TU_4Q530_12072002

EXAMEN
VAKCODE:
DATUM:
Mechanische Eigenschappen Biologische weefsels
4Q530
12 Juli 2002
14.00 – 17.00 u
Bij dit examen mag gebruik worden gemaakt van het dictaat: “Mechanical Properties of
Living Tissues”. Dictaatnummer 4783. Waar nodig kunt u bij de opgaven gebruik maken van
MATLAB. Het examen bestaat uit 4 opgaven.
Opgave 1: waardering 25 punten
In een onderzoek naar de ontwikkeling van “tissue engineered” hartkleppen is het van belang
te achterhalen hoe fibroblasten collageenvezels in de klepvlies leggen en welke rol de
mechanische belasting daarbij speelt. Vezels kunnen namelijk onder invloed van een
mechanische belasting veranderen qua volumefractie en van gemiddelde richting. In de
literatuur wordt vaak gezegd dat vezels gaan liggen in de richting van de hoofdspanningen.
Aan de TU/e wordt ook gewerkt aan tissue-engineered hartkleppen, maar wij hanteren de
hypothese, dat vezels gaan liggen in de richting van de hoofdrekken. Voor anisotrope
materialen kunnen hoofdrekrichtingen en hoofdspanningsrichtingen namelijk verschillend
zijn. Dat gaan we in deze opgave aantonen.
l  q

Van een materiaal met vezels t.o.v. de basis e1 , e2 , waarvoor geldt dat e1 langs de
vezelrichting ligt, is de volgende compliantiematrix gemeten:
0.01
L
M
C  0.005
M
M
N0
0.005
1
0
O
0 P [MPa
P
0.02 P
Q
0
-1
]
We gaan een vierkant stukje van dit materiaal in een biaxiale trekbank in 2 richtingen
oprekken, zodanig dat de lengte 2 % toeneemt (x-richting) en de breedte 1% (y-richting). Er
mag worden uitgegaan van een geometrisch lineaire theorie. Het proefstukje is zo gesneden,
dat de vezelrichting een hoek van 45o maakt met de trekrichting (zie figuur). Het hele
probleem is 2 dimensionaal (vlakspanning).
Title:
figuur1.eps
Creator:
fig2dev Version 3.2 Patchlevel 3c
Prev iew :
This EPS picture w as not s av ed
w ith a preview inc luded in it.
Comment:
This EPS picture w ill print to a
Pos tSc ript printer, but not to
other ty pes of printers.
1
 
m
r
a) Geef de rekmatrix  voor dit probleem t.o.v. basis ex , ey .
b) Bereken de spanningen in het materiaal. Geef daarbij duidelijk aan t.o.v. welke basis u die
spanningen definieert.
c) Bereken de hoofdspanningen en hoofdspanningsrichtingen. 
d) Bereken de hoek die de grootste hoofdspanning maakt t.o.v. e x en vergelijk die met de
hoek van de grootste hoofdrek.
Opgave 2: waardering 25 punten
Bij de studie naar de groei van cellen speelt de mechanische belasting een belangrijke rol. Om
die reden wordt er veel onderzoek gedaan waarbij cellen worden gezaaid op een membraan.
Vervolgens wordt dat membraan opgerekt en dit beïnvloedt het gedrag van de cellen. Een
manier om alle cellen op dezelfde wijze mechanisch te belasten is door een cirkelvormig
membraan te nemen, waarop de cellen zich hechten. Vervolgens wordt het zodanig opgerekt,
dat het ook een cirkel blijft (zie figuur).
Title:
figuur2.eps
Creator:
fig2dev Version 3.2 Patchlevel 3c
Preview :
This EPS picture w as not saved
w ith a preview included in it.
Comment:
This EPS picture w ill print to a
PostScript printer, but not to
other ty pes of printers .
Het membraangedrag wordt beschreven met een Neo-Hookean materiaalwet volgens:
a f
   pI  G B  I
met
B  F FT
Het materiaal gedraagt zich incompressibel. De oorspronkelijke straal van het membraan is
R0, na vervorming is de straal R.
a) Geef een uitdrukking voor de deformatiematrix F en hou daarbij rekening met het
incompressibele gedrag!
b) We mogen ervan uitgaan dat de spanning in de richting loodrecht op het zeer dunne
membraan gelijk is aan 0. Wat betekent dit voor de druk p?
c) Elimineer p en geef een uitdrukking voor de spanning in 1- en 2-richting.
d) We kiezen nu als materiaalwet een relatie tussen de tweede Piola Kirchhoff spanning S en
de Green Lagrange rek E 
1 T
( F F  I ) , die luidt als volgt:
2
S   tr( E)  2 E
met  en  materiaalcoonstanten. Bereken de componenten van S voor een membraan dat
circelvormig wordt opgerekt als hierboven. Hou er rekening mee dat het membraan deze
keer niet incompressibel is.
2
Opgave 3: waardering 25 punten
Een visco-elastisch materiaal wordt beschreven met behulp van een Maxwell model,
waarvoor geldt:
     k 
Het materiaal wordt vanaf tijdstip t = 0 onderworpen aan een lineair oplopende rek, volgens:
af
 t Ct
a) Welke relaxatiefunctie G(t) hoort bij dit model?
b) Geef een uitdrukking voor (t) door de differentiaalvergelijking op te lossen. Hint:
probeer als particuliere oplossing  t  at  b , met a en b nog nader te bepalen
constanten.
c) Na t = t1 neemt de rek weer met de zelfde reksnelheid af tot nul (zie figuur) . Wat
af
is de spanning op t = 2 t1?
rek
2 t1
t1
tijd
3
Opgave 4: waardering 25 punten
Op een lineair visco-elastisch materiaal wordt een kruipproef uitgevoerd. De daarbij
aangebrachte belasting is 8 [Mpa]. Het resultaat van de proef wordt gegeven in de figuur.
We veronderstellen dat we het materiaalgedrag kunnen beschrijven met een Kelvin model,
d.w.z. een veer en een demper parallel aan elkaar.
a) Geef de differentiaalvergelijking die het gedrag van het Kelvin model beschrijft.
b) Bereken de responsie van dit model op een stap in de spanning. Bepaal hiermee uitgaande
van de figuur en bovenstaande gegevens de materiaalconstanten k en .
c) Stel we ontlasten het materiaal na 10 seconden. Wat is dan de rek na 20 seconden.
4