niet waar. Het is waar als bovendien p 6= q.
d Waar. Delers van a zijn ook delers van een veelvoud van a.
A
link
O
Opgave 2.17
a Als Da ⊂ D b en D b ⊂ Dc , dan Da ⊂ Dc .
b Als Da ⊂ D b en D b ⊂ Da dan geldt Da = D b . Maar het grootste element in Da is |a| en het
grootste element in D b is |b |. Dus |a| = |b |.
A
link
O
Opgave 2.18
a Bijvoorbeeld: Het kleinste positieve, gehele getal d dat zowel gedeeld wordt door a als door b ,
heet het kleinste gemene veelvoud van a en b . Voorwaarde is dat a of b niet gelijk is aan nul.
(Een definitie waarin d = 0 is toegestaan, is niet correct.)
b Bekijk de verzameling K x van natuurlijke getallen die een veelvoud zijn van x. Dan is het kgv
van a en b het kleinste positieve getal in Ka ∩ K b .
142
c Afhankelijk van de keuze die je maakt, geldt altijd kgd(a, b ) = 1 of kgd(a, b ) = − ggd(a, b ).
d Gemeenschappelijke veelvouden kunnen willekeurig groot worden. Er is dus geen ‘grootste’
gemeenschappelijk veelvoud.
e Voor alle gehele getallen a, b > 0 geldt ggd(a, b ) · kgv(a, b ) = a · b . Om dit te bewijzen, kun
je alle priemgetallen p aflopen. Als i de hoogste macht is waarvoor p i |a en j de hoogste
macht waarvoor p j |b , dan is de hoogste macht van p die de ggd deelt het minimum van
i en j , terwijl de hoogste macht die het kgv deelt juist het maximum is. Maar nu geldt i + j =
min(i, j ) + max(i , j ).
A
link
O
Opgave 2.19
Geval 1: Als Da ∩ D b niet naar boven begrensd is, dan kunnen Da en D b dat ook niet zijn. Nu
geldt
D0 = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} = Z,
maar het geval dat zowel a als b gelijk zijn aan 0 is expliciet uitgesloten. We kunnen dus aannemen dat een van beide ongelijk is aan 0 en, omdat D−a = Da , zelfs dat het positief is. Maar voor
een positief getal n geldt d ≤ n dat iedere deler d .
Het tweede geval kan ook niet optreden, omdat 1 een deler is van ieder getal en dus weet je zeker
dat 1 ∈ Da ∩ D b .
A
link
O
Opgave 2.20
Stel x is geen priemgetal. Dan is er een priemgetal p dat x deelt. Maar dan geldt ook p|a en dus
p ∈ Da . Omdat p < x kan x daarmee niet het kleinste getal > 1 in Da zijn.
A
link
O
Opgave 2.21
a (5454, 1221) = (1221, 570) = (570, 81) = (81, 3) = (3, 0) = 3
b (233, 144) = (144, 89) = (89, 55) = (55, 34) = (34, 21) = (21, 13) = (13, 8) = (8, 5) = (5, 3) =
(3, 2) = (2, 1) = (1, 0) = 1; het is mogelijk om na de eerste stap het algoritme ‘af te snijden,’
door negatieve resten toe te staan. Van (144, 89) ga je dan direct naar (55, 34).
c —
A
link
O
Opgave 2.22
a 15 · 5454 − 67 · 1221 = 3
b −55 · 233 + 89 ∗ 144 = 1
c —
A
link
O
Opgave 2.23
a
stappenplan
1. Deel a door b en noem de rest r .
2. Als r = 0 dan is b de ggd. Klaar!
3. Vervang a → b en b → r en ga weer naar stap 1.
uitleg
r = a − kb
(a, b ) = (b , r )
b De rest in stap 1 wordt bij iedere herhaling kleiner, maar wordt nooit negatief. Je moet dus
een keer bij nul uitkomen, alwaar het algoritme stopt.
ANTWOORDEN
A
link
O
143
Opgave 2.24
a Een gemeenschappelijk deler van a en b is ook een deler van a − b , volgens opgave 2. Dus
Da ∩ D b ⊂ D b ∩ Da−b .
Een gemeenschappelijke deler van b en a − b ook een deler van b = (a − b ) + b . Dus
D b ∩ Da−b ⊂ Da ∩ D b .
Voegen we dit samen, dan geeft dit
Da ∩ D b = D b ∩ Da−b .
Nu is (a, b ) het grootste element van Da ∩ D b en dus gelijk aan het grootste element van
D b ∩ Da−b hetgeen (b , a − b ) is.
b Uit a volgt: (a, b ) = (a − b , b ) = (a − 2b , b ) = (a − 3b , b ) = · · · = (a − k b , b ) = (b , a − k b ).
A
link
O
Opgave 2.25
Neem een willekeurig stukje uit de rij: a, b , a + b . Er geldt (b , a + b ) = (a, b ) (zie opgave 24).
Werken we nu verder naar links de rij door, dan vinden we (b , a + b ) = · · · = (1, 1) = 1.
N.B. In feite is dit een bewijs met volledige inductie. Hier zul je bij het vak Redeneren en bewijzen
meer over te weten komen.
A
link
O
Opgave 2.26
Er geldt:
(3100 + 2100 , 3100 − 2100 ) = (3100 − 2100 , 3100 + 2100 − (3100 − 2100 ))
= (3100 − 2100 , 2101 ).
Dit is gelijk aan 1, want 3100 − 2100 is niet even en alle delers 6= ±1 van 2101 zijn even.
A
link
O
Opgave 2.27
De ggd van a en b deelt ook a − b en is daarmee dus ook de ggd van a, b en a − b . Hieruit volgt
dat de ggd van de getallen waarmee je begint ook de ggd is van de getallen waarmee je eindigt.
De vraag is nog waarom je aan het einde de ggd hebt gevonden: in dit geval, waarom is 6 deler
van alle getallen in de rij? Antwoord: Als een van de getallen, n, niet deelbaar zou zijn door 6,
dan is de rest van deling van n door 6 een getal kleiner dan 6 en ongelijk 0. Dit zou nog een
nieuw getal in het rijtje opleveren.
A
link
O
Opgave 2.28
Zie http://www.youtube.com/watch?v=lZ64IR2bz5o. Hoewel Willis waarschijnlijk door slim
gokken op het antwoord komt, zou je dit probleem (en soortgelijke) prima met het uitgebreide
euclidische algoritme kunnen oplossen.
A
link
O
Opgave 2.29
a De ggd van beide getallen is 1 en het uitgebreide euclidische algoritme geeft −3 · 9 + 2 · 14 = 1.
Dus met drie sprongen achteruit en twee vooruit komt hij netto één stap verder.
b De kangoeroe kan stapjes van 1 verplaatsen, dus hij kan alle gehele getallen bereiken. Hij zal
echter nooit op een niet-geheel getal kunnen uitkomen.
144
A
link
O
Opgave 2.30
Zonder deze eis zou de stelling niet waar zijn: 6 = 2 · 3, maar ook 6 = 3 · 2.
A
link
O
Opgave 2.31
a
25 · 11
A
link
O
b
3 · 41
Opgave 2.32
a Er geldt 54 = 2·33 . Iedere deler van 54 is dus van de vorm 2i 3 j met i ∈ {0, 1} en j ∈ {0, 1, 2, 3}.
b
×
20
21
22
23
50
1
2
4
8
1
5
10
15
20
2
25
50
100
200
5
5
c 19800 = 2 3 5 11 . Dat geeft 4 · 3 · 3 · 2 = 72 delers.
3 2 2
1
d 105 = 3 · 5 · 7. Het kleinste getal is 26 34 52 . De getallen 2104 , 214 36 , . . . zijn alle groter.
e 10 = 5 · 2, dus het gaat om getallen van de vorm p 4 q of p 9 , met p, q priem en p 6= q. Maar p 9
is te groot. Blijft over:
• p = 2 en q ∈ {3, 5, 7, 11}; dit geeft 48, 80, 112 en 176.
• p = 3 en q = 2; dit geeft 162.
A
link
O
Opgave 2.33
a 9876543210987654321098765432109876543371
b 123456791 · 987654323
c 2 · 2 · 3 · 7 · 29 · 2711 · 27773 · 664799
d Het getal uit onderdeel e heeft kleine factoren, waardoor het algoritme al heel snel ‘succes’
heeft.
e Genereer met de eerste applet twee enigszins grote priemgetallen (bijvoorbeeld van tien cijfers)
en vermenigvuldig die met elkaar.
A
link
O
Opgave 2.34
a
a
2a
2a
a Als n = p1 1 p2 2 . . . p ra r een priemontbinding is van n, dan is p1 1 p2 2 . . . p r2a r een priemontbinding van n 2 .
b Dan komt ieder priemgetal in n-voud voor (dus pik n ).
c Neem een getal n 2 uit het eerste rijtje. Uit onderdeel a volgt dat het priemgetal 2 in de priemfactorontbinding van n 2 een even aantal keer voorkomt (bedenk dat 0 ook een even getal is).
