Roger Van Nieuwenhuyze Mark Muylaert Filip Geeurickx

Roger Van Nieuwenhuyze
Mark Muylaert
Filip Geeurickx
Erik Willockx
Philip Bogaert
bewerkt voor het GO!
onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door
Wendy Luyckx
Els Sas
Mark Verbelen
Tinne Van Breda
Cartoons
Dave Vanroye
Leerwerkboek
Eerstegraadsfuncties
en rechten
TSO/KSO 3u/4u
3
01_001-039_943030109_.indd 1
18/10/12 07:52
2
voorw oord
ISBN: 978 90 4861 411 0
Kon. Bib.: D/2012/0147/296
Bestelnr.: 94 303 0109
NUR: 128, 129
Copyright by die Keure Brugge
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure,
Dit boek bestaat uit
4 grote delen. Elk deel is
onderverdeeld in kleinere
paragrafen.
De volgende handige pictogrammen gebruiken we in
het leerboek:
Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België H.R. Brugge 12.225
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of
openbaar gemaakt worden door middel van druk,
fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder
voorafgaande schriftelijke toestemming van de
uitgever. Verhuur van dit boek is niet toegestaan
zonder uitdrukkelijke toestemming van de uitgever.
No part of this book may be reproduced in any form
by print, photoprint, microfilm or any other means
without written permission from the publisher.
Te onthouden
Deze leerstof moet
je goed kennen en
begrijpen vooraleer je
verder kunt.
01_001-039_943030109_.indd 2
Samenvatting
De belangrijkste
eigenschappen,
begrippen en
regels van een
leerstofonderdeel.
Betekenis
Waar komen al
die wiskundige
begrippen vandaan?
18/10/12 07:52
3
Na ieder leerstofonderdeel
vind je een reeks oefeningen.
Om iets gemakkelijk terug
te vinden, kun je terecht in
het trefwoordenregister
achteraan het boek. Die
woorden staan ook in de
marge afgedrukt, op de
plaats waar ze het voor eerst
gebruikt worden.
De schrijvers van dit boek
wensen je veel plezier met
het vak wiskunde.
Geschiedenis
Een wiskundige
terugblik in
de tijd. Leuke
wetenswaardigheden
over hoe het vroeger
was.
01_001-039_943030109_.indd 3
REKENMACHINE
Hier wordt uitgelegd
hoe je rekenmachine
je kan helpen.
18/10/12 07:52
4
Uiterst geraffineerd (en snel) werkt deze
spin aan haar web. Sommige spinnen
produceren draden die sterker zijn dan
staaldraad en anderen brengen dan weer
lijm aan op hun web.
Een mooi web zit boordevol wiskunde.
Je kunt immers met een simpele
1
1
2
3
4
5
6
7
vergelijking elk lijnstuk plaatsen in het
vlak. En de evenwijdigen hebben dezelfde
richting(scoëfficiënt).
Nog even dit: wanneer een spin koffie
drinkt, is de wiskunde in haar web
volledig verdwenen.
Vergelijkingen in R
Inleiding > 8
Even herhalen > 8
Eerstegraadsvergelijking in R > 10
Speciale vergelijkingen > 11
Omvormen van formules > 12
Vraagstukken > 12
Vergelijkingen van de eerste graad
bespreken > 13
8 Samenvatting > 14
9 Oefeningen > 15
01_001-039_943030109_.indd 4
18/10/12 07:52
5
inhoud
Ongelijkheden in R
2
1 Inleiding > 42
2 De verenigbaarheid van optelling en orde > 42
3 De verenigbaarheid van vermenigvuldiging en
orde > 42
4 Intervallen in R > 43
5 Ongelijkheden van de eerste graad
oplossen > 44
6 Speciale ongelijkheden > 45
7 Vraagstukken > 45
8 Samenvatting > 46
9 Oefeningen > 47
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Functies van de eerste graad
Inleidende voorbeelden > 54
Definitie > 56
Begrippen > 56
Richtingscoëfficiënt en tekenverloop > 57
Y 0g: > 60
Grafiek van f: R " R : x " ax + b ]a =
Constante functies > 62
