De overgang van een gelineariseerde schakeling naar

De overgang van een gelineariseerde schakeling naar signaalverwerkingsblok Stefan Cosemans ([email protected])
http://homes.esat.kuleuven.be/~scoseman/basisschakelingen/
Voorwoord
In deze tekst wordt uitgewerkt hoe je in het algemeen een equivalent schema opstelt voor een lineaire schakeling met meerdere terminals.
 Deze tekst gaat op sommige punten iets dieper in op de materie dan de cursus. Deze tekst is op zich geen examenstof, maar kan je misschien wel helpen inzicht te verwerven in die dingen die je wel moet kunnen of kennen. 
2
Overzicht

Concept / theorie
 2 terminals
 3 of meer terminals

Voorbeelden
 2 terminals
 3 terminals
3
Concept/theorie

Wat vooraf ging: linearisering
 In deze cursus willen we schakelingen analyseren in de context van analoge signaalverwerking. De schakelingen bevatten niet­lineaire elementen zoals transistoren. Indien we ons echter beperken tot de analyse van kleine signalen – kleine wijzigingen ten opzichte van een instelpunt – dan kunnen we volstaan met een lineaire benadering voor deze componenten. Dit levert een (lineaire) klein­signaal schema op voor de te analyseren schakeling.
4
Concept/theorie

Overgang naar een equivalent schema in een standaardvorm
 Dit klein­signaalschema is nog steeds te moeilijk om als dusdanig te gebruiken in de analyse van complexere systemen.
• Daarom splitsen we eerst onze volledige schakeling op in bouwstenen (zoals elementaire versterkers, sourcevolgers en stroomspiegels). • We analyseren dan de werking van de individuele bouwstenen.
• Daarna hangen we de bouwstenen aan elkaar om terug een beschrijving te bekomen van de volledige schakeling.
• Enkele voordelen van deze aanpak:
o De resultaten van de analyse van de bouwstenen kan herbruikt worden in de analye van andere complexe systemen.
o We verwerven inzicht in de werking van de bouwstenen en op die manier ook in de werking van het gehele systeem.
 De standaardvorm die we nastreven lijkt zeer sterk op een Norton of Theveninequivalent voor elke terminal afzonderlijk.
5
Concept/theorie

Wat zijn de vereisten voor het equivalent schema van dit bouwblok?
 De ingangs­uitgangskarakteristiek moet gelijk zijn aan die van de eigenlijke schakeling. Aangezien dit moet gelden onafhankelijk van welke andere blokken we achteraf met deze bouwsteen zullen verbinden, moet de equivalentie gelden ongeacht welke exitaties we aan de terminals van het systeem aanleggen.
• De schakeling legt zelf een verband op tussen de spanning op een terminal en de stroom in die terminal. Daardoor volstaat het om aan elke terminal als exitatie ofwel een onafhankelijke spanningsbron ofwel een onafhankelijke stroombron te hangen (zie verder).
 Bemerk dat het helemaal niet vereist is dat stromen (en dus ook vermogen) en spanningen binnenin het equivalent schema overeen komen met die binnenin de eigenlijke schakeling.

Aangezien het om een lineaire schakeling gaat, is elke spanning en elke stroom in het netwerk (dus ook 6
Concept/theorie

Aangezien het om een lineaire schakeling gaat, is elke spanning en elke stroom in het netwerk (dus ook op/in de terminals) te schrijven als een lineaire combinatie van de aangelegde exitaties.
7
Overzicht

Concept / theorie
 2 terminals
 3 of meer terminals

Voorbeelden
 2 terminals
 3 terminals
8
Concept/theorie: 2 terminals


Beschouw de – stiekem zeer complexe – schakeling in de figuur. Z is een impedantie – vermoedelijk een capaciteit. Dit is een bouwsteen met twee terminals – terminal_1 en terminal_2. Bemerk dat als Z oneindig is, dit de gekende inverterende versterker is. We kunnen deze schakeling op 4 manieren exiteren. Elk van deze mogelijke exitatie­wijzen leidt tot een ander equivalent schema. Dit wordt op de volgende pagina's uitgewerkt.
9
2 terminals – optie A


