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Meetkunde 3 Hoeken M12 Indeling van de hoeken volgens hun som 232 M13 Indeling van de hoeken volgens hun ligging 236 M14 Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn 240 M15 Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 242 M16 De som van de hoeken in een driehoek 250 M18 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 256 231 +HWJHOXNOLJWYDDNLQ H HNM KR HLQ HHQNO van de hoeken volgens hun som Titel M12 1 Indeling 702 E Zijn de gegeven hoeken complementair? a c H G 70° A B b C 49° 31° 120° d 35° 55° 90° I 0° D a b c d 703 E J 70° + 120° = 190° De hoeken zijn niet complementair. 35° + 55° = 90°. . . . . . . . . . . . . . . . .De | C | + | D | = ........................................... . . . . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .complementair. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 31° + 49° = 80°. . . . . . . . . . . . . . . . .De | G | + | H | = .......................................... . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . niet . . . . . . . . . . . . .complementair. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 0° + 90° | I | + | J | = .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . De . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . complementair. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. |A| + |B| = ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Welke hoeken zijn complementair? L 45° B 70° 17° 35° F E 90° C 45° A D I G 50° 20° 40° K J 83°  en D .................................. 232 M12 55° B en F .................................. Indeling van de hoeken volgens hun som C en H H .................................. E en G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . I en K .................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 704 B Vul aan zodat A en B complementaire hoeken zijn. a b | A | = . . 22° .......... | A | = 90° | A | = . .85° .......... | A | = 95° | B | = . . 45° .......... 1 | B | = . . .80° ......... 2 | B | = 68° 3 | B | = . . . .0° ........ 4 | B | = 5° 5 | B | = . . . . ./. . . . . . . 6 2 3 |A| = 2 |B| 4 5 | A | = | B | + 16° b |  | + | B | = 90° c | . . . . .|. . = | Â. . . |. . .+ . . . . . . .B . . . . . .90° ................................... ⇓ |  | = 2| B | 6 | A | – 2 | B | = 30° |  | = 2| B | + 30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ⇓ |  | = | B | + 16° ............................................................. |  | + | B | = 90° ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | . . . . .|. . = | B | + | B | = 90° | B | + 16° 2............................................................. . . . . . .+ . . . . . . .B . . . . . .90° ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 3| B | = 90° ⇓ |  | = 2| B | + 30° | . . . . .|. . = 2| B | = 90° – 16° = 74° 2| B. .|. . .+. . . . .30° . . . . . . . . . . .+ . . . . . . .B . . . . . .90° . . . . . . . ............. ............................................................. ............................................................. | B | = 90° : 3 = 30° ............................................................. ............................................................. |  | = 60° ............................................................. ............................................................. | B | = 74° : 2 = 37° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 3| B | = 90° – 30° = 60° ............................................................. |  | = 53° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | B | = 60° : 3 = 20° |  | = 70° Gegeven: B is het complement van A. Bereken B. a | A | = 45° 15' 20'' b | A | = 20° 17' c 89° 59’ 60” ............................................................. ............................................................. – 45° 15’ 20” ............................................................. ............................................................. 44° 44’ 40” |............................................................. B | = 44° 44’ 40” ............................................................. ............................................................. | A | = 75° 25" 89° 60’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. – 20° 17’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ............................................................. 69° 43’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | B | = 69° 43’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 89° 59’ 60” – 75° 0’ 25” 14° 59’ 35” | B | = 14° 59’ 35” Teken het complement van elke gegeven hoek. C 58° 60° 30° A 708 B f | A | = 10° ............................................................. 707 B e Gegeven: B is het complement van A. Bereken A enB. a 706 U (V*) d | A | = 45° 1 705 V* c B D 32° Teken het complement van elke hoek zonder de hoek te meten. A B C Indeling van de hoeken volgens hun som M12 233 709 B Complementaire hoeken | A | = 40° | B | = 100° a | C | = 0° | D | = 220° Noteer de gegeven hoeken die een complement hebben en bepaal de grootte van het complement.  en C Het complement van  = 90° – 40° = 50° Het complement .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .C . . . . .= . . . . . .90° ..........– . . . . ..0° . . . . . . .= . . . . .90°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. b Noteer de gegeven hoeken die geen complement hebben en verklaar waarom niet. B en D omdat hun hoekgrootten groter zijn dan 90°. .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 710 E Zijn de gegeven hoeken supplementair? a c 161° B 29° 40° 140° A H G b d D 180° J 0° 85° I 85° C 40° + 140° = 180° De hoeken zijn supplementair. 85° + 85° = 170° | C | + | D | = ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . De . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . . .niet . . . . . . . . . . . .supplementair. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... 161° + 29° = 190° | G | + | H | = ......................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . De . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . . .niet . . . . . . . . . . . .supplementair. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 180° + 0° | I | + | J | = ............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .De . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . . .supplementair. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... |A| + |B| = a b c d 711 B .......................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Vul aan zodat A en B supplementaire hoeken zijn. a b d | A | = . . . ./. . . . . . . . 3 | A | = 105° 4 | A | = . . .96° ......... 5 | A | = 0° 6 | B | = . 60° ........... | B | = .135° ........... | B | = 195° | B | = .75° ........... | B | = 84° | B | = 180° ............ 2 3 4 5 6 Zet een kruisje in de passende kolom. supplementair complementair 30° 2 A Indeling van de hoeken volgens hun som x 78° 80° 1 M12 f | A | = 45° 2 complementair 234 e | A | = 120° 1 1 712 E c 1 E 2 12° supplementair complementair supplementair complementair supplementair 195° 45° 45° 1 2 1 x 2 F 20° B G 2 130° 1 1 x 50° 90° 33° 2 C D 2 1 50° 90° H 1 x 2 110° 90° 713 B Noteer drie paar complementaire hoeken en drie paar supplementaire hoeken. Complementaire hoeken: A B 2 2 1 1 .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Â1 en Â2 , B1 en B2 , Ĉ1 en Ĉ2 , . D ........................................................................... . . . . .1. . . en . . . . . . . . .D . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Supplementaire hoeken: 1 Ê en Ê , Ê en Ê , Ê en Ê , Ê en Ê 1 2 2 D C a en b zijn snijdende rechten met snijpunt A. • • a Bereken A1 en A2. Wat stel je vast? 180° – 130° = 50° 180° – 130° = 50° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |A | = ..................................................... 2 Beide hoeken zijn. . .even Vaststelling: .................................................. . . . . . . . . . . . . . . .groot. ................................. |A | = 1 715 V* 2 3 .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................... 1 2 2 3 3 4 .1. . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 B 1 4 130° 2 ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A b Gegeven: A is het supplement van B. Bereken | A | en | B |. a |A| = 4 |B| | B | = 180° |Â| + ................................................................ ⇓ |  | = 4| B | ................................................................ b | A | = | B | –48° c | . . . .|. . .= | Â. .|. .+ . . . . . . . .B . . . . . 180° ........................................ ⇓ |  | = | B | – 48° | A | – 5 | B | = 30° |  | = 30° + 5| B | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. |  | + | B | = 180° ................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. | B | = 180° | B | – 48°. . . .+ | . . . .|. . .= 4| B | + ................................................................ . . . . . . . .B . . . . . 180° ........................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 5| B | = 180° ................................................................ | . . . . .|. . + | . . . . |. . .= 2| B | = 180° + 48° = 228° .30° . . . . . . . . . .+ . . . . . .5 . . . . .B . . . . . . . .B . . . . . 180° . .............. ................................................................ | B | = 180° : 5 = 36° ................................................................ |  | = 180° – 36° = 144° ................................................................ ................................................................ ................................................................ ⇓ |  | = 30° + 5| B | | B | = 228° : 2 = 114° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. |  | = 180° – 114° = 66° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 6| B | = 180° – 30° = 150° | B | = 150° : 6 = 25° |  | = 180° – 55° = 155° Indeling van de hoeken volgens hun som M12 235 716 U (V*) Gegeven: A is het supplement van B. Bereken | B |. a | A | = 87° 32' 15'' b 179° 59’ 60” ................................................................ – 87° 32’ 15” ................................................................ ................................................................ 92° 27’ 45” |................................................................ B | = 92° 27’ 45” ................................................................ ................................................................ ................................................................ 