Project - Edurep Delen

Project
3VWO
3HAVO
©DM 2004
Wiskunde.
Het bepalen van hoogten van gebouwen en bomen met behulp
van meting en berekening.
Inleiding.
Het is de bedoeling dat je in dit project enkele methodes gaat toepassen om zo nauwkeurig
mogelijk de hoogte van een gebouw of van een boom te kunnen bepalen.
Het project is verdeeld over 3 wiskundelessen.
We werken in groepjes van vier, eventueel drie leerlingen (als dit zo uitkomt).
Het project bestaat uit de volgende onderdelen:
1.
Het bedenken in de groep van één of meerdere methoden om de hoogte
te kunnen bepalen. Welke hulpmiddelen heb je nodig? Wat voor berekeningen
horen hierbij.
2.
Het kiezen met de groep van twee methoden om de hoogte te bepalen en het
vervaardigen van een hoogtemeter of hoekmeter.
3.
Het verklaren van de bij de hoogte- of hoekmeter (die de groep gekozen heeft)
behorende formules.
4.
Het praktisch gebruik van de methoden.
5.
Het vergelijken van de meetresultaten tussen de verschillende methodes
6.
Het maken van een verslagje, waarin de meetresultaten vermeld worden en waarin
een verklaring van eventuele verschillen. Ook kan in dit verslag eventuele
onverwachte bevindingen worden vermeld.
Met dit project kun je als groep een aantal ‘bonuspunten’verdienen.
Het totale aantal bonuspunten is 4, die ieder lid van de groep bij zijn proefwerk mag
gebruiken.
Het aantal te verdienen bonuspunten:
1.
2.
3.
4.
5.
Bedenken van een methode om hoogte te bepalen:
Maken van de hoogte- of hoekmeter
Verklaring van de formules
Verwerking van de waarnemingsresultaten
Verslagje met opmerkingen
max.
max.
max.
max.
max.
1
½
1
1
½
bonuspunt.
bonuspunt.
bonuspunt.
bonuspunt.
bonuspunt.
Onderdeel 1.
Het bedenken van een methode.
Bedenk een methode om de hoogte van een gebouw of boom vanaf de grond te bepalen.
Je zou hierbij een aantal hulpmiddelen kunnen gebruiken, zoals een geodriehoek, een liniaal,
een stok van een bepaalde lengte (bv. 1 meter), een spiegeltje, enzovoort.
Ook kun je een aantal dingen die je al weet uit de wis- en natuurkunde gebruiken om de
hoogte te kunnen berekenen met deze hulpmiddelen.
Denk hierbij bijvoorbeeld aan:
*
goniometrische verhoudingen, bijvoorbeeld tangens.
*
natuurkundewet: hoek van inval = hoek van terugkaatsing.
*
gelijkvormigheid van driehoeken.
Je moet je hierbij realiseren, dat je bij hoogtebepaling te maken hebt met rechthoekige
driehoeken.
Schrijf deze les per groep een methode op waarmee je de hoogte van een gebouw of boom
zou kunnen bepalen. Vermeld er ook bij welke hulpmiddelen je nodig hebt en welke
berekeningen je gebruikt.
Lever dit in, met erop vermeld de namen van de leden van de groep.
Onderdeel 2.
Verschillende methodes om de hoogte te bepalen.
I
De goniometer of hoekmeter.
We gaan met onze geodriehoek als voorbeeld een hoekmeter maken.
Op de bijlage vind je een afbeelding van een geodriehoek, die je straks moet uitknippen.
Benodigdheden:
Een stuk stevig karton, A4-formaat.
De afbeelding van de geodriehoek op de bijlage.
Een schaar
Plakstift, Pritstift.
Plakband
Limonaderietje of pvc-pijpje
Touwtje met naainaald
Gewichtje
Werkwijze:
We knippen de afbeelding op de bijlage van de geodriehoek uit en
plakken deze met een plakstift op het stevig karton.
We knippen deze driehoek uit en bevestigen met doorzichtig plakband
een limonaderietje of pvc-pijpje op de hypothenusa (=schuine zijde)
van de driehoek.
Precies door het midden van deze hypothenusa, waar de 0 staat,
bevestigen we m.b.v. de naainaald het touwtje en maken daarna
aan het einde van dit touwtje het gewichtje vast.
Nu is de hoekmeter klaar en kun je gaan meten.
Je kijkt door het rietje naar de hoogste top van het te meten gebouw of boom en bepaalt met
de meter de afgelezen hoek.
Als H de hoogte is van het gebouw of de boom,
h de lengte van degene die de meting verricht,
a de afstand van het gebouw of de boom tot degene die de meting verricht,
α de afgelezen hoek,
Dan kun je H uitrekenen met de volgende formule:
H = a × tan(90º - α) + h
Bekijk de tekening of maak zelf een schets van de situatie en geef een verklaring voor de
gebruikte formule. Toon aan, hoe ze aan de formule voor H gekomen zijn.
