Newton - 13 Muziek

Newton 5 vwo
Natuurkunde
voor de 2e fase
Hoofdstuk 13  Muziek
les
klassikaal/docent
groepje/huiswerk
1
Trillingen zichtbaar maken
Frequentie snaarinstrument
Begrippen en formules
opgave 1 t/m 4
2
Zweving
Antigeluid en tegenfase
Begrippen en formules
opgave 5 t/m 8
3
Hartslag meten
Formules slinger en massa-veer-systeem
Begrippen en formules
opgave 9 t/m 11
4
Demonstratie - Lopende golven
Geluid als golf
Begrippen en formules
opgave 12 t/m 15
Keuzecontext: Aardbevingsgolven
Begrippen en formules
opgave 16 t/m 18
6
Demonstratie Resonantie, staande golven
Begrippen en formules
opgave 19 t/m 21
7
Klankkast stemvork
Begrippen en formules
opg 22 t/m 25
8
Vervolgopdrachten resonantie
Oriëntatie eigen onderzoek
opgave 26 t/m 29
9
Keuzecontext: Het gehoororgaan
Pijngrens en gehoorverlies
Begrippen en formules
opgave 30 en 31
5
dag
Eigen onderzoek fase 1
Testen + onderzoeksplan opstellen
Eigen onderzoek fase 2
Definitieve metingen en eindverslag
Toets in de 4e toetsperiode: hoofdstuk 13 + 11
Experiment - 13 Muziek
Eigen onderzoek: Resonantie
Met de getekende opstellingen kun je onderzoek doen naar resonanties, naar
de geluidssnelheid in lucht of de golfsnelheid in een koord. In sommige
gevallen kun je de frequentie van de trillingsbron veranderen, of de lengte
van de luchtkolom, de lengte van het koord of de spanning in het koord.
Naast deze opstelling mag je ook voor een eigen opstelling kiezen. Daarbij
kun je gebruik maken van allerlei trillingsbronnen, zoals een liniaal,
stemvorken, bier- of wijnflessen of een xylofoon
Ronde 1: Testfase en onderzoeksplan
Het eigen onderzoek verloopt in twee ronden. In de eerste ronde ga je de
opstelling bouwen, verbeteren en uittesten. Tegelijkertijd denk je na over de
onderzoeksvraag (of –vragen) die je bij dit onderzoek gaat stellen. Het is
immers een eigen onderzoek, en daar hoort een eigen onderzoeksvraag bij.
De eerste ronde wordt afgesloten met het inleveren van een onderzoeksplan.
Ronde 2: Definitieve metingen
Nadat het onderzoeksplan is goedgekeurd begint ronde twee: het echte
experiment. In deze fase is het niet meer toegestaan je onderzoeksplan aan te
passen.
Voor het uitvoeren van het experiment krijg je een bepaalde tijd toegewezen.
In die tijd moet het experiment uitgevoerd worden, en na afloop lever je een
kopie van de meetresultaten in. Deze resultaten gebruik je voor het
eindverslag.
De tweede ronde wordt afgerond met het inleveren van het verslag, uiterlijk
een week na de metingen.
Project Probleemgerichte didactiek
7e editie, april 2009
St. Bonifatiuscollege, burg. F. Andreaelaan 7, 3582 KA Utrecht
tel 030-2512315, website: www.boni.nl
Uitvoerders:
Ad Migchielsen
Carolien Kootwijk
Elie Masela
Erwin Kunnen
Kees Hooyman
Wouter Tinbergen
Technische ondersteuning:
Marti van IJzendoorn
Newton - 13 Muziek
§2 Trillingen
Inleiding
Dit hoofdstuk gaat over muziek en geluid, over trillingen en golven. Het
hoofdstuk gaat ook over aardbevingsgolven, over snelheidsmeting met
behulp van (geluids-)golven, over gehoor en gehoorbeschadiging, over
decibellen en geluidssterkte.
In de onderbouw heb je al kennis kunnen maken met de eigenschappen van
geluid en muziek, maar er is nog veel meer te ontdekken over geluid en
muziek. Sommige van de onderstaande vragen zijn dan ook een herhaling,
andere zul je nog niet kunnen beantwoorden. De vragen zijn bedoeld om te
herhalen en te inventariseren wat er al bekend is.
Geluid maken en horen
Geluid is zo vanzelfsprekend dat we ons niet altijd realiseren wat geluid is en
hoe het komt dat we geluid kunnen waarnemen
 Wat is geluid eigenlijk? Hoe kan je een voorstelling van geluid maken?
 Hoe maakt een geluidsbron geluid?
 Hoe wordt het geluid getransporteerd door de lucht?
 Hoe neemt je oor het geluid waar?
Toonhoogte en geluidssterkte
Bij geluid, en zeker bij muziek, kun je vaak spreken van een hoge of lage
toon. Soms zelfs van een zuivere toon (in tegenstelling tot een valse noot).
 Wat bedoelen we met de toonhoogte? Hoe meet je de toonhoogte?
 Wanneer noem je iets een zuivere toon?
 Wat is het verschil tussen hard en zacht geluid?
Geluid van snaarinstrumenten
Snaarinstrumenten zoals een gitaar, een viool, een piano en een harp werken
met snaren en een klankkast (of een versterker).
 Op welke manieren kun je de toonhoogte of frequentie van een trillende
snaar veranderen?
 Hoe kan een klankkast het geluid versterken?
Geluid van blaasinstrumenten
Blaasinstrumenten zoals een saxofoon, trombone, dwarsfluit en orgel werken
met een pijp of luchtkolom.
 Hoe kun je de toonhoogte van een blaasinstrument veranderen?
 Waarom ‘klinkt’ een gitaar anders dan een piano, ook wanneer er dezelfde
noot aangeslagen wordt? Waarom ‘klinken’ alle blaasinstrumenten anders
dan snaarinstrumenten?
3
Eigenschappen van een trilling
De eerste paragraaf gaat over geluid als een trilling. Elk muziekinstrument
maakt geluid door een trilling, maar hoe ontstaan eigenschappen als
toonhoogte, hard & zacht en de eigen klankkleur van elk instrument?
Kernvraag

Wat zijn de eigenschappen van een zuivere toon?
Kernvraag

Hoe kun je een trilling beschrijven met een formule?
Kernvraag

Hoe kun je de frequentie van een trillend voorwerp veranderen?
Demonstratie
Een toongenerator
Een oscillogram maken
Trillingen zichtbaar maken
Voor het maken van een oscillogram heb je een geluidsbron (een stemvork,
een toongenerator of een muziekinstrument) nodig, en een oscilloscoop of
een snelle computer. Met een oscillogram kun je goed zien dat geluid een
trilling is.
 Wat verandert er aan het oscillogram als het geluid harder, zachter, hoger
of lager gemaakt wordt?
 Wat is het verschil tussen een oscillogram van een stemvork en een
oscillogram van een muziekinstrument?
De frequentie meten met een oscillogram
Een oscillogram heeft ook een tijdbasis. Daarmee bedoelen we de tijd die
hoort bij één hokje op het scherm. Dat geven we meestal aan in ms/div (1 div
= 1 hokje). Daarmee kunnen we de trillingstijd aflezen.
Een zuivere toon is te vergelijken met de trilling van een gewichtje aan een
veer. Het oscillogram is een sinus-grafiek.
5
-5
 Lees in de grafiek de trillingstijd T af.
De frequentie f hangt af van de periode T:
f 
1
T
 Hoe wordt in de grafiek de frequentie aangegeven?
4
Een trilling op de GR
De grafiek van een zuivere toon heeft een sinus-vorm, met amplitude r en
periode T. De bovenstaande grafiek kan getekend worden met een grafische
rekenmachine. Bij wiskunde wordt een sinusfunctie vaak geschreven als:
In het voorbeeld zijn c en d nul, en a is makkelijk af te lezen uit de grafiek.
 De waarde van b bepaalt de periode T van de sinusfunctie. Welke formule
geldt er voor T en b?
5
-5
 Leg uit dat bij deze grafiek de formule past:
Kies: MODE = Radian
WINDOW: X op [0, 2] en Y op [-10, 10]
 Teken met je grafische rekenmachine de grafiek
y  5 sin( 4x)
Een algemene formule voor een trilling met frequentie f en amplitude r is:
u  r sin( 2  f  t )
of
t
u  r sin( 2  )
T
 Leg uit dat deze twee formules gelijk aan elkaar zijn.
 Teken met de GR een trilling met een amplitude van 8 en een trillingstijd
van 0,2 s. Hoeveel trillingen zijn er nu in 1 seconde? Klopt dat met de
formule?
Theorie
Lees de theorie op blz. 150 t/m 153 en 156 in Newton. Om de kern van de
theorie goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en
formuleschema’s.
Evenwichtsstand, uitwijking
en amplitude
Trillingstijd en frequentie
Oscillogram, (u,t)-diagram
Harmonische trilling
5
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
f 
1
T
2  t
)
T
u  r sin( 2  f  t )
u  r  sin(
(Examen)contexten
In het boek staan verschillende contexten waar de theorie gebruikt wordt.
Examencontexten kunnen gebruikt worden in een examenopgaven. Je hoeft
deze kennis niet uit je hoofd te leren, het is wel handig als je het al eens
gezien hebt.
Muziekinstrumenten
Elektrocardiogram
1
2
Opgaven
De conus van een luidspreker trilt met een frequentie van 1,5 kHz. Bereken
de trillingstijd in ms.
Hiernaast zie je het (u,t)-diagram van een trilling. De instelling van de
oscilloscoop/computer is 0,50 ms/cm voor de horizontale t-as, en 2,0
V/cm voor de verticale y-as.
a Bepaal zo nauwkeurig mogelijk de trillingstijd en de amplitude van de
trilling.
b Bereken de frequentie van de trilling.
6
3
De instelling van de oscilloscoop/computer staat bij elk van de drie hiernaast
getekende diagrammen vermeld.
a Welke van de trillingen heeft de grootste amplitude?
b Welke van de trillingen heeft de grootste frequentie?
4
Het (u,t)-diagram van de trilling van vijf verschillende geluidsbronnen:
a Welke van deze vijf trillingen is een harmonische trilling? Hoe noem je
het geluid dat je dan hoort?
b Geef in figuur 4 aan wat de amplitude en de trillingstijd van de trillingen
zijn. Bij welke twee trillingen lukt dat niet?
c Bij welke van de vijf trillingen hoor je geen toon? Hoe noem je het geluid
dat je dan wèl hoort?
7
Newton - 13 Muziek
§3 Harmonische trilling
Een merkwaardig verschijnsel is antigeluid. Kennelijk is het mogelijk om met
behulp van een geluidsbron een andere geluidsbron uit te doven. In de
praktijk verdwijnt het geluid natuurlijk niet echt, maar komt het op een
andere plaats tevoorschijn.
Kernvraag