Vergelijking van een rechte evenwijdig
met de y-as > 63
Constructie van een rechte > 64
Het bepalen van de snijpunten van een rechte
met de assen > 65
Richtingscoëfficiënt > 66
Samenvatting > 67
Oefeningen > 69
01_001-039_943030109_.indd 5
4
1
2
3
4
5
6
7
8
Vergelijkingen van rechten
ergelijkingen van de vorm ux + vy + w = 0 > 78
V
Oplossen van vergelijkingen van de eerste
graad met twee onbekenden > 78
Bespreking van de vergelijking
ux + vy + w = 0 > 79
Voorwaarde opdat een punt op een rechte
ligt > 81
Opstellen van de vergelijking van een rechte
als één punt en de richtingscoëfficiënt gegeven
zijn > 81
Opstellen van de vergelijking van een rechte als
twee verschillende punten gegeven zijn > 82
Samenvatting > 84
Oefeningen > 85
Trefwoordenregister > 90
18/10/12 07:52
6
01_001-039_943030109_.indd 6
18/10/12 07:52
7
Vergelijkingen in
1
Inleiding > 8
2
Even herhalen > 8
3
Eerstegraadsvergelijking in R > 10
4
Speciale vergelijkingen > 11
5
Omvormen van formules > 12
6
Vraagstukken > 12
7
ergelijkingen van de eerste graad
V
bespreken > 13
8
Samenvatting > 14
9
Oefeningen > 15
01_001-039_943030109_.indd 7
1
18/10/12 07:52
8
1 ) Inleiding
Hey Sanne
Even een kort mailtje vanop GWP, spijtig dat je niet meekon met je gebroken enkel.
De activiteiten zijn soms wel wat saai, je mist daar niet zoveel dus
. Maar in de namiddag
krijgen we ook altijd even vrij, wij gaan dan meestal iets drinken op het terras van het hotel.
Best wel duur hier hoor 2,30 euro voor een drankje! Maar het is er wel heel tof om te zitten
… we worden bediend door een jongen met zo'n mooie blauwe ogen
!!!
’k Zal wel eens moeten berekenen hoeveel drankjes ik bij hem nog zal kunnen bestellen,
ik heb nog maar 35 euro en 65 cent en wil absoluut die coole pet van 14,20 euro nog kopen
als souvenier!
Groetjes en tot gauw
!
Elke
Door in dit vraagstuk het gezochte getal, het aantal drankjes, te vervangen door de letter d,
kunnen we het probleem van Elke “vertalen” in een wiskundige vergelijking
35, 65 = 14, 20 + 2, 30 $ d
Als je deze vergelijking oplost, vind je
35, 65 = 14, 20 + 2, 30 $ d F 35, 65 - 14, 20 = 2, 30 $ d F 21, 45 = 2, 30d F
21, 45
=d
2, 30
Als we deze oplossing dan even terug “vertalen” naar de situatie van Elke, weten we dat
d=
21, 45
F d . 9, 33
2, 30
Elke heeft dus net niet genoeg geld om 10 drankjes te bestellen, ze zal genoegen moeten nemen met 9
bezoekjes aan haar favoriete kelner!
2 ) Even herhalen
Voorbeeld: 3 + 2 = 5
17 - 2 = 15
6 $ 8 = 48
gelijkheden
01_001-039_943030109_.indd 8
Al deze uitspraken zijn gelijkheden.
18/10/12 07:52
Deel 1
Vergelijkingen in R
9
waar, onwaar
Een uitspraak kan waar of onwaar zijn. Zo klopt de uitspraak 3 + 2 = 5, maar de uitspraak
3 + 2 = 6 is onwaar.
vergelijking
Wanneer er in een gelijkheid een onbekend element voorkomt, spreekt men van een vergelijking.
Voorbeeld: 1 + x = 7 is een vergelijking.
2 3
oplossing
Een waarde voor x waarvoor de vergelijking een ware uitspraak wordt, noemen we een oplossing
van de vergelijking. We noteren de oplossing onder de vorm van een verzameling: de
oplossingsverzameling
oplossingsverzameling.
Opmerking: 3x = 9 F x = 3
gelijkwaardigheidsteken
Je ziet dat er vanaf nu steeds een gelijkwaardigheidsteken (equivalentieteken) tussen de
opeenvolgende vergelijkingen staat. Dit gelijkwaardigheidsteken geeft aan dat het hier gaat om
gelijkwaardige
vergelijkingen
gelijkwaardige vergelijkingen, dat wil zeggen vergelijkingen met dezelfde oplossingsverzameling.
