Logica Les 4 Predicatenlogica

Logica
Les 4
Predicatenlogica
(Deze les sluit aan bij les 4 van de Syllabus Logica WD_online)
Verzamelingen
Natuurlijke getallen: ℕ = { 0,1,2,3,4,….}
Gehele getallen: ℤ = {… -4, -3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, 4, …}
Rationale getallen (breuken): ℚ
2
5
2
voorbeelden: − , 0, - 4, 4, , 1
3
7
Reële getallen: ℝ
5
voorbeelden: −𝜋𝜋, 0, −4, 4, , 2
Complexe getallen: ℂ
7
3
Predicaten
Voorbeeld
2𝑥𝑥 − 3 ≥ 0
De ongelijkheid is niet waar en niet onwaar.
x kun je vervangen door een getal.
Dat getal maakt de ongelijkheid waar of onwaar.
De ongelijkheid is waar voor 𝑥𝑥 = 5.
De ongelijkheid is onwaar voor 𝑥𝑥 = 1.
De ongelijkheid is waar voor alle reële getallen 𝑥𝑥 ≥
3
2
Predicaten
Een predicaat is een open bewering (vergelijking of ongelijkheid),
met één of meer variabelen (open plaatsen).
Een predicaat heeft geen vast te stellen waarheid.
Door waarden voor de variabelen te kiezen, gaat een predicaat
over in een propositie die waar is of onwaar is.
Predicaten
Voorbeeld
1
1
𝑃𝑃(𝑥𝑥) is: 𝑥𝑥 + = 2
𝑥𝑥
2
Neem 𝑥𝑥 = 1  𝑃𝑃 1 is onwaar.
Neem 𝑥𝑥 = 2  𝑃𝑃 2 is waar.
Predicaten
Voorbeeld
1
1
𝑃𝑃(𝑥𝑥) is: 𝑥𝑥 + = 2
𝑥𝑥
2
Neem 𝑥𝑥 = 1  𝑃𝑃 1 is onwaar.
Neem 𝑥𝑥 = 2  𝑃𝑃 2 is waar.
Er bestaat nog een waarde van x waarvoor 𝑃𝑃(𝑥𝑥) waar is.
Welke waarde is dat?
De Al-kwantor
Voorbeeld
𝑃𝑃(𝑛𝑛) is: “2 � 𝑛𝑛 is even”
𝑃𝑃(𝑛𝑛) is waar voor elk natuurlijk getal, dus voor elke 𝑛𝑛 ∈ ℕ.
Notatie: ∀𝑛𝑛 ∈ ℕ: 𝑃𝑃(𝑛𝑛)
∀ is de al-kwantor (“voor alle waarden”).
∀ is altijd gekoppeld aan een verzameling.
De Existentiële-kwantor
Voorbeeld
𝑃𝑃(𝑥𝑥) is: 𝑥𝑥 2 = 3.
𝑃𝑃( 3) is waar en 𝑃𝑃(− 3) is waar.
Notatie: ∃𝑥𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑥 2 = 3
∃ is de existentiële-kwantor (“er is een waarde”).
∃ is altijd gekoppeld aan een verzameling.
De ontkenning van kwantoren
Voorbeeld 1
“∀𝑥𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑥 2 = 3 “ is niet waar, want alleen waar voor 3 en − 3.
Dus “¬(∀𝑥𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑥 2 = 3)” is waar.
De ontkenning van kwantoren
Voorbeeld 1
“∀𝑥𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑥 2 = 3 “ is niet waar, want alleen waar voor 3 en − 3.
Dus “¬(∀𝑥𝑥 ∈ ℝ: 𝑥𝑥 2 = 3)” is waar.
Voorbeeld 2
“∃𝑥𝑥 ∈ ℚ: 𝑥𝑥 2 = 3” is niet waar, want 3 is niet te schrijven als een breuk.
