Inleiding astrofysica 2003 Straling 1
advertisement
Inleiding astrofysica 2003 Kwantumgetallen Het heelal bestaat uit ruimte, tijd en deeltjes kwantisatie in het dagelijks leven: bv. geslacht: man of vrouw ruimte en tijd worden beschreven door de algemene relativiteitsleer deeltjes worden beschreven door de kwantumfysica een atoom heeft een massa van ongeveer 10–27 kg een mens bestaat dus uit ongeveer 1029 atomen dus zijn er 1029! ≈ 101031 mogelijke configuraties toch maar 2 geslachten: kwantisatie Inleiding Astrofysica Elementaire deeltjes andere bekende voorbeelden: NB: in hun huidige vorm zijn kwantumfysica en relativiteit niet met elkaar te verenigen; dit is het grootste probleem van de huidige fysica Paul van der Werf Sterrewacht Leiden Het idee dat materie uit ondeelbare deeltjes bestaat is oud (de atomoi van Democritos) Wat zijn deze eigenschappen van deze elementaire deeltjes ? chemische verbindingen: bv. H2O, CO2 maar nooit bv HπO periodiek systeem: slechts 92 natuurlijke elementen elementaire deeltjes: slechts beperkt aantal verschillende deeltjes: ⇒ alle eigenschappen (massa, lading, …) van deze deeltjes gekwantiseerd spectra van elementen Inleiding astrofysica Inleiding astrofysica 2 3 Dualiteit golven-deeltjes: licht Wat is er elementair aan elementaire deeltjes? Newton: beschouwde licht als een deeltjes verschijnsel Wetten van Maxwell: licht is een electromagnetische golf Proef van Young (1801): interferentie van licht door een dubbele spleet ⇒ licht gedraagt zich als een golfverschijnsel elementaire deeltjes van dezelfde soort (bv. 2 electronen) zijn identiek, d.w.z. niet onderscheidbaar Dualiteit golven-deeltjes: licht Fysica van elementaire deeltjes Elementaire deeltjes en hun eigenschappen worden beschreven door de kwantumfysica: lichtsnelheid c = λν deeltjes beschreven als golven: dualiteit van golfkarakter en deeltjeskarakter gevolg van het golfkarakter: kwantisatie onzekerheid Inleiding astrofysica Straling 4 Inleiding astrofysica 5 Einstein (1901): foto-electrisch effect ⇒ licht gedraagt zich als een deeltjesverschijnsel Licht met frequentie ν bestaat uit deeltjes met energie E=hν, zg. fotonen. h = 6.6 · 10–34 J s is de constante van Planck Inleiding astrofysica 6 1 Inleiding astrofysica 2003 Impuls van fotonen De Schrödinger vergelijking Hypothese van De Broglie: Bij botsingen kan dus impuls overdracht plaatsvinden: hν, hν/c verstrooid foton hν0, hν0/c θ φ E e, p e dagelijks leven: λ << afmeting ⇒ verwaarloosbaar atomaire schaal: λ ~ afmeting ⇒ belangrijk Inverse Compton effect: deeltje draagt impuls en energie over aan foton ⇒ kortere golflengte 7 De golffunctie Inleiding astrofysica (hier 1-dimensionaal) met 2π = h V(x) is de potentiële energie (hier tijdsonafhankelijk) E is de energie Voorbeeld van oplossing voor V(x)=0: ψ ( x, t ) = A sin kx en E = A ψ (0) = ψ (a ) = 0 p 2m Inleiding astrofysica 9 Hoe meer verschillende impulsen (dus hoe minder goed de impuls bepaald is), hoe smaller de golffunctie (dus hoe preciezer de plaats van het deeltje bepaald is). Dit is een manifestatie van het onzekerheidsprincipe van Heisenberg. 