Belangrijk in de Hoofdstukken 1 en 2 Aannamen: • Alle variabelen

Belangrijk in de Hoofdstukken 1 en 2
Aannamen:
• Alle variabelen zijn rationaal.
• De coëfficiënten cj , aij en bj zijn deterministisch.
• Alle verbanden zijn lineair.
In geval van minimaliseren kan het LP in de volgende twee vormen gegeven zijn:
(1) De standaardvorm:
min
n
X
cj xj onder de voorwaarden dat
j=1
n
X
aij xj = bi voor i = 1, . . . , m;
j=1
xj ≥ 0 voor j = 1, . . . , n.
(2) De canonische vorm:
min
n
X
cj xj onder de voorwaarden dat
j=1
n
X
aij xj ≤ bi voor i = 1, . . . , m;
j=1
xj ≥ 0 voor j = 1, . . . , n.
P
De functie z = nj=1 cj xj wordt de doelstellingsfunctie genoemd, waarbij de cj ’s de kostencoëfficiënten
en de xj ’s de beslissingsvariabelen zijn. De coëfficiënten aij worden de technologische coëfficiënten
genoemd; met zijn allen vormen ze de beperkingenmatrix A. De kolomvector b wordt de
rechterkant genoemd.
Een vector b ∈ E n wordt een lineaire combinatie van de vectoren a1 , . . . , ak ∈ E n genoemd als b
te schrijven is als een lineaire combinatie van deze vectoren, dus als er getallen λj ∈ IR bestaan
P
zodanig dat b = kj=1 λj aj .
Een verzameling vectoren a1 , . . . , ak wordt lineair onafhankelijk genoemd als geldt dat
0 impliceert λj = 0 voor alle j = 1, . . . , k.
Pk
j=1 λj aj
=
Een verzameling vectoren a1 , . . . , ak ∈ E n spant E n op als iedere vector in E n kan worden
geschreven als een lineaire combinatie van a1 , . . . , ak . Een verzameling vectoren a1 , . . . , ak ∈ E n
vormt een basis van E n dan en slechts dan als de vectoren lineair onafhankelijk zijn met k = n.
Stelling. Stel a1 , . . . , an vormen een basis in E n . Het vervangen van a1 door een vector a ∈ E n
levert een basis op van E n dan en slechts dan als de coëfficiënt λ1 in a =
aan 0.
Pn
j=1 λj aj
ongelijk is
De inverse van een matrix A kan worden bepaald door schoonvegen; dit komt neer op het uitvoeren van elementaire rij operaties (of kolom operaties). Elementaire rij operaties zijn:
(1) Het omwisselen van rij i en rij j in A.
(2) Het vermenigvuldigen van rij i met een scalar k 6= 0.
(3) Het vervangen van rij i door de som van rij i en k maal rij j.
Het schoonvegen van een matrix A door middel van rij operaties komt overeen met het
voorvermenigvuldigen van A met een matrix (het schoonvegen door middel van kolom operaties
komt overeen met het achtervermenigvuldigen). De inverse van een vierkante reguliere matrix
A kan worden gevonden door van de matrix (A|I) het voorste stuk schoon te vegen; in het
achterste stuk staat dan A−1 .
De rij-rang (kolom-rang) van een (m × n) matrix A wordt gedefinieerd als het maximale aantal
onafhankelijke rijen (kolommen) in A. Er geldt dat de rij-rang gelijk is aan de kolom-rang.
Stelling. Beschouw het stelsel van lineaire vergelijkingen Ax = b, waarbij A een (m × n) matrix
is. Als rang(A, b) > rang(A), dan heeft het stelsel geen oplossing. Als rang(A, b) = rang(A) = k,
dan kan het stelsel Ax = b worden gerepresenteerd door k lineair onafhankelijke rijen uit (A, b)
te kiezen.
