Thermische Fysica 2 - TF2 Statistische Fysica en Sterevolutie

Thermische Fysica 2 - TF2
Statistische Fysica en Sterevolutie
Joost van Bruggen
0123226
Universiteit Utrecht - Faculteit Natuur- en Sterrenkunde (2004)
1
2
Samenvatting
In deze paper wordt met behulp van de theorie van de statistische fysica een
beschrijving gegeven van de evolutie van gewone sterren, zoals de zon, tot witte
dwergen en neutronensterren. Besproken zullen worden de totale energie en de
stabiliteit van witte dwergen en neutronensterren en relativistische effecten.
1 Sterren
1
3
Sterren
In het heelal bevinden zich enorm veel sterren met uiteenlopende temperaturen,
formaten en helderheden. Er zijn verschillende systemen bedacht om deze sterren
te classificeren. Eén daarvan is het zogenaamde Hertzsprung-Russell -diagram. Dit
is een grafiek waarin de luminositeit (uitgestraalde energie per tijdseenheid) van
een ster tegen zijn temperatuur wordt uitgezet. Zie figuur 1 voor een voorbeeld.
Reuzen
Luminositeit
Gewone Sterren
Witte Dwergen
Temperatuur
Fig. 1: Hertzsprung-Russell-diagram
De meeste sterren zijn gewone sterren, zoals de zon, en ze bevinden zich op de
diagonaal van het diagram in figuur 1. Veder zijn er de zogenaamde witte dwergen
en reuzen, waaronder rode reuzen en superreuzen, in te vinden. In deze paper
zullen gewone sterren en witte dwergen besproken worden. Verder zal er aandacht
besteed worden aan neutronensterren, die we niet in een Hertzsprung-Russelldiagram terug zullen vinden vanwege het feit dat ze te weinig energie uitstralen
(omdat ze zo klein zijn).
1.1
gewone sterren: de zon
Het bekendste voorbeeld van een gewone ster, dat wil zeggen een ster die zich op
de diagonaal van het Hertzsprung-Russell-diagram bevindt, is de zon. Voor haar
massa en straal geldt:
M¯ = 2.0 · 1030 kg
R¯ = 7.0 · 108 m.
Gewone sterren stralen en verliezen daardoor energie. Deze energie wordt echter
aangevuld door het fusie proces dat zich in de ster afspeelt. Hierbij wordt vooral
waterstof tot helium gefuseerd.
De door het fuseren op peil gehouden gasdruk is tegengesteld aan en in evenwicht
met de druk ten gevolge van het gewicht van de ster. De ster bevindt zich dus in
een evenwicht zolang er waterstof is om te fuseren. Daarna neemt de zwaartekracht
2 Fysische Achtergrond
4
de overhand en zal de ster ineenstorten tot een compacte ster, zoals een witte dwerg
of een neutronenster.
1.2
witte dwergen
Witte dwergen zijn sterren met een lage luminositeit en zijn dus niet erg helder.
Dit komt omdat het zulke kleine sterren zijn; ze hebben afmetingen vergelijkbaar
met die van de aarde. Hun massa daarentegen is vergelijkbaar met die van de zon
en ze zijn dan ook erg compact. De dichtheid van een witte dwerg is 106 keer zo
groot als die van bijvoorbeeld de zon.
Er blijkt een bovengrens voor de massa van een witte dwerg te bestaan: de
Chandrasekhar limiet, genoemd naar de Indiase fysicus Subrahmanyan Chandrasekhar. Sterren met een massa groter dan deze limiet storten inéén tot een neutronenster of een zwart gat. De waarde van de Chandrasekhar limiet is 1.44 M¯ =
2.86 · 1030 kg.
1.3
neutronensterren
Neutronensterren zijn nog veel compacter dan witte dwergen. De typische neutronenster heeft een massa in de orde van die van de zon (ruwweg tussen de 1.5 en 3
zonsmassa’s) terwijl zijn diameter in de orde van 10 km ligt. De typische dichtheid
van een neutronenster is daarmee zo’n 1014 keer zo groot als die van de zon.