0 x Inleiding astrofysica 2π p = λ 2 De impuls is dan onzeker. a 2π Oplossing Schrödingervergelijking: ψ ( x) = A sin kx met k = λ nπ ψ (a ) = 0 ⇒ k = (n = ±1, ±2,...) a π 2π p = ⇒ p=n k= kwantisatie van impuls λ a 10 waarin k = Omdat de Schrödingervergelijking lineair is, is een lineaire combinatie van deze oplossingen (met verschillende impuls!) ook een oplossing (superpositie beginsel). ψ = 0, x < 0 ψ = 0, x > a Golffunctie is continu: ⇒ bij iedere golffunctie hoort een bepaalde energie 2 2 k 2m Vorm van de golffuncties oneindig hoge potentiaal wanden Een deeltje zit in een 1-dimensionale doos met breedte a, d.w.z. de kans om het deeltje buiten de doos te vinden is 0. Voor de golffunctie geldt dus: Straling ∂ 2ψ ( x, t ) + V ( x )ψ ( x, t ) = Eψ ( x, t ) 2m ∂x 2 2 ⇒E=A 8 Deeltje in een potentiaalput Electromagnetische golf: energie ∝ (amplitude)2 Maar omdat licht zich als een deeltje gedraagt moet de energie ook een maat zijn voor de kans een foton aan te treffen. ⇒ Born interpretatie van de golffunctie: de kans om een deeltje aan te treffen in het volume dxdydzdt rond (x,y,z,t) is |ψ(x,y,z,t)|2dxdydzdt. ΝΒ: ψ is niet meetbaar en heeft geen eigen fysische betekenis;|ψ|2 wel! Inleiding astrofysica − experimentele bevestiging: dubbele spleet experiment met deeltjes i.p.v. licht blijkt ook interferentie op te leveren: golfkarakter van deeltjes Compton effect: foton draagt impuls over aan deeltje weggestoten deeltje en verliest zelf impuls en energie ⇒ langere golflengte Inleiding astrofysica niet alleen voor alle deeltjes, fotonen. inkomend foton Het golfkarakter van deeltjes wordt beschreven door de kwantumfysica. De golffunctie ψ wordt bepaald door de Schrödinger vergelijking: h De relatie λ = is geldig voor p Als deeltje heeft een foton ook een impuls: Deeltjes als golven hν p= c 11 Inleiding astrofysica 12 2 Inleiding astrofysica 2003 evenzo: onzekerheids beginsel van Heisenberg ∆t ⋅ ∆E ≥ h / 2 kwantisatie van impulsmoment In 3 dimensies: 2 kwantum getallen l en m (ingewikkeld) 13 Inleiding astrofysica Spectra van atomen 14 FCoulomb = Fcentripetaal ⇒ Ieder element heeft zijn eigen karakteristieke emissielijn spectrum. Waterstof: 1 1 1 = RH 2 − 2 , met n < m λ n m −1 Ze2 8πε 0 r vn eF Ze+ rn n 2 4πε 0 2 ⇒r= Z me e 2 m e v n rn = n 1 n = 1, 2 ,3,... Problemen: 1. alle energieën toegestaan ⇒ waarom lijnen spectrum? 2. electron zal electromagnetische golf uitzenden ⇒ verliest energie ⇒ botst tenslotte met proton ⇒ onstabiel ⇒ Rutherford model is onjuist. 1 2 ~0.05nm Ze 2 m v2 = e r 4πε 0 r 2 2 Ze2 Z 2 me e 4 1 =− 2 En = me v 2 − n 32πε 02 2 4πε 0 r 2 correct emissielijn spectrum Rydberg constante: RH = 10.96775810 µ m m0v 2 = Ze2 v2 = m0 ⇒ r 4πε 0r 2 Impulsmoment van een electron in een atoom is gekwantiseerd; daardoor is ook energie gekwantiseerd en zijn slechts bepaalde energieniveaus En mogelijk. De beweging van de electronen in deze gekwantiseerde banen is stralingloos. Een electron kan van een baan met lage (negatieve) bindingsenergie Em naar een baan met hogere (negatieve) bindingsenergie En springen, onder emissie van een foton. 1 2 15 absorptielijn spectrum Pauli-principe: twee identieke fermionen kunnen zich niet in dezelfde kwantumtoestand bevinden Bohr’s atoom model Rutherford’s model: electronen bewegen rond de (veel zwaardere) kern met lading Z in een cirkelbaan. emissielijn spectrum óf heeltallige spin (0,1,2,…): bosonen (bv. foton) óf halftallige spin (1/2, 3/2, 5/2,…): fermionen (bv. electron, proton, neutron) Inleiding astrofysica Rutherford's atoom model continuum spectrum Spin is iets subtiels; het gedraagt zich als impulsmoment, maar je moet je NIET voorstellen dat een deeltje om zijn eigen as draait! Spin is gekwantiseerd (kwantumgetal s); een electron kan maar 1 waarde van s hebben: s = ½. Alle deeltjes hebben Voorbeelden: Impuls en positie kunnen niet tegelijk nauwkeurig gemeten worden; als we positie precies zouden kunnen bepalen, zouden we niets meer over impuls weten, en andersom. Het duurt oneindig lang, om energie precies te meten. Breking met electronen: als de spleet smaller (positie nauwkeuriger) is, wordt het brekingspatroon breder (impuls minder nauwkeurig), Inleiding astrofysica Impulsmoment van een deeltje zelf noemen we spin. ∆x ⋅ ∆p ≥ h / 2 Spin en het Pauli-principe λl = 2π r (l = 1,2,3,...) 