2 Lineaire afbeeldingen - Meetkunde, Analyse, Algebra

Rinse Poortinga
Lineaire Algebra en
Voortgezette Analyse
2 Lineaire afbeeldingen
Inhoud:
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Lineaire afbeeldingen.
Rijen- en kolommenrang.
Transponeren.
De determinant.
De oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen.
Gauss-eliminatie.
Elementaire lineaire transformaties.
Trefwoorden:
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Lineaire afbeeldingen, componenten van een afbeelding, identieke
afbeelding, coördinaatfuncties, coördinaten, matrix van een lineaire
afbeelding, kolommen, rijen, productmatrix, vierkante matrix,
nulafbeelding.
Rijen- en kolommenrang. rang, maximale rang.
Transponeren, hoofddiagonaal van een matrix, getransponeerde matrix
of lineaire afbeelding, symmetrische matrix of lineaire afbeelding.
De determinant, formule van Leibniz, deelmatrix, onderdeterminant,
regulier, ontwikkelen naar een kolom of rij, schaakbordpatroon,
bovendriehoeksmatrix.
Stelsel lineaire vergelijkingen, (on)afhankelijk stelsel, regel van
Cramer, strijdig stelsel.
Gauss-eliminatie, aangevulde matrix, elementaire rijbewerkingen,
(naar beneden) schoonvegen, trapvorm, kopelement.
Elementaire lineaire transformatie.
2 Lineaire afbeeldingen
2.1 Lineaire afbeeldingen en matrices.
Een afbeelding F : D   m met D   n noemen we kortweg een  n - m afbeelding. De termen afbeelding en functie betekenen in principe hetzelfde. In het
volgende zullen we echter afbeeldingen die getallen als functiewaarde hebben bij
voorkeur functies noemen. We zullen het onderscheid tussen functies en afbeeldingen benadrukken door meestal voor functies kleine letters en voor afbeeldingen
hoofdletters te gebruiken. [Getallen duiden we meestal aan met kleine letters en
punten met hoofdletters.] Daarnaast gebruiken we ook kleine Griekse letters voor
zowel afbeeldingen als functies. Een m-tal  n - -functies f1 ,..., f m met gemeenschappelijk domein D   n bepaalt een  n - m -afbeelding F d.m.v.
F ( X )  ( f1 ( X ),..., f m ( X )) voor X  D .
Omgekeerd bepaalt een  n - m -afbeelding F met domein D een m-tal  n - functies f1 ,..., f m , eveneens met domein D, zo dat F ( X )  ( f1 ( X ),..., f m ( X )) voor
X  D . We schrijven F  ( f1 ,..., f m ) en noemen de functies f1 ,..., f m de componenten van F. De  n - n -afbeelding X  X die elk punt X van  n op zichzelf
afbeeldt heet de identieke afbeelding van  n . De componenten 1 ,...,  n van de
identieke afbeelding heten de coördinaatfuncties op  n . Voor k  1,..., n geldt
 k ( X )   X , Ek   xk . Is F een  n - m -afbeelding, dan is f k   k  F de k-de
component van F.
Is A  ( A1 ,..., An ) een rij punten in een lineaire ruimte V, dan is er precies één lineaire afbeelding  A :  n  V die de standaardbasis E  ( E1 ,..., En ) van  n afbeeldt op de puntenrij A  ( A1 ,..., An ) in V. Afbeelding  A is een isomorfie tussen
 n en V precies dan, wanneer A een basis is van V. In dat geval kan ieder punt
P  V op precies één manier geschreven worden als lineaire combinatie
P  x1 A1    xn An en dit punt correspondeert dan onder  A met het n-tal
( x1 ,..., xn ) in  n . We noemen ( x1 ,..., xn ) het coördinaten n-tal van punt P t.o.v.
de basis A. De keuze van een vaste basis A in V maakt het mogelijk om V te identificeren met  n . In een euclidische ruimte kiezen we een vaste orthonormale basis om op grond van stelling 1.8.6 inproducten, afstanden en hoeken gemakkelijk
te kunnen berekenen.
Is W een andere lineaire ruimte met basis B  ( B1 ,..., Bm ) , dan kunnen we W op
dezelfde manier met behulp van  B identificeren met  m . Met een lineaire of affiene afbeelding van V in W correspondeert dan een lineaire of affiene afbeelding
van  n in  m .
28
Lineaire Algebra
Gezien het bovenstaande zullen we ons in het volgende voornamelijk beperken tot
de lineaire ruimten  n en zijn lineaire en affiene deelruimten. Lineaire en affiene
afbeeldingen in het volgende zijn  n - m -afbeeldingen. De lineaire bewerkingen
in  n zijn de standaard lineaire bewerkingen en als vaste basis nemen we steeds
de standaardbasis E  ( E1 ,..., En ) .  n is een n-dimensionale euclidische ruimte
met het standaardinproduct gedefinieerd door  X , Y   x1 y1    xn yn . Norm,
afstand en hoek zijn gedefinieerd met behulp van dit standaardinproduct. De determinant op  n is de antisymmetrische n-lineaire functie  :  n     n  
zo dat  ( E1 ,..., En )  1 . I.p.v.  ( X1 ,..., X n ) schrijven we det E ( X1 ,..., X n ) of
det n ( X1 ,..., X n ) , maar meestal det( X1 ,..., X n ) zonder meer.
Is A  ( A1 ,..., An ) een rij punten in  m en E  ( E1 ,..., En ) de standaardbasis van
 n , dan noteren we de lineaire  n - m -afbeelding L zo dat L( E1 )  A1 , ... ,
L( En )  An als L  [ A1 ,..., An ] en ook uitvoeriger als
 a11  a1n 
L   
  .
 am1  amn 
De getallen in de eerste kolom zijn de coördinaten van A1 , onder elkaar geschreven,
in de tweede kolom staan de coördinaten van A2 , onder elkaar geschreven, etc.
Door de lineaire afbeelding L wordt ook een functie (r , k )  ar k met r  {1,..., m}
en k  {1,..., n} gedefinieerd, die we de matrix van L noemen, notatie mat( L) . We
kunnen deze matrix schrijven als
 a11  a1n 


mat( L)  (ar k | r  {1,..., m}, k  {1,..., n})   
 