We leggen zowel aan terminal_1 als aan terminal_2 een onafhankelijke spanningsbron aan zoals in de figuur. We moeten dan i_1 en i_2 monitoren
Het resulterende netwerk oplossen geeft onderstaande formule, waarbij A,B,C en D enkel afhangen van de parameters in het bouwblok (gm,r0 en Z): i 1= A⋅v1B⋅v 2
i 2 =C⋅v 1D⋅v 2
10
2 terminals – optie B


We leggen aan terminal_1 een onafhankelijke spanningsbron aan en aan terminal_2 een onafhankelijke stroombron zoals in de figuur. De te monitoren signalen zijn dan de i_1 en v_2.
Het resulterende netwerk oplossen geeft (de parameters A,B,C,D verschillen tussen de verschillende opties)!
i 1= A⋅v 1 B⋅i 2
v 2 =C⋅v 1 D⋅i 2
11
2 terminals – optie C

Terminal_1: exitatie=stroombron (monitor v)

Terminal_2: exitatie=spanningsbron (monitor i)
v 1= A⋅i 1 B⋅v 2
i 2 =C⋅i 1 D⋅v 2
12
2 terminals – optie D

Terminal_1: exitatie=stroombron (monitor v)

Terminal_2: exitatie=stroombron (monitor v)
v1= A⋅i 1 B⋅i 2
v 2 =C⋅i 1 D⋅i 2
13
Welke optie kiezen?

Hoe weet je nu welke van deze opties je moet kiezen?
 terminalweerstand (ook wel ingangsweerstand of uitgangsweerstand)=0: je moet wel een stroombron aanleggen – anders krijg je ongerijmdheden bij het opstellen van het stelsel ( v_i=geforceerd signaal en v_i=0).
 terminalweerstand=oneindig (open keten): je moet wel een spanningsbron aanleggen.
 In alle andere gevallen zijn de opties mathematisch gelijkwaardig. Niet alle keuzes zijn echter even logisch. Voor een bouwblok beschouwen we immers normaal bepaalde terminals als ingang en andere terminals als uitgang, en we interpreteren op elke terminal ofwel spanning ofwel stroom als het signaal.
• Voor 'spanningsingangen': leg een spanningsbron aan
• Voor 'stroomingangen': leg een stroombron aan
• Voor 'spanningsuitgangen': leg een stroombron aan
• Voor 'stroomuitgangen': leg een spanningsbron aan 14
Hoe verschillende blokken connecteren?


Wat gebeurt er als we nu ipv een onafhankelijke exitatie aan node 2 (de uitgangsnode) een andere bouwsteen hangen?
Het equivalent model dat we hebben afgeleid geldt voor elke stroomexitatie i_2, dus zeker ook voor de bijzondere exitatie die we nu bekomen door een weerstand aan de tweede terminal te hangen ( i_2 = v_2 / RL )
i 1= A⋅v 1 B⋅i 2
i 1= A⋅v 1 B⋅v2 / RL
v 2 =C⋅v 1 D⋅i 2
v 2 =C⋅v 1 D⋅v 2 / R L
15

Dit geeft Verschillende blokken connecteren?
v2 =
C⋅R L
R L− D
i 1= A

⋅v1
B⋅C
R L− D
⋅v1
Bemerk dat als je nu een equivalent schema zou opstellen van blok+last, je ingangsterminal een andere ingangsweerstand heeft afhankelijk van welke last je eraan bevestigd 16
Vereenvoudigingen in praktijk


