1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen .............................................................................................. 3 1.1 De gehele getallen ...................................................................................................... 3 1.2 Optellen ...................................................................................................................... 4 1.3 Opgaven ..................................................................................................................... 5 1.4 Aftrekken .................................................................................................................... 6 1.5 Opgaven ..................................................................................................................... 6 1.6 Vermenigvuldigen ...................................................................................................... 7 1.7 Opgaven ..................................................................................................................... 7 1.8 Delen .......................................................................................................................... 9 1.9 Opgaven ..................................................................................................................... 9 1.10 Delen op nul ............................................................................................................. 10 1.11 Opgaven ................................................................................................................... 10 1.12 Delen door nul .......................................................................................................... 10 1.13 Nul gedeeld door nul ................................................................................................ 10 1.14 Machtsverheffen ....................................................................................................... 11 1.15 Opgaven ................................................................................................................... 11 1.16 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal .......................................... 12 1.17 Opgaven ................................................................................................................... 12 1.18 Delen van machten met hetzelfde grondtal .............................................................. 12 1.19 Opgaven ................................................................................................................... 12 1.20 Machten van machten ............................................................................................... 13 1.21 Opgaven ................................................................................................................... 13 1.22 Combinaties van bewerkingen ................................................................................. 14 1.23 Opgaven ................................................................................................................... 14 1.24 Index ......................................................................................................................... 16 2 1 Rekenen met gehele getallen 1.1 De gehele getallen De getallen 0, 1, 2, 3, 4,... heten de natuurlijke getallen. Ze worden aangegeven met het symbool De natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn. 0 1 2 3 4 5 6 Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen. Maar als je alleen natuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar aftrekken. Zo kun je 5 – 3 wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar 3 – 5 niet. Daarom het volgende: De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden: –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 De getallen ...,–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,.... heten de gehele getallen Ze worden aangegeven met het symbool . De getallen 1, 2, 3, .. heten de positieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool De getallen ... ,–4, –3, –2, –1. heten de negatieve gehele getallen Ze worden aangegeven met het symbool Twee getallen, zoals 3 en –3 of 4 en –4, die slechts van teken verschillen heten elkaars tegengestelde. 