a

 m1  amn 
en noemen mat( L) een m  n -matrix met m horizontale rijen en n verticale kolom-
men. Het getal ar k staat in rij r en kolom k. Indien nodig schrijven we ar k ook als
ar ,k [een komma is bijv. nodig in a15, 21 ]. Omdat we hier steeds werken met coör-
dinaten t.o.v. de standaardbases van  n resp.  m is er een 1-1 -correspondentie
tussen lineaire  n - m -afbeeldingen en m  n -matrices. Zouden we ook werken
met niet-standaardbases B  ( B1 ,..., Bn ) en C  (C1 ,..., Cm ) in  n resp.  m , dan
moeten we onderscheiden tussen de standaardmatrix mat( L) van L en de matrix
mat( L, B, C ) van L t.o.v. de bases B en C. Zo ingewikkeld hoeven we hier niet te
doen. We gaan zelfs zover dat we dezelfde notatie gebruiken voor een lineaire
 n - m -afbeelding L en zijn standaardmatrix mat( L) .
2 Lineaire afbeeldingen
29
We spreken af dat met L zowel de lineaire afbeelding L als matrix mat( L) bedoeld
kan zijn en we noteren in het volgende beide als L  [ A1 ,..., An ] of uitvoeriger als
 a11  a1n 
L   
  .
 am1  amn 
Zijn L  [ A1 ,..., An ] en M  [ B1 ,..., Bn ] lineaire  n - m - afbeeldingen en c   ,
dan zijn L  M en cL , op de gebruikelijke wijze gedefinieerd, ook lineair en
L  M  [ A1  B1 ,..., An  Bn ] ,
cL  [cA1 ,..., cAn ] .
De samenstelling M  L van een lineaire  p - m -afbeelding M en een lineaire
 n - p -afbeelding L is een lineaire  n - m -afbeelding en
M  L  [ M ( L( E1 ),..., M ( L( En ))] .
Matrix M heeft p kolommen en matrix L heeft p rijen. De matrix van M  L wordt
het product van de matrices M en L [in deze volgorde] genoemd. Deze productmatrix wordt genoteerd als M  L of korter als ML .
Opgave. Laat M  L de samenstelling van de lineaire  p - m -afbeelding M en de
lineaire  n - p -afbeelding L zijn. Stel verder dat
(br i | r  {1,..., m}, i  {1,..., p}) en (ai k | i  {1,..., p}, k  {1,..., n})
de bij M resp. L behorende matrices zijn. Toon aan dat dan
ML  (cr k | r  {1,..., m}, k  {1,..., n}) met cr k  br 1  a1 k    br p  a p k
de matrix van M  L is. [ cr k is het inproduct van rij r van M en kolom k van L.]
Een lineaire  n - -functie heeft de vorm ( x1 ,..., xn )  a1 x1    an xn . Hier geldt
( E1 )  a1 , ... , ( En )  an en   [a1 ,..., an ] met a1 ,..., an   . De bijbehorende
matrix is een 1  n -matrix met 1 rij en n kolommen. Eigenlijk moeten we schrijven
  [a11 ,..., a1n ] , maar de rij-index is overbodig, als er maar één rij is.
Voorbeeld. Het is duidelijk dat de coördinaatfuncties lineair zijn. Er geldt
 k ( x1 ,..., xn )  a1 x1    an xn  xk , dus ai  0 als i  k en ai  1 als i  k .
Dus 1  [1, 0,...,0,0],...,  n  [0,0,...,0,1] .
30
Lineaire Algebra
 a11  a1n 
Opgave. Stel L   
  .
 am1  amn 
Ga na dat dan ar , k   r ( L(Ek )) voor r  1,..., m en k  1,..., n .
2.1.1 Een  n - m -afbeelding F is lineair (affien)  de componenten f1 ,..., f m van
F zijn lineaire (affiene)  n - -functies.
Toon dit aan.
Een lineaire - m -afbeelding heeft de vorm F ( x)  xA met zekere A  m . Er
 a1 
 a11 


geldt F  [ A] met m  1 -matrix F     . Eigenlijk moeten we F     schrij am 
 am1 
ven, maar de kolomindex is overbodig, als er maar 1 kolom is.
Voorbeeld. De 3 - 2 -afbeelding L( x, y, z )  (a1 x  b1 y  c1 z , a2 x  b2 y  c2 z ) is
lineair en L( E1 )  A(a1 , a2 ), L( E2 )  B(b1 , b2 ) , L( E3 )  C (c1 , c2 ) . Dus bij L hoort
a
de 2  3 -matrix L  [ A, B, C ]   1
 a2
b1
b2
c1 
.
c2 
Stel L is de lineaire  n - m -afbeelding L  [ A1 ,..., An ] . Stel verder Y  L( X ) en
Ak  (a1k ,..., am k ) , voor k  1,..., n . Bij grotere n en m kunnen we
( y1 ,..., ym )  (a11 x1    a1n xn ,..., am1 x1    amn xn )
meestal overzichtelijker onder elkaar schrijven als:
 y1  f1 ( x1 ,..., xn )  a11 x1    a1n xn


 
 y  f ( x ,..., x )  a x    a x
m 1
n
m1 1
mn n
 m
De matrixnotatie is heel geschikt voor praktisch rekenwerk. Hierbij wordt een punt
 x1 
n
X   genoteerd als de n  1 -matrix [ X ]     . Dan L[ X ]  x1 A1    xn An .
 xn 
2 Lineaire afbeeldingen
31
Voorbeeld: L( x, y, z )  ( x  2 y  4 z ,3x  y ) wordt in deze notatie
 x
2 4  
1
1
2
4  x  2 y  4 z 
L( X )  L[ X ]  
y  x     y     z     
.


 3
 1
0   3x  y 
3 1 0   z 
 
Hier is L een lineaire 3 - 2 -afbeelding.
Voorbeeld. De 1  n matrix L  [a1 ,..., an ] stelt de lineaire  n - -functie voor zo
dat L( X )  a1 x1    an xn voor X   n . Dus:
x
L( X )  L[ X ]  [a1 ,..., an ]  y   [a1 x1    an xn ] .
 z 
De 1  1 -matrix [a1 x1    an xn ] identificeren we met het getal a1 x1    an xn ,
 x1 
zoals we hierboven de n  1 -matrix [ X ]     identificeren met het punt X.
 xn 
2.1.2 Bij de lineaire  n - m -afbeelding L  [ A1 ,..., An ] hoort de m  n -matrix
 a11   a1n 
L   
  .
 am1   amn 
Deze matrix heeft m rijen en n kolommen. In kolom k staan de coördinaten van
L( Ek )  Ak  (a1k ,..., am k )   m , verticaal onder elkaar geschreven. Rij r bevat de
coëfficiënten van de r-de component  r ( x1 ,..., xn )  ar1 x1    arn xn van L.
Het getal ar k staat in rij r en in kolom k. Als m  n , dan noemen we de matrix
vierkant. Als Y  L( X ) , dan
 x1 
 y1   a11   a1n     a11 x1    a1n xn 

   

     

  


 ym   am1   amn     am1 x1    amn xn 
 xn 
 a11 
 a1n 
 x1        xn       x1  A1    xn  An
 am1 
 amn 
32
Lineaire Algebra
Nulafbeelding. De lineaire  n - m -afbeelding X  Om is de nulafbeelding. Deze
nulafbeelding beeldt iedere X   n af op Om   m . Deze afbeelding duiden we
aan met On,m , de bijbehorende m  n -matrix bevat louter nullen. Als duidelijk is
om welke afbeelding het gaat schrijven we meestal kortweg O i.p.v. On, m .
2.2 Rijen- en kolommenrang. Voor de lineaire  n - -functie   [a1 ,..., an ] geldt
( x1 ,..., xn )  a1  x1    an  xn . Dit laatste kunnen we ook schrijven als
( X )   A, X  met A  (a1 ,..., an )   n . Op deze manier kan een lineaire  n - -
functie altijd met behulp van een element A  n geschreven worden in de vorm
X   A, X  . Dit geldt i.h.b. voor de coördinaatfuncties. X   Ek , X  is de coördinaatfunctie  k .
De lineaire  n - m -afbeelding L met matrix
 a11  a1n 
L   
 