2π r h λ= = l p = = L rp l Precieze analyse laat zien dat de minimum waarde van het product van de onzekerheden in positie en impuls wordt gegeven door In 2 dimensies: Rotatie Onzekerheidsbeginsel van Heisenberg Inleiding astrofysica Straling 16 Inleiding astrofysica 17 Inleiding astrofysica = 13.6eV 18 3 Inleiding astrofysica 2003 Energie niveaus van waterstof Emissie en absorptie lijnen Ruimtehoeken Energie kan uit verschillende gebieden op een oppervlak vallen. Hoe kwantificeren we dit? grondtoestand: n=1 E1 = −13.6 eV aangeslagen toestanden: n>1 En = − In 2-D geven we een bereik van richtingen aan met de hoek dθ 13.6 eV n2 overgang van n = i naar n = j dθ 1 1 ∆E = 2 − 2 13.6 eV j i In 3-D geven we een bereik van richtingen aan met de ruimtehoek dΩ dΩ ds r dθ = Inleiding astrofysica 19 Inleiding astrofysica 20 Uitgebreide bron of puntbron? (monochromatische) intensiteit Iν [W m–2 sr–1 uitgebreide bron: we willen het ontvangen vermogen weten per ruimtehoek Hz–1] dΩ = dS r2 totale ruimte: dΩ =4π eenheid van ruimtehoek: steradiaal (sr) Inleiding astrofysica 21 Lichtkracht puntbron: we willen het totale ontvangen vermogen weten ⇒ integreer over ruimtehoek: flux dichtheid Een fundamentele grootheid is de totaal uitgestraalde energie per seconde: de (bolometrische) lichtkracht L [W]. Omdat 1 Watt een beetje klein is, gebruiken we vaak L als eenheid van lichtkracht. bv. bolometrische lichtkracht van de zon: L = 3.90 · 1026 W = 1 L van een typisch melkwegstelsel: L ~ 1037 W = 1010–11 L helderst bekende object in heelal: L ~ 1041 W = 1014–15 L dA Fν = ∫ Iν d Ω energie dE = Iν dΩ dν dt cosθ dA Iν als we niet geïnteresseerd zijn in spectrale informatie, kunnen we over ν integreren: flux F [W m–2] θ N.B. factor cos θ omdat geprojecteerde oppervlak telt. Inleiding astrofysica Straling We kunnen ook de spectrale informatie meenemen en een monochromatische lichtkracht Lν [W Hz–1] definiëren: 22 Inleiding astrofysica F = ∫ Fν dν L = ∫ Lν dν 23 Inleiding astrofysica Lν dΩ flux dichtheid Fν [W m–2 Hz–1] ontvangen vermogen per oppervlakte eenheid per ruimtehoek eenheid per frequentie eenheid totale cirkel: dθ =2π Intensiteit ds r dS r dν ν 24 4 Inleiding astrofysica 2003 Op afstand D van een isotrope bron met lichtkracht Lν wordt de flux dichtheid: Bν ,RJ (T ) = 25 Verschuivingswet van Wien Bν (T ) = Inleiding astrofysica Bij lage ν vinden we de Rayleigh-Jeans formule terug: Bν (T ) = 26 2.898 ⋅10 6 T [K] dus hoe heter, hoe meer energie uitgestraald kleur ⇒ kleur temperatuur bv. zon: λmax ≈ 550 nm (geel) ⇒ Tkleur ≈ 5300 K ⇒ kT (constante van Planck is verdwenen geen fotonen meer, golfkarakter overheerst) Inleiding astrofysica Heet F = σ T 4 met σ = 5.669 ⋅10 −8 Wm −2 K −4 dus hetere objecten zijn blauwer: 2v 2 kT , voor hv c2 27 Eigenschappen van sterren Stefan-Boltmann wet λmax [nm] = 2hν 3 1 c 2 ehν / kT − 1 [W m–2 sr–1 Hz–1] Planck functie geïntegreerd over frequentie en over ruimtehoek geeft flux F van een zwart lichaam: De golflengte waar Bν(T) zijn maximum heeft, hangt als volgt van T af: Straling 2v 2kT c2 Blijkt experimenteel alleen te kloppen bij lage ν (koude voorwerpen zenden geen zichtbaar licht uit…): de UV-katastrofe ⇒ klassieke fysica faalt! Oplossing: E=nhν gekwantiseerd (n=0,1,2,…) Lν 4π D 2 Inleiding astrofysica Inleiding astrofysica Kwantumfysica geeft voor de intensiteit van zwartlichaamsstraling de Planck functie: Ster spectra Fν = De Planck functie Zwartlichaamsstraling Klassieke