Met cirkels naar cirkels: discrete functietheorie en cirkelpakkingen

Met cirkels naar cirkels: discrete
functietheorie en cirkelpakkingen
Joran van Apeldoorn, Nastasha Wijers
15 juli 2013
Projectverslag jaar 2
Begeleiding: dr. Roland van der Veen
Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Samenvatting
We bewijzen in dit verslag de Riemann-afbeeldingsstelling voor begrensde gebieden met
behulp van cirkelpakkingen. Deze stelling zegt dat er tussen elk enkelvoudig samenhangend open gebied in C, behalve C zelf, en de eenheidsschijf, een conform homeomorfisme
bestaat. Cirkelpakkingen zijn verzamelingen rakende cirkels, met een raakpatroon dat
een zekere rigiditeit garandeert. Deze gebruiken we om met behulp van steeds kleinere
cirkels, welgedefinieerde bijecties tussen een deel van het gebied en een deel van de eenheidsschijf te construeren. We vinden hieruit een convergente rij afbeeldingen, waarvan
de limietafbeelding een conforme bijectie tussen het gebied en de eenheidsschijf is. Zo
een afbeelding moet volgens de Riemann-afbeeldingsstelling bestaan.
Titel: Met cirkels naar cirkels: discrete functietheorie en cirkelpakkingen
Auteurs:
Joran van Apeldoorn, [email protected], 10182780
Nastasha Wijers, [email protected], 10193308
Begeleiding: dr. Roland van der Veen
Einddatum: 15 juli 2013
Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde
Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam
http://www.science.uva.nl/math
2
Inhoudsopgave
1. Inleiding
5
2. Definities en doel
6
3. Maximale Pakkingen
3.1. Inleiding: stelling en structuur van het bewijs . .
3.2. Lemma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Aanpassen van cirkelpakkingen in de schijf
3.2.2. Existentie van cirkelpakkingen . . . . . . .
3.3. Het bewijs van de stelling . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Constructie van de maximale pakking . . .
3.3.2. Univalentie . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Uniciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
11
11
15
19
20
21
24
4. Honingraatpakking, maximale pakking en afbeeldingen
26
4.1. Het doel: afbeeldingen naar de eenheidsschijf . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Het domein: de cirkelpakking in G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.1. De constructie van de cirkelpakking en de convergerende afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.2. Convergentie van de dragers in G . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3. Geometrie en de graaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3.1. Het ringlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2. Het boog-lengtelemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4. Convergentie van de beelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. Convergentiestelling op een honingraatrooster
5.1. Quasiconforme afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Conforme en quasiconforme afbeeldingen . . . . . . . .
5.1.2. Affiene afbeeldingen en quasiconformaliteit . . . . . . .
5.1.3. Convergentie van quasiconforme afbeeldingen . . . . .
5.2. Het bewijs van de convergentiestelling . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Conformaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Eigenschappen van een limietafbeelding . . . . . . . . .
5.2.3. Het bestaan en de bijectiviteit van de limietafbeelding
5.2.4. Uniciteit van de limietafbeelding . . . . . . . . . . . . .
6. Conclusie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
40
40
41
41
44
46
47
48
48
51
52
3
7. Populaire samenvatting
A. Hyperbolische meetkunde
A.1. Inleiding . . . . . . . . .
A.2. Definitie . . . . . . . . .
A.3. Afstand . . . . . . . . .
A.4. Cirkels . . . . . . . . . .
A.5. Hoeken . . . . . . . . . .
A.6. Driehoeksoppervlak . . .
A.7. Cosinusregel . . . . . . .
53
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
54
54
54
55
57
58
58
58
B. Leesgids Schramm
60
C. Programmacode
63
Bibliografie
67
4
1. Inleiding
In het tweede jaar van de wiskundebachelor aan de Universiteit van Amsterdam doen
de studenten in tweetallen een project. Het project is zo ingericht dat de tweetallen zelf
een begeleider en daarmee ook een onderwerp mogen kiezen. Wij, Nastasha en Joran,
hebben gekozen voor een project over cirkelpakkingen en de toepassing daarvan in de
complexe analyse. Het project werd begeleid door Roland van der Veen, we willen hem
dan ook harstikke bedanken voor zijn hulp.
De complexe analyse is normaal gesproken continu van aard. In dit verslag gebruiken we echter cirkelpakkingen om een discrete versie op te stellen. Een cirkelpakking
is hier een patroon van rakende cirkels. Het blijkt dat als we gebieden op de juiste
wijzen bepakken met cirkels, we functies tussen de pakkingen kunnen vinden. Als we
de cirkels steeds kleiner gaan maken convergeren ze uiteindelijk naar punten in C. De
functies tussen de pakkingen convergeren dan naar een functie op C. Op deze mannier kunnen vanuit een discreet perspectief de complexe analyse bestuderen. Veel herkenbare resultaten komen via een discrete weg weer naar boven; zo vinden we in het
verslag de Riemann-afbeeldingsstelling terug voor begrensde gebieden. De Riemannafbeeldingsstelling zegt dat er tussen elk enkelvoudig samenhangend en open gebied in
C en de open eenheidsschijf, een conforme bijectie bestaat, die met de beelden van twee
punten helemaal vastligt.
We beginnen het verslag met de nodige definities en kijken naar wat een cirkelpakking
is. In hoofdstuk 3 gaan we een speciaal type pakking binnen de eenheidsschijf bekijken,
de maximale pakking. We geven het bewijs voor de existentie en de uniciteit van deze
pakking. In hoofdstuk 4 gaan we de beelden en domeinen bekijken van functies tussen
de pakkingen. We zullen de maximale pakkingen uit hoofdstuk 3 gebruiken om functies
naar de schijf te construeren. Dan bewijzen we in hoofdstuk 5 dat de afbeeldingen in
hoofdstuk 4 naar de afbeelding uit de Riemann-afbeeldinsstelling convergeren.
Verder hebben we drie appendices toegevoegd. In de eerste geven we een korte inleiding in de hyperbolische meetkunde, die we in hoofdstuk 3 veel gebruiken. In de
tweede geven we een leesgids voor een artikel dat van groot belang is geweest voor het
bewijs in hoofdstuk 5. In de laatste appendix geven we de programmacode waarmee de
cirkelpakkingen getekend kunnen worden.
5
2. Definities en doel
Cirkels, en daarmee cirkelpakkingen, zijn van nature vooral grafisch goed te begrijpen,
daarom eerst een paar voorbeelden van cirkelpakkingen voordat we in de diepere wiskunde duiken. Ze staan in figuur 2.1
In deze afbeeldingen zien is te zien dat een pakking altijd bestaat uit een verzameling
aan elkaar rakende cirkels. Vooral de manier van raken is belangrijk. Dit raakpatroon
kunnen we weergeven met behulp van een graaf. Voor elke cirkel hebben we een punt
in de graaf; twee punten zijn verbonden met een lijn als de cirkels raken. Deze graaf
noemen we meestal K.
We eisen we in dit verslag dat de cirkels in de pakkingen alleen aan de randen overlappen. Zulke cirkelpakkingen worden univalent genoemd.
Definitie 2.1. Een cirkelpakking heet univalent als de inwendigen van elke twee cirkels
in de pakking een lege doorsnede hebben.
Verder willen we een zekere rigiditeit in de pakkingen. Om dit te bereiken, eisen we
dat de graaf een triangulatie is. Kort gezegd, betekent dit dat hij samenhangend is, dat
alle facetten behalve het buitenste een driehoek zijn en dat alle randpunten precies twee
randlijnen hebben vanuit dat punt. De laatste eis voorkomt situaties als in figuur 2.2.
Het volgende lemma zal handig blijken bij het bewijs van lemma 3.2. Je kunt deze
ook bekijken als je bij dit lemma komt.
Lemma 2.2. Voor een graaf zoals hierboven gedefinieerd, geldt dat het weghalen van een
enkel punt en de lijnen die in dit punt eindigen (of beginnen), een samenhangende graaf
overlaat.
Bewijs. De graaf is om te beginnen samenhangend. Dat betekent dat er tussen elke twee
punten in de graaf een pad loopt. Weglaten van een punt levert een samenhangende
graaf op als je voor elk pad dat via dat punt gaat (maar er niet begint of eindigt), een
‘omleiding’ kunt vinden. We gaan nu voor elk zo’n pad een omleiding construeren.
Het punt dat we weglaten noemen we p en zijn buren q1 , · · · , qn , met de klok mee rond
p genummerd. Als p geen randpunt is, zijn al deze buren telkens verbonden, aangezien
alle facetten driehoeken zijn, en vormen zo een n-hoek rond p. Denk aan een taart
opgebouwd uit losse taartpunten met p in het midden.
Als p wel een randpunt is, is dit niet het geval; er is als het waren een stuk van de
taart weg. Aangezien we eisen dat aan p precies twee randlijnen liggen, weten we dat er
precies één zo’n aaneengesloten gat aan p ligt. Ieder aaneengesloten stuk van de taart
dat weg wordt gelaten, zorgt immers voor twee randlijnen. We kunnen nu de buren van
p zo hernummeren, dat het gat tussen q1 en qn ligt.
6
Figuur 2.1.: Voorbeelden van cirkelpakkingen.
7
Figuur 2.2.: Deze punten willen we niet in een cirkelpakking. Het gaat hier om het punt
in de middelste cirkel. De overige lijnen aan de buitenste cirkels zijn slechts
voorbeelden.
Nu kunnen we voor beide gevallen simpel een omweg vinden. Als het pad eerst de
vorm had qi , p, qj (met i < j, anders draaien we de nummering om), dan vervangen we
dit door qi , qi+1 , · · · , qj−1 , qj . Ter illustratie: zie figuur 2.3.
Verder stellen we een eis op de graaf die nogal technisch is, maar belangrijk zal blijken
in een aantal bewijzen in het volgende hoofdstuk. Je kunt dit ook lezen wanneer het
aan de orde komt. We leggen hiervoor een topologie op de (abstracte) graaf K, en eisen
dat de ruimte die we zo krijgen enkelvoudig samenhangend is.
Definitie 2.3. De facetten van de graaf kun je ook zonder specifieke inbedding bekijken.
Een facet met drie hoekpunten noemen we dan een driehoek.
We reconstrueren de graaf nu uit ‘ideale’ driehoeken: gelijkzijdige driehoeken met
zijde 1. Hierop leggen we de deelruimtetopologie van deze driehoek, ingebed in C. Voor
elk driehoekig facet nemen we nu zo een gelijkzijdige driehoek. We gaan hier nu een
quotiënttopologie op leggen: we identificeren twee driehoekszijdes met elkaar, als de
overeenkomstige facetten van de graaf door dezelfde lijn worden begrensd. We nemen de
oriëntatie van de lijnen zo, dat overeenkomstige hoekpunten van de facetten met elkaar
worden geı̈dentificeerd. Uit de randen en hoekpunten van deze ideale facetten kunnen
we dan de graaf terugvinden.
De topologie die we zo op de graaf met facetten gelegd hebben, noemen we de facettentopologie.
Tot slot vatten we de voorwaarden die we op een graaf leggen samen: deze graaf
• moet planair zijn,
• mag op één facet na, alleen facetten met drie hoekpunten hebben,
• moet voor elk randpunt, precies twee randlijnen die er beginnen/eindigen hebben,
• en moet met de facettentopologie enkelvoudig samenhangend zijn.
• Verder eisen we dat de graaf eindig is.
8
Figuur 2.3.: Illustratie bij lemma 2.2 — Zowel voor een randpunt (zonder stippellijn)
als een binnenpunt (met stippellijn) kunnen we voor elk pad (oranje) een
omleiding vinden (paars).
In de literatuur worden alle voorwaarden op de graaf vaak gegeven via de constructie uit
ideale driehoeken, zoals in de facettentopologie. Wij hebben voor deze definitie gekozen
omdat deze in de bewijzen direct toe te passen is, en, naar onze mening, een beter idee
geeft van wat voor grafen toegestaan zijn.
Definitie 2.4. Een graaf die aan bovenstaande voorwaarden voldoet, noemen we een
cirkelpakkingsgraaf.
Zoals de naam al suggereert, blijkt dat je voor elke cirkelpakkingsgraaf een cirkelpakking kunt vinden. In het volgende hoofdstuk zullen we dit bewijzen, samen met het
bestaan van een specifieke cirkelpakking die in hoofdstukken 4 en 5 erg nuttig zal blijken
te zijn.
Uiteindelijk willen we met behulp van cirkelpakkingen, afbeeldingen definiëren. Hiervoor zijn de volgende definities handig.
Definitie 2.5. Bij een pakking P met graaf K tekenen we lijnen tussen de middelpunten van cirkels op de zelfde mannier als de lijnen van de graaf lopen. Deze lijnen en
en de ingesloten driehoeken vormen verenigd de drager van de pakking, een gesloten
deelverzameling van C.
Definitie 2.6. Een discrete analystische functie is een stuksgewijs affiene afbeelding
tussen de dragers van twee cirkelpakkingen P en Q met de zelfde onderliggende graaf
K, zodanig dat de middelpunten van de in de graaf overeenkomstige cirkels op elkaar
worden afgebeeld en dat oriëntatie wordt behouden.
9
Met de voorgaande definities in het achterhoofd, kunnen we het doel van ons verslag
preciezer formuleren. We willen de Riemann-afbeeldingsstelling voor begrensde gebieden
bewijzen met behulp van cirkelpakkingen. Ons verslag is dan ook grotendeels een bewijs
van de volgende stelling.
Stelling 2.7. Tussen een open, enkelvoudig samenhangende en begrensde verzameling
G ( C en de eenheidsschijf bestaat een conforme bijectie. Deze afbeelding is te construeren via een convergente rij afbeeldingen tussen dragers van cirkelpakkingen in G en de
eenheidsschijf.
De afbeeldingen die we zo vinden, blijken bovendien op samenstelling met bepaalde
gebroken lineaire transformaties na, uniek te zijn.
We zullen nu grofweg de structuur van het bewijs schetsen. In hoofdstuk 3 zullen we
laten zien dat er voor elke cirkelpakking, een een pakking met dezelfde cirkelpakkingsgraaf bestaat, die de schijf zo ver mogelijk opvult. Vervolgens laten we in hoofdstuk 4
zien dat we een open, begrensd en enkelvoudig samenhangend gebied, willekeurig goed
op kunnen vullen met cirkelpakkingen, als we de cirkels maar klein genoeg maken. Met
behulp van wat we in hoofdstuk 3 gedaan hebben en een geometrisch lemma, vinden we
dat de cirkelpakkingen in de schijf die bij deze pakkingen horen, in dezelfde limiet de
hele schijf opvullen.
Aan de hand van deze cirkelpakkigen definiëren we afbeeldingen tussen delen van het
gebied en delen van de schijf via de net besproken discrete analytische functies. De
afbeelding uit de stelling construeren we als limietafbeelding hiervan. We laten zien dat
als deze limietafbeelding bestaat, hij conform moet zijn. Om de convergentie aan te tonen, bekijken we eerst bijna conforme (quasiconforme) afbeeldingen. Deze blijken onder
bepaalde voorwaarden te convergeren. We laten met behulp van een ander geometrisch
lemma zien dat de afbeeldingen die wij geconstrueerd hebben, quasiconform zijn en aan
de convergentievoorwaarden voldoen. Vervolgens laten we zien dat de limietafbeelding
een bijectie is. De uniciteit van de afbeeldingen blijkt dan makkelijk te bewijzen te zijn.
Zoals gezegd, gaan we daarvoor eerst cirkelpakkingen in de eenheidsschijf bekijken.
10
3. Maximale Pakkingen
3.1. Inleiding: stelling en structuur van het bewijs
In dit hoofdstuk bekijken we de zogenaamde maximale pakking; hiervan hebben we al
enkele voorbeelden gezien aan het begin van het vorige hoofdstuk. Zie figuur 3.1 voor
enkele andere voorbeelden.
Zoals direct opvalt, bevindt de maximale pakking zich altijd binnen de eenheidsschijf;
de term maximaal zien we terug in het feit dat de pakking zo veel mogelijk van de
eenheidsschijf opvult. Precies definiëren we een maximale pakking als een univalente
cirkelpakking in de gesloten eenheidsschijf waarvan alle randcirkels de eenheidscirkel
raken. In dit hoofdstuk kijken we naar de existentie en uniciteit van de maximale
pakkingen en bewijzen de volgende stelling.
Stelling 3.1. Voor elke cirkelpakkingsgraaf bestaat er een maximale pakking in de eenheidsschijf; dat wil zeggen: een univalente cirkelpakking waarvan alle cirkels in de gesloten eenheidsschijf liggen, en waarvan de randcirkels allemaal de eenheidscirkel raken.
Deze cirkelpakking is uniek, op toepassing van gebroken lineaire transformaties die de
eenheidsschijf op zichzelf afbeelden na.
Aangezien we voor de maximale pakking volledig binnen de eenheidsschijf werken,
gebruiken we vooral hyperbolische meetkunde. Voor de lezer die hier onbekend mee is,
zie appendix A. We kunnen in de hyperbolische meetkunde onze eis op de maximale
pakking een stuk simpeler opschrijven; de cirkels die de rand van de schijf raken zijn
hier immers precies de cirkels met oneindige straal.
We bekijken in dit hoofdstuk eerst een drietal lemma’s. De eerste gaat over hyperbolische cirkelpakkingen en bekijkt het effect van kleine veranderingen in zo’n pakking.
Daarna vinden we een bovengrens voor cirkelstralen in cirkelpakkingen in de eenheidsschijf. In het derde lemma bewijzen we dat we voor elke cirkelpakkingsgraaf, een cirkelpakking in de eenheidsschijf kunnen maken. Dit is de eerste stap in het construeren
van een maximale pakking. Daarna vinden we de maximale pakking met een zogeheten
Perron-bewijs, en we bewijzen de univalentie en de uniciteit van de gevonden pakking.
3.2. Lemma’s
3.2.1. Aanpassen van cirkelpakkingen in de schijf
In deze sectie zullen we cirkelpakkingen in de eenheidsschijf bekijken. We maken hier
veel gebruik van de hyperbolische meetkunde in de schijf. Voor wie hier niet bekend
11
Figuur 3.1.: Enkele voorbeelden van maximale pakkingen.
12
Figuur 3.2.: Een hyperbolische driehoek die de middelpunten van cirkels met stralen r1 ,
r2 en r3 verbindt.
mee is, is het zeer aan te bevelen appendix A eerst te lezen.
Lemma 3.2. Voor een drietal onderling rakende cirkels en de hyperbolische driehoek die
hun middelpunten verbindt, geldt: met aanduidingen zoals in figuur 3.2 geldt dat voor
eindige r1 , hoek α continu strikt afneemt in r1 , terwijl de oppervlakte van de driehoek
continu strict stijgt in r1 . Voor eindige r2 (resp. r3 ), is β (resp. γ) continu en strict
stijgend in r1 .
Bewijs. De relaties tussen de hoeken en r1 volgen uit de cosinusregel voor de hyperbolische meetkunde. Deze staat vermeld in paragraaf A.7.