Men denkt dat sterren met een grotere massa dan drie zonsmassa’s inéénstorten
tot een zwart gat.
2
Fysische Achtergrond
In dit hoofdstuk zullen wat begrippen geı̈ntroduceerd worden die later van belang
zijn.
2.1
gedegenereerde materie
Gedegenereerde materie is een vorm van materie met zo’n hoge dichtheid dat de
grootste bijdrage aan de druk komt door het uitsluitingsprincipe van Pauli. Er
geldt dan dat de interne energie veel kleiner is dan de Fermi energie,
kB T ¿ ² F .
2.2
degeneratie druk
De druk die er voor zorgt dat witte dwergen en neutronensterren niet instorten
wordt degeneratie druk genoemd. Deze druk is een gevolg van het uitsluitingsprincipe van Pauli.
Het uitsluitingsprincipe van Pauli is van toepassing op alle deeltjes met een halftallige spin, de zogenaamde fermionen. Het luidt als volgt: twee identieke fermionen
mogen niet dezelfde kwantumtoestand bezetten. Het Pauli principe geldt dus voor
onder andere elektronen, neutronen en protonen.
2 Fysische Achtergrond
5
Een kwantumtoestand kan gelabeld worden door bijvoorbeeld de impuls of de
plaats. Dit betekent dat bij het instorten van een ster elk deeltje (mits het een
fermion is) een steeds kleinere ruimte tot zijn beschikking krijgt, omdat elk deeltje
zijn eigen kwantumtoestand moet hebben. Met de onzekerheidsrelatie van Heisenberg resulteert dit in steeds groter wordende impulsen en dus kinetische energieën
van de deeltjes en daarmee een toenemende druk in het gas (de ster). Deze druk,
de degeneratie druk, zorgt er voor dat witte dwergen en neutronensterren kunnen
bestaan.
2.3
Fermi gassen
Het zal straks blijken dat we de sterren als gedegenereerde Fermi gassen mogen
beschouwen. Voor het gemak nemen we aan dat het gas zich in een doos met
zijden ter lengte L en volume V = L3 bevindt, in plaats van in een bol (de ster)
met hetzelfde volume.
We weten dat voor de energieniveau’s van een deeltje in zo’n doos geldt:
n2 π 2 ~2
.
2mL2
Voor de Fermi energie hebben we de volgende uitdrukking:
²n =
(1)
n2F π 2 ~2
,
2mL2
met nF de straal van de bol in de faseruimte waarbinnen alleen gevulde en waarbuiten alleen lege energietoestanden liggen.
In de doos bevinden zich N deeltjes, waarvan elk een eigen toestand tot zijn
beschikking moet hebben. Samen nemen ze in de toestandsruimte een volume in
van 18 bol, met straal nF :
²F =
1 4π 3
·
n .
8 3 F
De factor (2S+1) is het gevolg van het feit dat fermionen met spin S per ruimtelijke
toestand (2S + 1) spintoestanden mogen bezetten.
Voor de deeltjes die wij gaan beschouwen, geldt S = 12 :
N = (2S + 1) ·
µ
nF =
3N
π
¶1
3
.
(2)
Hiermee vinden we voor de Fermi energie van een Fermi gas met N spin- 12 deeltjes:
²F
=
=
met n de dichtheid van de deeltjes.
µ
¶2
~2 3π 2 N 3
2m
V
2
¡
¢2
~
3π 2 n 3 ,
2m
(3)
3 Witte Dwergen
3
6
Witte Dwergen
Eerst zullen we laten zien dat een witte dwerg goed te beschrijven is door een
gedegenereerd elektronen gas. Daarna zullen we een uitdrukking voor de kinetische
energie van een witte dwerg afleiden en relativistische effecten behandelen. Als
laatste wordt de stabiliteit besproken.