Vorige jaren heb je geleerd hoe je vergelijkingen in Q moet oplossen.
Voorbeeld:
4(x + 3) + 14 = 7x - 9
B
4x + 12 + 14 = 7x - 9
B
4x - 7x = -9 - 12 - 14
B
-3x = -35
B
−35 35
35
=
V=
x=
−3
3
3
{ }
Methode:
1. Werk de haken weg;
2. verzamel alle termen waarin de onbekende voorkomt in het ene lid en alle overige
termen in het andere lid;
3. schrijf beide leden zo eenvoudig mogelijk;
4. bereken de onbekende;
5. noteer de oplossingsverzameling.
Indien in de vergelijking breuken staan, dan kun je de vergelijking soms vereenvoudigen door de
noemers weg te werken. Dit kan door elk lid te vermenigvuldigen met het kleinste gemeen veelvoud van de noemers. Uiteraard moet je steeds voorrang verlenen aan het uitwerken van de haakjes.
01_001-039_943030109_.indd 9
18/10/12 07:52
10
We lossen hieronder dezelfde vergelijking op twee manieren op: links werken we de noemers weg,
rechts laten we de breuken staan.
2 + 1 c x + 1 m = 2x + 1
3 2 3 2
B
2 + x + 1 = 2x + 1
3 6 4
B
12 $ c 2 + x + 1 m = ^2x + 1 h $ 12
3 6 4
B
8 + 2x + 3 = 24x + 12 12
13
B
2x - 24x = 12 - 8 - 3 12
13
B
–22x = 1 12
13
B
x = –1
22
2 + 1 c x + 1 m = 2x + 1
3 2 3 2
B
2 + x + 1 = 2x + 1
3 6 4
B
x - 2x = 1 - 2 - 1
6
3 4
B
x - 12x = 12 - 8 - 3
6
6
12 12 12
B
–11 x = 1
6
12
B
x= 1 $ 6
12 –11
B
x = –1
22
V = ' –1 1
22
3 ) Eerstegraadsvergelijkingen in R
eerste graad
In dit hoofdstuk behandelen we enkel vergelijkingen van de eerste graad in één onbekende.
Dit betekent dat beide leden bestaan uit een veelterm van de eerste graad in één en dezelfde
onbepaalde.
referentieverzameling
De verzameling waarin we de vergelijking oplossen, noemen we de referentieverzameling.
De oplossingsverzameling is een deelverzameling van de referentieverzameling.
Dit schooljaar zal de referentieverzameling van onze vergelijkingen meestal R zijn.
De oplossingsmethode om vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende in R op te
lossen, is dezelfde als die in Q.
Voorbeeld 1: @ ⋅ (x − 2) = 3 − x
B
B
@x − 2@ = 3 − x
@x + x = 3 + 2@
B
(@ + 1)x = 3 + 2@
B
x=
3 + 2@
@+1
V=
{
3 + 2@
@+1
}
Voorbeeld 2: 1 x - 3 = 2x + 2
2
B
1 x - 2x = 2 + 3
2
B
1x- 4x= 2 + 3
2
2
B
3x= 2+ 3
–2
B
2+ 3
x=
– 32
B
–2 ^ 2 + 3 h
x=
3
V=(
01_001-039_943030109_.indd 10
–2 ^
2 + 3h
2
3
18/10/12 07:52
Deel 1
Vergelijkingen in R
11
De hoofdstelling van de algebra
- De natuurlijke getallen die de basis van ons getalstelsel vormen, volstaan niet om een eenvoudige
vergelijking zoals x + 1 = 0 op te lossen.
- Om toch een oplossing te vinden, moet men de natuurlijke getallen uitbreiden tot de verzameling van de
gehele getallen. Het getal –1 is dan een wortel (of een oplossing). Maar binnen die verzameling heeft
2x + 1 = 0 geen oplossing.
- We breiden de gehele getallen uit tot de verzameling van de rationale getallen. Het getal – 1 is dan een
2
wortel van die vergelijking. Maar binnen die verzameling heeft x 2 - 2 = 0 geen oplossing.
- We breiden de rationale getallen uit tot de verzameling van de reële getallen.
2 en – 2 zijn dan de wortels. Maar binnen die verzameling heeft x 2 + 2 = 0 geen oplossing.