Probleem 3
Hoe kunnen twee trillingen elkaar uitdoven?
Zweving
Twee stemvorken staan voor een microfoon. Eén van de stemvorken
produceert een net iets lagere toon dan de andere stemvork. Dat wordt
veroorzaakt door een klein gewichtje aan een van de benen.
Als de stemvorken aangeslagen worden ontstaat een effect dat we zwevingen
noemen. Het geluid wordt dan afwisselend harder en zachter. Beide
klankkasten produceren geluid, maar kennelijk kunnen ze elkaar op
bepaalde momenten uitdoven.
 Hoe kunnen de twee trillingen elkaar uitdoven?
Zweving op de Grafische Rekenmachine
In de microfoon worden de twee trillingen bij elkaar opgeteld. De trillingen
lopen net niet met elkaar in de pas. Met je grafische rekenmachine kun je dat
nabootsen. Als voorbeeld nemen we twee trillingen met gelijke amplitude en
een klein verschil in frequentie.
trilling 1:
f1 = 2,00 Hz  y1  5 sin( 4x)
trilling 2:
f2 = 2,20 Hz 
y2  5 sin( 4,4x)
 Teken beide trillingen met de GR. Window: X op [0, 2.5] en Y op [-10, 10]
 Hoeveel perioden heeft trilling 1 doorlopen na 2,5 s. En trilling 2?
 Hoe lang duurt het totdat trilling 1 opnieuw ‘in de pas’ loopt met trilling 2?
Hoeveel perioden heeft elke trilling dan doorlopen?
f1=2,00 Hz
f2=2,20 Hz
De microfoon registreert beide trillingen. Dat kun je op de GR nabootsen
door de trillingen op te tellen.
 Voer in:
. Laat de GR alleen
tekenen, met x van 0 tot 10.
 Op welke tijdstippen is er dan uitdoving?
8
Als twee trillingen met elkaar ‘in de pas’ lopen dan noemen we dat in fase.
 Is er op dat moment uitdoving of versterking? (Kijk naar y3)
De zweving betekent dat het geluid afwisselend zwak en sterk klinkt. De
zweving heeft ook een frequentie.
 Bepaal met de GR de tijd tussen twee uitdovingen en bereken daarmee de
frequentie van de zweving.
f1=2,00 Hz
f2=2,20 Hz
Vervolgopdracht
 Lees blz. 178 uit Newton. Hoe worden zwevingen gebruikt om een gitaar te
stemmen?
Een nieuw begrip: fase
Het begrip in fase is afgeleid van het begrip de fase van een trilling.
Daarmee bedoelen we het aantal trillingen dat een voorwerp vanaf het begin
(tijdstip t=0) gemaakt heeft.
 Hoe groot is de fase van trilling 1 op t=10 s? En hoe groot is op dat moment
de fase van trilling 2?
De fase is eenvoudig uit te rekenen met de trillingstijd:
f1=2,00 Hz
f2=2,20 Hz

t
.
T
 Leg in je eigen woorden uit dat je met deze fomule berekent hoeveel
perioden een trilling na t seconden doorlopen heeft.
Met tegenfase bedoelen we dat de twee trillingen precies tegen elkaar ingaan,
dan kunnen de trillingen elkaar uitdoven (sommige mensen praten dan over
antigeluid). In dit voorbeeld gebeurt dat 2,50 s na de start.
 Hoe groot is de fase van trilling 1 en de fase van trilling 2 op het tijdstip
t=2,50 (het tijdstip dat ze elkaar precies uitdoven)?
1 (t  2,5) 
 2 (t  2,5) 
 Hoe groot is het faseverschil Δφ = φ2 – φ1 op t=2,50? Wat betekent dat?
 Op welk eerstvolgend tijdstip is er opnieuw sprake van uitdoving? Hoeveel
perioden heeft elke trilling dan doorlopen?
Applets
Gebruik de links op de
ELO om de applets te
bekijken.
9
Theorie
Lees de theorie op blz. 157, 158 en 169 (antigeluid) in Newton.
Fase en faseverschil
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?

t
T
(Examen)contexten
In het boek staan verschillende contexten waar de theorie gebruikt wordt.
Antigeluid
5
Opgaven
In onderstaande figuur zie je het (u,t)-diagram van een harmonische trilling
met een amplitude r van 2,5 cm.
a Bereken of bepaal de fase φ en de gereduceerde fase φr, van de trilling op
de tijdstippen t1 tot en met t5. Noteer je antwoorden in de tabel.
b Bereken (met de formule) de uitwijking u van de trilling op de tijdstippen
t1 tot en met t5.
tijdstip t1
tijdstip t1
tijdstip t1
tijdstip t1
tijdstip t1
fase φ
uitwijking u
c Op welke tijdstippen heeft de trilling een uitwijking u van 1,0 cm?
10
6
Gitaarsnaar stemmen
De a-snaar van een gitaar moet trillen met een frequentie van 110 Hz. De
toon van de a-snaar wordt opgenomen met een microfoon, aangesloten
op een oscilloscoop. De tijdbasis staat ingesteld op 10,0 ms/div.
Nadat de a-snaar is aangeslagen, zie je het in figuur 10 weergegeven beeld op
het scherm.
a Bepaal nauwkeurig de frequentie waarmee de a-snaar trilt.
b Teken in het onderstaande diagram de trilling die zichtbaar is als de asnaar is gestemd.
7
Hartslagfrequentie
In figuur 11 zie je een elektrocardiogram: een registratie van de elektrische
activiteit van de hartspier in de loop van de tijd.
a In zo'n elektrocardiogram is een trilling zichtbaar. Leg uit waaraan je dat
ziet.
b Is de trillingstijd in figuur 11 constant? En als die trillingstijd niet
constant is: hoe verandert die dan in de loop van de tijd? Wat is een
mogelijke oorzaak van die verandering?
c Bereken de kleinste en de grootste waarde van de hartslagfrequentie in
figuur 11
11
8
Wisselspanning
In figuur 13 zie je een trilling op een oscilloscoopscherm. Dit beeld is
ontstaan door de oscilloscoop aan te sluiten op de spanning tussen de
twee polen van een stopcontact in de elektrische huisinstallatie.
a Leg uit waarom we dit een wisselspanning noemen.
b Bepaal de frequentie van deze wisselspanning.
c Bepaal de maximale waarde van deze wisselspanning.
d In een elektrische huisinstallatie is de spanning 230 V. Maar dat is
minder dan wat je bij opdracht 23c hebt bepaald. Hoe is dat te verklaren,
denk je?
12
Newton - 13 Muziek
§3 Harmonische trilling
Twee voorbeelden van trillingen zijn een slinger en een gewichtje aan een
veer (een massa-veer-systeem).
Kernvraag

Waardoor wordt de trillingstijd van een trilling bepaald?
Kernvraag

Welke formules gelden voor een trilling en een slinger?
Probleem 1
De frequentie van een snaarinstrument veranderen
Het trillen van een snaar kun je vergelijken met het trillen van wat we een
massa-veer-systeem noemen.
 Hoe komt het eigenlijk dat zo’n systeem op-en-neer gaat trillen als het uit
evenwicht gebracht wordt?
 Welke invloed hebben de massa m en de veerconstante C op de trillingstijd?
Bij een snaarinstrument kun je op drie manieren de toonhoogte veranderen:
 De snaar strakker of losser spannen.
 De snaar korter of langer maken.
 Een dikke of dunne snaar nemen (of beter: een zware of een lichte snaar).
 Hoe veranderen m en C bij deze drie manieren om de toon te veranderen?
Probleem 2
Hartslag meten
Lang geleden (nog ver voor het opwindhorloge) gebruikte de dokter een
slinger om de hartslag te meten. Hij veranderde de lengte van de slinger
totdat de slingertijd gelijk was aan de tijd tussen twee hartslagen (je kunt het
zelf proberen).
Het was niet eenvoudig om uit de slingerlengte de hartslag te bepalen. De
slingertijd is namelijk niet evenredig met de lengte van de slinger. Dat blijkt
uit deze metingen:
slingerlengte (cm) slingertijd (s) hartslag
100
2,0
30
50
1,4
43
25
1,0
60
10
0,63
95
 Hoe kun je aan deze gegevens zien dat de slingertijd niet evenredig is met
de lengte?
Jan Steen: Doktersbezoek
 Waardoor heeft de massa geen invloed op de trillingstijd?
13
Experiment
Slinger en massa-veer-systeem
Kies uit de volgende vier onderzoeksvragen (te verdelen over de klas):
 Onderzoek/controleer bij een massa-veer-systeem het soort verband
tussen trillingstijd en massa.
 Onderzoek/controleer bij een massa-veer-systeem het soort verband
tussen trillingstijd en veerconstante C = F/u.
 Onderzoek bij een slinger het verband (formule met ingevulde
constante) tussen trillingstijd en lengte.
Harmonische trilling
Een voorwerp trilt alleen harmonisch als:
 Er is sprake van een evenwichtsstand
 Buiten de evenwichtsstand is er een terugdrijvende kracht F die
Ft  C  u
evenredig is met de uitwijking u:

EXTRA
Voor de trillingstijd geldt dan:
l
m
C
Afleiding van de slingerformule
Een slinger is bij niet al te grote uitwijking ook een harmonische trilling.
Voor de terugdrijvende kracht geldt dan namelijk:
Ft  m  g  sin(  )  m  g 

T  2 
u
l
Dat betekent dat de kracht F evenredig is met de uitwijking u, en dat is
precies de eis voor een harmonische trilling. Voor de veerconstante C = F/u
geldt nu:
 Leid hiermee af dat voor een slinger geldt: T  2 
u
Fz
l
g
Een slinger als harmonische trilling
 De formule voor de slingertijd is een speciaal geval van een
harmonische trilling.

De formule
T  2 
m
l
wordt dan T  2 
g
C
Theorie
Lees de theorie op blz. 159 t/m 161 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Veerconstante C
Eigentrilling
14
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
Fveer  C  u
T  2 
l
g
T  2 
m
C
9
Opgaven
Een massa-veersysteem bestaat uit een massa m van 50 g aan een veer. In
het diagram van figuur 8 zie je het verband tussen de veerkracht Fv en
de uitrekking u van deze veer.
a Bepaal de veerconstante C van de veer.
b Bereken de frequentie waarmee dit massaveersysteem trilt.
10
Hiernaast zie je een stroboscoopfoto van de slinger van een klok. Op de foto
beweegt de slinger van links naar rechts. De stroboscoop heeft een
frequentie van 10 Hz. De foto is niet op ware grootte afgebeeld.
Op de foto beweegt de slinger van de uiterst linkse positie naar de uiterst
rechtse positie. Op de foto zijn negen beeldjes te zien.
a. Bepaal met behulp van de foto zo nauwkeurig mogelijk de slingertijd.
b. Bereken met het antwoord de lengte van de slinger.
De slingertijd hangt af van de lengte van de slinger.
c. Op welke manier moet je de lengte van de slinger veranderen zodat de
slinger in dezelfde tijd als op de foto een volledige trilling uitvoert?
11
m(kg)
T(s)
0,015
0,30
0,035
0,458
0,055
0,574
0,075
0,671
0,095
0,755
Aan het uiteinde van een metalen strip worden verschillende massa’s
bevestigd. Daardoor verandert de trillingstijd. Els en Wim meten hoe de
trillingstijd afhangt van de totale massa (zie tabel).
a. Bepaal het verband tussen T en m. Noteer het verband als een formule
met ingevulde constante.
b. Bereken de veerconstante van het trillende systeem.
15
Newton - 13 Muziek
§4 Lopende golven
Een muziekinstrument of een andere geluidsbron trilt, en daardoor ontstaat
een geluidsgolf. Is dat te vergelijken met de golven die ontstaan als je een
steen in het water gooit? Of met golven in een snaar? Of met de golven de
worden veroorzaakt door een aardbeving?
Bij een golf worden de trillingen doorgegeven, maar hoe werkt dat? Wat
beweegt er?
Kernvraag