Maar dan komt 2 in de priemontbinding van 2n 2 een oneven aantal keer voor. Wederom
volgens onderdeel a kan 2n 2 dus geen kwadraat zijn.
d De derde macht n 3 wordt 10n 3 . In de priemfactorontbinding van 10n 3 komen de priemgetallen 2 en 5 een drievoud-plus-één keer voor. Omdat 3n + 1 zelf geen drievoud is, volgt dat
10n 3 geen drievoud kan zijn.
e Ja, bijvoorbeeld 1002 , ofwel 103 -met-een-extra-nul.
(In het algemeen geldt: 10n 3 is een kwadraat als n = 2i 5 j m 2 met i en j oneven en 26 | m en
56 | m.)
ANTWOORDEN
A
link
O
145
Opgave 2.35
a 3003 = 3 · 7 · 11 · 13 en 1463 = 7 · 11 · 19. Dus (3003, 1463) = 7 · 11 = 77.
b
1463
3003
=
77·19
77·39
=
19
.
39
A
link
O
Opgave 2.36
2520 = 23 · 32 · 5 · 7 en 1100 = 22 · 52 · 11. Dus de ggd is 22 · 5 = 20.
A
link
O
Opgave 2.37
a Hier wordt een methode uitgelegd om de ggd van 264 en 60 te bepalen met behulp van de
priemfactorontbinding van deze getallen.
b Het ‘gemeenschappelijk’ wordt zo visueel gemaakt.
c Nee, want bijvoorbeeld {2, 2, 2, 3, 11} = {2, 3, 11}. (Het plaatje lijkt op een venndiagram zoals
we dat in hoofdstuk 5 zullen tegenkomen. Het is het echter niet!)
A
link
O
Opgave 2.38
Voor ieder priemgetal p geldt dat ‘ p · p · · · · · p’ (i keer) in de priemfactorontbinding van (a, b )
voorkomt als deze i factoren ook in de priemfactorontbinding van zowel a als b voorkomt.
A
link
O
Opgave 2.39
De pointe is dat i een functie is van p die bijna altijd nul is: voor iedere priemgetal p geldt
i( p) ∈ N, terwijl i( p) 6= 0 voor maar een eindig aantal priemgetallen. Het gevolg hiervan is dat
er maar eindig veel factoren in het oneindige product voorkomen die ongelijk zijn aan p 0 = 1.
En vermenigvuldigen met 1 kunnen we best oneindig vaak doen. . .
A
link
O
Opgave 2.40
a Stel zo’n k bestaat wel. Dan deelt k dus zowel n! als n!+1. Maar dan deelt k volgens opgave 2
ook het verschil van n! + 1 en n! en dat is gelijk aan 1. Maar k|1 kan niet, aangezien k > 1.
(Merk overigens op dat de afspraak is dat 0! = 1.)
b Kies voor n een heel groot getal. Een priemdeler van n! + 1 is volgens het vorige onderdeel
groter dan n. Dat betekent dat priemgetallen willekeurig groot kunnen zijn.
A
link
O
Opgave 2.41
a De eerste stap is om de getallen 2, 3, 4, . . . af te lopen, tot er één bij zit die 60 deelt. In dit
geval is het meteen raak: 2|60. Dus p1 = 2 en n2 = 30.
Vervolgens lopen we weer de getallen af en is het weer meteen raak: 2|30. Dus p2 = 2 en
n3 = 15.
Het getal 15 is niet meer deelbaar door 2, maar wel door 3. Dus p3 = 3 en n4 = 5.
Het getal n4 is niet deelbaar door 2, 3 en 4, maar wel door 5. Dus p4 = 5 en omdat n5 = 1
hebben we de priemontbinding gevonden:
60 = 2 · 2 · 3 · 5.
b Het bewijs geeft een stappenplan (een recept).
A
link
O
Opgave 2.42
Er geldt r b = (q − l x)b = q b − l x b . De aanname is dat q ∈ B en dat betekent per definitie
dat p|q b . Maar ook geldt x ∈ B en daarom geldt ook p|x b en dus ook p|l x b . Maar als p twee
146
getallen deelt, dan deelt het ook het verschil van deze getallen volgens opgave 2. Dus p|q b −l x b ,
ofwel p|r b . En dan is per definitie r een element van B.
A
link
O
Opgave 2.43
A: “geen priemgetal”; B: “één”; C: “n”; D: “kleiner dan”; E: “kleinste”; F: “waar”; G: “n”;
H: “niet”.
A
link
O
Opgave 2.44
De hint suggereert dat we moeten gebruiken dat m! + r deelbaar is door r , mits r ≤ m (en
r, m ∈ N). Dit is waar, omdat r |m! als r ≤ m.
Nu ligt het voor de hand om te kiezen N = n!, maar dat gaat net niet goed. Het is waar dat
N + 2, N + 3, . . . , N + n allemaal niet priem zijn (want deelbaar door resp. 2, 3, . . . ). Maar uit
1|N + 1 volgt niet dat N + 1 niet priem is. En bovendien kan het ook nog gebeuren dat N zelf
priem is, maar dat gebeurt alleen als n = 2.
Om deze problemen te vermijden, kiezen we bijvoorbeeld N = (n + 2)! + 2.
A
link
O
Opgave 2.45
b Bewijs van existentie. Geef de veelvouden van b aan op de getallenlijn: Ergens op de getallenlijn bevindt zich het getal a. Neem het grootste veelvoud q b van b dat zich in het interval
[0, a] bevindt. (In het plaatje geldt q = 4.) Door deze keuze geldt voor de rest, r = a − q b ,
dat 0 ≤ r < b . Immers, als r ≥ b dan ligt (q + 1)b ook nog tussen 0 en a en dan is q dus niet
het grootst mogelijke getal. Zo zijn q en r gevonden met a = q b + r .
c Bewijs van uniciteit. Stel dat de paren (q1 , r1 ) en (q2 , r2 ) beide voldoend aan de voorwaarde
voor deling met rest. Uit a = q1 b + r1 = q2 b + r2 volgt dan dat (q1 − q2 )b + (r1 − r2 ) = 0. En
uit 0 ≤ r1 , r2 < |b | volgt dat |r1 − r2 | < |b |. Dus bij het veelvoud (q1 − q2 )b van b tel je een
getal op dat in absolute waarde kleiner is dan |b |. Dat kan alleen maar uitkomst 0 geven als
(q1 − q2 )b = 0 en r1 − r2 = 0. Maar omdat b 6= 0 betekent dit dat q1 = q2 en r1 = r2 .
d Mogelijke elementen van A zijn bijvoorbeeld 20 (want 23 = 1·3+20) en 11 (want 23 = 4·3+11).
Vollediger:
A = {2, 5, 8, 11, 14, . . .}.
Het kleinste element van A is 2 en inderdaad is dat de rest van deling van 23 door 3. Immers:
23 = 7 · 3 + 2 en 0 ≤ 2 < 3.
e Het staartdelen (zonder dat je met niet-gehele getallen werkt) houdt op zodra je een getal hebt
bereikt dat kleiner is dan het getal waardoor je deelt. Dit is de rest.
f In iedere stap van de staartdeling gebruik je in feite delen met rest.
A
link
O
Opgave 2.46
a De kardinaliteit van A is 3 en de kardinaliteit van B is 2. De sommatie 3 + 2 wordt nu gerepresenteerd door het samenvoegen van de verzamelingen A en B. Er geldt A ∪ B = {3, 7, 13, 5, 6}
en deze heeft inderdaad kardinaliteit 5 = 3 + 2.
b Hadden we genomen B = {6, 7}, dan had A ∪ B = {2, 6, 7, 13} kardinaliteit 4 gehad. Dat komt
omdat A ∩ B = {7}; de verzamelingen zijn niet disjunct.
c nee
d A × B = {(3, 5), (3, 6), (7, 5), (7, 6), (13, 5), (13, 6)}; dit zijn inderdaad 3 · 2 = 6 elementen.
A
link
O
Opgave 2.47
a 2
ANTWOORDEN
b
c
d
e
f
g
A
link
O
147
6 (het element 2 komt dubbel voor)
10
0 (een element zou van de vorm (a, b ) moeten zijn met a ∈ ∅ en dat kan niet)
5 (de verzameling is {−2, −1, 0, 1, 2})
1 (elke parabool heeft één top)
2 (de twee elementen zijn ∅ en {∅})
Opgave 2.48
3
2
1
−−−−→
0
−1
1
−2
1
−3
0
−2
−4
−1
−3
−5
−2
−4
−6
−3
0
−1
←−−−−
2 + (−3)
−−−−−
−−−−−
−−−−→
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2 · −3
A
link
O
Opgave 2.49
a Het heksmodel gaat over aantallen blokjes. Dit is een soort kardinaal model, maar dan met
twee soorten objecten (koude en warme).
b Een negatief saldo op je bankrekening betekent dat je nog een bepaald aantal euro’s tekort
komt.
c Het treintje heeft veel weg van een ordinaal model.