 am1  amn 
kunnen we schrijven als ( x1 ,..., xn )  x1 A1    xn An , waarin A1 ,..., An de punten
in  m zijn die corresponderen met de kolommen van de matrix L. [We duiden de
lineaire afbeelding en zijn matrix volgens afspraak beide aan met L.] Het getal ark
staat in rij r en kolom k . Ak  (a1k ,..., amk ) , voor k  1,..., n .
Met behulp van het inproduct kunnen we L ook schrijven als
X  ( A1 , X  ,...,  A m , X  ) ,
maar in dat geval moeten we voor A1 ,..., A m de punten in  n nemen die corresponderen met de rijen van matrix L, dus A  (a ,..., a ) voor r  1,..., m .
r
r1
rn
2.2.1 Een lineaire  n - m -afbeelding L kunnen we in de vorm
X  ( A1 , X ,...,  Am , X  ) schrijven met A1 ,..., Am   n . De matrix van L bevat
dan de rijen A1 ,..., Am met A 1 als de bovenste rij en A m als de onderste rij.
De
beeldruimte
van
een
 n - m -afbeelding
lineaire
L  [ A1 ,..., An ]
is
span{ A1 ,..., An } . De beeldruimte L( ) van L wordt ook genoteerd als Im( L)
['Im' staat voor 'image']. De dimensie van Im( L) hebben we de rang van afbeeln
ding L genoemd. A1 ,..., An   m zijn de kolommen van matrix L. De rang van L
wordt daarom ook de kolommenrang van matrix L genoemd.
2 Lineaire afbeeldingen
33
Zijn A1 ,..., A m de rijen van matrix L, dan behoren A1 ,..., A m tot  n en we noemen
de dimensie van span{ A ,..., A } de rijenrang van matrix L. We laten zien dat de
1
m
rijenrang van L gelijk is aan de kolommenrang van L.
2.2.2 Kolommenrang = rijenrang.
Stel L  [ A1 ,..., An ] is de lineaire  n - m -afbeelding met matrix
 a11  a1n 
L   
 
 am1  amn 
Dan is de rijenrang van L gelijk aan de kolommenrang van L.
Voortaan kunnen we dus spreken over de rang van L  [ A1 ,..., An ] zonder meer. De
rang van L is dan de rang van zowel de afbeelding L als van de matrix L. We noteren deze rang als rang( L) of als rang( A1 ,..., An ) .
Bewijs. Stel L  [ A1 ,..., An ] . Dan is L de afbeelding
( x1 ,..., xn )  x1 A1    xn An ,
waarin A1 ,..., An de punten in  m zijn die corresponderen met de kolommen van de
matrix L. We kunnen L ook schrijven als
X  ( A1 , X ,...,  A m , X  ) ,
waarin A1 ,..., A m de punten in  n zijn die corresponderen met de rijen van L.
De kern van L bestaat uit de punten X   n zo dat L( X )  O , dus
X  Ker( L)   A1 , X      A m , X   O .
De kern van L is een lineaire deelruimte W van  n . Stel V  span{ A1 ,..., Am } en
W  ker( L) . Dan zijn V en W elkaars orthocomplement, V  W   n en
dim(V )  dim(W )  dim(span{ A1 ,..., A k )  dim(Ker( L))  n .
Ook geldt dim(span{ A1 ,..., An })  dim(Ker( L)) volgens 1.4.5 [de dimensiestelling
voor lineaire afbeeldingen]. Hieruit volgt rijenrang = kolommenrang ofwel
dim(span{ A1 ,..., Ak )  dim(span{ A1 ,..., An }) .
Is L een lineaire  n - m -afbeelding, dan rang( L)  min(n, m) . L heeft maximale
rang, wanneer rang( L)  min(n, m) .
34
Lineaire Algebra
2.3 Transponeren.
De matrix van de lineaire  n - m -afbeelding L  [ A1 ,..., An ] heeft A1 ,..., An   m
als kolommen. Bij L kunnen we altijd de lineaire  m - n -afbeelding L definiëren
d.m.v. L ( X )  ( A , X ,...,  A , X  ) voor X   m . Met A  (a ,..., a ) voor
1
n
k  1,..., n geldt dan voor Y  L ( X ) :
k
1k
mk
 y1   A1 , X   a11 x1    am1 xm

 
y  A , X   a x  a x
n
1n 1
mn m
 n
De matrices van L en L zijn
 a11  a1 n 
 a11  am 1 





L
  resp. L   
 
a

a

 m 1  am n 
 1n  am n 
De n  m -matrix van L ontstaat uit de m  n matrix van L door transponeren,
d.w.z. door verwisselen van rijen en kolommen. We kunnen het transponeren van
een matrix ook zien als spiegelen t.o.v. de hoofddiagonaal van de matrix. Deze
hoofddiagonaal bevat de elementen a11 , a22 , a33 ,... . De matrix van L heeft, van
boven naar beneden, A ,..., A als rijen. De matrix van L wordt aangeduid als
1
n
T
transp( L) of korter als L . Matrix LT heet de getransponeerde van matrix L. We
gebruiken transp( L) en LT ook als notatie voor de afbeelding L . Het is duidelijk
dat ( LT )T  L .
Als m  n , dan zijn L en LT allebei lineaire  n - n -afbeeldingen, maar i.h.a.
L  LT . Er geldt L  LT , als de matrix van L symmetrisch is t.o.v. zijn hoofddiagonaal. Als L  LT , dan noemen we ook de lineaire  n - n -afbeelding L symmetrisch.
2.3.1 Definitie getransponeerde. Is L de lineaire  n - m -afbeelding L  [ A1 ,..., An ] ,
dan is LT de lineaire  m - n -afbeelding die voor X   m gedefinieerd wordt door
LT ( X )  ( A1 , X  ,...,  An , X  ) .
2.3.2 Is L een lineaire  n - m -afbeelding, dan  L( X ), Y    X , LT (Y ) voor iedere
X  n , Y  m .
Bewijs. Stel L is de lineaire  n - m -afbeelding L  [ A1 ,..., An ] . Dan is LT de lineaire  m - n -afbeelding zo dat LT (Y )  ( A1 , Y  ,...,  An , Y  ) voor Y   m . Met vaste
Y   m zijn X   L( X ), Y  en X   X , LT (Y ) lineaire  n - -functies.
2 Lineaire afbeeldingen
35
Om te bewijzen dat het om dezelfde functie gaat, is het voldoende dat beide functies
overeenstemmen voor E1 ,..., En   n . We moeten dus nagaan dat voor i  1,..., n
geldt  L( Ei ), Y    Ai , Y  en ook  Ei , LT (Y )   Ai , Y  . Gebruik hierbij  Ei , P  pi .
2.3.3 Is L een lineaire  n - p -afbeelding en M een lineaire  p - m -afbeelding,
dan ( M  L)T  LT  M T .
Bewijs. Stel L en M voldoen aan de voorwaarden.
Volgens de vorige stelling geldt dan
 ( M  L)( X ), Y    X ,( M  L)T (Y )
en ook
 ( M  L)( X ), Y    ( M ( L( X )), Y 
  ( L( X ), M T (Y )   X , LT ( M T (Y ))
  X ,( LT  M T )(Y )
en dus
 X , ( M  L)T (Y )   X ,( LT  M T )(Y )
voor iedere X   n , Y   m . Dit geldt i.h.b. met X  E1 ,..., En , waaruit volgt dat
( M  L) T (Y )  ( LT  M T )(Y ) voor ieder Y   m . M.a.w. ( M  L)T  LT  M T .
Opgave. Stel L is een lineaire  n - m -afbeelding en M is een lineaire  m - n afbeelding zo dat  L( X ), Y    X , M (Y ) . Toon aan dat M  LT .
Opgave. Zijn L en M lineaire  n - p -afbeeldingen, dan ( LT )T  L , (cL)T  cLT
en ( L  M )T  LT  M T .
Opgave.  X , A  0 voor iedere X   n  A  O . Toon dit aan.
Gevolg:  X , A   X , B voor iedere X   n  A  B .
2.4 Determinant. De determinant op  n is de antisymmetrische n-lineaire functie det :  n     n   zo dat det( E1 ,..., En )  1 . Is L de lineaire  n - n det( L( E1 ),...,det( L( En ))
afbeelding [ A1 ,..., An ] , dan det( L) 
 det( A1 ,..., An )
det( E1 ,..., En )
volgens definitie 1.7.6. We schrijven deze determinant ook als
a11  an 1