3 1.2 Optellen Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen een voortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: 4+3=7 4+2=6 4+1=5 4+0=4 4 + –1 = 3 4 + –2 = 2 4 + –3 = 1 4 + –4 = 0 4 + –5 = –1 4 + –6 = –2 4 + –7 = –3 De getallen 3 en 4 heten de termen. Het getal 7 heet de som van 4 en 3 We zien dat het optellen met een negatief getal hetzelfde resultaat geeft als aftrekken met het positieve tegenovergestelde van dat getal. De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 4 + 6 de volgorde van de termen mag verwisselen: 4 + 6 = 6 + 4, heet de commutatieve eigenschap van het optellen. Omdat de gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het optellen van gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling mogen verwisselen. Bijvoorbeeld: 4 + –6 = –6 + 4 4 1.3 Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. 2+3 f. 6 + –3 b. –2 + 3 g. –3 + –5 c. –4 + 8 h. –1 + –5 d. 8 + –3 i. –6 + –2 e. 5 + –2 j. –8 + –2 2. Een meetlat is een voorbeeld van een getallenlijn. Verzamel deze week zoveel mogelijk voorbeelden van dergelijke getallenlijnen 3. Leg uit hoe je op je rekenmachine 53 + –82 uitrekent 4. Op je rekenmachine staan twee mintekens. Leg uit waar ieder van de twee voor gebruikt wordt. 5. Schrijf de opgaven over en reken uit: a. 12 + –43 b. 34 + – 54 c. –12 + –67 d. –45 + 23 e. –455 + –123 f. g. h. i. j. 6. Schrijf de opgaven over en reken uit: a. 12 + 48 + –53 b. –12 + 38 + –52 c. –10 + –20 + –30 d. 23 + 34 + 62 e. –38 + –38 + 38 f. g. h. i. j. –867 + 435 –876 + –435 –294 + 857 474 + –746 645 + –74 38 + –38 + –38 –1 + –2 + –3 –1 + –2 + –3 + –4 1 + –2 + 3 + –4 –1 + 2 + –3 + 4 5 1.4 Aftrekken Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele getallen een voortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: 4–3=1 4–2=2 We zien dat het aftrekken met een 4–1=3 negatief getal hetzelfde resultaat 4–0=4 oplevert als het optellen met het 4 – –1 = 5 tegenovergestelde van dat getal. 4 – –2 = 6 4 – –3 = 7 4 – –4 = 8 1.5 Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. 2–3 f. 6 – –3 b. –2 – 3 g. –3 – –5 c. –4 – 8 h. –1 – –5 d. 8 – –3 i. –6 – –2 e. 5 – –2 j. –8 – –2 2. Leg uit hoe je op je rekenmachine 53 – –82 uitrekent 3. Schrijf de opgaven over en reken uit: a. 12 – –43 b. 34 – – 54 c. –12 – –67 d. –45 – 23 e. –455 – –123 f. g. h. i. j. –867 – 435 –876 – –435 –294 – 857 474 – –746 645 – –746 4. Schrijf de opgaven over en reken uit: a. –38 – 43 – –83 b. 73 – 27 – 68 c. –1 – 2 – 3 – 4 d. 0 – –2 e. 0 – –3 f. g. h. i. j. 1– –2 – –3 – –4 –12 – –12 – 12 12 – 12 – 12 –12 – 12 – 12 12 – 12 – –12 6 1.6 Vermenigvuldigen Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt vermenigvuldigen zo dat het vermenigvuldigen met gehele getallen een voortzetting is van het vermenigvuldigen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: 4 3 = 12 4 2= 8 4 1= 4 4 0=0 4 –1 = –4 4 –2 = –8 4 –3 = –12 4 –4 = –16 4 –5 = –20 De getallen 4 en 3 heten de factoren. Het getal 12 heet het product van 4 en 3 Zoals 4 3 = 3 4 spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met gehele getallen: 4 –2 = –2 4. Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken: –4 3 = –12 We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele –4 2 = –8 getallen geldt: –4 1 = –4 positief getal positief getal = positief getal –4 0 = 0 positief getal negatief getal = negatief getal –4 –1 = 4 negatief getal positief getal = negatief getal –4 –2 = 8 negatief getal negatief getal = positief getal –4 –3 = 12 –4 –4 = 16 –4 –5 = 20 1.7 Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. 4 –3 f. –6 –3 b. 5 –3 g. 0 –2 c. –3 6 h. –5 –8 d. –6 8 i. –10 –12 e. –7 –5 j. 12 10 2. Schrijf de opgave over en reken uit: a. 12 43 b. 34 –54 c. –12 –67 d. –45 23 e. –455 –123 f. g. h. i. j. –867 435 –876 –435 – 294 857 474 –746 645 –746 7 3. Schrijf de opgave over en reken uit: 12 13 14 a. 12 13 14 b. 12 13 14 c. 12 13 14 d. 12 13 14 e. f. g. h. i. j. 12 13 14 12 13 14 12 13 14 12 13 14 0 12 13 14 1 8 1.8 Delen 12 3 omdat 3 4 = 12 4 12 3 . Immers –3 –4 = 12 Daarom is 4 12 3 omdat 3 –4 = –12 4 12 3 omdat –3 4 = –12 4 We gebruiken de horizontale breukstreep. Deze zaait geen verwarring over de bedoelde volgorde. De symbolen ÷, / en : zullen we daarom niet gebruiken. We zien dat voor delen met gehele getallen geldt: positief getal gedeeld door positief getal = positief getal positief getal gedeeld door negatief getal = negatief getal negatief getal gedeeld door positief getal = negatief getal negatief getal gedeeld door negatief getal = positief getal 1.9 Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: 15 a. f. 5 14 b. g. 7 24 c. h. 8 36 d. i. 6 48 e. j. 16 64 8 45 5 45 9 72 12 72 12 2. . Schrijf de opgave over en reken uit: 144 a. 16 162 b. 18 2226 c. 42 2226 d. 53 2226 e. 53 6450 75 6450 84 6450 75 5208 62 5208 84 f. g. h. i. j. 9 3. Gegeven is dat 98 52 5096 Dankzij dit gegeven kun je delingen opschrijven met deze gehele getallen en hun tegengestelden Schrijf alle mogelijke delingen, met hun uitkomst op. 1.10 Delen op nul 0 0 0 0 want 0 3 0 , maar 0 en 0 . 