A
link
O
Opgave 2.50
a 2k + 2m = 2(k + m).
b (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1).
c 2k + (2m + 1) = 2(k + m) + 1.
d 2k · m = 2(k m).
e (2k + 1) · (2m + 1) = 2(2k m + k + m) + 1.
A
link
O
Opgave 2.51
a gesloten onder beide
b Omdat even+even=even en even×even=even, is E gesloten onder beide operaties. (Zie ook
onderdeel d.)
c O is gesloten onder vermenigvuldigen, want oneven×oneven=oneven. Maar O is niet gesloten onder optellen; bijvoorbeeld 1 ∈ O en 3 ∈ O, maar 1 + 3 = 4 ∈
/ O.
d Stel x, y ∈ En . Dan x = n r en y = n s met r, s ∈ Z. Nu geldt x + y = n(r + s) ∈ En en
x y = n(r y) ∈ En . Dus is En gesloten onder beide operaties.
e De negatieve getallen zijn gesloten onder optellen. Maar niet onder vermenigvuldigen, want
min×min=plus.
f {0} is gesloten onder beide operaties. Er geldt immers 0 + 0 = 0 en 0 · 0 = 0.
148
A
link
O
Opgave 2.52
a Bijvoorbeeld: 2−1 · 21 = 2−1+1 = 20 = 1; deel nu links en rechts door 2. (En 20 = 1 omdat
2 = 20+1 = 20 · 2.)
b Er geldt a 0 = 1 voor a 6= 0. Maar ook geldt 0a = 0 voor a > 0. Dat suggereert twee mogelijkheden voor 00 , namelijk 0 of 1. Beide opties hebben voor en nadelen. Er is geen eensgezindheid
onder wiskundigen. De makkelijkste manier om hiermee om te gaan is door te zeggen dat 00
niet gedefinieerd is.
A
link
O
Opgave 2.53
Er is niet één ‘correct’ antwoord. Hier zijn twee mogelijkheden:
• We zagen in de paragraaf over de priemfactorontbinding dat de afspraak is dat product
van nul termen gelijk is aan 1. En iets-tot-de-macht-nul is een product van nul termen.
Maar ja, . . . ; wat is de gedachte achter deze afspraak?
• Neem in de rekenregel a b +c = a b · a c maar eens c = 0. Dan volgt a b = a b · a 0 en dat kan
alleen als a 0 = 1. Maar: om deze rekenregel te bewijzen, moet je eigenlijk wel eerst weten
wat iets-tot-de-macht-nul betekent. . .
In De telduivel wordt de geciteerde passage gevolgd door een verhandeling over de fundamenten
van de wiskunde. Rond 1900 zijn enkele wiskundigen naarstig op zoek gegaan naar logische
verklaringen voor dit soort vragen. In het boek wordt verteld hoe één wiskundige na vele honderden pagina’s uiteindelijk kon bewijzen dat 1 + 1 = 2. Enkele andere betrokkenen werden
inderdaad gek, of erger. Zie ook het indrukwekkende stripverhaal Logicomix (Doxiades, 2011).
A
link
O
Opgave 2.54
Er geldt
t1
n1
en
+
t1
t2
n2
·
=
t2
n1 n2
t1 n2 + t2 n1
n1 n2
=
t1 t2
n1 n2
.
Als n1 en n2 oneven zijn, dan is n1 n2 dat ook. Dus B is gesloten onder optellen en vermenigvuldigen.
A
link
O
Opgave 2.55
Het getallenblok is symmetrisch in de diagonaal van linksboven naar rechtsonder.
A
link
O
Opgave 2.56
a Aftrekken is geen van beide: 4 − 3 6= 3 − 4 en 4 − (3 − 2) 6= (4 − 3) − 2.
b Delen is geen van beide: 4 ÷ 3 6= 3 ÷ 4 en 8 ÷ (4 ÷ 2) 6= (8 ÷ 4) ÷ 2.
c Ook logaritme is geen van beide: 2log 4 6= 4log 2 en 2log(2log 4) 6= 1, maar
eens.
A
link
O
Opgave 2.57
a (x 3 ) + (2x 2 ) + (3x) + 4
b Nu moet je een volgorde kiezen, bijvoorbeeld van links naar rechts:
€€
Š
Š
(x 3 ) + (2x 2 ) + (3x) + 4.
2
log 2
log 4 bestaat niet
ANTWOORDEN
A
link
O
149
Opgave 2.58
€ Šc
c
Het is niet waar dat a (b ) 6= a b voor alle waarden van a, b en c; neem bijvoorbeeld a = b = c.
Wat
bedoeld wordt, is dat de gelijkheid niet altijd telt: niet voor alle a, b en c geldt a (b ) =
€ Šer
c
a b . Zie ook het achtergrondkader.
c
A
link
O
Opgave 2.59
Merk in ieder geval op dat delen bijna altijd met een deelstreep wordt aangegeven en dat de regel
daarvoor niet werkt. Idem voor worteltrekken en machtsverheffen. Hier wordt de voorrang
grafisch weergegeven. En merk ook op dat optellen niet voor aftrekken gaat.
A
link
O
Opgave 2.60
(a + b )(c +d ) = a(c +d )+ b (c +d ) = ac +ad + b c + b d . In totaal is hier drie keer de distributieve
eigenschap toegepast.
A
link
O
Opgave 2.61
(a + b )c = a c + b c . Dit is een vorm van distributiviteit. (Terzijde: als je ‘modulo c’ rekent
en c is een priemgetal, dan geldt deze regel wel voor tot-de-macht-c! Zie het vak Redeneren en
bewijzen.)
A
link
O
Opgave 2.62
a Commutativiteit:
2a + 3b + 2a + 4b = 2a + 2a + 3b + 4b .
Vervolgens distributiviteit:
(2 + 2)a + (3 + 4)b .
Als je heel precies bent, hoort hier eigenlijk nog een stap tussen, omdat in de regel van distributiviteit in de tabel de volgorde andersom is. Pietjes-precies moeten dus nog commutativiteit
van vermenigvuldiging tussenvoegen:
2a + 2a + 3b + 4b = a2 + a2 + b 3 + b 4.
(In de opgaven en op het tentamen hoef je dit laatste niet te doen.)
b Dit is gewoon distributiviteit.
c We zullen in het vervolg impliciet gebruiken dat c 2 = c · c. Distributiviteit geeft
(a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a(a + b ) + b (a + b ).
Nu gebruiken we nog twee keer distributiviteit:
a(a + b ) + b (a + b ) = a 2 + a b + b a + b 2 .
Dan commutativiteit van vermenigvuldiging en het neutrale element:
a 2 + a b + b a + b 2 = a 2 + 1a b + 1a b + b 2
en tenslotte nog een keer distributiviteit:
a 2 + 1a b + 1a b + b 2 = a 2 + (1 + 1)a b + b 2 = a 2 + 2a b + b 2 .
Eigenlijk is het erg knap dat leerlingen dit oppikken!?
150
A
link
O
Opgave 2.63
(conv) staat voor conventie, ofwel afspraak;
(cwo) staat voor commutatieve wet optelling,
(awo) voor associatieve wet optelling,
(dw) voor distributieve wet,
(wer) voor maaléénregel (d.w.z. neutraal element) en
(cwv) voor commutatieve wet vermenigvuldiging
A
link
O
Opgave 2.64
a Je kunt concrete getallenvoorbeelden geven. Een redenering met variabelen geeft echter meer
inzicht (de eersteklassers konden dat nog niet):
∗ Er geldt x ∗ y = 2x + y. Dus commutativiteit geldt niet, want y ∗ x = x + 2y en dat is voor
de meeste x, y ongelijk aan x ∗ y. Idem voor associativiteit: (x ∗ y) ∗ z = 4x + 2y + z,
terwijl x ∗ (y ∗ z) = 2x + 2y + z.
ƒ Er geldt xƒy = x 2 + y en deze is ook niet commutatief of associatief: yƒx = y 2 + x,
(xƒy)ƒz = (x 2 + y)2 + z, xƒ(yƒz) = x 2 + (y 2 + z)2 .
4 Deze is commutatief, want x4y = x + 10 + y = y + 10 + x = y4x, en ook associatief,
aangezien (x4y)4z = (x + 10 + y) + 10 + z = x + 10 + (y + 10 + z) = x4(y4z).
A
link
O
Opgave 2.65
Associativiteit van optelling (in één keer oneindig vaak toegepast).