Hoe beweegt een geluidstrilling door de lucht? Wat ‘golft’ er dan?
Kernvraag

Zijn geluidsgolven te vergelijken met andere golven zoals
watergolven? Welke eigenschappen hebben (geluids-)golven?
Vele trillingen maken een golf
De ‘wave’ loopt door het stadion. Vele armen (en lichamen) gaan omhoog en
omlaag. Op zee zien we de golven naar het strand lopen. Een golf is ook een
trilling die zich voortplant, het zijn de mensen in het stadion en het water
van de zee dat trilt. Net als in het stadion beweegt het water op en neer,
terwijl de golf naar het strand spoelt.
Dat noemen we een transversale golf: de mensen in het stadion bewegen
verticaal, de golf loopt horizontaal.
 Zou je ook een wave kunnen maken als iedereen muisstil is en zijn ogen
dicht heeft? Hoe wordt de trilling dan doorgegeven?
Demonstratie
Applets
Gebruik de links op de
ELO om de applets te
bekijken.
Lopende golven
Met een lange veer worden lopende transversale golven gedemonstreerd. Op
het plaatje zie je één transversale golf die naar rechts beweegt. Een dergelijke
golf kun je ook in een lange veer opwekken.
 Wat verandert er aan de golf als je het uiteinde sneller op en neer beweegt?
 Wat verandert er aan de golf als je de veer strakker spant? Hoe komt dat?
 Wat is het verband tussen golflengte, snelheid en frequentie?
16
Twee soorten golven
Een trilling kan ook op een andere manier doorgegeven worden, zoals bij een
slinky. De trilling gaat dan heen en weer (in de richting van de golf). Het is
een beetje te vergelijken met vallende domino-stenen. Dergelijke golven
noemen we longitudinale golven.
Op het plaatje zie je een longitudinale golf. De trilling van de deeltjes is in
dezelfde richting als de golfbeweging.
 Geef in het plaatje één golflengte aan.
 Hebben longitudinale golven dezelfde golfeigenschappen (golflengte,
frequentie, golfsnelheid) als transversale golven?
Geluid als golf
Geluid is ook een golf, een trilling die doorgegeven wordt door de lucht.
 Is geluid een transversale of longitudinale golf? Waarom?
 Kun je ook geluidsgolven maken in een vloeistof of een vaste stof? Zal de
golfsnelheid dan hoger of lager zijn?
Probleem 4
Foto van een golf
Met een snelle videocamera kun je een foto van een golf maken. De
onderstaande foto (schaal 1:10) is genomen 0,78 s nadat het linkeruiteinde is
begonnen met trillen.
Bepaal uit de foto:
 de golflengte 
 de trillingstijd T


de golfsnelheid v
de frequentie f
 Welk punt heeft fase  = 0? Voor welk punt geldt  = 1,0? en  = 1,75?
 In welke richting begon het linkeruiteinde op t=0 te trillen?
17
Applets
Over golven zijn diverse applets (klein animatie) beschikbaar, die vaak erg
geschikt zijn om een bepaald verschijnsel of effect beter te begrijpen.
Gebruik de links op de Boni-ELO of zoek naar:
PhET, Colorado University
Walter Fendt
Davidson College
Walburg College
Theorie
Lees de theorie op blz. 163 t/m 166 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Transversale golven
Longitudinale golven
Golflengte en golfsnelheid
Fase in een u,x-diagram
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
v f
en
v

T
(Examen)contexten
In het boek staan verschillende contexten waar de theorie gebruikt wordt.
Examencontexten kunnen gebruikt worden in een examenopgaven. Je hoeft
deze kennis ninet uit je hoofd te leren, het is wel handig als je het al eens
gezien hebt.
Geluidsisolatie
Echoscopie
18
12
Opgaven
Een trillingsbron veroorzaakt lopende golven. Hoe verandert de golflengte
als de frequentie van de trillingsbron toeneemt? En hoe als de
golfsnelheid toeneemt?
13
Een trillingsbron veroorzaakt lopende golven in een koord. De golfsnelheid is
10 m/s, en de golflengte is 2,5 m. Bereken de frequentie van de
trillingsbron.
14
Hier zie je het (u,x)-diagram van een transversale golf.
a Bereken de fase φ en de gereduceerde fase φr van de trilling op de
plaatsen x1 tot en met x5.
b Bereken het faseverschil Δφ tussen de trillingen op de plaatsen A en B in
de reeks golven.
15
In figuur 19 zie je het (u,x)-diagram van een reeks transversale golven op
twee verschillende tijdstippen: t1 = 12,0 s en t2 = 12,5 s. De golf beweegt
naar rechts. De schaal van de tekening is 1:10
a Bepaal de golfsnelheid.
b Schets het (u,x)-diagram van de golf op het tijdstip t3 = 11,7 s.
19
Newton - 13 Muziek
§4 Lopende golven
Bij een aardbeving registreren waarnemingsstations twee verschillende
soorten golven. Door de eigenschappen van de twee golven te gebruiken kan
het epicentrum van de beving bepaald worden.
Aardbevingen zijn bij het onderwerp trillingen en golven een context (blok
2 en 4 in het theorieboek), maar het is geen examenstof. Voor de toetsing
betekent het dat er wel vragen gesteld kunnen worden waarbij aardbevingen
een context vormen, maar de noodzakelijke informatie en formules moeten
daarbij gegeven worden.

Kernvraag
Probleem 5
Hoe worden aardbevingsgolven gebruikt om het epicentrum van de
beving te bepalen?
Golfsnelheid
Met een hamer kun je op twee manieren tegen een ijzeren staaf slaan. De
twee golven die dan ontstaan (longitudinaal en transversaal) hebben een
verschillende snelheid. Eén van deze twee snelheden noemen we de
geluidssnelheid van ijzer (BINAS tabel 16: 5,1 km/s).
 Welke golf is de geluidsgolf?
 Waarom hangt de geluidssnelheid niet af van de dikte van de staaf?
 Zal de andere golf sneller of langzamer gaan?
Bij een aardbeving ontstaan ook twee soorten golven, de S-golf en de P-golf
(P staat voor primair, S voor secundair), die elke een eigen golfsnelheid
hebben. De S-golf gaat langzamer dan de P-golf. Bovendien gaat de S-golf
wel door de vaste mantel, maar niet door de vloeibare kern van de aarde.
 Welke golf is longitudinaal, welke transversaal?
 Waarom gaat de S-golf niet door de kern?
20
Theorie
Lees de theorie op blz. 168 in Newton. Om de kern van de theorie goed
samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
S- en P-golven
Epicentrum en
schaduwgebied
16
Golf in een snaar
In figuur 22 zie je een snaar boven een klankkast, ingeklemd bij de punten A
en B. Het element E reageert op de trilling van het punt van de snaar er vlak
boven. Het door het element afgegeven signaal gaat naar een computer en is
zichtbaar op het beeldscherm.
De snaar wordt in de buurt van punt A aangeslagen. Er plant zich daardoor
een golfpatroon met een duidelijke piek in de richting van B voort.
Bijna direct na het aanslaan is op het scherm het oscillogram te zien. Het
blijkt dat er een positieve piek ontstaat als het golfpatroon van rechts naar
links langs het element loopt. Als het golfpatroon in de tegengestelde richting
loopt, geeft het element een negatieve piek af.
a Leg uit waarom de pieken P en Q een verschillende uitwijkingsrichting
hebben.
b Bepaal de golfsnelheid in de snaar.
c Als de snaar strakker wordt gespannen, neemt de golfsnelheid toe. Schets
het beeld op het scherm bij het aanslaan van een strakker gespannen
snaar.
21
17
Sonar
Sonar wordt gebruikt voor het bepalen van de diepte van de zeebodem, het
opsporen van scholen vis en onderzeeboten enzovoort. Het systeem werkt
met geluidspulsen die onder water worden uitgezonden. Het geluid wordt
teruggekaatst door voorwerpen onder water of door de zeebodem. Het
teruggekaatste geluid (de echo) wordt opgevangen met een
onderwatermicrofoon. In de situatie van figuur 24 wordt de diepte van de
zeebodem bepaald met een sonarinstallatie vanaf een boot. Op het
computerscherm zie je twee uitgezonden geluidspulsen en een ontvangen
echo.
a Hoe hangt de tijd die verloopt tussen het uitzenden van een geluidspuls
en het ontvangen van de echo af van de diepte van de zeebodem?
b Bepaal de diepte van de zeebodem bij de meting van figuur 24. Zoek de
geluidssnelheid v in water op in het tabellenboek.
c Wat is de maximale diepte die met de instelling van de sonarinstallatie
van figuur 24 bepaald kan worden?
d Wat moet er aan de instelling van de sonarinstallatie veranderd worden
om tot op grotere diepte te kunnen meten?
EXTRA
Ultrasoon geluid wordt op dezelfde manier gebruikt om gaten in beton op te
sporen. Op natuurkunde.nl vind je een artikel waarbij je zelf de echoscoop
kunt bedienen: www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=777827
Ultrageluid kijkt door beton
Bron: natuurkunde.nl
Auteur: Gerard Stuijts
Ingenieurs van het bedrijfje Cambridge Ultrasonics
hebben een scanner ontwikkeld die door beton heen kan
kijken. Met ultrageluid spoort het apparaat
haarscheuren in beton op - maar volgens de ontwerpers
kan de politie er ook 'ingegoten' misdaadslachtoffers
mee opsporen.
Op de applet zie je hoe een deel van het geluid aan een
gat in het beton weerkaatst.
22
18
Aardbevingsgolven
Bij een aardbeving ontstaan in de aarde zowel longitudinale als transversale
golven: de zogenaamde P- en S-golven. Bij een model van de aarde als een
homogene bol van vast gesteente mag je aannemen dat deze
aardbevingsgolven zich in alle richtingen rechtlijnig voortplanten. Op
verschillende waarnemingsstations wordt met een seismograaf de aankomst
van deze golven geregistreerd. Daardoor is de looptijd van de golven (tussen
de plaats van de aardbeving en het waarnemingsstation) te bepalen.
In het onderstaande diagram is de looptijd voor een groot aantal van die
stations op aarde weergegeven. De plaats van een waarnemingsstation S is in
het diagram weergegeven in de vorm van een hoek α ten opzichte van de
plaats A van de aardbeving, zoals gedefinieerd in figuur 25.
a Bepaal met behulp van het diagram de golfsnelheid van de P-golven en de
S-golven. Zoek de straal R van de aarde op in het tabellen boek.
Uit het diagram blijkt dat er geen S-golven aankomen op
waarnemingsstations waarvoor de hoek α groter is dan 103°. Dit wordt
verklaard door een nieuw model van de aarde: het kern-mantelmodel uit
figuur 27. In dit model heeft de aarde een homogene bolvormige kern, met
daaromheen een homogene mantel (met andere eigenschappen). Door
afbuiging en weerkaatsing komen de S-golven alleen aan in een klein gebied
recht tegenover A.
c Bepaal met figuur 27 en hoek α de straal van de aardkern in het kernmantelmodel van de aarde.
d P-golven die dwars door de aarde gaan (α = 180° hebben een langere
looptijd dan uit extrapolatie van het eerste stuk van de looptijdkromme
voor P-golven volgt (zie de streeplijn in figuur 26). Wat volgt daaruit voor
de golfsnelheid van P-golven in de aardkern, vergeleken met golven in de
aardmantel?
e Bepaal de golfsnelheid van P-golven in de aardkern.
23
Newton - 13 Muziek
§5 Staande golven
Het oscillogram van een muziekinstrument lijkt vaak in het totaal niet op de
mooie sinusgrafiek van een zuivere toon, en elk muziekinstrument heeft een
eigen oscillogram. Dat roept de vraag op hoe zo’n oscillogram kan ontstaan,
en in hoeverre er verschillen zijn tussen muziekinstrumenten.
Kernvraag