3.1
gedegenereerd elektronen gas als model
Door de hoge dichtheid die in een witte dwerg heerst, worden de aanwezige atomen zo dicht op elkaar gedrukt dat de bijbehorende elektronen niet meer bij een
bepaalde kern horen en als een gas van vrije elektronen te beschouwen zijn.
Beschouwen we nu de witte dwerg als een doos met een vrije elektronen gas erin,
dan geldt voor zijn Fermi energie volgens verglijking 3:
~2 ¡ 2 ¢2/3
.
3π n
2m
Nemen we aan dat in de witte dwerg alleen helium voorkomt, dat 2 elektronen per
atoom en atoommassa 4.0 heeft, en dat de dichtheid van de witte dwerg 1.4 · 109
is, dan geldt n = 4.2 · 1035 m−3 . De elektronmassa luidt 9.1 · 10−31 kg. Hiermee
vinden we:
²F =
∧
²F = 2.1 · 105 eV = 2.4 · 109 K.
Omdat de temperatuur in het binnenste van een witte dwerg in de orde van 107 K
ligt, wat veel kleiner is dan de Fermi temperatuur van het elektronen gas, kunnen
we concluderen dat het gas gedegenereerd is.
De reden dat we het gas uit slechts elektronen opgebouwd denken, en daarbij dus
de protonen en neutronen buiten beschouwing laten, komt door het feit dat protonen en neutronen veel zwaarder zijn. De Fermi energie is omgekeerd evenredig
met de massa en protonen en neutronen zijn ongeveer een factor 1800 zwaarder
dan elektronen. De temperatuur van de protonen en neutronen is dus hoger dan
de Fermi temperatuur en het ‘ionengas’ is niet gedegenereerd en levert een verwaarloosbare bijdrage aan de degeneratie druk.
3.2
de energie van een witte dwerg
De energie van het elektronengas zorgt voor veruit de grootste bijdrage aan de
energie van een witte dwerg. We zullen dus de energie van het elektronengas
bepalen, zodat we een goede schatting verkrijgen van de energie van een witte
dwerg.
Voor de energie van een elektronengas geldt:
U0 = 2
X
²n ,
n≤nF
waarbij de 2 komt van het voorkomen van twee spintoestanden per ruimtelijke
toestand, die beide dezelfde energie hebben. Er wordt maar tot nF gesommeerd
3 Witte Dwergen
7
zodat we eigenlijk de energie verkrijgen in de limiet van T naar 0. Bij hogere
temperaturen is de bijdrage van hogere energieniveau’s van kleine orde, zodat de
som een goede schatting is.
Om deze som uit te rekenen, schrijven we hem om naar een integraal met gebruikmaking van vergelijking 1 voor de energieën van de energieniveau’s :
1
U0 = 2 · · 4π
8
Z
0
nF
π3
n ²n dn =
2m
2
µ ¶2 Z nF
~
n4 dn.
L
0
We schrijven U0 om er aan te herinneren dat we eigenlijk de energie uitrekenen
bij T = 0. Rekenen we de integraal uit en gebruiken we vergelijking 2, dan vinden
we:
3
U0 = N ²F .
5
3.3
(4)
relativistische effecten
Relativistische effecten spelen een rol als de kinetische energie van de elektronen
van dezelfde orde van grootte is als de rustenergie. Voor de rustmassa van een
elektron geldt ²0 = mc2 = 5.1 · 105 eV, en dit is van dezelfde orde als de Fermi
energie van het elektrongas. We mogen dan ook concluderen dat relativistische
effecten een belangrijke rol spelen en dat ze niet de overhand hebben. Hieronder
volgt een korte behandeling met gebruikmaking
van de uitdrukking van de energie
p
in het relativistische domein: ² = (mc2 )2 + (pc)2 .