A
link
O
Opgave 2.66
a Voor ieder tweetal vectoren (x1 , y1 ) en (x2 , y2 ) in R2 is (x1 , y1 )+(x2 , y2 ) = (x1 +x2 , y1 +y2 ) ∈ R2 .
b Ja, schrijf alles als één coördinatenpaar en gebruik dat optellen in R commutatief en associatief
is.
c Wat betekent het om twee vectoren te vermenigvuldigen? Wellicht denk je aan het inproduct:
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = x1 x2 + y1 y2 . Dit geeft echter een element van R en niet van R2 . De definitie
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 ) werkt wel, maar wordt zelden gebruikt. In hoofdstuk 4 zul je
nog een ander product op R2 tegenkomen.
A
link
O
Opgave 2.67
a 2 ↑ 1 = 2, 2 ↑ 2 = 4, 2 ↑ 3 = 16 en 2 ↑ 4 = 65536.
b 265536 is een getal dat is decimale notatie uit 19729 cijfers bestaat. Want (zie 1. log(265536 ) =
65536 · log 2 ≈ 19729.
c Nee: (2 ↑ 2) ↑ 2 = 4 ↑ 2 = 44 = 256, terwijl2 ↑ (2 ↑ 2) = 2 ↑ 4 = 65536.
d Nee, uit het vorige antwoord blijkt dat 4 ↑ 2 6= 2 ↑ 4.
e Omdat (a a )a = a (a ) . Zouden de haakjes andersom staan, dan geldt a ↑ b = a (a ) en dit kan
dus gewoon in de bekende notatie worden uitgedrukt.
2
A
link
O
b
Opgave 2.68
a Er geldt 0 = 0 + 0 en dus ook a · 0 = a(0 + 0). Distributiviteit van de optelling geeft nu
a · 0 = a · 0 + a · 0. Dus geldt ook a · 0 + (−(a · 0)) = a · 0 + a · 0 + (−(a · 0)) en dat geeft dan weer
0 = a · 0 + 0 = a · 0.
ANTWOORDEN
151
b a b +a ·(−b ) = a(b +(−b )) (distributiviteit optellen); volgens onderdeel a geldt a(b +(−b )) =
a ·0 = 0. Omdat ook a b +(−(a b )) = 0, volgt a b +(−(a b )) = a b +a ·(−b ). Tellen we links en
rechts van het ‘=’-teken −(a b ) op en gebruiken we commutativiteit, dan volgt: 0+(−(a b )) =
0 + a · (−b ), ofwel −(a b ) = a · (−b ).
c a(b − c) = a(b + (−c)) (afspraak); a(b + (−c)) = a b + a · (−c) (distributiviteit optellen);
a b + a · (−c) = a b − ac (onderdeel b).
A
link
O
Opgave 2.69
a Bijvoorbeeld 2 < 3, maar −1 · 2 6< −1 · 3 en ook 0 · 2 6< 0 · 3.
b Als a < b en c < 0, dan ac > b c.
A
link
O
Opgave 2.70
Per definitie is −a het unieke getal waarvoor geldt a + (−a) = 0. Maar 0+? = 0 heeft als oplossing 0 en dus volgt −0 = 0.
A
link
O
Opgave 2.71
Het intuïtieve idee van oneindig is dat van een ‘heel groot getal’. Als we dit aangeven met het
symbool ∞, dan moet gelden ∞ + a = a + ∞ = ∞ voor ieder ‘getal’ (oneindig of niet) a.
Op deze manier blijven commutativiteit en associativiteit van optelling geldig. Maar omdat
a + ∞ = b + ∞ werkt aftrekken niet meer. Sterker nog, door de toevoeging van oneindig is de
oplossing van de vergelijking a + x = b , als deze bestaat, niet altijd uniek!
Vermenigvuldigen geeft nog grotere problemen. Want wat is −1 · ∞? Als het gelijk is aan ∞,
dan lijkt distributiviteit niet meer op te gaan (want ∞ = ∞ + ∞ = (1 − 1) · ∞ = 0 · ∞). Als er
een tweede soort oneindig, namelijk −∞ wordt toegevoegd, dan is het weer niet duidelijk hoe
optellen werkt (want wat is 1 + ∞ + −∞ = (1 + ∞) + −∞ = ∞ − ∞?)
Kortom: door toevoegen van oneindig gaan veel rekenregels de mist in.
A
link
O
Opgave 2.72
a Het ‘bestaan van een inverse’ voor optellen is niet langer geldig.
b Ja, neem a = 1. Er geldt immers x 1 = x voor alle x ∈ N.
c Een links-neutraal element zou een vast element a zijn waarvoor altijd geldt a x = x. Maar
zo’n element bestaat niet.
d Omdat machtsverheffen niet commutatief is.
e a b c = (a b )c en a b +c = a b · a c ; in de laatste regel komen alle drie de operaties voor! Voor de
volgende gevallen zijn niet hele elegante regels te geven:
(a + b )c = ?
a (b ) = ?
c
A
link
O
Opgave 2.73
a Ja: de som en het product van twee positieve getallen is weer positief.
b Dit is het schema:
152
commutativiteit
associativiteit
optellen
vermenigvuldigen
a + b = b +a
ab = ba
(a + b ) + c = a + (b + c)
(a b )c = a(b c)
a ·1=1·a =a
neutraal element
voor alle a, b ∈ R+ heeft
a x = b een oplossing
bestaan inverse
a(b + c) = a b + ac
distributiviteit
verband met
ordening
als a < b
dan a + c < b + c
als a < b
dan ac < b c
A
link
O
Opgave 3.1
Per definitie is nt het unieke getal x waarvoor geldt n x = t . Nemen we nu n = 0 dan is er echter
geen unieke oplossing:
• als t 6= 0, dan heeft de vergelijking 0 · x = t geen oplossing;
• als t = 0, dan heeft de vergelijking 0 · x = t juist heel veel oplossingen.
A
link
O
Opgave 3.2
Dit is de verzameling van niet-negatieve, rationale getallen:
x ∈Qx ≥0 .
A
link
O
Opgave 3.3
a −3, −1 en ‘ja, namelijk 3’
b Gegeven x, dan is er meer dan één paar (a, b ) waarvoor x =
a
0 1
. Bijvoorbeeld 0 = ◦◦ = ◦◦ = · · · .
0 1
b
◦◦
A
link
O
Opgave 3.4
De decimale ontwikkeling is niet repeterend.
A
link
O
Opgave 3.5
Beide bewijzen gebruiken deelbaarheid door 2. Impliciet kijkt het bewijs in Getal & Ruimte
ook naar het even of oneven aantal keer deelbaar zijn door 2; dit is verstopt in regels als ‘oneven
keer oneven is oneven’. De priemfactorontbinding gebruikt dit schoolboek hier echter niet.
A
link
O
Opgave 3.6
p
Het bewijs is gebaseerd op het feit dat het kwadraat van 2 een geheel getal is. Dat is voor π
niet het geval. (Sterker nog: voor geen enkel polynoom f (X ) is f (π) ∈ Z. Het bewijs hiervan is
lastig.)
A
link
O
Opgave 3.7
a Dit bewijs gaat precies zoals het bewijs in het dictaat. Alleen moet je het getal 2 nu vervangen
door 5 (met het getal 3 werkt het niet!).
b Omdat 49 = 72 , wordt het aantal factoren 7 in 49s 2 niet oneven. Je kunt hieruit dus geen
tegenspraak afleiden.
ANTWOORDEN
c
153
p
n ∈ Q precies dan als in de priemfactorontbinding van n ieder priemgetal een even aantal
keer voorkomt.
d Als ieder priemgetal een even aantal keer voorkomt, p
is worteltrekken een kwestie van de helft
van de priemfactoren weghalen; dus geldt dan zelfs n ∈ Z. Als er een priemfactor p is die
een oneven aantal keer voorkomt, kan het bewijs uit het dictaat worden gevolgd met p i.p.v. 2.
A
link
O
Opgave
3.8 p
p
p
7
8
5
Stel 21 (resp. 1024, 243) is wel rationaal: namelijk gelijk aan rs . Dan volgt:
r 7 = 21s 7
resp. r 8 = 1024s 8
resp. r 5 = 243s 5 .
In het eerste geval komt het priemgetal 3 (of 7) in de priemfactorontbinding van r 7 een zevenvoud aantal keer voor, terwijl
het in 21s 7 een zevenvoud-plus-één aantal keer voorkomt; dat leidt
p
7
tot een tegenspraak en dus 21 ∈
/ Q. In het tweede geval komt het priemgetal 2 links een achtvoudpen rechts een achtvoud-plus-2 (want 1024 = 22+8 ) aantal keer voor; ook hier is de conclusie
8
dan 1024 ∈
/ Q. Echter, inphet derde geval is 243 = 35 en dus volgt er géén tegenspraak, omdat
5
r = (3s )5 . Inderdaad geldt 243 = 3 ∈ Q.
A
link
O
Opgave 3.9
Stel a log b =
r
s
met s 6= 0. Dan geldt dus
r
as =b
en dus
ar = b s.
