1 Rekenen met gehele getallen

1
Inhoudsopgave
1
Rekenen met gehele getallen.............................................................................................. 3
1.1
De gehele getallen ...................................................................................................... 3
1.2
Optellen ...................................................................................................................... 4
1.3
Opgaven ..................................................................................................................... 5
1.4
Aftrekken.................................................................................................................... 6
1.5
Opgaven ..................................................................................................................... 6
1.6
Vermenigvuldigen...................................................................................................... 7
1.7
Opgaven ..................................................................................................................... 7
1.8
Delen .......................................................................................................................... 9
1.9
Opgaven ..................................................................................................................... 9
1.10 Delen op nul ............................................................................................................. 10
1.11 Opgaven ................................................................................................................... 10
1.12 Delen door nul.......................................................................................................... 10
1.13 Nul gedeeld door nul ................................................................................................ 10
1.14 Machtsverheffen....................................................................................................... 11
1.15 Opgaven ................................................................................................................... 11
1.16 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal.......................................... 12
1.17 Opgaven ................................................................................................................... 12
1.18 Delen van machten met hetzelfde grondtal .............................................................. 12
1.19 Opgaven ................................................................................................................... 12
1.20 Machten van machten............................................................................................... 13
1.21 Opgaven ................................................................................................................... 13
1.22 Combinaties van bewerkingen ................................................................................. 14
1.23 Opgaven ................................................................................................................... 14
1.24 Index......................................................................................................................... 16
2
1 Rekenen met gehele getallen
1.1
De gehele getallen
De getallen 0, 1, 2, 3, 4,... heten de natuurlijke getallen.
Ze worden aangegeven met het symbool
De natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn.
0
1
2
3
4
5
6
Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen.
Maar als je alleen natuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar
aftrekken. Zo kun je 5 – 3 wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar
3 – 5 niet.
Daarom het volgende:
De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden:
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
De getallen ...,–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,.... heten de gehele getallen
Ze worden aangegeven met het symbool .
De getallen 1, 2, 3, .. heten de positieve gehele getallen.
Ze worden aangegeven met het symbool +
De getallen ... ,–4, –3, –2, –1. heten de negatieve gehele getallen
Ze worden aangegeven met het symbool −
Twee getallen, zoals 3 en –3 of 4 en –4, die slechts van teken verschillen heten elkaars
tegengestelde.
3
1.2
Optellen
Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen
een voortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel:
4+3=7
4+2=6
4+1=5
4+0=4
4 + –1 = 3
4 + –2 = 2
4 + –3 = 1
4 + –4 = 0
4 + –5 = –1
4 + –6 = –2
4 + –7 = –3
De getallen 3 en 4 heten
de termen.
Het getal 7 heet de som
van 4 en 3
We zien dat het optellen met een
negatief getal hetzelfde resultaat
geeft als aftrekken met het positieve
tegenovergestelde van dat getal.
De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 4 + 6 de volgorde
van de termen mag verwisselen: 4 + 6 = 6 + 4, heet de commutatieve eigenschap van het
optellen.
Omdat de gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het
optellen van gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling
mogen verwisselen. Bijvoorbeeld: 4 + –6 = –6 + 4
4
1.3 Opgaven
1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
f.
6 + –3
a.
2+3
g.
–3 + –5
b.
–2 + 3
c.
–4 + 8
h.
–1 + –5
d.
8 + –3
i.
–6 + –2
j.
–8 + –2
e.
5 + –2
2. Een meetlat is een voorbeeld van een getallenlijn.
Verzamel deze week zoveel mogelijk voorbeelden van dergelijke getallenlijnen
3. Leg uit hoe je op je rekenmachine 53 + –82 uitrekent
4. Op je rekenmachine staan twee mintekens.
Leg uit waar ieder van de twee voor gebruikt wordt.
5. Schrijf de opgaven over en reken uit:
a.
12 + –43
b.
34 + – 54
c.
–12 + –67
d.
–45 + 23
e.
–455 + –123
f.
g.
h.
i.
j.
6. Schrijf de opgaven over en reken uit:
a. 12 + 48 + –53
b. –12 + 38 + –52
c. –10 + –20 + –30
d. 23 + 34 + 62
e. –38 + –38 + 38
f.
g.
h.
i.
j.