Een verzameling X ⊂ E n heet convex als voor ieder tweetal punten x1 en x2 ∈ X geldt dat
λx1 + (1 − λ)x2 ook in X zit voor iedere λ ∈ R met 0 ≤ λ ≤ 1; zo’n punt λx1 + (1 − λ)x2 wordt
een convexcombinatie van x1 en x2 genoemd. Wanneer ook nog geldt dat 0 < λ < 1, dan wordt
de convexcombinatie strikt Genoemd. Iets algemener geldt dat ieder punt x dat is te schrijven
P
P
als x = kj=1 λj xj met kj=1 λj = 1 en λj ≥ 0 voor alle j = 1, . . . , k een convexcombinatie is
van de punten x1 , . . . , xk .
Een punt x in een convexe verzameling X wordt een extreem punt van X genoemd als er geen
twee punten x1 en x2 ∈ X te vinden zijn zodanig dat x geschreven kan worden als een strikte
convexcombinatie van x1 en x2 .
Een hypervlak h ∈ E n is een verzameling van de vorm {x ∈ E n |px = k}, waarbij p een niet-nul
vector in E n is. Deze vector p heet de normaal vector van het vlak; p staat loodrecht op iedere
vector die in het hypervlak {x ∈ E n |px = 0} ligt. Het hypervlak H deelt E n in twee halfruimten:
{x ∈ E n |px ≤ k} en {x ∈ E n |px ≥ k}.
Stelling. Beschouw de verzameling X = {x ∈ E n |Ax ≤ b, x ≥ 0}, waarbij A een (m × n) matrix
is. Ieder van de m+n beperkingen levert een hypervlak ({x ∈ E n |aj x = bj } of {x ∈ E n |xj = 0}).
Een punt x̄ ∈ X is een extreem punt van X dan en slechts dan als door x̄ precies n lineair onafhankelijke hypervlakken gaan. Wanneer door x̄ meer dan n hypervlakken gaan, waarvan n
stuks lineair onafhankelijk zijn, dan wordt x̄ een gedegenereerd extreem punt genoemd.
Voor een convexe verzameling X geldt dat d een richting van de verzameling is als voor iedere
x0 ∈ X geldt dat de halfrechte {x0 + λd|λ ≥ 0} ook in X zit. Voor de verzameling X = {x ∈
E n |Ax ≤ b, x ≥ 0} geldt dat een niet-negatieve vector d een richting is dan en slechts dan als
Ad ≤ 0 en d ≥ 0.
Een richting wordt extreem genoemd als de vector d niet te schrijven is als een strikte convexcombinatie van twee andere richtingen d1 en d2 . Omdat zowel d als λd een richting is voor alle
λ > 0, wordt meestal de eis toegevoegd dat de som van de coëfficiënten van d gelijk is aan 1.
Een polyhedrale verzameling of polyhedron wordt gedefinieerd als de doorsnede van een eindig
aantal halfruimten; een begrensd polyhedron wordt een polytoop genoemd. Een polyhedron
wordt gerepresenteerd door de verzameling {x ∈ E n |Ax ≤ b, x ≥ 0}.
Representatiestelling. Ga uit van een niet-lege verzameling X = {x ∈ E n |Ax ≤ b, x ≥ 0}.
Laat x1 , . . . , xk } de extreme punten en d1 , . . . , dl de extreme richtingen van X zijn. Nu geldt
x̄ ∈ X dan en slechts dan als x̄ geschreven kan worden als een convexcombinatie van x1 , . . . , xk
plus een niet-negatieve lineaire combinatie van d1 , . . . , dl :
x̄ =
k
X
i=1
λi xi +
l
X
j=1
µj dj met
k
X
λi = 1,
λi ≥ 0 (i = 1, . . . , k),
µj ≥ 0 (j = 1, . . . , l).
i=1
Stelling. Iedere richting d van X = {x ∈ E n |Ax ≤ b, x ≥ 0} kan worden geschreven als een
positieve lineaire combinatie van de extreme richtingen van X.