Wiskunde voor het hoger / 2 / [Lineaire algebra, Fourier reeksen
advertisement
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 1.2.2 Definitie 1.2.3 De 1.2.4 Speciale Vierkante matrices Gelijkheid van matrices Rekenkundige bewerkingen 1.2.5 1.2.6 1.3 1.4 1.5 4 (regie) matrix getransponeerde van een 6 matrix 9 10 13 matrices met 14 Determinanten 21 1.3.1 Een inleidend voorbeeld 21 1.3.2 Determinanten met twee rijen 23 1.3.3 Determinanten met 1.3.4 Determinanten van een Aanvullende drie rijen hogere 30 orde 37 begrippen 49 1.4.1 Reguliere matrix 49 49 1.4.2 Inverse matrix 1.4.3 Orthogonale matrix 53 1.4.4 De rang 57 Stelsels 1.5.1 1.5.2 1.4.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 1.6 van een van van een lineaire matrix vergelijkingen 62 Algemeen Het algoritme van Gauss Het oplossen van een lineair (w, «)-stelsel Het oplossen van een vierkant stelsel van lineaire vergelijkingen Berekening van een inverse matrix met het Gauss-algoritme (methode van Gauss-Jordan) 62 onafhankelijkheid van vectoren Toepassingsvoorbeeld: berekening van een elektrisch netwerk 85 Lineaire Complexe 74 84 93 94 matrices Een inleidend voorbeeld 94 1.6.2 Definitie complexe matrix Rekenkundige bewerkingen en rekenregels voor complexe matrices Complex geconjugeerde martix, geconjugeerd getransponeerde 96 1.6.4 van een 1.6.5 Speciale complexe matrices en eigenvectoren van Eigenwaarden 101 een 1.7.1 Een inleidend voorbeeld 1.7.2 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren 1.7.3 1.7.4 1.7.5 vierkante matrix 107 107 van een van een matrix rijen matrix met n rijen met twee speciale matrices Toepassingsvoorbeeld: gekoppelde mechanische trillingen Opgaven 96 98 matrix 1.8 68 1.6.1 1.6.3 1.7 65 van 112 118 124 129 131 viii 2 Inhoud 147 Fourierreeksen 2.1 Fourierreeks van een periodieke functie 147 2.1.1 2.2 2.3 3 Inleiding 2.1.2 Ontwikkeling van een periodieke functie in een Fourierreeks 2.1.3 Complexe vorm van de Fourierreeks 2.1.4 Overgang van de complexe naar de reele vorm Toepassingen 2.2.1 Fourierontbinding van een trilling (harmonische analyse) 2.2.2 Overzicht van belangrijke Fourierreeksen 2.2.3 Toepassingsvoorbeeld: Fourierontbinding van een zaagtandspanning Opgaven Differentiaal3.1 Functies 3.1.1 3.2 en integraalrekening van Definitie van een 3.1.2 Voorstelling 3.1.3 Limiet functie van een en van hun van meerdere variabelen 3.4 4 van een 164 167 168 172 175 192 3.2.1 Partiele 3.2.2 Partie'le 3.2.3 Differentieren 3.2.4 De totale differentiaal afgeleiden afgeleiden van van naar een de eerste orde hogere 192 orde 200 parameter (algemene kettingregel) van een functie 205 209 216 Toepassingen Meervoudige integralen 3.3.1 Dubbelintegralen 3.3.2 Drievoudige integralen Opgaven 241 242 272 300 311 differentiaalvergelijkingen Basisbegrippen 311 4.1.1 Een inleidend voorbeeld 311 4.1.2 Definitie differentiaalvergelijking Oplossingen van een differentiaalvergelijking Modelleren van fysisch-technische problemen met 312 differentiaalvergelijkingen 316 4.1.4 van een gewone 313 4.1.5 Begin-en randwaardeproblemen Differentiaalvergelijkingen van de eerste 4.2.1 Meetkundige beschouwingen 4.2.2 Scheiding van 4.2.3 Integratie van een 4.2.4 Exacte 4.2.5 4.2.6 de variabelen 318 orde 322 van een differentiaalvergelijking differentiaalvergelijking differentiaalvergelijkingen Lineaire differentiaalvergelijkingen van Lineaire 322 differentiaalvergelijkingen door substitute 4.2.7 Voorbeelden Lineaire van de eerste orde met constante 345 van 349 toepassingen differentiaalvergelijkingen Definitie 329 336 van de 2e orde met constante coefficienten 4.3.1 325 331 de eerste orde coefficienten 4.3 164 189 Partieel differentieren 4.1.3 4.2 160 178 functie Gewone 4.1 157 175 3.2.5 3.3 149 175 voorstelling meerdere variabelen functie continuTteit en functies voor meerdere variabelen 147 355 van een lineaire differentiaalvergelijking tweede orde met constante coefficienten van de 355 Inhoud ix 4.3.2 Algemene eigenschappen van de homogene lineaire differentiaalvergelijking Integrate van de homogene lineaire differentiaalvergelijking 4.3.4 Integratie van de niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking Toepassingen 356 4.4.1 Mechanische trillingen 378 4.4.2 Elektromagnetische trillingen differentiaalvergelijkingen van 4.3.3 4.4 4.5 Lineaire 412 Definitie van een 4.5.2 lineaire differentiaalvergelijking van de «-de de 412 lineaire Integratie van homogene differentiaalvergelijking Integratie van de niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking 4.5.4 Een eigenwaardeprobleem: bepaling van de knikbelasting Numerieke integratie van een differentiaalvergelijking 4.6.1 Numerieke integratie van een differentiaalvergelijking van de 4.5.3 Numerieke integratie van een differentiaalvergelijking van volgens de 4e-orde-methode van Runge-Kutta tweede orde Stelseis lineaire 4.7.1 5 428 438 differentiaalvergelijkingen differentiaalvergelijkingen Stelsels lineaire 441 van de eerste orde met Stelsels lineaire 441 differentiaalvergelijkingen van de 2e orde met 465 constante coefficienten 4.8 424 van constante coefficienten 4.7.2 419 de de vierde orde 4.7 412 428 eerste orde 4.6.2 378 403 orde met constante coefficienten 4.6 368 de «-de orde met constante coefficienten 4.5.1 362 472 Opgaven Fouriertransformaties 491 5.1 491 Basisbegrippen 5.1.1 Inleiding 491 5.1.2 Definitie 5.1.3 Inverse Fouriertransformatie van de Fouriergetransformeerde 5.1.4 5.2 Equivalente Fourierweergave Speciale Fouriertransformaties 5.2.1 Fourier-cosinus-transformatie 5.2.2 Fourier-sinus-transformatie 5.2.3 5.3 495 501 in regle 503 vorm 504 504 506 tussen de Fouriertransformaties F(co), Fc (co) en F,(a>) 5.3.3 5.3.4 509 512 Rechthoekimpulsen Deltafunctie Verband van Eigenschappen van 513 Dirac tussen de (impulsfunctie) stapfunctie en de deltafunctie van de Fouriertransformatie 507 508 Belangrijke'hulpfuncties'in toepassingen 5.3.1 Sprongfuncties 5.3.2 5.4 Verband van een functie Dirac (transformatiewetten) 518 520 5.4.1 Lineariteitsstelling 520 5.4.2 Gelijkvormigheidsstelling 521 5.4.3 Verschuivingsstelling 523 5.4.4 Dempingsstelling Afgeleidestelling(differentiatiestelling) 525 5.4.5 527 X Inhoud 5.4.6 5.4.7 5.4.8 5.4.9 5.4.10 Inlegratiestelüng voor het origineel Convolutiestelling Symmetriestelling Verband tussen de rekenregels (transformatiestellingen) Fouriertransformatie van periodieke functies (sinus, cosinus) Terugtransformatie van het beelddomein naar het originele domein 5.5.1 Algemene opmerkingen over de terugtransformatie 5.2.2 Tabellen met speciale Fouriertransformaties Toepassingen van de Fouriertransformatie 5.6.1 Integratie van een lineaire differentiaalvergelijking met 5.5 5.6 constante coefficienten 5.6.2 5.7 6 De 6.1 531 535 537 538 539 539 542 546 546 Voorbeelden uit natuurwetenschap en techniek 548 554 Opgaven 563 Laplace-transformatie Basisbegrippen 6.1.1 530 563 563 6.3 inleiding 6.1.2 Definitie van de Laplace-getransformeerde van een funetie 6.1.3 De inverse Laplace-transformatie Eigenschappen van de Laplace-transformatie (transformatiestellingen) 6.2.1 Lineariteitsstelling (stelling voor lineaire combinaties) 6.2.2 Gelijkvormigheidsstelling 6.2.3 Verschuivingsstellingen 6.2.4 Dempingsstelling 6.2.5 Algeleidenstellingen 6.2.6 Integratiestellingen 6.2.7 De convolutiestelling 6.2.8 Randwaardestellingen 6.2.9 Samenvatting van de rekenregels (transformatiestellingen) De Laplace-getransformeerde van een periodieke funetie 6.4 De inverse transformatie 597 6.2 Een voorbeeld als van het s-domein naar het f-domein 6.4.1 6.5 6.6 Algemene aanwijzingen voor de inverse transformatie 6.4.2 Tabel van speciale Laplace-transformaties Toepassingen van de Laplace-transformatie 6.5.1 Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coefficienten 6.5.2 Eenvoudige voorbeelden uit natuurkunde en techniek Opgaven Register Appendix 565 570 571 571 572 574 578 579 583 585 588 592 593 597 599 602 602 608 617 625 A: oplossingen van tie opgaven Beschikbaar via www.academicservice.nl A. 1 Lineaire A.2 Fourierreeksen A.3 Differentiaal- A.4 Gewone A.5 Fouriertransformaties a66 A.6 De a78 algebra en integraalrekening voor functies differentiaalvergelijkingen Laplace-transformatie al al9 van meerdere variabelen a22 a37