We zien snel dat het oppervlak ook stijgend is in figuur 3.2; het volledige bewijs is
echter iets uitgebreider. Als eerste, voor de continuı̈teit van de stijging, gebruiken we
O = π − α − β − γ, waarbij O de oppervlakte van de driehoek is. We kunnen met de
hyperbolische cosinusregel de hoeken invullen, en zullen dan zien dat het oppervlak een
continue functie is van de zijden. We zouden deze formule kunnen differentiëren en zien
dat de afgeleide strikt groter dan nul is om ook de stijgendheid aan te tonen; dit is echter
nogal lastig.
We zien de verandering in de driehoek in twee delen. Eerst laten we hoek β toenemen
terwijl we γ vast laten, vervolgens draaien we de rollen om. Aangezien GLT’s isometrieën
zijn in de hyperbolische meetkunde, kunnen we hoek β op de oorsprong leggen en γ op
de x-as zonder het oppervlak of de zijdelengtes aan te passen. De lijnen vanuit β worden
hiermee Euclidische lijnen. De schets van de verkregen situatie in figuur 3.3 laat zien
dat het oppervlak stijgt als β stijgt. In formules: we definiëren R(φ) als de de lengte
van het lijnstuk tussen de oorsprong en de hyperbolische lijn |γα| die een hoek φ met
de x-as maakt. Vervolgens bestaat de driehoek uit alle punten (r, φ) (in poolcordinaten)
met 0 ≤ φ ≤ β en r ≤ R(φ). Als we hoek β vergroten, komen hier de punten met
β ≤ φ ≤ β + ∆β bij, en zal het oppervlak dus stijgen.
13
Figuur 3.3.: Schets van de situatie waarin het middelpunt van de cirkel met straal r2 in
de oorsprong wordt gelegd, en β stijgt met ∆β.
Het oppervlak stijgt ook als we γ vergroten, volgens de zelfde redenering. We zien
dus dat het oppervlak tijdens de totale operatie stijgt.
Op deze manier krijgen we dezelfde driehoek als wanneer we r1 hadden laten toenemen.
Omdat β en γ strikt stijgend zijn in r1 , en de driehoek met de hoeken β en γ en de
zijde r2 + r3 volledig vastligt, kunnen we door β en γ te laten stijgen namelijk inderdaad
dezelfde driehoek krijgen als door r1 toe te laten nemen.
Nu zullen we een lemma bewijzen, dat een bovengrens geeft aan de hyperbolische stralen van cirkels in een pakking in de eenheidsschijf. Dit zullen we uiteindelijk gebruiken
om te laten zien dat de maximale pakking die we gaan construeren, niet gedegenereerd
is. Dat wil zeggen: dat de stralen van de binnencirkels eindig zijn. Het lemma en bewijs
zijn van Stephenson [9]. Als eerste een definitie:
Definitie 3.3. De hoekensom θ(v)
een binnenpunt v van een cirkelpakking met
Prond
n
buren b1 , · · · , bn , definiëren we als i=1 ∠bi vbi+1 (met bn+1 = b1 ). Hierbij wordt de hoek
met het hyperbolische cosinusregel berekend aan de hand van de stralen. Aangezien we
het niet altijd over correcte pakkingen hebben, is de hoekensom in het algemeen niet 2π.
Lemma 3.4. Als voor een punt v binnen een cirkelpakking geldt datde hoekensom
θ(v) ≥ 2π, dan geldt voor de straal van deze cirkel dat r ≤ − log sin πn .
Bewijs. Laat v een binnenpunt van een cirkelpakking met straal r. We gaan op zoek
naar het extreme geval voor r. We berekenen telkens de hoekensom θ(v). We weten uit
de aannamen van het lemma dat deze groter dan of gelijk aan 2π is. Als de hoekensom
groter is dan 2π, dan kunnen we de straal r vergroten; de hoekensom neemt dan af. We
stoppen met vergroten zodra de hoekensom 2π wordt. Als de hoekensom 2π is, zoeken
we een buurcirkel met eindige straal en vergroten deze cirkel. Hierdoor zal de hoekensom
toenemen en kunnen we opnieuw r vergroten. Als er geen buurcirkel meer is met een
eindige straal, raken alle buurcirkels de rand van de schijf.
14
We kunnen nu r niet meer vergroten zonder een hoekensom kleiner dan 2π over te
houden, en hebben dus een zo groot mogelijk r gevonden. Aangezien alle buurcirkels
aan de rand raken, zijn alle hoeken rond v gelijk aan
arccos(1 − 2e−2r ).
Dit hangt duidelijk niet van de buurcirkels af, dus alle hoeken zijn gelijk en daarmee
. Dan geldt:
gelijk aan 2π
n
2π
−2r
1 − 2e
= cos
,
n
wat betekent dat
π π 1
1
2π
1
r = − log
1 − cos
= − log sin2
= − log sin
.
2
2
n
2
n
n
Dit was de grootste r mogelijk, dus geldt in het algemeen r ≤ − log sin πn .
We hebben met de voorgaande twee lemma’s het gereedschap in handen om stelling uit
het begin van dit hoofdstuk te bewijzen. In het volgende lemma beginnen aan het
inductiebewijs van de stelling door te bewijzen dat er voor elke cirkelpakkingsgraaf een
pakking mogelijk is binnen de schijf.
3.2.2. Existentie van cirkelpakkingen
Het bewijs van de maximale pakkingsstelling zal uit twee delen bestaan. Het volgende
lemma gaat over de existentie van cirkelpakkingen, als er voor cirkelpakkingsgrafen met
minder punten, maximale pakkingen bestaan. Voor het tweede deel bewijzen we dat als
er een cirkelpakking bij een bepaalde cirkelpakkingsgraaf bestaat, er daarvoor ook een
maximale pakking bestaat. Samen vormt dit een bewijs van de maximale pakkingsstelling. Dit lemma en bewijs komen uit Stephenson [9].
Lemma 3.5. Als er voor elke cirkelpakkingsgraaf K waarvoor binnen de eenheidschijf
een cirkelpakking bestaat ook een maximale pakking bestaat, dan kunnen we voor elke
eindige cirkelpakkingsgraaf een cirkelpakking binnen de eenheidsschijf vinden.
Bewijs. We passen inductie naar het aantal punten van K toe. Omdat K een cirkelpakkingsgraaf is, moet deze minstens één driehoek bevatten, en is het minimale aantal
punten in een cirkelpakkingsgraaf drie. De graaf K bestaat dan uit een enkele driehoek,
dus de pakking moet uit drie elkaar rakende cirkels bestaan. Zo’n pakking bestaat duidelijk: drie even grote cirkels die elkaar en de schijfrand raken, voldoen hier aan. Een
plaatje van deze pakking staat in figuur 3.4.
Neem nu aan dat voor elke cirkelpakkingsgraaf met minder dan n > 3 punten, er een
cirkelpakking in de eenheidsschijf bestaat. Dan bestaat er volgens de aannames ook een
maximale pakking voor al deze cirkelpakkingsgrafen. Bekijk nu een cirkelpakkingsgraaf
K met n punten. Kies een punt v in de rand van de graaf. Hierbij maken we een
gevalsonderscheid: vanuit v loopt een lijn waarover we de graaf in twee delen kunnen
knippen (geval 1), of niet (geval 2).
15
Figuur 3.4.: Een cirkelpakking in de schijf voor de cirkelpakkingsgraaf met drie punten.
Geval 1: knipbaar
Als we de graaf in tweeën kunnen knippen door een lijn uit v, dan is dit een binnenlijn
die naar een ander randpunt w loopt. We delen de graaf nu op in twee delen, K1 en K2 ,
zodanig dat K = K1 ∪ K2 en dat de doorsnede van de twee delen alleen bestaat uit v, w
en de lijn tussen de twee punten. Dit zijn opnieuw cirkelpakkingsgrafen, en we krijgen
de originele graaf terug door de corresponderende punten in beide grafen op elkaar te
leggen en op de oriëntatie te letten. In figuur 3.5 zie je een voorbeeld.
Nu kunnen we voor K1 en K2 , die allebei minder punten hebben dan K, volgens de
inductiehypothese maximale pakkingen in de eenheidsschijf vinden. De cirkels die bij
onze knippunten horen zijn dan randcirkels, en raken nu dus de rand van de schijf: ze
hebben hyperbolische straal ∞. We kijken eerst naar K1 , en construeren een GLT door
het beeld van drie punten vast te leggen.
• We sturen het middelpunt van de cirkel v naar i (hyperbolisch),
• we sturen het middelpunt van de cirkel w naar −i (ook hyperbolisch),
• en het raakpunt tussen de cirkels naar de oorsprong.
De hyperbolische lijn, een Euclidische cirkel die de eenheidscirkel loodrecht snijdt,
door de middelpunten van een het raakpunt tussen de cirkels v en w, wordt zo op
de imaginaire as afgebeeld. Omdat de GLT conform is en gegeneraliseerde cirkels op
gegeneraliseerde cirkels afbeeldt, weten we dat het beeld van de eenheidsschijf een cirkel
is die de imaginaire as in i en −i loodrecht snijdt. Het beeld van de eenheidscirkel is zo
dus weer de eenheidscirkel.
16
Figuur 3.5.: Een simpel voorbeeld van het plakken: de rode lijn en de rode punten liggen
in beide helften op elkaar.
Euclidisch liggen de middelpunten van v en w nu in 12 i en − 12 i en hebben deze cirkels
straal 21 .
Hetzelfde doen we met K2 , en we zien dat de cirkels die bij beide punten v horen, naar
dezelfde cirkel gaan, en dat de cirkels die bij w horen dat ook doen.
Het is belangrijk op te merken dat alle cirkels van K1 , en zo ook van K2 , aan één kant
van de imaginaire as terecht komen (uitgezonderd v en w, die erop liggen). Stel dat
zou niet zo zijn, dan is na het samenplakken van de pakkingen de onderliggende graaf
geen cirkelpakkingsgraaf meer: er ontstaat een niet-driehoekig facet. Zie ook figuur 3.6.
Aangezien de oriëntatie behouden blijft door de GLT’s, en ook door het plakken, zien we
dat beide grafen netjes aan verschillende kanten van de imaginaire as worden afgebeeld.
Door de pakkingen van de deelgrafen, na de GLT, simpelweg over elkaar heen te
leggen, krijg je dus een cirkelpakking van de graaf K, zoals gezocht. Deze pakking is
overigens meteen ook maximaal, aangezien alle randcirkels nog steeds straal oneindig
hebben.
Geval 2: niet knipbaar
In het tweede geval bestaat er niet zo’n lijn vanuit v waarlangs we K kunnen opsplitsen.
Alle binnenlijnen die v bevatten, eindigen dan in een binnenpunt van K. Weglaten van
v en alle lijnen die v bevatten geeft dan een deelgraaf L, die nog steeds een cirkelpakkingsgraaf is, en n − 1 punten bevat; de buren van v worden nu randpunten. Dat dit nog
steeds een cirkelpakkingsgraaf is zien we door naar de probleemgevallen uit hoofdstuk 2
te kijken. Eerst merken we op dat de graaf nog steeds samenhangend is. Verder zien
kunnen we zien dat alle facetten nog steeds driehoeken zijn: als we een lijn verwijderen,
verwijderen we altijd nog een lijn uit de aanliggende driehoeken; er is immers altijd nog
een lijn in die driehoek die in v uitkomt. De overgebleven lijn uit de driehoek is dan een
binnenlijn, zoals in de figuur te zien is, dus hoort ook bij een driehoek die onaangetast is.
Verder krijgen alle binnenpunten die aan v grensden, precies twee randlijnen: de lijnen
17
Figuur 3.6.: Ter illustratie bij het bewijs: de rode punten komen op de imaginaire as
terecht. Rechts is K1 afgebeeld, links K met de lijnen uit K2 zwart gekleurd
en het probleemfacet geel.
Figuur 3.7.: Schets bij geval 2: waarom je zonder w een cirkelpakkingsgraaf overhoudt.
Het rode punt is w, de blauwe punten zijn twee randpunten.
18
die overblijven uit de driehoeken waar zowel dat punt als v onderdeel van uitmaakte.
De twee randpunten waar v aan grensde verliezen één randlijn, die naar v, maar krijgen
daar direct één lijn naar een buur van v voor terug. Zo houden alle randpunten ook
twee randlijnen.
Wegens de inductiehypothese kunnen we nu een maximale pakking van L maken. De
punten waaraan v moet raken, zijn nu randcirkels daarin. We zoeken nu een manier om
het punt v weer toe te voegen zodat hij ook daadwerkelijk hieraan raakt; hiervoor gaan
we de Riemann-sfeer gebruiken.
We weten dat de stereografische projectie een bijectie geeft tussen cirkels in de sfeer en
gegeneraliseerde cirkels in het complexe vlak (syllabus functietheorie [1], paragraaf 2.3).
De noordpool van de sfeer komt hierbij overeen met het punt oneindig dat we aan
het complexe vlak hebben toegevoegd, en de oorsprong in het complexe vlak met de
zuidpool.
De eenheidsschijf bedden we nu in in het complexe vlak, en na eventueel schalen van
de schijf, wordt de rand van de schijf op de ‘evenaar’ afgebeeld door de projectie, en
de rest van de schijf op het zuidelijk halfrond. Het noordelijk halfrond kunnen we nu
zien als een nieuwe schijf; deze raakt aan alle randcirkels van de pakking L. Specifiek
raakt hij aan alle buren van v, aangezien dit nu randcirkels waren geworden. We nemen
deze schijf nu als de cirkel van v en beelden de sfeer weer terug af op de vlak. Hiervoor
draaien we hem eerst zodanig dat de noordpool zich tussen de cirkels in bevindt; dit
zorgt er voor dat de cirkels niet naar ∞ gaan.
We krijgen zo een pakking terug met een eindig aantal cirkels met eindige stralen
en kunnen deze dus binnen de eenheidsschijf plaatsen. Een aantal randcirkels kan nu
aan v grenzen, terwijl dit volgens K niet zo moet zijn. Dit zal bij het bewijs van de
maximale-pakkingsstelling echter geen probleem blijken te zijn. Daarvoor is het alleen
van belang dat de hoekensommen van de binnenpunten 2π zijn.
In beide gevallen kun je dus een cirkelpakking in de schijf voor een cirkelpakkingsgraaf
K met n punten vinden. Uit inductie volgt nu het lemma.
3.3. Het bewijs van de stelling
Stelling 3.6. Er bestaat voor een cirkelpakkingsgraaf K zoals in hoofdstuk 2, een univalente cirkelpakking in de eenheidsschijf zodat alle randcirkels de rand van de eenheidsschijf raken. Deze cirkelpakking is uniek op GLT’s die de eenheidsschijf op zichzelf
afbeelden na.
Het bewijs komt weer uit [9]. Het is een zogenaamd Perron-bewijs: er wordt een
verzameling gedefinieerd. Vervolgens laten we zien dat deze niet leeg is, gesloten is
onder een bepaalde limiet en niet op de een of andere manier gedegenereerd is, en dat
het eerdere limietgeval een oplossing is. Daarna tonen we de univalentie en uniciteit van
de cirkelpakking aan.
19
3.3.1. Constructie van de maximale pakking
De verzameling wordt in dit geval
Φ = {R een straalvector : θR (v) ≥ 2π voor elk binnenpunt v},
waarbij een straalvector een vector is met een cirkelstraal voor elk punt in de graaf, en
θR (v) de hoekensom rond v voor de stralen in R.
We zoeken nu een straalvector voor de maximale pakking. Dit zal de pakking met zo
groot mogelijke stralen blijken te zijn.
Het limiet dat we nemen is nu Rmax = sup(Φ), per punt v gedefinieerd via Rmax (v) :=
sup{R(v) : R ∈ Φ}.
We gaan nu de te controleren punten na.
• Φ is niet leeg. Dit gaat met inductie, samen met lemma 3.5. Als er een pakking is
voor n punten, is er daarvoor een maximale pakking, zoals zal blijken, en dan is
er weer een pakking met n + 1 punten. We nemen nu dus aan dat Φ niet leeg is.
• Het niet gedegenereerd, zijn komt er hier op neer dat de cirkelstralen in Rmax
eindig zijn voor binnencirkels. Dit volgt uit de lemma 3.4 : voor een binnenpunt v
met n buren, geldt dat R(v) ≤ − log(sin( πn )) voor alle R ∈ Φ, dus ook Rmax (v) ≤
− log(sin( πn )).
Verder zal Rmax (v) oneindig zijn voor alle randpunten v: wegens lemma 3.2 zal
dit namelijk alleen de hoeksommen aan de binnenpunten vergroten, en oneindig
kiezen levert zeker een maximale cirkelstraal op.
• Nu bekijken we de geslotenheid. Neem twee straalvectoren R1 en R2 , en laat R de
vector zijn die op elke positie het maximum van de corresponderende elementen
in R1 en R2 bevat. Dan geldt voor elk punt v van de graaf dat R(v) = R1 (v) of
R(v) = R2 (v). Zeg zonder verlies van algemeenheid dat het R1 is. Dan zijn de
stralen van alle buren van v in R groter of gelijk aan de bijhorende stralen in R1 .
Volgens lemma 3.2.1 geldt dan dat θR (v) ≥ θR1 (v) ≥ 2π, dus R ∈ Φ. We kunnen
blijkbaar het maximum nemen over straalvectoren.
We bekijken nu voor elke > 0 de straalvector R,v ∈ Φ, voor elke binnencirkel
v zodanig dat Rmax (v) − R,v (v) < . Deze bestaat volgens de definitie van het
supremum. Laat nu R de straalvector zijn die het maximum is van alle R,v . Deze
is een element van Φ. We kunnen aannemen dat de stralen van de randcirkels ∞
zijn. Deze rij convergeert in Φ voor steeds kleinere naar Rmax . De hoeken zijn
continue functie van de stralen, dus de binnenhoeken in Rmax zijn ≥ 2π. Hieruit
volgt dat Rmax een element van Φ is.
• We laten nu zien dat Rmax kan zijn wat we zochten: een oplossing. Stel nu dat
er een cirkel v met hoek θ(v) > 2π in Rmax is. Dan kun je wegens de continuı̈teit
van de hoeken in de stralen, de straal van v een klein beetje laten toenemen zodat
θ(v) ≥ 2π blijft. De hoeken van de buurpunten zullen alleen eventueel stijgen. Zo
20
is er dan een element van Φ te construeren dat in een zeker punt een grotere straal
heeft dan Rmax , in tegenspraak met hoe we deze gedefinieerd hadden.
Alle binnenhoeken in Rmax zijn dus 2π, dus rond elk punt is het een correcte
pakking. De randcirkels hebben oneindige straal, dus raken de rand van de schijf.
Nu rest het te bewijzen dat de pakking univalent is, oftewel: dat de inwendigen van
elke twee verschillende cirkels een lege doorsnede hebben.