II
De hoogtemeter.
Een ander hulpmiddel, dat we kunnen gebruiken om de hoogte van een gebouw of boom te
bepalen is de hoogtemeter.
Deze lijkt wel iets op de hoekmeter, maar we meten hier geen hoeken, maar afstanden.
Benodigdheden:
Een stuk stevig karton, A4-formaat.
Ruitjespapier + liniaal
Een schaar
Plakstift, Pritstift.
Plakband
Limonaderietje of pvc-pijpje
Touwtje met naainaald
Gewichtje
Werkwijze:
We tekenen op ruitjespapier een rechthoekige driehoek met
rechthoekszijden 12 cm en 22 cm.
We tekenen op 1 cm vanaf de rechthoekszijden 2 lijnen en zetten bij
het snijpunt van die lijnen de letter A. Zet langs de langste lijn vanaf
punt A om de centimeter een streepje en zet er getallen bij zoals op
de afbeelding te zien is.
Zet op de andere rechthoekszijde, precies op 10 cm afstand van A de
letter T.
Knip deze driehoek nu uit en bevestig hem
met plakstift op het stevig karton. Knip nu de
driehoek uit en bevestig met doorzichtig
plakband een limonaderietje of pvc-pijpje op
de korte rechthoekszijde van de driehoek.
Bevestig met de naainaald een touwtje aan het
punt T en hang hieraan een gewichtje.
De hoogtemeter is nu gereed voor gebruik.
Om nu de hoogte van een gebouw of boom te bepalen, kijk je langs
de korte rechthoekszijde, door het rietje of pvc-pijpje naar de top.
Je klemt het touwtje met het gewichtje met je duim tegen de
getallenlijn en schrijft afstand1 op. Bv. 7,3 cm.
Daarna ga je 10 meter naar voren en herhaalt de meting.
Nu schrijf je afstand2 op. Bv. 1,8 cm.
De hoogte van het gebouw of van de boom kun je nu uitrekenen met
de volgende formule:
hoogte 
100
meters
afst1  afs2
Natuurlijk moet je uiteindelijk nog de lichaamslengte van degene die de meting uitvoerde
erbij optellen.
Geef met behulp van onderstaande situatieschets een afleiding van de formule.
A
Methode met spiegeltje.
Bij deze methode heb je een spiegeltje nodig en je moet de
natuurkundewet kennen, die zegt dat als er een lichtstraal op
een spiegel valt, de invallende hoek gelijk is aan de
teruggekaatste hoek.
Je hebt nu twee gelijkvormige driehoeken (welke?) en kunt de
hoogte van de boom BT berekenen met een
verhoudingstabel.
B.
Methode met stok en zonneschaduw.
Bij deze methode gebruik je een stok van een bepaalde lengte bv. 1 meter. Je houdt deze stok
loodrecht op een plaats en bepaalt de lengte van de schaduw.
Van een boom meet je ook de lengte van de schaduw en nu kun je vanwege de
gelijkvormigheid van twee driehoeken (maak hiervan een schets!) de lengte van de boom
bepalen.
Een voorwaarde hierbij is natuurlijk wel, dat het zonnetje schijnt.
C.
Methode met meetlat en stok met bekende lengte.
Hierbij hebben we weer te maken met gelijkvormigheid van driehoeken.
BD is de meetlat, EF is de bekende
lengte (de baak) EF is de lengte van de
boom.
BC
EF
BD
EG
Onderdeel 3.
Het meten in de praktijk.
Iedere groep kiest 2 methoden om de hoogte te meten.
Van de Romeinse cijfers moet men er 1 kiezen (I of II) en van de letters moet men er 1 kiezen
(A, B of C).
Het is de bedoeling dat we met beide methodes de hoogte van het schoolgebouw gaan meten
en hoogten van eventueel nog af te spreken objecten.
Met elke methode moet men per groep verschillende metingen verrichten, dat wil zeggen van
hetzelfde object maar dan op verschillende afstanden.
Houd de gegevens nauwkeurig bij. Dus de afstanden, de hoeken of lengtes die je meet,
enzovoorts.
Zorg ervoor dat je alle benodigheden bij je hebt (pen, opschrijfmateriaal, zelfgemaakte
hoogte- of hoekmeter, eventueel spiegeltje, meetlat, stok met bekende lengte, enz.).
Maak als huiswerk een verslagje waarin in ieder geval de waargenomen resultaten,
berekeningen en conclusies staan.
Vergelijk de methoden onderling en de onderlinge nauwkeurigheid.
Maak hiervan per groep 1 verslag en lever dat de volgende les in.
Schrijf op het verslag de namen van alle groepsleden.
Veel succes.
Bijlage 1: geodriehoek voor de goniometer.