717 B | A | = 24° 55' c | A | = 100° 28'' 179° 60’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 179° 59’ 60” – 24° 55’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ................................................................ 155° 5’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. | B | = 155° 5’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. – 100° 0’ 28” 79° 59’ 32” | B | = 79° 59’ 32” Teken telkens het supplement van de gegeven hoek. D C 125° B A 718 B 55° 95° 85° Teken het supplement van elke hoek zonder de hoek te meten. C A 719 B B Vul aan. Kies uit: een nulhoek, een scherpe hoek, een rechte hoek, een stompe hoek een gestrekte hoek, bestaat niet. a b c d e f is een stompe hoek. Het complement van een rechte hoek . . . . . is . . . . . .een . . . . . . . . . . . nulhoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ............. . Het supplement van een nulhoek . . . . . . . . . . . . . . is . . . . . .een . . . . . . . . . . . gestrekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ............ . Het complement van een stompe hoek . . . bestaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .niet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ............ . Het supplement van een rechte hoek . . . . . . . is . . . . . .een . . . . . . . . . . . rechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ............. . Het complement van een scherpe hoek . . is . . . . . .een . . . . . . . . . . . scherpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ............ . Het supplement van een scherpe hoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ............ . M13 Indeling van de hoeken volgens hun ligging 720 B Teken van de gegeven hoeken … de overstaande hoek. a b c B A 236 M13 Indeling van de hoeken volgens hun ligging C een aanliggende hoek. d e F D E een nevenhoek. g h i I G 721 V* f H Teken … a Een paar overstaande hoeken die complementair zijn. A b Een paar aanliggende hoeken die complementair zijn. 45° 45° B c Een paar overstaande hoeken die supplementair zijn. d Een paar aanliggende hoeken die supplementair zijn. C D Indeling van de hoeken volgens hun ligging M13 237 722 B Zet een kruisje in de passende kolom. D 1 2 2 1 2 2 1 B Overstaande hoeken A1 en A2 C1 en C2 D1 en D2 Aanliggende hoeken Nevenhoeken x x x x x F1 en F2 238 1 x B1 en B2 E1 en E2 x 723 B Duid op de tekening (met een boogje) 3 paar aanliggende hoeken aan. 724 B Duid op de tekening (met een boogje) 3 paar nevenhoeken aan. M13 2 E 2 1 C A F Indeling van de hoeken volgens hun ligging x 1 725 B Duid op de tekening (met een boogje). • • 726 B in het groen 3 paar aanliggende hoeken aan. in het rood 3 paar nevenhoeken aan. Zet (een) kruisje(s) in de passende kolom. D 1 2 E A 1 2 1 1 B 2 Aanliggend Supplementair Nevenhoeken x x B1 en B2 x x C1 en C2 x A1 en A2 D1 en D2 727 V* C 2 Complementair x x Waar of niet waar. Geef een voorbeeld of verklaar. a b c d e Waar Overstaande hoeken zijn .................................................................. . . . . . .even . . . . . . . . . . . . . . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Twee . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .45° . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . complementair. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Er bestaan aanliggende hoeken die complementair zijn. .Waar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Bv.: 60° en 30° .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Er bestaan nevenhoeken die complementair zijn. .Niet . . . . . . . . . . . . .waar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Nevenhoeken zijn samen .................................................................. . . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . . kunnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dus . . . . . . . .. . . .niet . . . . . . . . . . . .samen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90° . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Er bestaan overstaande hoeken die supplementair zijn. .Waar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Overstaande hoeken zijn .................................................................. . . . . . .even . . . . . . . . . . . . . . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Twee . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .90° . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . . .supplementair. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Er bestaan aanliggende hoeken die supplementair zijn. .Waar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Bv.: 50° en 130° (nevenhoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .aanliggende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .hoeken). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Er bestaan overstaande hoeken die complementair zijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Indeling van de hoeken volgens hun ligging M13 239 Teken sc(ΔABC). Bepaal | C' | en verklaar. 728 V* A’ B 40° C C’ 40° B’ A |.......................................................................... C | = | C' | = 40° (overstaande de . . . . . . . .hoeken). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elke . . . . . . . . . . . . .draaiing/puntspiegeling . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bewaart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. hoekgrootte. .......................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. In de afbeeldingen vind je heel wat hoeken. 729 B • • • • Duid in het rood een paar nevenhoeken aan. Duid in het groen een paar complementaire hoeken aan. Duid in het blauw een paar overstaande hoeken aan. Duid in het zwart een paar aanliggende hoeken aan die geen nevenhoeken zijn. b a M14 Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn c Benoem de gevraagde hoeken. 730 B • a a en b zijn twee rechten gesneden door rechte c. A is het snijpunt van a en c, B is het snijpunt van b en c. A 1 b 2 4 3 1 2 4 3 B a A3 en B3 b e A3 en B1 A4 en B1 f B4 en B2 c binnenhoeken aan dezelfde kant. . van .................................................................. . . . . . . . . .de . . . . . .snijlijn ................ A3 en A2 g A3 en B2 d A1 en B3 h .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aan . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . .van . . . . . . . . .de . . . . . .snijlijn . .............. A1 en B4 overeenkomstige hoeken .................................................................. ................................. verwisselende binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. overstaande hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. nevenhoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . verwisselende buitenhoeken .................................................................. ................................. 240 M14 Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn .buitenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . de . . . . . . snijlijn . . . .............. • a i b en c a. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A1 en B3 verwisselende buitenhoeken .................................................................. ....................................... j A2 en B2 a overeenkomstige hoeken .................................................................. ....................................... k b B1 en B2 nevenhoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l A3 en B1 c A4 en B3 n buitenhoeken aan dezelfde kant.van .................................................................. . . . . . . . . .de . . . . . .snijlijn ....................... B1 en B3 o A2 en B1 p binnenhoeken aan dezelfde kant. . .van .................................................................. . . . . . . . . de . . . . . . snijlijn ...................... A3 en A2 1 4 verwisselende binnenhoeken .................................................................. ....................................... m B A 1 2 4 2 3 3 overstaande hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................. nevenhoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Benoem de gevraagde hoeken. 731 B c a b 1 4 A 2 3 a 1 4 b • 3 4 a // b c A3 en B3 • I j c binnenhoeken aan dezelfde kant. . .van .................................................................. . . . . . . . .de . . . . . .snijlijn .................. A3 en A2 k l verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. A4 en B3 n buitenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . .van . . . . . . . . .de . . . . . .snijlijn . . . . . .............. B1 en B3 overstaande hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................. g A1 en B2 h buitenhoeken aan dezelfde kant. van .................................................................. . . . . . . . . .de . . . . . .snijlijn ................... A2 en A4 overstaande hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................. A3 en B1 m verwisselende binnenhoeken .................................................................. ................................... B4 en B2 B1 en B2 nevenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. verwisselende buitenhoeken .................................................................. ................................... A3 en B1 A2 en B2 overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. nevenhoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1 en B3 A1 en B3 verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .buitenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. A3 en B4 f 3 a b en c a. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. b e 4 a overeenkomstige hoeken .................................................................. ................................... d 3 2 a // b en c a. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. a 2 B A c B 1 2 1 overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. o A2 en B1 .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . van . . . . . . . . .de . . . . . .snijlijn . . . .............. p A3 en A2 nevenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Hoeken gevormd door rechten en een snijlijn M14 241 Vul aan en verklaar. 732 B a c b 1 4 A 2 1 2 1 B A c 4 3 a 2 3 4 a b en c a. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. | A | = 45° | B | = 90° 1 1 • 135° Â2 en Â1 zijn nevenhoeken | A | = .................................................... ................................... Bereken: g | A | = .110° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . en . . . . . . . . .1. . .zijn . . . . . . . .nevenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. b 90° B1 en B2 zijn nevenhoeken | B | = ...................................................... ................................... 