3.3.2. Univalentie
Om de univalentie van de geconstrueerde cirkelpakking te bewijzen, gebruiken we topologie. We bekijken de graaf van de cirkelpakking. We bekijken eerst de facetten los en zien
ze als een Euclidische gelijkzijdige driehoek met zijdes van lengte 1. Hier leggen we dan
een quotiënttoplogie op door de randen van twee (gelijkzijdige) driehoeken met elkaar te
identificeren als de facetten door een zelfde lijn begrensd worden, en zorgen hierbij dat
de oriëntaties van de lijnen kloppen. Dit is de facettentopologie uit hoofdstuk 2.
We willen nu een drager in de eenheidsschijf construeren die homeomorf is met K,
zodat de facetten in de drager overeenkomen met de facetten van K. We zullen daarvoor
homeomorfismes tussen de facetten in K en de drager vinden, die op de randen met
elkaar overeenkomen. We laten dan zien dat de afbeelding die we zo construeren, een
overdekkingsafbeelding van K naar de schijf is. Omdat K enkelvoudig samenhangend is,
hebben we dan een homeomorfisme gevonden.
We nemen in eerste instantie de hyperbolische drager van de geconstrueerde cirkelpakking in de schijf: de punten in de graaf komen hierin overeen met de hyperbolische
middelpunten van de cirkels, en de lijnen van de graaf met de hyperbolische rechte lijnen
tussen deze middelpunten. De driehoeken die zo tussen de middelpunten van de cirkels
gevormd worden, zijn dan de facetten. Om de hele eenheidsschijf te overdekken, maken
we wat kleine aanpassingen: de lijnen die nu de rand van de drager vormen, vervangen
we door het stukje eenheidscirkel tussen de eindpunten.
Nu willen we voor elk facet van K, een homeomorfisme naar het overeenkomstige
(eventueel aangepaste) hyperbolische facet vinden. Hierbij kunnen we op twee manier
verder gaan. Voor wie bekend is met het Klein-model van de hyperbolische ruimte, volgt
zo een kort bewijs. Voor wie hier niet bekend mee is, komt daarna een vrij expliciete
constructie van de afbeelding.
Klein-model
Het Klein-model is net als de Poincaré-schijf een manier om de hyperbolische geometrie
te beschrijven. Er is een isometrie tussen dit model en de Poincaré-schijf, waarin onze
drager ligt. In het Klein-model is de ruimte ook de eenheidsschijf, maar zijn de rechte
lijnen ook Euclidisch recht [11]. De hoeken ertussen zijn echter niet meer de Euclidische
hoeken. Via de isometrie naar het Klein-model, zien we dus dat alle hyperbolische
driehoeken in de drager homeomorf zijn aan Euclidische driehoeken. Via inverteerbare
lineaire afbeeldingen zijn elk twee Euclidische driehoeken in elkaar over te zetten, dus
21
Figuur 3.8.: Schets voor de notatie die we gebruiken voor de constructie van het homeomorfisme van de driehoek naar de driehoek met boogzijde.
we hebben een homeomorfisme van de ideale driehoek in K naar een facet van de drager
gevonden. Deze is welgedefinieerd op de randen, omdat het welgedefinieerd is in de
hoekpunten van de driehoeken, en een lineaire afbeelding met twee gekozen punten op
de lijn ertussen vastligt. Voor de randdriehoeken, waarvan een zijde nog steeds krom is,
kun je de afbeelding die we hieronder construeren, gebruiken.
Zonder Klein-model
Voor de constructie zonder Klein-model gebruiken we gebroken lineaire transformaties
die de eenheidsschijf op zichzelf afbeelden. Door middel van zo een afbeelding, is aan te
tonen dat elk hyperbolisch facet met een hoekpunt dat niet op de rand ligt, homeomorf
is met een driehoek met een hoekpunt in de oorsprong en een andere op de positieve
reële as. Twee lijnen van de driehoek zijn dan (Euclidisch) recht, de ander is een naar
binnen of buiten gekeerd stuk cirkelboog.
We weten dat met een inverteerbare lineaire afbeelding, de gelijkzijdige driehoek met
zijde 1 over te voeren is in de driehoek met dezelfde hoekpunten als deze hyperbolische
driehoek, maar met drie (Euclidisch) rechte lijnen.
Nu moeten we nog laten zien dat er een homeomorfisme is tussen de Euclidisch driehoek en de cirkelboogdriehoek. In eerste instantie zijn er twee mogelijkheden: de cirkelboog kan binnen de Euclidische driehoek liggen, of erbuiten. Deze gevallen blijken
echter op dezelfde manier aan te pakken te zijn. Bekijk voor deze constructie figuur 3.8.
We stappen nu over op poolcoördinaten. We gebruiken dat de lengte van de lijn tussen
het hoekpunt en de cirkelboog R (φ), continu is in φ, net als de lengte van het lijnstuk
tussen het hoekpunt en de driehoekslijn, R4 (φ). Je kunt de functies zelf vinden als je
wilt; het is een kwestie van wat geometrie toepassen. Voor de cirkelformule moet je de
22
coördinaten van het middelpunt van de cirkel die de kromme zijde vormt, benoemen.
Dan kunnen we het homeomorfisme van de driehoek naar de driehoek met boogzijde
makkelijk geven:
R (φ)
(r, φ) 7→
r, φ .
R4 (φ)
Dit is duidelijk een bijectie, en de inverse is van dezelfde vorm: R en R4 verwisselen
geeft deze afbeelding al. De afbeelding en zijn inverse zijn dus allebei continu, en de
driehoeken zijn dus homeomorf. Verder is deze afbeelding op de rechte driehoekszijdes de
identiteitsafbeelding, dus als we dezelfde constructie toepassen voor de andere driehoeken
die na de gebroken lineaire transformatie de oorsprong als hoekpunt hebben, komen we
op de randen op dezelfde afbeelding uit.
We gaan nu de afbeelding die we net hebben gevonden, aanpassen zodat we dezelfde
afbeelding krijgen als wanneer we een ander punt in de oorsprong hadden gelegd. Dan is
bij de binnencirkels de afbeelding duidelijk welgedefinieerd op de randen. We bekijken
nu dus de GLT die de kromme driehoekszijde op de positieve reële as legt. Omdat de
GLT continu is, is het reële deel van de nieuwe coördinaat van een punt op de kromme
driehoekszijde, een continue functie van de oude coördinaten (R (φ), φ), dus van φ.
De functie is hier duidelijk een bijectie, met continue inverse. De afbeelding van de
gelijkzijdige driehoek naar deze driehoek is ook een homeomorfisme, dus we kunnen
door samenstelling een functie φ0 (φ) vinden, zodat de eerder besproken GLT op de
lijn geparametriseerd door (R (φ0 (φ)), φ0 (φ)), een homeomorfisme met de zijde van de
gelijkzijdige driehoek uit K oplevert, die op deze lijn hetzelfde is als het homeomorfisme
dat je krijgt door die driehoeksrand meteen op de positieve reële as te leggen en de
lineaire afbeelding te nemen vanaf K.
Voor een kromme lijn tussen twee randcirkels, die niet een stuk eenheidscirkel is, kunnen we een soortgelijke constructie gebruiken. We leggen de kromme lijn dan namelijk
over de hele reële as, voor zover deze in de schijf ligt, maken een Euclidische driehoek
met het derde hoekpunt, en splitsen het met een lijn door het derde punt en de oorsprong
in twee driehoeken zoals hierboven.
We kunnen dan ook, net zoals bij de positieve reële as, een functie φ0 (φ) vinden, zodat
het voor welke afbeelding je vindt, niet uitmaakt welke driehoekszijde je op de reële
as legt. Als een randlijn van een facet een stuk eenheidscirkel is, ligt deze alleen in
dat facet. De normalisatie met behulp van lineaire afbeeldingen en GLT’s is dan niet
mogelijk, maar ook niet nodig.
We hebben zo homeomorfismen van elk facet van K nar het overeenkomstige facet in
de eenheidsschijf gevonden. Deze kloppen op de randen met elkaar, dus de afbeelding
van K naar de eenheidsschijf is welgedefinieerd en, vanwege het plaklemma, continu. We
noemen deze afbeelding k.
0
0
Nu willen we laten zien dat de afbeelding k : K → DK
, met DK
de eenheidsschijf
met aangepaste drager, een overdekkingsafbeelding is. Dat wil zeggen: voor elk punt in
0
p ∈ DK
, bestaat er een open omgeving U van p, zodat k −1 (U ) een disjuncte vereniging
van open omgevingen Vi van de elementen van k −1 ({p}) is, waarbij k|Vi : Vi → U een
homeomorfisme is voor alle i.
23
A priori kan p in meer dan een facet van DK0 liggen, maar het is er minstens één, omdat
de facetten de hele schijf overdekken, en maximaal eindig veel, omdat er maar eindig
veel facetten zijn. Voor elk facet waarin p in het inwendige ligt, is er een open omgeving
waarop k een homeomorfisme is. We weten verder vanwege de kloppende hoekensommen
dat buurfacetten niet overlappen. Als p op een rand of hoekpunt ligt, kunnen we dus
ook een geschikte open omgeving vinden. Omdat we maar met eindig veel omgevingen
te maken hebben, is er nu een δ > 0, zodat B(p, δ) in al deze omgevingen ligt. Omdat
buurfacetten alleen op de rand overlappen, liggen de relevante open omgevingen uit
k −1 (B(k(p)), δ) van de punten die op p worden afgebeeld, in verschillende facetten van
K. We hebben dus een verzameling disjuncte open omgevingen gevonden in K, waarop k
een homeomorfisme met B(p, δ) geeft. We weten nu dus dat k een overdekkingsafbeelding
is.
Nu weten we van het college topologie [5] dat een overdekkingsafbeelding met een enkelvoudig samenhangend domein een bijectie is. We hebben nu dus een homeomorfisme
0
0
0
k : K → DK
gevonden, met DK
de hele eenheidsschijf. De facetten in DK
kunnen dus
niet overlappen. Als niet-rakende cirkels wel zouden overlappen, zouden facetten die
bij die cirkels horen dat ook doen: die facetten overdekken de cirkels namelijk, en nietrakende cirkels hebben hierbij geen facetten gemeen. We wisten uit de hoekensommen
al dat rakende cirkels niet overlappen. Hieruit kunnen we concluderen dat de gevonden
maximale pakking van de eenheidsschijf univalent is.
3.3.3. Uniciteit
Nu hoeven we voor de maximale-pakkingsstelling nog maar één ding te bewijzen: dat
de gevonden cirkelpakking op gebroken lineaire transformaties die de eenheidsschijf op
zichzelf afbeelden na, uniek is. We gebruiken hiervoor veel resultaten uit de hyperbolische meetkunde: zie daarvoor eventueel appendix A. Het bewijs komt weer van [9]. We
bewijzen dat de hyperbolische cirkelstralen in een univalente maximale pakking uniek
bepaald zijn.
Als we dit weten, kunnen we met een gebroken lineaire transformatie altijd één binnencirkelmiddelpunt op de oorsprong leggen en een ander op de positieve reële as. Dan
ligt met de stralen van de cirkels en de bekende hoeken (te berekenen met de hyperbolische cosinusregel), de hele cirkelpakking in de schijf vast, op een spiegeling in de reële as
na. Door een oriëntatie op de graaf de leggen, kunnen we deze vrijheidsgraad elimineren.
Alle maximale pakkingen zijn dan met gebroken lineaire transformaties in elkaar over
te voeren. Die oriëntatie van de graaf krijg je trouwens cadeau als je van een bestaande
cirkelpakking uitgaat, zoals we in hoofdstuk 4 zullen doen.
Het bewijs van de uniciteit van de verzameling cirkelstralen gaat via oppervlaktes.
We bekijken de hyperbolische drager van de cirkelpakking in de schijf. Elk facet hiervan
is een hyperbolische driehoek, met oppervlakte π − α − β − γ, waarbij α, β, γ de hoeken
van de driehoek
zijn. De totale oppervlakte van de drager met straalvector R, OppR , is
P
dan N π − facetten hoeken, met N het aantal facetten. De som kunnen we ook schrijven
als de som over de hoeken aan elk punt. Dit is nul voor de randpunten, en bij elkaar 2π
voor de binnenpunten, dus OppR = (N − 2n)π, met n het aantal binnenpunten. Dit is
24
dus onafhankelijk van de precieze straalvector R, zolang het maar een maximale pakking
geeft.
Uit de constructie weten we dat alle stralen in een andere straalvector van een cirkelpakking, stralen kleiner of gelijk aan die in Rmax hebben. De driehoeksoppervlakken zijn
strikt stijgend in de stralen van de zijdes, dus als er nu stralen in een andere straalvector
ongelijk aan die in Rmax zijn, moeten ze kleiner zijn, en moet het oppervlak van de bijbehorende drager kleiner zijn. Dit is in tegenspraak met wat we net hebben aangetoond,
dus de hyperbolische straalvector van een maximale pakking is uniek.
Nu hebben we bewezen dat we een unieke maximale pakking in de eenheidsschijf
kunnen vinden bij elke cirkelpakkingsgraaf.
25
4. Honingraatpakking, maximale
pakking en afbeeldingen
In het vorige hoofdstuk hebben we gezien hoe we een bijzondere cirkelpakking in de
eenheidsschijf kunnen construeren. We willen uiteindelijk een afbeelding van een open,
begrensd, enkelvoudig samenhangend gebied G naar deze schijf vinden. Daarvoor gaan
we nu een cirkelpakkingen in G maken
• die aan de voorwaarden van de maximale-pakkingsstelling voldoet,
• waarvan elke randcirkel aan een binnencirkel raakt en de deelgraaf van de cirkelpakkingsgraaf die alleen de binnenpunten bevat, samenhangend is, en
• waarvan de drager naar G convergeert als de stralen van de cirkels naar nul gaan.
De eerste voorwaarde zorgt dat we via de maximale pakking een afbeelding van (een
deel van) G naar (een deel van) de eenheidsschijf kunnen construeren. Het belang van
de tweede voorwaarde wordt in hoofdstuk 5 duidelijk; het zorgt ervoor dat we de verhoudingen tussen stralen van rakende cirkels kunnen begrenzen. De derde voorwaarde
is nodig omdat we een limietafbeelding willen vinden die heel G op de eenheidsschijf
afbeeldt. De uiteindelijke afbeelding van G naar de eenheidsschijf construeren we namelijk als limietafbeelding van de afbeeldingen die we met deze eindige cirkelpakkingen
vinden.
We zullen in dit hoofdstuk ook bewijzen dat de cirkelpakking in de eenheidsschijf
die we als maximale pakking bij de pakking in G vinden, naar de hele eenheidsschijf
convergeert als de cirkelstralen in de pakking in G naar nul convergeren. Dit is belangrijk omdat we uiteindelijk een bijectie van G naar de hele eenheidsschijf willen vinden.
Hiervoor hebben we een lemma nodig dat een verband legt tussen de graaf, die we uit
G kennen, en de geometrie van de maximale pakking, waarvan we a priori heel weinig
weten. Dit is het boog-lengtelemma.
Daarnaast bewijzen we een ander lemma dat een verband legt tussen de cirkelpakkingsgraaf en de maximale pakking: het ringlemma. Hiervoor hebben we de tweede
voorwaarde nodig. Dit lemma zal in hoofdstuk 5 nodig blijken om te laten zien dat
de afbeeldingen die we tussen G en de schijf construeren, mooi genoeg zijn om een
convergente deelrij te vinden.
26
4.1. Het doel: afbeeldingen naar de eenheidsschijf
Om de afbeeldingen te construeren, nemen we twee vaste punten, w0 en w1 , in het gebied
G. Deze zullen we in de uiteindelijke afbeelding op respectievelijk de oorsprong en de
positieve reële as afbeelden. We hebben de punten nu al nodig, omdat we w0 zullen
gebruiken om de cirkelpakking in G te definiëren.
Omdat de cirkelpakking die we in G maken, aan de voorwaarden van de maximalepakkingsstelling zal voldoen, kunnen we een cirkelpakking met hetzelfde raakpatroon
maken in de eenheidsschijf. Deze is uniek op de GLT’s die de eenheidsschijf op zichzelf
afbeelden na. Via deze GLT’s kiezen we de transformatie die het middelpunt van de cirkel
waar w0 het dichtste bij zit, in de oorsprong afbeeldt. (Kies er eentje als de afstanden
tot een aantal middelpunten gelijk zijn.) Het (een) middelpunt dat het dichtste bij w1
ligt, beelden we op de positieve reële as af. Daarmee ligt de GLT vanaf een willekeurige
cirkelpakking in de eenheidsschijf vast.
We zullen een cirkelpakking in G maken, waarvan alle cirkels dezelfde straal hebben.
Aan de hand van deze cirkelpakking met stralen definiëren we nu een afbeelding f
tussen de dragers. We beelden de driehoekige facetten uit de cirkelpakking in G via
affiene afbeeldingen af op de overeenkomstige driehoeken in de cirkelpakking in de eenheidsschijf. Omdat met het beeld van de eindpunten, een affiene afbeelding volledig
vastligt op het lijnstuk ertussen, is de afbeelding die we zo vinden welgedefinieerd op de
randen van de facetten en de hoekpunten ervan. Vanwege het plaklemma uit het vak
topologie, is de stuksgewijs affiene afbeelding die we zo vinden, continu. Het is zelfs een
homeomorfisme tussen de dragers. Op deze manier ligt de afbeelding voor een pakking
in G met cirkels van straal volledig vast. Deze afbeelding noemen we dan f .
4.2. Het domein: de cirkelpakking in G
Nu zullen we de domeinen van deze functies f preciezer gaan bekijken: we zullen ze
precies definiëren, en daarmee ook de afbeeldingen zelf precies maken, en laten zien
dat de domeinen van deze afbeeldingen naar G convergeren als we de cirkelpakking in G
met steeds kleinere cirkels maken. De afbeeldingen zullen de discrete analytische functies
tussen cirkelpakkingen in G en de bijbehorende maximale pakkingen zijn.
4.2.1. De constructie van de cirkelpakking en de convergerende
afbeeldingen
We zullen de cirkelpakking in G definiëren aan de hand van een oneindige cirkelpakking:
de drager hiervan is heel C. Hieruit zullen we eindig veel cirkels kiezen om G op te
vullen. Deze pakking bestaat uit cirkels die allemaal straal hebben, waarvan elke
cirkel zes buren heeft. Zie ook figuur 4.1. We kiezen ervoor om een middelpunt in de
oorsprong te leggen en een andere op de positieve reële as. Dit is geen belangrijk punt
en zal verder ook niet genoemd worden; het zorgt er alleen voor dat de cirkelpakkingen
27
Figuur 4.1.: De constructie van een cirkelpakking in G. In het zwart w0 , in het groen de
cirkels in de pakking, in het rood de cirkels die weg moeten worden gelaten.
welgedefinieerd zijn. We noemen deze cirkelpakking de honingraatpakking met straal ,
in het algemeen de honingraatpakking.
Voor elke straal > 0, gaan we nu een deel van de cirkels kiezen als cirkelpakking
van G. We leggen het gebied G over de honingraatpakking met straal en kiezen in
eerste instantie alle cirkels die geheel in G liggen voor deze pakking. Dit noemen we de
kandidaatpakking.