Dit kan niet als a of b een priemfactor heeft die in de ander niet voorkomt, wegens de uniciteit
van priemfactorontbinding. Vanwege deze tegenspraak kan de aanname dat a log b te schrijven is
als een breuk niet waar zijn.
A
link
O
Opgave
p 3.10
p
p
Stel 2+k ∈ Q. Omdat Q gesloten is onder optellen, is dan ook 2 = ( 2+k)−k een rationaal
getal. Tegenspraak.
A
link
O
Opgave 3.11
Hier worden twee ‘luie’ antwoorden gegeven. Met wat fantasie zijn spannendere voorbeelden te
bedenken:
a Kies a ∈ R \ Q willekeurig. Dan is ook 2a ∈
/ Q. Maar dan is ook a + 2a = 3a ∈
/ Q.
b Als x ∈
/ R \ Q dan ook −x ∈
/ R \ Q. Maar x + (−x) = 0 ∈ Q.
A
link
O
Opgave 3.12
a Q is gesloten onder vermenigvuldigen.
p
p
p p
p
b ( 2 + 3)2 = 2 +p2 2 3 + 3 p
= 5 + 2 6 ∈ Q. Maar omdat Q gesloten is onder optellen en
delen, is dan ook 6 = 12 (5 + 2 6 − 5) ∈ Q en dat kan niet (opgave 7).
p
p
p
p
p
p
c Uit ( 7 − 5)2 = 12 − 2 35 volgt weer dat 7 − 5 ∈ Q impliceert dat 35 ∈ Q. Dat geeft
weer een tegenspraak. Het antwoord is dus nee.
A
link
O
Opgave 3.13
p
p
Als x ∈ Q zijn we klaar:p 2 is immers irrationaal en dus nemen we a = b = 2. Als x ∈
/Q
nemen we a = x en b = 2. Dan zijn beide irrationaal, maar er geldt ook:
p p p2 p p p
p 2
2
2· 2
2
= 2
= 2 =2
ab =
154
en dus is a b rationaal.
A
link
O
Opgave 3.14
In onderdelen a en b gebruiken we het volgende. Neem g = a+b
en kies een k ∈ N zodat
2
−k
g − a = b − g > 10 . Er geldt g ∈ I . Neem de decimale ontwikkeling van g :
g = c + c−1 10−1 + c−2 10−2 + · · · .
a Kap g af na de k-de term:
h = c + c−1 10−1 + c−2 10−2 + · · · + c−k 10−k .
Er geldt h ∈ Q (sterker nog: h is een tiendelige breuk). En omdat | g − h| ≤ 10−k geldt ook
h ∈ I.
b Verander de c−i ’s met i > k in de decimale ontwikkeling van g indien nodig zodat de decimale
ontwikkeling niet periodiek is. Dat kan op heel veel manieren, bijvoorbeeld met de enen-ennullentruc waar dit hoofdstuk mee begint.
c Uit onderdeel a volgt dat er een rationaal getal g1 is dat in ⟨a, b ⟩ zit. Passen we nu onderdeel a
toe op het interval I = ⟨a, g1 ⟩, dan krijgen we een rationaal getal g2 met a < g2 < g1 . Passen
we het toe op I = ⟨a, g2 ⟩ dan krijgen we g3 ∈ Q met a < g3 < g2 < g1 . Enzovoorts. Dit geeft
een oneindige rij rationale getallen tussen a en b .
d Op dezelfde manier als onderdeel c, maar nu met gebruik van onderdeel b in plaats van a.
A
link
O
Opgave 3.15
We moeten aantonen dat de decimale ontwikkeling niet repeterend is. Stel dat die dat wel is:
ci +r = ci voor een zekere r ∈ N en alle i groot genoeg. Omdat er oneindig veel priemgetallen
zijn (opgave 2.40), is er een groot priemgetal i. Er geldt dus 1 = ci = ci +r = ci +2r = · · · = ci +i r .
Maar i + i r = i(1 + r ) is geen priemgetal en dus geldt ci+i r = 0. Dit is een tegenspraak. Dus de
aanname dat de decimale ontwikkeling repeterend is, kan niet waar zijn.
A
link
O
Opgave 3.16
p
De uitkomst is steeds van de vorm
p x + yp 5:
• r + s = 1 + 3 + (2 − 1) p
5 = 4 + 5, p
• r − s = 1 − 3p+ (2 − −1)
5,
p 5 = −2
p+ 3 p
p
• r · s = (1 + 2 5)(3
− p5) = 3 − 5 + 6 5 − 10 = −7 + 5 5,
p
p
p
p
p
(1+2 5)(3+ 5)
5+10
p
p
• rs = 1+2p 5 =
= 13
+ 47 5.
= 3+ 5+6
9−5
4
A
link
(3− 5)(3+ 5)
3− 5
O
Opgave 3.17
p
p
Gegeven zijn x1 + y1 a en x2 + y2 a. We lopenpde vier bewerkingen één voor één af en concluderen steeds datpde uitkomst van
p de vorm x + y a is. p
• (x1 + y1 pa) + (x2 + y2 pa) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )pa
• (x1 + y1 pa) − (x2 + yp
(y1 − y2 ) pa
2 a) = (x1 − x2 ) +p
• (x1 +p
y1 a) · (x2 + y2 a) = x1 x2 + x1 y2 a + x2 y1 a + y1 y2 a = (x1 x2 + y1 y2 a) + (x1 y2 +
x2 y 1 ) a
p
p
p
• Neem nu aan x2 + y2 a 6= 0. Als x2 − y2 a = 0 p
dan is a een ‘gewoon getal’ en dus geldt
p
p
x +y a
x2 + y2 a ∈ Q en is makkelijk te zien dat x1 +y1 pa ∈ Q( a). Anders herschrijven we als
2
2
p
p
p
p
p
x +y a
x +y a x −y a
x x −x y a+y x a−y1 y2 a
x x −ay y
y x −x y p
volgt: x1 +y1 pa = x1 +y1 pa · x2 −y2 pa = 1 2 1 2 x 2 −ay1 22
= 1x 22−ay1 2 2 + x1 22−ay1 22 a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ANTWOORDEN
A
link
O
155
Opgave 3.18
p p
p
p p
Omdat Q( 2, 3) gesloten moet zijn onder vermenigvuldiging, hoort ook p6 = p
2 · 3 een
p
2
+
c
3
+
d
6
element van deze verzameling
te
zijn.
Neem
nu
n
=
6.
Dan
is
ieder
getal
a
+
b
p p
dus element van Q( 2, 3). Omgekeerd geldt:
p
p
p
p
p
p
(a1 + b1 2 + c1 3 + d1 6) + (a2 + b2 2 + c2 3 + d2 6) =
p
p
p
(a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) 2 + (c1 + c2 ) 3 + (d1 + d2 ) 6;
p
p
p
p
p
p
(a1 + b1 2 + c1 3 + d1 6) · (a2 + b2 2 + c2 3 + d2 6) =
p
(a1 a2 + 2b1 b2 + 3c1 c2 + 6d1 d2 ) + (a1 b2 + a2 b1 + 3c1 d2 + 4c2 d1 ) 2
p
p
+ (a1 c2 + a2 c1 + 2c1 d2 + 2c2 d1 ) 3 + (a1 d2 + a2 d1 + b1 c2 + b2 c1 ) 6
p
p
p
en dus is een som of product van getallen van de vorm a + b 2 + c 3 + d 6 weer van dezelfde
vorm.
2
N.B. In plaats van n = 6 kan
pieder getal van de vorm n = 6m met m ∈ N\{0} genomen worden.
p
Er geldt immers d 6 = md 6m 2 .
A
link
O
Opgave 3.19
a (2 + 3")(1 − 4") = 2 · 1 + 2 · (−4)" + 3 · 1" + 3 · (−4)"2 = 2 − 5" − 12"2 = 2 − 5", want "2 = 0.
b Voor zowel optelling als vermenigvuldiging geldt associativiteit, commutativiteit en het bestaan van een neutraal element. Bovendien is er een inverse voor optelling en geldt distributiviteit. Maar er is geen inverse voor vermenigvuldiging: " · x = 1 heeft bijvoorbeeld geen
oplossing. Ook is er geen zinvolle ordening te geven.
A
link
O
Opgave 3.20
a ∈ Q is nulpunt van het polynoom P (x) = x − a en dit polynoom heeft coëfficiënten in Q.
A
link
O
Opgave 3.21
bijvoorbeeld a(x) = x 5 − 4 en b (x) = (1 − x)2 − 6.
A
link
O
Opgave 3.22
Bijvoorbeeld:
a(x) = x 4 − 2;
b (x) = x 3 − 7;
5
32
c(x) = x 7 − 32 (en dat is x 7 − 243
);
d (x) = (2x − 1)2 − 5 (en dat is 4x 2 − 4x − 4);
e(x) = (x +4)11 − 32 (en dat is x 11 +44x 10 +880x 9 +10560x 8 +84480x 7 +473088x 6 +1892352x 5 +
5406720x 4 + 10813440x 3 + 14417920x 2 + 11534336x + 4194303 13 );
p
p
p
Bij onderdeel f is de truc om het kwadraat van 2 + 3 uit te rekenen: 5 + 2 6. Daar zit nog
maar één wortel in! Dus kunnen we nemen f (x) = (x 2 − 5)2 − 24 (en dat is x 4 − 10x 2 + 1).