In de hogere jaren van het secundair onderwijs zul je zien dat we de reële getallen kunnen uitbreiden tot de
verzameling van de complexe getallen. Zijn hierin dan alle vergelijkingen oplosbaar of moeten we nadien nog
eens uitbreiden?
In 1799 bewees Gauss, de prins van de wiskunde, dat elke vergelijking van de vorm
a n x n + a n -1 x n -1 + … + a 0 = 0, n wortels heeft binnen de verzameling van de complexe getallen. Die stelling
staat bekend als de hoofdstelling van de algebra.
4 ) Speciale vergelijkingen
Soms kan men bij het oplossen van een vergelijking tot een merkwaardig resultaat komen.
4x + 2 = 3 $ ^ x + 2 h + x
B
4x + 2 = 3x + 6 + x
B
4x - 3x - x = 6 - 2
B
0x = 4
Voorbeeld:
Aangezien er geen enkel reëel getal bestaat dat vermenigvuldigd met 0 gelijk is aan 4, is de oplossingsverzameling van die vergelijking leeg ( V = Q of V = # - ).
strijdige vergelijking
valse vergelijking
Dergelijke vergelijking noemt men een strijdige of valse vergelijking.
Voorbeeld: 3x - 2 = 3 $ ^x - 1 h + 1
B
3x - 2 = 3x - 3 + 1
B
3x - 3x = 2 - 3 + 1
B
0x = 0
Aangezien elk reëel getal bij vermenigvuldiging met 0 als product 0 oplevert, is de
oplossingsverzameling van die vergelijking de verzameling van de reële getallen (V = R).
onbepaalde vergelijking
Dergelijke vergelijking noemt men een onbepaalde of identieke vergelijking.
identieke vergelijking
01_001-039_943030109_.indd 11
18/10/12 07:52
12
5 ) Omvormen van formules
In wetenschappelijke vakken is het soms nuttig en noodzakelijk om formules te kunnen omvormen.
Voorbeeld:
Een rechthoek heeft een omtrek P van 24 m en een lengte l van 8 m.
Wat is de breedte b?
P = 2 ^l + b h P l + b = P P b = P - l
2
2
Maak er een gewoonte van om eerst je formule om te vormen en dan pas de getalwaarden in te
vullen.
b = P - l P b = 24m - 8m P b = 12m - 8m P b = 4m
2
2
6 ) Vraagstukken
Vorig jaar heb je geleerd vraagstukken op te lossen door de tekst te vertalen naar de
wiskundetaal. Op die manier verkreeg je een vergelijking van de eerste graad.
Werkwijze:
1. Lees het vraagstuk grondig;
2. stel datgene wat je zoekt voor door een letter, bijvoorbeeld x;
3. vertaal het vraagstuk naar een vergelijking;
4. los de vergelijking op en voer de proef uit;
5. vertaal je oplossingsverzameling opnieuw naar de context van het vraagstuk om een antwoord te formuleren.
Voorbeeld 1: Als men twee derden van een getal vermeerdert met het dubbel van het getal,
dan bekomt men 32. Bepaal dit getal.
We gaan dit vraagstuk nu “vertalen” naar een vergelijking.
Als men twee derden van een getal / vermeerdert / met het dubbel van het getal, / dan bekomt men 32. / Bepaal dit getal.
Onbekende: g is het getal.
Vergelijking: 2 g + 2g = 32
3
VB
X
2g + 6g = 96
B
8g = 96
B
g = 12
V = " 12 ,
01_001-039_943030109_.indd 12
2 12 + 2 12 = 8 + 24 = 32
$
$
3
Proef: Antwoord:Het gevraagde getal is 12.
18/10/12 07:52
Deel 1
Vergelijkingen in R
13
Voorbeeld 2:Hoeveel koffie van E 9 / kg moet je mengen met 36 kg koffie van E 7,50 / kg om een mengsel van E 8,10 per kg te bekomen?
Onbekende: Er is x kg koffie van E 9 / kg nodig.
Er is dan in het totaal ^36 + x h kg koffie in het mengsel.