We bekijken dan de graaf die het raakpatroon van deze cirkels weergeeft. Omdat de
cirkelpakking univalent is, en de facetten in deze inbedding zelfs gelijkzijdige driehoeken
zijn, is de graaf K met de facettentopologie (zie hoofdstuk 2) duidelijk homeomorf met
de drager van de cirkelpakking. Enkelvoudig samenhangendheid van K is dan equivalent
aan het enkelvoudig samenhangend zijn van de drager.
Eerst bekijken we alleen de binnenpunten (niet-randpunten) van de graaf. Hiervan
kiezen we dan de samenhangscomponent van de drager, die w0 bevat. Voor de uiteindelijke graaf nemen we deze binnenpunten en alle randpunten die aan een binnenpunt
van die samenhangscomponent grenzen. Op deze manier moet elk randpunt precies twee
randlijnen hebben. De constructie sluit de probleempunten zoals in figuur 4.2 namelijk
uit. We laten straks zien dat als klein genoeg is, er zo een component bestaat die w0
bevat.
We hebben nu dus een samenhangende graaf gevonden, waarvan elk randpunt een
binnenpunt als buur heeft, en waarbij elk randpunt in precies twee randlijnen zit. De
deelgraaf van de graaf van deze pakking die alleen de binnenpunten bevat, is zo bovendien
ook samenhangend.
De drager van deze pakking is dan ook enkelvoudig samenhangend: als hij dat niet is,
bevat de drager een ‘gat’. Als er geen ‘gat’ in G zou zitten, zou er geen reden zijn om
28
Figuur 4.2.: Deze punten willen we niet in een cirkelpakking. Het gaat hier om het
middelpunt van de zeshoek; wat er aan de randen van de zeshoek getekend
is, is slechts een voorbeeld. De blauwe cirkels zijn de cirkels in de pakking,
de grijze vlakken geven de drager aan.
een gat in de cirkelpakking te laten, dus ook G is dan niet enkelvoudig samenhangend,
in tegenspraak met de aanname. De cirkelpakking heeft ook duidelijk alleen driehoekige
facetten, dus het voldoet dan aan alle eisen van de maximale-pakkingsstelling.
We hebben nu dus een cirkelpakking geconstrueerd die aan onze eerste twee voorwaarden voldoet. We weten nu dus hoe we de afbeeldingen f moeten construeren. Nu
moeten we nog laten zien dat de domeinen van de f , de dragers van de cirkelpakkingen
in G, voor → 0 naar heel G convergeren.
4.2.2. Convergentie van de dragers in G
We willen uiteindelijk een afbeelding van heel G naar de eenheidsschijf vinden als een
limietafbeelding van de hierboven gedefinieerde f . Hiervoor zullen we eerst bewijzen
dat de domeinen van deze functies naar G convergeren.
Lemma 4.1. Voor voldoende kleine zijn de afbeeldingen f die we gevonden hebben,
welgedefinieerd. De domeinen van de f convergeren naar G voor → 0.
Bewijs. We moeten eerst laten zien dat voor voldoende kleine , er een samenhangscomponent van de binnencirkels van de kandidaatpakking is die w0 bevat. Daarna kunnen
we laten zien dat voor elk punt x ∈ G, er een x is zodanig dat x in de drager van die
samenhangscomponent zit voor alle kleinere .
Aangezien G open is, is er een w0 > 0 zodanig dat B(w0 , 6w0 ) ⊂ G. In dit geval
kunnen we voor cirkelstralen kleiner dan w0 , een zeshoek van 19 cirkels (3 “lagen”)
rond w0 vinden in die schijf, en is er dus een samenhangscomponent van de van de
binnenpunten van de van de kandidaatpakking die w0 bevat.
Nu laten we zien dat de drager naar G convergeert als de cirkelstralen naar nul gaan.
Kies een punt x ∈ G. Omdat G samenhangend is en lokaal wegsamenhangend (de open
bolletjes in C zijn wegsamenhangend), is G ook wegsamenhangend [5]. Kies dus een pad
γx in G van w0 naar x. Bekijk voor alle punten y ∈ γx ([0, 1]) de afstand tot de rand van
G, d(y, ∂G). Dit is gelijk aan het infinum van de afstanden tot de randpunten. Stel dit
is gelijk aan nul, dan vinden we een rij punten op de rand waarvan de afstand tot y naar
nul convergeert. Omdat de rand compact is, heeft deze rij een convergente deelrij. (De
29
rand is gesloten en het gebied, dus ook de rand, is begrensd.) Het limietpunt hiervan
moet ook in de rand liggen, door de geslotenheid van de rand, dus moet y op de rand
liggen. Dit is echter een tegenspraak: y ligt in het open gebied G.
Als nu het infinum van de afstanden van de punten in γx ([0, 1]) tot de rand nul zou
zijn, zou dit op dezelfde manier tot een tegenspraak leiden. De verzameling γx ([0, 1]) is
namelijk ook compact, want γx is continu en [0, 1] is compact, en γx ([0, 1]) is dus ook
gesloten. (Het is een deelverzameling van C.)
Er is dus een > 0 zodat {z ∈ C : d(z, γx ([0, 1]) < 6} ⊆ G, net als bij w0 . We krijgen
zo heel veel zeshoekjes van 19 cirkels, die onder elke hoek in deze omgeving passen en
dus zeker aan elkaar te plakken zijn langs γx . De binnencirkels vormen nu een brug van
w0 naar x; de punten liggen dus in de zelfde samenhangscomponent van de drager van
de binnenpunten van de kandidaatpakking.
Voor voldoende kleine cirkelstralen is een willekeurig punt dus bevat in de drager van
de cirkelpakking in G die voor de afbeelding gebruikt wordt. De drager convergeert dus
naar heel G. Hier volgt ook uit dat als de cirkelstralen in het honingraatrooster maar
klein genoeg zijn, de drager van de uiteindelijke cirkelpakking in G ook w1 bevat.
De afbeelding zoals hierboven geconstrueerd is dus welgedefinieerd voor voldoende
kleine cirkelstralen. We definiëren 0 > 0 dan als een getal waarvoor geldt dat voor alle
∈ (0, 0 ], de honingraatpakking met cirkels van straal een welgedefinieerde afbeelding
oplevert volgens de bovenstaande constructie: dat wil zeggen dat het domein w0 en w1
bevat.
We hebben dus een verzameling functies {f : ∈ (0, 0 ]} geconstrueerd, waarvan de
domeinen naar G convergeren voor → 0. Als we het in het vervolg over functies f
hebben, zullen we er stilzwijgend vanuit gaan dat ∈ (0, 0 ].
Nu laten we de afbeeldingen even achter, om de twee lemma’s te bewijzen die verbanden geven tussen een cirkelpakkingsgraaf en een bijbehorende maximale pakking. Hierin
gebruiken we de Euclidische meetkunde.
4.3. Geometrie en de graaf
Om de convergentie en het bijna conform zijn van de afbeeldingen die we zullen construeren te bewijzen, zullen we een aantal geometrische begrenzingen aan de cirkelpakkingen
moeten vinden. Het zal blijken dat deze te vinden zijn, geheel op basis van de cirkelpakkingsgraaf en eigenschappen van cirkels. We zullen hier dus uit de graaf van de
cirkelpakking twee geometrische eigenschappen afleiden. De eerste begrenst de vervorming van cirkels (getekend in de drager, niet per se de pakkingscirkels) in de afbeeldingen
die we tussen dragers van cirkelpakkingen hebben geconstrueerd, de tweede zal laten zien
dat maximale pakkingen met steeds meer cirkels, de eenheidsschijf volledig op gaan vullen. Die vervormingsbegrenzing, is een manier om bijna conform zijn te definiëren, en
zal nodig blijken om de convergentie van de afbeeldingen te bewijzen.
Bij deze lemma’s gebruiken we de Euclidische meetkunde, ook op de eenheidsschijf.
30
4.3.1. Het ringlemma
Het ringlemma zegt dat dat in een cirkelpakking, rakende cirkels niet te veel in straal mogen verschillen. Dit blijkt ondergrenzen te geven aan hoe ‘vervormend’ de afbeeldingen
die zullen convergeren zijn.
Lemma 4.2. Voor elke k ∈ N≥3 bestaat er een c(k) zodat voor elke binnencirkel met k
eraan rakende cirkels in een pakking, de straal van elke rakende cirkel gedeeld door de
straal van de centrale cirkel (Euclidisch) groter dan of gelijk aan c(k) is.
Dit bewijs van het ringlemma komt van Rodin en Sullivan [6]. Hiervoor gebruiken
we de cirkelstelling van Descartes. Deze zegt dat gegeven drie rakende cirkels met
krommingen k1 , k2 en k3 , er twee daaraan rakende cirkels met krommingen k4 bestaat ,
met
p
k4 = k1 + k2 + k3 ± 2 k1 k2 + k1 k3 + k2 k3 .
Hierbij geldt: |ki | = r1i , met ri de cirkelstraal, waarbij de kromming negatief is als de
andere cirkels cirkel i aan de binnenkant raken, anders positief, en een rechte lijn (cirkel
met straal oneindig) kromming nul heeft. Deze stelling zullen we niet bewijzen.
Bewijs. We bewijzen het ringlemma uit tegenspraak en stellen dus dat er niet zo’n
ondergrens bestaat voor een zekere k. We beginnen met een middencirkel C1 van straal
1, zo halen we de schaalfactor uit het probleem. We merken op dat er minstens één
buurcirkel is met een minimale grootte: als alle cirkels willekeurig klein werden, konden
we de ring van cirkels rond C1 niet sluiten. Noem deze cirkel C2 en leg hem neer met de
bijhorende minimale straal. Leg nu een C3 neer die aan beide grenst. Iedere volgende
cirkel Ci kunnen we nu volgens de Descartes-cirkelstelling op twee manieren neerleggen
zodat hij aan C1 , C2 en Ci−1 raakt: zijn straal kan groter zijn dan (één van) de drie
andere, of kleiner. We kiezen voor de kleinere straal en leggen de cirkel op zijn uniek
bepaalde plaats neer.
Zoals in figuur 4.3 al te zien is, gaan de cirkels telkens tussen C1 , C2 en C3 in liggen.
Dit gebeurt aangezien de hoeken ∠Ci C1 C2 en ∠Ci C2 C1 telkens kleiner moeten worden
als de straal van Ci kleiner is dan zijn voorganger. Het gaat hier om de hoeken tussen
de middelpunten van de cirkels. De constructie is mogelijk omdat de straal van Ci
willekeurig klein mag worden.
We zien zo echter dat als we na C2 de gevonden Ck+1 neerleggen, we met de andere
buurcirkels van C1 nooit de ring van buurcirkels rond C1 kunnen sluiten. Dan moet C1
een randcirkel zijn. Dit is echter in tegenspraak met de aannames van de stelling, dus
moet er wel een ondergrens zijn voor de straal van Ck+1 , waardoor de constructie niet
mogelijk is. We zien dat deze ondergrens van het aantal cirkels dat we tussen C1 en C2
willen leggen afhangt. Daarom hangt c(k) van k af.
Als we de straal C2 groter dan het minimum kiezen en C1 en C3 gelijk houden, vinden
we met Descartes-cirkelstelling dat de stralen van de overige cirkels ook groter worden
en dus nog steeds aan de zelfde ondergrens voldoen. De ondergrens hangt dus alleen af
van de straal van C1 .
31
Figuur 4.3.: Ter illustratie van de geconstrueerde cirkels.
32
Figuur 4.4.: Zo ziet de cirkelpakkingsgraaf er rond een randpunt C1 uit.
Voor punten die niet aan C2 grenzen, kunnen we een zelfde redenering gebruiken door
telkens een volgende buur te kiezen. Omdat we altijd C1 kunnen schalen tot straal 1,
schalen de ondergrenzen gelijk mee en geeft c(k) dus een correcte ondergrens voor de
straalverhouding in het algemene geval.
Opmerking Voor rakende binnencirkels van de pakking kunnen we beide cirkels als
middencirkel in het lemma nemen. De gevonden c(k) geeft dus zowel een ondergrens als
een bovengrens op de straalverhouding tussen rakende binnencirkels.
Om de vervorming van de afbeelding te begrenzen, moeten we echter ook met de
randcirkels van de pakking rekening houden. We gaan de begrenzing uit het ringlemma
dus uitbreiden naar randcirkels van de pakking.
Het volgende geldt alleen voor cirkels in maximale pakkingen van de eenheidsschijf.
We bekijken randcirkels die aan minstens één binnencirkel grenzen. Deze hebben wegens
het ringlemma een minimale grootte ten opzichte van de aangrenzende binnencirkel.
Hieraan voldoen alle randcirkels uit de cirkelpakking die we in G geconstrueerd hebben.
We willen laten zien dat er ook een maximale grootte ten opzichte van de binnencirkel
is. Als dat geldt, geeft dit ook onder- en bovengrenzen aan de straalverhoudingen van
aangrenzende randcirkels: deze hebben namelijk een binnencirkel als gezamenlijke buur.
Lemma 4.3. Voor elke k ∈ N≥3 bestaat er een c̃(k) ∈ (0, 1), zodat voor elke maximale
pakking van de schijf waarin elke randcirkel aan een binnencirkel raakt, de drager van de
binnencirkels samenhangend is, en elke cirkel maximaal k eraan rakende cirkels heeft,
de straalverhouding tussen rakende cirkels (Euclidisch) tussen c̃(k) en c̃(k)−1 ligt als we
minstens één binnencirkel op de oorsprong willen afbeelden.
Bewijs. Voor dit tweede bewijs gaan we uit van een randcirkel C1 . Het bewijs zal
op ongeveer dezelfde manier gaan als van het eigenlijke ringlemma maar nu speelt de
33
Figuur 4.5.: De constructie waarmee we een ondergrens op straal(C2 ) vinden. Het lijnstuk l is een deel van de zwarte lijn.
eenheidsschijf de rol van C2 uit het originele bewijs.
Een buurrandcirkel van C1 noemen we C2 . We doorlopen de buren van C1 vanaf C2
en noemen deze C3 , C4 , ...., Ck+1 . Zie hiervoor ook figuur 4.4. Merk op dat C2 en Ck+1
de enige randcirkels zijn, de rest zijn binnencirkels.
Als er geen ondergrens is dan kunnen we de straal van C2 willekeurig klein kiezen.
Als we een straal voor C2 hebben gekozen en de cirkel hebben neergelegd, willen we C3
gaan neerleggen aan de hand van C1 en C2 . Deze cirkel C3 is het grootst als deze aan de
eenheidsschijf raakt; met de Decartes-cirkelstelling vinden we nu een bovengrens voor
de straal van C3 afhankelijk van de straal van C2 :
R(C3 ) =
1
p
,
R(C1 )−1 + R(C2 )−1 − 1 − R(C1 )−1 R(C2 )−1 − R(C1 )−1 − R(C2 )−1
waarbij R(Ci ) de straal van Ci is. We leggen C3 neer met deze maximale straal. Merk
op dat de straal van C3 daalt als die van C2 daalt; dit is vooral grafisch goed te zien.
Als de straal van C2 daalt, dan daalt ook de hoek ∠C2 C1 C3 .
We herhalen dit proces voor elke volgende randcirkel. Als alles is neergelegd kijken
we naar het effect van het verkleinen van de straal van C2 . Als we dit doen gaat ook de
straal van C3 omlaag, dan ook van C4 en zo voort. Tegelijk moeten dan ook de hoeken
rond C1 afnemen. Zo kunnen we de hele cirkelpakking in een willekeurig kleine hoek
krijgen, in welk geval er geen enkele cirkel naar de oorsprong gaat. Dit was wel de eis,
dus we zien dat we C2 niet willekeurig klein kunnen maken.
Dat de ondergrens evenredig is met C1 dienen we nog aan te tonen. We gaan daarvoor
de constructie van net omgekeerd uitvoeren. We beginnen met een Ck+1 met dezelfde
straal als C1 . Als we Ck+1 niet groter dan dit kunnen maken, komen we namelijk op een
tegenspraak uit. Omdat er namelijk een binnencirkel rond de oorsprong ligt, moeten
alle randcirkels stralen kleiner dan 21 hebben. Twee randcirkels met stralen kleiner dan
1
drukken met deze constructie echter de hele pakking van de oorsprong weg, dus kan
2
er geen binnencirkel op de oorsprong liggen.
We nemen het lijnstuk l dat zowel aan C1 en Ck+1 raakt, de raakpunten als uiteindes
34
heeft en aan de zelfde kant als de andere buren komt te liggen. Dit lijnstuk ligt volledig
binnen de eenheidsschijf. We gaan nu zoals geschetst in figuur 4.5 de andere cirkels
neerleggen binnen het door l afgebakende gebied. We vinden zo een straal van C2
die kleiner is dan de straal die we hadden gevonden als we in plaats van een lijn de
schijf hadden gebruikt; deze straal is dus een goede ondergrens voor de straal van C2 .
Aangezien we nu een lijn gebruiken, schaalt alles lineair en vinden we dat de ondergrens
op de straal van C2 evenredig is met de straal van C1 .
Deze ondergrenzen hangen alleen van het aantal buren van de randcirkels en binnencirkels waar het om gaat, af. Samen met de eerdere opmerking over rakende randcirkels
is hiermee bewezen dat in een maximale pakking van de eenheidsschijf waarbij het aantal
buren van elke cirkel begrensd is door een k ∈ N, de straalverhouding tussen elke twee
buurcirkels voor zekere c̃(k) < 1 tussen c̃(k) en c̃(k)−1 ligt.
Zoals we straks preciezer laten zien, kunnen we hiermee de vervorming van de gelijkzijdige driehoeken uit de cirkelpakkingen in G door de afbeeldingen f , onafhankelijk
van begrenzen. Dit is voor de convergentie van de afbeeldingen erg belangrijk.
4.3.2. Het boog-lengtelemma
Het boog-lengtelemma hebben we straks nodig om te laten zien dat als de cirkels in het
gebied G naar nul gaan, de stralen van de cirkels aan de rand van de maximale pakking
uniform naar nul gaan. Dan convergeert het beeld van de functies naar de eenheidsschijf.
Voor dit lemma definiëren we eerst ketens. Een keten S is een eindige rij cirkels
(c1 , c2 , ..., cm ) in een cirkelpakking , waarbij ci en ci+1 , i ∈ {1, 2, ..., m − 1}, buren zijn
en alle ci verschillend zijn.
Lemma 4.4. Laat c een cirkel in een cirkelpakking in de eenheidsschijf zijn en S1 , S2 , ..., Sk
disjuncte ketens die c van de oorsprong en een punt op de schijfrand scheiden. Het aantal
cirkels in de keten Si noemen we ni . Dan geldt onderstaande vergelijking.
k
X
1
ni
i=1
straal(c) ≤
!− 12
Dit bewijs is weer uit het artikel van Rodin en Sullivan [6], met eigen toevoegingen
in de laatste stap. We schatten eerst de lengte van het pad dat elke keten vormt af, en
vervolgens daarmee de diameter van c.