Hoe kan een gitaarsnaar meer dan één toon produceren?
Kernvraag

Waarom is het oscillogram van muziekinstrumenten zo verschillend
als ze dezelfde noot produceren?
Demonstratie
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
Bij welke frequenties gaat een veer meetrillen?
Een lange veer wordt aan één uiteinde in trilling gebracht. In eerste instantie
zie je lopende golven, maar na een tijdje ontstaat een staande golf (maar
alleen als de frequentie goed gekozen is). De lange veer lijkt in zijn geheel te
trillen (lees ook het theorieblok op de volgende pagina).
 Is de golflengte van de lopende golf gelijk aan de golflengte van de staande
golf?
 Meet de laagste frequentie (de grondtoon) waarmee de veer kan trillen.
 Meet ook de lengte van de veer en bereken daarmee de golflengte van de
grondtoon.
Niet alle golven ‘passen’ bij de veer. Alleen bij de juiste frequenties ontstaat
een staande golf en gaat de snaar meetrillen (resonantie). De
resonantiefrequenties worden grondtoon en boventonen genoemd.
 Bij welke frequenties gaat de veer meetrillen? Bepaal steeds de golflengte en
bereken daarmee de frequentie. Noteer de frequenties in de figuur.
l = n½
 Bij een staande golf zie je knopen en buiken. Noteer bij f3 alle knopen een K
en bij alle buiken een B.
Wat gebeurt en als je een snaar aanslaat?
Bij het aanslaan van een snaar ontstaat een groot aantal golven met
verschillende frequenties. Vrij snel na de aanslag blijkt een groot deel
uitgedoofd te zijn en hoor je alleen nog de grond- en boventonen.
 Leg in je eigen woorden uit hoe het oscilligram van een viool of een piano
kan ontstaan.
24
Een piano, een gitaar en een viool zijn snaarinstrumenten. Als op elk
instrument dezelfde noot wordt aangeslagen dan klinkt die toon bij elk
instrument anders. Het oscillogram zal bij elk instrument een andere vorm
hebben. Toch zijn de frequenties van de boventonen hetzelfde.
 Waardoor wordt het verschil in klankkleur veroorzaakt?
Grondtoon en boventonen optellen met de GR
Het optellen van grond- en boventonen kan eenvoudig nagebootst worden
met de grafische rekenmachine.
 Teken met de grafische rekenmachine som van drie trillingen:
y1  5sin( 2x)
Met freeware zoals CoolEdit6
kun je zelf geluid samenstellen
uit grond- en boventonen.
frequentiespectrum
van een viool
y2  3sin( 4x)
y3  2 sin( 6x)
 Wat is de frequentie van de grondtoon? En van de boventonen? En van de
totale trilling?
Frequentie-analyse
Met een computerprogramma zoals CoolEdit6 kun je ook het omgekeerde
doen: een opgenomen geluid splitsen in grond- en boventonen. Het resultaat
is een frequentiespectrum. In een grafiek wordt bij elke frequentie de
relatieve sterkte van die toon weergegeven.
 Uit hoeveel verschillende tonen is het frequentiespectrum van de viool (zie
figuur) opgebouwd?
Het frequentiespectrum is een context (blok 8 in het theorieboek), maar het
is geen examenstof. Voor de toetsing betekent het dat er wel vragen gesteld
kunnen worden waarbij het frequentiespectrum een context is, maar de
noodzakelijke informatie en formules moeten daarbij gegeven worden.
25
Hoe ontstaan staande golven?
Als twee lopende golven met dezelfde golflengte uit tegenovergestelde
richtingen elkaar ‘ontmoeten’ dan ontstaat een staande golf met dezelfde
golflengte en grotere amplitude.
De staande golf heeft knopen en buiken. Op de plaats van de knopen
doven de twee trillingen elkaar uit, de golven zijn in tegenfase. Op de
plaats van de buik vindt versterking plaats.
In een snaar kaatsen de golven steeds aan de uiteinden terug. De golven
lopen dus steeds heen en weer door de snaar. Er is dus nog steeds sprake
van een golfsnelheid v, een golflengte  en een frequentie f.
Tussen twee luidsprekers die dezelfde toon produceren ontstaat een
patroon van knopen en buiken.
TOELICHTING: Van lopende naar staande golven
De onderstaande beelden uit de applet ‘Wave on a string’ van de Colorado
University (PhET) laten zien hoe uit door elkaar lopende golven een staande
golf ontstaat.
Alleen een naar rechts lopende golf.
De teruggekaatste golf versterkt de heengaande golf en samen vormen ze al
een staande golf.
De golf is tegen het beginpunt weerkaatst en loopt (toevallig!) precies in de
pas met de geproduceerde golf. De amplitude wordt steeds groter.
26
Zelf bij een zeer kleine amplitude kan na verloop van tijd een sterke staande
golf ontstaan. Dit heet resonantie. Bij een iets andere frequentie lopen de
golven net niet met elkaar in de pas en treedt er dus geen resonantie op.
Theorie
Lees de theorie op blz. 173 t/m 175 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Staande transversale golven in
een snaar
Buiken en knopen, grondtoon
en boventonen
Eigentrillingen en resonantie
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
snaar:
f n  n  f1
l  n  12  n
LET OP!! - De bovenstaande formules zijn niet gelijk aan de
formules in het boek, maar wel gelijk aan de formules in BINAS.
(Examen)contexten
In het boek staan verschillende contexten waar de theorie gebruikt wordt.
Examencontexten kunnen gebruikt worden in een examenopgaven. Je hoeft
deze kennis ninet uit je hoofd te leren, het is wel handig als je het al eens
gezien hebt.
27
Snaarinstrumenten
Frequentiespectrum
19
Opgaven
In figuur 28 zie je de frequentie-inhoud van een toon die twee verschillende
muziekinstrumenten laten klinken.
Applets
Gebruik de links op de
ELO om de applets te
bekijken.
a In welk opzicht stemmen deze twee tonen overeen?
b In welk opzicht zijn ze verschillend?
20 De frequentie van de grondtoon van een snaar is 110 Hz. De golfsnelheid in
de snaar is 220 m/s.
a Bereken de golflengte en de lengte van de snaar.
b Bereken de frequentie van de eerste vier boventonen.
21
De derde boventoon van een snaar met een lengte van 1,2 m heeft een
frequentie van 500 Hz.
a Teken de eigentrillingen van de snaar als deze de derde boventoon,
respectievelijk de grondtoon laat klinken.
b Bereken de frequentie van de grondtoon en de eerste, tweede en vierde
boventoon.
28
c Bereken de golfsnelheid.
29
Newton - 13 Muziek
§5 Staande golven
Elk blaasinstrument heeft ook zijn eigen klankkleur, dus kennelijk is er
daarbij ook sprake van verschillende eigentrillingen. De luchtkolom in het
instrument trilt op verschillende manieren.
Kernvraag

Hoe trilt de lucht in een luchtkolom?
Kernvraag

Wat veroorzaakt het grote verschil in klankkleur tussen
blaasinstrumenten en snaarinstrumenten?
De klankkast van een stemvork
Een klankkast van een stemvork dient om het geluid van de trillingsbron de
versterken. De lucht in de klankkast gaat meetrillen met de frequentie van de
stemvork, en dat gebeurt alleen als de frequentie past bij de afmetingen van
de klankkast.
De luchtdeeltjes trillen heen en weer. Daardoor ontstaat een staande golf
met verdichtingen en verdunningen.
Bij een stemvork A (met een grondtoon f1 = 440 Hz) hoort een klankkast
met een lengte van 17,5 cm. De geluidssnelheid in lucht is 343 m/s. De
golflengte van de grondtoon van een A is dan 78 cm. Klopt dat wel?
 Welke van de onderstaande tekeningen past bij de grondtoon van de
klankkast?
 Hoe trilt de lucht in de klankkast? Teken de knopen en de buiken bij de
grondtoon.
f1
f2
f3
f4
f5
Staande golven in een klankkast
met een open en een dicht uiteinde.
Staande golven in een klankkast
met twee open uiteinden.
30
 Leg uit waardoor bij een golflengte van 78 cm de klankkast slechts 17,5 cm
hoeft te zijn.
 Bereken de frequenties van de boventonen bij deze klankkast. Teken
daarvoor eerst de knopen en buiken bij de boventonen.

Leg uit dat voor de boventoon fn geldt:
f n  (2n  1)  f1
In de rechterfiguur op de vorige pagina zie je een klankkast met twee open
uiteinden.
 Teken in de figuur de knopen en buiken van de grondtoon en de
boventonen.
 Stel dat de grondtoon 440 Hz is, wat zijn dan de frequenties van de
boventonen?
 Geldt voor een klankkast met twee open uiteinden dezelfde formule voor de
frequenties van de boventonen als bij één open uiteinde?
Frequentiespectrum
Met een meetcomputer en een programma als COACH kan eenvoudig een
oscillogram gemaakt worden van de klanken van muziekinstrumenten.
Daarnaast kan met COACH een frequentiespectrum worden gemaakt,
waardoor de boventonen zichtbaar worden.
periode T
In de bovenstaande figuur zie je in het linkerplaatje een oscillogram van een
muziekinstrument. In het rechterplaatje zie je een frequentiespectrum.
 Lees in het linkerplaatje de periode van één trilling af (in milliseconde).
Welke frequentie hoort daarbij?
 Wat zijn de frequenties van de 1e en de 2e boventoon?
 Past het frequentiespectrum bij een snaarinstrument of bij een
blaasinstrument?
31
EXTRA
Een vreemde fluit
Een houten fluit kan aan een kant afgesloten worden met een klep. Daardoor
verandert het trillingspatroon van de lucht in de fluit. De fluit heeft een
lengte van 33 cm, en als de klep open is maakt de fluit een toon met een
frequentie van ca 480 Hz.
 Hoe zal de toonhoogte veranderen als de klep gesloten wordt?
Theorie
Lees de theorie op blz. 180 t/m 182 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
staande golven in een open of
half gesloten luchtkolom
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
f n  n  f1
Open kolom - de kolom is aan beide zijden open.
l  n  12  n
f n  (2n  1)  f1
Gesloten kolom - de kolom is aan één zijden open.
l  (2n  1)  14  n
LET OP!! - De bovenstaande formules zijn niet gelijk aan de
formules in het boek, maar wel gelijk aan de formules in BINAS.
(Examen)contexten
In het boek staan verschillende contexten waar de theorie gebruikt wordt.
Examencontexten kunnen gebruikt worden in een examenopgaven. Je hoeft
deze kennis ninet uit je hoofd te leren, het is wel handig als je het al eens
gezien hebt.
Blaasinstrumenten
32
Opgaven
22
In figuur 29 zie je twee luchtkolommen met een staande longitudinale golf.
De golfsnelheid is 340 m/s (de geluidssnelheid).
a Welke van de twee luchtkolommen is open? Welke is gesloten?
b Bereken in beide gevallen de frequentie van de grondtoon en van de
eerste twee boventonen.
23
Bij een orgelpijp ontstaat bij het aanblaasgedeelte een buik. Een open
orgelpijp heeft een tweede boventoon van 600 Hz. De temperatuur van
de lucht in de orgelpijp is 20 °C.
a Bepaal met behulp van het tabellenboek de geluidssnelheid bij een
temperatuur van 20 °C.
b Teken de eigentrilling als deze orgelpijp de tweede boventoon laat
klinken.
c Bereken de lengte van de orgelpijp.
24
In figuur 30 zie je de frequentie-inhoud van een toon van een saxofoon. Het
ene uiteinde van een saxofoon is open. Bij het andere uiteinde bestaat
de trillingsbron uit een trillend riet.
a Aan de gegevens in figuur 30 is te zien dat de saxofoon kan worden
opgevat als een gesloten luchtkolom. Leg uit waarom.
b Leg uit wat dit betekent voor het trillend riet: vormt dat een knoop of een
buik?
25
Geluidssnelheid
Op enige afstand boven een met water gevulde buis hangt een luidspreker.
De luidspreker is aangesloten op een toongenerator met een vaste frequentie
van 2,0 kHz. De buis met water loopt langzaam leeg. Daarbij neemt de
geluidssterkte afwisselend toe en af. De geluidssterkte is maximaal bij de
volgende standen van het water in de buis (gemeten vanaf de bovenrand van
de buis): 43, 128, 213, 298, 383, 468 en 553 mm.
Vraagstelling: welke waarde voor de geluidssnelheid volgt uit dit
experiment?
33
Newton - 13 Muziek
§5 Staande golven
Staande golven en resonantie
Een staande golf in een muziekinstrument noemen we resonantie, maar er
zijn nog meer vormen van resonantie. Het eigen onderzoek bij dit hoofdstuk
gaat ook over resonantie.
Kies uit de onderstaande opdrachten er tenminste twee uit.
Tacoma Narrows Bridge
Resonantie kan een verwoestende uitwerking hebben. Het meest
aansprekende voorbeeld is het instorten van de Tacoma Narrows Bridge.
 Wat was de exacte oorzaak van het instorten van de brug? Was dit te
voorkomen geweest?
Muziekslang
Een muziekslang is ook een resonantiebuis, met een lengte van 70 cm. Bij
bepaalde snelheden produceert de slang een toon (met een mooi
dopplereffect erbij). Men meet de volgende vier tonen: 480 Hz, 700 Hz, 930
Hz en 1160 Hz
 Is de toon van 480 Hz de laagst mogelijke frequentie? Leg uit.
Ruisorgel
Op de foto zie je een resonantie-orgel, ook wel ruisorgel genoemd. De buizen
zijn aan boven- en onderkant open. Door met je oor langs de openingen te
gaan hoor je een toonladder (Boer daar ligt een kip in ’t water).
 Hoe werkt dit orgel?