[met rechte strepen].
a1n  an n
36
Lineaire Algebra
a11  an1
Er geldt dus det( L)  det( A1 ,..., An )  
 .
a1n  an n
We noemen dit ook de determinant van de bijbehorende n  n -matrix. Merk op
dat alleen een vierkante matrix een determinant kan hebben. De determinant van
een n  n -matrix noemen we een n  n -determinant.
NB De waarde van een determinant is een getal, als we het hebben over de kolommen of rijen van een determinant hebben, dan bedoelen we kolommen of rijen
van de matrix waarvan dit getal de determinant is.
In paragraaf 1.7 hebben we aangetoond dat ,
det( A1 ,..., An ) 
a11  a1n

   kP sign(k )  a1k 1    an k n ,
n
an1  ann
waarin Pn de permutatiegroep van N n  {1,..., n} is.
Een permutatie van N n is een 1-1 afbeelding van N n op zichzelf. Is
p  ( p1 ,..., pn ) een permutatie van N n dan komt elk van de getallen 1,..., n precies één keer in de rij p1 ,..., pn voor. We zeggen dat p een verwisseling is, wanneer p de positie van twee getallen in N n verwisselt, terwijl de andere getallen in
N n op hun plaats blijven. We hebben in 1.7 aangenomen dat we aan iedere permutatie p  Pn een teken sign( p ) kunnen toekennen zodat sign( p)  1 , als p
door een even aantal verwisselingen tot stand gebracht kan worden en
sign( p)  1 , als p door een oneven aantal verwisselingen tot stand gebracht kan
worden. Ontstaat p door een even aantal verwisselingen, dan kan p niet door een
oneven aantal verwisselingen ontstaan en omgekeerd. De permutatiegroep Pn ,
met de samenstelling van afbeeldingen als groepsbewerking, bevat met een permutatie p ook zijn inverse p 1 . Als p  wm   w2  w1 waarin de wi verwisselingen zijn, dan p 1  w1  w2   wm [een verwisseling is zijn eigen inverse].
Hieruit blijkt dat sign( p 1 )  sign( p ) . De verzameling S  {1, 1} is een groep
met de vermenigvuldiging als groepsbewerking.
Ga
na
dat
sign( p  q )  sign( p )  sign(q ) voor
sign : Pn  S is een groepshomomorfisme.
Er geldt det( E p 1 ,..., E p n )  sign( p) .
p, q  Pn .
Dus
afbeelding
2 Lineaire afbeeldingen
In
 kP sign(k )  a1k
n
1
37
   an kn wordt gesommeerd over de permutaties van de ko-
lomindices. We gaan na dat ook det( A1 ,..., An )   rP sign(r )  ar11    a rn n waarn
in wordt gesommeerd over de permutaties van de rij-indices. Het getal ark komt uit
rij r en kolom k van de matrix
 a11  a1n 
 
  .

 an1  ann 
Het product a1,k 1    an, kn bevat dus uit iedere rij een factor en al deze factoren
komen uit verschillende kolommen. Meer symmetrisch geformuleerd kunnen we
zeggen dat het product a1, k 1    an , kn uit elke kolom en uit elke rij precies één factor bevat. De laatste formulering is ook van toepassing op ar1 ,1    a rn , n . Dit maakt
duidelijk dat met elk product a1,k 1    an , kn een product ar1 ,1    a rn , n correspondeert met precies dezelfde factoren, maar mogelijk in een andere volgorde. Er geldt
a1, k 1    an , kn  ar1 ,1    a rn , n
precies dan, wanneer de permutaties k en r uit Pn , als afbeeldingen van N n op
zichzelf, elkaars inverse zijn. Is dat het geval, dan sign(r )  sign(k ) . Als k de elementen van Pn doorloopt, dan geldt dit ook voor r  k 1 . We krijgen zo:
2.4.1 Formule van Leibniz. Met A1 ,..., An   n geldt:
a1,1  a1, n
det( A1 ,..., An )  

  kP sign(k )  a1, k 1    an, kn
n
an,1  an, n
en ook
det( A1 ,..., An )   rP sign(r )  ar1 ,1    a rn , n .
n
Gevolg:
2.4.2 De waarde van een determinant verandert niet, als we de bijbehorende matrix
transponeren.
 a11  a1n 
 a11  an1 


T
Als L   
  en L   
  , dan det( LT )  det( L) .
 an1  ann 
 a1n  ann 
Gevolg: een regel die geldt voor de kolommen van een determinant, geldt ook
voor de rijen van een determinant.
2.4.3 De determinant van een n  n -matrix verandert niet van waarde als we van
een kolom (rij) een lineaire combinatie van de andere kolommen (rijen) aftrekken.
Bewijs. Het is voldoende dat we dit voor kolommen bewijzen.
38
Lineaire Algebra
Neem aan dat X een lineaire combinatie is van punten uit { A1 ,..., An } \ { Ak } . Dan
is A1 ,... Ak 1 , X , Ak 1 ,..., An , met k  {2,..., n  1} , lineair afhankelijk. Dus
det( A1 ,... Ak 1 , X , Ak 1 ,..., An )  0 en det( A1 ,... Ak 1 , Ak  X , Ak 1 ,..., An )
 det( A1 ,... Ak 1 , Ak , Ak 1 ,..., An )  det( A1 ,... Ak 1 , X , Ak 1 ,..., An )
 det( A1 ,... Ak 1 , Ak , Ak 1 ,..., An ) . Idem, wanneer k  1 of k  n .
NB Is L een lineaire  n - m afbeelding, dan is det( L) alleen gedefinieerd als
m  n . De matrix van L is in dat geval vierkant.
Met het daadwerkelijk berekenen van determinanten houden wij ons overigens niet
bezig, met uitzondering van hooguit een paar incidentele 2  2 en 3  3 determinanten. De determinant is voor ons vooral een theoretisch instrument.
 a11  a1 n 