Bewijs. Laat rj,i de straal van cirkel i uit keten Sj aangeven. Omdat voor x, y > 0 geldt:
35
0 ≤ (x − y)2 = x2 + y 2 − 2xy, geldt:
nj
X
!2
rj,i
=
X
i=1
2
rj,i
+
i
≤
rj,m rj,l
m6=l
X
2
rj,i
+
i
= nj
X
X
1X 2
2
r + rj,l
2 m6=l j,m
2
rj,i
i
Deze cirkels vormen een pad, gegeven door de lijnstukken die de raakpunten tussen
buurcirkels verbinden. Als de keten op de rand begint en eindigt, lopen de eerste en
laatste lijnstukken naar de raakpunten van de begin- en eindcirkels met de rand. Als
de begin- en eindcirkels elkaar raken, lopen de eerste en laatste lijnstukkenPvanaf het
raakpunt tussen deze cirkels. Voor de lengte lj van dit pad geldt nu: lj ≤ 2 i rj,i . Uit
het voorgaande volgt dan dat
k
X
lj 2
j=1
nj
≤4
nj
k X
X
2
rj,i
≤ 4.
j=1 i=1
De laatste ongelijkheid geldt omdat alle cirkels waar het hier om gaat disjunct zijn en
in de eenheidsschijf liggen, dus hun gezamenlijke oppervlakte is kleiner dan dat van de
eenheidsschijf.
Voor het minimum l van de padlengtes l1 , l2 , ...lk geldt nu:
X
l2
nj −1 ≤ 4.
j
Als we nu weten dat l ≥ 2 straal(c), is het lemma bewezen.
Om dat te bewijzen maken we een gevalsonderscheid. Het pad met lengte l kan een
gesloten pad zijn, of het kan beginnen en eindigen op de rand van de cirkel. Voor ketens
die op de rand beginnen en eindigen maken we een verder onderscheid. Deze kun je zien
in figuur 4.6.
Als de keten met lengte l rakende begin- en eindcirkels heeft, ligt deze helemaal om c
heen. Het gaat om een gesloten pad om het middelpunt van c, waarbij de afstand van
elk punt op dat pad tot het middelpunt groter dan de straal van c is. Deze situatie is
geschetst in figuur 4.6a. Dan geldt in poolcoördinaten om het middelpunt van c, met
36
(a)
(b)
(c)
(d)
Figuur 4.6.: De verschillende mogelijkheden voor een pad (blauw) dat de kleine cirkel c
van de oorsprong (rood) en een punt op de schijfrand scheidt. Er zijn ook
constucties voor de bewijzen geschetst (paars).
het pad geparametriseerd als {(r(t), φ(t)) : t ∈ [0, 1]}:
s
2 2
nj Z a
i+1
X
d
d
l =
r cos(φ) +
r sin(φ) dt
dt
dt
a
i
i=0
s
2 2
nj Z a
i+1
X
dr
dφ
dr
dφ
=
cos(φ) − r sin(φ)
+ sin(φ) + r cos(φ)
dt
dt
dt
dt
dt
i=0 ai
s 2
nj Z a
2
i+1
X
dr
dφ
+ r
dt
=
dt
dt
i=0 ai
nj Z a
i+1
X
dφ r dt
≥
dt
i=0 ai
nj Z a
i+1
X
dφ
≥
( inf r(t)) dt
t∈[0,1]
dt
i=0 ai
Z 2π
≥ straal(c)
dφ
0
≥ 2π straal(c),
waarbij elk lijnstukje waaruit het pad bestaat, geparametriseerd wordt via {(r(t), φ(t)) :
t ∈ [ai , ai+1 ]} voor zekere i, met 0 = a0 < a1 < ..... < anj +1 = 1. Hiermee is voor dit
geval het bewijs geleverd.
Als de begin- en eindcirkels van de keten elkaar niet raken, onderscheiden we drie
gevallen. We bekijken de middelpunten van de eenheidsschijf (de oorsprong) en van het
cirkeltje c. We trekken de twee lijnen die c raken en parallel aan de lijn tussen c en de
oorsprong lopen. Het pad kan de twee lijnen beide snijden (figuur 4.6b), het kan slechts
één lijn snijden (figuur 4.6c) en het kan ze allebei niet snijden (figuur 4.6d). Al deze
paden beginnen en eindigen op de rand en doorsnijden zichzelf niet. (Dit volgt uit de
37
constructie uit de cirkelketen.) In al deze gevallen gebruiken we dat een rechte lijn (in
de Euclidische metriek) het kortste pad tussen twee punten is.
Als het pad de twee lijnen beide snijdt, vormt een deel van het pad tussen twee zulke
snijpunten een pad tussen de twee lijnen. De lengte van dit pad is dan minstens zo groot
als de afstand tussen de punten op de twee lijnen, die op zijn beurt minstens zo groot
is als de afstand tussen de lijnen. De afstand tussen de lijnen is (uit de constructie) de
diameter van c. Voor het geval uit figuur 4.6b geldt dus l ≥ 2 straal(c).
Als het pad slechts één lijn snijdt, is het belangrijk op te merken dat het pad om de
oorsprong heen moet lopen. Bekijk hiervoor figuur 4.6c. We bekijken twee stukken van
het pad. Het moet het lijnstuk tussen de oorsprong en het middelpunt van c snijden om
c van de oorsprong te scheiden. Met een argument zoals hierboven geldt nu dat het (een)
stuk pad tussen de snijpunten met de lijn en het lijnstuk een lengte heeft, die minstens
zo groot als de straal van c is.
Het tweede stuk van het pad dat we bekijken, wordt bepaald met behulp van het
lijnstuk tussen de oorsprong en het punt onder de ondoorsneden parallelle lijn waar
het pad de eenheidscirkel snijdt. Neem dan ook het lijnstuk loodrecht hierop dat in de
oorsprong begint en op de rand van de eenheidsschijf eindigt, en de parallellijn snijdt die
het pad niet snijdt (zie ook figuur 4.6c). Deze moet het pad ook snijden. Het stuk van
het pad tussen het (een) snijpunt met deze loodrechte lijn en de cirkelrand moet dan een
lengte hebben, groter dan of gelijk aan de lengte van de rechte lijn tussen deze punten,
en deze lengte is weer minstens zo groot als van de lijn tussen oorsprong en schijfrand
(Pythagoras). Voor het hele pad geldt dan: l ≥ straal(c) + 1 ≥ 2 straal(c).
Het laatste geval is nu het geval waar het pad beide parallelle lijnen niet snijdt. Dan
maken we twee keer de constructie met de loodrechte lijn uit het vorige geval: dit is
geschetst in figuur 4.6d. Hieruit volgt dan: l ≥ 1 + 1 ≥ 2 straal(c).
Hiermee is het tweede deel van het bewijs compleet en volgt het lemma. De straal van
een cirkel in een cirkelpakking is dus af te schatten met behulp van ketens van cirkels
die eromheen liggen.
Het gaat in dit lemma alleen om de aantallen cirkels in de ketens, dus op deze manier
is met eigenschappen van de graaf een geometrische eigenschap van de pakking af te
leiden. Zonder de maximale pakking bij de cirkelpakking in G expliciet te bekijken,
kunnen we hiermee de stralen van de randcirkels in de maximale pakking afschatten.
4.4. Convergentie van de beelden
Nu moeten we nog laten zien dat de beelden van de afbeeldingen f die we gedefinieerd
hebben, naar de eenheidsschijf convergeren als de cirkelstralen naar nul gaan. Omdat
we maximale pakkingen gebruiken, is dit duidelijk waar als de stralen van de randcirkels
naar nul convergeren. Om dit te bewijzen gebruiken we het boog-lengtelemma.
Bekijk voor zekere eerst de cirkelpakking die bij het domein van f hoort. We kunnen
een bol om w0 vinden die in G bevat is. Naarmate we kleiner maken, passen er steeds
meer zeshoekige ringen van cirkels om w0 in die bol, dus in de cirkelpakking die bij
38
het domein hoort. Laat n het aantal zulke cirkels zijn en bekijk een willekeurige cirkel
c aan de rand van de domeinpakking in G. Dan kunnen we n ringen van cirkels om
c maken in het oorspronkelijke honingraatrooster, die c van w0 scheiden. Door delen
hiervan te nemen die in de domeinpakking liggen, vinden we in de domeinpakking n
disjuncte ketens van cirkels die c van w0 scheiden, en van een andere randcirkel, met
lengtes kleiner dan of gelijk aan 6, 12, 18, ..., 6n .
In de beeldpakking noteren we de cirkel die met c overeenkomt met f (c). Merk op dat
dit in het algemeen niet het beeld van c als verzameling in het domein is. Hier scheiden
de n ketens f (c) van de oorsprong en een punt op de schijfrand. Toepassen van het
boog-lengtelemma laat dan zien dat
!−1
straal(f (c))2 ≤
n
X
1
ni
i=1
!−1
≤
n
X
1
6i
i=1
= 6
n
X
1
i=1
i
!−1
.
Nu weten we dat voor → 0, n → ∞, en dat de bovenstaande reeks dan divergeert.
De stralen van de randcirkels in de beeldpakking convergeren dus naar nul voor → 0,
en doen dat uniform omdat deze afschatting niet van de specifieke randcirkel afhangt.
Dan convergeert het beeld van de functies f naar de hele open eenheidsschijf voor → 0.
De beelden van de afbeeldingen convergeren dus zoals gewenst.
Hiermee hebben we dus aangetoond dat als we de afbeeldingen tussen G en de eenheidsschijf definiëren via zo groot mogelijke cirkelpakkingen in G uit de honingraatpakking, en de bijbehorende maximale pakkingen, we een rij afbeeldingen vinden, waarvan
de domeinen en beelden convergeren zoals we willen. In het volgende hoofdstuk zullen
we aantonen dat we een convergente rij afbeeldingen hieruit kunnen vinden, en dat de
limietafbeelding hiervan een conforme bijectie is tussen G en de open eenheidsschijf.
39
5. Convergentiestelling op een
honingraatrooster
In dit hoofdstuk zullen we via cirkelpakkingen bewijzen dat bepaalde ‘rare’ gebieden homeomorf aan de eenheidsschijf zijn, en dat we zelfs conforme bijecties hiertussen kunnen
vinden. Deze afbeeldingen kunnen we met behulp van cirkelpakkingen construeren.
Stelling 5.1. Tussen een open, enkelvoudig samenhangende en begrensde verzameling
G ( C en de eenheidsschijf bestaat een conforme bijectie. Deze afbeelding is te construeren via een convergente rij afbeeldingen tussen dragers van cirkelpakkingen in G en de
eenheidsschijf.
Met behulp van een computerprogramma dat de cirkelpakkingen in G kan construeren
en maximale pakkingen kan maken, kunnen we de convergerende afbeeldingen zo vrij
expliciet construeren. Een beschrijving van een dergelijk programma straat in appendix C.
De stelling is een bijzonder geval van de Riemann-afbeeldingsstelling, die hieronder
staat.
Stelling 5.2. Tussen een open, enkelvoudig samenhangende verzameling G ( C en de
eenheidsschijf bestaat een conforme bijectie.
Voor de convergentiestelling hebben we eerst afbeeldingen nodig die convergeren. Dit
zijn de afbeeldingen f , die we in hoofdstuk 4 geconstrueerd hebben. Deze afbeeldingen
zijn niet in het algemeen conform, maar blijken wel bijna conform (quasiconform) te zijn.
De afbeeldingen zullen naar een conforme afbeelding convergeren voor steeds kleiner
wordende cirkels.
Om de convergentiestelling te bewijzen, hebben we eerst een aantal lemma’s nodig.
Deze gaan vooral over quasiconformaliteit. Een cruciale stelling, en een lastige, blijkt te
zijn dat bij de graaf van de oneindige honingraatpakking, de cirkelpakking met alleen
cirkels van dezelfde stralen de enige mogelijke is.
In dit hoofdstuk zal de Euclidische meetkunde gebruikt worden.
5.1. Quasiconforme afbeeldingen
We gaan nu bekijken wat quasiconformaliteit precies inhoudt en laten zien dat de f inderdaad quasiconforme afbeeldingen zijn. Daarna bekijken we een aantal eigenschappen
van deze afbeeldingen.
40
5.1.1. Conforme en quasiconforme afbeeldingen
We willen eigenschappen bekijken van de functies tussen dragers van twee cirkelpakkingen. Hiervoor moeten we deze functies categoriseren. Ze blijken in het hokje ‘quasiconforme afbeeldingen’ te passen: dit zijn functies die bijna conform zijn.
Zoals we bij functietheorie geleerd hebben, kun je conforme afbeeldingen definiëren als
afbeeldingen waarvan in elk punt, de afgeleide functie een samenstelling van een rotatie
en een schaling (vermenigvuldiging met een constante) is. Voor de afgeleide in een punt
z zijn dus precies de functies die cirkels om z naar cirkels om het beeld van z sturen,
de mogelijkheden. Omdat de functie f zich lokaal als de afgeleide gedraagt, kan dit als
volgt geformuleerd worden: voor elk punt z in het domein geldt dat
lim sup
r→0+
supθ |f (z + reiθ ) − f (z)|
= 1.
inf θ |f (z + reiθ ) − f (z)|
Nu definiëren we quasiconforme afbeeldingen als afbeeldingen waarvan de beelden van
infinitesimale cirkels bijna cirkels zijn: de vervorming ervan is begrensd. We eisen hierbij
niet dat een functie differentieerbaar is, maar hij moet wel continu zijn.
Definitie 5.3. Een continue afbeelding f met domein D heet K-quasiconform voor
zekere K ∈ [1, ∞) als
Kf := sup lim sup
z∈D
r→0+
supθ |f (z + reiθ ) − f (z)|
inf θ |f (z + reiθ ) − f (z)|
bestaat en Kf ≤ K; zie ook [3].
Er geldt nu duidelijk dat ‘1-quasiconform’ en ‘conform’ equivalente begrippen zijn [3].
Hoewel quasiconforme afbeeldingen niet alle eigenschappen van conforme afbeeldingen
hebben, blijken ze mooi genoeg te zijn om convergentie te krijgen in de constructie die
wij maken.
5.1.2. Affiene afbeeldingen en quasiconformaliteit
De afbeeldingen f die we uiteindelijk zullen bekijken zijn stuksgewijs affien. We willen
dat deze ook quasiconform zijn.
Om ook maar eens een voorbeeld te geven, zullen we eerst laten zien dat een affiene
afbeelding quasiconform is. Hiervoor beschouwen we het complexe vlak als R2 .
Lemma 5.4. Affiene afbeeldingen op R2 , van de vorm
a b
x
x0
(x, y) 7→
+
,
c d
y
y0
met a, b, c, d, x0 , y0 ∈ R, ad − bc 6= 0, zijn quasiconform.
41
Bewijs. Het lokale en globale gedrag van een affiene (lineaire plus constante) functie is
gelijk. Omdat we telkens alleen verschillen tussen beeldpunten bekijken, is het voldoende
alleen lineaire afbeeldingen te bekijken. Verder maakt een samenstelling met een rotatie
voor het quasiconform zijn van een afbeelding niet uit: het gaat immers alleen om de
afstanden tussen beeldpunten. Door samenstelling met zo een rotatie, mogen we er dus
zonder verlies van algemeenheid vanuit gaan dat de eenheidsvector (1, 0) op een vector
(r1 , 0), r1 ∈ R>0 , wordt afgebeeld. (Het beeld mag niet de nulvector zijn, omdat de
afbeelding inverteerbaar is.) Het beeld van (0, 1) is nu altijd van de vorm (λr2 , r2 ),
r2 ∈ R6=0 , λ ∈ R.
We kunnen ons voor het bewijs van dit lemma dus beperken tot afbeeldingen van de
vorm (x, y) 7→ A(x, y), waarbij A een matrix van de vorm
r1 λr2
0 r2
is. Nu is ook duidelijk waarom r2 niet nul mag zijn. De matrix zou dan namelijk niet
inverteerbaar zijn. Door λ juist te kiezen, kan λr2 dan elke waarde in R aannemen.
We zouden λr2 ook een nieuwe naam kunnen geven; bij het volgende lemma zal echter
duidelijk worden waarom we ervoor kiezen de matrix toch op deze manier te parametriseren. Aangezien we willen aantonen dat deze afbeeldingen f quasiconform zijn, willen
we kijken naar het infinum en supremum van |f (z + reiθ ) − f (z)|. We schrijven deze
uitdrukking uit voor onze afbeelding rond z = x + iy:
|f (x + r cos(θ), y + r sin(θ)) − f (x, y)| = |(r1 r cos(θ), λr2 r cos(θ) + r2 r sin(θ))|
s
2
r1
cos(θ) + (λ cos(θ) + sin(θ))2 .
= rr2
r2
Deze afstand is duidelijk onafhankelijk van het punt z = x + iy. Ook zien we dat als
we uiteindelijk het supremum en infinum door elkaar delen, r weg zal vallen. We zijn
dus geı̈nteresseerd in
s
2
r1
csup := sup
cos(θ) + (λ cos(θ) + sin(θ))2
r2
θ∈[0,2π]
s
2
r1
cinf := sup
cos(θ) + (λ cos(θ) + sin(θ))2 .
r
2
θ∈[0,2π]
Aangezien de sinus en cosinus begrensd zijn voor reële θ en de functie sowieso ergens
groter wordt dan 0, geldt 0 < csup < ∞.
Voor cinf moeten we wat meer werk verrichten. Eerst merken we op dat
s
2
r1
r2
cos(θ) + (λ cos(θ) + sin(θ))2 > 0
r2
voor elke θ ∈ [0, 2π]. Stel dat toch cinf = 0, dan is er een rij (θi )i∈N waarvan de beelden
naar 0 convergeren. Aangezien [0, 2π] gesloten en compact is, is er een convergente
42
deelrij van (θi )i∈N . Het limiet van deze rij moet in het interval liggen en het beeld moet
gelijk zijn aan 0. We wisten echter dat zo’n waarde niet bestond, dus moet cinf ongelijk
zijn aan 0.
Als we nu de definitie van quasiconform erbij pakken, zien we dat
rcsup
csup
=
> 1.
Kf = sup lim sup
cinf
z∈C r→0+ rcinf
Hiermee is nu bewezen dat een inverteerbare affiene afbeelding K-quasiconform is voor
zekere K > 1. Dit is in artikel [3] met behulp van een alternatieve definitie van quasiconfomaliteit bewezen.
Met behulp van dit lemma, de notatie uit het bewijs en met het ringlemma, kunnen
we nu ook aantonen dat de f uit het vorige hoofdstuk allemaal K-quasiconform zijn
voor zekere K, die niet van afhangt. Dit hebben we straks nodig om aan te tonen dat
de f een convergente deelrij hebben.
Lemma 5.5. De f die we in hoofdstuk 4 gedefinieerd hebben, zijn allemaal K-quasiconform
voor vaste K ∈ [1, ∞).
Bewijs. Dit lemma volgt uit het ringlemma en de uitbreiding daarvan naar randcirkels,
dat de straalverhoudingen tussen rakende cirkels begrenst. Dan weten we ook dat de
gelijkzijdige driehoeken uit het domein van f , door de afbeelding beperkt vervormd
worden.