Bij welke buislengte hoort de A (440 Hz)?
Didgeridoo
Een didgeridoo is ook een resonantie-instrument. De didgeridoo op de foto
geeft een toon van 110 Hz.
 Hoe lang is de didgeridoo ongeveer?
 Hoe kan een didgeridoo-speler verschillende klanken maken?
34
Trillende lat
Een rechtopstaande lat kan ook in resonantie gebracht worden. De lat op de
foto, gemaakt met behulp van een stroboscoop, is aan de onderkant
ingeklemd. De lat trilt met een frequentie van 52 Hz. De lat heeft een lengte
van 106 cm (schaal 1:20).
 Hoe groot is de golflengte en de golfsnelheid in de lat?
 Bij welke ander frequenties zal de lat gaan meetrillen?
Slingerende kralenketting
Een kralenketting wordt aan de bovenkant in trilling gebracht. De ketting
gaat daardoor trillen zoals op de foto hiernaast. De golflengte aan de
bovenkant van de ketting is groter dan aan de onderkant.
 Hoe is de vorm van de ketting te verklaren?
Eigen onderzoek: Resonantie
De bovenstaande opdrachten zijn allemaal voorbeelden van resonantie. De
praktische opdracht voor deze periode bestaat uit een eigen onderzoek naar
een resonantieverschijnsel. Daarbij is het van belang om zelf een goede
onderzoeksvraag re formuleren. Daarnaast is het leuk om een aansprekend
onderwerp te kiezen (dat levert extra punten, maar het is vaak wel iets meer
werk).
Enkele ander voorbeelden van resonantieverschijnselen:
 Een touw of snaar wordt aangedreven door een trillingsbron. De
frequentie en de spanning zijn in te stellen.
 Een kleine luidspreker in een buis zorgt voor resonantie van de
luchtkolom in de buis. De frequentie en de lengte van de buis zijn in te
stellen.
 Een luidspreker wordt voor een open buis geplaatst. Bij bepaalde
frequenties treedt versterking (resonantie) op.
 Een trillingsbron met vaste frequentie is gekoppeld aan een touw met
een gewichtje dat over een katrol hangt. De lengte van het koord en de
massa van het gewichtje zijn in te stellen.
 De lucht in een wijnfles gaat trillen als je over de hals blaast. De
toonhoogte hangt af van de hoogte van het water en de lengte van de
hals,
 Een didgeridoo (zelf in elkaar knutselen) is een open luchtkolom en
produceert een typische klankkleur. De lengte van de didgeridoo is in te
stellen.
 Als je zelf een blaasinstrument bezit: hoe zit het met tonen en
klankkleur? Welke lengte heeft de trillende luchtkolom?
 Als je zelf een snaarinstrument bezit: wat zijn de verschillen tussen de
snaren? Welke lengtes hebben de snaren?
 Als je zelf een piano hebt: hoe zit het met de tonen en de klankkleur?
Welke eigenschappen hebben de verschillende akkoorden?
 Als je zelf een djembé hebt: Hoe zit het met de pitch en de aanslag?
Welke eigenschappen heeft het geluid?
35
26
Opgaven
Bij het aanblazen van een blokfluit ontstaat een staande golf in de
luchtkolom met twee buiken. De ene buik bevindt zich bij B1, de andere
buik ligt iets buiten de opening bij B2. De afstand tussen de buik B2 en
de opening is 0,7 cm.
De temperatuur van de lucht is 20 °C. Tijdens het bespelen van de fluit stijgt
de temperatuur van de luchtkolom tot 37 °C. Daardoor verandert de
geluidssnelheid. En daardoor verandert de frequentie van de grondtoon,
zodat deze vals gaat klinken. Om deze frequentieverandering tegen te gaan,
moet de afstand B1-B2 veranderd worden.
De geluidssnelheid in lucht wordt gegeven door:
v  c T
In deze formule is v de geluidssnelheid (in m/s), T de luchttemperatuur (in
K) en c een constante. Bij 20 °C bedraagt de geluidssnelheid 343 m/s.
 Bereken hoeveel de afstand B1-B2 moet veranderen om de blokfluit weer
goed gestemd te laten zijn.
27
Gitaarsnaren
Een gitaar kan bespannen zijn met nylon- of met ijzeren snaren. Om met de
beide soorten snaren toch dezelfde grondtoon te laten klinken, moeten de
snaren verschillend worden gespannen. Bekend is dat een grotere
snaarspanning een grotere golfsnelheid tot gevolg heeft.
De golfsnelheid in een snaar is te berekenen met de volgende formule:
FS  v 2  A  
Hierin is:
v de golfsnelheid (in m/s),
FS de spankracht (in N),
A het dwarsdoorsnedeoppervlak van de snaar (in m2),
 de dichtheid (voor ijzer 7,9 kg/m3, voor nylon 1,14 kg/m3).
Een nylonsnaar heeft een dwarsdoorsnedeoppervlak van 1,00 mm2. Voor een
ijzeren snaar is dat 0,20 mm2. Beide snaren zijn 0,80 m lang.
a Bereken de frequentie van de grondtoon van de nylonsnaar bij een
spankracht van 35,3 N.
b Beredeneer of de ijzeren snaar strakker of slapper gespannen moet
worden dan de nylonsnaar om dezelfde grondtoon te laten klinken.
c Bereken hoe groot de spankracht in de ijzeren snaar dan moet zijn.
36
28 Resonantie in constructies
Ook in (onderdelen van) constructies kunnen staande golven optreden. Een
voorbeeld is de aan n kant ingeklemde balk van figuur 36. Zo'n balk kan in
trilling raken, bijvoorbeeld door de trillingen van langsrijdend zwaar verkeer.
a Als in de balk een staande golf ontstaat, welk uiteinde is dan een knoop?
En wat ontstaat er bij het andere uiteinde: een knoop of een buik?
Waarom?
b Schets de eigentrilling van de balk bij de grondfrequentie en bij de
volgende twee hogere eigenfrequenties.
c Stel een formule op voor de eigenfrequenties van de balk.
d De balk is 2,1 m lang. De golfsnelheid in de balk is 4,3 m/s. Bereken de
grondfrequentie en de volgende twee hogere eigenfrequenties van de
balk.
e Wat kan er gebeuren als de balk met een eigenfrequentie in trilling raakt?
29
Resonantie in de gehoorgang
In figuur 39 zie je een doorsnede van het oor. De gehoorgang (tussen de
oorschelp en het trommelvlies) heeft een lengte van zo'n 25 mm.
a In de gehoorgang kan resonantie optreden. Verklaar dat.
b Bereken de grondfrequentie van de luchtkolom in de gehoorgang.
c Resonantie in de gehoorgang treedt niet op bij die ene grondfrequentie,
maar in een vrij breed frequentiegebied daaromheen. Verklaar dit.
d Welk voordeel heeft het optreden van resonantie in de gehoorgang?
37
Newton - 13 Muziek
Extra - Gehoororgaan
Het oor is een vrij bijzonder instrument. Het is niet alleen erg gevoelig, maar
het kan ook veel verschillende frequenties apart waarnemen.
Het gehoororgaan is een context (blok 10 en 11 in het theorieboek), maar
het is geen examenstof. Voor de toetsing betekent het dat er wel vragen
gesteld kunnen worden waarbij het gehoororgaan een context is, maar de
noodzakelijke informatie en formules moeten daarbij gegeven worden.
Kernvraag

Hoe werkt het oor? Welke tonen kun je horen? Hoe kan het oor alle
verschillende tonen waarnemen?
Kernvraag