Is L   
  een m  n -matrix, dan krijgen we door p rijen en q koloma

 m1  am n 
men in L te schrappen een (m  p)  (n  q) deelmatrix M van L. We veronderstellen hierbij dat p  m, q  n . Is de deelmatrix M een vierkante matrix, dan noemen
we det( M ) een onderdeterminant van L. De onderdeterminant van een k  k deelmatrix van L noemen we een k  k onderdeterminant van L.
Ga na:
2.4.4 De rang van matrix L is gelijk aan k precies dan, wanneer L een k  k deelmatrix M heeft zo dat det( M )  0 , terwijl er geen grotere vierkante deelmatrices
van L zijn met determinant  0 .
Gevolg:
2.4.5 De rang van een matrix verandert niet als we (i) de volgorde van de rijen in de
matrix veranderen, of (ii) een rij met een getal  0 vermenigvuldigen, of (iii) van
een rij een lineaire combinatie van de andere rij aftrekken. Hetzelfde geldt met kolommen i.p.v. rijen.
Definitie. Een lineaire  n - m afbeelding L noemen we regulier, als rang( L)  n
[dit impliceert dat 1  n  m ].
2.4.6 Is de lineaire  n - m afbeelding L regulier, dan is L 1-1 en L( n ) is een ndimensionale lineaire deelruimte van  m .
Bewijs. Stel de lineaire  n - m afbeelding L is regulier en L  [ A1 ,..., An ] .
Dan is de kolommenrang van L gelijk aan n, dus A1 ,..., An is een basis van L( n ) .
Dus dim( L( n ))  n [ L(V ) is sowieso een lineaire deelruimte van  m ]. Uit dimensiestelling 1.4.5 volgt dan dat dim(Ker( L))  0 , dus Ker( L)  {O} en L is 1-1 .
2 Lineaire afbeeldingen
39
Voorbeeld. Een 3  3 determinant kunnen we uitdrukken in 2  2 determinanten:
a1
b1
a2
a3
b2
b3
c1
b
c2  a1  2
b3
c3
c2
c3
 a2 
b1
c1
b3
c3
 a3 
b1
c1
b2
c2
.
Dit heet 'ontwikkelen van de determinant naar de eerste kolom.'
Ontwikkelen naar andere kolommen is ook mogelijk. Ontwikkelen naar de tweede
kolom geeft
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
a
c2  b1  2
a3
c3
c2
a c
a
 b2  1 1  b3  1
c3
b3 c3
a2
c1
.
c2
Geeft zelf de ontwikkeling naar de derde kolom.
We kunnen een 3  3 determinant ook 'naar een rij te ontwikkelen', bijv. naar de
tweede rij:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
b
c2  a2  1
b3
c3
c1
a
 b2  1
c3
a3
c1
a
 c2  1
c3
a3
b1
.
c3
Plussen en minnen worden bij het ontwikkelen naar een kolom of rij bepaald aan de
hand van het 'schaakbordpatroon':
  
  
  
Ga na dat we ook een n  n determinant op soortgelijke wijze naar een rij of kolom
kunnen ontwikkelen. Het schaakbordpatroon van zo'n determinant heeft een + in de
linkerbovenhoek.
a1 b1
Opgave. Toon aan: 0 b2
0 b3
a11
0

0
c1
b
c2  a1  2
b3
c3
c2
en algemener
c3
a12  a1n
a22  a2 n
a22  a2 n
 a11  
 .


an 2  ann
an 2  ann
40
Lineaire Algebra
De hoofddiagonaal van een matrix is de diagonaal van linksboven naar rechtsonder
met daarop de getallen a11 , a22 , a33 ,... . Een matrix met louter nullen onder de
hoofddiagonaal noemen we een bovendriehoeksmatrix. Een matrix met louter nullen boven de hoofddiagonaal noemen we een onderdriehoeksmatrix. Bij een diagonaalmatrix zijn alle getallen buiten de hoofddiagonaal gelijk aan 0.
Opgave. Ga na dat de determinant van een n  n - driehoeksmatrix gelijk is aan het
product van de elementen op de hoofddiagonaal. Dit geldt i.h.b. voor een diagonaalmatrix. Toon aan dat het matrixproduct van twee n  n - bovendriehoeksmatrices
weer een n  n - bovendriehoeksmatrix is.
Opgave. Toon aan dat det( A, B, C )   A, B  C  voor A, B, C  3 . [Voor de definitie van het uitproduct B  C in 3 zie 1.6.]
2.5 De oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen.
We bekijken een stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen x1 ,..., xn :
a11 x1    a1n xn  b1

(*) 

a x    a x  b
mn n
m
 m1 1
De coëfficiëntenmatrix
 a11  a1n 
L   
 
 am1  amn 
van het stelsel bepaalt een lineaire  n - m -afbeelding L. Met L en B  (b1 ,..., bm )
kunnen we (*) dan korter noteren als L( X )  B . De oplossingen van (*) bestaat uit
de punten X   n die door L op het punt B   m afgebeeld worden. Er zijn geen
oplossingen als B  L( n ) . Als B wel tot de beeldruimte van L behoort, dan vor-
men de oplossingen een affiene deelruimte W van  n . Zie 1.5.8. W heeft de kern
van L als richtingsruimte, dus dim(W )  dim(ker( L)) . Volgens dimensiestelling
1.4.5 geldt
dim(Ker( L))  dim(Im( L))  dim(W )  rang( L)  n
ofwel
dim(W )  n  rang( L) .
Rij r van L correspondeert met de r-de vergelijking ar1 x1    ar n xn  br van het
stelsel (*). Met A r  (ar1 ,..., ar n ) kunnen we deze vergelijking schrijven als
 A r , X   br .
2 Lineaire afbeeldingen
41
Is Ak de k-de kolom van L, dan geldt kolommenrang = rijenrang ofwel
rang( L)  dim(span{ A1 ,..., An })  dim(span{ A1 ,..., Am }) .
Hieruit blijkt dat rang( L)  min(m, n) . Als rang( L)  min(m, n) , dan heeft L
maximale rang,
Als rang( L)  m , dan n  m en noemen we (*) een onafhankelijk stelsel lineaire
vergelijkingen. Het stelsel heeft dan zeker een oplossing, want dan is ook de kolommenrang van L gelijk aan m, d.w.z. de dimensie van de beeldruimte L( n ) is
gelijk aan m. Dat betekent dat L( n )   m en B behoort dus tot de beeldruimte
van L.
Voorbeeld. Als m  1 , dan rang( L)  1  a11 ,..., a1n zijn niet allemaal gelijk aan 0.
De oplossingen van a11 x1    a1n xn  b1 vormen dan een affiene deelruimte W
van  n
met dimensie n  1 , m.a.w. W is een hypervlak in  n . Als
rang( L)  m  1 , dan is W de doorsnede van m hypervlakken in  n .
Voorbeeld. Bekijk het stelsel
a1 x  b1 y  c1 z  d1

(#) a2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
Neem aan dat (ai , bi , ci )  (0,0, 0) voor i  1, 2,3 . In 3 stellen de vergelijkingen in
(#) drie vlakken V1 , V2 resp. V3 voor. Een oplossing X ( x, y, z ) van (#) is een gemeenschappelijk punt van deze 3 vlakken. Mogelijk is er geen gemeenschappelijk
punt. Dit laatste is bijv. het geval als twee van de 3 vlakken evenwijdig zijn en niet
samenvallen. Er is ook geen oplossing als de snijlijn  van twee van de vlakken
evenwijdig is met het derde vlak en niet in dit vlak ligt. Als de rang van de coëfficientenmatrix L van het stelsel (#) gelijk is aan 1, dan zijn de vlakken V1 , V2 en V3
evenwijdig, mogelijk vallen 2 of 3 van deze vlakken samen. Als rang( L)  2 , dan
hebben 2 van de vlakken een snijlijn  . Deze snijlijn is evenwijdig met het derde
vlak of ligt in het derde vlak. Als rang( L)  3 , dan hebben 2 van de vlakken een
snijlijn  en lijn  snijdt het derde vlak in precies één punt P. Dit punt P is dan het
enige gemeenschappelijke punt van de 3 vlakken.
Opgave. Los de volgende stelsels op:
 x  2 y  z  10
x  2 y  z  0


(a)  x  y  3z  5
(b)  x  y  3z  0
2 x  5 y  6 z  11
2 x  y  2 z  0


 x  2 y  z  10

(c)  x  y  3z  5 .
2 x  y  2 z  15

42
Lineaire Algebra
Samengevat:
2.5.1 Het stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen x1 ,..., xn gegeven
door:
a11 x1    a1n xn  b1