2 h | B | = . . 70° . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nevenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . .supplementair . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 1 c 45° Â3 en Â1 zijn overstaande | A | = ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken ................ i | A | = .70° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. .en . . . . . . . . .1. . zijn . . . . . . . . overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . .............. d 90° B4 en B2 zijn overstaande | B | = ..................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken ................ j | B | = .110° . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B . . .4. .en . . . . . .B . . .2. . zijn . . . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . ............. 2 3 4 Beantwoord volgende vragen 733 B 2 a // b en c a. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. | A | = 70° | B | = 110° 1 2 Bereken: a B 3 b • 1 4 3 2 3 4 Beantwoord volgende vragen e verwisselende binnenhoeken. A2 en B4 zijn ......................................... ................................... k A2 en B4 zijn . . . .verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .binnenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. f Neen Zijn | A2 | en | B4 | even groot? ......... ................................... l Zijn | A2 | en | B4 | even groot? . .Ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Gegeven: ABCD EF AB en EF DC. E is het snijpunt van AB en EF en F is het snijpunt van DC en EF. B E Vul in. a overeenkomstige hoeken E1 en B zijn ............................................ ................................... b binnenhoeken aan dezelfde E1 en F1 zijn .......................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . .van . . . . . . de snijlijn c verwisselende binnenhoeken E1 en F2 zijn .......................................... ................................... d nevenhoeken F1 en F2 zijn .......................................... ................................... e binnenhoeken aan dezelfde F2 en C zijn ........................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . .van . . . . . . de snijlijn f overeenkomstige hoeken D en F2 zijn ........................................... ................................... 2 1 A 1 D C 2 F M15 Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 734 E Zet een kruisje in de passende kolom. Als 2 evenwijdige rechten gesneden worden door een rechte dan is: elk paar overeenkomstige hoeken … elk paar verwisselende binnenhoeken … elk paar verwisselende buitenhoeken … elk paar binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn … elk paar buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn … 242 M15 Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn Even groot Supplementair x x x x x 735 B Bereken telkens de gevraagde hoeken en verklaar. a // b b c. A is het snijpunt van a en c, B is het snijpunt van b en c. | A | = 125° 2 a Er zijn verschillende mogelijkheden. | B | = 125° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 2 |. .A . . . . .2. .|. en . . . . . . |. .B . . . . 2. . .| . zijn . . . . . . . . overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken. . . . . . . . . . . . . . . . ............. |. .A . . . . .2. .|. en . . . . . . |. .B . . . . 2. . .| . zijn . . . . . . . . even . . . . . . . . . . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | B | = 55° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 1 b c van de snijlijn. |. .A . . . . 2. .|. .en . . . . . |. .B . . . .1. .|. .zijn . . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . ............. a b |. .A . . . . 2. .|. .en . . . . . |. .B . . . .1. .|. .zijn . . . . . . .supplementair. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. A 1 | A | = 55° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. c 2 4 3 1 van de snijlijn. |. .A . . . . 1. .|. .en . . . . . |. .B . . . .2. .|. .zijn . . . . . . .buitenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . ............. B |. .A . . . . 1. .|. .en . . . . . |. .B . . . .2. .|. .zijn . . . . . . .supplementair. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 1 2 4 3 | A | = 125° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. d 4 |. .A . . . . .4. .|. en . . . . . . |. .B . . . . 2. . .| . zijn . . . . . . . . verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .buitenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. |. .A . . . . .4. .|. en . . . . . . |. .B . . . . 2. . .| . zijn . . . . . . . . even . . . . . . . . . . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | A | = 55° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 3 e |. .A . . . . .3. .|. en . . . . . . |. .B . . . . 1. . .| . zijn . . . . . . . . verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .binnenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. |. .A . . . . .3. .|. en . . . . . . |. .B . . . . 1. . .| . zijn . . . . . . . . even . . . . . . . . . . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 736 E Bereken de grootte van de ontbrekende 7 hoeken. a // b a c A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A 1 2 3 4 a B 1 b 2 3 4 c a | A | = 50° b 130° | A | = ................................................... 2 c | A |= d e f g h 1 130° 50° | A | = ................................................... 4 50° | B | = ................................................... 1 130° | B | = ................................................... 2 130° | B | = ................................................... 3 50° | B | = ................................................... 4 3 ................................................... i | B | = 140° j |A | = 1 k l m n o p 2 . 40° ................................................. | A | = .140° ................................................. 2 | A |= .140° ................................................. 3 | A | = .40° ................................................. 4 | B | = .40° ................................................. 1 | B | = .140° ................................................. 3 | B | = .40° ................................................. 4 q | A | = 42° r |A | = 1 s t u v w x 4 42° | A | = .138° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 2 | A |= .138° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 3 | B | = .42° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 1 | B | = .138° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 2 | B | = .138° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 3 | B | = .42° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M15 243 737 B • • Wat kun je zeggen over de hoekgrootte bij Z-hoeken en bij F–hoeken? Verklaar. Weetje Je kunt bij twee evenwijdigen en een snijlijn steeds de letter Z terugvinden. Je kunt bij twee evenwijdigen en een snijlijn steeds de letter F terugvinden. Zhoeken zijn even groot omdat .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .het . . . . . . . . . .verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .bij . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. evenwijdigen en een snijlijn. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. Fhoeken zijn even groot omdat .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .het . . . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .bij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. evenwijdigen en een snijlijn. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. Duid op de afbeeldingen 3 F-hoeken en 3 Z-hoeken aan. 738 B a 739 B • • b Gegeven: a//b en c//d. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van a en d. C is het snijpunt van b en d. D is het snijpunt van b en c. Bereken. | B1 | en | C1 | Verklaar. d c B 1 A C a 1 b 1 55° D C 1 en D zijn binnenhoeken en b | C | = 125° .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aan . . . . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . . .c//d . . . . ............. 1 d. C 1 en B 1 zijn binnenhoeken en d a. | B | = 55° .............................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aan . . . . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . met . . . . . . . . . . . . .a//b . . ............. 1 244 M15 Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 740 B • • Voor de volgende figuren geldt: a //b en c //d. Geef telkens twee paar hoeken die even groot zijn en twee paar hoeken die supplementair zijn. Duid F-hoeken aan in het groen en Z- hoeken in het rood (zie oef. 737). even groot a A 1 a c B D 1 4 d 1 C 1 2 3 b 2 b a 1 A d 2 C 1 B 2 c 1 supplementair Overstaande hoeken: |B | = |B | 1 3 |B | = |B | 2 4 Overeenkomstige hoeken: | Â1 | = | B3 | | B1 | = | C1 | | Â1 | = | D1 | | B2 | = | C2 | Verwisselende buitenhoeken: | C1 | = | B3 | | C2 | = | B4 | Nevenhoeken: B1 en B2 B1 en B4 B2 en B3 B3 en B4 C1 en C2 Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn: Â1 en B4 C1 en B4 C2 en B3 Verwisselende binnenhoeken: | C1 | = | A2 | | B1 | = | C1 | Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn: C2 en B1 Verwisselende buitenhoeken: | A1 | = | C2 | Nevenhoeken: A1 en A2 C1 en C2 Overstaande hoeken: | Â2 | = | Â4 | | A1 | = | A3 | | Ĉ1 | = | Ĉ3 | | C2 | = | C4 | Overeenkomstige hoeken: | C3 | = | D1 | | A1 | = | B1 | Verwisselende binnenhoeken: | B1 | = | A3 | | D1 | = | C1 | Nevenhoeken: A1 en A2 A2 en A3 A3 en A4 A1 en A4 C1 en C2 C2 en C3 C3 en C4 C1 en C4 b c a D c A 1 1 d 741 B 2 1 3 4 2 1 3 4 B C b Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn: D1 en A4 B1 en A4 D1 en C2 B1 en C2 Bereken telkens | A1 | en verklaar. a a // b en c a. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. b | B1 |= 180° – 160° = 20° .................................................................. ....................................... 160° 2 c B1 en B2 zijn nevenhoeken. .................................................................. ....................................... | Â1 | = 20° .................................................................. ....................................... A 1 1 B a B1 en Â1 zijn verwisselende binnenhoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . .c//d . . . . . . . . en . . snijlijn a. b a // b en c // d en a c. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en d. C is het snijpunt van b en c. | C | = 100° Ĉ en B1 zijn binnenhoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aan . . . . . . . . . dezelfde ...... F d A 1 a kant van de snijlijn .................................................................. . . . . . . . . .c . . . // ....d . . . .en . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . b. |  | = | C | = 100°  en C zijn verwisselende .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .binnenhoeken ............... 1 80° c 1 B 1 met a // b en snijlijn .................................................................. . . . . . . . . . . .c. ............................ b C Andere mogelijkheid: .................................................................. ....................................... | F | = 100° F en B 1 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn a // b en snijlijn d. | Â1 | = | F |= 100° F en A 1 zijn overeenkomstige hoeken c//d en snijlijn a. Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M15 245 a // b en c // d en a c. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. C is het snijpunt van a en b. D is het snijpunt van b en d. c C |.................................................................. D | = | C | = 95° D en C . .zijn . . . . . . . . . . .overeen.......................... 1 A a d komstige hoeken c met a//b .................................................................. . . . . . . .en . . . . . . . . snijlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d. .... A 1 | = | C | = 95° A 1 en C. . . .zijn |.................................................................. . . . . . . . . . . .verwisselende ........................ B buitenhoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . . .c . . . // d en snijlijn a. Er zijn meerdere mogelijkheden. .................................................................. ....................................... .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 B D 95° b A ABCD is een trapezium met AB//CD, | A | = 110°. Bereken | D |. B 110° |....D....................................................................... | = 180° – | A | = 180° – 110° . . . . . . .= . . . . . .70° .......................... D en A zijn binnenhoeken aan .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . dezelfde ........................... kant van de snijlijn AB//CD,. . .snijlijn .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .AD. ................. 743 B D C Bereken de gevraagde hoeken tussen de stalen spankabels en de rijbanen. B C 1 1 2 1 125° 38° 1 A D 180° – 125° = 55° A 1. . .en | A | = .............................................................. . . . . . . . . .A . . . .2 . . . .zijn . . . . . . . . . . .nevenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 2 744 B | A | = 125° B en A zijn overeenkomstige hoeken BC // AD en snijlijn AB. snijlijn. 180° – 38° = 142° C 1. . .en | C | = .............................................................. . . . . . . . . .D . . . .1 . . . .zijn . . . . . . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . . een . . . . . ............. 1 BC // AD en snijlijn CD. |B | = 1 .............................................................. 1 1. . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. Toon aan dat a // b. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. A....................................................................... .... . . . . . . . . .verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1 en B 1 zijn twee even grote buitenhoeken. Als verwisselende .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .buitenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . even groot zijn, dan is a // b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .... ....................................................................... c 55° A a B .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 246 M15 Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn b 55° 745 B ABCD is een vierhoek met | A | = 106° en | D | = 74°. Toon aan dat ABCD een trapezium is. a Wat moet je aantonen? A Vierhoek ABCD is een trapezium. .................................................................. ....................................... Minstens één paar zijden .................................................................. . . . . . .is . . . . .evenwijdig. ............................ b B 106° Hoe kun je dat aantonen? Via hoeken bij evenwijdigen .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . .een . . . . . . . . . . . .snijlijn. .... 74° A en D binnenhoeken Aangezien .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan .......... D | | | | = 180°, is AB // BC. A + D dezelfde kant van de snijlijn AD zijn en .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eén paar zijden is evenwijdig, is een trapezium. .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . .dus . . . . . . . . . . . . ABCD ......... 746 B C Als Kasper een raam wil plaatsen heeft hij een probleem. De muren staan niet loodrecht t.o.v. de vloer. a Zijn de muren evenwijdig? b Hoe kun je dit aantonen? Ja. .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Via hoeken bij evenwijdigen en een .................................................................. . . . . . . . .snijlijn. . . . . . . . . . . . . . . .De . . . . . . .hoeken ......... gevormd door de muren en de vloer .................................................................. . . . . . . . . .zijn . . . . . . . .binnenhoeken ...................... aan dezelfde kant van de snijlijn .(de .................................................................. . . . . . . . .vloer) . . . . . . . . . . . .en . . . . . .zijn . . . . . . . . sup.... 88° plementair. Als binnenhoeken aan .................................................................. . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant . . . . . . . . . . .van . . . . de 92° snijlijn supplementair zijn, dan zijn .................................................................. . . . . . . de . . . . . . muren . . . . . . . . . . . . . . .evenwij............ dig. 88° + 92° = 180° De muurtjes zijn evenwijdig. 747 V* Gegeven: a//b en c//d. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van a en d. C is het snijpunt van b en d. D is het snijpunt van b en c. Bereken | D1 | en | C1 |. c d B 110° A a C 1 b D 1 2 | D | = | A | = 110° D en A zijn verwisselende buitenhoeken met a // b en snijlijn c | D1 | = 180° – | D2 | = 180° – 110° = 70° D1 en D2 zijn nevenhoeken | C 1 | = | D2 | = 110° C 1 en D2 zijn overeenkomstige hoeken met c // d en snijlijn b .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 2 2 .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M15 247 748 V* AB // CD | A1 | = 80° | D4 | = 100°. Toon aan dat AC // BD. 80° A B 1 Via hoeken bij evenwijdigen .... ....................................................................... . . . . . .en . . . . . . . .een . . . . . . . . . . . .snijlijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . |....A....................................................................... | = | C | = 80° A en C . .zijn . . . . . . . . . . .overeenkomsti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1 ge hoeken AB // CD met snijlijn .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . .AC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 100° 4 C1 C .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kant . . . . . . . . . .. . . . . . 1 en D4 zijn binnenhoeken. . . .aan D van de snijlijn CD. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . |....C....................................................................... | | | . . . . . . . . . .(C . . . . . . .1. . . en . . . . . . . . .D . . . .4 . . . .zijn . . . . . . . . . . .suppelementair) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 1 + D4 = 80° + 100° = 180° AC en BD zijn dus evenwijdig. .... ....................................................................... . . . . . . . . .(eig. . . . . . . . . . . . . .). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 749 V* Gegeven trapezium ABCD. Bereken | A1 |, | A2 | en | B | A 2 3 a.... ....................................................................... | C 1 | = | C 3 | – | C 2 | = 55°. .–. . . . .25° ..........= . . . . . .30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . | A | = 30° B 1 A en C zijn verwisselende .... ....................................................................... . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1 1 binnenhoeken met AB // CD en snijlijn AC. 55° .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 25° 70° b.... ....................................................................... | A 3 | = 180 ° – 70 ° = 110° . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . . .3. . .en ........D . . . . . . zijn . . . . . . . . . .. . . . . . 3 D 2 1 binnenhoeken aan dezelfde kant van de .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . snijlijn met AB // CD en snijlijn AD. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. | A | = 110° – | A | = 110° – 30° = 80° B en C 3 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant | B | = 180° – 55° = 125° .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 2 1 c.... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. van de snijlijn met AB // CD en snijlijn BC. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 750 V* a // b en a c. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van b en c. a (buitenhoeken aan dezelfde kant van | A | + | B | = 180° de snijlijn met a // b en snijlijn c) | B 1 | = | A 2 | – 30° a | A 2 | + | A 2 | – 30° = 180° 2| A 2 | = 180° + 30° 2| A 2 | = 210° | A 2 | = 210° : 2 B b 4 1 3 2 | A 2 | = 105° | B 1 | = 105° – 30° = 75° .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2 1 .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 248 M15 c Bereken | B1 | en | A2 | als je weet dat | B1 | = | A2 | – 30°. Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn A 4 1 3 2 C b Bereken | B4 | en | A1 | als je weet dat | B4 | – 24° = | A1 |. |. .A. . .1. .|. .=. . . |. .B. . .1. .|. (overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . .met . . . . . . .a. . // . . .b . . .en . . . . snijlijn . . . . . . . . . . .c) ........ |. A. . . 1. . .|. .+. . . .|. B. . . 4. . |. . .=. . . .180° .........................................2 . . .|. .B . . .4. .|. .= . . . .204° . . . . . . . ............. . .B . . .1. . . .+ . . . . .B . . .4. . . = . . . .180° . . . . . . . . . (nevenhoeken) .................................................................. | | | | :2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . .B . . . 4. . . . – . . . .24° . . . . . . .= . . . . . .A . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . . . 4. . . . .= . . . .204° . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . .A . . .1. . . .= . . . . . .B. . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |. B. . . 