Er is overigens een stelling die zegt dat de verzameling van algebraïsche getallen gesloten is onder
optelling en vermenigvuldiging. Dat is niet heel eenvoudig om te bewijzen, al heb je er geen
geavanceerde wiskundige hulpmiddelen voor nodig.
A
link
O
Opgave 3.23
Omdat de discriminant gelijk is aan 0, geldt α =
−b
2a
∈ Q. Dus Q(α) = Q.
156
A
link
O
Opgave 3.24
Dit is een discussievraag en er is dus geen ‘goed’ antwoord (maar wel slechte motiveringen!). Het
punt van de opgave is dat je, formeel genomen, pas zinvol over een grafiek kunt praten als je voor
de exponent reële getallen kunt gebruiken.
A
link
O
Opgave 3.25
Je begint met rationale getallen
a en b en dus is c ook een rationaal getal. Maar voor geen enkele
p
2
c ∈ Q geldt c = 2, want 2 ∈ R \ Q.
A
link
O
Opgave 3.26
a Als je, zonder je pen van papier te nemen, een punt boven de x-as wilt verbinden met een
punt onder de x-as, zul je minstens één keer de x-as moeten snijden.
b De theorie in deze paragraaf suggereert het volgende algoritme:
• Neem het midden c van a en b . Als f (c) = 0 dan ben je klaar. Als f (c) < 0 dan neem
je als nieuw interval [a, c]. Als f (c) > 0 dan neem je als nieuw interval [c, b ].
• Herhaal nu dit proces met het nieuwe interval.
c Neem bijvoorbeeld f (x) = x 2 − 2 en het interval [0, 2].
A
link
O
Opgave 3.27
a Het getal π is de omtrek van de cirkel met diameter 1. Deze is groter dan de omtrek an
van de ingeschreven regelmatige n-hoek en kleiner dan de diameter bn van de uitgeschreven
regelmatige n-hoek. Je krijgt zo een rij intervallen van de vorm [an , bn ] die π inklemmen.
p
Anders dan in de paragraaf zijn de grenzen van de intervallen (bijv. 2 2) niet noodzakelijk
rationaal. (Bovendien wordt gewerkt met open intervallen, maar dat is in dit geval niet zo
relevant.)
b De tekening is een cirkel met diameter in en een aangeschreven vierkant ABC D en een omgeschreven vierkant E F GH :
H
A
D
E
G
B
C
F
De lengte van de diagonaal van vierkant ABC D is gelijk aan 1, d.w.z. de diameter vanpde
cirkel. Uit de stelling van Pythagoras volgt dan dat de zijden van het vierkant lengte 12 2
p
hebben en dus is de omtrek 2 2. Vierkant E F GH heeft zijden van lengte 1 en dus een
omtrek van 4.
ANTWOORDEN
157
c Voor een regelmatige zeshoek
geldt dat driehoek AM B gelijkzijdig is. Betreft het de ingeschreven zeshoek in de cirkel met
diameter 1, dan geldt |AM | = 12 ; dus ook |AB| = 12 en dus is de omtrek 3. Dit is een ondergrens
voor π.
Æ
In de ingeschreven zeshoek volgt uit de stelling van Pythagoras dat |M G| = ( 12 )2 − ( 14 )2 =
p
1
3. Kijken we nu naar de uitgeschreven zeshoek, dan geldt |M 0 G 0 | = 12 . De vergrotingsfactor
4
p
p
p
p
is dus 12 ÷ 14 3 = 23 3. De omtrek van de omgeschreven zeshoek is dus 3 · 32 3 = 2 3 en dit
getal vormt een bovengrens voor π.
(Alternatief voor de uitgeschreven zeshoek: gebruik algebra en noem bijv. x = |AG| zodat
2x = |AM |. Nog een alternatief: gebruik de (mooie!) goniometrische verhoudingen bij 60◦ of
30◦ .)
A
link
O
Opgave 3.28
p
p
p
− 2 ≈ 2 · 10−3 ; a3 − 2 =
a a2 − 2 = 17
12
p
p
p
p
b 22 + p1 = 12 2 + 12 2 = 2.
577
408
p
p
− 2 ≈ 2 · 10−6 ; a4 − 2 =
665857
470832
p
− 2 ≈ 2 · 10−12 .
2
A
link
O
Opgave 3.29
1
a Er geldt 1 < 3 3 < 2, want 13 < 3 < 23 . Dus we kunnen bijvoorbeeld [1, 2] als eerste interval
nemen. Dan krijgen we de volgende reeks intervallen:
[1,4375; 1,46875] ⊂ [1,4375; 1,5] ⊂ [1,375; 1,5] ⊂ [1,25; 1,5] ⊂ [1; 1,5] ⊂ [1, 2].
Het eerste cijfer achter de komma is dus 4. (Het laatste interval is niet strikt noodzakelijk,
1
want je weet al dat 1,5 6= 3 3 ; en bovendien geldt 1,5 = 1, 4999 . . . dus zelfs als 1,5 wel goed zou
zijn geweest, dan was 4 nog steeds een antwoord op een slecht geformuleerde vraag.)
b Er geldt 1 < 2log 3 < 2, want 21 < 3 < 22 . Dus we kunnen bijvoorbeeld [1, 2] als eerste interval
nemen. Dan krijgen we de volgende reeks intervallen:
⊂ [1,5625; 1,59375] ⊂ [1,5625; 1,625 ⊂ [1,5; 1,625] ⊂ [1,5; 1,75] ⊂ [1,5; 2] ⊂ [1, 2].
Het eerste cijfer achter de komma is dus 5.
3
N.B. In dit proces moet je steeds gebroken machten van 2, zoals 2 2 vergelijken met 3. Je kunt
deze natuurlijk met je rekenmachine berekenen, maar dat is valsspelen. Een truc is om te
3
gebruiken dat 3 2 < 2 precies dan als 33 < 22 .
158
A
link
O
Opgave 3.30
Neem bijvoorbeeld
Ii = [n + c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + · · · + c−(i−1) · 10−(i −1) + (c−i − 1) · 10−i ,
n + c−1 · 10−1 + c−2 · 10−2 + · · · + c−(i −1) · 10−(i −1) + (c−i + 1) · 10−i ].
A
link
O
Opgave 3.31
1. De ‘mooie karakterisering’ zou compleetheid moeten zijn, al is dat wat subjectief.
2. In de beschrijving met compleetheid speelt de notatiewijze (decimaal, binair of anders)
geen rol.
3. Klem twee getallen x en y in door [ai , bi ], resp. [ci , di ]. Dan is de som x + y het getal
dat wordt ingeklemd door [ai + ci , bi + di ]. Analoog voor het product.
A
link
O
Opgave 3.32
1 1
, 10 ] kun je nog tekenen. Voor de volgende twee
a De intervallen I0 = [−1, 1] en I1 = [− 10
intervallen is je potloodpunt waarschijnlijk te dik (afhankelijk van de gekozen schaal).
\
b Voor iedere i geldt 0 ∈ Ii . Dus {0} ⊂
Ii . Is omgekeerd x 6= 0, dan is er altijd een i te vinden
zodat |x| >
1
10i
. Dus geldt zelfs {0} =
i\
∈N
Ii .
i ∈N
c {0} is ook een deelverzameling van Q.
d Ook
\ hier zijn enkel de eerste twee intervallen te tekenen. Op dezelfde manier als in b geldt
Ji = {0}.
i ∈N
e Voor alle i geldt [−1, 0] ⊂ Ki . Dus [−1, 0] ⊂
\
Ki . Is x ∈
/ [−1, 0] dan is er een i waarvoor
i ∈N
geldt x ∈
/ Ki . Dus zelfs [−1, 0] =
\
Ki .
i ∈N
¬
¶
¬
¶
¬
¶
f Neem Ii0 = − 101 i , 101 i , Ji0 = 0, 101 i en Ki0 = −1, 101 i . Dan geldt:
\
i ∈N
Ii0 = {0},
\
Ji0 = ∅,
i∈N
\
Ki0 = ⟨−1, 0].
i ∈N
A
link
O
Opgave 4.1
Dit volgt allemaal uit de rekenregels voor een lichaam!
A
link
O
Opgave 4.2
Niet ieder element ongelijk aan nul heeft een inverse voor vermenigvuldigen. Met andere woorden: delen gaat fout. De vergelijking
(1, 0) · x = (1, 1),
heeft bijvoorbeeld geen oplossing, terwijl (1, 0) 6= 0.