–867 + 435
–876 + –435
–294 + 857
474 + –746
645 + –74
38 + –38 + –38
–1 + –2 + –3
–1 + –2 + –3 + –4
1 + –2 + 3 + –4
–1 + 2 + –3 + 4
5
1.4
Aftrekken
Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele
getallen een voortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende
tabel:
4–3=1
4–2=2
We zien dat het aftrekken met een
4–1=3
negatief getal hetzelfde resultaat
4–0=4
oplevert als het optellen met het
4 – –1 = 5
tegenovergestelde van dat getal.
4 – –2 = 6
4 – –3 = 7
4 – –4 = 8
1.5 Opgaven
1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
f.
6 – –3
a.
2–3
g.
–3 – –5
b.
–2 – 3
h.
–1 – –5
c.
–4 – 8
i.
–6 – –2
d.
8 – –3
j.
–8 – –2
e.
5 – –2
2. Leg uit hoe je op je rekenmachine 53 – –82 uitrekent
3. Schrijf de opgaven over en reken uit:
a.
12 – –43
b.
34 – – 54
c.
–12 – –67
d.
–45 – 23
e.
–455 – –123
f.
g.
h.
i.
j.
–867 – 435
–876 – –435
–294 – 857
474 – –746
645 – –746
4. Schrijf de opgaven over en reken uit:
a. –38 – 43 – –83
b. 73 – 27 – 68
c. –1 – 2 – 3 – 4
d. 0 – –2
e. 0 – –3
f.
g.
h.
i.
j.
1– –2 – –3 – –4
–12 – –12 – 12
12 – 12 – 12
–12 – 12 – 12
12 – 12 – –12
6
1.6 Vermenigvuldigen
Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt vermenigvuldigen zo dat het vermenigvuldigen
met gehele getallen een voortzetting is van het vermenigvuldigen met natuurlijke getallen
maken we volgende tabel:
4 × 3 = 12
4 × 2= 8
4 × 1= 4
4 × 0=0
4 × –1 = –4
4 × –2 = –8
4 × –3 = –12
4 × –4 = –16
4 × –5 = –20
De getallen 4 en 3 heten de factoren.
Het getal 12 heet het product van 4 en 3
Zoals 4 × 3 = 3 × 4 spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met
gehele getallen: 4 × –2 = –2 × 4.
Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken:
–4 × 3 = –12
We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele
–4 × 2 = –8
getallen geldt:
–4 × 1 = –4
positief getal × positief getal = positief getal
–4 × 0 = 0
positief getal × negatief getal = negatief getal
–4 × –1 = 4
negatief getal × positief getal = negatief getal
–4 × –2 = 8
negatief getal × negatief getal = positief getal
–4 × –3 = 12
–4 × –4 = 16
–4 × –5 = 20
1.7
Opgaven
1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
a.
4 × –3
f.
–6 × –3
b.
5 × –3
g.
0 × –2
c.
–3 × 6
h.
–5 × –8
d.
–6 × 8
i.
–10 × –12
e.
–7 × –5
j.
12 × 10
2. Schrijf de opgave over en reken uit:
a.
12 × 43
b.
34 × –54
c.
–12 × –67
d.
–45 × 23
e.
–455 × –123
f.
g.
h.
i.
j.
–867 × 435
–876 × –435
– 294 × 857
474 × –746
645 × –746
7
3. Schrijf de opgave over en reken uit:
a.
12 × 13 × 14
−12 × 13 × 14
b.
c.
12 × −13 × 14
12 × 13 × −14
d.
e.
−12 × −13 × 14
f.
g.
h.
i.
j.
−12 × 13 × −14
12 × −13 × −14
−12 × −13 × −14
−12 × 13 × −14 × 0
12 × −13 × 14 × −1
8
1.8
Delen
12
= 3 omdat 3 × 4 = 12
4
12
Daarom is
= −3 . Immers –3 × –4 = 12
−4
−12
= 3 omdat 3 × –4 = –12
−4
−12
= −3 omdat –3 × 4 = –12
4
We gebruiken de horizontale
breukstreep. Deze zaait geen
verwarring over de bedoelde
volgorde. De symbolen ÷, / en :
zullen we daarom niet gebruiken.