4. . .|. .–. . .24° . . . . . . . .+ . . . .|. B . . . 4. . |. . = . . . . 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. B . . . 4. . |. . .= . . . .102° . . . . . . . ............. | | | | 2. . |. .B. . .4. .|. .= – 24° = 78° . . . .180° . . . . . . . . . .+ . . . . 24° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. A . . . 1. . |. . .= . . . .102° . . . . . . . ............. | | | | | | . .A . . .1. . . .+ . . . . .B . . .4. . . = . . . .180° ........................................................................... c 2 | B 2 | + 2| B 2 | = 360° 3| B 2 | = 360° | B 2 | = 360° : 3 | B 2 | = 120° |. .B. . .2. |. . =. . . .|. .A. . 2. . |. . .(overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . .met . . . . . . .a. . // . . .b . . .en . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . c) ........ |. B. . . .2. .|. .+. . . .|. .A. . .3. .|. . .=. . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. .A . . . 3. . |. . = . . . . 180° . . . . . . . . . . .:. .4. . . . ............. . .A . . .2. . . .+ . . . . .A . . . 3. . . .= . . . .180° . . . . . . . . .(nevenhoeken) ................................................................. | | | | . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . .B . . . .2. . . .= . . . .3 . . . .A . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . 3. . . . = . . . . 45° . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . .B . . .2. . . = . . . . . .A . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . |. .A. . . 3. . .|. .+. . . .|. A . . . .3. .|. .= . . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. .B . . . 2. . |. . = ....3 . . . .·. .45° . . . . . . .= . . . . 135° ............. | | | | 4. . |. .A. . . 3. . .|. .=. . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... Bereken | B2 | en | A3 | als je weet dat | B2 | = 3 | A3 |. | | | | | | . .B . . .2. . . + . . . . . .A . . .3. . . .= . . . 180° ........................................................................... • • | A | = B21 · 120° | A 1 | = 60° (buitenhoeken aan dezelfde kant de snijlijn met a//b en snijlijn c) | A 1 | + | B 2 | = 180° van 1 | A 1 | = B| B 2 | 2 1 B + B = 180° B | | 2| 2| 2 1 | B | + | B 2 | = 180° · 2 2· B 2 2 ................................................................................................... 751 B | | 1 | B |. Bereken | A1 | en | B2 | als je weet dat | A1 | = B 2 ................................................................................................... d | | Juist of fout? Verklaar. | | | | c a // b, c a, d a en d c. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van a en d. C is het snijpunt van b en c. D is het snijpunt van c en d. E is het snijpunt van b en d. 4 3 a 4 b 3 1 2 4 1 2 3 A 1 2 B C 4 3 1 E 2 1 4 2 d a |A | = |C | 1 1 b | B | + | A | = 180° c | B | + | E | = 180° 4 3 d |C | = |A | e |C | = |E | f | C | = |B | 1 3 3 2 1 2 4 3 3 D Juist: overeenkomstige hoeken zijn even groot met a // b en snijlijn c.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ...................... Fout: c is. . . .niet ...................... . . . . . . . . . . . . evenwijdig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . .d . . . . . dus . . . . . . . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . aan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. dezelfde. . . .kant ...................... . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .niet . . . . . . . . . . . . supplementair. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Juist: buitenhoeken ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . .. .snijlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . . . . .............. supplementair ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . . .a . . . . .// . . . . .b . . . . . .en . . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Juist: verwisselende b ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .buitenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .even . . . . . . . . . . . . . . .groot . . .. . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . . .a . . . . .// . . . . .............. en snijlijn ...................... . . . . . . .c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Fout: c is. . . .niet ...................... . . . . . . . . . . . . evenwijdig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . .d . . . . . verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. zijn niet. .even ...................... . . . . . . . . . . . . . . .groot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Fout: | C.1. . .|. .= ...................... . . . . . .|. .A . . . . .1. . |. . . . . . . . . . . . . .A . . . . .1. . .en . . . . . . . . .B . . . .3. . . .zijn . . . . . . . . . . .verwisselende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. maar c en ...................... . . . . . . . .d . . . . . zijn . . . . . . . . . . . .geen . . . . . . . . . . . . . . .evenwijdige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .dus . . . . . . .. . . . .|. .A . . . .1 . . .|. . .≠ . . . . . . |. . .B . . . .3. . .|. . . .............. ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M15 249 M16 De som van de hoeken in een driehoek 752 E De Grote Baan maakt een hoek van 60° met de Veldstraat. De hoek tussen de Veldstraat en de verbindingsweg is 35°. Welke hoek maakt de Grote Baan met de Verbindingsweg? Verbindingsweg 35° 85° 60° Grote Baan Veldstraat De som van de hoeken in een driehoek is 180°. 180° – 60 ° – 35 ° = 85°. De hoek tussen de. . . .Grote Antwoord: .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . .Baan . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . . .de . . . . . . . .Verbindingsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . . .85°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 753 E Een televisiemast wordt met drie kabels vastgezet. De kabels vormen een hoek van 63° met de grond. a b Hoe groot is de hoek die elke kabel met de mast maakt? Maak een schets. B 63° C A De mast staat loodrecht op de grond: | A | = 90° | A | + | B | + | C | = 180° | . . . . . |. . .= ........................................................................... ...B . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . .– . . . . . 63° . . . . . . . . . . .– . . . . ..90° .........= . . . . . .27°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. de hoek die elke kabel Antwoord: .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .maakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .mast . . . . . . . . . . . . . . . .is .. . . . 27°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 754 E 250 M16 Vul de ontbrekende hoek aan in ΔABC. De som van de hoeken in een driehoek ΔABC |A| |B| |C| a b c d e 20° 140° 60° 100° 15° 25° 57° 33° 50° 60° 90° 50° 80° 60° 60° 755 E Van de gegeven driehoeken ligt één van de hoeken buiten de rand van het papier. Bereken de grootte van deze ontbrekende hoek. ΔABC A ΔEFG ΔIJK E 76° 82° 98° 38° K 80° J G C 756 B |...................................................................... B | = 180° – 80° – 76° = 24° .|. .F. . . . .|. .= . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .90° . . . . . . . . . . .– . . . . 82° . . . . . . . . . . .= . . . . . .8° ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | I | = 180° – 98° – 38° = 44° ...................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ...................................................................... Bereken de grootte van de ontbrekende hoek in de gegeven driehoeken. A 80° D 2 1 F 2 130° 125° 55° C 1 2 E B a 757 B 1 | | B1 = 180° – 125° = 55° B1 en. .B. . .2. . zijn .................................................................. . . . . . . . . .neven................. | | . .F . . .1. . . .= . . . . 180° . . . . . . . . . .– . . . .130° . . . . . . . . . .= . . . .50° . . . . . . . . . . . . . . . .F . . .1. .en . . . . . .F . . .2. . zijn . . . . . . . . .nevenhoeken. . . . . ............. b | | hoeken. .................................................................. ................................. . .D . . . .1. . . .= . . . .80° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D . . . 1. . .en . . . . . .D . . . 2. . .en . . . . . .zijn . . . . . ............. A = 180° – 55° – 55° = 70° In ΔABC: .................................................................. . . . . . . . . . . .eigenschap ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken. . . ............. van de som van de hoeken in een. . . driehoek. .................................................................. .............................. . .E . . .1. . . .= . . . . 180° . . . . . . . . . .– . . . .50° .......– . . . .80° . . . . . . . .= . . . .50° . . . . . . .In . . . . .ΔDEF: . . . . . . . . . . . . .eigenschap . . . . . . . . . . . ............. van | | de som van de hoeken in een driehoek. Bereken | A | en verklaar. A 50° C 2 B D 1 60° E | B | = 180° – 90° – 60° = 30° | B 2 | = | B 1 | = 30° In ΔDEB: eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek. A = 180° – 50° – 30° = 100° In ΔABC: eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 1 B en B zijn overstaande hoeken. (eig. overstaande hoeken). .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. De som van de hoeken in een driehoek M16 251 758 V* • • Bereken | A1 | en | A2 |. Verklaar. | | C 1 en C 2 zijn ....C....................................................................... . . . . . . . . nevenhoeken. ...................... 1 = 180° – 75° = 105° A | | = 180° – 105° – 30° = 45° ....A....................................................................... .In . . . . .ΔABC: . . . . . . . . . . . . . .eigen.......... 1 2 1 schap van de som van de hoeken in een .... ....................................................................... . . . . . . . .driehoek. ...................... | | ....A....................................................................... .In . . . . .ΔACD: . . . . . . . . . . . . . . eigen.......... 2 = 180° – 35° – 75° = 70° schap van de som van de hoeken in een .... ....................................................................... . . . . . . . .driehoek. ...................... 75° 35° 30° 2 1 C D B .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 V* • • Bereken | C1 |. Verklaar. | | = 180° – 125° – 35° = 20° ....B....................................................................... .In . . . . .ΔABE: . . . . . . . . . . . . . eigen........... 1 B A 35° schap van de som van de hoeken in een .... ....................................................................... . . . . . . . .driehoek. ...................... 