ANTWOORDEN
159
A
link
O
Opgave 4.3
(1,60 + 1,25i)2 = 2,56 + 4i − 1,5625 = 0,9975 + 4i ≈ 1 + 4i
A
link
O
Opgave 4.4
a Het getal i heeft modulus 1 en argument 12 π. Een van de oplossingen z heeft dus modulus 1
p
en argument 14 π. Dus z = cos 41 π + i sin 14 π = 12 2(1 + i).
p
b Het getal i + 1 heeft modulus 2 en argument 14 π. Een van de oplossingen z heeft dus
Æp
p
p
4
4
modulus
2 = 2 en argument 18 π. Dus z = 2(cos 18 π + i sin 18 π).
p
c Het getal 4−i heeft modulus 17 en argument − arctan( 41 ) ≈ 0,245. Een van de oplossingen z
p
4
heeft dus modulus 17 ≈ 2,03 en argument 0,12. Dus z ≈ 2,03(cos 0,12 + i sin 0,12) ≈ 2,02 +
0,25i.
p
d Het getal 3i − 2 heeft modulus 13 en argument π − arctan( 32 ) ≈ 2,16. Een van de oplossinp
4
gen z heeft dus modulus 13 ≈ 1,899 en argument 1,08. Dus z ≈ 1,899(cos 1,08+i sin 1,08) ≈
0,90 + 1,67i .
A
link
O
Opgave 4.5
a D = −4. Een oplossing van v 2 = −4 is v = 2i. Dus
z = −1 + i
of
z = −1 − i.
2
b a=p
1, b = p
1 − i en c = −3i. Dus D = (1 − i)2 +
p12i = 10i . Een oplossing van v = 10i is
1
v = 10 · 2 2(1 + i) (zie opgave 4a). Ofwel v = 5(1 + i). Dus
z=
A
link
O
p
i − 1 ± 5(1 + i )
2
p
p
1
1
= (−1 ± 5) + (1 ± 5)i .
2
2
Opgave 4.6
p
p
2
2
De termen
onder
de
wortel
zijn
nooit
negatief,
want
|D|
=
a
+
b
≥
a 2 = |a|. Het getal
p
p
w = |D| + a + i |D| − a is dus van de vorm x + i y met x, y ∈ R.
Het kwadraat van w is:
Æ
Æ
Æ
w 2 = |D| + a + 2i |D| + a |D| − a − (|D| − a) = 2a + 2i |D|2 − a 2
p
= 2a + 2 a 2 + b 2 − a 2 = 2a + 2|b |i.
p
Dus als b ≥ 0, dan zijn z = ± 12 2w de twee oplossingen van z 2 = w. Als b < 0 dan zijn dit
p
z = ± 12 2w̄.
A
link
O
Opgave 4.7
In de vergelijking arg(v 2 ) = 2 arg(v) in stap (iii).
Deze vergelijking drukt uit dat bij kwadrateren de hoek met de positieve reële as twee keer
zo groot wordt. Het punt waar overheen wordt gestapt, is dat arg(v 2 ) weliswaar de hoek is
die v 2 maakt, maar dat dit getal altijd in het interval ⟨−π, π] genomen wordt. In feite had de
vergelijking moeten luiden: arg(v 2 ) = 2 arg(v)+2kπ. Dan waren er twee oplossingen gevonden,
waarvan de argumenten 180◦ zouden verschillen.
160
(Dit doet denken aan het oplossen van goniometrische vergelijkingen. Zie het vak Analyse –
differentiëren en integreren basis.)
A
link
O
Opgave 4.8
a Dit is een kwestie van secuur haakjes uitwerken:
‚
Œ
‚
Œ
−b ± v 2
−b ± v
a
+b
+c
2a
2a
1
1 2
(b + v 2 ∓ 2b v) + (−2b 2 ± 2b v) + c
=
4a
4a
1
=
(−b 2 + v 2 ) + c
4a
1
=
(−b 2 + b 2 − 4ac) + c
4a
= 0
b
‚
2
0 = az + b z + c = a z +
‚
⇐⇒ a z +
b
Œ2
2a
=
b
Œ2
−
2a
b2
4a
b2
4a
+c
−c
⇐⇒ (2a z + b )2 = b 2 − 4ac
⇐⇒ 2a z + b = ±v
⇐⇒ z =
A
link
O
(met v een oplossing van v 2 = b 2 − 4ac)
−b ± v
2a
Opgave 4.9
p
Het getal 1 + i heeft modulus 2 en argument 14 π. Voor een zevendemachtswortel wortel z
Æp
p
7
14
geldt dus |z| =
2 = 2, terwijl voor de hoek ϕ die het complexe getal z met de positieve
reële as maakt, geldt
1
7ϕ = π + 2kπ
met k ∈ Z.
4
1
π
1
In lijn met het stappenplan kiezen we arg(z) = 47 = 28
π. (Maar ook arg(z) =
k = 1, . . . 6 levert oplossingen.) Dus
p
14
1
1
z = 2(cos 28
π + i sin 28
π) ≈ 1,04 + 0,12i.
A
link
O
1
π + 27 kπ
28
met
Opgave 4.10
Voor ieder van deze getalverzamelingen bestaat er een veelterm (met coëfficiënten in de betreffende verzameling) die géén oplossing heeft die element is van de verzameling. Je kunt voor
ieder geval apart een polynoom verzinnen (bijv. x 2 − 2 voor Q), maar het is efficiënter om op te
merken dat het polynoom x 2 +1 voor alle drie de verzamelingen een voorbeeld is. De nulpunten
zijn immers i en −i en die zijn geen element van de drie verzamelingen.
ANTWOORDEN
A
link
O
161
Opgave 4.11
a —
b Een cirkel met straal 2 · 2 = 4 en middelpunt 1 ∈ C.
c Dezelfde cirkel. De functie f kwadrateert de modulus, ofwel de afstand tot de oorsprong,
waarvoor in dit geval geldt 12 = 1. Het argument van een punt op de cirkel wordt verdubbeld:
loop je één keer rond over de oorspronkelijke cirkel, dan gaan de beeldpunten twee keer rond.
d De cirkel om de oorsprong met straal r k .
e Hier staan de beelden van de cirkels met aangeven straal r . Let op de verandering van de
schaal!
r = 0,1
r =1
r = 10
r = 100
f De oplossingen van
an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0
en van
zn +
an−1
an
a
a
z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 = 0
n
n
zijn hetzelfde.
g Dan geldt f (0) = 0 en dus is 0 een nulpunt van de veelterm.
h In het tweede bolletje wordt met ‘≈’ gewerkt en dat is een niet eenduidige gedefinieerd symbool (zie opgave 1.32).
A
link
O
Opgave 4.12
Er is geen ordening ≤ op de complexe getallen. Je kunt dus niet spreken over ‘de punten die
tussen a en b liggen’.
A
link
O
Opgave 4.13
Dit is de gesloten schijf met middelpunt 5i en straal 2. Voorbeelden van elementen zijn: 5i, 7i
en 5i + 1
A
link
O
Opgave 4.14 De doorsnede is z ∈ C |z − 2| ≤ 2 , ofwel de gesloten schijf met middelpunt 2 en straal 2.
A
link
O
Opgave 5.1
a Noem A = {1, 1, 2} en B = {1, 2}. Neem een element x ∈ A. Dan geldt x = 1 of x = 2. Dus
geldt ook x ∈ B. Maar dat betekent dat ieder element van A een element is van B. Dit is de
definitie van A ⊂ B.
b Uit a volgt A ⊂ B en omgekeerd geldt ook B ⊂ A. Dat betekent dat A en B gelijk aan elkaar
zijn.
162
A
link
O
Opgave 5.2
We bewijzen eerst de implicatie
Als A = B, dan A ⊂ B en B ⊂ A.
Veronderstel dus dat A = B. Volgens het eerste theorievak geldt dan x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B. Is dus
x ∈ A, dan geldt ook x ∈ B en dat betekent per definitie A ⊂ B. Op gelijke wijze volgt B ⊂ A.
We bewijzen nu de implicatie
Als A ⊂ B en B ⊂ A, dan A = B.
Veronderstel daarom A ⊂ B en B ⊂ A. Per definitie betekent dit x ∈ A ⇒ x ∈ B, respectievelijk
x ∈ B ⇒ x ∈ A. Ofwel x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B. Volgens het eerste theorievak impliceert dat A = B.
A
link
O
Opgave 5.3
a x ∈ R x 2 − 5x + 6 = 0
b {2, 3}
c Als D < 0 heeft de oplossingsverzameling nul elementen, als D = 0 één element en als D > 0
twee elementen.
A
link
O
Opgave 5.4
a het antwoord is b
b het antwoord is c
A
link
O
Opgave 5.5
Een verzameling bestaat uit elementen, maar verder is er geen structuur. In het bijzonder is er
geen volgorde in de elementen. Je kunt dus niet over het “37e lid” praten. Uiteraard begrijpt
iedereen wel wat hier wordt bedoeld.