Vergelijking: 9 $ x + 7, 50 $ 36 = 8, 10 $ ^36 + x h
B
9x + 270 = 291, 6 + 8, 10x
B
9x - 8, 10x = 291, 6 - 270
B
0, 9x = 21, 6
B
x = 24
V = " 24 ,
Proef:
24 $ 9 + 36 $ 7, 50 = 216 + 270 = 486 en
^24 + 36 h $ 8, 10 = 60 $ 8, 10 = 486
Men neemt 24 kg koffie van E 9 / kg.
Antwoord: 7 ) Vergelijkingen van de eerste graad bespreken
parameters
Soms gebruikt men in een vergelijking parameters. Dit zijn letters die reële getallen voorstellen.
Bij het oplossen van dergelijke vergelijkingen, moet men met alle mogelijke gevallen rekening
houden. Vermits de parameters elk reëel getal kunnen voorstellen, moet men verschillende
gevallen onderscheiden. Die gevallen onderzoeken, noemt men de vergelijking bespreken.
Voorbeelden:
ax - 1 = 3
B
ax - 3 = 2x - 3
B
ax = 3 + 1
ax - 2x = -3 + 3
B
B
(a - 2) ⋅ x = 0
ax = 4
Afhankelijk van de waarde van a,Afhankelijk van de waarde van a,
krijgen we nu twee mogelijkheden:
krijgen we nu twee mogelijkheden:
Bespreking: 1. a ≠ 0
1. a ≠ 2
de vergelijking heeft juist één
de vergelijking heeft juist één
oplossing
oplossing
x=
4
a
V=
{}
4
a
2. a = 0
x=
0
a−2
V = {0}
2. a = 2
de vergelijking wordt 0x = 4
de vergelijking wordt 0x = 0
dit is een valse vergelijking
dit is een onbepaalde vergelijking
V = ∅
V = R
01_001-039_943030109_.indd 13
18/10/12 07:53
14
De algemene gedaante van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende is:
ax + b = 0 met a, b C R
Bespreking: 1. a ≠ 0 ax + b = 0
B
ax = −b
B
x=
−b
a
V=
{ }
−b
a
De vergelijking heeft precies één oplossing
2. 0x + b = 0
2.1
b≠0
de vergelijking heeft geen oplossingen
V=∅
2.2
b=0
de vergelijking heeft oneindig veel oplossingen
V=R
8 ) Samenvatting
• Je kunt in R eerstegraadsvergelijkingen met één onbekende oplossen door de algemene
methode toe te passen:
1. Werk de haken weg;
2. verzamel alle termen waarin de onbekende voorkomt in het ene lid en alle overige
termen in het andere lid;
3. schrijf beide leden zo eenvoudig mogelijk;
4. bereken de onbekende;
5. noteer de oplossingsverzameling.
Indien in de vergelijking breuken staan, kun je de vergelijking soms vereenvoudigen
door de noemers weg te werken. Dit kan door elk lid te vermenigvuldigen met het
kleinste gemeen veelvoud van de noemers.
• Je weet wat een valse (of strijdige) vergelijking is.
Je weet wat een onbepaalde (of identieke) vergelijking is.
Je kunt voor beide soorten vergelijkingen de oplossingsverzameling bepalen.
• Je kunt vraagstukken oplossen door ze om te zetten naar een eerstegraadsvergelijking en
door de volgende werkwijze toe te passen:
1. Lees het vraagstuk grondig;
2. stel datgene wat je zoekt voor door een letter, bijvoorbeeld x;
3. vertaal het vraagstuk naar een vergelijking;
4. los de vergelijking op en voer de proef uit;
5.vertaal je oplossingsverzameling opnieuw naar de context van het vraagstuk om
een antwoord te formuleren.
• Je kunt vergelijkingen van de eerste graad bespreken.
01_001-039_943030109_.indd 14
18/10/12 07:53
Deel 1
Vergelijkingen in R
15
9 ) Oefeningen
1 Los op in R.
a 5x + 9 = 2x + 36
b
– 2x + 4 = 5x - 17
c 4x + 27 = 15 + 5x
d 3 x - 5 = 2 x - 13 8
4
3
2
01_001-039_943030109_.indd 15
18/10/12 07:53
16
e 13x - 14 = 7x - 5
f
0,2x − 0,12 + 0,08 = 0,8 − 0,36x
g 2, 75x + 3 ^0, 5x - 0, 02 h = 1, 64
01_001-039_943030109_.indd 16
h 1 x + 2 - 5 x = 4
3
5 6
18/10/12 07:53