Getaltheorie I

Lesbrief 1
Getaltheorie I
De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele
getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is
het gebruikelijk onder de verzameling van de natuurlijke getallen te verstaan de
verzameling N = {1, 2, . . .}, 0 wordt dan dus niet tot N gerekend. Voor de gehele
getallen schrijven we: Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
1
Priemgetallen
Er zijn natuurlijke getallen die geschreven kunnen worden als product van twee of
meer kleinere natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 6 = 2 · 3 of 30 = 2 · 3 · 5, terwijl dit
bij andere getallen, zoals 3, 13 of 29 niet mogelijk is. In het algemeen, als c = a · b
het product is van twee natuurlijke getallen a en b, heten a en b delers of factoren
van c. Ook heet c dan een veelvoud van a (en van b). Elk natuurlijk getal heeft de
volgende vanzelfsprekende ontbinding in factoren:
c=c·1=1·c
(1)
Definitie 1.1 Een natuurlijk getal c > 1 dat slechts als in (1) in twee factoren
ontbonden kan worden, heet een priemgetal. Elk natuurlijk getal c > 1 dat geen
priemgetal is, heet een samengesteld getal.
Het getal 1 is dus per definitie noch priemgetal noch samengesteld.
1.1
De zeef van Eratosthenes
Om alle priemgetallen kleiner dan een gegeven getal N te bepalen, moet men uit de
rij 2, 3, . . . , N alle samengestelde getallen verwijderen. Dit kan men systematisch
doen door achtereenvolgens alle veelvouden van 2, van 3, enz. te schrappen. Hierbij
kan men natuurlijk alle veelvouden van n overslaan zodra n zelf al geschrapt is
(want dan zijn de veelvouden van n ook al geschrapt). Bovendien kan men bij het
schrappen van de veelvouden van p beginnen bij p2 , omdat de kleinere veelvouden
al eerder zijn geschrapt. De rij van getallen die niet geschrapt worden, is de rij
van alle priemgetallen kleiner dan N : 2, 3, 64, 5, 66, 7, 68, 69, . . .. Deze methode is voor
het eerst beschreven door de Griekse wiskundige Eratosthenes (±200 v. Chr.), en
staat bekend als de zeef van Eratosthenes. Elke priemgetallentabel is op deze wijze
gemaakt.
De Griekse wiskundige Euclides (±300 v. Chr.) schreef een boek, “Elementen”,
waarin hij op systematische wijze de gehele op dat moment bekende wiskunde behandelde. Dit boek bevat ook een gedeelte over getaltheorie. Hierin komt al de
volgende stelling voor:
1
Stelling 1.2 Er zijn oneindig veel priemgetallen.
Bewijs. Stel dat er slechts eindig veel priemgetallen waren: 2, 3, 5, . . . , pk . Vorm
dan het product van alle priemgetallen: P = 2 · 3 · 5 · · · pk . Het getal P + 1 is groter
dan elk van de priemgetallen, en moet dus een samengesteld getal zijn. P + 1 is
echter niet deelbaar door 2, want het eerste getal na P dat door 2 deelbaar is, is
P + 2. Om dezelfde reden is P + 1 niet deelbaar door 3, 5 of één van de andere
priemgetallen. Tegenspraak. 1.2
De hoofdstelling van de rekenkunde
Elk samengesteld getal kan geschreven worden als product van twee kleinere factoren. Als minstens één van beide samengesteld is, kan men die ook weer schrijven
als product van kleinere factoren. Zo kan men doorgaan tot er slechts priemgetallen
als factoren overblijven. Hieruit blijkt: elk getal groter dan 1 is een priemgetal of
het product van priemgetallen. Men kan een samengesteld getal in het algemeen
op verschillende manieren via een aantal tussenstappen in priemgetallen ontbinden.
Iedereen weet echter dat het uiteindelijke resultaat, de ontbinding in priemfactoren,
steeds hetzelfde is (afgezien van de volgorde). Deze bekende eigenschap van de natuurlijke getallen lijkt nauwelijks nadere beschouwing waard, totdat men ontdekt
dat in vergelijkbare ‘getalsystemen’ waarin men ook een ‘ontbinding in priemfactoren’ kan definiëren de eenduidigheid van de ontbinding niet geldt.
Voorbeeld: Beschouw de even getallen (2, 4, 6, . . .). Sommige ervan kan men schrijven als product van even factoren, bijvoorbeeld 20 = 2 · 10. Bij andere is dit niet
mogelijk. We noemen even getallen die niet het product zijn van even factoren
even-priemgetallen. Dit zijn precies de even getallen die geen viervoud zijn. (Ga
dit na.) Elk even getal is te schrijven als product van even-priemgetallen, maar
zo’n ontbinding hoeft niet eenduidig te zijn. Het getal 420 bijvoorbeeld heeft onder
andere de ontbindingen 420 = 6 · 70 = 10 · 42.