fysica levert de Rayleigh-Jeans formule voor de intensiteit van de straling van een perfect zwart object: Inverse kwadraat wet Flux is de hoeveelheid energie die per seconde en per oppervlakte eenheid, op een oppervlak valt. lichtkracht ⇒ effectieve temperatuur Spectra ⇒ temperatuur, druk, chemische samenstelling, rotatie, magnetisch veld, massaverlies, inwendige structuur,… Kleur ⇒ temperatuur, straal Lichtkracht ⇒ temperatuur, straal Dubbelsterren ⇒ massa Variabiliteit ⇒ ……. ……… Koel 28 Inleiding astrofysica 29 Inleiding astrofysica 30 5 Inleiding astrofysica 2003 Helderheid van sterren: magnituden Magnituden Astronomen gebruiken vaak een nogal vreemd systeem om de helderheden van sterren uit te drukken: magnituden ∆ m = m1 − m 2 = − 2.5 log 10 +30 Inleiding astrofysica HDF 0 In de praktijk meten we fluxen altijd door een filter, bv. B (~400 nm, blauw) of R (~700 nm, rood); combinatie van 2 magnituden bij verschillende golflengtes geeft dan een kleur (ook wel kleurindex genoemd) –5 –10 –15 –20 –25 Sirius Volle maan Blote oog Venus Inleiding astrofysica Voor Vega zijn alle kleurindices 0. 32 Voorbeeld: gegevens van de zon m schijnbare magnitude M absolute magnitude afstand en meetkunde lichtkracht 3.8·1026 W m − M heet de afstandsmodulus afstand en flux op aarde Zonnespectrum Heet Koel zonnevlekken oppervlakte samenstelling 71% H, 27% He, 2% overige spectrum oppervlakte temperatuur 5800 K bv. Vega: m = 0 M = 0.5 (uit spectrum) ⇒ afstand 8 pc 33 straal 700000 km 2 2 planeetbanen De absolute magnitude wordt definieerd als de schijnbare magnitude van een object als het op een afstand van 10 pc zou staan. Inleiding astrofysica equatoriale rotatie 25 dagen polaire rotatie 33 dagen massa2·1030 kg FB FR B − R < 0: ster is blauw (d.w.z. blauwer dan Vega) B − R > 0: ster is rood (d.w.z. roder dan Vega) Zon N.B.: lagere (of meer negatieve) magnitude betekent helderder ster! Absolute magnituden r M − m = − 5log 10 pc +5 Verrekijker Pluto 31 F r m1 − m2 = −2.5log 1 = −2.5log 2 F2 r1 +10 B − R = − 2.5 log één ster (Vega) heeft per definitie magnitude m = 0 bij iedere golflengte m1 − m2 = −2.5log100 = −5 F1 r2 = F2 r1 +15 Het is ook een relatieve schaal: als F1 = 100 F2 L = 4π r12 F1 = 4π r22 F2 ⇒ +20 F1 F2 Dit is een moderne manier om de historische helderheidsaanduidingen van Hipparchos en Ptolemaeus weer te geven. Dit is een logaritmische schaal: +25 Kleuren Absorptielijnen in zonnespectrum (Fraunhofer, 1811) Het element Helium (He) werd voor het eerst ontdekt in het zonnespectrum wet van Stefan-Boltzmann r ⇒ m − M = 5log −5 1 pc Inleiding astrofysica Straling 34 Inleiding astrofysica 35 Inleiding astrofysica 36 6 Inleiding astrofysica 2003 Ster spectra Heet Koel Inleiding astrofysica Straling Dwergen, reuzen, superreuzen Lichtkracht, temperatuur en straal Temperaturen van sterren straal alleen direct meetbaar voor zon en Betelgeuze gemeten (schijnbare) magnitude m en absolute magnitude M (uit spectrum) ⇒ afstand D en flux F ⇒ lichtkracht L=4πD2F temperatuur uit kleur (wet van Wien) wet van Stefan-Boltzmann: flux F [W m–2]=σT4 Spectra: populatie van energieniveaus en ionizatietoestanden hangt af van dichtheid en temperatuur ⇒ excitatietemperatuur Kleur: Planck functie ⇒ kleurtemperatuur Lichtkracht: wet van Stefan-Boltzmann L ∝ T4 ⇒ effectieve temperatuur ⇒ 0.05 arcsec Betelgeuze lichtkracht L [J/s] =4πR2σT4 Betelgeuze, een rode superreus bv: een koele (rode) ster met dezelfde lichtkracht als een hete (blauwe) ster moet dus een veel grotere straal hebben: een rode reus NB: voor een zwarte straler: Teff = Tkleur 37 Inleiding astrofysica 38 Inleiding astrofysica 39 7