In praktijk ontwerpen we de blokken zodanig dat de signaalblokken veel eenvoudiger worden, met een duidelijk te onderscheiden ingang en uitgang
Dit vereist dat een ingangsterminal geen invloed ondervindt van wat er aan de uitgang(en) en aan de andere ingang(en) gebeurd.
 In een goed ontworpen systeem is de versterkingsfactor van de gecontroleerde bronnen aan de ingangen zo klein (|A|<<1) dat hun effect te verwaarlozen is.
17
Vereenvoudigingen in praktijk


Voor spanningsgecontroleerde ingangen maken we de ingansimpedantie zeer groot (oneindig in DC als we op de gate van een MOSFET toekomen – er bevindt zich echter wel een capaciteit ). Voor spanningsuitgangen maken we de uitgangsweerstand zeer klein. Voor stroom in/uitgangen doen we net het omgekeerde. Daardoor zouden alle weerstanden in het schema te verwaarlozen moeten zijn. Indien er capaciteiten in het spel zijn moeten we impedanties ipv weerstanden gebruiken. Bij hoge frequenties wordt de AC­
stroom zeer groot en kunnen deze niet meer verwaarloosd worden. De combinatie van uitgangsweerstand en capacitieve last leidt tot polen in de transferfunctie. Als er een ingangsweerstand is speelt ook deze een rol – de parameter die er eigenlijk toe doet is de impedantie op de node.
18
Overzicht

Concept / theorie
 2 terminals
 3 of meer terminals

Voorbeelden
 2 terminals
 3 terminals
19
3 of meer terminals

Voor bouwstenen met meer terminals is de werkwijze identiek.
 Leg aan elke terminal een onafhankelijke bron aan.
 Bepaal de andere observabelen zoals bij 2 terminals
 We werken hier maar 1 optie uit, namelijk
• Terminal 1 en terminal 3 zijn opgevat als spanningsingangen
• Terminal 2 is opgevat als een spanningsuitging
i 1= A⋅i 2 B⋅v 3C⋅v1
v 2 = D⋅v 1 E⋅i 2  F⋅v 3
i 3=G⋅v1 H⋅i 2 J⋅i 3
20
3 of meer terminals
i 1= A⋅i 2 B⋅v 3C⋅v1
v 2 = D⋅v 1 E⋅i 2  F⋅v 3
i 3=G⋅v1 H⋅i 2 J⋅i 3
21
Overzicht

Concept / theorie
 2 terminals
 3 of meer terminals

Voorbeelden
 2 terminals
• Karakteriseer als spannings­naar­spanningsversterker (optie b)
• Karakteriseer als spannings­naar­stroomversterker (optie a)
• Verband tussen beide oplossingen
 3 terminals
22
Voorbeeld 2 terminals: optie b)

De schakeling in de figuur wordt normaal gebruikt als een (inverterende) spanning­naar­spanningsversterker. De Z is normaal een zeer grote (ongewenste) impedantie.  Bij een MOSFET gate vloeit er geen DC stroom. Aangezien een MOSFET gate echter wel een capaciteit vertegenwoordigd (naar het drain­source) kanaal van de transistor, bestaat Z uit een capaciteit.
 Dezelfde schakeling gebruik makend van een bipolaire transistor zou wel een weerstandscomponente hebben n Z.
23
Voorbeeld 2 terminals: optie b)

We karakteriseren de schakeling als spannings­>spannings versterker.
 Terminal 1 = spanningsingang => leg spanningsbron aan, observeer stroom
 Terminal 2 = spanningsuitgang => leg stroombron aan, observeer stroom

Met de hand los je dit probleem vermoedelijk best op met superpositie beschouw de reactie op enkel v v =0 : i , i
1
2
1, a
2, a
beschouw de reactie op enkel v 2 v 1=0 : i 1, b , i 2, b
i 1=i 1, ai 1, b
i 2=i 2, a i 2, b
24
Voorbeeld 2 terminals: optie b)