We bekijken daarvoor eerst een enkele driehoek in de domeinpakking. Daarop is
f affien. Zoals we net gezien hebben, kunnen we deze afbeelding parametriseren met
behulp van r1 , r2 ∈ R6=0 en λ ∈ R.
Zoals we toen ook hebben gezien, is de afbeelding dan K-quasiconform met
r
r1
r2
supθ
K() =
inf θ
r
r1
r2
2
cos(θ)
+ (λ cos(θ) + sin(θ))2
2
cos(θ) + (λ cos(θ) + sin(θ))2
We zijn nu geı̈nteresseerd in λ en rr21 : als die onafhankelijk van de driehoek begrensd
zijn, dan is K dat ook, onafhankelijk van . We kunnen dit in het inwendige van de
driehoeken al snel zien; K is immers begrensd door de grenzen op de variabelen waar
hij van af hangt. Op de randen van de driehoeken kunnen hetzelfde doen met het
maximum (respectievelijk minimum) van de suprema (respectievelijk infina) van de aan
elkaar grenzende driehoeken. We vinden dus dat K begrensd is op het gehele domein
en dat de afbeelding dus K-quasiconform is.
We dienen echter nog wel aan te toen dat λ en rr21 begrensd zijn. Hiervoor bekijken we
eerst de meetkundige interpretatie van hun waarden. De transformatie zet driehoeken
lineair over in elkaar, dit is te beschrijven als een samenstelling van een translatie, een
rotatie, schalingen van de basisvectoren en een zogenaamde schering.
We hebben eerder gezien dat de translatie voor de quasiconformaliteit niks uitmaakt,
dus deze negeren we. Omdat we toch een cirkel bekijken, kunnen we de rotatie ook
43
Figuur 5.1.: Een schematische weergave van hoe we de affiene afbeelding tussen driehoeken bekijken.
negeren. We kiezen zelfs specifiek een rotatie uit die de driehoeken neerlegt zoals in
figuur 5.1, met een kant plat.
De transformatie die overblijft is dan een diagonaalmatrix
r1 0
0 r2
die de basis en de hoogte van de beelddriehoek bepaalt, samengesteld met een een
scheringsmatrix
1 λ
0 1
die de top van de driehoek verschuift ten opzichte van de onderkant, en is dus van de
eerder gevonden vorm
r1 λr2
.
0 r2
Nu is de verhouding tussen r1 en r2 begrensd omdat de driehoek niet te langgerekt
mag zijn. Dat zou namelijk overeenkomen met een te grote of te kleine straal van een
cirkel ten opzichte van zijn buurcirkels in een maximale pakking van de eenheidsschijf,
volgens het ringlemma. Verder is λ om de zelfde reden begrensd: een te grote |λ| zou
weer een te extreme straalverhouding van de cirkels betekenen.
Vanwege het ringlemma zijn rr12 en λ dus begrensd, dus zijn het supremum en infininum
uit de definitie van Kf dat ook. Alle afbeeldingen f zijn dus K-quasiconform op hun
hele domein voor vaste K.
We zullen nu bekijken waarom deze resultaten zorgen dat we een convergente rij f
kunnen vinden.
5.1.3. Convergentie van quasiconforme afbeeldingen
We willen straks een convergente rij afbeeldingen tussen dragers van cirkelpakkingen
vinden om de uiteindelijke (conforme) afbeelding te definiëren. Met behulp van quasiconformaliteit zullen we aantonen dat we zo een convergente rij kunnen vinden. Verder
willen we dat de limietafbeelding die we zo krijgen, ook quasiconform is. (Uit het voorbeeld van de lineaire afbeelding volgt dat de limietafbeelding niet altijd conform kan
zijn.)
In dit onderdeel zullen we daarom het volgende lemma bewijzen.
44
Lemma 5.6. Een rij K-quasiconforme afbeeldingen van een open samenhangende verzameling naar een begrensde verzameling heeft een uniform convergente deelrij op compacte
deelverzamelingen.
Een aantal resultaten die we hiervoor nodig hebben, zullen we niet zelf bewijzen. Het
bewijs zal uit twee stappen bestaan: eerst reduceren we het probleem met behulp van
compactheid tot een eindig probleem, dan gebruiken we een stelling om het eindige geval
op te lossen.
Hiervoor definiëren we eerst equicontinuı̈teit. We gebruiken hier η omdat we voor
de f willen reserveren.
Definitie 5.7. Een verzameling functies {fa : U → V | a ∈ A} heet equicontinu als voor
alle x ∈ U, η > 0, er een een δ > 0 bestaat zodat voor alle y ∈ U met |x − y| < δ geldt:
|fa (x) − fa (y)| < η voor alle a ∈ A. Hier mag δ dus wel van x afhangen, maar niet van
a.
We bekijken nu een iets aangepaste versie van de stelling van Ascoli [7]. Het bewijs
komt ook uit dit boek.
Stelling 5.8. Laat {fn : U → V | n ∈ N} een equicontinue verzameling functies zijn op
een compacte, samenhangende verzameling U ⊂ C, met V ⊂ C begrensd. Dan is er een
uniform convergente deelrij (fnj )j∈N van deze functies.
Een deel van het bewijs hiervan lijkt op een aantal bewijzen uit Analyse op de Lijn
over uniform continue rijen functies. Eerst moeten we echter een convergente deelrij op
aftelbaar veel punten construeren.
Bewijs. We bekijken de functies eerst alleen op de verzameling Q2 ∩U . Deze verzameling
is aftelbaar en we nummeren de elementen zi , i ∈ N. Omdat de rij (fn (zi ))n∈N begrensd
is voor elk zi , kunnen we voor elke deelrij van de functies een verdere deelrij vinden die
convergeert in zi . Op deze manier definiëren we inductief een rij van rijen (fni )n∈N , i ∈ N
die convergeren in z1 , z2 , ..., zi . Omdat de eerste elementen van de rij er voor convergentie
niet toe doen, kunnen we de deelrijen telkens zo kiezen, dat voor alle n < i geldt:
fni = fni−1 . Nu is de diagonale rij (fii )i∈N een deelrij van alle rijen (fni )n∈N , dus convergent
in alle zi , en welgedefinieerd. We hebben dus een rij (fnj )j∈N gevonden die convergeert
in alle punten in Q2 ∩ U .
Laat nu η > 0. We overdekken U met bolletjes B(zi , δzi ), met δzi > 0, zodanig dat
voor alle y ∈ U met |zi − y| < δzi geldt: |fa (zi ) − fa (y)| < η3 voor alle a ∈ A. De
bolletjes overdekken U omdat ze alle punten met afstand nul tot Q2 ∩ U bevatten, en
deze verzameling ligt dicht in U . Hiervan kiezen we een eindige deeloverdekking met
bolletjes B(zi , δzi ), i ∈ {1, 2, ..., m} (na een eventuele hernummering).
Omdat we nu maar eindig veel punten bekijken, bestaat er een N ∈ N zodanig dat voor
alle j, k > N, i ∈ {1, 2, ..., m} geldt: |fnj (zi ) − fnk (zi )| < η3 . Bekijk nu een willekeurige
z ∈ U . Dan geldt: z ∈ B(zi , δzi ) voor zekere i ∈ {1, 2, ..., m}. Nu geldt voor j, k > N :
|fnj (z) − fnk (z)| ≤ |fnj (z) − fnk (zi )| + |fnj (zi ) − fnk (zi )| + |fnj (zi ) − fnk (z)|
≤ η3 + η3 + η3 = η.
45
De gevonden rij (fnj )j∈N is dus uniform Cauchy, dus, omdat C volledig is, uniform
convergent. Hiermee is de (iets aangepaste) stelling van Ascoli bewezen.
Om lemma 5.6 te bewijzen, moeten we dus laten zien dat K-quasiconforme afbeeldingen die aan de voorwaarden van het lemma voldoen, equicontinu zijn. Hiervoor
gebruiken we een stelling uit [4], die we niet zelf zullen bewijzen.
Stelling 5.9. Laat {fa : U → V |a ∈ A} een verzameling K-quasiconforme functies, met
U een samenhangende open verzameling. Als nu voor zekere d > 0 er voor elke a ∈ A
twee punten x, y ∈ C\fa (U ) zijn met |x − y|Riemann-sfeer > d, is {fa : U → V | a ∈ A}
equicontinu.
Voor functies waarvan het beeld uniform begrensd is, zoals de f , is duidelijk aan
de voorwaarden op het beeld voldaan. We zullen straks samenhangende, compacte
verzamelingen in open verzamelingen bekijken, waarop de functies dus equicontinu zijn
op de open verzameling, en binnen de compacte verzameling dus uniform convergent.
Als laatste noemen we een stelling uit [4] die laat zien dat de limietafbeelding quasiconform is. Deze zullen we ook niet bewijzen.
Stelling 5.10. De limietfunctie van een convergente rij K-quasiconforme afbeeldingen
op een samenhangend en open domein is K-quasiconform en bijectief, of heeft een beeld
bestaand uit één of twee punten.
5.2. Het bewijs van de convergentiestelling
Nu gaan we de voorgaande lemma’s gebruiken om het uiteindelijke bewijs van de convergentiestelling te geven. We hebben nog één stelling nodig, over uniciteit van oneindige
cirkelpakkingen. Deze zullen we geven wanneer hij nodig is. Het bewijs is grotendeels
van [9]. We kiezen een enkelvoudig samenhangend en begrensd gebied G ( C. Een
gebied is net als bij het vak functietheorie een open en samenhangende deelverzameling
van het complexe vlak. We kiezen vaste punten w0 en w1 hierin.
We hebben in het vorige hoofdstuk een geldige cirkelpakking in G geconstrueerd. We
weten dat als we hierin de cirkelstralen naar nul laten gaan, de drager van de pakking
naar G convergeert. Met de maximale-pakkingsstelling beelden we zo een pakking dan
op de eenheidsschijf af. We definiëren de afbeelding die hierbij hoort via de driehoeken
die de lijnen tussen de middelpunten van rakende cirkels vormen, maken. Deze driehoeken bij elkaar noemen we de drager van de cirkelpakking. De afbeelding is dan de
stuksgewijs affiene afbeelding die de driehoeken in G op de bijbehorende driehoeken in
de eenheidsschijf afbeeldt. We laten de stralen van de cirkels in G naar nul gaan en laten
zien dat:
• de afbeeldingen quasiconform zijn, en elke limietafbeelding hiervan conform is,
• we een convergente rij afbeeldingen kunnen vinden, dus dat de limiet bestaat,
• en dat deze limietafbeelding een bijectie is.
46
Hiermee hebben we dan het existentiedeel van de Riemann-afbeeldingsstelling bewezen.
De uniciteit blijkt dan makkelijk te bewijzen te zijn.
5.2.1. Conformaliteit
Nu willen we laten zien dat elke limietafbeelding die we zullen construeren, conform is.
Hiervoor gebruiken we de uniciteit van de honingraatpakking: de enige manier om een
(oneindige) cirkelpakking met die graaf te maken, is met cirkels die allemaal dezelfde
grootte hebben. Een bewijs hiervoor werd gegeven door door Schramm [8]. Appendix B
is een leesgids voor dit artikel.
Lemma 5.11. Als de afbeeldingen f voor → 0 een continue limietafbeelding hebben,
is deze afbeelding conform op zijn domein.
Bewijs. Om uit de uniciteit van de honingraatpakking te bewijzen dat de afbeelding
conform is, gebruiken we een bewijs uit [9]. Bekijk eerst een stuk cirkelpakking bestaande
uit een cirkel met n zeshoeken van andere cirkels eromheen. Zo’n zeshoek noemen we
een generatie: generatie n bestaat uit de cirkels die je, over rakende cirkels lopend,
in minimaal precies n stappen kunt bereiken. De middencirkel zelf (noem hem c), is
generatie 0. We herschalen de pakking zodat straal(c) = 1. Wegens het ringlemma zijn
de cirkels van elke generatie i nu uniform van nul en oneindig weg begrensd als ze in een
maximale pakking van de eenheidsschijf liggen.
Als we nu een rij zulke pakkingen hebben, kunnen we voor een cirkel in generatie
1 een convergente deelrij van stralen vinden, en daar weer een convergente deelrij van
voor de volgende cirkelstraal, enzovoort. Nu willen we het aantal generaties n naar
oneindig laten gaan en het gedrag van de cirkelstralen daarbij bekijken. De vector die
de cirkelstralen bevat, en waarvan we de convergentie bekijken, moet bij toevoegen van
generaties cirkels groter worden. Om toch convergentie te bekijken, kennen we straal 1
toe aan cirkels die nog niet in de vector zitten. Het buitenste stuk is dan wellicht geen
correcte cirkelpakking, maar dat deel bekijken we dan toch nog niet. Met een aanpassing
van de eerste elementen en een diagonaalrij zoals in het bewijs van de stelling van Ascoli,
kunnen we nu een deelrij van cirkelpakkingen vinden waarvan het aantal generaties naar
oneindig gaat en de cirkelstralen convergeren. Door het middelpunt van c telkens in de
oorsprong te leggen en het middelpunt van een vaste cirkel uit generatie 1 op de positieve
reële as te leggen, vinden we dan een niet-gedegenereerde (wegens de eerdere begrenzing
van de cirkelstralen per generatie) limietpakking, die uit de constructie de graaf van de
honingraatpakking heeft. Dit moet dan, uit de uniciteit van de honingraatpakking, een
cirkelpakking met cirkels van gelijke stralen zijn.
Dan kunnen we een rij (sm )m∈N vinden, zodat de stralen van de cirkels in generatie 1
in een cirkelpakking met m generaties minder dan sm van 1 verschillen. We weten dan
dat sm → 0 voor m → ∞. Als dit namelijk niet zo was, zouden we een rij cirkelpakkingen zoals hierboven zonder limietpunt (1, 1, ....), waarbij alle cirkels gelijke stralen
hebben, kunnen construeren, waarvan een deelrij convergeert naar een cirkelpakking
met de honingraatgraaf, maar met twee cirkels waarvan de stralen verschillen. Dit is in
tegenspraak met de uniciteit van de honingraatpakking.
47
Nu stappen we over naar het concretere geval van de afbeeldingen f . We kiezen een
punt z ∈ G en laten zien dat een limietafbeelding van de afbeeldingen f in dat punt
conform moet zijn. We zorgen dat voldoende klein is. Voor elke afbeelding f kiezen we
dan een cirkel in G, zodat z in de drager van die cirkel en de zeshoek eromheen ligt. Deze
middencirkels noemen we c . In de pakking in G wijzen we de cirkel rechts naast c als
tweede normalisatiecirkel aan. Zoals we eerder hebben gezien bij de beeldconvergentie,
gaat het aantal generaties cirkels om c in de domeinpakking naar oneindig voor → 0.
Omdat de beeldpakking dezelfde graaf heeft, geldt dat daar dan ook.
Nu bekijken we een convergente rij afbeeldingen fn , met n → 0 als n → ∞. Rond
de cirkels cn kunnen we dan toepassen wat we net bewezen hebben: de beeldcirkels
van de eerste generatie convergeren naar cirkels met dezelfde straal als fn (cn ) voor
n → ∞. De afbeeldingen fn convergeren op dit krimpende domeintje rond z dan naar
een affiene afbeelding die een zestal gelijkzijdige driehoeken met dezelfde zijdes afbeeldt
op een zestal gelijkzijdige driehoeken met (eventueel andere) zelfde zijdes. Dit betekent
concreet dat
supθ |fn (z + reiθ ) − fn (z)|
Kfn (z) = lim sup
iθ
r→0+ inf θ |fn (z + re ) − fn (z)|
naar 1 convergeert voor n → ∞, dus dat de limietafbeelding in z 1-quasiconform, dus
conform, wordt. Voor n → ∞ worden de driehoeken namelijk dichtbij gelijkzijdig begrensd, en het aangegeven supremum en infinum zijn dan duidelijk dichtbij elkaar begrensd in elke driehoek, dus ook op hun doorsnedes.
5.2.2. Eigenschappen van een limietafbeelding
We weten nu nog niet dat de afbeeldingen convergeren, maar als er wel een limietafbeelding bestaat, kunnen we daarvan nu al eigenschappen die we in de stelling eisen,
bewijzen. Als we nu dus een convergente rij fn , met n → 0 als n → ∞ kunnen vinden,
met limietfunctie f , weten we dat de limietafbeelding een conforme afbeelding van G
naar de open eenheidsschijf is, als hij continu is. We bewijzen straks dat de afbeelding f
inverteerbaar en continu is. Als dit het geval is, weten we uit [1] dat de inverse afbeelding
ook conform is. Het bestaan van een inverse zal volgen uit de quasiconformaliteit van
de f .
5.2.3. Het bestaan en de bijectiviteit van de limietafbeelding
De laatste stap in het bewijs van de convergentiestelling is nu te bewijzen dat er een
limietafbeelding bestaat. Hiervoor zullen we op compacte deelverzamelingen van G de
eerder bewezen stellingen over convergentie van quasiconforme afbeeldingen gebruiken.
Lemma 5.12. Er bestaat op de hele eenheidsschijf een limietafbeelding f −1 van de f−1 ,
voor → 0.
Bewijs. We willen, om dit te bewijzen, eerst een rij compacte deelverzamelingen van
G vinden die naar G convergeren, en waarvan de vorige steeds de volgende bevat. We
48
definiëren deze verzamelingen Gn nu aan de hand van de domeinen van de functies
f . Deze domeinen zijn allemaal compact, want we hebben ze begrensd gekozen en de
dragers van cirkelpakkingen zijn gesloten. We noemen ze U . Dan nemen we
G0n := ∩<n−1 U .
Voor n voldoende groot bevat elke G0n tenminste één punt, namelijk w0 . Het is begrensd
omdat Un−1 begrensd is, en gesloten omdat doorsnedes van gesloten verzamelingen gesloten zijn. We kiezen de samenhangscomponent Gn hiervan die w0 bevat en hebben dan
een samenhangende, compacte verzameling. Omdat we eerder hebben aangetoond dat
er voor elke punt in G een is zodat het punt voor elke kleinere in het domein van f
zit, samen met een vaste open omgeving van een pad van w0 naar het punt, convergeren
de Gn naar G voor n → ∞.
Verder hebben we nodig dat de afbeeldingen f K-quasiconform zijn voor zekere K >
1. Dit hebben we bewezen in lemma 5.5.
Nu hebben we alle ingrediënten bij elkaar om de limietafbeelding f te construeren.
Merk op dat voor voldoende klein, alle functies f welgedefinieerd zijn op Gn als n
groot genoeg is dat Gn niet leeg is. Voor de convergentie bekijken we de inversen van
de functies f : we weten uit (het bewijs van) de maximale-pakkingsstelling dat deze
afbeeldingen injectief zijn, dus bijectief op hun domeinen. De beelden zijn compact
omdat het continue beelden van compacte verzamelingen zijn. Deze inversen f−1 zijn
ook allemaal K 0 -quasiconform, om precies dezelfde redenen als de f . We bekijken de
inverse functies, omdat dan meteen duidelijk wordt waarom ons gebied G begrensd moet
zijn.