(*) 

a x    a x  b
mn n
m
 m1 1
 a11  a1n 
kunnen we met de  - -afbeelding L   
  en B  (b1 ,..., bm )
 am1  amn 
n
m
schrijven als L( X )  B en ook als x1 A1    xn An  B .
Als rang( L)  m , dan n  m en (*) is een onafhankelijk stelsel lineaire vergelijkingen. De oplossingen van het stelsel vormen een affiene deelruimte W van  n . W
heeft de kern van L als richtingsruimte en dim(W )  dim(ker( L))
 n  rang( L)  n  m .
Is L de coëfficiëntenmatrix van stelsel (*) en rang( L)  m , dan is minstens één van
A ,..., A lineair afhankelijk van de andere punten in de rij. [ A  (a ,..., a ) voor
1
m
r
r1
rn
r  1,..., m .] We kunnen aannemen dat dit A m is [verwissel desnoods de volgorde
van de vergelijkingen in (*), die volgorde doet er niet toe]. Dan zijn er getallen
c1 ,..., cm 1 zo dat Am  c1 A1    cm 1 Am 1 . Als dan ook bm  c1b1    cm 1bm 1 ,
dan kunnen we de onderste vergelijking uit (*) net zo goed weglaten, want die volgt
dan al uit de bovenste m  1 vergelijkingen. We noemen in dit geval (*) een afhankelijk stelsel lineaire vergelijkingen. We bekijken dan het stelsel dat overblijft na
het weglaten van de onderste vergelijking opnieuw. Als echter
bm  c1b1    cm 1bm 1 ,
dan kan het stelsel helemaal geen oplossing hebben, het punt B bevindt zich dan
niet in de beeldruimte van L. We noemen (*) dan een strijdig stelsel. Er geldt zeker
rang( L)  m , wanneer m  n .
Als rang( L)  m en m  n , dan is L omkeerbaar. L( X )  B heeft dan precies één
oplossing. Deze oplossing wordt gegeven door X  L1 ( B) . Is L omkeerbaar, dan
det( L)  det( A1 ,..., An )  0 en de coördinaten van X worden gegeven door de regel
van Cramer. We schrijven dan (*) als x1 A1    xn An  B en krijgen
det( B, A2 ,..., An )  det( x1 A1    xn An , A2 ,..., An )  x1  det( A1 , A2 ,..., An ) .
Dat geeft x1 
x2 
det( B, A2 ,..., An )
en op dezelfde manier vinden we
det( A1 , A2 ,..., An )
det( A1 , B,..., An )
det( A1 , A2 ,..., B)
, ... , xn 
.
det( A1 , A2 ,..., An )
det( A1 , A2 ,..., An )
2 Lineaire afbeeldingen
43
Hiermee is de volgende stelling bewezen.
2.5.2 Regel van Cramer. Het stelsel van n lineaire vergelijkingen in n variabelen
x1 ,..., xn gegeven door:
a11 x1    a1n xn  b1

(*) 

a x    a x  b
nn n
n
 n1 1
ofwel x1 A1    xn An  B
heeft precies één oplossing ( x1 ,..., xn )  det( A1 ,..., An )  0 .
Als det( A1 ,..., An )  0 , dan wordt de oplossing gegeven door
x1 
det( B, A2 ,..., An )
det( A1 , B,..., An )
det( A1 , A2 ,..., B)
, x2 
, ..., xn 
.
det( A1 , A2 ,..., An )
det( A1 , A2 ,..., An )
det( A1 , A2 ,..., An )
Uit de regel van Cramer volgt de volgende formule voor de inverse van een omkeerbare lineaire afbeelding:
2.5.3 A1 ,..., An   n en det( A1 ,..., An )  0 , dan is de lineaire afbeelding
L  [ A1 ,..., An ] een 1-1 afbeelding van  n op zichzelf en voor X   n geldt
L1 ( X ) 
1
 (det( X , A2 ,..., An ),..., det( A1 ,..., An 1 , X )) .
det( L)
 2 1 1
Voorbeeld. Stel L  1 2 1  . Ga na dat det( L)  6 . Dus L heeft een inverse
 0 3 1 
L1 . Er geldt L( X )  Y  X  L1 (Y ) . Met X  ( x1 , x2 , x3 ) en Y  ( y1 , y2 , y3 )
y1
volgt uit 2.5.3 dat det( L)  x1  y2
y3
2
Evenzo det( L)  x2  1
0
2 1
det( L)  x3  1 2
0 3
y1
y2
y3
1 1
2 1   y1  4 y2  3 y3 .
3 1
1
1   y1  2 y2  3 y3 en
1
y1
y2  3 y1  6 y2  3 y3 .
y3
 x1   1 4 3   y1 
 1 4 3 
1 






1
Dus det( L)  X  6   x2    1 2 3  y2  , dus L     1 2 3 .
6
 x3   3 6 3   y3 
 3 6 3 
44
Lineaire Algebra
Als det( L)  0 , dan heeft L( X )  B misschien geen oplossing. Wel heeft de vergelijking L( X )  O altijd X  O als oplossing. X  O is echter niet de enige oplossing, als det( L)  0 . Als det( L)  0 , dan bevat Ker( L) een element X  O . Met
deze X geldt L( P  X )  L( P)  L( X )  L( P) , dus L is niet 1-1 .
Als rang( L)  m , dan n  m en kunnen we A1 ,..., An uitdunnen tot een onafhankelijke rij A1,..., Am met det( A1,..., Am )  0 . De bijbehorende matrix
  a1m 
 a11

L   
 
 am 1  amm
 
is een m  m -deelmatrix van L die ontstaan is uit de matrix van L door het schrappen van n  m kolommen, det( L)  det( A1,..., Am ) is een m  m onderdeterminant
van L.
2.6 Gauss-eliminatie. Een praktische manier om een concreet gegeven stelsel lineaire vergelijkingen
a11 x1    a1n xn  b1

(*) 

a x    a x  b
mn n
m
 m1 1
op te lossen is een algoritme dat Gauss-eliminatie heet. Door Gauss-eliminatie
wordt het stelsel (*) op een systematische manier vereenvoudigd tot een gelijkwaardig stelsel dat op een simpele manier op te lossen is. De enige problemen die
zich hierbij kunnen voordoen, zijn problemen die ontstaan door afronden. Met dat
soort problemen houden we ons hier niet bezig, wij gaan er van uit dat we hier kunnen rekenen met exacte getallen.
Het stelsel (*) wordt gerepresenteerd door de aangevulde matrix
 a11  a1n
( L; B)   

 am1  amn
b1 
  .
bm 
Op de rijen van ( L; B) passen we de volgende elementaire rijbewerkingen toe:
(R1) verwisselen van twee rijen,
(R2) c maal een rij optellen bij een andere rij,
(R3) een rij vermenigvuldigen met een getal c  0 .
2 Lineaire afbeeldingen
45
Zoek nu in matrix L van links naar rechts naar de eerste kolom die een getal  0
bevat. Is zo'n kolom er niet, dan bevat L louter nullen en we stoppen. Bevat L getallen  0 , dan bewerken we de eerste kolom met een getal  0 die we tegenkomen
als volgt: (1) ga in deze kolom van boven naar beneden en neem het eerste getal
a  0 dat we tegenkomen en (2) zorg er, indien nodig, door verwisselen van twee
rijen in matrix ( L; B) voor dat dit getal a het bovenste getal van zijn kolom is.
(3) Met behulp van rijbewerking (R2) op ( L; B) kunnen we er nu voor zorgen dat
er in de kolom van L met bedoeld getal a onder deze a alleen nog maar nullen komen te staan. [Hoe? Bekijk desnoods eerst het voorbeeld hieronder.] Behandeling
(3) van matrix ( L; B) noemen we het 'naar beneden schoonvegen' van de kolom
onder a. De nieuw ontstane matrix ( L; B) zullen we ook weer aanduiden als ( L; B) ,
hoewel de getallen in deze matrix inmiddels door de toegepaste bewerkingen veranderd zijn.
De nieuwe matrix ( L; B) heeft de vorm
0  *   
0
0 #  # 
( L; B)  