De energieniveau’s voor een deeltje in een doos met volume V = L3 , zijn nu:
s
µ
¶
nπ~ 2
2
2
²n = (mc ) +
c .
(5)
L
Gebruiken we deze ²n om de totale energie U uit te rekenen, dan zien we al snel
dat de integraal moeilijk te berekenen is. Maken we echter de vereenvoudiging
waarin we de rustenergie verwaarlozen, zodat we voor de energieniveau’s ²n = nπL~ c
overhouden, dan vinden we voor de totale energie:
3
U = N ²F,rel ,
4
(6)
met ²F,rel = nF πL~ c de Fermi energie voor het gas in de relativistische beschouwing.
Wanneer we een witte dwerg hebben met een lage dichtheid, dan kan het best
gebruik gemaakt worden van uitdrukking 4 voor de energie, afgeleid met de nietrelativistische methode. Als de dichtheid erg hoog is, zodat de elektronen erg
grote snelheden hebben en hun rustmassa’s te verwaarlozen zijn, dan kan gebruik
gemaakt worden van uitdrukking 6 voor de energie, die afgeleid is met gebruikmaking van de relativistisch correcte formule voor de energie. Het beste resultaat
verkrijgt men echter door formule 5 in te vullen in de integraal waarmee de energie
berekend wordt. In concrete gevallen kan die integraal numeriek worden opgelost.
3 Witte Dwergen
3.4
8
stabiliteit van een witte dwerg
Een witte dwerg is stabiel als zijn totale energie minimaal is. Dat wil zeggen als
de afgeleide van de som van de energie van het elektronengas en de gravitationele
energie gelijk is aan 0.
Om een uitdrukking te krijgen voor de gravitationele energie bekijken we de bijdrage van een bolschil op afstand r van het middelpunt. Deze schil heeft dus een
massa m(r) = ρ(r) · 4πr2 dr. Nu geldt voor de bijdrage van elke schil:
M (r)m(r)
,
r
met M (r) de massa van dat deel van de bol (de ster) waarvoor geldt r0 < r.
Maken we nu de aanname dat de dichtheid ρ(r) constant is, dan vinden we:
dU = −G
dU
( 43 πr3 ρ)(4πr2 drρ)
r
16Gπρ2 4
= −
r dr.
3
= −G
Integreren we over r, dan vinden we met gebruikmaking van ρ =
M
4
πR3
3
:
3 GM 2
.
5 R
Voor de totale energie geldt nu met gebruikmaking van vergelijkingen 4 en 3:
dU = −
Utot
3 ~2
= N
5 2m
µ
3π 2 N
V
¶2/3
−
3 GM 2
.
5 R
(7)
Nemen we nu de afgeleide naar R en stellen we die 0, dan vinden we voor R:
3~2
R=
2GM 2 m
µ
3 2 5
π N
2
¶1/3
.
Dit leidt voor een witte dwerg met een zonsmassa en bestaande uit alleen helium
¯
(N = 2 · 2mpM+2m
) tot een straal van 7.2 · 103 km. Ook kunnen we aan de uitdrukn
king zien dat bij toenemende massa de straal afneemt: zwaardere witte dwergen
zijn dus kleiner in tegenstelling tot gewone sterren.
Als de totale energie kleiner is dan 0 zal de witte dwerg instabiel worden en instorten, omdat dan de naar binnen gerichte gravitatie druk groter is dan de naar buiten
gerichte degeneratie druk. We zullen nu in de uitdrukking voor de totale energie
de relativistische uitdrukking voor de energie van het gas gebruiken, vergelijking 6,
omdat bij het instorten grote dichtheden bereikt zullen worden.
Het criterium voor instabiliteit luidt Utot,rel ≤ 0, wat leidt tot:
s
µ ¶
5 ~c 9π 1/3 4/3
M≥
N .