Opgave 1.1 Bepaal alle even-priemontbindingen van 360.
Opgave 1.2 Wanneer heeft een even getal een eenduidige ontbinding in evenpriemgetallen?
Het feit dat de ‘gewone’ ontbinding in priemfactoren wèl eenduidig is, is blijkbaar
toch iets bijzonders. Het staat zelfs bekend als de hoofdstelling van de rekenkunde:
Stelling 1.3 De ontbinding in priemfactoren van een natuurlijk getal is eenduidig
bepaald.
Bewijs. Stel dat de ontbinding niet voor alle natuurlijke getallen eenduidig is. Laat
c het kleinste natuurlijke getal zijn dat op (minstens) twee verschillende manieren
in priemfactoren kan worden ontbonden: c = p1 p2 · · · pk = q1 q2 · · · ql met p1 ≤
p2 ≤ · · · ≤ pk en q1 ≤ q2 ≤ · · · ≤ qk . Geen van de priemfactoren pi kan gelijk
zijn aan een priemfactor qj , want dan zou men c door deze factor kunnen delen en
zou er een kleiner natuurlijk getal zijn dan c met twee ontbindingen. Dit zou in
tegenspraak zijn met de keuze van c. Men kan nu veronderstellen p1 < q1 . Dan geldt
2
p1 q1 < q1 q1 ≤ q1 q2 ≤ q1 q2 · · · ql = c. Het getal c0 = c − p1 q1 = q1 (q2 q3 · · · ql − p1 )
heeft volgens de aannames een eenduidige priemontbinding. p1 is een priemfactor
van c en van p1 q1 , dus ook van c0 . p1 is echter geen factor van q2 q3 · · · ql , dus ook
niet van q2 q3 · · · ql − p1 . Tegenspraak. Opgave 1.3 Waarom is het bovenstaande bewijs niet overdraagbaar op het geval
van de even-priemgetallen?
Opgave 1.4 Gegeven is een positief geheel getal n, n > 2. Vn is de verzameling
getallen van de vorm kn + 1, waarin k een positief geheel getal is. Een getal m ∈ Vn
heet onontbindbaar in Vn als er geen getallen p, q ∈ Vn bestaan met m = pq.
Bewijs dat er een getal in Vn bestaat dat op meer dan één manier te schrijven is
als het product van in Vn onontbindbare elementen. (Schrijfwijzen die slechts in de
volgorde van de factoren verschillen worden als gelijk beschouwd.) (IWO 1977)
2
Ggd’s en kgv’s
Gegeven zijn twee natuurlijke getallen a en b. Het grootste natuurlijke getal dat
zowel een deler is van a als van b heet de grootste gemene deler van a en b. Notatie:
ggd(a, b) of kortweg (a, b). Het kleinste getal dat zowel een veelvoud van a als van
b is, heet het kleinste gemene veelvoud van a en b. Notatie: (a, b) of kortweg [a, b].
a is een deler van b korten we af tot a | b.
Bewijs met behulp van de hoofdstelling van de rekenkunde:
Opgave 2.1 Elke gemeenschappelijke deler van a en b is ook een deler van ggd(a, b).
Opgave 2.2 Elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b is ook een veelvoud van
(a, b).
Opgave 2.3 ggd(a, b) · (a, b) = a · b.
Opgave 2.4 Als d = ggd(a, b) dan geldt ggd( ad , db ) = 1.
Stelling 2.1 Bij elk tweetal natuurlijke getallen a en b bestaan er gehele getallen q
(voor quotiënt) en r (voor rest) zo, dat b = qa + r en 0 ≤ r < a.
Bewijs. Noem het kleinste veelvoud van a dat groter is dan b (q + 1)a, en noem
r = b − qa. q en r voldoen dan aan de gevraagde eigenschappen. Men kan de ggd van twee getallen bepalen door beide in priemfactoren te ontbinden.
Vooral bij grote getallen kan dit echter een omvangrijk werk zijn. Er is een veel
snellere methode. Deze berust op het volgende feit: als b = qa + r, q ∈ Z, dan geldt
ggd(a, b) = ggd(a, r). Elke deler van a en b is immers ook een deler van r = b − qa
en omgekeerd is elke deler van a en r een deler van b = qa + r. Om de ggd(a, b) te
3
bepalen kan men daarom het volgende algoritme gebruiken:
b
a
r1
r2
=
=
=
=
..