1 | | schap van de som van de hoeken in een .... ....................................................................... . . . . . . . .driehoek. ...................... 1 92° | | ....B....................................................................... .Gestrekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoek. ........ 2 = 180° – 20° – 92° = 68° ....C....................................................................... .In . . . . .ΔBCD: . . . . . . . . . . . . . .eigen.......... 1 = 180° – 68° – 48° = 64° C 2 48° 125° 64° F D E .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 V* • • Bereken | A1 |. Verklaar. | | ....B....................................................................... .In . . . . .ΔBFE: . . . . . . . . . . . . .eigenschap ........... 2 = 180° – 126° – 18° = 36° A 1 van de som van de hoeken in een driehoek. .... ....................................................................... .............................. | | | | C B1 en B2 zijn ....B....................................................................... . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. 1 = B 2 = 36° | | C 1 en C 2 zijn ....C....................................................................... . . . . . . . .nevenhoeken. ...................... 1 = 180° – 84° = 96° 1 84° 1 B 2 126° | | ....A....................................................................... .............................. 1 = 180° – 36° – 96° = 48° D In....................................................................... ΔABC: eigenschap van de som van. . de .... . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . .in . . . . .een E 18° F driehoek. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 V* Gegeven: CD • • AD en AD AB Bereken: | A1 |. Verklaar. eig. loodrechte stand AD en AD AB ⇒ CD CD .... ....................................................................... . . . . . . .// . . . .AB. ................... C | A....................................................................... .... .In . . . . .ΔACD: ........................ 2 | = 180° – 90° – 30° = 60° D 30° eigenschap van de som van de hoeken .... ....................................................................... . . . . . .in . . . . .een . . . . . . . . driehoek. ........... E | | | | = A 3 = 30° (eig verwisselende. .binnenhoeken ....C....................................................................... ............................ 3 met CD // AB en snijlijn AC) .... ....................................................................... .............................. | | | | ....A....................................................................... .............................. 1 = A 3 = 30° (eig. overstaande hoeken) .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 M16 De som van de hoeken in een driehoek B 2 A 1 762 V* Bereken de gevraagde hoeken. a Gegeven: DB // EC | A | = 70° | E | = 50° 2 Bereken: | D |. Verklaar je antwoord. D | C | = 180° – 70° – 50° = 60° .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . B In ΔACE: eigenschap van .................................................................. . . . . . .de . . . . . . . .som . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . .. . in een driehoek .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . | D | = 60° .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . C en D zijn verwisselende .................................................................. . . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . .. . EC // BD en snijlijn DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .................................................................. 1 A 2 E C .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . b Gegeven: AB // CD BC // DE | C | = 40° | A | = 60° 2 Bereken: | B |, | D |, | E |. Verklaar je antwoord. B D | | B = 40° B en C 2 zijn verwisselende .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . met AB // CD en .................................................................. . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . .BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . | | C 1 = 180° – 60° – 40° = 80° .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . In ΔABC: eigenschap som van de. .hoeken .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . .in . . . . een . . . . . . . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60° | | E = 80° Ĉ1 en Ê zijn overeenkomstige .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . BC . . . . . . .// . . . .DE . . . . .. . 40° 2 3 1 A C E en snijlijn CE .................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . | | |–| | Gestrekte hoek en in ΔDEF: eigenschap van de som van de hoeken in een driehoek. | D = 180° – E C 3 = 180° –. . .80° .................................................................. . . . . . . . .–. . .(180° ...........– . . . .40° . . . . . . . .– . . . 80°) .........= . . . . .180° . . . . . .. . – 80° – 60° = 40° 763 V* Gegeven: ΔABC | A | = 75°, | C | = 35° DE // BC. D is het snijpunt van AC en DE. E is het snijpunt van AB en DE. Bereken | D1 |, | D2 |, | B |, | E1 | en | E2 |. A 75° |....B....................................................................... | = 180° – 35° – 75° = 70° In ΔABC: .eigenschap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . .de . . . . . .som . . . . . . . . . .van .. . . . . . . .de ....... D hoeken in. . . een .... ....................................................................... . . . . . . . . .driehoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 E 2 | | B en Ê1 zijn |....E....................................................................... . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . .. . . . . . met ......... 1 | = B = 70° DE // BC en .... ....................................................................... . . . . . snijlijn . . . . . . . . . . . . . . .AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35° C B Ê1 en Ê2 zijn |....E....................................................................... . . . . . .nevenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2 | = 180° – 70°= 110° Ĉ en D1 zijn |....D....................................................................... . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken . . . . . . . . .. . . . . . . .met . . . . . . . . .DE . . . . . . .// . . . .BC . . . . . .en . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . .AC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 1 | = 35° D1 en D2 zijn |....D....................................................................... . . . . . . . .nevenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 2 | = 180° – 35° = 145° 764 V* Gegeven: CB // ED. B is het snijpunt van CB en AD. B is het snijpunt van EB en AD. Bereken | D1 |. Verklaar je antwoord. A 45° |....B....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . .de . . . . . .som . . . . . . . . . ..van . . . . . . . .de .. 1 | = 180° – 50° – 45° = 85° In ΔABC:. .eigenschap C 50° 1 B hoeken in .... ....................................................................... . . . . een . . . . . . . . .driehoek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . = | B 1 | = 85° B1 en D1 zijn |....D....................................................................... . . . . . . . . overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . .. . . . . . . . . . . 1| met CB //. . .ED .... ....................................................................... . . . . . . en . . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . .AD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . E 70° 1 D .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . De som van de hoeken in een driehoek M16 253 765 V* • • Gegeven: a // b en c a en d a. A is het snijpunt van a en c. B is het snijpunt van a en d. C is het snijpunt van b en c. D is het snijpunt van c en d. E is het snijpunt van b en d. | A | = 100° | B | = 35° 4 3 Bereken | A1 |, | C1 |, | D1 |, | E4 | en | D3 |. Verklaar. c 4 1 3 2 a 3 A b 4 1 3 2 4 1 2 B 3 4 1 2 C E 1 4 2 d 3 D | A 1 | = 180° – 100° = 80° | C 1 | = 80° | D1 | = 180° – 100° – 35° = 45° | E 4 | = 180° – 35° = 145° A en A zijn nevenhoeken. snijlijn c. .................................................................................... .A . . . .1. . . .en . . . . . . . .C . . . . .1. . .zijn . . . . . . . . . . . overeenkomstige . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . . .a . . . . .// . . . . .b . . . . . en . . . . . ............. een driehoek. .................................................................................... In . . . . . . . ΔABC: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .eigenschap . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . som . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in . . . . . ............. de snijlijn .................................................................................... .B . . . .3. . . .en . . . . . . . . .E . . . .4. . .zijn . . . . . . . . . . . binnenhoeken . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .aan . . . . . . . . . . . . .dezelfde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kant . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . ............. .................................................................................... met . . . . . . . . . . . . .a . . . . .// . . . . . .b . . . . .en . . . . . . . .snijlijn . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. D3 | = 45° D |.................................................................................... . . . . .3. . . .en . . . . . . . .D . . . . .1. . .zijn . . . . . . . . . . . overstaande . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. .................................................................................... . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. .................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 766 V* • • • a // b en c a en d b. A is het snijpunt van a en d. B is het snijpunt van b en c. C is het snijpunt van c en d. D is het snijpunt van b en d. E is het snijpunt van a en c. Bereken | C1 |. Verklaar. d c A a E 1 60° 2 1 b B 50° C D |.................................................................................... D | = | A | = 60° en .D . . . . . .en . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . .verwisselende . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .binnenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met . . . . . . . . . . . .a . . . . . // . . . . . .b . . . ............. .................................................................................... .snijlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. |.................................................................................... C | = 180° – 50° – 60° = 70° .In een driehoek. . . . . . . .