Dus “¬(∃𝑥𝑥 ∈ ℚ: 𝑥𝑥 2 = 3)” is waar.
Notatie: “∄𝑥𝑥 ∈ ℚ: 𝑥𝑥 2 = 3” is waar.
In woorden: “Er bestaat geen rationaal getal x waarvoor 𝑥𝑥 2 = 3.”
De ontkenning van kwantoren
Voorbeeld 3
P is: “De boom is gezond”.
V is de verzameling bomen in een bos.
“Alle bomen in het bos zijn gezond” kun je schrijven als: “ ∀ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) is waar”.
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
En “¬ ∀ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) is waar” betekent: “Er is een ongezonde boom in het bos”.
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
En dat laatste kun je ook schrijven als “ ∃ (¬ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)) is waar”.
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
De ontkenning van kwantoren
V = {1, 2, 3, 4}.
V is een eindige verzameling. P(x) is een predicaat over getallen.
In dit geval kun je de kwantoren uitschrijven met ∧ en ∨.
∀ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ⇔𝑃𝑃(1) ∧ 𝑃𝑃(2) ∧ 𝑃𝑃(3) ∧ 𝑃𝑃(4)
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
∃ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ⇔𝑃𝑃(1) ∨ 𝑃𝑃(2) ∨ 𝑃𝑃(3) ∨ 𝑃𝑃(4)
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
De ontkenning van kwantoren
V = {1, 2, 3, 4}.
∀ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ⇔ 𝑃𝑃(1) ∧ 𝑃𝑃(2) ∧ 𝑃𝑃(3) ∧ 𝑃𝑃(4)
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
∃ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ⇔ 𝑃𝑃(1) ∨ 𝑃𝑃(2) ∨ 𝑃𝑃(3) ∨ 𝑃𝑃(4)
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
Volgens de Morgan:
¬( ∀ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)) ⇔ ¬ 𝑃𝑃 1 ∧ 𝑃𝑃 2 ∧ 𝑃𝑃 3 ∧ 𝑃𝑃 4
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
⇔
⇔ ¬𝑃𝑃 1 ∨ ¬𝑃𝑃 2 ∨ ¬𝑃𝑃 3 ∨ ¬𝑃𝑃 4 ⇔
⇔ ∃ (¬ 𝑃𝑃(𝑥𝑥))
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
De ontkenning van kwantoren
V = {1, 2, 3, 4}.
∀ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ⇔ 𝑃𝑃(1) ∧ 𝑃𝑃(2) ∧ 𝑃𝑃(3) ∧ 𝑃𝑃(4)
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
∃ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ⇔ 𝑃𝑃(1) ∨ 𝑃𝑃(2) ∨ 𝑃𝑃(3) ∨ 𝑃𝑃(4)
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
Volgens de Morgan:
¬( ∀ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)) ⇔ ¬ 𝑃𝑃 1 ∧ 𝑃𝑃 2 ∧ 𝑃𝑃 3 ∧ 𝑃𝑃 4
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
⇔
⇔ ¬𝑃𝑃 1 ∨ ¬𝑃𝑃 2 ∨ ¬𝑃𝑃 3 ∨ ¬𝑃𝑃 4 ⇔
⇔ ∃ (¬ 𝑃𝑃(𝑥𝑥))
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
In woorden: “Als P(x) niet waar is voor alle 𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉, dan is er
een 𝑥𝑥 ∈ 𝑉𝑉 waarvoor ¬ P(x) waar is.”
De ontkenning van kwantoren
Algemeen
En:
¬( ∀ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)) ⇔ ∃ (¬ 𝑃𝑃(𝑥𝑥))
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
∄ ( 𝑃𝑃(𝑥𝑥)) ⇔ ∀ (¬ 𝑃𝑃(𝑥𝑥))
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
𝑥𝑥∈𝑉𝑉
Oefenen
Lezen: Logica les 4
Maken: opgaven 4.1 tot en met 4.5
Huiswerk
Inleveren: opgaven 4.6; 4.7; 4.8