Materiaalmodellen (4A330) Faculteit : Werktuigbouwkunde Datum

Materiaalmodellen (4A330)
Faculteit
Datum
Tijd
:
:
:
Werktuigbouwkunde
2 juli 1999
9.00 - 12.00 uur
Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven, die nagenoeg even zwaar beoordeeld zullen worden.
Het gebruik van boeken, notebook, dictaat en aantekeningen is niet
toegestaan.
Succes !!!!!!
Opgave
1
Van een dunwandige rubber buis wordt de diameter vergroot, zoals in onderstaande figuur is
weergegeven. Relevante afmetingen zijn in de figuur aangegeven.
d
d0
r
r
P
a
P
a
t
t
D0
D
L0
L
Bij de deformatie wordt de contractie in axiale richting niet verhinderd. In een punt P van
de buiswand vallen de hoofdrekrichtingen samen met de axiale, de tangentiale en de radiale
richting {a, t, r}, die in de figuur zijn aangegeven. De bijbehorende hoofdverlengingsfactoren
zijn λa , λt en λr .
Het rubber wordt verondersteld incompressibel te zijn. Het één-dimensionale materiaalgedrag
(trekproef) wordt beschreven met de volgende relatie tussen de spanning σ en de logaritmische
rek εln :
σ = C{εln }n
met
C, n
materiaalconstanten
a.
Teken een spanningsblokje in punt P waarvan de ribben samenvallen met de richtingen
{a, t, r} en geef hiermee de spanningstoestand aan.
b.
Druk d en L uit in D, D0 , L0 en d0
c.
Tot welke diameter Dmax kan de buis worden opgerekt opdat er net geen insnoering
van het materiaal optreedt?
Opgave
2
Van een trekstaaf wordt de axiale spanning σ(t) als functie van de tijd t voorgeschreven, zoals
in onderstaande figuur is weergegeven.
σ
2σm
2
σm
σv0
t
−σv0
−σm
1
Het initiële materiaalgedrag van de staaf is lineair elastisch (elasticiteitsmodulus E) zolang
voor de axiale spanning geldt |σ| ≤ σv0 , waarbij σv0 de initiële vloeispanning is. Er geldt :
σm > σv0 .
Tijdens plastische deformatie vertoont het materiaal lineaire, kinematische versteviging met
constante verstevigingsparameter K.
a.
Bereken de rek van de staaf wanneer de spanning −σm is. (punt 1 in de grafiek).
b.
Bereken de plastische rek εp1 en de shiftspanning q1 in punt 1.
c.
Bereken de rek ε2 in punt 2, waar de trekspanning de waarde 2σm heeft.
d.
Bereken de plastische rek εp2 en de shiftspanning q2 in punt 2.
Opgave
3
De staafconstructie die in onderstaande figuur is getekend, bestaat uit twee staven a en
b. Staaf a heeft lengte L en dwarsdoorsnede-oppervlak 2A; staaf b heeft lengte 2L en
dwarsdoorsnede-oppervlak A.
De constructie is bij x = 0 verbonden met de vaste wereld. Het rechter uiteinde (x = 3L)
wordt belast met een voorgeschreven axiale kracht F . Het gevolg hiervan is een verlenging δ.
In de aangegeven positieve x-richting zijn zowel F als δ positief.
E
σv0
H
E
σv0
2H
F
a
b
2A
L
δ
2L
A
x
Zolang de axiale spanning in het materiaal lager is dan de initiële vloeispanning, is de vervorming elastisch. De elasticiteitsmodulus van beide staven is E, de initiële vloeispanning
σv0 .
Na het optreden van vloeien vertoont het materiaal van beide staven zuiver isotrope versteviging. De verstevigingsparameter van staaf a is H, die van staaf b is 2H.
a.
Bereken de verlenging δ1 op het moment (t = t1 ) dat voor het eerst vloeien optreedt.
Hoe groot is de kracht F1 op dat moment ?
b.
Bereken de verlenging δ2 op het moment (t = t2 ) dat beide staven vloeien.
Hoe groot is de kracht F2 op dat moment ?
c.
Bereken de verlenging δ3 bij de kracht F = F3 = 52 σv0 A.
Opgave
4
Voor een lineair visco-elastisch materiaal is de relaxatiefunctie E(t) gegeven :
E(t) = Ee−αt
waarbij E en α positieve materiaalconstanten zijn.
Uitgaande van een rek- en spanningsloze referentietoestand voor t < 0 wordt vanaf tijdstip t = 1 het materiaal onderworpen aan een rekverloop, bestaande uit drie opeenvolgende
rekstappen, zoals dat in onderstaande figuur is geschetst.
ε
ε0
0
1
2
3
4
5
6
t
−ε0
a.
Hoe luidt de algemene uitdrukking voor de Boltzmann-integraal, waarmee de spanningsresponsie kan worden berekend ?
b.
Bereken de spanning op het tijdstip t = 2.
c.
Bereken de spanning op het tijdstip t = 4.
d.
Bereken de spanning op het tijdstip t = 6.
Opgave
5
In onderstaande figuur zijn een viertal veer-demper modellen getekend, bestaande uit lineaire
veren en dempers. De veer- en dempingsconstanten zijn in de figuur aangegeven.
Elk van de modellen representeert lineair visco-elastisch materiaalgedrag.
Stel dat we een trekstaaf van zo’n materiaal belasten met een stapvormig spanningsverloop,
dat weergegeven is in onderstaande figuur.
σ
σ0
t
0
Schets voor elk van de vier modellen het verloop van de rek als functie van de tijd.
Geef relevante waarden van ε - initiële waarden, asymptoten, etc. - duidelijk in de figuren aan.
a
b
k
k
k
σ
ε
b
c
d
k
b
k
b
k
b
k
b
b
σ
ε
σ
ε
b
k
σ
ε