.
q1 a
q 2 r1
q 3 r2
q 4 r3
+
+
+
+
rk−2
rk−1
= qk rk−1
= qk+1 rk
r1
r2
r3
r4
+ rk
+ rk+1
(0 ≤ r1
(0 ≤ r2
(0 ≤ r3
(0 ≤ r4
..
.
< a)
< r1 )
< r2 )
< r3 )
(0 ≤ rk < rk−1 )
(rk+1 = 0)
We weten zeker dat er een k ∈ N is waarvoor rk+1 = 0, want anders zou de rij
a, b, r1 , r2 , . . . een oneindige, strikt dalende rij natuurlijke getallen zijn, en zo’n rij
bestaat niet. (Bewijs dit.) Hieruit blijkt vervolgens dat rk = ggd(rk , rk−1 ) =
ggd(rk−1 , rk−2 ) = · · · = ggd(r1 , a) = ggd(a, b).
Een voorbeeld: bepaal ggd(1970, 1066).
1970
1066
904
162
94
68
= 1 · 1066
=
1 · 904
=
5 · 162
=
1 · 94
=
1 · 68
=
2 · 26
+ 904
+ 162
+
94
+
68
+
26
+
16
26
16
10
6
4
= 1 · 16 + 10
= 1 · 10 + 6
= 1·6 + 4
= 1·4 + 2
= 2·2
De ggd van deze twee getallen is dus 2. Het bovenstaande algoritme voor het
berekenen van ggd’s staat al beschreven in Euclides’ “Elementen” en heet daarom
het algoritme van Euclides.
Opgave 2.5 Bepaal ggd(30444, 11868), ggd(16913, 16949) en ggd(9597, 4841).
Opgave 2.6 Bewijs: als ggd(a, b) = 1, dan ggd(a + b, a − b) ∈ {1, 2}.
Opgave 2.7 Bewijs: als ggd(a, b) = 1, dan ggd(a + b, a2 − ab + b2 ) ∈ {1, 3}.
Opgave 2.8 Bewijs de volgende varianten van stelling 2.1:
(1) als a en b gehele getallen zijn en a 6= 0, bestaan er gehele getallen q en r met
0 ≤ r < |a| en b = qa + r.
(2) als a en b gehele getallen zijn en a 6= 0, bestaan er gehele getallen q en r met
− 21 |a| < r ≤ 12 |a| en b = qa + r.
Opgave 2.9 Op variant (2) uit de vorige opgave kan men een algoritme baseren
analoog aan het algoritme van Euclides. Omdat de hierbij optredende resten in
het algemeen kleiner zijn dan bij Euclides’ algoritme, werkt dit algoritme meestal
sneller. Ga dit na voor de ggd’s uit opgave 2.
Opgave 2.10 a is een natuurlijk getal met de volgende eigenschappen:
(1) a100 geeft bij deling door 73 rest 2.
(2) a101 geeft bij deling door 73 rest 69.
Bepaal de rest bij deling van a door 73
Stelling 2.2 Bij elk tweetal natuurlijke getallen a en b zijn er gehele getallen m en
n zo, dat ggd(a, b) = ma + nb.
Bewijs. De verzameling S van alle getallen van de vorm xa + yb met x en y geheel
heeft een kleinste positieve element. Stel dat dit ma + nb is. Elke deler van a en
4
b is ook een deler van ma + nb. In het bijzonder is dus ggd(a, b) een deler van
ma + nb. Anderzijds is het voor zekere gehele q en r zo, dat a = q(ma + nb) + r
met 0 ≤ r < ma + nb. Dit betekent dat r = (1 − qm)a − qnb, dus r behoort tot
S. Maar ma + nb is het kleinste positieve element van S, dus r = 0. Bijgevolg is
ma + nb een deler van a. Evenzo bewijst men dat ma + nb een deler is van b, dus
ma + nb ≤ (a, b). Er was al bewezen dat ggd(a, b) een deler van ma + nb is, dus
moet gelden ma + nb = ggd(a, b). Een ander bewijs van deze stelling kan men uit het algoritme van Euclides afleiden:
kijk nog eens naar de algemene techniek en merk op dat ggd(a, b) = rk , dus dat
uit de voorlaatste vergelijking volgt ggd(a, b) = rk−2 − qk rk−1 en uit de vergelijking
daarvoor ggd(a, b) = rk−2 − qk (rk−3 − qk−1 rk−2 ). Zo voortgaande kan men ggd(a, b)
uitdrukken in ri ’s met steeds lagere rangnummers, en uiteindelijk in a en b. Dit
geeft dus ook een methode om zulke getallen m en n daadwerkelijk te bepalen.