ΔAEC: . . . . . . . . . . . . . . . . . . eigenschap . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . .som . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .de . . . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .in . . . . . ............. C 1 | = 180° – 70° = 110° |.................................................................................... .Ĉ . . . .1. . .en ........Ĉ . . . . .2. . .zijn . . . . . . . . . . . nevenhoeken . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 254 M16 De som van de hoeken in een driehoek 767 V* Gegeven: ΔABC. Bereken | A | , | B | en | C | als je weet dat: a | A | = 2| B | en | C | = 3| B | |. . .A. . . .|. . .+. . . . .|. .B. . . . |. . .+. . . . .|. .C. . . . .|. .= . . . . .180° ........................................................ |. . .B. . . . .|. .= . . . . . .30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | . . . . .|. .= ⇓ | A | = 2| B | en | C | = 3| B | |. . .A. . . . .|. .= . . . . . .2 . . . . . .B . . . . . .2 . . . . .·. . .30° . . . . . . . . . .= . . . . . .60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... ................................................................................................... 2| B | + | B | + 3| B | = 180° |. . .C. . . . .|. .= | . . . . .|. .= . . . . . .3 . . . . . .B . . . . . .3 . . . . .·. . .30° . . . . . . . . . .= . . . . . .90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... 6| B | = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | B | = 180° : 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... b | C | = | A | – 14° en | B | = | A | + 11° | A | + | B |. .+ | . . . . .|. . = . . . . . . .C . . . . . 180° .............................................................................. |. . .A. . . . .|. .= . . . . . .183° . . . . . . . . . . . . . .:. . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ⇓ | C | = | A | – 14° en | B | = | A | + 11° |. . .A. . . . .|. .= . . . . . .61° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... | A | + | A |. .+ | . . . . .|. .–. . . . .14° . . . . . 11° . . . . . . . . .+ . . . . . . .A . . . . . . . . .= . . . . . 180° .................................................. |. . .B. . . . .|. .= . . . . . .61° . . . . . . . . . .+ . . . . . 11° . . . . . . . . . .= . . . . . 72° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 3| A | = 180° . . . . . . . . .– . . . . .11° ........+ . . . . . .14° ....................................................................... |. . .C. . . . .|. .= . . . . . .61° . . . . . . . . . .– . . . . .14° . . . . . . . . . .= . . . . . 47° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 3| A | = 183° ................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 768 V** 1 | B | – 20° + | B | + 2| B | – 20° = 180° B ( Gegeven: ΔABC. Bereken | A | , | B | en | C | als je weet dat: a | B | = 2| A | + 20° en | C | = 2| B | – 20° | . . . .|. . + .2 . . . . . . . . . . 20° . . . . . . . . . .= . . . . .B ................................................................... | . . . . |. . .–. . . .20° 2. . . .|. .Â. . . .|. . = . . . . . . .B ..................................................................... 1 B – 20°) | . . . . .|. .= . . . . . . . . . . ..(B 2 ................................................................................ | . . . .|. . .+. . . . .|. .B. . . . |. . .+. . . . .|. .C. . . . .|. .= . . .A . . . . .180° ........................................................ 1 | B | – 20° | . . . . |. . .=. . . . .B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . . . . .A 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . .|. . = | . . . . .|. .–. . . . 20° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en .........C . . . . . .2 . . . . .B ................. ( b ) ) 2 1 | B | – 20° + | B | + 2| B | – 20° = 2 · 180° 2 B 2 | . . . . .|. . .–. . . . .20° | . . . . .|. .+ | . . . . .|. . – . . .B . . . . . . . . . .+ . . . . . .2 . . . . . .B . . . . . .4 . . . . . .B . . . . . 40° . . . . . . . . . . .= . . . . . .360° . . . . ............. [ ( ] ) 7| B | = 360° + 20° + 40° = 420° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | B | = 420° : 7 = 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 1 | B | – 20° = B 1 (60° – 20°) = 20° |A|=B 2 2 |. . .C | . . . . . . . .= . . . . .2 . . . . . ·. . .60° . . . . . . . . . . .– . . . . .20° . . . . . . . . . .= . . . . . .100° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. Controle: 20° + 60° + 100° = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | A | = | B | – 2° en | C | = | A | + 10° ................................................................................................... | B | = | A | + 2° |. . .A. . . . .|. .= . . . . . .168° . . . . . . . . . . . . . .:. . .3 . . . .= . . . . . .56° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | A | + | B | + | C | = 180° |. . .B. . . . .|. .= | . . . . .|. . .+ . . . . . . . .A . . . . . 2° . . . . . . .= . . . . . .56° . . . . . . . . . .+ . . . . . .2° . . . . . . .= . . . . . .58° . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... ⇓ | C | = | A | + 10° ................................................................................................... en | B | = | A | + 2° |. . .C. . . . .|. .= | . . . . .|. . .+ . . . . . . . .A . . . . . 10° . . . . . . . . . . .= . . . . .56° . . . . . . . . . . .+ . . . . .10° . . . . . . . . . . .= . . . . .66° . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... Controle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56° . . . . . . . . . .+ . . . . . 58° . . . . . . . . . . .+ . . . . . .66° . . . . . . . . . .= . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................................................................... | A | + | A | + 2° + | A | + 10° = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 3. . . .|. .A. . . . .|. .=. . . . .180° . . . . . . . . . . . . .– . . . . 2° . . . . . . .– . . . . 10° . . . . . . . . . .= . . . . .168° ...................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. De som van de hoeken in een driehoek M16 255 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten M18 en een snijlijn 769 V* Bewijs volgende eigenschappen. a Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte dan zijn de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Gegeven: Te bewijzen: a // b , c a en c b A is het snijpunt ................................... . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . .a . . . . . en . . . . . . . . .c, . . . . . .B . . . . .is . . . . .het . . . . . . . . . . .snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van .. . . . . . . . . . . b . . . . . en . . . . . . . . .c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | B 1 | + | A 2 | = 180° .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. A 1 2 a B Bewijs: 1 b (1) | A 1 | + | A. . .2. . .|. . .=. . . . .180° .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def. . . . . . . . . . nevenhoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. (2) en een snijlijn) | A. . . .1. . .|. . .=. . . . .|. . .B. . . .1. . .|. . . . . . . .(eig. ................................... . . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . .. . . . .bij . . . . . .evenwijdige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rechten . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ⇓ (1) en (2) | B 1 | + | A. . . .2. . .|. . .=. . . . .180° ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. b Als bij twee rechten en een snijlijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig. Gegeven: Te bewijzen: a en b en a c, b c. A en B zijn binnenhoeken aan dezelfde | . . . . . . . |. . .+ | . . . . . . .|. . = kant van de .snijlijn. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 2 . . . . . . . .B 1 . . . . . .180° a // b .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. A 1 2 a B Bewijs: 256 M18 1 b (1) | A 2 | + | B. . .1. . .|. . .=. . . . .180° .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .(gegeven) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. (2) | A 1 | + | A. . . .2. . .|. . .=. . . . .180° ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def. . . . . . . . . . nevenhoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . . .⇓ . . . . . (1) . . . . . . . .en . . . . . . . . .(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | A 2 | + | B. . . .1. . .|. . .=. . . . .|. .A. . . . .1. . .|. .+. . . . . .|. .A. . . . 2. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... ................................... . . . . . . . . . .⇓ . . . . .Eig. . . . . . . . . .van . . . . . . . . een . . . . . . . . .gelijkheid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .beide . . . . . . . . . . . .leden . . . . . . . . . . . .– . . ..|. . . . .2. .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | B 1 | = | A1 | ⇓ Eig. als overeenkomstige hoeken even groot zijn dan zijn de rechten evenwijdig. a // b Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 770 V* Bewijs volgende eigenschappen. a Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte, dan hebben de verwisselde buitenhoeken dezelfde grootte. Gegeven: a // b, c a en c b A is het snijpunt ................................... . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . . . . .a . . . . . en . . . . . . . . .c, . . . . . .B . . . . .is . . . . .het . . . . . . . . . . .snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van .. . . . . . . . . . . b . . . . . en . . . . . . . . .c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | B 3 | = | A 1 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .................................... .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Te bewijzen: A 1 3 a B 1 3 b (1) |A |=|B | .................................... . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(eig. . . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken . . . . . . . . . . . . .. . . .bij . . . . . .evenwijdige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rechten . . . . . . . . . . . . . . . .............. 3 Bewijs: ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .een . . . . . . . .snijlijn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. (2) |A |=|A | ................................... . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(eig. . . . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 1 ⇓ (1) en (2) | B 3 | = | A. . . . .1. . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. b Als bij twee rechten en een snijlijn verwisselende buitenhoeken even groot zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig. Gegeven: a en b en c a en c b A 1 en B 3 zijn. . . .verwisselende ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . buitenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en . . . . .. . . .|. .A . . . .1 . . .|. . .= . . . . .|. . .B . . . .3. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. a // b .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Te bewijzen: A 1 3 a B 1 3 b Bewijs: (1) | A | = | B | (2) | A 1 | = | A ................................... . . . . .3. . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(eig. . . . . . . . . .overstaande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ⇓ (1) ................................... . . . . . . .en . . . . . . . .(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | A 3 | = | B. . . . .3. . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... ⇓ eig. ................................... . . . . . . .als . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . .even . . . . . . . . . . .groot . . . . . . . . . . . .zijn .. . . . . . . dan . . . . . . . . . .a. . .// . . . .b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. a // b .................................... . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(gegeven) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 1 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M18 257 771 V** Bewijs volgende eigenschappen. a Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte dan zijn de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. Gegeven: Te bewijzen: a // b , c a en c b A is het snijpunt ................................... . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .a . . . . .en . . . . . . . . c, . . . . . .B . . . . .is . . . . . .het . . . . . . . . . . snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van .. . . . . . . . . . .b . . . . .en . . . . . . . . c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | A 1 | + | B 2 | = 180° .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. A 1 2 a B 2 b Bewijs: (1) | A | + | A | = 180° (2) | A. . . .2. . .|. .=. . . . . .|. .B. . . . 2. . .|. . . . . . . .(eig. ................................... . . . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . .. . . . bij . . . . . . twee . . . . . . . . . . . evenwijdige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rechten . . . . . ............. .................................... ..2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def. . . . . . . . . . .nevenhoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 1 ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . .een . . . . . . . . .snijlijn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ⇓ (1) en (2) | A 1 | + | B. . . .2. . .|. .=. . . . . .180° ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. b Als bij twee rechten en een snijlijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair zijn, dan zijn deze twee rechten evenwijdig. Gegeven: Te bewijzen: a en b en c a en c b. A en B zijn buitenhoeken aan dezelfde kant | . . . . . . . . .|. . .+. . . . .|. . .B2 | . . . . .180° van de snijlijn. ................................... . . . . . . . . . A1 . . . . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. a // b .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. A 1 2 a B 2 b Bewijs: 258 M18 (1) | A | + | B | = 180° (2) | A 1 | + | A. . . 2. . .|. . .=. . . . . 180° ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def. . . . . . . . . . .nevenhoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . .supplementair) . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . .⇓ . . . . . .(1) . . . . . . . .en . . . . . . . .(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | A 1 | + | A. . . .2. . .|. .=. . . . . .|. .A. . . . 1. . .|. . .+. . . . .|. . .B. . . .2. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... ................................... . . . . . . . . .⇓ . . . . . .eig. . . . . . . . .van . . . . . . . . .een . . . . . . . .gelijkheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .beiden . . . . . . . . . . . . . . .leden . . . . . . . . . . . .-.. .|. .A . . . . .1. . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | A2 | = | B 2 | ⇓ (Als overeenkomstige hoeken even groot zijn dan zijn de rechten evenwijdig) a // b .................................... ..2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(gegeven) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 1 Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn 772 V** Bewijs volgende eigenschappen. a Als een rechte loodrecht staat op één van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere. Gegeven: c a en a // b A is het snijpunt ................................... . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .a . . . . .en . . . . . . . . c, . . . . . .b . . . . . is . . . . . .het . . . . . . . . . . snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van .. . . . . . . . . . .b . . . . .en . . . . . . . .c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. c b .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. c .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Te bewijzen: 1 A 1 a B c a .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇓ . . . . . .Def. . . . . . . . . .loodrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ................................... . . .(1) . . . . . . . . . . . . .|. . A . . . . .1. . .|. .= . . . . . .90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. c ................................... . . .(2) . . . . . . . . . . . . .|. . .B . . . .1. . .|. .= . . . . . .|. .A . . . .1 . . . |. . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . .. . . . . . . . . . . . . . met . . . . . . . . . a//b . . . . . . . . . .en . . . . . .snijlijn . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇓ . . . . . .(1) . . . . . . . .en . . . . . . . . (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . .|. . .B . . . .1. . .|. .= . . . . . .90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇓ . . . . . .Def. . . . . . . . . .loodrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. c b b Bewijs: b Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde rechte, dan zijn die twee rechten evenwijdig. Gegeven: a c en b c A is het snijpunt ................................... . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .a . . . . .en . . . . . . . . c, . . . . . .b . . . . . is . . . . . .het . . . . . . . . . . snijpunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van .. . . . . . . . . . .b . . . . .en . . . . . . . .c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. a // b .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. c .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Te bewijzen: 1 A 1 a B Bewijs: b a c en b c ⇓ Def. loodrechte ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . stand .......................⇓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. (1) | A 1 | = 90°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2) ................................... . . . . . . . . |. . .B . . . .1. . .|. . = . . . . . .90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................... . . . . . . . . . . . .⇓ . . . . . (1) . . . . . . . . en . . . . . . . . .(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ...................................|. .A ....1 . . . |. . .= . . . . . |. . .B . . . .1. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ⇓ eig. als overeenkomstige hoeken even groot zijn .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. dan zijn de rechten evenwijdig a // b Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn M18 259 773 B In een rechthoekige driehoek zijn de scherpe hoeken elkaars complement. Bewijs: Deel 1 Als een driehoek rechthoekig is dan zijn de scherpe hoeken elkaars complement. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Deel 2 Als in een driehoek de scherpe hoeken complementair zijn dan is de driehoek rechthoekig. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. .... ....................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Deel 1 Gegeven: ΔABC met | A | = 90° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Te bewijzen: | B | + | C | = 90° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. B Bewijs: A C | A | + | B | + | C | = 180° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(eig. . . . . . . . . . som . . . . . . . . . .van . . . . . . . . .de . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . .. . . .in . . . . .een . . . . . . . . driehoek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | | ⇓ . .A ................................................ . . . . . . . .= . . . . .90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. | | | | 90° + B + C = 180° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ⇓ eig. ................................................ . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .een . . . . . . . . . . . gelijkheid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .beide . . . . . . . . . . .. . . . . .leden . . . . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. | B | + | C | = 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ................................................ Deel 2 Gegeven: ΔABC met | B | + | C | = 90° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Te bewijzen: | A | = 90° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. B Bewijs: 260 M18 A C | A | + | B | + | C | = 180° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(eig. . . . . . . . . . som . . . . . . . . . .van . . . . . . . . .de . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . .. . . .in . . . . .een . . . . . . . . driehoek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. | . . . . . .90° ⇓ |. .B. . . . .|. . .+. . . . .|. . C ................................................ . . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. | | A + 90° = 180° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. ⇓ eig. ................................................ . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .een . . . . . . . . . . . gelijkheid: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .beide . . . . . . . . . . .. . . . . .leden . . . . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. | A | = 90° ................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. Bewijs: de eigenschappen van hoeken gevormd door evenwijdige rechten en een snijlijn