Hier doen we het even in 1 keer. Toepassen van de wetten van Kirchhoff en de componentvergelijkingen lever het stelsel:
i 1=
v 1−v 2
Z
i 1i 2= gm⋅v1

v2
ro
Dit oplossen (hier met maple):
i 1=
v2=
1 g m r 0
r 0Z
⋅v1 
−r 0⋅ Z⋅g m− 1
r 0Z
−r 0
r 0Z
⋅v 1
i2
r0 Z
r 0 Z
i 1= A⋅v 1 B⋅i 2
⋅i 2
v 2 =C⋅v 1 D⋅i 2
25
Voorbeeld 2 terminals: optie a)

Stel: we willen de schakeling in de figuur karakteriseren als een spannings­naar stroomversterker. Aangezien de uitgangsweerstand zeer groot is, is dit eigenlijk een slecht plan, maar het kan wel.
 Terminal 1 = spanningsingang => leg spanningsbron aan, observeer stroom
 Terminal 2 = stroomuitgang => leg spanningsbron aan, observeer stroom
26
Voorbeeld 2 terminals: optie a)

Met kirchhoff en componentvergelijkingen toe te passen op v −v
het eigenlijke schema vinden we het stelsel:
i =
1
1
2
Z
i 1i 2= gm⋅v1

v2
ro
Dit herwerkt maple in no time tot. Met de hand los je dit probleem vermoedelijk beter op met superpositie.
i2 =
−r 0g m r 0 Z
r0 Z
⋅v1
r0  Z
⋅v2
r 0⋅Z
1
1
i 1= ⋅v 1− ⋅v 2
Z
Z
i 2= A⋅v1 B⋅v 2
i 1=C⋅v1 D⋅v 2
27
Voorbeeld 2 terminals: verband tussen de twee oplossingen

De tweede oplossing kan ook uit de eerste worden afgeleid:
optie b :
i 1= A b⋅v 1 B b⋅i 2 =
optie a :
v1
R 1, b
 B b⋅i 2
v 2 =C b⋅v1 D b⋅i 2 =C b⋅v1 R 2, b⋅i 2
i 1= Aa⋅v 1 Ba⋅v 2= Aa⋅v 1
i 2 =C a⋅v1 D a⋅v 2 =
v1
R 2, a
v2
R 1, a
 D a⋅v 2
zonder de variabelen i 1 en i 2 af :
i 1=
R2, b− B b R1, b C b
B
⋅v 1 b ⋅v2
R1, b R 2, b
R 2, b
i 2=

−C b
R2, b
⋅v1
v2
R2, b
Extra: bemerk dat de weerstand aan de uitgang (waar het exitatie­type gewijzigd is – gelijk is gebleven, maar dat deze aan de andere terminal(s) wel wijzigt. Normaal ontwerpen we circuits met B_b = 0 en stelt dit probleem zich niet 28
3 of meer terminals
i 1= A⋅i 2 B⋅v 3C⋅v1
v 2 = D⋅v 1 E⋅i 2  F⋅v 3
i 3=G⋅v1 H⋅i 2 J⋅i 3
29
3 of meer terminals



We beschouwen hier enkel de meest interessante optie: we beschouwen terminals 1 en 3 als spanningsingangen en terminal 2 als spanningsuitgang.
Met de hand is het handiger superpositie toe te passen. Hier gebruik ik maple en doe ik het voor de kortheid van notatie in 1 stap
De wetten van kirchhoff toepassen levert volgend stelsel:
i 1= 0
i 2 = gm⋅v1− v n1 
i 2 i 3=
i 3=
v 2− v n1
r0
v n1
R1
v 3− v n1
R2
30
3 of meer terminals

Dit stelsel oplossen naar i_1, v_2 en i_3 levert
i 1= 0

v 2 =−g m r 0⋅v1 r 0g m r 01
i 3=
R1 R 2
R1 R 2
− R1
R1 R 2
i2 

⋅i 2
R1
R 1  R2
 g m r 0 1 v3
v3
R1  R 2
31