Page 1 Verzamelingen De natuurlijke getallen { } 0,1,2,3,4,... = ¥ 0

Verzamelingen
De natuurlijke getallen
¥ = { 0,1, 2,3, 4,...}
¥ 0 = verzameling van de strikt natuurlijke getallen
De gehele getallen
¢ = { ..., −3, −2, −1,0,1, 2,3,...}
¢ 0 = verzameling van de strikt gehele getallen
¢ + = verzameling van de positieve gehele getallen
¢ − = verzameling van de negatieve gehele getallen
¢ +0 = verzameling van de strikt positieve gehele getallen
¢ −0 = verzameling van de strikt negatieve gehele getallen
De rationale getallen
1
 −3

¤ =  ; −0,25; −1;0; ;0,3;1;... 
4
5

¤ 0 = verzameling van de strikt rationale getallen
¤ + = verzameling van de positieve rationale getallen
¤ − = verzameling van de negatieve rationale getallen
¤ +0 = verzameling van de strikt positieve rationale getallen
¤ −0 = verzameling van de strikt negatieve rationale getallen
¥ ⊂¢⊂¤
Formularium wiskunde KAM
Getallenleer1
Eigenschappen van bewerkingen in een verzameling.
Eigenschappen van de optelling in ¥
• De optelling in ¥ is overal gedefinieerd:
• De optelling in ¥ is associatief :
•
•
0 is het neutraal element voor de optelling in ¥
De optelling in ¥ is commutatief:
∀a , b ∈ ¥ : a + b ∈ ¥
∀a , b ∈ ¥ : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
∀a , b ∈ ¥ : a + b = b + a
uitbreiding: eigenschappen van de optelling in ¢
idem +
• Er bestaat in ¢ voor elk geheel getal een symmetrisch element voor de optelling = het
tegengestelde : a + ( −a ) = 0 = − a + a
Eigenschappen van de optelling in ¤ :
idem als in ¢
Eigenschappen van de vermenigvuldiging in ¥
• De vermenigvuldiging in ¥ is overal gedefinieerd:
• De vermenigvuldiging in ¥ is associatief :
∀a, b ∈ ¥ : a.b ∈ ¥
∀a, b ∈ ¥ : ( a.b ) .c = a.(b.c )
•
•
1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in ¥
0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in ¥
∀a, b ∈ ¥ : a.b = b.a
• De vermenigvuldiging in ¥ is commutatief:
Uitbreiding: Eigenschappen van de vermenigvuldiging in ¢ :
•
idem als in ¥
Eigenschappen van de vermenigvuldiging in ¤ :
Idem +
¤
Er bestaat in
voor elk rationaal getal een symmetrisch element voor de
1
1
vermenigvuldiging = het omgekeerde: a. = 1 = .a
a
a
Formularium wiskunde KAM
Getallenleer2
De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling en de aftrekking
a. ( b +c ) = a.b +a.c
∀a, b, c ∈ ¤ :
a. ( b −c ) = a.b −a.c
Som maal som
∀a, b, c, d ∈ ¤ :
( a +b ) ( c +d )
=a.c +a.d +b.c +b.d
product maal getal
∀a, b, c, m ∈ ¤ :
( a.b.c ) .m =( a.m ) .b.c
Som en verschil delen door een getal
∀a, b ∈ ¤ , ∀c ∈ ¤ 0 :
( a + b) : c = a : c + b : c
( a − b) : c = a : c − b : c
Een product delen door een getal
∀a, b ∈ ¤ , ∀m ∈ ¤ 0 :
a.b : m =a : m.b =a.( b : m )
Een getal delen door een product
∀a , b ∈ ¤ 0 , ∀m ∈ ¤ :
Formularium wiskunde KAM
m : ( a.b ) =m : a : b
Getallenleer3
Bewerkingen met getallen
Reken- en tekenregels voor de optelling:
•
Hebben beide getallen hetzelfde toestandsteken:
behoud dit teken en tel de absolute waarde op.
•
Hebben beide getallen een verschillend toestandsteken:
Neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde en trek
kleinste absolute waarde af van de grootste absolute waarde
•
Regel der haken
a + ( b + c) = a + b + c
a + ( b − c) = a + b − c
a − ( b + c) = a − b − c
a − ( b − c) = a − b + c
Tekenregels voor de vermenigvuldiging
( +) ( +) = +
( −) ( −) = +
( +) ( −) = −
( −) ( +) = −
Tekenregel voor de deling
( +) :( +) = +
( −) :( −) = +
( +) :( −) = −
( −) :( +) = −
Formularium wiskunde KAM
Getallenleer4
Machten
•
Definitie:
n ≥ 2 en n ∈ ¥
a n =a.a.a.....a
a1 = a
a0 = 1
•
Tekenregel:
Grondtal +
macht +
Grondtal -
even exponent : macht +
oneven exponent : macht –
•
Macht van een breuk:
n
∀a ∈ ¤ , ∀b ∈ ¤ 0,∀n ∈ ¥ :
•
n
a a
  = n
 b b
Nde macht van decimaal getal:
1) macht van getal zonder decimaal
2) aantal decimalen maal n
Vierkantswortels
•
Definitie:
•
Aantal vierkantswortels
0
strikt – getal
strikt + getal
Formularium wiskunde KAM
b is de vierkantswortel van a
⇔ b2 = a
één: nl. 0
geen
2 vierkantswortels die elkaars tegengestelde zijn
Getallenleer5
•
vierkantswortel van een breuk
∀a ∈ ¤ + , ∀b ∈ ¤ +0 :
•
a a
=
b b
vierkantswortel van decimaal getal
1) even aantal decimalen
2) neem vierkantswortel van getal zonder
decimaal
3) aantal decimalen : 2
Formularium wiskunde KAM
Getallenleer6
Volgorde van de bewerkingen
1. Haken
2. de machtsverheffing en vierkantsworteltrekking van links naar
rechts
3. de vermenigvuldiging en de deling van links naar rechts
4. de optelling en de aftrekking van links naar rechts
Breuken
•
Gelijkheid van breuken
a
c
= ⇔a.d = b.c
b
d
∀a, c ∈ ¢, ∀b, d ∈ ¢ 0 :
•
Hoofdeigenschap van breuken
a a.m
=
b b.m
∀a ∈ ¢ , ∀b, m ∈ ¢ 0 :
•
Bewerkingen met breuken
•
Som
-
•
maak eerst de breuken gelijknamig
behoud de noemer en tel de tellers op.
Product
∀a, c ∈ ¢, ∀b, d ∈ ¢ 0 :
•
a c a.c
. =
b d b.d
Quotiënt
∀a ∈ ¢ , ∀b, c, d ∈ ¢ 0 :
Formularium wiskunde KAM
a c a d a.d
: = . =
b d b c b.c
Getallenleer7
Kenmerken van deelbaarheid
Kenmerk van deelbaarheid door 2:
Laatste cijfer even
Kenmerk van deelbaarheid door 5:
Laatste cijfer 0 of 5
Kenmerk van deelbaarheid door 4 :
Getal voorgesteld door laatste 2 cijfers
deelbaar door 4
Kenmerk van deelbaarheid door 25:
Getal voorgesteld door laatste 2 cijfers
deelbaar door 25
Kenmerk van deelbaarheid door 9:
Som van de cijfers deelbaar door 9
Kenmerk van deelbaarheid door 3:
Som van de cijfers deelbaar door 3
Opzoeken grootste gemene deler.
Ontbind de getallen in priemfactoren
De ggd van deze getallen is het product van de gemeenschappelijke priemfactoren, elk met de
kleinste exponent waarmee ze voorkomt.
Opzoeken kleinste gemene veelvoud.
Ontbind de getallen in priemfactoren.
Het kgv. van deze getallen is het product van alle aangetroffen priemfactoren, elk met de
grootste exponent waarmee ze voorkomt.
Formularium wiskunde KAM
Getallenleer8