We hebben eerder gezien dat de beelden van de f naar de eenheidsschijf convergeren
voor → 0. Laat k de eerder afgeleide bovengrens op de straal van de randcirkels voor
een honingraatpakking in G met cirkels van straal zijn. Dan is f−1 op B(0, 1 − 2k ) in
elk geval welgedefinieerd. De domeinen van de inverse functies convergeren dan duidelijk
naar de open eenheidsschijf voor → 0. Omdat we G begrensd nemen, weten we dat de
beelden van de f−1 uniform begrensd zijn.
We definiëren dan een rij compacte deelverzamelingen van de open eenheidsschijf die
naar de open eenheidsschijf convergeren. We definiëren voor zekere > 0
D() := ∩0 ≤ beeld(f0 ).
Vanwege de eerder gevonden bollen en omdat k strict dalend is in (of met kleine
aanpassingen zo te kiezen is), convergeert D naar de open eenheidsschijf voor → 0.
Nu bekijken we de beelden f−1 (D()). We willen nu dat deze naar G convergeren.
Nu is het beeld van deze doorsnedes gelijk aan de doorsnede van de beelden, omdat alle
f bijectief zijn. Dit is dus gelijk aan de doorsnede van alle domeinen van de functies
f0 , 0 ≤ . We hebben eerder laten zien dat elk punt voor voldoende kleine hierin
bevat is, dus de beelden van de inverse functies convergeren inderdaad naar G. Om een
specifieke rij te krijgen, kiezen we voor alle voldoende grote n ∈ N, de domeinen D(n−1 ),
te noteren als Dn . De kleinste n waarvoor Dn welgedefinieerd is, noemen we n0 .
49
Omdat deze domeinen en de rand van de schijf compact zijn, en de doorsnede tussen
deze twee verzamelingen leeg is, is er een minimale afstand tussen elke Dn en deze
rand. Dit volgt op precies dezelfde manier als voor de paden in G in het bewijs van
lemma 4.1. Dan is er dus een open bol B(0, 1 − 2k0 ), die Dn bevat. Op elke Dn willen
we K-quasiconforme functies bekijken, die op een open, samenhangende omgeving van
Dn gedefinieerd zijn. Hiervoor bekijken we de functies f , met < 0 .
| )
, met m → 0
Wegens stelling 5.6, kunnen we nu een convergente rij (f−1
m Dn0 m∈N
voor m → ∞, vinden op Dn0 . Voor de volgende domeinen definiëren we inductief
deelrijen: gegeven een rij (f−1
i |Di )m∈N die convergent is op Di , weten we dat voor m
m
voldoende groot, fim |Di+1 ook bestaat. Nu hebben we op het compacte domein Di+1 een
rij begrensde, K-quasiconforme afbeeldingen, die gedefinieerd zijn op een open omgeving
van Di+1 , dus we kunnen hiervan weer een deelrij vinden die convergeert op Di+1 . Uit de
constructie is bovendien duidelijk dat deze rij op Di naar dezelfde functie convergeert als
−1
op de hele eenheidsschijf.
(f−1
i |Di )m∈N . Op deze manier vinden we een limietfunctie f
m
Nu moeten we nog bewijzen dat deze limietafbeelding is zoals we in de stelling eisen.
We bewijzen dat het een K 0 -quasiconforme bijectie is, en weten dan uit lemma 5.11, dat
deze dan zelfs conform moet zijn.
Lemma 5.13. Een limietafbeelding van de f zoals we hierboven geconstrueerd hebben,
is bijectief en K 0 -quasiconform.
Bewijs. We weten uit stelling 5.10 dat de limietfunctie f −1 nu bijectief moet zijn (zoals
de naamgeving suggereert), of het beeld moet uit één of twee punten bestaan. Als we
hebben bewezen dat f −1 bijectief is, hebben we alle eigenschappen voor f bewezen die
we wilden, behalve de uniciteit van de afbeelding.
We willen nu laten zien dat het beeld van f −1 uit meer dan twee punten moet bestaan.
Het beeld mag niet uit slechts twee punten bestaan, want dan zou er een compact,
samenhangend domein zijn waarop de limietfunctie beide waardes aanneemt. De functies
f−1 en hun inversen zijn continu, en de rij is uniform convergent, dus de limietfunctie
is continu. Het beeld van een compacte verzameling onder de limietfunctie moet dus
samenhangend zijn, wat een verzameling van twee verschillende punten in C niet is. De
limietfunctie is dus bijectief of constant.
We zullen niet bewijzen dat f −1 niet constant kan zijn, maar proberen wel aan te
geven wat de belangrijke ingrediënten van het bewijs uit [9] zijn. De punten fm (w0 ) en
fm (w1 ) worden bekeken. Er geldt duidelijk dat limm→∞ fm (w0 ) = 0 uit de constructie
van de f , oftewel dat limm→∞ f−1
(0) = w0 . Het limietpunt van de punten die op w1
m
worden afgebeeld, ligt uit de constructie ook duidelijk op de reële as. We moeten nu
uitsluiten dat het limietpunt op de rand of in 0 ligt. Een ondergrens voor de afstand tot
de oorsprong wordt afgeleid met behulp van het discrete Schwarz-lemma [9]. Hiervoor
moeten we G kunnen herschalen tot het in de eenheidsschijf ligt, waarvoor de begrenzing
van G nodig is. De ondergrens aan de afstand tot de rand wordt afgeleid met behulp
van een verzameling die homeomorf is met een annulus en om de punten die naar w0 en
w1 gaan, heen ligt. Dit soort gebieden wordt door quasiconforme afbeeldingen begrensd
50
vervormd. Dit is terug te vinden vanaf pagina 253, sectie 19.2.3, van het boek van
Stephenson [9].
Bij elkaar laat dit zien dat er een punt ongelijk aan nul in de eenheidsschijf ligt dat
op w1 wordt afgebeeld door f −1 . De gevonden limietfunctie f −1 is dus bijectief, wat de
notatie f −1 rechtvaardigt.
Nu hebben we dus een K 0 -quasiconforme bijectie f −1 vanaf de eenheidsschijf gevonden,
en we hebben eerder gezien dat het dan een conforme afbeelding moet zijn. Uit beelden domeinconvergentie volgt dan dat het een bijectie van de eenheidsschijf naar G is.
We hebben nu dus met cirkelpakkingen een conforme bijectie tussen ons open, begrensd
en enkelvoudig samenhangend gebied G en de eenheidsschijf gevonden!
5.2.4. Uniciteit van de limietafbeelding
We hebben een conforme bijectie van G naar de eenheidsschijf gevonden. Nu willen we
nog laten zien dat deze op samenstelling met bepaalde gebroken lineaire transformaties
na uniek is. Dit blijkt erg makkelijk te bewijzen te zijn. Laat f en g namelijk twee dergelijke functies zijn. Dan is f −1 ◦g een conforme bijectie van de eenheidsschijf naar zichzelf,
dus zoals we bij functietheorie geleerd hebben, een gebroken lineaire transformatie die
de schijf op zichzelf afbeeldt.
Elke conforme bijectie van G naar de open eenheidsschijf is dus na samenstelling
met een zekere gebroken lineaire transformatie gelijk aan de functie f die we gevonden
hebben. In het bijzonder ligt deze transformatie met de punten w0 en w1 in G volledig
vast. Door deze punten geschikt te kiezen, kun je elke conforme bijectie van G naar de
eenheidsschijf met cirkelpakkingen construeren.
51
6. Conclusie
We hebben dus gevonden dat elk enkelvoudig samenhangend en begrensd gebied in C
homeomorf is met de eenheidsschijf, dus ook met elk ander zodanig gebied. We kunnen
zelfs conforme homeomorfismen vinden. Dit is een speciaal geval van de Riemannafbeeldingsstelling, die ook voor onbegrensde gebieden geldt (behalve heel C). We kunnen deze afbeeldingen construeren met behulp van cirkelpakkingen. De belangrijkste
ingrediënten in het bewijs waren de maximale-pakkingsstelling in de constructie, de uniciteit van de honingraatpakking om conformaliteit aan te tonen, de theorie van quasiconforme afbeeldingen om de convergentie te bewijzen en voor een deel van de bijectiviteit,
en het discrete Schwarzlemma voor de andere helft van de bijectiviteit.
We hebben deze stelling bewezen door, na cirkelpakkingen gedefinieerd te hebben, te
laten zien dat je voor elke cirkelpakking, een pakking met hetzelfde raakpatroon kunt
vinden die de hele schijf vult. Door het gebied met steeds meer cirkels te vullen volgens een handig gekozen patroon, hebben we een convergente rij afbeeldingen gevonden,
waarvan de limietafbeelding het gezochte homeomorfisme was, en ook nog conform.
Deze stelling blijkt uit te breiden te zijn: we hebben de afbeeldingen nu geconstrueerd
met behulp van een bepaalde oneindige cirkelpakking van het vlak. Hiervan hebben we
echter alleen de uniciteit gebruikt in het bewijs, en dat de pakking mooi genoeg was
dat elk punt in het gebied voor voldoende kleine cirkels in het domein lag. Het uniciteitsbewijs van Schramm [8] geldt echter veel algemener, namelijk voor elke oneindige
cirkelpakking die de Riemannsfeer op aftelbaar veel punten na overdekt. De afbeelding
is dus ook te construeren met behulp van andere oneindige cirkelpakkingen, zolang deze
mooi genoeg zijn dat de dragers genoeg van het vlak overdekken en de domeinconvergetie en quasiconfomaliteit niet aantasten. Verder is inmiddels is de convergentiestelling
ook voor onbegrensde aantallen buren van cirkels in de graaf bewezen [2]. Hierbij is het
ringlemma dus niet geldig, maar klopt de convergentie wel. In dit artikel wordt ook
convergentie voor eerste en tweede afgeleides bewezen.
De convergentiestelling laat zien dat met cirkelpakkingen, discrete objecten, de continue analyse bekeken kan worden, en dat er stellingen uit de functietheorie mee bewezen
kunnen worden. Zo hebben we met cirkelpakkingen, equivalentie van bepaalde gebieden
met de eenheidsschijf aangetoond.
52
7. Populaire samenvatting
In de wiskunde, en vooral in de topologie, is het vaak handig om een ingewikkeld probleem terug te brengen naar iets eenvoudigers. Dan moet je wel aan kunnen tonen dat
het eenvoudige geval erg lijkt op het ingewikkeldere. In ons verslag hebben we dit gedaan voor gebieden in het vlak. We hebben een 1-op-1-correspondentie geconstrueerd,
die laat zien dat een open (zonder zijn rand), begrensd, en enkelvoudig samenhangend
(uit één stuk en zonder gaten) gebied in het vlak voor veel toepassingen gelijk is aan een
cirkelschijf zonder rand. Een voorbeeld van zo een gebied staat in figuur 7.1
Deze gelijkenis is topologisch: dit zegt min of meer dat door de rare gebieden te rekken,
samen te knijpen en om te buigen, maar niet te knippen, plakken, of tot een lijn samen
te drukken, in elkaar om te vormen zijn. Dit wordt volgens de definitie aangetoond
met behulp van bijecties: deze kennen aan elk punt uit een cirkelschijf een punt uit het
gebied toe, zodat elk punt uit de schijf precies één partner in het andere gebied heeft en
andersom. Verder moeten de partners van punten die in de cirkelschijf dicht bij elkaar
liggen, in het andere gebied ook dicht bij elkaar liggen.
Deze bijecties hebben we geconstrueerd met behulp van cirkelpakkingen. Dat zijn patronen van rakende cirkels, in dit geval in de schijf of in het andere gebied. Voorbeelden
daarvan staan in figuur 2.1. We leggen aan het raakpatroon een aantal voorwaarden
op, die een zekere rigiditeit van de cirkelpakking garanderen. Door cirkels met hetzelfde
raakpatroon in de schijf en in het andere gebied te nemen, kunnen we de middelpunten
met elkaar laten corresponderen. Drie van die middelpunten vormen steeds een driehoek.
We kunnen deze driehoeken met wat rekken en trekken in elkaar omvormen en zo kunnen we ook de andere punten laten corresponderen. We hebben bewezen dat je voor een
bepaald raakpatroon, een cirkelschijf bijna kunt opvullen met cirkels met dat patroon.
Door met steeds kleinere cirkels het rare gebied op te vullen, en de bijbehorende cirkelpakkingen in de schijf te nemen, kun je steeds beter de correspondentie tussen de twee
benaderen. Een voorbeeld zo’n benadering van een correspondentie staat in figuur ??.
Figuur 7.1.: Dit gebied lijkt heel erg op een cirkelschijf.
53
Figuur 7.2.: Een benadering van de correspondentie tussen een cirkel en een ‘T’ met
behulp van cirkelpakkingen.
De correspondentie die we zo vinden, blijkt zodanig te zijn, dat we de equivalentie
van het gebied met de schijf zo kunnen aantonen. Zo hebben we met behulp van steeds
kleinere cirkels laten zien dat voor veel onderdelen van de wiskunde, een vierkant, een
ster en veel andere rare gebieden hetzelfde zijn.
54
A. Hyperbolische meetkunde
A.1. Inleiding
Hyperbolische meetkunde speelt een grote rol in dit verslag. Het is echter niet het
onderwerp. Deze appendix wordt nodig geacht om een indruk van de hyperbolische
meetkunde te geven voor lezers die onervaren zijn op dit gebied. Het blijft echter bij een
indruk. Enkele stellingen zullen worden gegeven en, wanneer het een meerwaarde heeft,
zal een eenvoudig bewijs worden geschetst. Voor de uitgebreidere behandeling verwijzen
we naar de literatuur.
Figuur A.1.: Eschers tekeningen gebruikten vaak hyperbolische meetkunde.
A.2. Definitie
We beschouwen in dit verslag telkens de hyperbolische ruimte als de gesloten eenheidsschijf. We definiëren de metriek aan de hand van
p
2 dx2 + dy 2
ds =
1 − x2 − y 2
Merk op dat ds → ∞ als r → 1: de afstanden worden naar de rand van de eenheidsschijf
steeds groter. Dit geeft er aanleiding toe, de rand oneindig te noemen. Hoewel deze
definitie alles vastlegt is het niet het handigst om mee te werken. We zullen er al snel
van afstappen. We doen dan ook twee extra aannames:
55
• De GLT’s die de schijf op zich zelf afbeelden zijn de isometrieën, op samenstelling
met spiegelingen na.
• Het kortste pad tussen twee punten is de cirkelboog die door beide punten gaat en
de eenheidscirkel met een rechte hoek snijdt.
De verkregen ruimte noemen we Poincaré-schijfmodel en duiden we aan met D.
A.3. Afstand
We definiëren de afstand tussen twee punten als de lengte van het kortste pad tussen
de punten. Dit kortste pad is de hyperbolische lijn tussen twee punten. De lijn door
een punt p en de oorsprong is ook een Euclidische lijn; we kunnen hierover makkelijk de
lijnintegraal nemen.
Laat p = (r0 , 0) dan:
Z p
ds
d(0, p) =
0
Z r0
2
=
dx
1 − x2
0
!
Z r0 X
∞
(x2 )n dx
= 2
= 2
0
n=0
∞
X Z x0
n=0
=
=
=
=
=
=
=
2n
x dx
0
∞ 2n+1 X
r0
2
2n + 1
n=0
2n+1
∞
X
1
2r0
2
2n + 1
2
n=0
2n+1
∞
X
1
r0 + 1 + r0 − 1
2
2n + 1 r0 + 1 − (r0 − 1)
n=0
!2n+1
∞
r0 +1
X
+
1
1
r0 −1
2
r0 +1
2n + 1 r0 −1 − 1
n=0
!2n+1
∞
+1
X
− rr00 −1
−1
1
2
2n + 1
− rr00 +1
1
+1
n=0
!
− rr00 +1
−1
−1
2 arctanh
− rr00 +1
+1
+1
1 + r0
.
log
1 − r0
56
Nu weten we de afstand tussen een punt op de x-as en nul. De metriek is echter symmetrisch rond de oorsprong, dus weten we nu de afstand tussen elk punt en nul.
Als we nu de tussen twee punten A en B de afstand willen weten, gebruiken we dat
de GLT’s die de schijf op zichzelf afbeelden, isometrieën zijn. We zoeken een GLT die
A op nul afbeeldt en de rand van de schijf op zich zelf afbeeldt. We gebruiken als
A
A
, − |A|
(de snijpunten van de lijn door A en 0 met de
referentiepunten A en de punten |A|
A
A
eenheidscirkel). Met A 7→ 0, |A| 7→ 1 en − |A|
7→ −1 krijgen we voor
f (z) =
az + b
z+d
de volgende voorwaarden:
b
= A
a
d−b
1
=
A
a−1
|A|
d+b
1
−
= − A.
a+1
|A|
−
Oplossen geeft dat
1
|A|
A
b =
|A|
1
d = − ,
Ā
a = −
dus
f (z) =
1 −z + A
.
|A| z − Ā1
We kunnen nu het beeld van B berekenen en de afstand tot het beeld van A , oftewel
tot nul, nemen.
d(A, B) = d(f (A), f (B))
1 −B + A
)
= d(0,
|A| B − Ā1

1 −B+A 
1 + |A| B− 1 Ā

= log 
1 −B+A 1 − |A| B− 1 Ā
57
A.4. Cirkels
Cirkels zijn Cirkels
We nemen een willekeurige cirkel C in de hyperbolische ruimte met straal w. Met een
GLT kunnen we zijn middelpunt op de oorspong leggen. De GLT’s zijn isometrieën, dus
wordt de de cirkel afgebeeld op een nieuwe cirkel van straal w rond de oorsprong. Al
de punten op de cirkel hebben hyperbolische afstand w tot de oorsprong en daarmee
Euclidische afstand
ew − 1
r= w
e +1
tot de oorsprong. De punten vormen dus ook een Euclidische cirkel. Nu kunnen we de
inverse van de GLT toepassen: dit is weer een GLT. GLT’s sturen Euclidische cirkels
naar cirkels dus krijgen we opnieuw een Euclidische cirkel. Deze is echter gelijk aan C,
mogelijk met een ander middelpunt en straal. We concluderen dat hyperbolische cirkels
ook Euclidische cirkels zijn en omgekeerd.
Omtrek
We nemen een cirkel rond de oorsprong: dit zijn alle punten met hyperbolische afstand
w tot nul. Zoals we net zagen zijn dit alle punten op Euclidische afstand
1
ew − 1
= tanh
w
r= w
e +1
2
We integreren weer ds, maar nu over een cirkelboog rond nul van straal r < 1 met hoek
α. We gebruiken de parametrisatie f : [0, α] → D : θ 7→ reθi
Z
s =
ds
f
Z α
2
=
reθi dθ
2
1
−
r
Z0 α
2
=
rdθ
2
0 1−r
α
2r
=
θ
1 − r2 0
2r
=
α
1 − r2
2 tanh 12 w
=
2 α
1 − tanh 12 w
= α sinh(w)
58
Aangezien GLT’s isometrieën zijn kunnen we altijd met een GLT het middelpunt op de
oorsprong leggen en verandert dit de omtrek niet. De gevonden formule geldt dus voor
alle cirkels.