 



0  0 #  # 
waarin het sterretje een getal  0 aanduidt. De kolommen links van de kolom met
het sterretje bevatten louter nullen.
Het is overigens mogelijk dat laatstgenoemde kolommen ontbreken en dat het sterretje in de linkerbovenhoek van matrix ( L; B) staat. De kolom met het sterretje,
eventuele kolommen links van deze kolom en ook de bovenste rij van ( L; B) beschouwen we nu als afgehandeld. Vervolgens passen we hetzelfde recept toe op de
overblijvende deelmatrix van ( L; B) die wordt aangegeven met het teken # in zijn
hoekpunten. Door deze behandeling gaat de deelmatrix
#  #

 

 #  # 
over in een deelmatrix van het zelfde type als de laatste matrix ( L; B) hierboven.
Daarna herhalen we het recept weer met de volgende deelmatrix. Etc. Net zo lang
totdat er geen te behandelen deelmatrix meer over is, omdat we op de onderste rij
zijn aangekomen of omdat we de laatste kolom van L al naar beneden schoongeveegd hebben.
Het resultaat van deze behandeling is uiteindelijk een matrix ( L; B) met L in zogenaamde trapvorm. Een matrix in trapvorm, ook 'echelonvorm' genoemd, kunnen we
als volgt beschrijven. Bevat een rij van de matrix elementen  0 , dan heet het eerste element  0 in de rij het kopelement van de rij. Een rij met louter nullen heeft
geen kopelement.
46
Lineaire Algebra
Bij een matrix in trapvorm zijn de rijen van boven naar beneden zodanig geordend
dat de rijen met een kopelement, indien aanwezig, boven de rijen zonder kopelement staan. Voor de rijen met kopelement geldt: het kopelement van iedere volgende rij staat minstens één kolom meer naar rechts dan het kopelement van de vorige
rij. Om een matrix in trapvorm te brengen hebben we alleen (R1) en (R2) nodig.
Door toepassen van (R3) kunnen we er, indien gewenst, voor zorgen dat de kopelementen van een matrix ( L; B) in trapvorm allemaal gelijk zijn aan 1.
Opgave. Toon aan dat we rijbewerking (R1) tot stand kunnen brengen door uitsluitend (R2) en (R3) toe te passen. (R1) hebben we dus niet echt nodig.
Voorbeeld. Stel een stelsel (*) van 3 lineaire vergelijkingen in de variabelen
x1 ,..., x4 wordt gerepresenteerd door
1
0

( L; B)   2 2
 4 0
3 2 0 
0 0 1
3 5 2 
Verwisselen van de rijen 1 en 2 geeft:
 2 2
( L; B)   0
1
 4 0
1
3 2 0 
3 5 2 
0
0
Daarna tellen we 2 keer de bovenste rij bij de onderste op ofwel we trekken 2
keer de bovenste rij van de onderste af. Dat levert:
 2 2
( L; B)   0
1
 0 4
0 0 1
3 2 0  .
3 5 0 
Daarna gaan we verder met de 2  4 deelmatrix rechtsonder. We trekken 4 keer de
tweede rij van ( L; B) (ofwel de bovenste rij van de deelmatrix) af van de onderste
rij. We krijgen zo:
 2 2
( L; B)   0
1
 0 0
0 1
3 2 0 
 9 13 0 
0
Nu zijn we klaar. De matrix L links van de streep is in trapvorm. Iedere rij heeft een
kopelement. De kopelementen van L zijn 2, 1 en -9. De laatste matrix ( L; B) staat
voor het stelsel
1
2 x1  2 x2

x2  3x3  2 x4  0


 9 x3  13x4  0

2 Lineaire afbeeldingen
47
Dit stelsel vergelijkingen is gelijkwaardig met het oorspronkelijke stelsel (*) en is
13
eenvoudig op te lossen. Begin onderaan en stel x4  t . Dan x3   t . Substitutie
9
39
21
 t  2t 
t
in de tweede vergelijking geeft vervolgens x2  3x3  2 x4 
9
9
1
1 42
en uit de eerste vergelijking vinden we x1   2 x2  
 t . De oplossingen
2
2 9
21 13 
 1 42
van het stelsel zijn de punten ( x1 , x2 , x3 , x4 )    t ,  t , t , t  met t   .
9 9 
2 9
Vervangen we t door 9u dan zien we dat de oplossingen ook beschreven worden
door
( x1 , x2 , x3 , x4 )  12 , 0,0,0  u  (42, 21,13,9) met u   .


De oplossingsruimte is een lijn in  4 .
Algemeen geldt:
Het door ( L; B) , met L in trapvorm, gerepresenteerde stelsel lineaire vergelijkingen
heeft geen oplossing, als in een rij r van ( L; B) rechts van de streep een getal
br  0 staat, terwijl de elementen van L in dezelfde rij r allemaal gelijk aan 0 zijn.
Het stelsel wordt dan strijdig genoemd. Is zo'n rij er niet, dan is de oplossingsruimte
van het stelsel een affiene deelruimte van  n met dimensie n  rang( L) . Met L in
trapvorm geldt: rang( L)  het aantal kopelementen in L. Ga dit na. Door toepassen
van de elementaire rijbewerkingen (R1), (R2) en (R3) op ( L; B) is de oplossingsruimte van het corresponderende stelsel lineaire vergelijkingen niet veranderd.
Opmerking. Op dezelfde manier kunnen we simultaan bijv. L( X )  B, L( X )  C
en L( X )  D oplossen door de elementaire rijbewerkingen toe te passen op
 a11  a1n
( L; B, C , D )   

 am1  amn
b1

bm
c1

cm
d1 
  .
dm 
Met behulp van de elementaire rijbewerkingen kunnen we ook de rang van een
m  n -matrix L (en de bijbehorende lineaire  n - m -afbeelding) vaststellen. De
rang van L verandert niet door deze bewerkingen, dus de rang van L is gelijk aan de
rang van zijn trapvorm. De rang van een matrix in trapvorm is direct af te lezen. Die
is gelijk aan het aantal rijen met een kopelement. Is L een vierkante n  n -matrix,
dan kunnen we op deze manier ook de determinant det( L) berekenen. Door (R2)
verandert de waarde van det( L) niet, door (R1) verandert alleen het teken van de
determinant en als we bij toepassen van (R3) een rij vermenigvuldigen met het getal
c  0 , dan wordt daardoor de determinant van de matrix ook met c vermenigvuldigd. Als we bij het omzetten van L naar een trapvorm bijhouden hoe vaak we
(R1) toegepast hebben en met welke getallen c we (R3) toegepast hebben, dan kunnen we uit de determinant van de trapvorm eenvoudig de determinant van de oorspronkelijke matrix terugvinden.
48
Lineaire Algebra
Een n  n -matrix in trapvorm is een bovendriehoeksmatrix, dus zijn determinant is
gelijk aan het product van de getallen op de hoofddiagonaal.
Voorbeeld.
 1 1 3
L   2 0 4 
 3 5 7 
We berekenen det( L) door L in trapvorm te brengen.
Eerst krijgen we [d.m.v. rij 2  2  rij1 en rij 3  3  rij1 ]:
 1 1 3
L  0 2 2 
0 8 16 
[De veranderde matrix noemen we nog steeds L.]
Verder met rij 3  4  rij 2 :
 1 1 3
L  0 2 2 
0 0 8
Dus det( L)  1  2  8  16 [verwisselen van rijen was niet nodig].
 1 1 3
Voorbeeld. L   2 0 4  en det( L)  16 , zoals we net zagen.
 3 5 7 
De bijbehorende lineaire afbeelding L is dus omkeerbaar. Er geldt
L( X )  Y  X  L1 (Y ) . Om de matrix van L1 te berekenen gaan we als volgt te
werk. Denk aan L( X )  Y als het stelsel.
x1  x2  3x3  y1  0 y2  0 y3