Opgave 2.11 Bepaal getallen m en n als boven voor de getallenparen uit opgave
2.
Opgave 2.12 Bepaal gehele getallen x en y zo, dat 91x + 221y = 1053.
Opgave 2.13 Bewijs dat elk geheel getal n te schrijven is in de vorm n = 29x + 13y
waarbij x en y geheel zijn.
Opgave 2.14 Bepaal het kleinste natuurlijke getal N zo, dat elk natuurlijk getal
n > N geschreven kan worden als n = 29x + 13y met x en y natuurlijk.
3
Volledige Inductie
Om de geldigheid te bewijzen van een uitspraak van de vorm ’Voor ieder natuurlijk
getal n geldt P (n)’, waarbij P (n) staat voor een bewering (propositie) waarin n
voorkomt, maakt men vaak gebruik van de volgende methode:
1. Men bewijst P (1).
2. Men bewijst dat als P (1), P (2), . . . , P (k) gelden, dan ook P (k + 1) geldt.
Hieruit volgt de geldigheid van P (n) voor alle natuurlijke n. Immers, zou P (n) niet
voor alle natuurlijke getallen n gelden, dan zou er een kleinste natuurlijke waarde
n0 zijn waarvoor P (n0 ) niet geldt. n0 is niet gelijk aan 1 wegens (1) en omdat P (1)
tot en met P (n0 − 1) wel gelden, geldt P (n0 ) ook op grond van (2). Tegenspraak.
Voorbeeld: voor elk natuurlijk getal n geldt 12 + 22 + · · · + n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1).
Bewijs. de geldigheid van de formule voor n = 1 is duidelijk. Stel dat de formule
ook voor alle n ≤ k geldt. Dan volgt: 12 +22 +· · ·+k 2 +(k+1)2 = (12 +22 +· · ·+k 2 )+
(k+1)2 = 16 k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 = 16 (k+1)(2k 2 +7k+6) = 16 (k+1)(k+2)(2k+3)
en dit is precies de formule voor n = k + 1. 5
Opgave 3.1 Bewijs de volgende beweringen met volledige inductie voor alle natuurlijke n:
(1) 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 ;
(2) 1 + 2 + · · · + n = 12 n(n + 1);
(3) 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2 ;
(4) an − bn is deelbaar door a − b;
(5) 33n+1 + 7 · 5n−1 is deelbaar door 11.
Opmerking:
Pn in plaats van f (1) + f (2) + · · · + f (n) gebruikt men vaak de korte
notatie i=1 f (i). Zo kan men bijvoorbeeld de derde formule uit de vorige opgave
2
Pn
Pn
schrijven als i=1 i3 =
k=1 k .
4
Gemengde opgaven
Opgave 4.1 Bewijs dat men uit elke verzameling van 52 gehele getallen er twee
kan kiezen waarvan de som of het verschil een veelvoud is van 100.
Opgave 4.2 Er zijn paren priemgetallen die verschil twee hebben, zoals (5, 7) en
(29, 31). Bestaan er ook priemgetallen p1 , p2 , p3 zo, dat p3 − p2 = p2 − p1 = 2?
Opgave 4.3 p1 en p2 zijn priemgetallen groter dan 3 met verschil 2. Bewijs dat
p1 + p2 deelbaar is door 12.
Opgave 4.4 Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n, 9n + 63 deelbaar is door 72.
Opgave 4.5 Bewijs dat
n
3
2
3
+ n2 + n6 voor alle natuurlijke n een natuurlijk getal is.
Opgave 4.6 Bepaal vier verschillende paren natuurlijke getallen zo, dat het verschil
van hun kwadraten gelijk is aan 105.
Opgave 4.7 Bewijs dat 2256 − 1 geen priemgetal is en geef minstens drie priemfactoren ervan.
Opgave 4.8 Bewijs dat er precies één derdemacht van de vorm 2p + 1 is, waarin p
priem is.
Opgave 4.9 Bewijs dat ggd(n3 + 2n, n4 + 3n2 + 1) = 1 voor elke n ∈ N.
Opgave 4.10 Bewijs dat 3n2 − 1 voor geen enkel natuurlijk getal n een kwadraat
is.
Opgave 4.11 Bepaal gehele x en y zo, dat 101x + 753y = 100.000.
Opgave 4.12 n wordt in het tientallig stelsel geschreven met 300 enen en een aantal
nullen. Is n een kwadraat?
6