A.5. Hoeken
We bekijken drie punten A, B en C en zijn geı̈ntereseerd in de hoek ∠BAC. Aangezien GLT’s conforme afbeeldingen zijn, kunnen we de bovenstaande GLT gebruiken om
A op de oorsprong te leggen, zonder dat de hoek verandert. We willen dus eerst de
hyperbolische hoek vinden. We definiëren een hoek als de limiet
s
lim+ ,
r→0 r
waar s de lengte is van de cirkelboog met straal r rond A en tussen B en C. We gebruiken
de net gevonden formule voor de omtrek van een cirkelboog. Voor kleine w benaderen
we de sinus hyperbolicus met zijn eerste-orde Taylor-benadering; deze is gelijk aan w
zelf. Bij een Euclidische hoek α in de oorsprong vinden we dus
lim+
w→0
s
α sinh(w)
αw
= lim+
= lim+
= α.
w→0
w w→0
w
w
Met een GLT kunnen we elk punt in de oorsprong leggen, dus zijn de Euclidische hoeken
gelijk aan de hyperbolische.
A.6. Driehoeksoppervlak
In tegenstelling tot de Euclidische ruimte, tellen de hoeken van een driehoek in het
algemeen niet tot π op. Een simpel voorbeeld is een driehoek met alle hoekpunten op
oneindig. In alle hoekpunten is de hoek met de eenheidscirkel 12 π en dus maken de lijnen
onderling een hoek van 0 radialen. De hoekensom is dan dus ook 0.
In het algemeen noemen we π min de hoekensom het defect van de driehoek. In de
hyperbolische meetkunde is, wonderbaarlijk genoeg, de oppervlakte van een driehoek
gelijk aan zijn defect [9]. De grootste driehoek is dan ook die met hoekpunten op
oneindig en heeft oppervlakte π. We zien zo ook dat schalen in de hyperbolische ruimte
niet mogelijk is; de oppervlakte van een driehoek wordt sowieso nooit groter dan π.
A.7. Cosinusregel
In de Euclidische ruimte kennen we de cosinusregel, voor een driehoek met zijden a, b, c
en hoek α tegenover zijde a:
cos(α) =
b 2 + c 2 − a2
.
2bc
59
In de hyperbolische ruimte is het echter niet handig om voor de driehoek de lengte van
de zijde te geven. Als een voorbeeld nemen we de driehoek waarbij de hoek α binnen
de schijf ligt maar de andere twee hoeken op de rand liggen. Alle zijden hebben nu
lengte oneindig, maar de hoek α kan nog steeds meerdere waarden aannemen. Blijkbaar
hebben we een andere manier nodig om de driehoek te karakteriseren. Het spreekt nu
van zelf om dit met behulp van cirkels te doen. We bekijken een drietal cirkels dat
elkaar raakt. De middelpunten vormen een driehoek. De stralen van de cirkels noemen
we x, y en z, en α is nu de hoek bij de cirkel met straal x. Nu zijn we in staat om een
gevalsonderscheid te maken voor het aantal hoekpunten op oneindig: [9]
x=∞:α=0
y = z = ∞ : α = arccos 1 − 2e−2x
cosh(x + y) − ey−x
z = ∞ : α = arccos
sinh(x + y)
cosh(x + y) cosh(x + z) − cosh(y + z)
x, y, z < ∞ : α = arccos
.
sinh(x + y) sinh(x + z)
60
B. Leesgids Schramm
In deze appendix zullen we mensen die een bewijs van de uniciteit van de honingraatpakking willen begrijpen, hiermee proberen te helpen. We doen dit aan de hand van
het artikel van Oded Schramm [8]. Deze gebruikt namelijk alleen tweedejaarstopologie en wat gegevens over de gebroken lineaire transformaties, in dit geval gezien op de
Riemann-sfeer. We geven niet het hele bewijs, omdat deze al in het artikel staat, maar
bieden wel wat hulp bij het doorwerken ervan. Deze appendix is dus bedoeld om met het
artikel ernaast te lezen, of eigenlijk: om bij het lezen van het artikel ernaast te houden.
De stelling die Oded Schramm bewijst is veel algemener dan nodig is om de uniciteit
van de honingraatpakking te bewijzen, en voor dit specifieke geval kunnen versimpelde
argumenten gebruikt worden voor bepaalde delen. Hij heeft het over pakkingen van
algemenere figuren die de hele Riemann-sfeer op aftelbaar veel punten na overdekken.
Een punt dat overdekt is, ligt in een pakkingsfiguur, in de rand van een pakkingsfiguur,
of in een ruimte tussen een rakend drietal (een ‘interstice’). Deze overdekkingen zijn dan
uniek op gebroken lineaire transformaties die het overdekte deel van de sfeer op zichzelf
afbeelden na.
Omdat de honingraatpakking op de Riemann-sfeer alleen het punt oneindig niet overdekt, is deze uniek op de gebroken lineaire transformaties die het vlak op zichzelf afbeelden na. Je kunt nagaan dat dit alleen (samenstellingen van) translaties, rotaties en
vermenigvuldigingen met constantes zijn.
Wij raden aan het artikel eerst te lezen tot en met paragraaf 3.3, dan paragraaf 4.1 te
lezen (het bewijs dat we willen hebben), en daarna sectie 3 verder uit te lezen. De ‘incompatibilty theorem’ hieruit wordt namelijk wel toegepast in het bewijs van paragraaf
4.1, maar in aangepaste versie. Het is dan handiger meteen de toe te passen versie te
gebruiken.
De inleiding De Möbiustransformaties die hier, en later in het artikel, genoemd
worden zijn de gebroken lineaire transformaties die de ruimte (eenheidsschijf, vlak of
Riemann-sfeer) op zichzelf afbeelden. Omdat wij uitgaan van een bestaande cirkelpakking, hoeven we ons geen zorgen te maken om de existentie van een cirkelpakking bij
onze graaf.
Definities en notatie Over de definitie van ‘disklike’ hoeven we ons geen zorgen te
maken: cirkels (schijven) voldoen hieraan, en de ‘klonten’ cirkels die we later zullen
maken ook. De honingraatpakking is niet gedegenereerd. Het verhaal over triangulaties
en de precieze definitie van een ‘quadrilateral’ zijn voor ons bewijs niet zo belangrijk. De
definitie van compatibiliteit is nogal technisch. Belangrijk is hierbij vooral te onthouden
61
dat elke twee cirkels hieraan voldoen. Verder kun je dit het beste teruglezen wanneer
het wordt toegepast. De definitie voor algemenere ‘disklike’ verzamelingen hebben we
niet nodig.
‘Coalescing’ (3.3) Het samenvoegen van delen van de pakking zal nodig zijn om het
bewijs van de ‘incompatibilty theorem’ te leveren: het is een bewijs uit het ongerijmde,
met inductie naar het aantal punten in de graaf. In de pakking zullen we rakende cirkels
samenvoegen door de driehoekige ruimtes ertussen toe te voegen en alles ‘in te kleuren’;
in de graaf worden in eerste instantie alle samen te voegen punten samengevoegd, en alle
lijnen naar deze punten naar het samengevoegde punt toegetrokken. Hiermee kunnen
echter problemen optreden, die opgelost kunnen worden zoals in de paragraaf wordt
beschreven.
Bewijs van de uniciteit Hier wordt uitgegaan van twee cirkelpakkingen bij een graaf.
Deze worden zo over elkaar heen gelegd, dat een aangepaste versie van de ‘incompatibility theorem’ kan worden toegepast. De Bairecategoriën zijn in ons geval niet nodig:
de singulariteit van P bestaat uit een enkel punt, en de randen van de cirkels uit Q
zijn ‘mooi’: je kunt met een willekeurig kleine verschuiving het enkele punt van de verzameling cirkelranden af bewegen. We bekijken de pakking dan alleen nog binnen de
vierhoeken uit figuur 4.2. Hierin raken Qa en Qc elkaar dus niet, net als Pa en Pc . Het
blijft binnen de vierhoeken een geldige pakking omdat er nog vier cirkels aan d tussen a
en c liggen. De verzamelingen Qi en Pi , i ∈ a, b, c, d, zijn hierbinnen geen cirkels meer,
in enkele gevallen nog maar een stukje van een kromme.
Om een eindige cirkelpakking uit onze oneindige te maken, kunnen we met een veel
eenvoudigere constructie werken dan in het artikel: we hebben de situatie zo opgezet, dat
de singulariteit van de pakking P binnen een open schijf of ‘interstice’ van Q ligt. Dan ligt
een open omgeving van de singulariteit ook geheel binnen de open verzamelingen. Rond
de singulariteit moeten de cirkels willekeurig klein worden. Je kunt dus een ‘zeshoek’
van cirkels in P rond de singulariteit vinden die volledig binnen een open verzameling in
de pakking Q ligt. Alle cirkels van P in die zeshoek rond de singulariteit en de ruimtes
ertussen samenvoegen, geeft dan een welgedefinieerde pakking (geen cirkelpakking meer!)
binnen de vierhoek. Om de grafen van de pakkingen gelijk te houden, voegen we op
dezelfde manier de overeenkomstige cirkels van Q samen. Omdat het samenvoegsel uit P
in een open verzameling in Q ligt, ligt het of in het inwendige van het samenvoegsel van Q,
of is er disjunct van. De samenvoegsels zijn dus compatibel, net als alle paren Pi , Qi van
objecten uit de pakking, op de randfiguren na. Nu kunnen we naar de ‘incompatibility
theorem’ gaan kijken.
De ‘incompatibility theorem’ (3.1 en 3.4) De aannames van deze stelling kloppen
niet helemaal met de situatie die we net geconstrueerd hebben. Voor a, d en c kloppen ze
wel, maar voor b niet. De voorwaarde op b is echter alleen nodig voor de basisstap in het
inductiebewijs, en deze blijkt in ons geval duidelijk te gelden. Let er bij het controleren
62
van de voorwaarden op dat de figuren aan de randen van een vierhoek soms alleen nog
uit een lijntje bestaan.
De reductie naar topologische schijven is in ons geval niet nodig: door bij het samenvoegen telkens ook de ruimtes tussen de samen te voegen delen toe te voegen, lopen we
niet tegen problemen aan. Dit klopt overigens met wat ze bij de reductie doen: gaten
in de verzamelingen opvullen.
De basisstap voor het inductiebewijs is voor ons geval anders dan hier beschreven is,
maar wel meteen duidelijk: als je alle verzamelingen behalve die bij a, b, c en d weet
weg te werken, is de pakking duidelijk geen triangulatie meer: Als je Pd uitrekt, kan hij
Pb wel raken, maar Qd kan dan nooit bij Qb komen. Dit raken is nodig omdat de graaf
van de pakking een triangulatie moet zijn, en zoals we zullen zien verandert er niks aan
de a- en c-verzamelingen als we het aantal punten terugdringen.
Voor de inductiestap is de uitleg in het artikel niet duidelijk te versimpelen. Er wordt
veel gedefinieerd, maar het is te volgen. Een paar keer lezen kan hier wel handig zijn.
Blijf vooral goed op de figuren letten. Een ‘simpel curve’ is een niet-zelfdoorsnijdende
kromme: dat is bij onze pakking duidelijk het geval. De ‘invaders’ zijn verzamelingen
die moeilijkheden zouden kunnen opleveren bij het samenvoegen van Qd en Pd met een
aantal buren, om het aantal punten in de graaf terug te dringen. Tussen zulke ‘invaders’
zou je kunnen samenvoegen. Daarom mag je de eindverzamelingen ook wel ‘invaders’
noemen als er geen tussen zitten. Bij het bewijs dat er verzamelingen tussen de linkeren rechter-‘invaders’ zitten staat een typfout: er staat ‘qh , Ph ∈ Qvh − interior(Pvh )’.
Dat moet ‘qh , ph ∈ Qvh − interior(Pvh )’ zijn.
Hiermee is het specifieke geval van de honingraatpakking met het artikel van Schramm
bewezen: de enige manier om een (oneindige) cirkelpakking met die cirkelpakkingsgraaf
te maken is met cirkels van dezelfde grootte.
63
C. Programmacode
In dit hoofdstuk bespreken we kort hoe we de computer kunnen gebruiken om de discrete
afbeeldingen weer te geven. De volledige code zullen we hier echter niet plaatsen, deze is
te vinden op http://codegeek.nl/cirkels. De aanpak die we aanhouden is een aangepaste
versie van de pseudocode in het boek van Stephenson [9].
Overzicht
We dienen achtereenvolgens de volgende berekeningen te doen.
1. We definiëren een functie die aangeeft of een cirkel de rand van ons domein snijdt.
2. Vanaf een vast begin punt w0 leggen we cirkels tot we niet verder kunnen.
3. We nemen de ontstane graaf en zetten de stralen van de randcirkels op oneindig.
4. We gebruiken de hyperbolische cosinusregel om de stralen van de overige cirkels te
benaderen.
5. We leggen de binnencirkels in het hyperbolische vlak neer.
6. We berekenen de positie van de binnencirkels in het Euclidische vlak.
7. We benaderen de stralen van de randcirkels in het Euclidische vlak.
8. We leggen de randcirkels neer in het Euclidische vlak.
9. Uiteindelijke dienen we de afbeelding nog te tekenen.
De testfunctie
De testfunctie dient de rand van ons domein aan te geven, door alleen true terug te
geven als we volledig binnen het gebied liggen. Voor primitieve vormen is dit een simpele
functie; hoe complexer het gebied hoe moeilijker de testfunctie. Een paar voorbeelden
staan hieronder.
• Voor een rechthoek [a, b]×[c, d] kunnen we nagaan of het x-coördinaat in [a+r, b−r]
ligt en het y-coördinaat in [c + r, d − r] ligt.
• Voor een cirkel gaan we na of de afstand tot het middelpunt in [0, R − r] ligt, met
R de grote cirkelstraal en r de straal van de te testen cirkel.
64
• Voor gebieden waarvan we de rand met een parameterkromme kunnen beschrijven,
kunnen we ook een testfunctie schrijven. Hiervoor lopen we in kleine stappen over
de rand heen en kijken of het huidige punt in de cirkel ligt.
In alle gevallen is het belangrijk dat we de straal van de cirkel net wat kleiner nemen
dan hij daadwerkelijk is: dit om afrondingsfouten te voorkomen. Een factor van 0.9999
is hier bijvoorbeeld geschikt voor.
Het genereren van de honingraatpakking
We gaan drie lijsten bijhouden: Een todo-lijst, een randlijst en een pakking. Als eerste
voegen we het punt w0 toe aan de todo-lijst. Vervolgens gaan we voor elke cirkel in de
todo-lijst na of deze de rand raakt. Als hij de rand raakt, voegen we hem toe aan de
randlijst. Zo niet, voegen we hem aan de pakking toe en gaan we alle mogelijke buren
van de cirkel af. Als een buur in nog geen enkele lijst voorkomt, voegen we hem aan
todo toe. Als de buur in de pakking voorkomt, voegen we een lijn tussen de twee cirkels
toe.
De hyperbolische stralen
Om de hyperbolische stralen te berekenen, zetten we eerst de stralen van de randcirkels
vast op oneindig. De stralen van de niet-randcirkels geven we een triviale beginwaarde,
bijvoorbeeld 1. Vervolgens lopen we telkens over de binnencirkels heen en berekenen we
met de cosinusregel de hoekensom rond het middelpunt van de cirkel. Over het algemeen
. Door
zal deze niet goed op 2π uitkomen; we veranderen de straal met een factor hoeksom
4π
te itereren lopen we langzaam naar de goede waarden.
Het neerleggen van de binnencirkels
De binnencirkels leggen we in eerste instantie in de hyperbolische ruimte neer, gebruikmakend van poolcoördinaten. Hiervoor leggen we de eerste cirkel op de oorsprong en de
tweede op de x-as zodanig dat ze raken. Vervolgens plaatsen we telkens een cirkel als
twee van zijn buren al neergelegd zijn. Dit doen we door de ene buur op de oorsprong
te leggen met een GLT en de andere op de x-as. We leggen de cirkel neer en passen de
inverse GLT toe.
Naar het Euclidische vlak
Hyperbolische cirkels zijn ook Euclidische cirkels; de middelpunten zijn echter ongelijk.
We nemen voor het omrekenen twee punten op de rand van de cirkel. Specifiek nemen we
hiervoor de twee punten op de lijn door de oorsprong en het middelpunt. We berekenen
de Euclidische afstand re uit de hyperbolische afstand rh met re = tanh( r2h ). De hoek
65
blijft gelijk, aangezien we vanuit de oorsprong rekenen. Nu kunnen we het gemiddelde
van de twee afstanden tot de oorsprong nemen om het Euclidische middelpunt te vinden, en de helft van het verschil voor de straal. Vervolgens kunnen we de Cartesische
coördinaten berekenen.
Het neerleggen van de randcirkels
Als laatste stap moeten we nog de randcirkels neerleggen. Daarvoor moeten we echter
eerst de stralen uitrekenen: deze zijn hyperbolisch ∞ en dus niet zomaar Euclidisch te
maken. We benaderen deze daarom. We zetten zo een straal eerst op 1. Vervolgens
leggen we de cirkel tijdelijk neer en berekenen de afstand tot de oorsprong; deze hoort
voor een straal r gelijk te zijn aan 1 − r, aangezien de cirkel aan de rand raakt. Als hij
kleiner is vergroten we de straal en andersom. Vervolgens leggen we de cirkel neer.
Voorbeeldje
In figuur C.1 staat een voorbeeld. Als gebied G nemen we een vierkant, voor w0 het
midden van het vierkant. We zien hier drie cirkelpakkingen die het begin van een rij
convergente afbeeldingen kunnen geven.
66
Figuur C.1.: Voorbeeld van cirkelpakkingen die een deel van een convergente rij afbeeldingen geven.
67
Bibliografie
[1] P.J.I.M. de Paepe and Jan Wiegerinck. Analyse 3: Functietheorie.
[2] Zheng-Xu He and Oded Schramm. On the convergence of circle packings to the
riemann map. Inventiones mathematicae, 125(2):285–305, 1996.
[3] Indian Institute of Technology Madras, Department of Mathematics. Circle Packings, Quasiconformal Mappings, and Applications, december en januari 2005–2006.
[4] Olli Lehto and K.I. Virtanen. Quasiconformal mappings in the plane 2nd Edition
(Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit
besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete). 2nd edition, 1973.
[5] Ben Moonen. Topologie.
[6] Burt Rodin and Dennis Sullivan. The convergence of circle packings to the Riemann
mapping. Journal of Differential Geometry, 27:349–360, 1987.
[7] Zygmund Antoni Saks, Stanislaw. Analytic functions. Instytut Matematyczny
Polskiej Akademi Nauk, 1952.
[8] Oded Schramm. Rigidity of infinite (circle) packings. Notices of the AMS, 4:127–
149, januari 1991.
[9] Kenneth Stephenson. Introduction to Circle Packing: the theory of discrete analytic
functions. Cambridge University Press, 2005.
[10] Roland van der Veen. persoonlijke correspondentie.
[11] Gerard A. Venema. The foundations of geometry. Prentice Hall, 2006.
68