2 x1  0 x2  4 x3  0 y1  1 y2  0 y3
 3x  5 x  7 x  0 y  0 y  1y
1
2
3
1
2
3

Noteer dit in matrixvorm als
 1 1 3 1 0 0 
 2 0 4 0 1 0 


 3 5 7 0 0 1
2 Lineaire afbeeldingen
49
Breng dit door elementaire rijbewerkingen in de vorm:
 1 0 0 b11 b12
0 1 0 b
21 b22

0 0 1 b31 b32
b13 
b23 
b33 
 b11 b12
Dit laatste staat dan voor X  L (Y ) , dus L  b21 b22
 b31 b32
1
1
b13 
b23  .
b33 
Met dezelfde stappen als in het vorige voorbeeld krijgen we eerst:
 1 1 3 1 0 0 
0 2 2 2 1 0  en daarna


0 8 16 3 0 1
 1 1 3 1 0 0 
0 2 2 2 1 0  .


0 0 8 5 4 1
 1 1 3 1 0 0 


De onderste rij delen door 8 geeft: 0 2 2 2 1 0  .
0 0
1 85 84 81 

Tel 2 keer de onderste rij op bij de tweede rij en tel 3 keer de onderste rij op bij de
bovenste rij. Daardoor wordt de derde kolom naar boven toe schoongeveegd.
 1 1 0

We krijgen zo: 0 2 0
0 0 1

23
8
26
8
5
8
12
8
2
4
8
3
8
2
8
1
8
.
Deel nu de middelste rij door 2 en tel het resultaat op bij de bovenste rij.
10
1 0 0
8

We eindigen dan met: 0 1 0  13
8
5
0 0 1
8

 108

Dus L1    13
8
 5
 8
4
8
1
4
8
2
8

 81 
1
8
4
8
1
4
8
2
8

 81 
1
8
.
 10 4 2 
1 
   13 8 1 .
8
 5 4 1
Opgave. Bereken L1 ook op de manier van het na 2.5.3 gegeven voorbeeld.
50
Lineaire Algebra
2.7 Elementaire lineaire transformaties.
Corresponderend met de elementaire bewerkingen op de rijen van een matrix kunnen we ook elementaire kolombewerkingen op een matrix toepassen.
(K1) verwisselen van twee kolommen,
(K2) c maal een kolom optellen bij een andere kolom,
(K3) een kolom vermenigvuldigen met een getal c  0 .
Net als (R1) is ook (K1) overbodig, want het verwisselen van 2 kolommen kunnen
we tot stand brengen d.m.v. (K2) en (K3) [hoe?]. Verder kunnen we (K2) vervangen door: (K2*) een kolom optellen bij een andere kolom. De combinatie van (K2*)
met (K3) geeft eenvoudig (K2) terug.
De elementaire kolombewerkingen van een n  n -matrix L  [ A1 ,..., An ] kunnen we
krijgen door de elementaire rijbewerkingen op de getransponeerde matrix LT toe te
passen. Maar het kan ook als volgt. Stel S  [ E1 ,..., cEi ,..., En ] met c  0 en cEi in
kolom i van matrix S. Dan L  S  [ L( E1 ),..., cL( Ei ),..., L( En )]  [ A1 ,..., cAi ,..., An ] .
Het matrixproduct L  S heeft dus het effect van een kolombewerkingen van het
type (K3). Evenzo krijgen we met T  [ E1 ,..., Ei  E j ,..., En ] , waarin j  i en
Ei  E j kolom i van matrix T is, het effect
L  T  [ L( E1 ),..., L( Ei )  L( E j ),..., L( En )]  [ A1 ,..., Ai  A j ,..., An ] ,
dat we ook met (K2*) krijgen.
2.7.1 Definitie. Onder een elementaire lineaire transformatie van  n verstaan we
een lineaire  n - n -afbeelding van het type (1) S  [ E1 ,..., cEi ,..., En ] met c  0 en
cEi in kolom i van matrix S, of van het type (2) T  [ E1 ,..., Ei  E j ,..., En ] , waarin
j  i en Ei  E j kolom i van matrix T is.
2.7.2 Met S en T uit 2.7.1 en de n  n -matrix L  [ A1 ,..., An ] geldt:
L  S  [ A1 ,..., cAi ,..., An ] en L  T  [ A1 ,..., Ai  A j ,..., An ] .
 p1 q1 r1 
Opgave. Bereken de matrixproducten L  S , L  T1 en L  T2 met L   p2 q2 r2  ,
 p3 q3 r3 
1 0 0 
1 1 0 
1 0 0 




S  0 1 0  , T1  0 1 0  en T2  0 1 0  . Bereken ook S 1 , T11 en T21 .
0 0 3
0 0 1 
1 0 1 
2 Lineaire afbeeldingen
51
rtin
ga
Uit het bovenstaande blijkt dat we de elementaire kolombewerkingen op een n  n matrix L ook kunnen uitvoeren d.m.v. matrixproducten L  S en L  T met S en T
van type (1) resp. type (2) uit stelling 2.7.1. In de vorige paragraaf zagen we dat we
de matrix van een lineaire transformatie L van  n door elementaire rijbewerkingen
kunnen omvormen tot de eenheidsmatrix I .
oo
Dit kan natuurlijk ook met behulp van elementaire kolombewerkingen, want elementaire rijbewerkingen hebben op LT hetzelfde effect als elementaire kolombewerkingen op L. Hieruit volgt dat er bij L elementaire lineaire transformaties
M1 ,..., M p bestaan zo dat L  M1   M p  I en dus L  M p 1   M 11 .
eP
De inverse van een elementaire lineaire transformatie S  [ E1 ,..., cEi ,..., En ] van
1
type (1) is S 1  [ E1 ,...,  Ei ,..., En ] en dus een elementaire lineaire transformatie
c
van hetzelfde type. De inverse van een elementaire lineaire transformatie
T  [ E1 ,..., Ei  E j ,..., En ] van type (2) is T 1  [ E1 ,..., Ei  E j ,..., En ] . We kunnen
T 1 schrijven als de samenstelling T  S met S  [ E1 ,..., cE j ,..., En ] en c  1 .
Hiermee is aangetoond:
ins
2.7.3 Een lineaire transformatie van  n kan tot stand gebracht worden door een
eindig aantal elementaire lineaire transformaties na elkaar uit te voeren.
Opmerking. Als L  M1   M p . dan det( L)  det( M 1 )    det( M p ) .
Zijn M1 ,..., M p elementaire lineaire transformaties, dan zijn hun matrices drie-
Co
py
rig
ht
R
hoeksmatrices. De determinant van een driehoeksmatrix is gelijk aan het product
van de getallen op de hoofddiagonaal. Voor S en T uit 2.7.1 geldt det( S )  c en
det(T )  1 .