Bijlage 2: Voorbeeld van een verslag.
De groep bestaat uit de volgende personen:
………………………..
………………………..
………………………..
………………………..
De gekozen methodes zijn: …………. en ……………
Afleiding van de gebruikte formule (methode I of II):
Metingen:
Methode I
1e object …………………………..
Metingnr.
afstand
afgelezen hoek
1
2
3
lengte persoon
Hoogte object
Gemiddelde hoogte: ……...
2e object ……………………………
Metingnr.
afstand
afgelezen hoek
1
2
3
lengte persoon
Hoogte object
Gemiddelde hoogte:………
Methode II
1e object ……………………………..
Metingnr.
afstand 1
afstand 2
hoogte
lengte
persoon
Hoogte
object
1
2
3
Gemiddelde hoogte: ……..
2e object ……………………………..
Metingnr.
afstand 1
afstand 2
hoogte
lengte
persoon
Hoogte
object
1
2
3
Gemiddelde hoogte: ……..
Zo’n zelfde soort tabel kun je ook gebruiken voor methode A, B of C.
Opmerkingen en conclusies:
Methode ………
Opm:
Conclusie:
Methode ………
Opm:
Conclusie:
Handleiding voor de docent.
Het is de bedoeling dat dit project in drie wiskundelessen plaatsvindt.
Onderdeel 1, het zelf bedenken van een manier om hoogte te meten kan gedurende zo’n 30
minuten van een les gebeuren. Daarna leveren de leerlingen per groep hun ideeën in.
Onderdeel 1 wordt apart verstrekt, zodat de leerlingen niet de methodes van onderdeel 2
klakkeloos overnemen als hun methodes.
Dan krijgen ze onderdeel 2 per groep en kunnen de rest van de les in de groep hun keuzes
maken. Onderdeel 2 en 3 met de bijlage worden dan gezamenlijk uitgedeeld.
In les 2 kunnen ze aan de slag met onderdeel 2.
Ze kunnen dan per groep een hoogtemeter of hoekmeter maken, dat ligt aan hun keuze.
Verder kunnen ze in deze les de formules van I of van II verklaren. Omdat II behoorlijk
moeilijk te verklaren is voor leerlingen, is enige ondersteuning en sturing door de docent hier
op zijn plaats.
In les 3 gebeurt onderdeel 3.
De groepen gaan dan naar buiten en doen diverse metingen om de hoogte te bepalen van
vooraf afgesproken objecten. Dit kan dan de hoogte van het schoolgebouw zijn of dehoogte
van een lantaarnpaal bij de school, enzovoorts.
De gegevens worden per groep bijgehouden en als huiswerk maakt de groep dan een verslagje
van deze gegevens, waarin vermeldt:
*
de gevonden resultaten bij de diverse metingen.
*
de berekende hoogten
*
de eventuele verschillen of overeenkomsten tussen de verschillende methodes.
*
de nauwkeurigheid per methode.
*
de afleiding van de gebruikte formule
De bonuspunten worden als volgt toegekend:
1.
Bedenken van een methode om hoogte te bepalen:
max. 1
bonuspunt.
Originele ideeën belonen met 1 heel bonuspunt, gewone alledaagse ideeën met een half bonuspunt
2.
Maken van de hoogtemeter
max. ½
bonuspunt.
Bij het VWO een half bonuspunt, bij de HAVO een heel bonuspunt, mits netjes vervaardigd.
3.
Verklaring van de formules
max. 1
bonuspunt.
max. 1
bonuspunt.
Bij de HAVO dit onderdeel weglaten.
4.
Verwerking van de waarnemingsresultaten
Een heel bonuspunt indien nauwkeurig en nauwgezet gedaan. Bij slordigheden ½ punt eraf.
5.
Verslagje met opmerkingen
max. ½
Bij de HAVO hiervoor 1 punt toekennen, mits netjes en inhoudelijk goed verzorgd.
bonuspunt.
Afleiding van de gebruikte
formules.
I.
H = a × tan(90º - α) + h
 A1 +  C1 = 90º
 C1 +  C2 = 90º
 A1 =  C2
 A = 90º - x
x = afgelezen hoek
H = afstand × tan(90º - afgelezen hoek) + h.
II.
H
100
a1  a 2
T12 =  C1
 A =  S = 90º
  AC’C   SAT
a1 : SA = 10 : H
 T2 =  E1
D=S
  DE’E   SDT
a2 : (SA – 1000) = 10 : H
De gelijkvormigheid moeten de leerlingen zelf ontdekken. De hint van het aftrekken mag door
de docent gegeven worden.
a1  H = 10  SA
a2  H = 10  SA – 10000
H(a1 – a2) = 10000
H
10000
100
cm 
m
a1  a 2
a1  a 2
waarbij a1 en a2 in cm worden afgelezen.