3 4 5 1.11 Opgaven 1. Schrijf over en bereken: 0 a. 6 0 b. 3 0 1000 0 d. 200 c. 1.12 Delen door nul 2 ? , Welk getal kan er staan op de plaats van het ? ? 0 Als je op de plaats van ? een getal denkt dan moet 0 ? 2 . Maar dan kan er op de plaats van ? geen enkel getal gezet worden zo dat de regel 0 ? 2 klopt. We zeggen daarom: delen door nul kan niet. 1.13 Nul gedeeld door nul 0 ? Welk getal kan er staan op de plaats van het ? ? 0 Als je op de plaats van ? een getal denkt dan moet 0 ? 0 . Maar op de plaats van ? kan ieder getal staan. 0 Daarom zeggen we: kan niet. 0 10 1.14 Machtsverheffen Een uitdrukking als 54 heet een macht De 5 in de uitdrukking heet het grondtal De 4 in de uitdrukking heet de exponent 54 is de korte schrijfwijze voor 5 x 5 x 5 x 5 Dus 54 = 625 Net zo is (3)4 3 3 3 3 Dus (3)4 81 Een macht is een herhaalde vermenigvuldiging. Het grondtal geeft aan met welk getal je vermenigvuldigt. De exponent geeft het aantal herhalingen aan Pas op: 34 3 3 3 3 Dus 34 81 1.15 Opgaven 1. Schrijf de volgende machten als een herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht: a. f. k. (2) 2 22 2 2 3 b. l. 2 2 3 g. (2)3 c. m. 24 2 4 4 h. ( 2) d. n. 25 2 5 5 i. ( 2) e. o. 26 2 6 6 j. (2) 2. Ga na hoe je met je rekenmachine (12) 4 uitrekent. 3. Schrijf de opgave over en reken uit: a. (11)3 b. 133 c. 253 d. (25)4 e. (21)2 f. 212 g. (15)3 h. (15)4 i. 154 j. 153 4. De uitkomst van (7)11 en 711 is gelijk. Leg uit dat de uitdrukkingen (7)11 en 711 wel dezelfde uitkomst hebben, maar niet dezelfde betekenis. 11 1.16 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal Omdat 7 4 7 7 7 7 en 75 7 7 7 7 7 is 7 4 75 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 4 factoren 7 5 factoren 7 Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de exponenten van die machten bij elkaar optellen. 1.17 Opgaven 1. Schrijf als één macht: a. 34 36 b. 105 106 c. 42 43 d. 77 77 e. 134 138 f. g. h. i. j. 1203 1204 1221 1212 1210 4323 4345 4335 3456 3412 3423 3431 51 52 53 58 59 510 1.18 Delen van machten met hetzelfde grondtal 712 78 omdat 712 78 7 4 4 7 Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten van die machten van elkaar aftrekken. 1.19 Opgaven 1. Schrijf als één macht: 39 a. 3 3 512 b. 53 47 c. 4 1212 d. 1211 106 e. 102 1245 f. 1234 155 g. 153 22 22 h. 22 21 32100 i. 3250 3264 j. 3216 12 1.20 Machten van machten Een uitdrukking als 75 heet een macht van een macht. Het is de 4–de macht van 75 . 4 7 5 4 75 75 75 75 7 20 4 factoren 75 Als je een macht van een macht wilt schrijven als één macht, dan moet je de exponenten van de beide machten met elkaar vermenigvuldigen. 1.21 Opgaven 1. Schrijf de machten als macht van één grondtal: a. b. c. d. e. 7 2 2 4 5 f. 2 2 g. 3 4 2 3 4 2 3 4 h. i. j. 4 5 3 3 1 10 6 4 5 10 11 10 10 10 54 3 2 13 1.22 Combinaties van bewerkingen Om een uitdrukking als 4 5 6 , waarin zowel een vermenigvuldiging als een optelling staat, moet er een afspraak gemaakt worden welke bewerking (de vermenigvuldiging of de optelling) het eerst moet worden verricht. De afspraak is dat de vermenigvuldiging het eerst wordt verricht. Dus: 4 5 6 4 + 30 = 34 Om de optelling eerst uit te voeren, kunnen haakjes gebruikt worden: 4 5 6 4 5 6 9 6 54 1.23 Opgaven 1. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. 4 5 6 f. (4 5) 6 7 b. 4 5 6 g. 4 5 (6 7) c. 4 5 6 7 h. (4 5) (6 7) d. 4 5 6 7 i. (4 5) (6 7) e. 4 5 6 7 j. 4 5 6 7 2. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. 4 5 6 f. 4 5 6 7 b. 4 5 6 g. 4 5 6 7 c. 4 5 6 h. 4 5 6 7 d. (4 5) 6 i. 4 5 6 7 j. 4 5 6 7 e. (4 5) 6 3. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. (5 7) 2 f. (5 6) 8 4 b. (5 9) (5 11) g. 8 (3 4) c. 5 9 5 11 h. 8 2 (2 3) d. (5 8) 3 10 i. 8 2 2 3 e. (4 6) 2 3 j. 8 (2 3) 2 14 4. Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: 12 18 58 9 5 a. f. 5 1 28 5 (9 8) 5 48 18 b. g. 4 1 40 16 1 12 12 8 3 4 24 h. 4 3 5 12 5 c. 68 12 5 2 i. 4 3 1 30 10 2 d. 1 2 7 2 12 13 14 5 6 7 e. j. 1 2 3 (1 1) 3 15 1.24 Index A aftrekken met gehele getallen M 5 C combinaties van bewerkingen commutatieve 13 3 macht machten van machten machtsverheffen N D natuurlijke getallen negatieve gehele getallen nul gedeeld door nul delen door nul 9 delen op nul 9 delen van machten met hetzelfde grondtal 11 P E T exponent 10 10 12 10 positieve gehele getallen tegengestelde termen 2 2 9 2 2 3 G V gehele getallen getallenlijn grondtal 2 2 10 vermenigvuldigen met gehele getallen vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal 6 11 16