We zien dat voor delen met gehele getallen geldt:
positief getal gedeeld door positief getal = positief getal
positief getal gedeeld door negatief getal = negatief getal
negatief getal gedeeld door positief getal = negatief getal
negatief getal gedeeld door negatief getal = positief getal
1.9
Opgaven
1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
−15
f.
a.
5
14
b.
g.
−7
−24
c.
h.
−8
36
d.
i.
6
−48
e.
j.
16
−64
8
45
−5
−45
−9
−72
−12
72
−12
2. . Schrijf de opgave over en reken uit:
144
a.
−16
−162
b.
−18
−2226
c.
−42
2226
d.
53
−2226
e.
53
6450
−75
−6450
84
−6450
75
5208
62
5208
−84
f.
g.
h.
i.
j.
9
3. Gegeven is dat 98 × 52 = 5096
Dankzij dit gegeven kun je delingen opschrijven met deze gehele getallen en hun
tegengestelden
Schrijf alle mogelijke delingen, met hun uitkomst op.
1.10 Delen op nul
0
0
0
= 0 want 0 = 3 × 0 , maar = 0 en = 0 .
3
4
5
1.11 Opgaven
1. Schrijf over en bereken:
0
a.
6
0
b.
−3
0
1000
0
d.
−200
c.
1.12 Delen door nul
2
= ? , Welk getal kan er staan op de plaats van het ? ?
0
Als je op de plaats van ? een getal denkt dan moet 0 × ? = 2 .
Maar dan kan er op de plaats van ? geen enkel getal gezet worden zo dat de regel
0 × ? = 2 klopt. We zeggen daarom: delen door nul kan niet.
1.13 Nul gedeeld door nul
0
= ? Welk getal kan er staan op de plaats van het ? ?
0
Als je op de plaats van ? een getal denkt dan moet 0 × ? = 0 .
Maar op de plaats van ? kan ieder getal staan.
0
Daarom zeggen we: kan niet.
0
10
1.14 Machtsverheffen
Een uitdrukking als 54 heet een macht
De 5 in de uitdrukking heet het grondtal
De 4 in de uitdrukking heet de exponent
54 is de korte schrijfwijze voor 5 x 5 x 5 x 5
Dus 54 = 625
Net zo is (−3) 4 = −3 × −3 × −3 × −3
Dus (−3) 4 = 81
Een macht is een herhaalde
vermenigvuldiging.
Het grondtal geeft aan met welk
getal je vermenigvuldigt.
De exponent geeft het aantal
herhalingen aan
Pas op: −34 = − 3 × 3 × 3 × 3
Dus −34 = −81
1.15 Opgaven
1. Schrijf de volgende machten als een herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de
macht:
k.
22
(−2) 2
−22
f.
a.
3
b.
l.
2
−23
(−2)3
g.
c.
m.
24
−24
4
(
−
2)
h.
d.
n.
25
−25
5
(
−
2)
i.
e.
o.
26
−26
6
(−2)
j.
2. Ga na hoe je met je rekenmachine (−12) 4 uitrekent.
3. Schrijf de opgave over en reken uit:
a. (−11)3
b. −133
c. −253
d. (−25) 4
e. (−21) 2
f. −212
g. (−15)3
h. (−15) 4
i.
j.
−154
−153
4. De uitkomst van (−7)11 en −711 is gelijk.
Leg uit dat de uitdrukkingen (−7)11 en −711 wel dezelfde uitkomst hebben, maar niet dezelfde
betekenis.
11
1.16 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal
Omdat 7 4 = 7 × 7 × 7 × 7 en 75 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 is
7 4 × 75 = 714
× 724
× 7 ×37 × 714
× 74
×244
7 × 7 ×37 = 79
4 factoren 7
5 factoren 7
Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de
exponenten van die machten bij elkaar optellen.
1.17 Opgaven
1. Schrijf als één macht:
a. 34 × 36
b. 105 ×106
c. 42 × 43
d. 7 7 × 77
e. 134 ×138
f.
g.
h.
i.
j.
1203 ×1204
1221 ×1212 × 1210
4323 × 4345 × 4335
3456 × 3412 × 3423 × 3431
51 × 52 × 53 ×L × 58 × 59 × 510
1.18 Delen van machten met hetzelfde grondtal
712
= 78 omdat 712 = 78 × 7 4
4
7
Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten
van die machten van elkaar aftrekken.