Wat gebeurt er als je een gehoorbeschadiging oploopt?
Het oor
Het oor bestaat uit drie onderdelen: het uitwendig oor, het middenoor en het
binnenoor.
 In het middenoor zit ook het trommelvlies. Als je je vingers in je oren stopt
kan het trommelvlies niet meer in trilling gebracht worden door de lucht.
Toch kun je met je vingers in je oren je eigen stem nog goed horen. Hoe kan
dat?
 Als je tijdens een stilte je vingers in je oren houdt hoor je een laag
rommelend geluid. Wat zou dit kunnen zijn?
In het middenoor worden geluidsgolven in lucht omgezet in drukgolven in
een vloeistof. Dat gebeurt door een aantal botjes die we hamer, aambeeld en
stijgbeugel noemen.
In het slakkenhuis registreren zenuwcellen die verbonden zijn met
trilhaartjes welke frequenties in het geluid aanwezig zijn. De trilhaartjes
zitten op een lang membraan, en bij elke frequentie hoort een bepaald
gebiedje.
 Hoe wordt in het binnenoor geregeld dat bij een bepaalde toon de
bijbehorende trilhaartjes gaan trillen?
38
Pijngrens en gehoorverlies
Het diagram geeft de gehoorgevoeligheid aan bij verschillende frequenties.
Dit diagram is enigszins vergelijkbaar met het isofonendiagram in BINAS
(tabel 85-B, in de nieuwe druk tabel 27-C). In een isofonendiagram is
aangegeven welke tonen even sterk klinken als een toon van 1000 Hz.
 Voor welke toon is je oor het gevoeligst?
Een luidspreker voor bastonen (een woofer) is vaak vele malen groter dan
een luidspreker voor hoge tonen (een tweeter). Een belangrijke reden
daarvoor is dat een lage frequentie gepaard gaat met minder energie, de
lucht trilt immers langzamer.
 Welke tweede reden heeft de fabrikant om woofers veel groter te maken
dan tweeters?
Om een toon van 50 Hz even hard te laten klinken als een toon van 500 Hz
moet er veel meer energie geproduceerd worden. Het verschil is ongeveer 20
dB.
 Hoeveel keer zoveel energie moet er bij 50 Hz geproduceerd worden?
In tabel 85-C (of 27-D) vind je een audiogram van verschillende
leeftijdsgroepen. Voor een gesprek is vooral het gebied rond 500 Hz van
belang.
 Hoeveel procent van het geluid van een gesprek neemt een 80-jarige waar,
in vergelijking met een gemiddeld menselijk oor?
39
Theorie
Lees de contexten 13 op blz. 183 t/m 188 in Newton. Om de kern van de
theorie goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en
formuleschema’s.
Let op, dit is geen examenstof!
oorschelp, gehoorgang,
trommelvlies
hamer, aambeeld, stijgbeugel,
ovaal venster
slakkenhuis, basilair
membraan, orgaan van Corti
Audiogram, dB(A)
30 Gitaar stemmen
Voordat je op een gitaar kunt spelen, moeten de zes snaren gestemd worden.
De juiste frequentie van de verschillende snaren bij het laten klinken van de
grondtoon is weergegeven in de tabel van figuur 49. Bij het stemmen varieert
de gitarist de toonhoogte door de snaar strakker of losser te spannen.
Een gitarist stemt eerst één snaar (bijvoorbeeld de a-snaar) met behulp van
een stemfluit of een ander muziekinstrument. Daarna kan de speler zonder
hulp van andere instrumenten de andere snaren stemmen met de
flageoletmethode. Dat gaat als volgt: de gitarist raakt de a-snaar heel
voorzichtig aan op eenderde van de snaarlengte, en tokkelt tegelijk de snaar
aan met de andere hand. De a-snaar laat dan een boventoon klinken. Op de
plaats waar de vinger de snaar voorzichtig aanraakt (dus op eenderde van de
snaarlengte), ontstaat namelijk een knoop. Vraagstelling: welke andere snaar
kan met deze flageoletmethode worden gestemd?
a Schets de eigentrilling van de a-snaar met een knoop op eenderde van de
snaarlengte. Bereken de bijbehorende eigenfrequentie van de a-snaar.
b Van welke andere snaar moet de grondfrequentie gelijk zijn aan de hogere
eigenfrequentie van de a-snaar bij de flageoletmethode? Wat is je
conclusie: welke andere snaar kan met deze flageoletmethode worden
gestemd?
40
31
Resonantie
Lees eerst het volgende krantenartikel over het ongeluk tijdens de
woestijnrally Parijs-Dakar en probeer daarna een antwoord op de vraag te
vinden.
Ooggetuigen rally-drama: 'Dit moet de hel zijn'
De woestijnrally Parijs-Dakar heeft in het weekeinde twee levens geist. Met
deze ongevallen komt het totaal aantal doden in tien jaar op twintig. Zaterdag
kwam in de tiende etappe de 31-jarige navigator van een van de twee
deelnemende DAF-combinaties om het leven. De twee andere inzittenden van
de truck raakten zwaar gewond. De Fransen Jean-Pierre Fontenay en Renaud
Musmarra, rijder en navigator van een Mitsubishi Pajero, waren ooggetuigen
en eerste helpers bij het dodelijke ongeval met de DAF. Zij vertelden: 'Het
terrein was vlak, kort na de start, en we hebben onmiddellijk snelheid
gemaakt. Maar we wisten dat er welvingen in het zandspoor lagen. We reden
180 kilometer per uur. De DAF begon ons vervolgens te passeren. Ingehaald
worden door een truc van meer dan tien ton, die 200 kilometer in het uur haalt,
is heel indrukwekkend. Ze namen een kleine oneffenheid in het parcours. Geen
bult of duin, maar een reeks van kleine golfjes. De voorkant van de truck
kwam omhoog en daalde weer. Dat herhaalde zich. De beweging werd echter
steeds sterker. Bij de derde sprong kwam de truck met vier wielen los van de
grond en draaide in de lucht om zijn as. De DAF landde op zijn rechtervoorwiel
en begon over zijn kant te rollen. Vijf of zes keer. Een wolk van stof kwam
omhoog, stukken van de vrachtwagen vlogen in het rond. Wij zijn gestopt. De
truck lag op zijn linkerzij, volledig verwrongen. De zijkanten waren verdwenen,
maar de cabine was nog intact.'
Bron: NRC Handelsblad.
De oorzaak van het ongeluk is resonantie, waarbij de verticale trilling van de
auto steeds sterker wordt door het rijden over een golvend terrein. Het
bovenstel van de auto rust via veren op het onderstel. Het bovenstel en de
veren vormen dus een massa-veersysteem. De massa van het bovenstel is
6,0.103 kg. De veren zakken 2,0 cm verder door als de auto met 1,0.103 kg
extra belast wordt.
Vraagstelling: hoe groot was de golflengte van de golven in het terrein als bij
een snelheid van 200 km/h resonantie optrad?
41
Toetsvragen
Opgave 1
Een klein aluminium kogeltje van 15 gram hangt aan een zijden draadje. De hele slinger heeft een
lengte van 136 cm.
a Bereken de slingertijd.
Op t = 0,0 s wordt het kogeltje 4,0 cm links van de evenwichtsstand losgelaten. Het gaat dan een
harmonische trilling uitvoeren, te beginnen in positieve richting.
b Schets (dwz. geef de vorm van grafieken, zonder schaalverdeling, maar met grootheden)
hieronder voor de volledige periode van de eerste trilling:
1 de u(t) - grafiek
2 de v(t)- grafiek
de u(t) - grafiek
de v(t)- grafiek
Het aluminium kogeltje wordt vervangen door een loden kogeltje van 50 gram. Verder verandert er
niets.
c Bereken de slingertijd voor deze situatie.
Opgave 2
Van een harmonische trilling is de formule voor de uitwijking als functie van de tijd:
6..t (u in cm, t in s)
a Hoe groot is de amplitude van deze trilling?
u(t) = 1,2.sin
b Bereken de trillingstijd.
Opgave 3
Je houdt een kleine luidspreker die met een frequentie van 512 Hz een toon van constante sterkte
geeft vlak boven een lange verticale buis die aan de onderkant waterdicht is afgesloten. Je hoort
alleen het geluid van de luidspreker.
Door nu langzaam water in de buis te gieten hoor je op zeker moment datzelfde geluid veel sterker.
a Waardoor wordt het geluid sterker?
De temperatuur in het lokaal is 20 oC.
b Bereken de kortste en de op één na kortste lengte van de luchtkolom waarbij dit verschijnsel van
versterking zich voordoet. Licht je antwoord met twee schetsen toe.
Opgave 4 - Massabepaling met een veer
Een spiraalveer (C = 24,3 N/m) heeft een lengte van 2,51 m als deze niet is uitgerekt. De veer wordt
opgehangen. Als er een gewicht je m aan wordt gehangen, gaat de veer enige tijd op en neer trillen
met een frequentie van 0,344 Hz.
a Bereken de massa van het gewichtje m, als je de massa van de veer verwaarloost.
b Bereken de lengte van de veer, als het massa-veer-systeem tot rust gekomen is.
Opgave 5
Een schipper gooit de tros los door in 0,30 s een
golfberg in het touw te maken met een amplitude
van 20 cm. Jij maakt een foto van deze gebeurtenis;
de sluitertijd (de belichtingstijd van de foto) is
uiterst klein, minder dan een duizendste seconde.
a Bereken de golfsnelheid in het touw.
b Bereken de fase en de uitwijking van het punt P
(zie figuur) op het moment van deze opname.
c Schets in de figuur wat je op de foto zou hebben gezien als de opname vanaf de weergegeven stand
0,15 s had geduurd.
Antwoorden Hoofdstuk 13
1
Er geldt f=1/T, en f=1,5.103 Hz. Invullen: 1,5.103 = 1/T.
Uitrekenen: T = 1/(1,5.103) = 6,7.10-4 s. = 0,67 ms
2
a
b
3
a
b
4
a
b
c
5
a
b
c
De instelling voor de horizontale t-as is 0,5 ms/div. (div. komt van division) Dat betekent dat elk hokje
0,5.10-3 s voorstelt. We veronderstellen dat 1 hokje overeenkomt met 1 cm.
In de figuur zie je dat 10 trillingen overeenkomen met 10 hokjes. Dus 10.T = 10 . 0,5.10-3,
T = 5,0.10-4 s.
De instelling voor de verticale u-as is 2,0 V/div. Dat betekent dat elk hokje 2,0 V voorstelt.
In de figuur zie je dat de amplitude overeenkomt met 2,0 hokjes. Dus r = 2,0 . 2,0 = 4,0 V.
Er geldt f=1/T, en T= 5,0.10-4 s. Invullen: f=1/(5,0.10-4 ) = 2,0.103 Hz.
De diagrammen A en B hebben elk de grootste verticale schaal: 2,0 V/cm. Daarbij heeft de trilling in
diagram B de grootste amplitude: 2,0 cm. Diagram B heeft de grootste amplitude, namelijk 4,0 V. Die van
A is 2,0 V. C heeft een amplitude van 400 mV en D heeft 24 mV.
Een trilling heeft een grote frequentie als de trillingen een kleine trillingstijd hebben, elkaar dus snel
opvolgen.
Diagram D heeft een schaal van 5,0 s = 5,0.10-6 per hokje. Een trilling van D duurt 7,6 hokjes,
dus 7,6 . 5,0.10-6 = 38.10-6 s.
In diagram C duurt een trilling 4,4 hokjes van elk 20 s, dat is dus 88.10-6 s.
Van diagram B lezen we af dat een 10 trillingen ongeveer 9,5 hokjes vormen; daarmee krijg je: 10 . T = 9,5 .
0,50.10-3. Uitrekenen: T=4,8.10-4 s.
Bij diagram A heb je 4,0 trillingen in 8,0 hokjes.
4,0.T=8,0.0,2.10-3 s. Dus: T=4,0.10-4 s.
Diagram D heeft de kortste trillingstijd en daarmee de grootste frequentie.
Een harmonische trilling heeft een sinusfunctie als voorstelling. Dat is alleen het geval bij diagram C.
Diagram C stelt een harmonische trilling voor. Je noemt zo’n geluidstrilling een zuivere toon.
B en D: er is geen periode
Bij diagram B is er geen sprake van een trilling: er beweegt niets om een evenwichtstoestand. Als dit een of
ander geluid moet voorstellen dan lijkt het nog het meest op een zeer kort durende knal.
Diagram D is geen periodieke beweging om een evenwichtsstand. Zulk geluid noemen we ruis.
Op t1 heeft de trilling één trilling uitgevoerd. De fase is dus 1.
Eén trilling duurt 1,56 s, Op t2 = 2,18 s zijn er 2,18 / 1,56 = 1,40 trillingen uitgevoerd. φ2=1,40.
Evenzo is φ3=1¾ en φ4=2¼ en φ5=2½. Of respectievelijk 1,75; 2,25 en 2,50.
u(t1) = 0 u(t2) = 2,5.sin0,25 = 1,8 cm
u(t3) = -2,5 cm
u(t4) = 2,5 cm
u(t5) = 0
Aflezen uit de figuur: 0,10; 0,70;1,65; 2,25; 3,20 en 3,80 s. Of oplossen: 1,0 = 2,5.sin (2t/1,56)
6
Gitaarsnaar stemmen
a Begin links te tellen; 4 complete trillingen zijn samen even lang als 5,8
hokjes. Dus: 4.T = 5,8.10 = 58 ms, T = 14,5.10-3 s.
De frequentie is: f = 1/14,5.10-3=69,0 Hz.
b De frequentie is nu 110 Hz. Een trilling duurt 1/110 = 0,009091 s en dat is
9,091 ms. Het scherm is 7 hokjes breed, dat komt overeen met een
tijdsduur van 70 ms. In die 70 ms passen 70 / 9,091= 7,7 trillingen. Ik
teken er 7½. Die 7½ trilling duurt 7,5 . 9,091= 68 ms.
7
Hartslag-frequentie
a Een trilling is een periodieke beweging om een evenwichtsstand.
Het periodieke zit hem in het feit dat het patroon zich regelmatig herhaalt. Het maakt niet veel uit of het
patroon zelf wat onregelmatig is.
b De trillingstijd is de tijd voor één complete beweging. Na die tijd begint de beweging weer opnieuw. In het
begin duurt een periode tamelijk lang. Aan het eind van de grafiek zie je dat er snel een aantal trillingen
achter elkaar komen. De trillingstijd is dus niet constant.
Als het menselijk lichaam meer inspanningen moet gaan leveren, dan gaat het hart vaker kloppen. Dat is
om de benodigde extra zuurstof, daar waar die nodig is, te bezorgen.
c Kleinste frequentie
Frequentie is het aantal trillingen per seconde. Links zit een gebied met de kleinste frequentie. Zeven
perioden achtereen hebben samen een lengte van 69 mm. Blijkbaar is 10 mm gelijk aan 1 s. Eén periode
duurt dan: 7.T = 6,9 s, dus: T = 0,99 s. De kleinste frequentie is fkleinste = 1,0 Hz.
Grootste frequentie
Rechts op de lijn zitten enkele trillingen dicht bij elkaar. Ik meet bijvoorbeeld drie snelle perioden samen
met een lengte van 16 mm. Eén periode duurt dan 3.T = 1,6 s, dus: T = 0,53 s. De grootste frequentie is
fgrootste = 1,9 Hz.
8
Wisselspanning
a Wisselspanning is niet steeds hetzelfde: de spanning verandert periodiek tussen twee maximale waarden.
Bij het lichtnet verandert de spanning tussen de +230 en -230 V. De stroom loopt nu eens de ene kant op,
dan weer de andere kant op. Vandaar de naam wisselspanning.
43
b
c
d
9
Frequentie is het aantal trillingen per seconde. Op het scherm zie je 4 complete trillingen. Die duren, laten
we aannemen, 8 hokjes. Elk hokje duurt 10 ms. Dus 4.T = 80 ms, ofwel T = 20 ms.
De frequentie is: f = 1/T = 1/20.10-3 = 50 Hz.
De amplitude is 2,2 hokje hoog. Elk hokje is 150 V. De maximale waarde is dus 3,3.102 V.
In de vaktaal heet de genoemde 230 V niet de amplitude, maar de effectieve waarde van de wisselspanning.
De wisselspanning levert dan gemiddeld per seconde evenveel energie als een gelijkspanning van 230 V.
C = 4,9.10-3 / 0,010 = 0,49 N/m
f = (1/2)√(C/m) = (1/2)(0,49 / 0,050) = 0,50 Hz
10 a. Tussen negen beeldjes liggen acht keer 0,10 s. Eén slinger is heen en terug, dus T = 1,60 s.
b. T = 2l/g invullen geeft l = 0,64 m.
c. T moet twee keer zo groot worden, dus l moet vier keer zo groot zijn.
11
a. Het is een wortelverband: T = 2,45
b. T = 2(m/C) invullen geeft 2/C = 2,45 en C = 6,6 N/m
12
Er geldt v =  . f. Als de frequentie toeneemt, en de golfsnelheid constant blijft, dan neemt de golflengte af.
Neemt echter de golfsnelheid toe, en blijft de frequentie constant, dan wordt de golflengte groter.
13
Er geldt v =  . f. Invullen: 10 = 2,5 . f, uitrekenen: f = 10 / 2,5 = 4,0 Hz.
14 a
b
15
a
b
x1
x2