A
link
O
Opgave 5.6
a Nee, want de lege verzameling heeft geen elementen en in het bijzonder kan dus ∅ zelf geen
element zijn van ∅.
b De verzameling N van natuurlijke getallen is zelf geen natuurlijk getal, dus N ∈
/ N. Dus N ∈ P .
c Dat zou bijvoorbeeld de ‘verzameling van alle verzamelingen’ kunnen zijn.
d Als x ∈ P dan volgt uit de definitie van P dat x ∈
/ x. Substitueren nu P voor x, dan volgt uit
P ∈ P dat P ∈
/ P . Dat is een tegenspraak.
e Als P ∈
/ P dan volgt uit de definitie van P dat P ∈ P . Dit is een tegenspraak.
f Uit zowel P ∈ P als de omkering P ∈
/ P volgt een tegenspraak. Geen van beide kan dus waar
zijn. Maar voor iedere wiskundige uitspraak geldt dat hij waar of niet waar is.
A
link
O
Opgave 5.7
— (Bij dit type vraag past geen uitwerking.)
ANTWOORDEN
A
link
O
163
Opgave 5.8
Bijvoorbeeld:
Merk op dat niet geldt N ⊂ R+ vanwege het getal 0. Merk ook op dat het venndiagram niets te
maken heeft met getalmodellen (getallenlijn, etc.).
A
link
O
Opgave 5.9
c G \A
d G ∩A
A
link
O
Opgave 5.10
a waar (context: klas 1)
b niet waar
d waar
f
waar
h waar
A
link
O
c
e
g
i
waar
niet waar
waar
waar
Opgave 5.11
Het is lastig om een venndiagram bij meer dan drie verzamelingen te tekenen. Hier is een voorbeeld:
164
Waarschijnlijk bedoelt het boek met ‘de mensen’ enkel de Nederlanders. Als dat zo is, dan is het
een slordig geformuleerde opgave!
A
link
O
Opgave 5.12
— (Bij dit type vraag past geen uitwerking.)
A
link
O
Opgave 5.13
a Vergelijk de gearceerde gebieden in
met die in
en
b We bewijzen eerst:
x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B)
⇒
x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A).
Veronderstel dus x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B). Dan is x ∈ A ∪ B en x ∈
/ A ∩ B. Als x ∈ A dan volgt
dus x ∈
/ B; ofwel x ∈ A \ B. Als x ∈
/ A dan moet wel gelden x ∈ B en volgt op dezelfde manier
x ∈ B \ A. Dus x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A).
Nu bewijzen we het omgekeerde:
x ∈ (A \ B) ∪ (B \ A)
⇒
x ∈ (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Veronderstel dus x ∈ (A\ B) ∪ (B \ A). Als x ∈ A\ B, dan x ∈ A en x ∈
/ B en dus ook x ∈ A∪ B
en x ∈
/ A∩B; ofwel x ∈ (A∪B)\(A∩B). Dezelfde conclusie volgt in het andere geval: x ∈ B \A.
Volgens het eerste theorievak van dit hoofdstuk kunnen we nu dus concluderen
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A).
c A4B = B4A
A
link
O
Opgave 5.14
ANTWOORDEN
165
A
link
O
Opgave 5.15
a In de verzameling gelijkbenige driehoeken is bevat de verzameling gelijkzijdige. Een gelijkzijdige driehoek is echter nooit rechthoekig. Je zou ook nog kunnen denken aan scherpe en
stompe driehoeken.
b De ene cirkel ligt geheel binnen de andere en heeft een kleinere oppervlakte.
A
link
O
Opgave 5.16
A
link
O
Opgave 5.17
Als dit een venndiagram moet voorstellen, wat zijn dan de elementen van de drie verzamelingen?
A
link
O
Opgave 5.18
Het is voor de discussue belangrijk om op te merken dat verzamelingen uit verschillende elementen bestaan.
A
link
O
Opgave 5.19
a (1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 1), (5, 4)
b (1, 2)
c (a, b ) met a ∈ N en b ∈ Q
d er zijn geen elementen
A
link
O
Opgave 5.20
a ∅, {1}, {2}, {1, 2}
b ∅, {1}
c ∅
A
link
O
Opgave 5.21
Voor iedere deelverzameling A ⊂ N kun je een functie f definiëren waarvoor geldt f (x) = 1 ⇐⇒
x ∈ A. En omgekeerd.
A
link
O
Opgave 5.22
a Het zijn er zestien:
∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, A.
b Als je kunt kiezen uit n elementen, kan dit op 2n manieren.
c Als A kardinaliteit n ∈ N heeft, dan heeft P (A) kardinaliteit 2n .
A
link
O
Opgave 5.23
In de definitie van een functie moet je het domein noemen. Uit de formule f (x) = x1 wordt niet
duidelijk van welke verzameling A de functie f een deelverzameling is. De grootst mogelijke
deelverzameling van R is natuurlijk R \ {0}, maar er staat nergens dat je de grootst mogelijk
moet nemen. . . .
(Verder is de vergelijking f (x) = x1 dubbelzinnig. Bedoeld wordt: ‘de functie f waarvoor voor
alle x in het domein geldt f (x) = x1 .’)
A
link
O
Opgave
5.24T
S
A = R en A = ∅.
166
A
link
O
Opgave 5.25
Het gaat om functies die willekeurig vaak differentieerbaar zijn, zoals polynomen of exponentiële functies.
Index
absolute waarde, 57
Aftrekken, 9
aftrekken, 32
algebra, 51
algebraïsch gesloten, 100
algebraïsch getal, 83
algoritme, 8
algoritme van Euclides, 45
associativiteit, 53
axioma, 52
Babylonië, 33
basis, 33
beeld, 103
bereik, 122
bewijs, 25
bewijs uit het ongerijmde, 80
binaire notatie, 18
binaire representatie, 19
bit, 33
breuk, 20
breuken, 22
breukstreep, 20
byte, 33
chip, 33
cijfer, 17
commutativiteit, 52
compleet, 101
compleetheid, 83, 85
complement, 113
complement, 79
complexe getallen, 97
computer, 32
computers, 18
constructief bewijs, 65
dan en slechts dan als, 23
decimale breuk, 20
decimale kommanotatie, 20
decimale notatie, 17
decimale ontwikkeling, 21
decimale representatie, 18
decimalen, 20
deelbaar, 43
deelbaar door, 11
deelbaarheidscriterium, 30
deelt, 43
deelverzameling, 111
definitie, 25
Delen, 10
delen, 32
delen met rest, 43
deler, 43
Die Hard, 61
differentieerbaarheid, 122
disjunct, 50
distributiviteit, 54
domein, 122
doorsnede, 49
drie-truc, 31
duivenhokprincipe, 24
element, 7
EN-poort, 20
equivalent, 23
exact, 27
extensie, 109
ezelsbruggetje, 70
faculteit, 57
functie, 122
fundamentele rekenregels, 52
gedegenereerd, 78
geheeltallig quotiënt, 11
Geheeltallige deling, 11
gehele getallen, 7
geordend lichaam, 77
gesloten, 52
gesloten, 43
getal van Champerowne, 87
graad, 83
grootste gemene deler, 44
hexadecimale notatie, 33
Hoofdstelling van de rekenkunde, 47
167
168
I8008, 33
inklemmen, 84
intentie, 109
interval, 8
irrationaal getal, 79
kardinale getalmodel, 51
kardinaliteit, 49
kleinste gemene veelvoud, 59
kwadraat, 30
lege verzameling, 49, 111
lemma, 48
machtsverzameling, 114
Meneer Van Dalen, 70
minteken, 18
modulus, 98
natuurlijke getallen, 7
negen-truc, 31
New Math, 108
noemer, 20
NOT-poorten, 32
notatie, 17
nul, 18
nummer, 30
octaal, 33
omkering, 56
omklapwet, 73
oneindige som, 21
Optellen, 9
ordinale getalmodel, 51
ordinale model, 67
paradox van Russell, 116
perfecte getallen, 57
periode, 36
pi, 20
plaatswaardesysteem, 17
polynoom, 83
positiestelsel, 17
precies dan als, 23
priemgetal, 43
product, 50, 113
pythagoreeërs, 22
rationale getallen, 77
reële getallen, 22
reële getallen, 7
reeks, 21
repeterende decimale ontwikkeling, 21
rest, 11
significante cijfers, 28
staartdelen, 10
staartdeling, 11
structuralisme, 42
systeembord, 20
tafels van vermenigvuldiging, 20
teller, 20
tiendelige breuk, 20
tijdweergave, 33
tussenwaardestelling, 90
uitbreiding, 52
uitgebreide algoritme van Euclides, 46
universum, 113
van breuk naar decimaal, 23
van decimaal naar breuk, 25
veelterm, 83
veelvoud, 43
venndiagram, 111
vereniging, 49
Vermenigvuldigen, 10
verzameling, 7