1.19 Opgaven
1. Schrijf als één macht:
39
a. 3
3
512
b.
53
47
c.
4
1212
d.
1211
106
e.
102
1245
f.
1234
155
g.
153
2222
h.
2221
32100
i.
3250
3264
j.
3216
12
1.20 Machten van machten
Een uitdrukking als ( 75 ) heet een macht van een macht. Het is de 4–de macht van 75 .
4
(7 )
5 4
5
5
= 714
× 74
× 75 ×3
75 = 7 20
244
4 factoren 75
Als je een macht van een macht wilt schrijven als één macht, dan moet je de exponenten van
de beide machten met elkaar vermenigvuldigen.
1.21 Opgaven
1. Schrijf de machten als macht van één grondtal:
a.
b.
c.
d.
e.
(7 )
(2 )
(2 )
4 5
f.
2 2
g.
3 4
(( −2) )
3 4
( −2 )
3 4
h.
i.
j.
(( −4) )
5 3
((3 ) )
(1 )
((10 )
6
4 5
10 11
)
10
10 10
( )
( 54 )
3 2
13
1.22 Combinaties van bewerkingen
Om een uitdrukking als 4 + 5 × 6 , waarin zowel een vermenigvuldiging als een optelling staat,
moet er een afspraak gemaakt worden welke bewerking (de vermenigvuldiging of de
optelling) het eerst moet worden verricht.
De afspraak is dat de vermenigvuldiging het eerst wordt verricht.
Dus:
4 + 5× 6 =
4 + 30 =
34
Om de optelling eerst uit te voeren, kunnen haakjes gebruikt worden: ( 4 + 5 ) × 6
( 4 + 5) × 6 =
9× 6 =
54
1.23 Opgaven
1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
a. 4 × 5 + 6
f. (4 + 5) × 6 + 7
b. 4 + 5 × 6
g. 4 + 5 × (6 + 7)
c. 4 + 5 × 6 + 7
h. (4 + 5) × (6 + 7)
d. 4 + 5 + 6 × 7
i. (4 − 5) × (6 − 7)
e. 4 × 5 + 6 × 7
j. 4 − 5 × 6 + 7
2. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
a. 4 − 5 × 6
f. 4 − 5 + 6 × −7
b. 4 − 5 × −6
g. 4 − 5 + −6 × −7
c. −4 − 5 × −6
h. −4 + 5 − 6 × 7
i. −4 + 5 × −6 + 7
d. (4 − 5) × −6
j. −4 − 5 × −6 − 7
e. (−4 − 5) × −6
3. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
f. −(5 − 6) + 8 − 4
a. (5 − 7) × −2
b. (5 − 9) × (5 − 11)
g. 8 − (3 − 4)
c. 5 × 9 − 5 × 11
h. 8 − 2 × (2 − 3)
d. (5 − 8) × −3 − 10
i. 8 − 2 × 2 − 3
e. (4 − 6) × −2 + 3
j. 8 − (2 − 3) × −2
14
4. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
12 + 18
5×8 + 9× 5
f.
a.
−5
1+ 2×8
−48 + 18
5 × (9 + 8) × 5
b.
g.
40 − 16 − −1
−4 − 1
12
12 + 8 −3 − 4
24 −
−
h. 4 +
3
5
12 − 5
c.
6−8
12 + 5 × 2
i.
4× 3 +1
⎛ 30 − 10 + 2 ⎞
d.
⎜
⎟
−1 + 2 × 7
2
⎝
⎠
12 ×13 ×14
5 × −6 × 7
e.
j.
−1× −2 × −3
(1 + 1) × 3
15
1.24 Index
A
aftrekken met gehele getallen
M
5
C
combinaties van bewerkingen
commutatieve
13
3
macht
machten van machten
machtsverheffen
N
D
natuurlijke getallen
negatieve gehele getallen
nul gedeeld door nul
delen door nul
9
delen op nul
9
delen van machten met hetzelfde grondtal
11
P
E
T
exponent
10
10
12
10
positieve gehele getallen
tegengestelde
termen
2
2
9
2
2
3
G
V
gehele getallen
getallenlijn
grondtal
2
2
10
vermenigvuldigen met gehele getallen
vermenigvuldigen van machten met
hetzelfde grondtal
6
11
16