1,50
1,125
r
0,50
0,125
 = 2,125 - 0,375 = 1,75.
x3
x4
0,75
0,75
x5
0,25
0,25
0,00
0,00
Op t = 12,0 s is de golf 3,2 cm lang en op t = 12,5 s is dat 4,7 cm. De trillingen zijn dus in 0,5 s
1,5 cm verder gekomen. die 1,5 cm in de tekening zijn in werkelijkheid 15 cm.
Voor de snelheid geldt: v = s / t= 15 / 0,5 = 30 cm/s.
Je ziet dat tussen t = 12,0 s en t = 12,5 s de golf ¾ langer is
geworden. Dat betekent dat ¾.T = 0,5 s. De trillingstijd van de
trillingen is dus: T = 2/3 = 0,667 s.
Het tijdstip t = 11,7 s is 0,3 s eerder dan het tijdstip van de eerste
tekening. In die 0,3 s wordt 0,3 / 0,667 = 0,45 trilling uitgevoerd.
De golf is op tijdstip t = 11,7 s nog 0,45 verder terug dan op het
eerste tijdstip.
Dat is in de figuur duidelijk te zien. De middelste figuur is getekend
op het tijdstip t = 12 s. De trillingen bereiken dan net punt P.
Op het tijdstip t = 11,7 s, getekend in de bovenste figuur, zijn de
trillingen juist in Q aangekomen.
De afstand tussen Q en P bedraagt 0,45.
16
Golf in een snaar
a Piek P ontstaat door de trilling die van links naar rechts loopt. Bij de andere piek loopt de trilling dus van
rechts naar links. Deze trilling ontstaat door de terugkaatsing van de golven tegen het vaste uiteinde van
punt B. Bij terugkaatsing van golven tegen een vast uiteinde gebeurt iets bijzonders: de richting van de
uitwijking wordt tegengesteld aan de oorspronkelijke richting. Een golfberg die tegen een vast uiteinde
kaatst verandert in een golfdal. We zeggen ook wel: “de fase van de trilling verandert met ½”.
Je ziet dat in figuur 23 duidelijk gebeuren. De piek p, met een “uitwijking” omhoog (positieve piek), komt
van links naar rechts en botst tegen B. Vrijwel direct daarna passeert de trilling weer het element E, daarbij
is de uitwijking nu “omlaag” (negatieve piek). Na enige tijd botst de trilling bij A, zodat de uitwijking weer
van richting verandert (positieve piek). Die zie je even later het element passeren.
b Bij de eerste positieve piek passeert de trilling het element E. Dat is op tijdstip t = 0,9 ms. De vierde
positieve piek passeert E op het tijdstip t = 14,2 ms. In die
periode gaat de trilling dus 3 maal heen en weer. Daarbij
legt de trilling 6 keer 28 cm af.
Gebruik: s = v . t, invullen: 1,68 = v . (14,2 - 0,9).10-3,
uitrekenen: v = 1,68 / (13,3.10-3) = 1,3.102 m/s.
c De breedte en hoogte van een piek wordt bepaald door de
aanslag van de snaar. Die hangt dus niet af van de
golfsnelheid in de snaar. Bij een grotere golfsnelheid zullen
de trillingen uit A eerder het element E bereiken. De pieken
liggen dus op onderling kortere afstanden. Als de
golfsnelheid twee maal zo groot wordt, dan liggen de pieken
allemaal twee keer zo dicht op elkaar. Zie de onderste figuur.
17
Sonar
a Naarmate de zeebodem dieper is heeft de geluidspuls meer tijd nodig om heen en terug te gaan. Er geldt s
= v . t, dus als s groter wordt, dan wordt ook t groter. Als de zeebodem twee keer zover weg ligt, dan
wordt de tijdsduur t ook tweemaal zo groot.
44
b
c
d
Uit figuur 24 kan je aflezen dat er tussen de uitgezonden puls, de linker hoge piek, en de ontvangen puls,
de kleine piek, rechts van het midden, 7,2 cm zitten. Volgens de knop betekent dit een periode van: t =
7,2 ms. Volgens Tabel 16 van BINAS is de geluidssnelheid in water van 293 K gelijk aan 1,484.103 m/s.
Gebruik s = v . t = 1,484.103 . 7,2.10-3 = 10,68 m.
Dat is tweemaal de gevraagde afstand. De diepte is dus 5,3 m.
Bij een maximale diepte hoort een zo groot mogelijke tijdsduur. Het duurt lang voordat de trillingen terug
komen. Maar de trillingen moeten terug zijn, voordat de volgende puls wordt uitgezonden, anders weet je
niet meer welke ontvangen puls bij welke uitgezonden puls hoort. De grootste t die mogelijk is, is dus
kleiner dan 10 hokjes. Zeg t = 9,5 ms.
Gebruik s = v . t = 1,484.103 . 9,5.10-3 = 14,10 m, voor de dubbele afstand. De grootste diepte die met de
huidige instelling is te signaleren is 7,0 m.
De tijdsduur tussen twee uitgezonden pulsen moet groter worden gemaakt. Waarschijnlijk kan je volstaan
met de knop op 10 ms/cm te zetten, als tenminste de afstand tussen de uitgezonden pieken 10 hokjes blijft.
In dat geval kan je dieptes meten tot 70 m.
18
Aardbevingsgolven
a P-golven
Als  gelijk is aan 90°, dan is de looptijd gelijk aan 0,70.103 s. Dat is uit het diagram af te lezen. Uit figuur
25 blijkt dan dat de afstand AS gelijk is aan: AS = {(6,4.106)2 + (6,4.106)2} = 9,05.106 m. De snelheid van
de P-golven is dus: v = s / t = 9,05.106 / 0,70.103 = 1,3.104 m/s.
S-golven
Als  gelijk is aan 90°, dan is de looptijd gelijk aan 1,3.103 s. Dat is uit het diagram af te lezen. De afstand
AS is gelijk aan: AS = 9,05.106 m. De snelheid van de S-golven is dus:
v = s / t = 9,05.106 / 1,3.103 = 7,0.103 m/s.
c Uit de figuur hiernaast volgt dat ½ = ½ . 103° = 51,5°.
Bovendien volgt er uit dat: cos(½) = r / R. Hierin is r de gevraagde straal en R de straal van de aardbol.
Invullen: cos 51.5° = r / 6,4.106, dus:
r = 6,4.106 . cos 51,5° = 4,0.106 m.
d De golfsnelheid in de kern is kleiner dan in de mantel, omdat de golven langer onderweg zijn dan wanneer
alles uit hetzelfde mantelmateriaal zou zijn gemaakt.
e De tijd die de trillingen nodig hebben om de aarde dwarsdoor te steken bedraagt, blijkens de grafiek,
1,1.103 s. De mantel heeft een dikte van 6,4.106 - 4,0.106 = 2,4.106 m. Deze dikte wordt twee maal doorlopen
met een snelheid van 1,3.104 m/s. De daarvoor benodigde tijd kunnen we nu berekenen: v = s / t,
invullen: 1,3.104 = 4,8.106 / t, uitrekenen: t = 4,8.106 / 1,3.104 = 369 s. Voor de oversteek door de kern
hebben de S-golven een tijd nodig die we nu kunnen berekenen: tkern = 1,1.103 - 369 = 731 s. De afstand die
ze daarbij afleggen is tweemaal de kernstraal: s = 8,0.106 m. Nu hebben we voldoende gegevens om de
gevraagde snelheid uit te rekenen:
v = s / t = 8,0.106 / 731 = 1,1.104 m/s.
19
De overeenstemming is dat de grondtoon voor beide gelijk is: de g.
Het verschil zit in de amplitude van de boventonen. Bij de piano heeft de eerste boventoon een grotere
amplitude dan de grondtoon, bij de viool is dat niet zo. Ook de andere boventonen hebben amplitudes
verschillend van elkaar. De viool heeft opvallend meer meeklinkende boventonen dan de piano.
20
(voor een snaar met twee vaste uiteinden - bij één los uiteinde moeten de antwoorden worden aangepast)
a Er geldt:  = v / f, invullen:  = 220 / 110 = 2,00 m. Bij de grondtoon is de golflengte gelijk aan tweemaal
de snaarlengte. De lengte van de snaar is dus 1,00 m.
b Voor de boventonen geldt: fn = (n+1) . f0, waarbij f0 de frequentie van de grondtoon is. De frequenties van
de boventonen zijn veelvouden van die van de grondtoon.
Dus voor de eerste boventoon geldt: f1 = 2 . f0 = 220 Hz.
Dus voor de tweede boventoon geldt: f2 = 3 . f0 = 330 Hz.
Dus voor de derde boventoon geldt: f3 = 4 . f0 = 440 Hz.
Dus voor de vierde boventoon geldt: f4 = 5 . f0 = 550 Hz.
21
a In de figuur hiernaast zie je bovenin de grondtoon getekend. Boventonen van muziekinstrumenten hebben
vaak een kleinere amplitude dan de grondtoon. Hier is voor
een relatieve amplitude van 0,4 gekozen. De derde
boventoon staat in de middelste tekening.
De onderste tekening geeft aan hoe de snaar er in de uiterste
stand uit kan zien als deze de beide tonen tegelijkertijd ten
gehore brengt.
b Voor de boventonen geldt: fn = (n+1).f0, waarbij f0 de
frequentie van de grondtoon is. Invullen: 500 = (3+1).f0,
dus f0 = 125 Hz.
Dus voor de eerste boventoon geldt: f1 = 2 . f0 = 250 Hz.