4G
4
Vullen we ook hier weer in N = 2 ·
massa:
M¯
2mp +2mn ,
dan vinden we voor de maximum
4 Neutronensterren
9
Mmax = 1.2M¯ .
Deze massa staat bekend als de Chandrasekhar limiet. Worden nauwkeuriger
berekeningen gevolgd, waarin onder andere de dichtheid niet constant genomen
wordt en waarin niet van alleen helium wordt uitgegaan, dan vindt men een massa
van 1.44M¯ .
4
Neutronensterren
Onder de aanname dat een neutronenster goed te beschrijven is door een gedegenereerd neutronengas, dat door invers-bètaverval uit de verzameling van losse
elektronen, protonen en neutronen ontstaat, worden de energie afgeleid en de stabiliteit besproken. Een rechtvaardiging voor deze aanname is te vinden in het
volgende.
Tijdens het instorten krijgen de elektronen een zodanig hoge energie dat het omgekeerde van bètaverval kan plaatsvinden. Een elektron vormt samen met een proton
een neutron en een neutrino. De neutronen zullen dus in aantal stijgen en zeker
relatief ten opzichte van de protonen en elektronen.
4.1
de energie van een neutronenster
We nemen aan dat een neutronenster goed te beschrijven is door een relativistisch
gedegenereerd neutronengas. Het berekenen van de energie van een neutronenster
komt dan ook neer op het berekenen van de energie van zo’n gas. Het resultaat
hiervan is natuurlijk hetzelfde als voor elektronen (in het relativistische geval vanwege de hoge dichtheid), vergelijking 6; alleen in de Fermi energie staat m voor
de massa van een proton in plaats van die van een elektron. Er geldt dus voor de
energie:
3
U = N ²F,rel .
4
Nu zullen we de massadichtheid en neutronendichtheid bepalen (onder de aannamen M = 2.0M¯ en R = 10 km) om daarmee en met de vergelijking voor ²F,rel ,
die onder vergelijking 6 te vinden is, de Fermi energie te bepalen:
ρ = 9.5 · 1020 gm−3
n = 5.7 · 1044 m−3
²F
= 5.1 · 108 eV
∧
= 5.9 · 1012 K.
4.2
stabiliteit van een neutronenster
Gebruiken we relativistisch correcte formules voor Utot om daaruit de straal R
te vinden waarvoor de energie een minimum aanneemt, dan zien we dat de Rafhankelijkheid eruit valt. We kunnen met gebruik van deze formules dus geen
4 Neutronensterren
10
waarde voor R vinden waarvoor de energie een minimale waarde aanneemt. Gebruiken we echter de minder geschikte vergelijking 7, dan vinden we voor R:
R = 9.8 · 103 m,
wat goed overeenkomt met de eerder gebruikte 10 km.
Berekenen we verder nog de massa waarvoor de totale energie gelijk wordt aan 0,
waarbij we wel gebruik maken van de relativistische formules, dan vinden we:
Mmax = 1.5M¯ .
Nauwkeuriger berekeningen, waarbij onder andere weer de dichtheid in de ster niet
constant wordt genomen en waarbij niet de aanname wordt gemaakt dat er slechts
neutronen in de ster voorkomen, laten zien dat de zogenaamde OppenheimerVolkoff-limiet ergens tussen de 2 en 3 zonsmassa’s ligt.
4 Neutronensterren
11
Zie http://www.phys.uu.nl/~vbrug/vakken/tf2/paper voor het Mathematica notebook dat gebruikt is bij het berekenen van de verschillende numerieke resultaten.
Referenties
[1] R. Sexl en H. Sexl (1979), White Dwarfs-Black Holes, (New York: Academic Press).
[2] C. Kittel en H. Kroemer (2002), Thermal Physics, (New York: W.H. Freeman and
Company).
[3] http://www.wikipedia.org, the Online Encyclopedia.
[4] E. Weisstein, http://scienceworld.wolfram.com/physics, Eric Weisstein’s World of
Physics.