Dus voor de tweede boventoon geldt: f2 = 3 . f0 = 375 Hz.
Dus voor de vierde boventoon geldt: f4 = 5 . f0 = 625 Hz.
c De snaar heeft een lengte van 1,2 m. De golflengte van de
grondtoon is dan 2 . 1,2 = 2,4 m.
Gebruik: v =  . f, invullen: v = 2,4 . 125 = 300 m/s.
45
22
B
a
b
De beide uiteinden zijn gelijk, er zit een buik. De beide uiteinde zijn open.
Er geldt: f0 = v / 4l = 340 / (4 . 1,5) = 1,1.102 Hz. Dit is de grondtoon.
Voor de boventonen geldt: fn = (n + 1). f0.
De frequentie van de eerste boventoon is dus f1 = (1+1). 1,1.102 => f1 = 2,3.102 Hz.
De frequentie van de tweede boventoon is dus f2 = (2+1). 1,1.102
=> f2 = 3,4.102 Hz.
a Een uiteinde heeft een knoop, dat is een gesloten uiteinde. Het andere uiteinde heeft een
buik, dat is een open uiteinde. De kolom is dus gesloten in een uiteinde.
b Er geldt: f0 = v / 4l = 340 / 4.1,5 = 0,57.102 Hz. Dit is de grondtoon.
Voor de boventonen geldt: fn = (2n+1). f0.
De frequentie van de eerste boventoon is dus f1 = (2.1+1). 0,57.102 => f1= 1,7.102 Hz.
De frequentie van de tweede boventoon is dus f2 = (2.2+1). 0,57.102 => f2 = 2,8.102 Hz.
23
a
b
c
Zie tabel 16A: v=343 m/s.
Zie hiernaast.
 = v/f = 343 / 600 = 0,57 m. De pijp is 1,5  lang.
Dus l = 0,86 m.
24
a. De grondtoon is 0,15 kHz, de boventonen zijn oneven
veelvouden daarvan: 3 . 0,15 = 0,45 kHz; 5 . 0,15 =
0,75 kHz. De boventoon met 0,90 kHz is niet te begrijpen
met dit model, dat moet 7 . 0,15 = 1,05 kHz zijn.
¼
b. Een uiteinde van de saxofoon is open: dat is het uiteinde dat naar het publiek is gericht.
Het andere uiteinde bestaat uit een trillende riet. Dat is blijkbaar een gesloten uiteinde, want de
frequentiekarakteristiek geeft aan dat er een gesloten en een open uiteinde moet zijn.
Het trillend riet vormt een knoop.
25
Geluidssnelheid
De afstanden tussen de opeenvolgende resonantiestanden is steeds een ½ omdat bij het wateroppervlak een
knoop moet ontstaan. Dus 3 = 553 - 43 = 510 mm,  = 0,17 m. De gemeten geluidssnelheid is v =  . f = 0,17 .
2,0.103 = 3,4.102 m/s.
26
a
27
Gitaarsnaren
a Vul de gegevens in de formule in. De dichtheid van nylon is 1,14.103 kg/m3, de doorsnede is 1,00.10-6 m2.
Voor de grondtoon geldt: f0 = v /  = v / 2.l.
De golfsnelheid bij 20 °C is 343 m/s.
De lengte van de kolom is 32,5 cm plus 0,70 = 33,2 cm.
Invullen: f0 = 343 / (2 . 0,332) = 517 Hz.
Ga uit van de gegeven formule: v=c.√T. In het tabellenboek staat voor 20,0 °C een snelheid van 343 m/s.
Invullen in de formule geeft de mogelijkheid om de constante uit te rekenen.
343 = c. 293, dus c= 343 / 293 =20,0 m/sK0,5.
De waarde van c gaan we nu gebruiken om de snelheid uit te rekenen: v = c . √T = 20,0 . 310 = 352 m/s.
De grondtoon moet 517 Hz blijven, ook bij de snelheid van 352 m/s. Invullen in f0 = v /  = v 2.l, levert: 517
= 352 / 2.l. Uitrekenen: l = 34,04 cm.
De lengte was 33,16 cm. De lengte moet met 34,04 - 33,16 = 0,88 cm toenemen.
v =
35,3
1,00.10-6 .1,14.103
v=176 m/s. f = v /  = 176 / 1,60 = 110 Hz.
b
De snaar heeft een even grote lengte. De golflengte van de grondtoon is dus even groot als die van een
nylon snaar.
Voor de golfsnelheid geldt dat A kleiner is; de dichtheid is groter: 7,87.103 kg/m3.
Het product van A en  bedraagt: 0,20.10-6 . 7,87.103 = 0,00157.
Rekenen we hiermee en met dezelfde spankracht de golfsnelheid uit, dan krijgen we: v=150 m/s. De
trillingen bewegen zich in ijzer langzamer voort dan in nylon. Om dezelfde grondtoon te krijgen, moet de
ijzeren snaar strakker worden gespannen.
c
Er moet gelden v=176 m/s. Invullen geeft: 176 =
Fs
0,20.10 .7,87.103
-6
Berekenen: 1762 = Fs / (0,20.10-6 . 7,87.103), dus Fs = 48,8 N.
28
Resonantie in constructies
a Het rechter uiteinde zit in de muur vast, dat uiteinde is een
knoop.
Het andere uiteinde zit niet vast, kan de grootste
bewegingen maken van alle plankonderdelen en dat
noemen we een buik.
b Zie hiernaast.
Opmerking: hier hebben de hogere eigenfrequenties
dezelfde amplitude als de grondfrequentie. In
46
c
d
e
werkelijkheid is de amplitude kleiner naarmate je bij hogere eigenfrequenties komt.
Noem l de lengte van de balk PQ en v de golfsnelheid van de trillingen in de balk.
Grondtoon
Uit de figuur blijkt dat l = ¼. Dus  = 4.l. Bovendien: f = v /  Invullen: f0 = v / 4l.
Eerste hogere eigenfrequentie
Uit de figuur blijkt dat l = ¾. Dus  = 4/3.l. Bovendien: f = v / 
Invullen: f1 = 3.v /4l = 3.f0.
Tweede hogere eigenfrequentie
Uit de figuur blijkt dat l = 5/4. Dus  = 4/5.l. Bovendien: f = v / 
Invullen: f2 = 5.v / 4l = 5.f0.
Gegeven is: l = 2,1 m en v=4,3 m/s
Gevraagd zijn: f0, f1 en f2.
Gebruik f0 = v / 4l; invullen geeft: f0= 4,3 / 4.2,1 = 0,51 Hz.
Er geldt dat f1 = 3 . v / 4l = 3 . f0 = 3 . 0,51 = 1,5 Hz.
En er geldt dat f2 = 5 . v / 4l = 5 . f0 = 5 . 0,51 = 2,6 Hz.
Een balk raakt met een eigenfrequentie in trilling als er van buitenaf trillingen worden toegevoerd met
precies de frequentie van die eigentrilling. De balk gaat dan resonantie vertonen: de amplitude van de
trillingen in de balk wordt als maar groter.
De trilling van buitenaf voert steeds nieuwe energie aan de balk toe. De balk kan die energie alleen maar
kwijt raken door de geringe wrijving aan de lucht.
De steeds grotere amplitude zorgt in de balk voor toenemende spanningen. Als de krachten in de balk te
groot worden dan kan de balk breken.
29
Resonantie in de gehoorgang
a De gehoorgang bestaat uit een luchtkolom die aan de ene kant open is, bij de oorschelp, en bij het
trommelvlies gesloten. De lucht in de kolom kan bij bepaalde frequenties meetrillen, net als bij een
muziekinstrument.
b Er geldt: f0 = v / 4l = 343 / 4 . 25.10-3 = 3,4.103 Hz. Dit is de grondtoon.
Voor de boventonen geldt: fn = (2n+1). f0.
De frequentie van de eerste boventoon is dus f1 = (2.1 + 1). 3,4.103 ; f1 = 1,0.104 Hz.
De frequentie van de tweede boventoon is dus f2 = (2.2 + 1). 3,4.103 ; f2 = 1,7.104 Hz.
c De gehoorgang is geen rechte buis. Temperatuur en dus voortplantingssnelheid is niet in de gehele buis
hetzelfde. Je moet dan ook verwachten dat de uitkomst van het model een goede indicatie geeft, niet meer.
d Het voordeel is dat je deze klanken beter kan horen.
30
Gitaar stemmen
a De uiteinden zitten vast, daar zit een knoop. Op de plaats van de
vinger zit ook een knoop.
Er zitten twee knopen tussen de uiteinden. Dat betekent dat de
toon de tweede boventoon is.
Bij gelijke uiteinden geldt: fn = (n+1). f0.
Dus de bedoelde frequentie is: f2 = (2+1). 110 = 330 Hz.
b De andere snaar is de e’-snaar. Zie de tabel.
31
Resonantie
Voor een harmonische trilling geldt: T = 2. (m / C), C = F / u.
C = 9800 / 0,020 = 4,9.105 N/m en T = 2.  (6,0.103 / 4,9.105 ) = 0,70 s.
De snelheid moet worden omgerekend in m/s: v = 200 / 3,6 = 56 m/s. De botsingen vinden steeds plaats
tegen een hellend stuk van de bodem, dus met een onderlinge afstand van een golflengte.
 = v . T = 56 . 0,70 = 39 m.
antwoorden toetsvragen
1)
a.
b.
T = 2π(l/g) = 2,34 s (2p)
Zelfde formule: T = 2,34 s (1p)
2)
a.
b.
r = 1,2 cm (1p)
14t = 2f = 2t/T geeft T = 2/14 = 0,45 s. (3p)
3)
a.
b.
Resonantie: de golflengte ‘past’ bij de lengte. De eigenfrequentie van de luchtkolom. (2p)
v = 343 m/s.  = v/f = 343/512 = 0,67 m. kortst = 0,25 = 17 cm, volgende = 0,75 = 50 cm (6p)
4)
a.
b.
T = 2(m/C) T = 1/1,93 = 0,518 s en C = 24,3 geeft m = 0,165 kg (3p)
uitrekking: F = Cu Fz = 1,62 N geeft u = 6,7 cm. Totale lengte 31,8 cm (4p)
5)
a.
b.
golfberg = 1,5 m lang in 0,30 s geeft v = 5,0 m/s
1/3e golf is P al gepasseerd, dus fase = 0,33
u = rsin(2) = 20sin(0,67) = 17,5 cm
Beweeg de golfberg naar rechts, over 75 cm.
c.
47